Finanční management LS 2022/23

NMFM201 Finanční management

NMFM201 Financial Management

***Technický paragraf (Technical paragraph)

$LicenseExpirationDate

chttp://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/FM2023LS.nb

E-mails

2023-02-15

1. Veškeré informace k přednášce budou v Mathematica notebooku s názvem FM2023.nb (dále notes) :

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/FM2023LS.nb

2. V notesu bude na začátku každé lekce uveden odkaz na materiál k přednášce ve formátu PDF. Ten bude obsahovat převážně teoretické partie. Některé partie těchto materiálů budou smíšeně v angličtině a češtině, odborné termíny budou uvedeny v obou jazycích.

3. V notesu FM2023.nb budou uvedeny příklady k teoretickým partiím přednášky. Zde budou většinou užita reálná, pokud možno aktuální finanční data. Studium zde uvedených příkladů je nutné k pochopení teoretických partií. V žádném případě však nevyžaduje hlubší znalost systému Mathematica.

4. Pro posluchače, kteří ještě neabsolvovali předmět Mathematica pro začátečníky:
4.1. Pro studium příkladů k přednášce v tomto notesu potřebujete pouze 
4.1.1. Otvírání buněk (dvojitý klik na modré značení buněk vpravo). Notes je členěn na sekce, podsekce, vstupní buňky,... . Tyto buňky jsou automaticky sdružovány ve vyšší celky. 
4.1.2. Inicializaci buněk nebo spouštění výpočtů pomocí ⇧+⌤ nebo ⌤ na numerické klávesnici. Symboly, proměnné, které nejsou v v daném notesu definované nebo jsou pro systém neznámé (nemají přiřazenou hodnotu) svítí modře.

Další užitečné informace jsou samozřejmě na stránkách kolegy Slavíka, zimní kurz v tomto akademickém roku viz
https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~slavik/info.html

a také reference: An Elementary Introduction to the Wolfram Language

5. Instalační instrukce viz

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/Mathematica_instalacni_instrukce.pdf

Úvod

Zkoušky (Exams)

Definitivní termíny budou uvedeny v SIS. Předběžné termíny a místo:

2023-05-30 09:00, 2023-06-06 09:00, 2023-09-30 09:00: Posluchárna K1 (Lecture room K1).
Zkouška v písemné podobě, doba trvání cca 1 hodina, rezervujte si raději 2 hodiny. 
(Exam in written, duration about 1 hour, 2 hours booking recommended.)

Odstavce označené hvězdičkami je třeba interpretovat takto:

*    Slouží k procvičení, znalost ke zkoušce nutná.

**  Obsahuje důležité informace, ale jejich neznalost při zkoušce není fatální, zkouškou je možné “projít”.

*** Inspirativní náměty nebo zatím přednášejícím nezpracovaná témata.

Literatura 1

[1] Dupačová, J., Hurt, J., Štěpán, J.: Stochastic Modeling in Economics and Finance. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht 2002.

[3] Cipra, T.: Matematika cenných papírů. Kamil Mařík Professional Publishing. Praha 2013.

[14] Cipra, T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Ekopress. Praha 2005. Obsah:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cipra/Cipra_web_pdf/Prakticky%20 pruvodce %20 financni %20 a %20 pojistnou %20 matematikou.pdf

[15] Slavík, A.: Mathematica pro začátečníky. Kurs na MFF UK. Praha 2020.
https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~slavik/info.html

[16] An Elementary Introduction to the Wolfram Language by Stephen Wolfram: http://wolfr.am/eiwl

***Literatura 2

[1] Dupačová, J., Hurt, J., Štěpán, J.: Stochastic Modeling in Economics and Finance. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht 2002.

[2] Cipra, T.: Finanční ekonometrie. Ekopress, Praha 2008.

[3] Cipra, T.: Matematika cenných papírů. Kamil Mařík Professional Publishing. Praha 2013.

[4] Hurt, J.: Yield curves with Mathematica 6.0. In: Wolfram Technology Conference 2007. http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/6956/ . Champaign (IL) 2007.

[5] Hurt, J.: Risk measures in finance. In: 2008 International Mathematica User Conference. http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/7230/.  Champaign (IL) 2008.

[6] Hurt, J.: Risk measures in finance revisited. In: Wolfram Technology Conference 2010. http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/7861/  . Champaign (IL) 2010.

[7] Sciencedirect:  http://www.sciencedirect.com/

[8] Mathematica Cookbook

[9] Luenberger, D.: Investment Science. Oxford University Press. New York 1998.

[10] Hull, J. C.: Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall. Boston 2012.

[11]  Cipra, T.: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress. Praha 2015.

[12] Cipra, T.: Financial and Insurance Formulas. Springer. Berlin 2010.

[13] Witzany, J.: Credit Risk Management. Springer International Publishing AG 2017.

[14] Cipra, T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Ekopress. Praha 2005. Obsah:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cipra/Cipra_web_pdf/Prakticky%20 pruvodce %20 financni %20 a %20 pojistnou %20 matematikou.pdf

[15] Slavík, A.: Mathematica pro začátečníky. Kurs na MFF UK. Praha 2020.
https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~slavik/info.html

[16] An Elementary Introduction to the Wolfram Language by Stephen Wolfram: http://wolfr.am/eiwl

2023-02-17 Lekce 1

FAQ

Q1

A1

Základy finanční matematiky 1

Pomocný materiál v PDF:

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230217_Basics_Of_Fin_Mat_marked.pdf

Ilustrativní peněžní tok

Clear[CF,cashflow];
cashflow=Array[(Subscript[CF, #])&,4,0]

Grafické znázornění peněžního toku

(* cf in the form  {(Subscript[time, 1]),(Subscript[c, 1])},{(Subscript[time, 2]),(Subscript[c, 2])},…} *)
Clear[cashFlowDiagram];
cashFlowDiagram[cf_,plotlabel_:"Cash flow"]:=
	Module[{PVprofile,tmin,tmax,cfmin,cfmax},
tmin=Min[cf//Transpose//First];
tmax=Max[cf//Transpose//First];
cfmin=Min[cf//Transpose//Last];
cfmax=Max[cf//Transpose//Last];
PVprofile=Plot[0,{x,tmin,tmax},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Thin,Black},PlotRange->{Min[cfmin,0],Max[cfmax,0]}, Axes->True,AxesLabel->{"t","CF"},LabelStyle->Directive[Italic],PlotLabel->plotlabel ];
Show[PVprofile,
Map[Graphics[{Thick,If[#[[2]]<0,Red,Black],Arrow[{{#[[1]],0},{#[[1]],#[[2]]}}]}]&,cf]]]

cashFlowDiagram[{{2,100},{5,200},{7.5,-200},{10,500}}]

Konstatní úroková míra

?*alue

Clear[i,T];
(* Současná hodnota *)
TimeValue[Cashflow[cashflow],i,0]

(* Budoucí hodnota *)
Length[cashflow]-1
TimeValue[Cashflow[cashflow],i,Length[cashflow]-1]

Proměnné úrokové míry

Clear[i];
ii=Array[(Subscript[i, #])&,Length[cashflow]-1]

(* Současná hodnota *)
TimeValue[Cashflow[cashflow],ii,0]

(* Budoucí hodnota *)
TimeValue[Cashflow[cashflow],ii,Length[cashflow]-1]

Okamžité (spotové) úrokové míry

Clear[R];
RR=Thread[Range[Length[cashflow]-1]->Array[(Subscript[R, #])&,Length[cashflow]-1]]

(* Současná hodnota *)
TimeValue[Cashflow[cashflow],RR,0]

(**)(* Budoucí hodnota *)
TimeValue[Cashflow[cashflow],RR,Length[cashflow]-1]//TraditionalForm

Průměrná úroková míra

Clear[i];
ii=Array[(Subscript[i, #])&,5]

Text@Grid[{{"Aritmetický průměr",(aritmetickyprumer=Mean[ii])//TraditionalForm},{"Geometrický průměr",(geometrickyprumer=GeometricMean[1+ii]-1)//TraditionalForm}},Frame->All]

!Průměrná úroková míra: Ukázka nesmyslnosti aritmetického průměru

We have already seen that the only correct average of the interest rates over several periods is  the geometric mean. Here we give a brutal example showing that the arithmetic mean may lead to a nonsense.

Suppose the price development in times 0,1,2 is (Subscript[P, 0])=100,(Subscript[P, 1])=50,(Subscript[P, 2])=100. Then, according to the definition of  returns (Subscript[R, t]), (Subscript[R, 1])=((Subscript[P, 1])-(Subscript[P, 0]))/(Subscript[P, 0])=-1/2, (Subscript[R, 2])=((Subscript[P, 2])-(Subscript[P, 1]))/(Subscript[P, 1])=1. The arithmetic mean (Subscript[(OverBar[R]), A])=((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2]))/2=1/4 or 25 per cent and the geometric mean calculated from (((1+(Subscript[(OverBar[R]), G])))^2)=(1+(Subscript[R, 1]))(1+(Subscript[R, 2])) is (Subscript[(OverBar[R]), G])=0 which sounds more realistic.

Numerické porovnání

Text@Grid[{{"Úrokové míry","Aritmetický průměr","Geometrický průměr"},{ii1={0.05,0.05,0.05,0.05,0.05},aritmetickyprumer/.Thread[ii->ii1],geometrickyprumer/.Thread[ii->ii1]},{ii2={0.05,0.09,0.01,0.09,0.01},aritmetickyprumer/.Thread[ii->ii2],geometrickyprumer/.Thread[ii->ii2]},{ii3={0.1,0.2,0.15,0.2,0.15},aritmetickyprumer/.Thread[ii->ii3],geometrickyprumer/.Thread[ii->ii3]}},Frame->All]

Taylorův rozvoj funkce ln

ln (((1+(OverBar[(Subscript[i, g])])))^T)=(∑_(t=1)^T)ln (1+(Subscript[i, t]))≐(∑_(t=1)^T)(Subscript[i, t]):

Využití zabudované funkce Series;

Plot[{Log[1+x],Table[Normal[Series[Log[1+x],{x,0,n}]],{n,3}]}//Flatten//Evaluate,{x,-0.03,0.2},PlotStyle->Thick,PlotLegends->SwatchLegend["Expressions",LegendFunction->(Framed[#,Background->LightBlue]&)]]

Kalendářní konvence

Vysvětlivky (bez záruky):

https://en.wikipedia.org/wiki/Day_count_convention

F1 ... nápověda při poklepnutí na příslušnou funkci

(* Rozdíl mezi dvěma daty, dle volby ve dnech, týdnech, rocích, ... *)DateDifference

DayCountConvention (* Day count basis *)

(* Kalendář Actual/Actual je implicitní *)DateDifference[{2004,1,1},{2016,2,24},"Year"]

Ukázka pro různé konvence:

Text@Grid[Table[{i,Map[DateDifference[{2008,1,29},{2016,3,31},#,DayCountConvention->i]&, {"Day","Year"}]},{i, {"ActualActual","Thirty360US","Thirty360","ThirtyE360","ThirtyE360ISDA","ThirtyEPlus360","Actual365","Actual360","Actual365L","ActualActualISDA","ActualActualICMA"}}],Frame->All]

ISDA = International Swaps and Derivatives Association, Inc.
ICMA = International Capital Market Association

**Dluhopisy (bonds)

Detailně budeme probírat později. Zde jenom upozornění na kalendářní konvence.

U funkce FinancialBond (obligace) jsou s ohledem na kalendáře užívané u tohoto finančního instrumentu jiné názvy a mírné modifikace kalendářových konvencí. Používají se s volbou DayCountBasis. Kalendář Actual/Actual je opět implicitní:

dayCountBasis={"30/360","30E/360","30E/360German","30E+/360","ActualICMA","ActualISDA","Actual/365","Actual/360","Actual/365L","ActualAFB"}

FinancialBond

Příklad

Současná hodnota při složeném úročení, různé kalendářové konvence. Peněžní tok ve tvaru {{(Subscript[t, 1]),C,(Subscript[F, (Subscript[t, 1])])},{(Subscript[t, 2]),C,(Subscript[F, (Subscript[t, 2])])},...}, přičemž (Subscript[t, j]) je vyjádřeno v rocích. Nejdříve vytvoříme penežní tok, kde data (datumy) budou kalendářní:

cashFlowJH1=1000{-90,-15.2,45,60,25,22,27};
datescashFlowActualActualJH1=Table[{2018+j,1+j,3+2j},{j,1,7}];
(exampleActualActualJH1=Transpose[{datescashFlowActualActualJH1,cashFlowJH1}])//Dataset

DateListPlot[exampleActualActualJH1]

Dále pro účely grafického znázornění transformujeme časové okamžiky plateb na roky:

Text@Row@{"Okamžiky plateb v rocích:  "   ,yearscashFlowActualActualJH1=Map[DateDifference[{2019,2,5},#,"Year",DayCountConvention->"ActualActual"]&,datescashFlowActualActualJH1]/.Quantity[x_,y_]->x}

cashFlowDiagram[{yearscashFlowActualActualJH1,cashFlowJH1}//Transpose]

Současná hodnota, kalendář Actual/Actual ke dni 2019-02-05 v závislosti na ú. m. i

(pvcashFlowActualActualJH1=TimeValue[Cashflow[exampleActualActualJH1],i,{2019,2,5}])

Profil současné hodnoty Actual/Actual ke dni 2019-02-05

Plot[pvcashFlowActualActualJH1,{i,0,0.3}, PlotLabel->"Profil současné hodnoty Actual/Actual",AxesLabel->{"Interest rate","PV"}]

Současná hodnota, kalendář  “Actual/360” ke dni 2019-02-05

Nejprve vyjádříme okamžiky plateb v rocích:

yearscashFlowActual360JH1=Map[DateDifference[{2019,2,5},#,"Year",DayCountConvention->"Actual360"]&,datescashFlowActualActualJH1]/.Quantity[x_,y_]->x

(exampleActual360JH1=Transpose[{yearscashFlowActual360JH1,cashFlowJH1}])//Dataset

Současná hodnota, kalendář Actual/360 ke dni 2019-02-05

pvcashFlowActual360JH1=TimeValue[Cashflow[exampleActual360JH1],i,0]

Profil současné hodnoty Actual/360 ke dni 2019-02-05

Plot[pvcashFlowActual360JH1,{i,0,0.3}, PlotLabel->"Profil současné hodnoty Actual/360",AxesLabel->{"Interest rate","PV"}]

Rozdíl mezi profily současné hodnoty pro oba kalendáře:

Plot[pvcashFlowActual360JH1-pvcashFlowActualActualJH1,{i,0,0.3}, PlotLabel->"Rozdíl současných hodnot při kalendářích Actual/360 a Actual/Actual",PlotTheme->"Business"]

***Příklad

Současná hodnota při složeném úročení, kalendářová konvence Actual/360. Peněžní tok ve tvaru {{(Subscript[t, 1]),C,(Subscript[F, (Subscript[t, 1])])},{(Subscript[t, 2]),C,(Subscript[F, (Subscript[t, 2])])},...}, přičemž (Subscript[t, j])={(Subscript[YYYY, j]),(Subscript[MM, j]),(Subscript[DD, j])}.

{DateList[],t0=DateList[][[1;;3]]}

{DateDifference[{2016,3,4},{2014,3,4}],DateDifference[DateList[][[1;;3]],{2014,3,4}]}

Clear[PV360];
PV360[cashflow_,t0_,i_]:=
Module[{v=(1/(1+i)),daysbetween,cashflowtranspose=Transpose[cashflow]},
daysbetween=Map[DateDifference[t0,#][[1]]&,cashflowtranspose[[1]]]//N;
cashflowtranspose[[2]].(v^(daysbetween/360))
	   ]

cfjh1=1000{-90,-15.2,45,60,25,22,27};
t1=Table[{2014+j,1,3},{j,1,7}];
example1=Transpose[{t1,cfjh1}]

yearsbetween1=Map[DateDifference[t0,#][[1]]&,t1]/360.//FullForm
yearsbetween1

cashFlowDiagram[{yearsbetween1,cfjh1}//Transpose]

PV360[example1,t0,i]//Simplify[#,Assumptions->{i>0}]&

TimeValue[Cashflow[example1],i,t0]

Profil současné hodnoty

Plot[pv1=PV360[example1,{2015,1,3},i],{i,0,0.25},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Thick]

Plot[tv1=TimeValue[Cashflow[example1],i,{2015,1,3}],{i,0,0.25},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Thick]

Rozdíl

Plot[pv1-tv1,{i,0,0.25},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Thick]

Současná hodnota při složeném denním úročení, kalendářová konvence Actual/360. Peněžní tok ve tvaru {{(Subscript[t, 1]),C,(Subscript[F, (Subscript[t, 1])])},{(Subscript[t, 2]),C,(Subscript[F, (Subscript[t, 2])])},...}, přičemž (Subscript[t, j])={(Subscript[YYYY, j]),(Subscript[MM, j]),(Subscript[DD, j])}.

Clear[PV360daily];
PV360daily[cashflow_,t0_,i360_]:=
Module[{v=(1/(1+(i360/360))),daysbetween,cashflowtranspose=Transpose[cashflow]},
daysbetween=Map[DateDifference[t0,#][[1]]&,cashflowtranspose[[1]]]//N;
cashflowtranspose[[2]].(v^daysbetween)
	   ]

PV360daily[example1,t0,i]//Simplify[#,Assumptions->{i>0}]&

Plot[pv1daily=PV360daily[example1,t0,i],{i,0,0.25},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Thick]

Rozdíl

Plot[pv1-pv1daily,{i,0,0.25},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Thick]

(* cf in the form  {(Subscript[time, 1]),(Subscript[c, 1])},{(Subscript[time, 2]),(Subscript[c, 2])},…} *)
Clear[cashFlowDiagram];
cashFlowDiagram[cf_,plotlabel_:"Cash flow"]:=
	Module[{PVprofile,tmin,tmax,cfmin,cfmax},
tmin=Min[cf//Transpose//First];
tmax=Max[cf//Transpose//First];
cfmin=Min[cf//Transpose//Last];
cfmax=Max[cf//Transpose//Last];
PVprofile=Plot[0,{x,tmin,tmax},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Thin,Black},PlotRange->{Min[cfmin,0],Max[cfmax,0]}, Axes->True,AxesLabel->{"t","CF"},LabelStyle->Directive[Italic],PlotLabel->plotlabel ];
Show[PVprofile,
Map[Graphics[{Thick,If[#[[2]]<0,Red,Black],Arrow[{{#[[1]],0},{#[[1]],#[[2]]}}]}]&,cf]]]

Anuity

Anuita polhůtní (dekurzivní, annuity immediate, in arrears)

cashFlowDiagram[{{1,1},{2,1},{3,1},{4,1},{5,1}},"Anuita polhůtní"]

PV

Clear[T,i,PMT,v]
(* polhůtní ve výši 1 a PMT *)
{aT=TimeValue[Annuity[1,T,1],i]//Simplify,
aT=TimeValue[Annuity[PMT,T,1],i]//Simplify}

Anuita předlhůtní (anticipativní, annuity due, in advance)

cashFlowDiagram[{{0,1},{1,1},{2,1},{3,1},{4,1},{5,0}},"Anuita předlhůtní"]

PV

Clear[T,i,PMT,v]
(* předlhůtní ve výši 1 a PMT *)
{aTdue=TimeValue[AnnuityDue[1,T,1],i]//Simplify,
aTdue=TimeValue[AnnuityDue[PMT,T,1],i]//Simplify}

Pomocí diskontních faktorů:

Clear[T,i,PMT,v]
(* polhůtní *)
Assuming[v>0,aT/.{i->((1-v)/v)}//Simplify]//TraditionalForm

Clear[T,i,PMT,v]
(* předlhůtní*)
Assuming[v>0,aTdue/.{i->((1-v)/v)}//Simplify]//TraditionalForm

1.1.3 Hodnotová rovnice

Hodnotová rovnice (Equation of Value)

Vyjadřuje závislost mezi  PMT,PV,FV,T,i:

Clear[PMT,PV,FV,T,i]
(* Anuita polhůtní *)
eq=TimeValue[Annuity[{PMT,{PV,FV}},T],i,0]==0//Simplify
(* Anuita předlhůtní *)
eqDue=TimeValue[AnnuityDue[{PMT,{PV,FV}},T],i,0]==0//Simplify

Jsou-li 4 z 5 proměnných známé, je možné neznámou dopočítat:

Grid[Map[Flatten,Map[{#,#/.Solve[eq,#]}&,{PMT,PV,FV,T,i}]//Simplify],Frame->All]//TraditionalForm//Quiet

Pro neznámé i nutné řešit numericky pro konkrétní numerické hodnoty (FindRoot). Analogicky pro předlhůtní anuity.

Současné hodnoty anuit

r... úroková míra, T... počet období

Clear[aImmediate,aDue]
(* Polhůtní: *)
aImmediate[r_,T_]=(∑_(t=1)^T)(1/(((1+r))^t))//Simplify
(* Předlhůtní: *)
aDue[r_,T_]=(∑_(t=0)^(T-1))(1/(((1+r))^t))//Simplify

alternativně

{TimeValue[Annuity[1,T],r,0],TimeValue[AnnuityDue[1,T],r,0]}

1.1.10 Příklad (Pravidelné úložky, FV = ?, Kolik naspoříme?)

Měsíční úložky, úročení měsíční, (i^((12)))=0.036 (samozřejmě p.a.), doba spoření 3 roky. Aplikuje se ú. m. (i^((12)))/12.

iPMT=-5000;iT=3 12;r=(0.036/12);iPV=0;
Row[{"Naspořená částka = ",SolveValues[iPV+iPMT aDue[r,iT]+(iFV/(((1+r))^iT))==0,iFV][[1]]}]

3 roční úložky, úročení roční, i=0.036 (samozřejmě p.a.), doba spoření 3 roky.

iPMT=-60000;iT=3;r=0.036;iPV=0;
Row[{"Naspořená částka = ",SolveValues[iPV+iPMT aDue[r,iT]+(iFV/(((1+r))^iT))==0,iFV][[1]]}]

1.1.11 Příklad (Půjčka, PV = ?, Kolik si můžeme půjčit?)

Clear[iPV]
(* 36 splátek po 5000 *)
(* Půjčka musí být splacena ⇒ *)iFV=0; iPMT=-5000;r=(0.072/12);iT=3 12;
Row[{"Můžeme si půjčit ",SolveValues[iPV+iPMT aImmediate[r,iT]+(iFV/(((1+r))^iT))==0,iPV][[1]]}]

(* 3 splátky po 60000 *)
(* Půjčka musí být splacena ⇒ *)iFV=0; iPMT=-60000;r=0.072;iT=3;
Row[{"Můžeme si půjčit ",SolveValues[iPV+iPMT aImmediate[r,iT]+(iFV/(((1+r))^iT))==0,iPV][[1]]}]

1.1.12 Pravidlo zdvojení, dvojnásobku (The Doubling Rule)

Zdvojení vkladu ve výši 1 za dobu T při úrokové míře i:

TimeValue[1,i,T]/.{i->.04,T->18}
Row@{"Vklad ve výši PV: ",TimeValue[PV,i,T]/.{i->.04,T->18}}

Clear[T,i]; Off[Solve::ifun];
time=T/.Solve[TimeValue[1,i,T]==2,T][[1]]
On[Solve::ifun];
Text@Grid[Prepend[Table[{i,time},{i,{0.02,0.04,0.0717735,0.1040895}}],{"i","T"}],Frame->All]

Při ú. m. 7% p.a. se vklad zdvojnásobí za 10 let, při ú. m. 10% se zdvojnásobí za 7 let.

Příklad (Karel IV. Jak se zúročí jedna koruna uložená v roce 1348 na 4% p. a. ?)

Historická poznámka. Jest vzato za historický fakt, že Universita Karlova byla založena nadační listinou Karla IV. ze dne 7. dubna 1348. A to přesto, že již  zakládající listinou papeže (bulou) Klementa VI. (mj. svého času opatem kláštera benediktinů ve Fécamp v Normandii) potvrzenou v Avignonu 26. ledna 1347 byla založena Pražská univerzita.

Překvapivé výsledky dostaneme v případě, že se začneme zajímat o to, kdy v onom inkriminovaném roce 1348 byla ta jedna koruna uložena, na začátku roku, v okamžiku založení, na konci roku.

Date[]

(t1=Map[{DateString[#,{"DayName", "    ","Day",". ","Month",". ","Year"}],TimeValue[1,0.04,{Date[][[1;;3]],#}]}&,{{1348,1,1},{1348,4,7},{1348,12,31}}])//TableForm
Grid[{{"Rozdíly v datech úložky ","         "},
{"Leden - Duben    ",t1[[1,2]]-t1[[2,2]] },{"Duben - Prosinec ",t1[[2,2]]-t1[[3,2]]},{"Leden - Prosinec ",t1[[1,2]]-t1[[3,2]]},
{"Kdo otálel a místo na začátku roku uložil až na konci roku přišel o více než 10 miliard Kč!"}}]

1.1.13 Cvičení

Jedná se o dřívější finanční produkt jedné české banky honosně nazvaný “Private Account Saving Plan”. V následující tabulce jsou uvedeny úrokové míry připisované pro příští měsíc závislé na zůstatku na účtu na konci měsíce (částky v tis. CZK):

({{"Částka na účtu", "<50", "<100", "<250", "<500", ">=500"}, {"Úr. míra (% p.a.)", 2.5`, 0.3`, 0.4`, 0.5`, 0.6`}})

Měsíční poplatek je CZK 188. Úrok je připisován k účtu každý měsíc, takže jeho výše se může měnit podle uvedeného schematu. Úrok podléhá srážkové dani 15%. Z podmínek není jasné, zda se celý zůstatek mezi 50000 a 99000 úročí jenom 0.3% p.a. nebo do 49000 2.5% a zbytek do 99000 0.3%.

Analyzujte výhodnost (profitabilitu) tohoto produktu v obou případech.

(* Source:
Grid[{{"Částka na účtu","<50","<100","<250","<500",">=500"},{"Úr. míra (% p.a.)",2.5,0.3,0.4,0.5,0.6}},Frame->All]
*)

Konec 2023-02-17

2023-02-24 Lekce 2

Pomocný materiál v PDF, str. 9, odst. 1.1.4 a dále:

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230217_Basics_Of_Fin_Mat_marked.pdf

Na str. 11 tohoto materiálu je na 8. řádku nad 1.1.15 Remark chyba:  v příslušné rovnici poslední člen |(Subscript[A, T])|(e^(-δ,t)) má být |(Subscript[A, T])|(e^(-δ(T-k))).

Vynechat:  
1.1.20 Remark, 1.1.21 Example, 1.1.24 Example, 1.1.25 Example, 1.1.26 Example, 1.1.29 Example

FAQ

Q1

A1

Základy finanční matematiky 2

**Cash Flow Diagram

(* cf in the form  {(Subscript[time, 1]),(Subscript[c, 1])},{(Subscript[time, 2]),(Subscript[c, 2])},…} *)
Clear[cashFlowDiagram];
cashFlowDiagram[cf_,plotlabel_:"Cash flow"]:=
	Module[{PVprofile,tmin,tmax,cfmin,cfmax},
tmin=Min[cf//Transpose//First];
tmax=Max[cf//Transpose//First];
cfmin=Min[cf//Transpose//Last];
cfmax=Max[cf//Transpose//Last];
PVprofile=Plot[0,{x,tmin,tmax},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Thin,Black},PlotRange->{Min[cfmin,0],Max[cfmax,0]}, Axes->True,AxesLabel->{"t","CF"},LabelStyle->Directive[Italic],PlotLabel->plotlabel ];
Show[PVprofile,
Map[Graphics[{Thick,If[#[[2]]<0,Red,Black],Arrow[{{#[[1]],0},{#[[1]],#[[2]]}}]}]&,cf]]]

1.1.4 Vnitřní míry výnosnosti (IRR)

Příklad

(* T=6, platby jsou v ekvidistantních časech t=0,1,...,6 *)

cfjh1={-90000,-15200,45000,60000,25000,22000,27000};
cashFlowDiagram[{Range[Length[cfjh1]]-1,cfjh1}//Transpose,"CASH FLOW cfjh1"]

Clear[i]
pvcfjh1=TimeValue[Cashflow[cfjh1],i,0]
Plot[pvcfjh1,{i,0,.30},PlotLabel->"Profil PV",PlotRange->All]

Vnitřní výnosová procenta (= Vnitřní míry výnosnosti, IRR) peněžního toku cfjh1

(* Všechna IRR *)
NSolveValues[pvcfjh1==0,i]

(* Všechna reálná IRR *)
NSolveValues[pvcfjh1==0,i,Reals]

(* Všechna kladná IRR *)
irrcfjh1Positive=Select[NSolveValues[pvcfjh1==0,i],Re[#]>0&][[1]]

Funkce Solve (přesné) a NSolve (přibližné, numerické) jsou funkce, které vrátí všechny kořeny algebraické rovnice nebo rovnice, která se dá na algebraickou převést. To je výše uvedený případ, současná hodnota je polynom proměnné v=1/(1+i), diskontním faktoru.

V případě, že tomu tak není, musíme použít funkci FindRoot. Použijeme výše uvedený peněžní tok, ale opatříme jej konkrétními daty (kalendář 30/360).

Today[[1]]

DateDifference[{2008,1,31},{2009,2,28},DayCountConvention->"Thirty360"]

datescfjh1=Table[DayPlus[Today,250 j, "BusinessDay"][[1]],{j,0,Length[cfjh1]-1}]
datescfjh1inyears=Map[DateDifference[Today[[1]],#,"Year",DayCountConvention->"Thirty360"][[1]]&,datescfjh1]

cfjh1withdates=Cashflow[Transpose[{datescfjh1inyears,cfjh1}]]
DateListPlot[Transpose[{datescfjh1,cfjh1}]]
(* cashFlowDiagram[Transpose[{datescfjh1,cfjh1}]] *)

Clear[i]
pvcfjh1withdates=TimeValue[cfjh1withdates,i,0]
Plot[%,{i,0,0.2},PlotStyle->Thick,PlotLabel->Style[Framed["   PV cfjh1   "],18,Blue,Background->Lighter[Yellow]],AxesLabel->{"i","PV"},AxesStyle->Directive[Orange,12]]

Tady již NSolve nefunguje. Až Vám po aktivaci následující buňky dojde trpělivost, tak Menu ⟶ Evaluation ⟶ Abort Evaluation. Případně brutálnější Quit Kernel ⟶ Local. Pozor!!! Tím se ale vynulují vstupní hodnoty v celém notesu, nutné tedy potřebné buňky znovu aktivovat.

NSolve[pvcfjh1withdates==0,i]

FindRoot žádá počáteční odhad. V našem případě je to jedno, můžeme použít metodu střelby, v jednorozměrném případě se inspirujeme grafem, horší je to ve více rozměrech. Tam je pak asi lepší použít optimalizační procedury jako NMinimize. Najít kořeny rovnice f((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, n]))=0 je např. ekvivalentní nalezení argumentu minima funkce (f^2)((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, n])). Pozor však na numerickou stabilitu!

FindRoot[pvcfjh1withdates,{i,0}]

**Vlastní realizace funkce PV a ilustrace

PV je skalární součin vektoru peněžního toku C,F a vektoru diskontních faktorů v, v Mathematice C,F.v. (Tečka je operátor skalárního resp. maticového součinu.)

(* Vektor diskontních faktorů *)
(1/(((1+i))^(Range[Length[cfjh1]]-1)))

Clear[pv]
pv[cashflow_,i_]:=(1/(((1+i))^(Range[Length[cashflow]]-1))).cashflow

Clear[cf1,cf2,cf3,i]
pv[{cf1,cf2,cf3},i]

Plot[pv[cfjh1,i],{i,0,0.2},AxesLabel->{"i","PV"} , PlotLabel->"PV profile cfjh1"]

Solve[pv[cfjh1,i]==0,i]//N

Solve[pv[cfjh1,i]==0,i,Reals]//N
i/.%
Select[%,#>0&]//First

Příklad nereálného peněžního toku

(* PV *)
Plot[TimeValue[Cashflow[{-1000,3600,-4310,1716}],i]//Evaluate,{i,.0,.34},AxesLabel->{i,PV},PlotStyle->Thick,PlotRange->All]

(* Současná hodnota při nulové úr. míře je jednoduše součet všech položek peněžního toku: *)
Total[{-1000,3600,-4310,1716}]

Vnitřní míry výnosnosti

i/.Solve[TimeValue[Cashflow[{-1000,3600,-4310,1716}],i]==0,i]

Cvičení. Zkuste totéž spočítat v EXCELu, odpovídající funkce MÍRA.VÝNOSNOSTI.

Příklad (dluhopis, bond)

Dluhopis splatný za 10 let zakoupen v čase 0 za 11, nominále 10, roční kupón 10%.

cfbond={Range[11]-1,{-11,Table[1,{9}],11}//Flatten}//Transpose
cashFlowDiagram[cfbond,"Příklad diskontního dluhopisu"]

Plot[TimeValue[Cashflow[cfbond],i]//Evaluate,{i,0.04,0.16},PlotLabel->"Profil současné hodnoty",AxesLabel->{i,PV}]
Row@{"Vnitřní výnosová procenta:\n  ",vnitrnivynosovaprocenta=i/.NSolve[TimeValue[Cashflow[cfbond],i]==0,i]}
Row@{"Kladná vnitřní výnosová procenta:  ",kladna=Select[vnitrnivynosovaprocenta,(Re[#]>0∧Im[#]==0)&]//First}

V případě dluhopisů se odpovídající IRR nazývá výnos do splatnosti (YTM, Yield To Maturity)

1.1.15 RPSN

Roční procentní sazba nákladů.

V České republice je v případě spotřebních úvěrů, půjček, leasingu aj. povinné ze zákona uvádět charakteristiku odpovídajícího finančního produktu, která se nazývá roční procentní sazba nákladů, zkráceně RPSN. RPSN není nic jiného, než vnitřní výnosové procento peněžního toku vztahujícího se ke všem platbám, které s příslušným finančním produktem souvisí. Poskytovatel spotřebního úvěru obvykle uvede roční úrokovou sazbu, ale neuvede poplatek za sjednání smlouvy a typicky měsíční poplatky z této smlouvy plynoucí.

1.1.16 Příklad (Splátkový prodej)

Některé obchody nabízejí následující produkt. Zakoupíte u nás výrobek, teď zaplatíte 10% z ceny c a pak po dalších 10 měsíců každý měsíc také 10% z ceny. Jaká je RPSN? (Neuvažujeme pro jednoduchost žádné další poplatky.) V tomto případě se vlastně jedná o vnitřní výnosové procento (to znamená, že RPSN=IRR peněžního toku).

Formalizace:

Clear[c]
cfRPSN={c-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c,-0.1c};

kde c je cena zboží. První položka výše uvedeného peněžního toku c-0.1c znamená, že náš okamžitý příjem je zboží v ceně c a okamžitě zaplatíme 1. splátku ve výši 0.1c. Následuje 10 splátek ve výši 0.1c. Zřejmě IRR tohoto toku nezávisí na c a ekvivalentní peněžní tok je {100-10,-10,...,-10}.

Okamžiky plateb (v rocích) a konkrétní peněžní tok jsou:

timesRPSN=(1/12)(Range[11]-1)
cfRPSN100=cfRPSN/.c->100

cashflowRPSN=Transpose[{timesRPSN,cfRPSN100}]

cashFlowDiagram[cashflowRPSN=Transpose[{timesRPSN,cfRPSN100}],"Peněžní tok splátkového prodeje"]

Plot[TimeValue[Cashflow[cashflowRPSN]//Evaluate,i,0],{i,0,0.35}, PlotLabel->"Profil současné hodnoty splátkového prodeje",AxesLabel->{"i","PV"}]

Odpovídající IRR=1.963% měsíčně, takže roční efektivní IRR=(((1+0.01963))^12)-1=0.262732, neboli 26.27% p. a., což vypadá na první pohled neuvěřitelně (zaplatíme celkem ”jenom” 110% ), ale je tomu tak:

NSolveValues[TimeValue[Cashflow[cashflowRPSN],i,0]==0,i,Reals][[1]]

Závěr: Pokud Vám tedy někdo půjčí za úrok menší než 26.27% p.a., pak je to výhodnější než přistoupit na splátkový prodej.

Modifikované vnitřní míry výnosnosti (MIRR, Modified Internal Rates of Return)

1.1.27 !!!Příklad

V závěru myšlenky využitelné v investičních strategiích zde.

Nejprve pomocné funkce pro manipulaci s peněžním tokem. Viz též vlastní definici současné hodnoty.

cf={-1000,-4000,5000,2000};
(* Peněžní tok výdajů: kladné položky nahradíme nulami. *)
cfvvydaje=cf/.{_?(#>0&)->0}
(* Peněžní tok příjmů: záporné položky nahradíme nulami. *)
cfvprijmy=cf/.{_?(#<0&)->0}

Současná hodnota výdajů při ceně kapitálu k

Clear[pv];
pv[cashflow_,i_]:=(1/(((1+i))^(Range[Length[cashflow]]-1))).cashflow

Clear[PVoutflows];
PVoutflows[CF_,k_]:=(CF/.{_?(#>0&)->0}). (1/(((1+k))^(Range[Length[CF]]-1)))
PVoutflows[cf,k]

Budoucí hodnota příjmů při ceně kapitálu k

Clear[FVinflows];
FVinflows[CF_,k_]:=(CF/.{_?(#<0&)->0}).Reverse[(((1+k))^(Range[Length[CF]]-1))]
FVinflows[cf,k]

Současná hodnota budoucí hodnoty příjmů při MIRR

Plot[pv[cf,i],{i,0,0.3}]

PVFV[CF_,k_,MIRR_]:=(1/(((1+MIRR))^(Length[CF]-1)))FVinflows[CF,k]
PVFV[cf,k,MIRR]

Výpočet MIRRi

Clear[MIRRi];
MIRRi[CF_,k_]:=(((-((FVinflows[CF,k])/(PVoutflows[CF,k]))))^(1/(Length[CF]-1)))-1
MIRRi[cf,0.11]

Pro srovnání IRR a MIRRi při ceně kapitálu rovné IRR

{IRRcf=Select[IRR/.NSolve[TimeValue[Cashflow[cf],IRR]==0,IRR],(Re[#]>0∧Im[#]==0)&]//First,MIRRi[cf,IRRcf]}

!!!Závěry pro investiční rozhodování:

Vidíme, že je-li vypočtené IRR vyšší než skutečná reinvestiční úroková míra, pak IRR (někdy podstatně) přecení očekávanou míru výnosnosti projektu.
Jak již bylo konstatováno, IRR předpokladá stejný diskont jak pro kladné, tak i záporné peněžní toky. MIRR pracuje s odlišnými ú.m. pro příjmy a výdaje. Proto je možné vzít v úvahu vnější faktory (external factors) jako je např. inflace, směnný kurs, aj.  Pro vstupy výpočtu MIRR je tedy možné využít poznatky z konstrukce a dekompozice úrokových měr, výnosových křivech, fundamentálních poznatků atd. MIRR můžeme považovat jako konzervativnější ale realističnější ve srovnání s IRR.

Výpočet MIRRii (odlišné ú. m. pro příjmy k,I a výdaje k,O)

Clear[MIRRii];
MIRRii[CF_,kI_,kO_]:=(((-((FVinflows[CF,kI])/(PVoutflows[CF,kO]))))^(1/(Length[CF]-1)))-1
MIRRii[cf,kI,kO]//Simplify
MIRRii[cf,0.12,0.10]

Plot3D[MIRRii[cf,kI,kO],{kI,0.05,0.30},{kO,0.05,0.30}]

(* Citlivost, derivace podle kI *)D[MIRRii[cf,kI,kO],kI]//Simplify

Modifikované vnitřní míry výnosnosti (MIRR, Modified Internal Rates of Return)

Konec 2023-02-24

2023-03-03 Lekce 3

Pomocný materiál v PDF, str. 16, odst. 1.1.5 a dále:

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230217_Basics_Of_Fin_Mat_marked.pdf

FAQ

Q1

A1

Základy finanční matematiky 3

1.1.6 Vnitřní hodnota peněžního toku (Internal Value, HIV)

Poznámka: LIBOR scandal

LIBOR scandal:
https://en.wikipedia.org/wiki/Libor_scandal

Poznámka: LIBOR scandal

FinancialData["EUR/CZK",DatePlus[DateList[],-1]]//Normal//First

GraphicsRow@{DateListPlot[FinancialData["EUR/CZK",{2022,6,1}],PlotLabel->"EUR/CZK",PlotStyle->{Thick}],DateListPlot[FinancialData["EUR/CZK",{2023,2,10}],PlotLabel->"EUR/CZK",PlotStyle->{Thick,Red}]}

Zvláštní význam má HIV při hodnocení swapů. Pro základní orientaci si projděte odstavec Swap (Theory).

***Příklad 2022

iFXUSDCZKnew=FinancialData["USD/CZK",{{2022,2,4},{2022,3,1}},Method->"Legacy"];
iFXUSDCZKold=FinancialData["USD/CZK",{{2021,12,1},{2022,2,3}},Method->"Legacy"];
GraphicsRow@{DateListPlot[iFXUSDCZKold,PlotLabel->"USD/CZK from 2021-12-01 to 2022-02-03",PlotStyle->Thick,ImageSize->{All,Automatic},PlotRange->{21.1,22.7}],DateListPlot[iFXUSDCZKnew,PlotLabel->"USD/CZK from 2022-02-04 to 2022-03-01",PlotStyle->{Thick,Red},ImageSize->{All,Automatic},PlotRange->{21.1,22.7}]}

(* Do not activate unless the above cells are activated!!! *)
(* iiFX=iFXUSDCZKfrom20220204to20220301=iFXUSDCZKnew *)

iiFX={{{2022,2,4},21.38612171445921`},{{2022,2,7},21.237987050336717`},{{2022,2,8},21.16595409218921`},{{2022,2,9},21.219618788202027`},{{2022,2,10},21.246832471383094`},{{2022,2,11},21.345898713411508`},{{2022,2,14},21.4124115917419`},{{2022,2,15},21.666827101620544`},{{2022,2,16},21.539003756872173`},{{2022,2,17},21.364976063881436`},{{2022,2,18},21.437062660626964`},{{2022,2,21},21.42011579538448`},{{2022,2,22},21.43817034848957`},{{2022,2,23},21.577056490500357`},{{2022,2,24},21.611634669597002`},{{2022,2,25},22.30203131044182`},{{2022,2,28},22.135994359530457`},{{2022,3,1},22.322834532389656`}};

Použijeme ilustraci inspirovanou případem uvedeným v detailech zde. Zatím nebádejte nad motivací pro uzavření takového kontraktu (to je rozebráno v detailech), všimněte si jenom početních záležitostí. Dne 2022-02-04 si vypůjčíme USD 1000. Podle aktuálního kursu směníme za CZK, tj. USD 1 = CZK 21.3861. V onen den budeme optimisticky předpokládat, že CZK bude i nadále posilovat (Viz výše uvedený graf vlevo), směníme tedy celou částku. Úrok splácený denně je 4.5,% p.a. ze zapůjčené částky USD 1000. Očekávaný denní výnos je 5 % p.a. ze zapůjčené částky  CZK 21386.10. (Obojí nutné přepočítat na denní bázi.)  Dluh je splatný 2022-03-01 v USD.

Je-li (Subscript[FX, t])=(Subscript[(USD/CZK), t]) směnný kurs v čase t, pak je odpovídající peněžní tok v CZK: (Subscript[CF, 0])=21386.10, (Subscript[CF, t])=(Subscript[CF, 0])×(0.050/365)-1000 ,(0.045/365)(Subscript[FX, t]),t=1,...,16, (Subscript[CF, 17])=(Subscript[CF, 0])×(0.050/365)-1000 ,(0.045/365)(Subscript[FX, 17])-1000(Subscript[FX, 17]).

Zdůrazněme, že v okamžiku vstupu do projektu je jediná jistá položka (Subscript[CF, 0]) a ú.m. půjčky. Ostatní položky jsou nejisté.

V dalším budeme považovat (Subscript[FX, t]), t=2,...,17 za konstantní neznámou rovnou FX.

Row@{"Denní ú.m.: ", iDaily=.045/365,"   Očekávaný denní míra výnosnosti: ",eIncomeDaily=0.05/365}

(RowDefault["Denní ú.m.: ", 0.0001232876712328767`, "   Očekávaná denní míra výnosnosti: ", 0.00013698630136986303`])

Clear[FX]
loan=1000;dates=iiFX[[All,1]];cf0=iiFX[[1,2]]×loan;
incomeRate=0.05/365;outcomeRate=0.045/365;
cfCZK={loan×iiFX[[1,2]],Table[cf0×incomeRate-loan×outcomeRate×FX,{Length[dates]-2}],cf0×incomeRate-loan×outcomeRate×FX-loan×FX}//Flatten

Současná hodnota tohoto peněžního toku při hodnotící ú.m. r k počátku projektu je

Clear[r]
pvcfCZK=TimeValue[Cashflow[{dates,cfCZK}//Transpose],r,dates[[1]]]

GraphicsRow@{Plot[pvcfCZK/.FX->21.3861,{r,0,0.2},AxesLabel->{"r","PV"},PlotLabel->"PV při FX = 21.3861",PlotStyle->Thick,ImageSize->{Automatic,All}],Plot[pvcfCZK/.FX->21.6,{r,0,0.2},AxesLabel->{"r","PV"},PlotLabel->"PV při FX = 21.6",PlotStyle->Thick,ImageSize->{Automatic,All}]}

Manipulate[Plot[(pvcfCZK/.FX->fx)//Evaluate,{r,0.00,0.1},AxesLabel->{"r","PV"}],{{fx,21.3861},21,22,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Vnitřní hodnota (HIV) peněžního toku při hodnotící ú.m. r

Clear[r,HIV]
HIV[r_]=SolveValues[pvcfCZK==0,FX][[1]]//Simplify

Plot[HIV[r],{r,0,0.1},AxesLabel->{"r","HIV"},PlotLabel->"Vnitřní hodnota (HIV)",PlotStyle->Thick]

Hodnocení projektu ex post (při známých směnných kursech)

cfCZK

Do cfCZK dosadíme za FX skutečné směnné kursy:

(cfCZKrealFX=Table[cfCZK[[j]]/.FX->iiFX[[All,2]][[j]],{j,Length[cfCZK]}])//ListPlot

Clear[r]
pvcfCZKrealFX=TimeValue[Cashflow[{dates,cfCZKrealFX}//Transpose],r,dates[[1]]]

Plot[pvcfCZKrealFX,{r,0,1 (* = 100% *)},AxesLabel->{"r","PV"},PlotLabel->"PV při reálných FX ",PlotStyle->Thick,ImageSize->{Automatic,All}]

Projekt má kladnou PV pro hodnotící ú. m. větší než je IRR:

r/.FindRoot[pvcfCZKrealFX==0,{r,0}]

Pohybujeme-li se v úrokových mírách okolo 5%, pak je zřejmě 86% mimo ekonomickou realitu.

***Příklad

(bude dokončeno v daleké budoucnosti)

iFXUSDCZKnew=FinancialData["USD/CZK",{{2022,2,4},{2022,3,1}},Method->"Legacy"]
iFXUSDCZKold=FinancialData["USD/CZK",{{2021,12,1},{2022,2,4}},Method->"Legacy"];
iFXUSDCZKnewvalues=iFXUSDCZKnew[[All,2]];
iFXUSDCZKoldvalues=iFXUSDCZKold[[All,2]];
GraphicsRow@{DateListPlot[iFXUSDCZKold,PlotRange->All,PlotLabel->"USD/CZK"],DateListPlot[iFXUSDCZKnew,PlotRange->All,PlotLabel->"USD/CZK"]}
Fit[iFXUSDCZKoldvalues,{1,x},x]
%/.x->66

Ze starých dat je nejjednodušší odhad lineární regresí

PRIBOR

Prague InterBank Offered Rate je indikace průměrné sazby, za kterou jsou banky ochotny nabídnout na mezibankovním trhu peníze a ve výsledku tedy odráží hodnotu peněz na trhu. PRIBOR patří do rodiny tzv. IBORů, mezi které patří např. LIBOR v Londýně či EURIBOR v kontinentální Evropě. (Wikipedie) Kotace viz:

https://www.cnb.cz/cs/financni-trhy/penezni-trh/pribor/fixing-urokovych-sazeb-na-mezibankovnim-trhu-depozit-pribor/

Kotace k datu 2022-02-28 (vše p.a., PRIBID není kótován):

28.02.2022
Termín|PRIBID|PRIBOR
1 den||4,50 (Tato sazba platí od 2022-02-04)
7 dní||4,53
14 dní||4,56
1 měsíc||4,60
2 měsíce||4,66
3 měsíce||4,73
6 měsíců||4,86
9 měsíců||4,89
1 rok||4,92

Row@{"PRIBOR = ",iPRIBOR=0.045,"   PRIBOR+2 p.b. = ",iPRIBORplus2=iPRIBOR+0.02,
iCF=iPRIBOR+0.04,
iT=Length[iFXEURCZKvalues]}

USD LIBOR

https://www.global-rates.com/en/interest-rates/libor/libor.aspx

“USD	02-28-2022	02-25-2022	02-24-2022	02-23-2022	02-22-2022
 USD LIBOR - overnight	0.07714 %	0.07714 %	0.07743 %	0.07743 %	0.07657 %”

{{"USD", "02-28-2022", "02-25-2022", "02-24-2022", "02-23-2022", "02-22-2022"},
{"USD LIBOR-overnight (%)", 0.07714, 0.07714, 0.07743 , 0.07743 , 0.07657 }}//TableForm

0.07714 % 0.07714 % 0.07743 % 0.07743 % 0.07657 %
USD LIBOR-1 month 0.24143 % 0.23057 % 0.20857 % 0.18686 % 0.17586 %
USD LIBOR-3 months 0.50429 % 0.52300 % 0.50786 % 0.49757 % 0.48786 %
USD LIBOR-6 months 0.80471 % 0.82871 % 0.80443 % 0.82629 % 0.78143 %
USD LIBOR-12 months 1.28800 %

(* USD LIBOR rates as of 2022-02-28 *)
header={"Maturity","1 day(O/N)","1 month","3 months","6 months","1 year"};
iUSDLIBORrates={"Daily USD LIBOR rates (p.d. - per diem)", 0.07714,0.24143,0.50429,0.80471,1.28800};
days={"Days",360,12,4,2,1};
yearlyRates={"Yearly USD LIBOR rates (p.a. - per annum)",Rest[iUSDLIBORrates]*Rest[days]}//Flatten;
Grid[{header,iUSDLIBORrates,days,yearlyRates},Frame->All]

***Technicalities

FinancialData["CHF/EUR",{{2022,2,4},{2022,3,1}},Method->"Legacy"]
DateListPlot[%,PlotRange->All,PlotLabel->"CHF/EUR"]

FinancialData["USD/EUR",{{2022,2,4},{2022,3,1}},Method->"Legacy"]
DateListPlot[%,PlotRange->All,PlotLabel->"USD/EUR"]

FinancialData["USD/RUB",{{2022,2,4},{2022,3,1}},Method->"Legacy"]
DateListPlot[%,PlotRange->All,PlotLabel->"USD/RUB"]

iFXUSDCZKnew=FinancialData["USD/CZK",{{2022,2,4},{2022,3,1}},Method->"Legacy"];
iFXUSDCZKold=FinancialData["USD/CZK",{{2021,12,1},{2022,2,4}},Method->"Legacy"];
iFXUSDCZKnewvalues=iFXUSDCZKnew[[All,2]];
iFXUSDCZKoldvalues=iFXUSDCZKold[[All,2]];
GraphicsRow@{DateListPlot[iFXUSDCZKold,PlotRange->All,PlotLabel->"USD/CZK"],DateListPlot[iFXUSDCZKnew,PlotRange->All,PlotLabel->"USD/CZK"]}
(* Prediction of USD/CZK for 2022-03-01 *)
{Length[iFXUSDCZKoldvalues],Length[iFXUSDCZKnewvalues]}
Fit[iFXUSDCZKoldvalues,{1,x},x]
Row@{"Prediction of USD/CZK for 2022-03-01: ",%/.x->66}

*Swap (Theory) 1

Příklad motivace pro uzavření swapu:

Držitel hypotéky A platí za hypotéku pohyblivou úrokovou sazbu, ale očekává, že se tato sazba v budoucnu zvýší. Držitel hypotéky B platí pevnou sazbu, ale očekává, že sazby v budoucnu klesnou.  A a B uzavřou swapovou smlouvu s pevnou za plovoucí cenu. Můžeme si představit, že obě hypotéky jsou na 20 let, ale swapová smlouva je na 10 let s měsíčními platbami. Oba držitelé hypoték se dohodnou na pomyslné částce jistiny (objem swapu) a datu splatnosti a souhlasí s tím, že převezmou navzájem své platební závazky. Držitel hypotéky A od nynějška platí pevnou sazbu držiteli hypotéky B a dostává od něj pohyblivou sazbu. Uzavřením swapu obě strany vyhověly svým očekáváním bez nutnosti vyjednávat (možná i neúspěšně) s poskytovateli hypoték a následnými poplatky.

Swap = výměna peněžních toků

Pozor na nepřesný, ale v české literatuře téměř výhradně se vyskytující překlad pojmu notional amount: nominální hodnota. Specielně však u úrokového swapu se jedná o pomyslnou, hypotetickou hodnotu. Lépe použít kapitálová částka (Cipra), pomyslná jistina nebo objem swapu, což má oporu i v anglickém výrazu swap volume.

“Security may also be an agreement between two parties (often called Party and Counterparty) on a financial or real transaction between the two. This is the case of swaps.”

Swaps, like forwards,  are mostly individual contracts between two highly rated, reliable parties which well fit the needs of both. Although the swaps are individual contracts, in practise they often follow the recommendations of the International Swaps and Derivatives Association (ISDA). A l swap may be briefly characterized as an agreement on exchange of cash flows in future times with a prescribed schedule. There are two main categories of swaps; interest rate swaps and currency
swaps. In practise, the two are often combined. Swaps are used to manage interest rate exposure or uncertainty concerning the future exchange rates.

An  interest rate swap is a contract between two parties to exchange interest streams with different characteristics based on a principal, notional amount, sometimes called the volume of a swap. The interest rates may be either fixed or floating in the same or different currencies.

A pure  currency swap is a forward contract on the exchange of different currencies on some future date (maturity) in amounts fixed today. Another type of a currency swap is a  cross-currency swap that consists of the initial exchange of fixed amounts of currencies and reverse final exchange of the same amounts at maturity. One or both parties may pay interest during the lifetime of the swap.

Doporučená četba ↓ 💡↓:

💡 Příklad  (Swap, Cross-Currency swap, Hull 8th ed., pp. 165-166)

Měnový úrokový swap (Cross currency swap)

5-letý měnový úrokový swap mezi IBM a British Petroleum (BP).

Počáteční výměna:  1.2.2011 IBM ⟶ BP 18 mil. USD, 1.2.2011 BP ⟶ IBM 10 mil. GBP
Koncová výměna:    1.2.2016 IBM ⟶ BP 10 mil. GBP, 1.2.2016 BP ⟶ IBM 18 mil. USD
Pevné částky:  ve dnech 1.2.2012, 1.2.2013, 1.2.2014, 1.2.2015, 1.2.2016:
		 IBM ⟶ BP 5% z objemu swapu 10 mil. GBP, tj. 0.5 mil. GBP
		 BP ⟶ IBM 6% z objemu swapu 18 mil. USD, tj. 1.08 mil. USD

Poznamenejme, že v příkladu uvedené hodnoty jsou z hlediska pozdějších znalostí vývoje směnného kursu  nereálné. Počáteční výměna se v praxi děje na základě aktuálního kursu, a ten 1.2.2011 byl GBP 1 = USD 1.6258. Kurs uvedený v příkladu byl přibližně k datu 1.9.2008: GBP 1 = USD 1.8007. Autor měl připravené hodnoty pravděpodobně v době psaní rukopisu, do vydání knihy však uplynula jistá doba.

cashFlowIBMUSD=Cashflow[{-18,1.08,1.08,1.08,1.08,18+1.08}];
cashFlowIBMGBP=Cashflow[{10,-0.50,-0.50,-0.50,-0.50,-10-0.50}];

Profily současných hodnot v závislosti na hodnotící úrokové míře:

Plot[{TimeValue[cashFlowIBMUSD,i,0],TimeValue[cashFlowIBMGBP,i,0]},{i,0,0.15},PlotTheme->  "Detailed",AxesLabel->{"i","NPV"},PlotLegends->{"USD","GBP"},PlotLabel->"NPV IBM in USD and GBP"]

**Historie GBP/USD

(* Actual exchange rate, FX *)
FinancialData["GBP/USD"]

2017

WolframAlpha["GBP/USD",{{"History",1},"ComputableData"}]

2020

WolframAlpha["GBP/USD",{{"History",1},"ComputableData"}]

2022

WolframAlpha["GBP/USD",{{"History",1},"ComputableData"}]

2023

WolframAlpha["GBP/USD",{{"History",1},"ComputableData"}]

WolframAlpha["GBP/USD",{{"History",1},"ComputableData"}]

Skutečné historické směnné kursy:

(fxGBPUSDreal={{{2011,2,1},1.6258`},{{2012,2,1},1.5917`},{{2013,2,1},1.5162`},{{2014,2,1},1.6745`},{{2015,2,1},1.5434`},{{2016,2,1},1.3916`}})//Dataset

*Swap (Theory) 2

Abychom mohli použít výše uvedené peněžní toky a přiblížili se aspoň trochu realitě, provedeme lineární transformaci směnných kursů tak, aby v okamžiku počáteční výměny odpovídala skutečnosti:

fxGBPUSDexample=Map[Last,fxGBPUSDreal](1.8/(1.6258`))

cashFlowIBMGBP=Cashflow[{10,-0.50,-0.50,-0.50,-0.50,-10-0.50}]

Peněžní tok IBM v GBP konvertovaný na USD dle fxGBPUSDexample:

cashFlowIBMGBPinUSD=Cashflow[cashFlowIBMGBP[[1]]*fxGBPUSDexample]

(totalcashFlowIBMinUSD=TimeValue[cashFlowIBMUSD,i,0]+TimeValue[cashFlowIBMGBPinUSD,i,0])//TraditionalForm

Profil současné hodnoty v dolarovém vyjádření v závislosti na hodnotící úrokové míře :

Plot[totalcashFlowIBMinUSD,{i,0,0.2},PlotTheme->"Business",PlotLegends->{"USD","GBP"},PlotLabel->"NPV IBM in USD as a function of i",AxesLabel->{"i","NPV"}]

Ex post vidíme, že IBM by na takovém swapu jednoznačně vydělalo. V okamžiku uzavření swapu však známe jen aktuální kurs a aktuální tržní (hodnotící) úrokovou míru. Pro představu o budoucím vývoji použijeme HIV (vnitřní hodnotu peněžního toku). Pro jednoduchost budeme předpokládat, že směnný kurs je konstantní pro období 1,...,5, označme jej FX. Pak peněžní tok IBM v GBP konvertovaný na USD je:

Clear[FX];
cashFlowIBMGBPinUSDvariableFX=Cashflow[cashFlowIBMGBP[[1]]*{1.8,FX,FX,FX,FX,FX}]

(totalcashFlowIBMinUSDvariableFX=TimeValue[cashFlowIBMUSD,i,0]+TimeValue[cashFlowIBMGBPinUSDvariableFX,i,0])//TraditionalForm

Plot3D[totalcashFlowIBMinUSDvariableFX,{i,0.04,0.07},{FX,1.4,2}]

Text@Column[{"PV v USD v závislosti na FX a i",totalcashFlowIBMinUSDvariableFX//TraditionalForm,"PV v USD v závislosti na i a FX = 1.85",
(totalcashFlowIBMinUSDvariableFX/.FX->1.85)//TraditionalForm},Background->{{LightBlue,None}},Frame->True,Alignment->{{Left}}]

Manipulate[Plot[(totalcashFlowIBMinUSDvariableFX/.FX->fx)//Evaluate,{i,0.00,0.1},AxesLabel->{"i","PV"}],{{fx,1.85},1.2,2.3,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

HIV(i)

solHIV=Solve[totalcashFlowIBMinUSDvariableFX==0,FX]

Plot[FX/.solHIV,{i,0,0.2},PlotLabel->"HIV",AxesLabel->{"i","HIV"},PlotStyle->Thick]

Tak např. při i=0.05 je odpovídající HIV (Subscript[FX, 5%])=1.87793. Z následujícícho grafu je zřejmé, že při této úrokové míře je pro IBM je výhodný směnný kurs FX<(Subscript[FX, 5%]). Pro FX>(Subscript[FX, 5%]) je swap pro IBM nevýhodný.

Plot[totalcashFlowIBMinUSDvariableFX/.i->0.05,{FX,1.85,1.9},PlotLabel->"NPV IBM in USD for i = 5 per cent",AxesLabel->{"FX","NPV"},PlotStyle->Thick]

solHIV/.i->0.05

***Zobecnění: geometrický pokles nebo růst FX, (Subscript[FX, t])=((FX(1+g))^t), g dáno, t<0 znamená pokles, t>0 růst.

***Example (Combined swap)

Notional amount: CZK 34 500 000

Fixed amounts:

        Initial exchange: Party A pays EUR 1,000,000 to party B, party B pays CZK 34,500,000 to party A. Maturity 10 years.

        Final exchange (after 10 years): Party B pays EUR 1,000,000 to party A, party A pays CZK 34,500,000 to party B.

Floating amounts:

        Party A pays to party B semiannually E6M-3.5 per cent (3.5 is the spread or margin) from notional amount based on the floating rate day count fraction Actual/360, i.e., approximately  CZK ((E6M-3.5)/100)×(182/360)×34500000 . Here E6M stands for LIBOR interest rate on EUR with maturity 6 months.

***HIV(R), závislost na spotové (okamžité) výnosové křivce (spot yield curve)

1.2 Hodnocení investičních projektů (investičních příležitostí ) 1

Projekty jsou reprezentovány očekávanými (předpokládanými, predikovanými) peněžními toky.  Pro jednoduchost předpokládáme platby v ekvidistantních časových okamžicích 0,1,...,T, odpovídající peněžní tok pak je C,F={C,(Subscript[F, 0]),...,C,(Subscript[F, T])}.   Zdůrazňujeme “očekávanými”. Jistota je jen C,(Subscript[F, 0]) , tj. teď, a co se týká příjmu je ještě s otazníkem. Čím vzdálenější je časový horizont, tím jsou platby méně jisté. Do procesu investičního rozhodování se pak musí zapojit rafinovanější metody  (ekonometrie, predikce v časových řadách).

Pomocí matematických metod není možné vyřešit všechno. Mohou však být nápomocny k suboptimálním řešením.  Problém je však v exogenních  faktorech. Ty diktuje příroda a bohužel politici,  viz populistické deklarace o produkci CO2. Dokázal by snad  člověk vlastní produkcí  zredukovat jezero (blízko našich hranic), které vzniklo před 10000 lety na jednu třetinu? Konkrétní příklad:

https://en.wikipedia.org/wiki/Chiemsee

Konec 2023-03-03

2023-03-10 Lekce 4

Pomocné materiály v PDF:

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230217_Basics_Of_Fin_Mat_marked.pdf

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230307InterestRatesYCTmark3.pdf

Vynechat:  
1.1.14 Remark. (Přesnější notace)

FAQ

Q1

Úrokové míry

A1

Základy finanční matematiky 4

1.2 Hodnocení investičních projektů (investičních příležitostí ) 2

Doba návratnosti, diskontovaná doba návratnosti (Payback Method, Discounted Payback Method)

** Test whether the project cf is a Class I (Type 1) project

(* Test whether the project cf is a Class I (Type I) project, i. e., the outflows precede the inflows *)
Clear[typeI];
typeI[cf_]:=Module[{au},
	au=DeleteCases[Sign[cf],0];
	Sort[au]==au		]
{typeI[{-1,0,-3,0,3,4}],typeI[{-1,2,-1,0,3,4,4}]}

** IRR

Clear[IRR];
IRR[cf_]:=Select[i/.NSolve[TimeValue[Cashflow[cf],i]==0,i],(Re[#]>0∧Im[#]==0)&]//First

Profitability Index (PI, Index ziskovosti)

Clear[profitability];
profitability[cf_,i_]:=Module[{},	If[Not[typeI[cf]],Return[Print["    The project\n ",cf,  "\n    is not of type I (outflows do not precede inflows).   "]]];
-(1/(First[cf]))  TimeValue[Cashflow[{0,Rest[cf]}//Flatten],i]//N]

Discounted Payback Method (PB, Diskontovaná doba návratnosti)

(* Discounted Payback method, for i = 0 the simple payback method *)
Clear[payback];
payback[cf_,i_]:=Module[{dcf,au,ak,k},
If[Not[typeI[cf]],Return[Print["    The project\n ",cf,  "\n    is not of type I (outflows do not precede inflows).   "]]];
	dcf=cf*(1/(1+i))^(Range[Length[cf]]-1);
	au=Accumulate[dcf];
	ak=If[Select[au,#>0&]=={},{},Select[au,#>0&]//First];
	k=(Position[au,ak]-1)//Flatten;
	If[k=={},∞,(k-1-au[[k]]/dcf[[k+1]]//First//N)]]

Clear[payback2];
payback2[cf_,i_]:=Module[{dcf,au,ak,k},
Which[Not[typeI[cf]],Print["    The project\n ",cf,  "\n    is not of type I (outflows do not precede inflows).   "],
True,	dcf=cf*(1/(1+i))^(Range[Length[cf]]-1);
	au=Accumulate[dcf];
	ak=If[Select[au,#>0&]=={},{},Select[au,#>0&]//First];
	k=(Position[au,ak]-1)//Flatten;
	If[k=={},∞,(k-1-au[[k]]/dcf[[k+1]]//First//N)]]]

Příklad (Porovnání investičních projektů)

(* Investment projects *)
cfa={-1000,300,500,200,100};
cfb={-1000,47,47,47,1047};
cfc={-851.18586,281.0005,170.39716,300,200};
(* cfe={-1000,800,100,90,90}; *)
cfd={-600,-500,-300,400,500,600};
cfe={1200,-400,-300,-200,-400};
cfh={-600,-500,0,700,500};
cfZ={-6,-10,-4,-8,-3,-5,18.5,18.5};
cfarray={cfa,cfb,cfc,cfd,cfe,cfh,cfZ};
cfarraystring={"cfa","cfb","cfc","cfd","cfe","cfh","cfZ"};

Plot[TimeValue[Cashflow[cfZ],i,0],{i,0.36,0.41}]

Text@Grid[Prepend[Map[{#[[1]],IRR[#[[2]]]}&,{cfarraystring,cfarray}//Transpose],{"Projekt","IRR"}],Frame->All]

Text@Grid[Prepend[Map[{#[[1]],Length[#[[2]]],profitability[#[[2]],0],profitability[#[[2]],0.02],profitability[#[[2]],0.04]}&,{cfarraystring,cfarray}//Transpose],{"CF","T","Profitability  i = 0","Profitability  i = 0.02","Profitability  i = 0.04"}],Frame->All]

Text@Grid[Prepend[Map[{#[[1]],Length[#[[2]]],payback[#[[2]],0],payback[#[[2]],0.02],payback[#[[2]],0.04]}&,{cfarraystring,cfarray}//Transpose],{"CF","T","Payback period  i = 0","Payback period  i = 0.02","Payback period  i = 0.04"}],Frame->All]

Text@Grid[Prepend[Map[{#[[1]],Length[#[[2]]],payback2[#[[2]],0],payback2[#[[2]],0.02],payback2[#[[2]],0.04]}&,{cfarraystring,cfarray}//Transpose],{"CF","T","Payback period  i = 0","Payback period  i = 0.02","Payback period  i = 0.04"}],Frame->All]

Metody založené na profilu současné hodnoty

Příklad (Protipříklad)

Projekt cfZ = {-6,-10,-4,-8,-3,-5,18.5,18.5} splňuje předpoklady o existenci právě jednoho kladného vnitřního výnosového procenta. Typický profil současné hodnoty pro projekty typu I je klesající funkce. Projekt cfZ je vzácná výjímka:

(* Kumulativní součty (Subscript[A, j]) *)
cfZ={-6,-10,-4,-8,-3,-5,18.5,18.5};
Row@{"Částečné součty:  ",Accumulate[cfZ]}

PVcfZ=TimeValue[Cashflow[cfZ],i]

Právě jedno kladné IRR:

Select[i/.NSolve[PVcfZ==0,i],Re[#]>0∧Im[#]==0&]//First

Ale

GraphicsRow[{Plot[PVcfZ,{i,0,0.01},PlotRange->All,PlotStyle->Thick,AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{"i","NPV"},PlotLabel->"NPV Detailed"],Plot[PVcfZ,{i,0,1.5},PlotRange->All,PlotStyle->Thick,
AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{"i","NPV"},PlotLabel->"NPV"]}]

**IRR, durace, konvexita, grafy (definice pro účely této lekce)

Clear[IRR];
IRR[cf_]:=Select[i/.NSolve[TimeValue[Cashflow[cf],i]==0,i],(Re[#]>0∧Im[#]==0)&]//First

Clear[durace];
durace[CF_,v_]:=((v D[TimeValue[Cashflow[CF],((1-v)/v)],v])//Simplify//Expand)/(TimeValue[Cashflow[CF],((1-v)/v)]//Simplify//Expand)

Clear[konvexita];
konvexita[CF_,v_]:=Module[{T=Length[CF],citatel,jmenovatel},
citatel=TimeValue[Cashflow[(Range[T]-1)*Range[T]*CF],((1-v)/v)]//Simplify//Expand;
jmenovatel=TimeValue[Cashflow[CF],((1-v)/v)]//Simplify//Expand;
(citatel/jmenovatel)]

(* Plots of Present Value,Duration,and Convexity *)
Clear[plotsPVDC]
plotsPVDC[cf_]:=Module[{plotPV,plotD,plotC,IRR,pv,durace,konvexita,i},
pv[cashflow_,i_]:=(1/(((1+i))^(Range[Length[cashflow]]-1))).cashflow;
IRR[cashflow_]:=Select[i/.NSolve[TimeValue[Cashflow[cashflow],i,0]==0,i],(Re[#]>0∧Im[#]==0)&]//Flatten//First;
durace[cashflow_,i_]:=TimeValue[Cashflow[cashflow*(Range[Length[cashflow]]-1)],i,0]/TimeValue[Cashflow[cashflow],i,0];
konvexita[cashflow_,i_]:=Module[{citatel,jmenovatel,T},
T=Length[cashflow];
citatel=TimeValue[Cashflow[(Range[T]-1)*Range[T]*cashflow],i,0]//Simplify//Expand;
jmenovatel=TimeValue[Cashflow[cashflow],i]//Simplify//Expand;
(citatel/jmenovatel)];
(* Output *)
GraphicsRow[{Plot[pv[cf,i],{i,0,2IRR[cf]},AxesLabel->{"i","PV"},PlotLabel->"Present Value",PlotStyle->{Thick,Black}],Plot[durace[cf,i],{i,0,2IRR[cf]},AxesLabel->{"i","Duration"},PlotLabel->"Duration",PlotStyle->{Thick,Blue},Exclusions->None],Plot[konvexita[cf,i],{i,0,2IRR[cf]},AxesLabel->{"i","Convexity"},PlotLabel->"Convexity",PlotStyle->{Thick,Red},Exclusions->None]},ImageSize->Full]]

Příklad (Porovnání investičních projektů, dokončení)

(* Investment projects *)
cfa={-1000,300,500,200,100};
cfb={-1000,47,47,47,1047};
cfc={-851.18586,281.0005,170.39716,300,200};
(* cfe={-1000,800,100,90,90}; *)
cfd={-600,-500,-300,400,500,600};
cfe={1200,-400,-300,-200,-400};
cfh={-600,-500,0,700,500};
cfZ={-6,-10,-4,-8,-3,-5,18.5,18.5};
cfarray={cfa,cfb,cfc,cfd,cfe,cfh,cfZ};
cfarraystring={"cfa","cfb","cfc","cfd","cfe","cfh","cfZ"};

IRR všech projektů

Text@Grid[Prepend[Map[{#[[1]],IRR[#[[2]]]}&,{cfarraystring,cfarray}//Transpose],{"Projekt","IRR"}],Frame->All]

Profily současných hodnot

Durace projektů A a C

Plot[Evaluate@{durace[cfa,v]/.v->(1/(1+i)),durace[cfc,v]/.v->(1/(1+i))},{i,0,0.1},PlotStyle->Thick,AxesLabel->{"i","Duration"},Exclusions->False]

Cvičení. Durace je u obou projektů A a C rostoucí. Proč je singularita okolo bodu 0.047?

Cvičení. Porovnejte projekty A a B z hlediska durace a konvexity.

Durace projektů A a C v detailu (okolí IRR):

Plot[Evaluate@{durace[cfa,v]/.v->(1/(1+i)),durace[cfc,v]/.v->(1/(1+i))},{i,0.046,0.049},PlotStyle->Thick,AxesLabel->{"i","Duration"},Exclusions->None]

Durace projektů E (červeně) a D (zeleně):

Plot[Evaluate@{durace[cfe,v]/.v->(1/(1+i)),durace[cfd,v]/.v->(1/(1+i))},{i,0,0.06},PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick}},PlotTheme->"Classic"]

**Vytvoření peněžních toků stejné délky (doplnění zprava nulami, v přednášce prostor (𝕃^(T+1))).

Clear[arraySameLength];
arraySameLength[array_]:=Module[{sortarrayByLength,lengthMax},
sortarrayByLength=SortBy[array,Length];
lengthMax=Length[Last[sortarrayByLength]];
Map[Join[#,Table[0,{lengthMax-Length[#]}]]&,array]
		]

(cfarraySameLength=arraySameLength[cfarray])//TableForm

Vnitřní míry výnosnosti

Text@Grid[Map[{#[[1]],#[[2]],IRR[#[[2]]]}&,{cfarraystring,cfarraySameLength}//Transpose],Frame->All]

Rozdíly C-A (IRR, současná hodnota, durace, konvexita)

differenceCminusA=Cashflow[cfarraySameLength[[3]]-cfarraySameLength[[1]]]
Text@Row[{"IRR rozdílu C - A:   ",IRR[cfarraySameLength[[3]]-cfarraySameLength[[1]]]}]

Detail:

Plot[TimeValue[differenceCminusA,i],{i,0,0.03},PlotStyle->Thick,AxesLabel->{"i","PV"}]

Ještě větší detail:

Plot[TimeValue[differenceCminusA,i],{i,0.01987,0.02011},PlotStyle->Thick,AxesLabel->{"i","PV"}]

Co se týká durace, nejprve si všimněte, jak vypadá durace rozdílu dvou peněžích toků, zde C-A, a jak vypadá rozdíl durací. Durace není (na rozdíl od současné hodnoty) lineární funkcí na prostoru peněžních toků (𝕃^(T+1)).

Durace rozdílu:

Plot[durace[cfarraySameLength[[3]]-cfarraySameLength[[1]],v]/.v->(1/(1+i)),{i,0,.03},PlotLabel->Style["Durace rozdílu projektů (C - A)",14],AxesLabel->{"i","D"}]

Rozdíl durací:

Plot[(durace[cfarraySameLength[[3]],v]-durace[cfarraySameLength[[1]],v])/.v->(1/(1+i)),{i,0,.03},PlotLabel->Style["Rozdíl durací projektů C a A",14],AxesLabel->{"i","D"},PlotStyle->Thick]

Rozdíl konvexit:

Plot[(konvexita[cfarraySameLength[[3]],v]-konvexita[cfarraySameLength[[1]],v])/.v->(1/(1+i)),{i,0,.03},PlotLabel->Style["Rozdíl konvexit projektů C a A\n",14],AxesLabel->{i,"Difference of convexities"},PlotStyle->Thick]

Column@Map[Row@{Text[(#[[1]])<>"\n"],plotsPVDC[#[[2]]]}&,{cfarraystring,cfarray}//Transpose]

***Příklad (Aproximace relativního přírůstku současné hodnoty)

Clear[relativeIncrement,i,i0,Δi]
TimeValue[Cashflow[cfa],i]//Simplify
durace[cfa,v]/.v->1/(1+i)//Simplify
konvexita[cfa,v]/.v->1/(1+i)//Simplify
relativeIncrement[cf_,i_,Δi_]:=(TimeValue[Cashflow[cf],i+Δi]-TimeValue[Cashflow[cf],i])/TimeValue[Cashflow[cf],i]//Simplify
Row@{"Relative increment of project A:   ",relativeIncrement[cfa,i,Δi]}
Series[relativeIncrement[cfa,i,Δi],{i,i0,2}]//Normal;
(%/.i0->i+Δi)//Simplify

Úrokové míry a výnosové křivky 1

1.1.1 Úroková míra

Přečíst z *.pdf materiálu za domácí úkol a promyslet souvislosti v současné situaci.

1.1.2 Dekompozice úrokové míry

r ... nominální (kótovaná) úroková míra

1+r=(1+(Subscript[r, 0]))(1+(Subscript[r, infl])) (1+(Subscript[r, default]))  (1+(Subscript[r, liquid])) (1+(Subscript[r, mat]))

Zde (Subscript[r, 0]) označuje bezrizikou, riskless, riskfree úrokovou míru bez vlivu inﬂace (složka závislá na ekonomických podmínkách vnitřních i mezinárodních, časové preferenci spotřeby), (Subscript[r, inﬂ]) (prémie za inﬂaci, inﬂation premium) je očekávaná míra inﬂace, (Subscript[r, default]) (prémie za riziko nesplacení, kreditní riziko, default, credit risk) je přirážka, která zohledňuje situaci, kdy dlužník nebude schopen dostát svým závazkům, splatit jistinu či úrok nebo obojí, úplně či částečně, úmyslně či neúmyslně. Z pohledu finančních institucí je to kreditní riziko patrně nejsledovanější složkou. Člen (Subscript[r, liquid]) (prémie za likviditu, liquidity premium) zohledňuje riziko pramenící ze ztížené možnosti dané aktivum rychle a bez podstatných ztrát proměnit na hotovost. Konečně (Subscript[r, mat]) (prémie za riziko v okamžiku splatnosti, riziko z vypršení, maturity risk premium) je prémie za riziko vzniklé případnými změnami sazeb během období trvání kontraktu, jinak řečeno životností aktiva. V podstatě vzniká tento typ rizika ze dvou příčin: první spočívá ve změnách úrokové míry (riziko úrokové míry, interest rate risk) během trvání obchodovatelného kontraktu, druhá pak v možné bezmocnosti investora, co dělat s utrženými penězi: v okamžiku splatnosti se totiž investiční příležitosti (měřené mírou výnosnosti) mohou diametrálně lišit od představ investora investujícího před řadou let. Toto riziko se nazývá reinvestiční riziko, reinvestment rate risk. V případě dlouhodobých dluhopisů jde skutečně o riziko změny úrokové míry: jestliže tržní úrokové míry rostou, ceny dluhopisů klesají. U krátkodobých dluhopisů vzniká již zmíněný problém reinvestice: když jsou v okamžiku splatnosti dluhopisu úrokové míry nízké, vyústí věřiteli (tj. emitentovi dluhopisu) splacená částka v úrokovou ztrátu.

(Subscript[r, nominalni])==(1+(Subscript[r, 0]))(1+(Subscript[r, infl])) (1+(Subscript[r, default]))  (1+(Subscript[r, liquid])) (1+(Subscript[r, mat]))-1

Bezriziková ú. m. (Subscript[r, 0infl]) se zahrnutím inflace:

(1+(Subscript[r, 0infl]))=(1+(Subscript[r, 0]))(1+(Subscript[r, infl]))

V aditivním tvaru:

r=(Subscript[r, 0])+(Subscript[r, infl])+(Subscript[r, default])+(Subscript[r, liquid])+(Subscript[r, mat])

1.1.1 Příklad (výpočet (Subscript[r, default]) pro CP v USA)

Nominální úroková míra 1+r=(1+(Subscript[r, 0 infl]))(1+(Subscript[r, default]))

Clear[r,r0infl,rdefault]
Solve[1+r==(1+r0infl)(1+rdefault),rdefault]//First//First

Text@Grid[{{" ","(Subscript[r, 1991]) [%]","\!\(\*SubscriptBox[\(r\), \(default\\ 1991\)]\) [%]","(Subscript[r, 1984]) [%]","\!\(\*SubscriptBox[\(r\), \(default\\ 1984\)]\) [%]"},
{"T-bonds",8,0,12.34,0},
{"AAA",8.9,100(( (r-r0infl))/(100+r0infl))/.{r->8.9,r0infl->8},12.50,100(((r-r0infl))/(100+r0infl))/.{r->12.50,r0infl->12.34}},
{"AA",9.1,100(( (r-r0infl))/(100+r0infl))/.{r->9.1,r0infl->8},12.70,100(((r-r0infl))/(100+r0infl))/.{r->12.70,r0infl->12.34}},{"A",9.4,100(((r-r0infl))/(100+r0infl))/.{r->9.4,r0infl->8},13.41,100(((r-r0infl))/(100+r0infl))/.{r->13.41,r0infl->12.34}}},Frame->All]

1.1.5 Poznámka (Rating)

1.1.6 Poznámka (Matice pravděpodobností přechodu)

Credit Rating Transition Probabilities

Kreditní třídy (v terminologii markovských řetězců stavy řetězce): AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, D (klasifikace podle Standard & Poor’s). AAA jsou firmy s nejvyšší kredibilitou, D jsou zkrachovalé firmy.

Matice pravděpodobností přechodu mezi kreditními křídami je čtvercová matice P=((Subscript[p, i,j])), i,j= AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, D. Jestliže v čase t je firma ve třídě i, pak (Subscript[p, i,j]) je pravděpodobnost, že v čase t+1 se ocitne ve třídě j. Čas se v drtivé většině případů uvádí v rocích. Ve finanční literatuře se obvykle poslední řádek vynechává, neboť je vždy ve tvaru (0,0,...,0,1). Třída D je pohlcující: firma, která do ní spadne se z ní nemůže dostat.

Jestliže pravděpodobnosti přechodu zůstávají v čase konstantní (tzv. homogenní markovský řetězec), pak matice pravděpodobností přechodu z času t do času t+n je n-tá mocnina (P^((n)))=(P^n).

Dimitrios Kavvathas 
Goldman Sachs Group, Inc.
Estimating Credit Rating Transition Probabilities for Corporate Bonds,
AFA 2001 New Orleans Meetings 
http://web.sakarya.edu.tr/~adurmus/basel_II/SSRN-id252517 %20 rating.pdf

Odpovídající matice

(transitionmatrix={{0.9446`,0.0477`,0.006`,0.001`,0.0007,0.0001`,0.`,0.`},{0.0049`,0.9179`,0.0694`,0.0059`,0.0007,0.0009`,0.0002`,0.0001`},{0.001`,0.0187`,0.9198999999999999`,0.052199999999999996`,0.0055000000000000005`,0.0025`,0.0001`,0.0001`},{0.0004`,0.0032`,0.0547`,0.8819`,0.0496`,0.0083`,0.0007,0.0011`},{0.0004`,0.0014,0.0084`,0.0675`,0.8388`,0.0713`,0.0072`,0.005`},{0.0001`,0.0007,0.0027`,0.006`,0.0562`,0.8479,0.0481`,0.0384`},{0.0012`,0.0001`,0.0051`,0.0046`,0.017`,0.0891`,0.5401`,0.3428`},{0.`,0.`,0.`,0.`,0.`,0.`,0.`,1.`}})//MatrixForm

Matice přechodu po 3 letech (t⟶t+3)

Map[PaddedForm[#,{4,4}]&,MatrixPower[transitionmatrix,3],{2}]//MatrixForm

MatrixPower[transitionmatrix,3]//MatrixForm

1.1.3 Časová struktura úrokových měr

(Subscript[R, t]) (spotové) okamžité,  (Subscript[f, t]) forwardové úrokové míry

(((1+(Subscript[R, t])))^t)=(∏_(j=1)^t)(1+(Subscript[f, j])),  t=1,...,T .

Vidíme, že 1+(Subscript[R, t]) je geometrický průměr hodnot 1+(Subscript[f, 1]),...,1+(Subscript[f, t]). Pro logaritmus je to aritmetický průměr:

ln (1+(Subscript[R, t]))=(1/t)(∑_(j=1)^t)ln (1+(Subscript[f, j])) .

Tento vztah je inspirativní pro spojitý případ, ve kterém R(t) je integrální průměr:

R(t)=(1/t)(∫_( 0)^(, t))f(τ)dτ.

Neekvidistantní časové intervaly

viz text

Konec 2023-03-10

2023-03-17 Lekce 5

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230307InterestRatesYCTmark3.pdf

Vynechat:  
1.1.14 Remark. (Přesnější notace)
1.1.9 Kernel estimators, jádrové odhady
1.1.21 Exercise

Poznámky k výnosům dluhopisů ČR

https://www.cnb.cz/cnb/STAT.ARADY_PKG.PARAMETRY_SESTAVY?p_sestuid=22643&p_strid=AAAG&p_lang=CS
https://www.wallstreetmojo.com/dutch-auction/
https://www.cnb.cz/export/sites/cnb/cs/legislativa/.galleries/Vestnik-CNB/2022/vestnik_2022_13_21722610.pdf

https://www.cnb.cz/export/sites/cnb/cs/legislativa/.galleries/Vestnik-CNB/2022/vestnik_2022_13_21722610.pdf

Holandská aukce je aukce, kde se nabídky seřadí v pořadí od nejvyšší po nejnižší cenu. Emitent poté 
rozhodne o prodané jmenovité hodnotě a tomu odpovídající výsledné ceně aukce. Všechny úspěšné 
nabídky jsou uspokojeny za nejnižší akceptovanou cenu. V případě americké aukce jsou na rozdíl od 
holandské aukce úspěšné nabídky uspokojeny za původní nabídnuté ceny.

https://www.cnb.cz/export/sites/cnb/cs/legislativa/.galleries/Vestnik-CNB/2022/vestnik_2022_13_21722610.pdf

https://www.cnb.cz/cs/financni-trhy/trh-statnich-dluhopisu/

https://www.cnb.cz/arad/#/indicators/0
https://www.cnb.cz/arad/#/indicators/0.5

FAQ

Q1

A1

Úrokové míry a výnosové křivky 2

1.1.4 Výnosové křivky (Yield curves, YC)

YC ...  závislost úrokové míry na době splatnosti: r=r(t), graf této závislosti

Příklad (Porovnání výnosových křivek v různých referenčních časech, Treasury YC USA)

December 15, 2014:

January 5, 2015:

Dec 10, 2015:

Dec 6, 2016:

Mar 23, 2017:

Mar 26, 2018:

Mar 25, 2019:

Sep 18, 2019:

Feb 3, 2020:

Nov 17, 2020:

Mar 25, 2022:

{WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",1},"FormattedData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",2},"FormattedData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",3},"FormattedData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}]}

{WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",1},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",2},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",3},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}]}

Mar 9, 2023:

Mar 13, 2023:

***Zpracování dat 20230313 (Treasury YC USA)

yieldCurveUSA20230313={WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",1},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",2},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",3},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}]}

yieldCurveUSA20230313mod=Flatten[Rest@Most@yieldCurveUSA20230313,1];
yieldCurveUSA20230313modmod=Map[{StringTake[#[[1]],4],#[[2,1]]}&,yieldCurveUSA20230313mod];
maturityYield20230313=Map[{StringReplace[#[[1]],{"\[Hyphen]mo"->"M","\[Hyphen]ye"->"Y","\[Hyphen]y"->"Y"}],#[[2]]}&,yieldCurveUSA20230313modmod]
monthsMaturity20230313={1,3,6,12,2 12, 3 12,5 12,7 12,10 12,20 12,30 12}
pairsMMturityYield=Transpose[{monthsMaturity20230313,maturityYield20230313[[All,2]]}]
ListLinePlot[pairsMMturityYield,PlotLabel->"Yield Curve",AxesLabel->{"Months to maturity","Yield"},PlotStyle->{Thick,Red}]

Notes:

Rest[yieldCurveUSA20230313]//First

Rest[yieldCurveUSA20230313]//First//First//FullForm
(aux1=Rest[yieldCurveUSA20230313]//First//Last)//FullForm

Map[{StringTake[#[[1]],4],#[[2,1]]}&,{aux1}]

WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",2},"NumberData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}]

***Zpracování dat z předchozího příkladu (Treasury YC USA)

yieldCurveUSA20170323={WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",1},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",2},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}],WolframAlpha["yield curves",{{"TreasuryYieldCurve:EconomicData",3},"ComputableData"},PodStates->{"TreasuryYieldCurve:EconomicData__More"}]}

yieldCurveUSA20170323mod=Flatten[Rest@Most@yieldCurveUSA20170323,1]
yieldCurveUSA20170323modmod=Map[{StringTake[#[[1]],4],#[[2,1]]}&,yieldCurveUSA20170323mod]
Map[{StringReplace[#[[1]],{"\[Hyphen]mo"->"M","\[Hyphen]ye"->"Y","\[Hyphen]y"->"Y"}],#[[2]]}&,yieldCurveUSA20170323modmod]

Notes:

Rest[yieldCurveUSA20170323]//First

Rest[yieldCurveUSA20170323]//First//First//FullForm
(aux1=Rest[yieldCurveUSA20170323]//First//Last)//FullForm

Map[{StringTake[#[[1]],4],#[[2,1]]}&,{aux1}]

***Příklad (Oldřich Alfons Vasicek, EWGFM Oct 2010 Prague)

Na eficientním trhu nemůže být výnosová křivka konstantní. Předpokládejme, že je tomu naopak a r(t)=0.05=:r, 1≤t≤10, čas v rocích. Předpokládejme počáteční investici W=100. Můžeme si vybrat ze dvou možností:

Portfolio (investice) A: pětiletý bezkuponový dluhopis s výše uvedeným výnosem r=0.05. Odpovídající cfA je

cfA=Cashflow[{-100,0,0,0,0,100(((1+r))^5)}/.r->0.05]

Portfolio (investice) B: kombinace jednoročního bezkuponového dluhopisu ((Subscript[B, 1])) a desetiletého bezkuponového dluhopisu ((Subscript[B, 10])), portfolio s pětiletou průměrnou dobou splatnosti (průměrná doba splatnosti v tomto případě ne ve smyslu durace!). Nechť w je váha (Subscript[B, 1]) a tedy 1-w váha  (Subscript[B, 10]). w tedy musí splňovat rovnici

w0=w/.Solve[1 w+10(1-w)==5,w]//First

Odpovídající cfB je tedy

Clear[cfB];cfB[w_,r_]:=Cashflow[{-100,w 100(1+r),0,0,0,0,0,0,0,0,(1-w)100(((1+r))^10)}]
cfBw0=cfB[w0,0.05]

Současné hodnoty při hodnotící úrokové míře i:

{npvA=TimeValue[cfA,i],npvBw0=TimeValue[cfBw0,i]}//Simplify

Plot[npvBw0-npvA,{i,0,0.1},PlotStyle->Thick]

Investice (portfolio) B poskytuje tedy vždy minimálně stejný výnos jako investice A nezávisle na hodnotící úrokové míře . Na eficientním trhu nabídka a poptávka budou stlačovat cenu dluhopisu A dolů a cenu kombinace B nahoru.

Table[{i,npvBw0-npvA}/.i->i1,{i1,{0,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.1}}]//TableForm

***Remark 1: Stejné durace

Clear[w];
cfAdur=Cashflow[cfA[[1]]*(Range[Length[cfA[[1]]]]-1)]
cfBdur=Cashflow[(auxB={-100,w 100(1+r),0,0,0,0,0,0,0,0,(1-w)100(((1+r))^10)})*(Range[Length[auxB]]-1)/.r->0.05]

{durA=((TimeValue[cfAdur,i])/(TimeValue[cfA,i])),durB=((TimeValue[cfBdur,i])/(TimeValue[cfB,i]))}

Show[Plot[w/.((Solve[durA==durB,w]//FullSimplify)[[1,1]]/.i->i1),{i1,0,0.1}],Graphics[{PointSize[Large],Red,Point[{0.05,5/9}]}]]

(weights=Table[{i,w/.((Solve[durA==durB,w]//FullSimplify)[[1,1]]/.i->i1)}/.i->i1,{i1,{0,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.1}}])//TableForm

5/9.

weights=weights/.Indeterminate->5./9

Map[{#[[1]],#[[2]],TimeValue[cfB[#[[2]],0.05],#[[1]]]-TimeValue[cfA,#[[1]]]}&,weights]//TableForm

Table[{i1,TimeValue[cfA,i1],TimeValue[cfB[w,0.05]},{i1,{0,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.1}}]//TableForm

***Remark 2:

The Vasicek’s example may have a weak point: the maturity premium is not considered.

1.1.5 Statistické a numerické metody konstrukce výnosových křivek 1

N srovnatelných aktiv (cenných papírů) 1,...,N,
pozorované, kótované výnosy (úrokové míry) (Subscript[y, 1]),...,(Subscript[y, N]) v časech (Subscript[T, 1]),...,(Subscript[T, N])

Nechť T≠ (Subscript[T, n]) , n=1,...,N. To znamená, že v čase T není dostupný kótovaný výnos  předmětného aktiva, např. příslušné aktivum není v čase T obchodováno.

Pro účely finančního rozhodování je zapotřebí znát výnosy také v časech různých od kótovaných minimálně v intervalu [(Subscript[T, 1]),(Subscript[T, N])]. Pro tento účel se sestrojuje spojitá funkce g(t), která splňuje určitá kritéria. Kritéria se obvykle týkají toho, jak přesně má sestrojená g(t) aproximovat data. Rozumní finanční analytici se většinou spokojí s nějakým vyrovnáním (vyhlazením, fitting), vrcholoví manažéři požadují, aby v kótovaných časech (skutečně dostupných dat)  byly kótované a aproximované úrokové míry shodné (numerický přístup -> interpolace).

Sestrojená výnosová křivka by měla co nejlépe vystihovat realitu (pozorované, kótované úrokové míry).

Numerický přístup (interpolace)

Intepolační funkce y=g(t) musí splňovat (Subscript[y, n])=g((Subscript[T, n])), n=1,...,N.

Numerický přístup spočívající v interpolaci má mj. velkou nevýhodu v tom, že nedokáže eliminovat chybná rozhodnutí obchodníka s cennými papíry (dealera). Stačí se podívat na empirické výnosové křivky, kde často můžeme pozorovat “úlety”. Jest pravdou, že hrubou chybu obchodníka slušné finanční insituce automat zastaví během zlomků vteřiny. I tak mohou být ztráty v desítkách miliónů. Ale ty se pak v interpolované křivce projeví a při interpolaci podají zkreslený dojem. To se ovšem částečně může stát i při statistickém přístupu při nevhodné volbě odhadovací procedury, např. pro data, která vykazují těžké chvosty (heavy tails) se použije normální rozdělení jako základní.

Příklad (v grafech pozor na počátky souřadnic)

Data ir2 jsou reálná ve tvaru {splatnost (ve dnech), okamžitá (spotová) úroková míra (v procentech)}, N=12. Jedná se o termínovaný vklad České spořitelny, sazby z února 1999.

plot2=ListPlot[ir2={{7,5.4`},{14,5.4`},{30,6.2`},{60,6.1`},{90,6.1`},{120,6.`},{150,6.`},{180,5.9`},{210,5.9`},{240,5.9`},{270,5.9`},{290,5.8`}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.015]}]

Data ir3 jsou reálná ve tvaru {splatnost (ve dnech), okamžitá (spotová) úroková míra (v procentech)}, N=22.

plot3=ListPlot[(ir3={{7,4.74},{14,4.728},{30,4.705},{60,4.595},{90,4.53},{180,4.42},{270,4.415},{360,4.41},{730,4.51},{1095,4.68},{1460,4.85},{1825,4.99},{2190,5.09},{2555,5.19},{2920,5.27},{3285,5.33},{3650,5.38},{4015,5.42},{4380,5.46},{4745,5.49},{5110,5.51},{5475,5.54}}),PlotStyle->{Red,PointSize[0.015]}]

Nejjednodušší (a v řadě případů nejlepší) je lineární interpolace, tj. pospojování bodů úsečkami:

int21=Interpolation[ir2,InterpolationOrder->1];
plotint21=Plot[int21[t],{t,7,290},PlotRange->All,PlotStyle->Thick];
Show[plot2,plotint21]

int31=Interpolation[ir3,InterpolationOrder->1];
plotint31=Plot[int31[t],{t,7,10000}];
Show[plot3,plotint31]

V detailu

Příklad (varovný, interpolace polynomem)

Katastrofální výsledky dává interpolace polynomy.

poly2=InterpolatingPolynomial[ir2,t];
poly2plot=Plot[poly2,{t,Min[First[ir2][[1]]],Max[Last[ir2][[1]]]},PlotRange->All,PlotStyle->Thick];
Show[plot2,poly2plot,PlotRange->All]

Interpolační polynom je stupně N-1, v našem případě 11:

poly2//Expand//TraditionalForm

Koeficienty polynomů nejsou malá čísla. Uvědomme si, že t∈[7,290], takže třeba (200^11)=2.048×(10^25).

poly3=InterpolatingPolynomial[ir3,t];
poly3plot=Plot[poly3,{t,Min[First[ir3][[1]]],Max[Last[ir3][[1]]]},PlotRange->All,PlotStyle->Thick];
Show[plot3,poly3plot,PlotRange->All]

Interpolační polynom je stupně 21:

poly3//Expand//TraditionalForm

Interpolace polynomy nižšího stupně, dáno volbou InterpolationOrder. Polynomy na sebe vzájemně navazují (viz pospojování bodů úsečkami, InterpolationOrder → 1):

Manipulate[intpol2=Interpolation[ir2,InterpolationOrder->order];
Show[plotpol2=Plot[intpol2[t],{t,Min[First[ir2][[1]]],Max[Last[ir2][[1]]]},PlotRange->All],plot2,PlotRange->All],
{{order,4,"order"},1,11,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Manipulate[intpol3=Interpolation[ir3,InterpolationOrder->order];
Show[plotpol3=Plot[intpol3[t],{t,Min[First[ir3][[1]]],Max[Last[ir3][[1]]]},PlotRange->All],plot3,PlotRange->All],
{{order,4,"order"},1,21,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

v

Statistický přístup (vyrovnání, fitting): parametrický 1

Hledáme funkci y=g(t) takovou, že g((Subscript[T, n])) se od (Subscript[y, n]) “příliš neliší”, např. ve smyslu součtu čtverců odchylek.

! Vyrovnání kubickými spliny (Fitting by Cubic Splines)

Viz přednáška a PDF

**Splines: Procedure 2

Source: Adapted from

https://mathematica.stackexchange.com/questions/33206/implementation-of-smoothing-splines-function/33262

SmoothingSplineFunction[dat_?MatrixQ,p:(_?NumericQ|Automatic):Automatic]:=Module[{n=Length[dat],pv=p,cc,dc,del,h,qg,qm,rh,tm,uv,xa,ya},{xa,ya}=Transpose[dat];h=Differences[xa];rh=1/h;del=Differences[ya] rh;qm=SparseArray[{Band[{1,1}]->Most[rh],Band[{1,2}]->-ListCorrelate[{1,1},rh],Band[{1,3}]->Rest[rh]},{n-2,n}];tm=SparseArray[{Band[{2,1}]->Most[Rest[h]],Band[{1,1}]->ListCorrelate[{2,2},h],Band[{1,2}]->Drop[h,-2]},{n-2,n-2}];qg=qm.Transpose[qm];If[pv===Automatic,pv=1/(1+Tr[tm]/(6 Tr[qg]))];uv=LinearSolve[6 (1-pv) qg+pv tm,Differences[del]];dc=ya-6 (1-pv) Differences[ArrayPad[Differences[ArrayPad[uv,1]]/h,1]];Interpolation[Transpose[{List/@xa,dc,Append[Differences[dc]/h-h ListCorrelate[{2,1},ArrayPad[pv uv,1]],pv Last[uv] Last[h]-(Subtract@@Take[dc,-2])/Last[h]]}],InterpolationOrder->3,Method->"Hermite"]]

Příklad (Vyrovnání kubickými spliny)

V tomto příkladu je vyhlazovací parametr λ=(10^γ), γ=-2,-1,...,13,14. Pro γ=-2 se tedy prakticky jedná o numerickou interpolaci funkcí po částech kubickou a pro γ=14 vyrovnání přímkou (metoda nejmenších čtverců, MNČ). Nutno aktivovat  SmoothingSplineFunction  z předchozího odstavce **Splines: Procedure 2.

Manipulate[smoothdata=SmoothingSplineFunction[ir3,1/10^gamma];Show[ListLinePlot[smoothdata,Mesh->All,PlotStyle->Red],ListPlot[ir3,PlotRange->{4,6}]],{{gamma,1},-2,14,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Manipulate[smoothdata=SmoothingSplineFunction[ir2,1/10^gamma];Show[ListPlot[ir2,PlotRange->{5.2,6.3},AxesOrigin->{0,5.2},PlotStyle->PointSize[0.03]],ListLinePlot[smoothdata,Mesh->All,PlotStyle->Red]],{{gamma,1},-2,14,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Konec 2023-03-17

2023-03-24 Lekce 6

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230307InterestRatesYCTmark3.pdf

Vynechat:  
1.1.14 Remark. (Přesnější notace)
1.1.9 Kernel estimators, jádrové odhady
1.1.21 Exercise

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230324ReturnRiskMarked.pdf

Silicon Valley bank

FinancialData["SIVB",{2023,3,1}]//DateListPlot
FinancialData["CHF/CZK",{2023,3,1}]//DateListPlot

FAQ

Q1

A1

Úrokové míry a výnosové křivky 3

1.1.5 Statistické a numerické metody konstrukce výnosových křivek 2

***Datasets

Recall datasets:

plot2=ListPlot[ir2={{7,5.4`},{14,5.4`},{30,6.2`},{60,6.1`},{90,6.1`},{120,6.`},{150,6.`},{180,5.9`},{210,5.9`},{240,5.9`},{270,5.9`},{290,5.8`}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.015]}]

Data ir3 jsou reálná ve tvaru {splatnost (ve dnech), okamžitá (spotová) úroková míra (v procentech)}, N=22.

plot3=ListPlot[(ir3={{7,4.74},{14,4.728},{30,4.705},{60,4.595},{90,4.53},{180,4.42},{270,4.415},{360,4.41},{730,4.51},{1095,4.68},{1460,4.85},{1825,4.99},{2190,5.09},{2555,5.19},{2920,5.27},{3285,5.33},{3650,5.38},{4015,5.42},{4380,5.46},{4745,5.49},{5110,5.51},{5475,5.54}}),PlotStyle->{Red,PointSize[0.015]}]

! Příklad (Nelson-Siegel)

(Subscript[g, N,S])(t;(Subscript[β, 0]),(Subscript[β, 1]),(Subscript[β, 2]),c)= ...

Clear[nelsonsiegelspot]; (* Spot curve or zero-coupon *)
nelsonsiegelspot[b0_,b1_,b2_,c_,t_]:=b0+(((b1+b2) (1-(E^(-(t/c)))))/(t/c))-b2 (E^(-(t/c)))

The parameters have the following meaning: the function starts at level b,0+b,1 at time 0 and has asymptote at level b,0; a local extreme is determined by parameter c.

Limit[nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t],t->0]
Limit[nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t],t->∞,Assumptions->{b0>0∧b1>0∧b2>0∧c>0}]

Manipulating spot:

Manipulate[Plot[nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t],{t,0,10000},PlotRange->{{0,10000},{3,6}},AxesOrigin->{0,3},PlotStyle->{Thick}],
{{b0,5.8,"b0"},5,6,0.1,Appearance->"Labeled"},
{{b1,-1,"b1"},-2,-0.5,0.1,Appearance->"Labeled"},
{{b2,-3,"b2"},-5,-1,0.2,Appearance->"Labeled"},
{{c,400,"c"},100,1000,10,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True
]

Remeber: R ... spot rate, f ... forward rate, then

R(t)=(1/t)(∫_0^t)f(τ)dτ

D[nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t],t] t +nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t]//FullSimplify

(* Forward curve *)
Clear[nelsonsiegelforward];
nelsonsiegelforward[b0_,b1_,b2_,c_,t_]:=b0+b1 (E^(-t/c))+b2 (t/c) (E^(-t/c))

Both spot and forward curves:

Manipulate[Plot[{nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t],nelsonsiegelforward[b0,b1,b2,c,t]},{t,0,10000},PlotRange->{{0,10000},{3,6}},AxesOrigin->{0,3},PlotStyle->{{Blue,Thick},{Orange,Thick}}],
{{b0,5.8,"b0"},5,6,0.1,Appearance->"Labeled"},
{{b1,-1,"b1"},-2,-0.5,0.1,Appearance->"Labeled"},
{{b2,-3,"b2"},-5,-1,0.2,Appearance->"Labeled"},
{{c,400,"c"},100,1000,10,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True
]

Fitting Nelson-Siegel: on the graph, estimated spot is blue and estimated forward is orange. The estimates of the parameters of the spot curve are substituted into the forward rate so that the forward curve is estimated indirectly.

?*Fit

fitnelsonsiegel2= FindFit[ir2,nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t],{b0,b1,b2,c},t]
curvenel2=nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t]/.fitnelsonsiegel2;
curvenelfc2[t_]:=nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t]/.fitnelsonsiegel2;
curvenel2forward=nelsonsiegelforward[b0,b1,b2,c,t]/.fitnelsonsiegel2;
Show[plot2,Plot[curvenel2forward,{t,7,290},PlotRange->All,PlotStyle->{Orange,Thick}],Plot[curvenel2,{t,7,290},PlotRange->All,PlotStyle->Thick],PlotRange->All]

fitnelsonsiegel3= FindFit[ir3,nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t],{b0,b1,b2,c},t]
curvenel3=nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t]/.fitnelsonsiegel3;
curvenelfc3[t_]:=nelsonsiegelspot[b0,b1,b2,c,t]/.fitnelsonsiegel3;
curvenel3forward=nelsonsiegelforward[b0,b1,b2,c,t]/.fitnelsonsiegel3;
Show[plot3,Plot[curvenel3forward,{t,0,10000},PlotRange->All,PlotStyle->{Orange,Thick}],Plot[curvenel3,{t,0,10000},PlotRange->All,PlotStyle->Thick],PlotRange->All]

! Příklad (Swensson)

Zobecňuje předchozí, obsahuje navíc dva parametry. Začneme s jednodušším tvarem forwardové křivky:

(Subscript[f, S,w])(t;(Subscript[β, 0]),(Subscript[β, 1]),(Subscript[β, 2]),(Subscript[β, 3]),(Subscript[γ, 1]),(Subscript[γ, 2]))= (Subscript[β, 0])+(Subscript[β, 1])(e^(-t/(Subscript[γ, 1])))+(Subscript[β, 2]) (t/(Subscript[γ, 1]))(e^(-t/(Subscript[γ, 1])))+(Subscript[β, 3]) (t/(Subscript[γ, 2]))(e^(-t/(Subscript[γ, 2])))

Ve níže používaných vstupech β≈b, γ≈c:

Clear[swenssonforward];
swenssonforward[b0_,b1_,b2_,b3_,c1_,c2_,t_]:=b0+b1 (E^(-t/c1))+b2 (t/c1) (E^(-t/c1))+b3 (t/c2)(E^(-t/c2))

Spotovou křivku dostaneme jako integrální průměr:

Remember: R ... spot rate, f ...forward rate, then

R(t)=(1/t)(∫_0^t)f(τ)dτ

Clear[swenssonspot];
swenssonspot[b0_,b1_,b2_,b3_,c1_,c2_,t_]=(1/t)(∫_0^t)swenssonforward[b0,b1,b2,b3,c1,c2,τ]\[DifferentialD]τ//FullSimplify

The parameters have the following meaning: the function starts at level b,0+b,1 at time 0 and has asymptote at level b,0; possible local extremes are determined by the parameter c,1 a c,2.

Limit[swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t],t->0,Assumptions->{b0>0&&b1>0&&b2>0&&b3>0&&c1>0&&c2>0}]
Limit[swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t],t->∞,Assumptions->{b0>0&&b1>0&&b2>0&&b3>0&&c1>0&&c2>0}]

Manipulating both spot and forward curves

Manipulate[Plot[{swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t],swenssonforward[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t]},{t,0,10000},PlotRange->{{0,10000},{3,6}},AxesOrigin->{0,3},PlotStyle->{{Blue,Thick},{Orange,Thick}}],
{{b0,5.8,"b0"},5,6,0.1,Appearance->"Labeled"},
{{b1,-1,"b1"},-2,-0.5,0.1,Appearance->"Labeled"},
{{b2,-3.4,"b2"},-5,-1,0.2,Appearance->"Labeled"},
{{b3,-4.6,"b3"},-5,-1,0.2,Appearance->"Labeled"},
{{c1,150,"c1"},100,1000,10,Appearance->"Labeled"},
{{c2,3200,"c2"},100,10000,10,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True
]

Fitting Swensson: on the graph, estimated spot is blue and estimated forward is orange.

fitswensson2= FindFit[ir2,swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t],{b0,b1,b2,b3,c1,c2},t]
(curveswe2=swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t]/.fitswensson2)//Simplify;
curveswefc2[t_]:=swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t]/.fitswensson2
(curveswe2forward=swenssonforward[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t]/.fitswensson2)//Simplify;
Show[plot2,Plot[curveswe2,{t,7,290},PlotRange->All,PlotStyle->Thick],Plot[curveswe2forward,{t,7,290},PlotRange->{4.5,6.6},(* ,ClippingStyle->Directive[Red,Thick]] *)PlotStyle->{Orange,Thick}],PlotRange->All]

fitswensson3= FindFit[ir3,swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t],{b0,b1,b2,b3,c1,c2},t]
(curveswe3=swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t]/.fitswensson3)//Simplify;
curveswefc3[t_]:=swenssonspot[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t]/.fitswensson3
(curveswe3forward=swenssonforward[b0,b1,b2,b3,c1,c2,t]/.fitswensson3)//Simplify;
Show[plot3,Plot[curveswe3,{t,0,10000},PlotRange->All,PlotStyle->Thick],Plot[curveswe3forward,{t,0,10000},PlotRange->All,PlotStyle->{Orange,Thick}],PlotRange->All]

Výnos, očekávaný výnos a riziko 1

Ceny a výnos (definice)

(Subscript[P, 0]),(Subscript[P, 1]),... ceny aktiva typicky akcií (prices of an asset) v časech 0,1...  jsou nezáporné náhodné veličiny, princip omezeného ručení (limited liability)
(Subscript[p, t])=ln (Subscript[P, t]) ... logaritmická cena, znaménko libovolné

(Subscript[R, t])=((Subscript[P, t+1])-(Subscript[P, t]))/(Subscript[P, t])=(Subscript[P, t+1])/(Subscript[P, t])-1 ... míra výnosnosti  (rate of return  ROR), míra zisku, výnos (return), znaménko libovolné (samozřejmě jsou to také náhodné veličiny)

(Subscript[r, t]^✶)=(Subscript[p, t+1])-(Subscript[p, t])=ln((Subscript[P, t+1])/(Subscript[P, t])) ... rozdíl logaritmických cen, též zvaný logaritmický výnos

Poznamenejme, že ln((Subscript[P, t+1])/(Subscript[P, t]))=ln(1+(Subscript[R, t]))≐(Subscript[R, t]) pro malé hodnoty (Subscript[R, t]) z Taylorova rozvoje.

1+(Subscript[R, t])=(Subscript[P, t+1])/(Subscript[P, t]) ... nezáporné

(R^((T)))=(∏_(t=0)^(T-1))(1+(Subscript[R, t]))-1=(Subscript[P, T-1])/(Subscript[P, 0]) ...  výnos za období [0,T]

(((1+(R^((T)))))^(1/T))-1 ...  anualizovaný výnos za období [0,T]  (je to geometrický průměr minus 1)

Příklad

Denní ceny a výnosy firmy Apple od roku 2019 do dneška:

iApplePricesFrom2019=FinancialData["AAPL",{2019},Method->"Legacy"];
iAppleReturnsFrom2019=FinancialData["AAPL","Return",{2019},Method->"Legacy"];

GraphicsRow@{DateListPlot[iApplePricesFrom2019,PlotLabel->"Apple Prices"],DateListPlot[iAppleReturnsFrom2019,PlotLabel->"Apple Returns",PlotRange->All]}

Pravděpodobnost: základy

*Užitečné funkce systému Mathematica

Hyperlink[Button["Probability And Statistics "],"paclet:guide/ProbabilityAndStatistics"]

Průběžně budeme tyto funkce používat. Zdůrazněme, že mnoho z těchto funkcí umožňují symbolické výpočty.

CDF

PDF["rozdělení", x] ... hustota rozdělení v bodě x (probability density function)
CDF[“rozdělení”, x] ... distribuční funkce v bodě x (cumulative distribution function)
Mean, Variance, StandardDeviation ... střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka
Skewness, Kurtosis ... šikmost, špičatost
Covariance ... kovariance případně rozptylová matice
Correlation ... korelační koeficient případně korelační matice

Předpokládané znalosti

Náhodná veličina (n. v.), diskrétní a spojité rozdělení, momenty, zvláště šikmost (skewness, (Subscript[γ, 3])=((E(X-E,X))^3)/(((var X))^(3/2)) ) a špičatost (kurtosis, (Subscript[γ, 4])=((E(X-E,X))^4)/(((var X))^2)), korelace, rozptylová (též varianční), kovarianční a korelační matice. Kvantilová funkce, medián, kvartily. Marginální rozdělení, nezávislost a nekorelovanost. Podmíněné rozdělení, podmíněná střední hodnota. Viz:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kulich/vyuka/ms1/doc/pravdepodobnost_ms1.pdf

Z tohoto materiálu výše uvedené pojmy a vybraná spojitá rozdělení, část 8 Přehled pravděpodobnostních rozdělení.

(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2]),... nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny, zkráceně iid (independent identically distributed random variables)

Nechť X je studovaná náhodná veličina. Náhodný výběr (random sample) rozsahu (size) n  tvoří pozorování (Subscript[X, 1]),...,(Subscript[X, n]), což jsou iid kopie n. v. X.

Podmíněné rozdělení podmíněné náhodným jevem

Nechť X je náhodná veličina na (Ω,𝒜,P) a B∈𝒜 je náhodný jev takový, že P(B)>0.

Podmíněnou distribuční funkcí náhodné veličiny X za podmínky B (při daném B, given B) nazýváme funkci

F(x,|B)=P(X≤ x|B)=(1/(P(B)))P(ω:X(ω)≤ x∧ω∈B)=(1/(P(B)))P(X≤x,B).

Jestliže rozdělení X je absolutně spojité, pak podmíněnou hustotou náhodné veličiny X za podmínky B nazýváme funkci

f(x,|B)=((∂F(x,|B))/(∂x)).

Podmíněná střední hodnota náhodné veličiny X za podmínky B:

E(X|B)=(∫_(-∞)^∞)x,d,F(x|B)=(∫_(-∞)^∞)x,f(x,|B) d,x.

Chvosty rozdělení (tails of distribution), těžké chvosty (heavy tails)

Nosič rozdělení (support, distribution domain) n. v. X je množina A taková, že P(X∈A)=1.

V základní klasické statistice se většinou setkáváme s modely založenými na normálním rozdělení a rozděleních příbuzných. Ve finanční matematice jsou rozdělení studovaných náhodných veličin (ceny, výnosy, výše škod aj.) leckdy normálnímu rozdělení dosti vzdálená. I když modely založené na normálním rozdělení mohou poskytnout základní orientaci, detailnější analýza beroucí v úvahu reálná pravděpodobnostní rozdělení je nezbytná pro zodpovědné finanční rozhodování (financial decision making).

Chvosty jsou “vzdálenější” oblasti rozdělení. Mají-li tyto oblasti “nezanedbatelné” pravděpodobnosti, mluvíme o těžkých chvostech. Je-li nosičem rozdělení n. v. X celá přímka, pak se pravdědobnosti chvostů vyjadřují jako P(|X|>k), pro nosič [0,∞) pak P(X>k), k>0 “velké”.  Rozdělení s těžšími chvosty jsou obvykle “špičatější”. V případě, že existuje čtvrtý moment, pak se špičatost měří pomocí číselné charakteristiky zvané špičatost (kurtosis). Pozor, jsou dvě definice špičatosti, (Subscript[γ, 4])=((E(X-E,X))^4)/(((var X))^2) a (anglicky excess kurtosis) (Subscript[β, 2])=((E(X-E,X))^4)/(((var X))^2)-3. Pro N(μ,(σ^2)) je (Subscript[γ, 4])=3, (Subscript[β, 2])=0. Momenty některých rozdělení s těžkými chvosty však neexistují. Rozdělení s těžkými chvosty se také nazývají leptokurtická. Někdy se používá klasifikace: rozdělení s (Subscript[γ, 4])>3, ((Subscript[γ, 4])=3, (Subscript[γ, 4])<3) se nazývá leptokurtické (mesokurtické, platykurtické).

Rozdělení s těžkými chvosty (heavy tails) jsou charakterizované vyšší špičatostí.

Např. výnosy mají tzv. leptokurtická rozdělení, často ani nejsou unimodální (hustota nemá jediné maximum zvané modus, ale má i další lokální maxima, obvykle dvě jevící se jako hrbolky).

Histogram

Důležitá grafická charakteristika pro první náhled na rozdělení pozorovaných dat.

Podrobněji viz např.: Anděl, J.: Statistické metody. Matfyzpress. Praha 1998, str. 19.

Histogram je přibližné grafické znázornění rozdělení empirických dat, v naší terminologii náhodného výběru (Subscript[X, 1]),...,(Subscript[X, n]). Uvedeme nejjednodušší formulaci. Při ilustracích však využijeme složitějších modelů.

Obor pozorovaných hodnot rozdělíme na K ekvidistantních (stejně dlouhých) intervalů (Subscript[J, 1]),...,(Subscript[J, K]).  Nechť (Subscript[n, k]) je počet pozorování z (Subscript[X, 1]),...,(Subscript[X, n]), které padnou do intervalu (Subscript[J, k]). Na vodorovné ose grafu vyznačíme intervaly a nad intervalem (Subscript[J, k]) vztyčíme obdélník o výšce (Subscript[n, k]).

V případě spojitých rozdělení je účelné si zobrazit  též histogram ve formě empirické hustoty: Nad intervaly vztyčíme obdélníky o výšce (Subscript[n, k])/n, takže součet ploch pod obdélníky bude roven jedné. Odpovídající hustota však bude vždy hustota diskrétního rozdělení.

Pokud se jedná o náhodné výběry ze spojitých rozdělení, jeví se pro praktické účely vhodné nějakým způsobem modifikovat obyčejný histogram tak, aby byl porovnatelný s hustotami spojitých rozdělení. (U Mathematica funkce typy Histogram je pro hustotu volba “PDF”, viz příklady níže).  Pro tyto účely jsou vyvinuty metody, z nichž některé se podobají jádrovým odhadům o kterých bylo pojednáno v pasážích  o jádrových odhadech výnosových křivek. Jedná se o tzv. vyhlazené histogramy, smooth histograms, funkce SmoothHistogram.

Elementární základní ilustrace: Apple ceny

(* Závěrečné ceny společnosti Apple, denní od data uvedeného jako druhý argument *)
(* funkce FinancialData *)
(iAppleDataPrices=FinancialData["AAPL",{2019,1,1},Method->"Legacy"])//Short[#,10]&
DateListPlot[iAppleDataPrices,PlotRange->All,PlotLabel->"Apple prices",PlotStyle->Thick]

GraphicsRow@{Histogram[iAppleDataPrices[[All,2]],Automatic,"PDF"],SmoothHistogram[iAppleDataPrices[[All,2]]]}

To je dvouvrcholové rozdělení.

Elementární základní ilustrace: Apple výnosy

iAppleDataReturns=FinancialData["AAPL","Return",{2019,1,1},Method->"Legacy"];
DateListPlot[iAppleDataReturns,PlotRange->All,PlotLabel->"Apple returns"]

GraphicsRow@{Histogram[iAppleDataReturns[[All,2]],PlotLabel-> "Histogram Apple returns"],SmoothHistogram[iAppleDataReturns[[All,2]],PlotRange->All,PlotLabel-> "Smooth Histogram Apple returns"]}

Základní ponaučení: z grafu časové řady výnosů je těžké něco vyčíst. Výjimkou je zvýšená volatilita očividně vyvolané Korona krizí.

Náhodný (stochastický) proces

Náhodný (stochastický) proces je množina náhodných veličin {X(t),t∈T} (nebo {(Subscript[X, t]),t∈T}) na stejném pravděpodobnostním prostoru (Ω,𝒜), T je indexová množina. Typicky T={0,1,... } resp. T={t≥0}, pak se mluví o náhodném procesu s diskrétním resp. spojitým časem. V případě T={0,1,... } se (podle kontextu) odpovídající stochastický proces též nazývá časová řada. Při pevném ω∈Ω  se X(t,ω)  jako funkce t nazývá trajektorie. Jsou-li trajektorie spojité funkce, mluví se o spojitém procesu.

Funkce E,X(t) se nazývá střední hodnota procesu a funkce var X(t)=E,(X^2)(t)-(((E,X(t)))^2) se nazývá rozptyl procesu. Funkce cov(X(t),X(s))=E(X(t)X(s))-(E,X(t))(E,X(s)), t∈T, s∈T se nazývá kovarianční funkce procesu {X(t),t∈T}, cor(X(t),X(s)) korelační funkce.

Pravděpodobnostní rozdělení 1

Procedury (nutno spustit před dalšími výpočty)

Clear[moments];
(* Procedura pro výpočet průměru, směrodatné odchylky (SD), šikmosti a špičatosti *)
moments[distribution_]:=
Text@Grid[{{"Mean",Mean[distribution]//TraditionalForm},{"SD",StandardDeviation[distribution]//TraditionalForm},{"Skewness",Skewness[distribution]//TraditionalForm},{"Kurtosis",Kurtosis[distribution]//TraditionalForm}}//Transpose,Frame->All,Alignment->{Center,Center}]

Empirické rozdělení

Referenční náhodná veličina X, náhodný výběr rozsahu n  (Subscript[X, 1]),....,(Subscript[X, n]) tvoří n “kopií” této náhodné veličiny, považujeme je za nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny (iid, independent identically distributed).

Za empirické rozdělení se považuje rozdělení, kde se každé z pozorovaných hodnot připisuje stejná  pravděpodobnost 1/n. Empirická distribuční funkce je definována (při daných (Subscript[X, 1]),...,(Subscript[X, n]) jakožto funkce x) takto:

(Subscript[F, n])(x)=(1/n)(∑_(i=1)^n)I{(Subscript[X, i])≤x}

Příklad: (simulovaná data z rozdělení N(0,1), rozsah výběru n=100)

SeedRandom[13];
empiricalDataN01Size100=RandomVariate[NormalDistribution[],100];
empiricalDistribution100=EmpiricalDistribution[empiricalDataN01Size100]
GraphicsRow@{Plot[CDF[empiricalDistribution100,x],{x,-4,4},PlotLabel->"Empirická distribuční funkce"],Plot[CDF[empiricalDistribution100,x],{x,-0.5,0.5},PlotLabel->"Empirická distribuční funkce (detail)"]}

Příklad: (simulovaná data z rozdělení N(0,1), rozsah výběru n=1000)

SeedRandom[13];
empiricalDataN01Size1000=RandomVariate[NormalDistribution[],1000];
empiricalDistributionempiricalDataN01Size1000=EmpiricalDistribution[empiricalDataN01Size1000]

GraphicsRow@{Plot[CDF[empiricalDistributionempiricalDataN01Size1000,x],{x,-3,3},PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Empirical distribution function"],Histogram[empiricalDataN01Size1000,15,"PDF",PlotLabel->"Histogram"],SmoothHistogram[empiricalDataN01Size1000,PlotLabel->"Smoothed density",PlotRange->Full]}

Číselné charakteristiky:

moments[empiricalDistributionempiricalDataN01Size1000]

Normální rozdělení N(μ,(σ^2))

𝒟normal=NormalDistribution[μ,σ];
Row@{"Hustota:  ",PDF[𝒟normal,x],"    Distribuční funkce:  ",CDF[𝒟normal,x]}
(* Nosič rozdělení angl. též support, domain: *)
DistributionDomain[𝒟normal]
moments[𝒟normal]
?Erfc

plot𝒟normal=Plot[PDF[𝒟normal/.{μ->0,σ->1},x],{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick},PlotLabel->"Hustota standardního normálního rozdělení\n" ]

Pravidlo 3σ

{Probability[Abs[X-μ]>3σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N,Probability[Abs[X-μ]<3σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N}

Pravidlo 2σ

{Probability[Abs[X-μ]>2σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N,Probability[Abs[X-μ]<2σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N}

! Logaritmicko-normální rozdělení L,N(μ,(σ^2))

Značení: X∼L,N(μ,(σ^2)) nebo ℒ(X)=L,N(μ,(σ^2))

Parametry: μ∈ℝ, σ>0

Nosič: X∈(0,∞)

Poznámky:
1. Parametry nemají význam střední hodnoty a rozptylu!!!
2. Souvislost s normálním rozdělením: Jesliže Y∼N(μ,(σ^2)), pak X:=(e^Y)∼L,N(μ,(σ^2)).

𝒟LN=LogNormalDistribution[μ,σ];
Row@{"Hustota:  ",PDF[𝒟LN,x],"       Distribuční funkce:  ",CDF[𝒟LN,x]}
DistributionDomain[𝒟LN]
moments[𝒟LN]

Hustota:

PDF[𝒟LN=LogNormalDistribution[μ,σ],x]//TraditionalForm

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[LogNormalDistribution[μ,σ]],"        Variance: ",Variance[LogNormalDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[LogNormalDistribution[μ,σ]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[LogNormalDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Show[Plot[PDF[LogNormalDistribution[μ,σ],x],{x,0,17},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnou střední hodnotou a rozptylem."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[LogNormalDistribution[μ,σ]],σ->StandardDeviation[LogNormalDistribution[μ,σ]]},x]//Evaluate,{x,0,17},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ,1.5},-1,3,Appearance->"Labeled"},{{σ,0.32},0.1,1.5,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Poznámka (ke geometrickému Brownově pohybu)

{Mean[LogNormalDistribution[Log[(Subscript[P, 0])]+(μ-(1/2)(σ^2))t,σ(Sqrt[t])]]//Simplify,Variance[LogNormalDistribution[Log[(Subscript[P, 0])]+(μ-(1/2)(σ^2))t,σ(Sqrt[t])]]//Simplify}//TraditionalForm

Laplaceovo (dvojitě exponenciální) rozdělení

𝒟Laplace=LaplaceDistribution[μ,σ];
DistributionDomain[𝒟Laplace]
moments[𝒟Laplace]
Text@Row@{"Hustota  f(x;μ,σ) = ",PDF[𝒟Laplace,x]//FullSimplify//TraditionalForm}

Parametr σ nemá význam směrodatné odchylky.

Row@{moments[𝒟Laplace],"  ",moments[𝒟Laplace/.{μ->0,σ->1/(Sqrt[2])}]}

⟹ Špičatost je nezávislá na parametrech. Je dvakrát vyšší než u normálního rozdělení.

Porovnání s normálním rozdělením se stejným rozptylem:

Plot[{PDF[𝒟Laplace/.{μ->0,σ->1/(Sqrt[2])},x],PDF[NormalDistribution[],x]},{x,-4,4},PlotStyle->Thick,AxesOrigin->{0,0},PlotLegends->{"Laplace","Normal"}]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[LaplaceDistribution[μ,σ]],"        Variance: ",Variance[LaplaceDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[LaplaceDistribution[μ,σ]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[LaplaceDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Show[Plot[PDF[LaplaceDistribution[μ,σ],x],{x,-4,4},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[LaplaceDistribution[μ,σ]],σ->StandardDeviation[LaplaceDistribution[μ,σ]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ,0},-1,3,Appearance->"Labeled"},{{σ,1},0.1,1.5,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Konec 2023-03-24

2023-03-31 Lekce 7

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230324ReturnRiskMarked5.pdf

V tomto textu vynechat partie označené třemi hvězdičkami: *** .

FAQ

Q1

A1

Výnos, očekávaný výnos a riziko 2

Pravděpodobnostní rozdělení 2

Procedury (nutno spustit před dalšími výpočty)

Clear[moments];
(* Procedura pro výpočet průměru, směrodatné odchylky (SD), šikmosti a špičatosti *)
moments[distribution_]:=
Text@Grid[{{"Mean",Mean[distribution]//TraditionalForm},{"SD",StandardDeviation[distribution]//TraditionalForm},{"Skewness",Skewness[distribution]//TraditionalForm},{"Kurtosis",Kurtosis[distribution]//TraditionalForm}}//Transpose,Frame->All,Alignment->{Center,Center}]

Chi-kvadrát rozdělení o k stupních volnosti

V dalším textu budeme někdy označovat stejně náhodnou veličinu a její rozdělení. Podle kontextu však bude zřejmé,  jak příslušný symbol interpretovat.

Chi-kvadrát rozdělení o k stupních volnosti označujeme (χ^2)(k), k∈𝒩 (není to ale nutný předpoklad, pokud definujeme prostřednictvím hustoty stačí k>0). Pro k∈𝒩 je (χ^2)(k)=(N^2)(0,1)+...+(N^2)(0,1), kde pravá strana je součet kvadrátů  k nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin (iid) s rozdělením N(0,1).

Clear[k]
𝒟ChiSquare=ChiSquareDistribution[k];
DistributionDomain[𝒟ChiSquare]
moments[𝒟ChiSquare]//Simplify
Text@Row@{"Hustota f(x;k) = ",PDF[𝒟ChiSquare,x]//FullSimplify//TraditionalForm}

! Cauchyovo rozdělení C(μ,σ) a t-rozdělení o k stupních volnosti (Subscript[t, k])(μ,σ)

Standardní (normované) t-rozdělení o k stupních volnosti je (Subscript[t, k])(0,1)=((N(0,1))/(Sqrt[(χ^2)(k)/k])), kde čitatel a jmenovatel jsou nezávislé n. v.

𝒟Cauchy=CauchyDistribution[μ,σ];
DistributionDomain[𝒟Cauchy]
moments[𝒟Cauchy]
Text@Row@{"Hustota f(x;μ,σ) = ",PDF[𝒟Cauchy,x]//FullSimplify}

𝒟Student=StudentTDistribution[μ,σ,ν];
DistributionDomain[𝒟Student]
moments[𝒟Student]
Row@{"Hustota f(x;μ,σ) = ",FullSimplify[PDF[𝒟Student,x],Assumptions->{ν>0∧σ>0}]//TraditionalForm}

Je hustota Cauchyho rozdělení totožná s hustotou Studentova t-rozdělení o jednom stupni volnosti? Odpověď:

Assuming[μ∈Reals∧σ>0,PDF[CauchyDistribution[μ,σ],x]==PDF[StudentTDistribution[μ,σ,1],x]//FullSimplify]

Caychyovo rozdělení vyniká tím, že má těžké chvosty (heavy tails). ( ***Kvantifikuje se pomocí indexu chvostu (tail index).) Je speciálním případem   t-rozdělení: C(μ,σ)=(Subscript[t, 1])(μ,σ). Počet stupňů volnosti k může být libovolné reálné k≥1! Pro k⟶∞ konverguje (Subscript[t, k])(μ,σ) k N(μ,(σ^2)) v distribuci. Momenty (Subscript[t, k]) existují jen do řádu k-1. Žádný moment Cauchyova rozdělení není konečný.

Porovnání s normálním rozdělením: pravděpodobnosti chvostů P(|X|>k) pro vybraná rozdělení, parametr polohy (location) μ=0 a parametr měřítka (scale) σ=1.

Text@TableForm[Table[{k,NProbability[Abs[x]>k,x\[Distributed]CauchyDistribution[0.,1]],
NProbability[Abs[x]>k,x\[Distributed]StudentTDistribution[0.,1,2.01]],NProbability[Abs[x]>k,x\[Distributed]StudentTDistribution[0.,1,5]],NProbability[Abs[x]>k,x\[Distributed]StudentTDistribution[0.,1,10]],NProbability[Abs[x]>k,x\[Distributed]NormalDistribution[0.,1]]},{k,{1.959963984540054`,2,3,4,5}}],TableHeadings->{None,{"k","C(0,1)","(Subscript[t, 2.01])(0,1)","(Subscript[t, 5])(0,1)","(Subscript[t, 10])(0,1)","N(0,1)"}}]

Kurtosis (Špičatost) of the Student (Subscript[t, k])

Text@TableForm[Table[{k,((3 (-2+k))/(-4+k))},{k,{4.01,4.5,5,10,100}}]//N,TableHeadings->{None,{"k","Kurtosis"}}]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[StudentTDistribution[0,1,ν]],"        Variance: ",Variance[StudentTDistribution[0,1,ν]]}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[StudentTDistribution[0,1,ν]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[StudentTDistribution[0,1,ν]]}],Bold,14],
Show[Plot[PDF[StudentTDistribution[0,1,ν],x],{x,-4,4},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[StudentTDistribution[0,1,ν]],σ->StandardDeviation[StudentTDistribution[0,1,ν]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{ν,5},2.1,30,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

**Poznámka

Cauchyovo rozdělení má také podíl dvou nezávislých normálně rozdělených náhodných veličin:

TransformedDistribution[u/v,{u\[Distributed]NormalDistribution[],v\[Distributed]NormalDistribution[]}]

Je s podivem, že na následující zadání Mathematica nestačí:

TransformedDistribution[u/(Sqrt[(v^2)]),{u\[Distributed]NormalDistribution[],v\[Distributed]NormalDistribution[]}]

Ale na prakticky ekvivalentní zadání reaguje správně:

TransformedDistribution[u/(Sqrt[z]),{u\[Distributed]NormalDistribution[],z\[Distributed]ChiSquareDistribution[1]}]

jak se můžeme přesvědčit  (== znamená test, dotaz, zda je výrok pravdivý; používá se také pro sestavování rovnic):

PDF[CauchyDistribution[0,1],x]==PDF[StudentTDistribution[0,1,1],x]//Simplify

*Logistické rozdělení

𝒟Logistic=LogisticDistribution[μ,σ];
DistributionDomain[𝒟Logistic]
moments[𝒟Logistic]
Row@{"Hustota  f(x;μ,σ) = ",PDF[𝒟Logistic,x]//TraditionalForm}

(* Distribucni funkce *)
CDF[𝒟Logistic,x]

Row@{moments[𝒟Logistic],"    ",moments[(𝒟Logistic/.{μ->0,σ->((Sqrt[3])/π)})//Evaluate]}

Porovnání s normálním rozdělením se stejným rozptylem

Show[Plot[PDF[𝒟Logistic/.{μ->0,σ->((Sqrt[3])/π)},x],{x,-4,4},PlotStyle->Thick,AxesOrigin->{0,0}],Plot[PDF[NormalDistribution[],x],{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]

!!!Směs rozdělení (Mixture distribution)

Směs rozdělení s distribučními funkcemi {(Subscript[F, 1]),...,(Subscript[F, K])} podle p={(Subscript[p, 1]),...,(Subscript[p, K])}, kde p je rozdělení pravděpodobností ((Subscript[p, 1])+...+(Subscript[p, K])=1, (Subscript[p, k])≥0) je rozdělení s distribuční funkcí

F=(Subscript[p, 1])(Subscript[F, 1])+...+(Subscript[p, K])(Subscript[F, K]).

Vektor p reprezentuje váhy. Ekvivalentně je možné definovat směs pomocí hustot {(Subscript[f, 1]),...,(Subscript[f, K])}:

f=(Subscript[p, 1])(Subscript[f, 1])+...+(Subscript[p, K])(Subscript[f, K]).

Výhodou je velká flexibilita (mnoho parametrů), což je zároveň i nevýhodou (problémy s identifikací parametrů: i při podstatně se lišících množinách parametrů mohou být rozdělení velmi blízká). S tím souvisí možné problémy při odhadech neznámých parametrů a následných závěrech užívajících číselné charakteristiky odvozených na základě těchto odhadů.

Pro taková rozdělení mohou hodnoty šikmosti a špičatosti nabývat i extrémních hodnot.

Příklad (směs tří normálních rozdělení s obecnými parametry a se “symetrickými” vahami)

Poznamenejme, že distribuční funkce N(μ,(σ^2)) je Φ((x-μ)/σ), kde Φ je distribuční funkce normovaného (standardního) normálního rozdělení N(0,1). Odpovídající distribuční funkce směsi je

F(x)=ε, Φ(((x-(Subscript[μ, 1]))/(Subscript[σ, 1])))+(1-2ε), Φ(((x-(Subscript[μ, 2]))/(Subscript[σ, 2])))+ε, Φ(((x-(Subscript[μ, 3]))/(Subscript[σ, 3]))) ,

kde 0<ε<(1/2). Symbolicky tuto směs zapisujeme ε,N((Subscript[μ, 1]),(Subscript[σ, 1]^2))+(1-2ε)N((Subscript[μ, 2]),(Subscript[σ, 2]^2))+ε,N((Subscript[μ, 3]),(Subscript[σ, 3]^2)). Rozdělení směsi symetrických rozdělení není obecně není symetrické!

Pro vytváření směsí použijeme zabudovanou funkci MixtureDistribution. V základním nastavení si všimněte hodnoty špičatosti.

Clear[𝒟3normals,μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,σ,ε];
𝒟3normals[μ1_,μ2_,μ3_,σ1_,σ2_,σ3_,ε_]=MixtureDistribution[{ε,1-2 ε,ε},{NormalDistribution[μ1,σ1],NormalDistribution[μ2,σ2],NormalDistribution[μ3,σ3]}];
{Skewness[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],kurtosis3normals=Kurtosis[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}//Simplify;
({Skewness[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],Kurtosis[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}/.{σ1->σ,σ2->σ,σ3->σ})//Simplify;

moments[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],"        Variance: ",Variance[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}],Bold,16],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}],Bold,16],
Show[Plot[PDF[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε],x],{x,-5,5},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry jako má směs."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],σ->StandardDeviation[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ1,-3.57},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ2,0},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ3,3},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{σ1,0.5},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{σ2,0.5},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{σ3,0.7},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{ε,0.05},0.001,0.4,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Příklad (směs tří normálních rozdělení s různými středními hodnotami, stejným rozptylem a se “symetrickými” vahami)

Clear[mixture];
mixture[dist1_,dist2_,dist3_,ε_]:=MixtureDistribution[{ε,1-2ε,ε},{dist1,dist2,dist3}]
𝒟3normalsEqualVariances[μ1_,μ2_,μ3_,σ_,ε_]=mixture[NormalDistribution[μ1,σ],NormalDistribution[μ2,σ],NormalDistribution[μ3,σ],ε]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]],"        Variance: ",Variance[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]]}],Bold,16],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]]}],Bold,16],
(* Text@Style[Row[{"\n\n"}]], *)
Show[Plot[PDF[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε],x],{x,-5,5},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry jako má směs."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]],σ->StandardDeviation[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ1,-3},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ2,0},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ3,3},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{σ,0.51},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{ε,0.04},0.00001,0.4,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Konec 2023-03-31

2023-04-07 Lekce 8

Velký pátek (Good Friday)

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20210331ReturnRiskT.pdf

FAQ

Q1

A1

Konec 2022-04-07

2023-04-14 Lekce 9

V lekci 7 doplněny pasáže týkající se (χ^2), Studentova a Cauchyova rozddělení: viz

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230324ReturnRiskMarked5.pdf

FAQ

Q1

A1

Výnos, očekávaný výnos a riziko 3

Model vývoje cen: náhodné procházky, hypotéza náhodné procházky
(Random Walk Hypothesis)

1 Vývoj cen podle náhodné procházky pro ceny

Pro ceny se používá se zřídka.

(Subscript[P, t+1])=μ+(Subscript[P, t])+(Subscript[ε, t+1]),    t=0,...,T-1,

μ ... drift, trend, (Subscript[P, t]) ... ceny,  (Subscript[P, 0])>0 počáteční cena (musí být dostatečně velká ve srovnání s rozptylem (Subscript[ε, t])  - jinak by ceny (Subscript[P, t]) mohly klesnout pod nulu - to je v rozporu s předpokladem omezeného ručení, limited liability), (Subscript[ε, t]) ... nezávislé  (ve slabé verzi nekorelované) stejně rozdělené náhodné veličiny (iid, independent identically distributed, poruchy, disturbances, innovations) s nulovou střední hodnotou, E,(Subscript[ε, t]),=0, a stejným konečným nenulovým rozptylem, var (Subscript[ε, t])=(σ^2) . V časových řadách se odpovídající posloupnost nazývá autoregresní posloupnost 1. řádu, AR(1).

V níže uvedeném příkladě čas běží ve dnech. Jsou znázorněny 4 trajektorie ((Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3]),(Subscript[ω, 4]))  pro vývoj ceny s těmito parametry:  μ=(Subscript[P, 0])((((1+0.05))^(1/250))-1) (odpovídá ročnímu výnosu přibližně 5%), (Subscript[P, 0])=100, (Subscript[ε, t]) iid s rozdělením N(0,4×(10^(-2))= rozptyl ), T=1000 [dnů]. Pro účely reprodukovatelnosti je při všech aktivacích zajištěno stejné počáteční náhodné číslo (SeedRandom[113333], všechny simulace je možné kdykoli kompletně zrekonstruovat). Užívejte vždy při publikaci (domácí úlohy, Bc práce, DP práce i ostatní publikace)!!

SeedRandom[113333];ListLinePlot[pricesP=Table[NestList[(100×((((1+0.05))^(1/250))-1)+#+ RandomReal[NormalDistribution[0,0.2]])&,100,1000],{4}],PlotStyle->{Thick},Filling->Axis,AxesLabel->{Style["   t",Italic,18],Style["(Subscript[P, t])",Italic,18]},AxesStyle->Directive[16],GridLines->{100 Range[8],Automatic},GridLinesStyle->Directive[Orange],PlotRange->{{0,1001},All},PlotLabel->Style["4 možné vývoje ceny akcie (Subscript[P, t]) v období 1000 dnů\n při počáteční ceně akcie \!\(\*SubscriptBox[\(P\), \(\(0\)\(\\ \)\)]\)= 100",Bold,16]]

2 Vývoj cen podle náhodné procházky pro logaritmické ceny

Označení z předchozí sekce. Nejčastější použití modelu náhodné procházky ve finanční matematice ((Subscript[p, t])=ln (Subscript[P, t])):

(Subscript[p, t+1])=μ+(Subscript[p, t])+(Subscript[ε, t+1]),    t=0,...,T-1,

takže pro ceny platí

(Subscript[P, t+1])=(Subscript[P, t])exp{μ+(Subscript[ε, t+1])},    t=0,...,T-1.

V níže uvedeném příkladě čas běží ve dnech. Jsou znázorněny 4 trajektorie pro vývoj ceny s těmito parametry: drift μ=0.00003, (Subscript[p, 0])=4.6 (to odpovídá připbližně (Subscript[P, 0])=100), (Subscript[ε, t]) iid s rozdělením N(0,(0.0004^2)), T=1000 [dnů]. Pro účely reprodukovatelnosti je opět použito počáteční náhodné číslo (SeedRandom[113333], všechny simulace je možné kdykoli kompletně zrekonstruovat).

SeedRandom[113333];ListLinePlot[logpricesP=Table[NestList[(0.00003+#+4.6RandomReal[NormalDistribution[0,0.0004]])&,4.6,1000],{4}],PlotStyle->{Thick},Filling->Axis,AxesLabel->{Style["   t",Italic,20],Style["(Subscript[p, t])",Italic,20]},AxesStyle->Directive[16],GridLines->{100 Range[8],Automatic},GridLinesStyle->Directive[Orange],PlotRange->{{0,1001},All},PlotLabel->Style["4 možné vývoje logaritmické ceny akcie (Subscript[p, t]) v období 1000 dnů\n při počáteční ceně akcie \!\(\*SubscriptBox[\(p\), \(\(0\)\(\\ \)\)]\)= Log[100] = 4.6",Bold,18]]

Spojité modely

Podobně jako v matematické analýze se lépe pracuje se spojitými modely než s modely diskrétními, (integrály  se počítají “snadněji” než odpovídající sumy, totéž se týká řešení diferenciálních resp. diferenčních rovnic),  tak i v pokročilejších partiích finanční matematiky jsou pojednávány téměř výhradně modely spojité. V praktických (numerických) aplikacích je však často nutné spojité modely diskretizovat.

Definice Wienerova procesu

Náhodný proces {W(t),t≥0} se nazývá (standardní) Wienerův proces, jestliže má spojité trajektorie, W(0)=0 s pravděpodobností 1, pro s>0, t>0 má přírůstek  W(t)-W(s) rozdělení N(0,|t-s|) a pro 0<(Subscript[t, 0])<(Subscript[t, 1])<...<(Subscript[t, n])<∞ jsou náhodné veličiny  W((Subscript[t, 0])), W((Subscript[t, 1]))-W((Subscript[t, 0])),...,W((Subscript[t, n]))-W((Subscript[t, n-1])) nezávislé. Posledně jmenované náhodné veličiny se nazývají přírůstky a Wienerův proces je tedy proces s nezávislými přírůstky (independent increments).

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Import["20140417_Wiener_FM1a.jpg"]

Viz také (správnost ověřil autor)  http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process

Výše definovaný Wienerův proces se někdy též nazývá standardní Wienerův proces. Náhodný proces

X(t)=μ,t+σ,W(t)

se nazývá Wienerův proces s driftem μ a rozptylem (σ^2) (volatilitou σ).

Standardní Wienerův proces

Charakteristiky :

Nechť {W(t),t≥0} je Wienerův proces. Marginální rozdělení je rozdělení náhodné veličiny W(t,ω) při pevném t:

(* Marginální rozdělení *)SliceDistribution[WienerProcess[],t]

Střední hodnota, rozptyl, kovarianční funkce a korelační funkce

{Mean[WienerProcess[][t]],Variance[WienerProcess[][t]],CovarianceFunction[WienerProcess[],s,t],CorrelationFunction[WienerProcess[],s,t]}

Simulace třiceti trajektorií délky 1000

SeedRandom[113333];
wp30simulaci=RandomFunction[wp=WienerProcess[],{0,1000,1},30];
ListLinePlot[%,Filling->Axis,PlotStyle->{Thick}]

Wienerův proces s driftem a obecným rozptylem

Simulace třiceti trajektorií (čas běží v obchodních dnech, časový horizont 4 roky, přibližně 1000 dnů): 
μ = 0.05, σ =1. Počáteční cena (Subscript[P, 0])=100.

SeedRandom[113333];
wpμσ30simulaci=100+RandomFunction[wpμσ=WienerProcess[μ,σ]/.{μ->0.05,σ->1},{0,1000,1},30];
ListLinePlot[%,PlotStyle->{Thick}]

Geometrický Brownův pohyb

(* Marginální rozdělení *)
SliceDistribution[GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,(Subscript[P, 0])],t]//TraditionalForm

Střední hodnota, rozptyl, kovarianční funkce a korelační funkce ((Subscript[P, 0])... počáteční cena)

Grid[{{"Mean",Mean[GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,(Subscript[P, 0])][t]]//TraditionalForm,"Variance",Variance[GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,(Subscript[P, 0])][t]]//TraditionalForm},{"Covariance function",CovarianceFunction[GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,(Subscript[P, 0])],s,t]//Simplify//TraditionalForm,
"Correlation function",
CorrelationFunction[GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,(Subscript[P, 0])],s,t]//TraditionalForm}},Frame->All]

(* 100 trajektorií, tj. 100 simulací *)
SeedRandom[113333];
wpBμσ100simulaci=RandomFunction[wpμσ=GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,100]/.{μ->0.001,σ->0.006},{0,1000,1},100];
ListLinePlot[%]

Teoretická střední hodnota E,P(1000):

Mean[GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,(Subscript[P, 0])][t]]/.{(Subscript[P, 0])->100,μ->0.001,σ->0.006,t->1000}

Aritmetický průměr a výběrová směrodatná odchylka dosažených cen v čase t=1000 z výše uvedených simulací, tj. odhad střední hodnoty E,P(1000):

With[{data=Map[Last[Last[#]]&,wpBμσ100simulaci//Normal]},Text@Row@{"Průměr = ",Mean[data],"     Směr. odchylka = ",StandardDeviation[data]}]

***Model vývoje cen: Frakcionální Brownův pohyb (fBm, FBM)

Frakcionální Brownův pohyb: Příklady

SliceDistribution[FractionalBrownianMotionProcess[μ,σ,h],t]

Grid[{{"Mean", Mean[FractionalBrownianMotionProcess[μ,σ,h][t]]},{"Variance",Variance[FractionalBrownianMotionProcess[μ,σ,h][t]]//TraditionalForm},{"CovarianceFunction",CovarianceFunction[FractionalBrownianMotionProcess[μ,σ,h],s,t]//TraditionalForm},
{"CorrelationFunction",CorrelationFunction[FractionalBrownianMotionProcess[μ,σ,h],s,t]}},Frame->All]

H=1/2 Wienerův proces

SeedRandom[13];
RandomFunction[FractionalBrownianMotionProcess[0,1,h]/.h->0.5,{0,1,0.001},30];
ListLinePlot[%]

H = 0.25 rychle oscilující (Highly oscillating)

SeedRandom[13];
RandomFunction[FractionalBrownianMotionProcess[0,1,h]/.h->0.25,{0,1,0.001},30];
ListLinePlot[%]

H = 0.8 dlouhá paměť (Long memory)

SeedRandom[13];
RandomFunction[FractionalBrownianMotionProcess[0,1,h]/.h->0.8,{0,1,0.001},30];
ListLinePlot[%]

Míry rizika

Připomeneme, že za míru výnosnosti, krátce výnos považujeme za náhodnou veličinu a v daném kontextu označujeme ρ, (Subscript[ρ, t]), (Subscript[R, t]) nebo ρ(t), potřebujeme-li vyjádřit závislost na čase (pozor na časové jednotky!). Náhodná veličina

L=-ρ ,              (Subscript[L, t])=(((Subscript[P, t])-(Subscript[P, t+1]))/(Subscript[P, t]))

se nazývá ztráta (loss) nebo také ztrátová náhodná veličina (loss random variable).

V praxi, je-li výnos ρ>0, jde o  zisk, je-li výnos ρ<0, jde o ztrátu, která se však také uvádí s kladným znaménkem, tj. uvádí se L.

Rozptylové míry rizika

Směrodatná odchylka, volatilita (Standard Deviation, S. D., volatility)

Je nejjednodušší mírou rizika. V teorii portfolia se přímo rizikem nazývá.

σ=(Sqrt[var ρ])=(Sqrt[var L]).

Nevýhoda: citlivá na “velké” odchylky, chyby pozorování.

Střední absolutní odchylka (mean absolute deviation, MAD)

MAD(ρ)=MAD(L)=E|ρ-E,ρ|=E|L-E,L|.

Robustní vůči chybám a velkým odchylkám.

Example

The assets A and B possess returns dependent on the state of economy in the following way:

Text@Grid[{{"State of Economy","Probability","Return A [%]","Return B [%]"},
{"Boom",0.3,100,20},
{"Normal",0.4`,15,15},
{"Recession",0.3`,-70,10}},Frame->All]

𝒟assetA=EmpiricalDistribution[{0.3,0.4,0.3}->{100,15,-70}];
𝒟assetB=EmpiricalDistribution[{0.3,0.4,0.3}->{20,15,10}];
Text@Grid[{{" ","Asset A","Asset B"},
{"Mean",Mean[𝒟assetA],Mean[𝒟assetB]},
{"Variance",Variance[𝒟assetA],Variance[𝒟assetB]},
{"S. D.",StandardDeviation[𝒟assetA],StandardDeviation[𝒟assetB]},
{"MAD",Expectation[Abs[x-Mean[𝒟assetA]],x\[Distributed]𝒟assetA],Expectation[Abs[x-Mean[𝒟assetB]],x\[Distributed]𝒟assetB]}},Frame->All]

Hodnota v riziku (Value at Risk, VaR)

Value at Risk at (confidence) level 1-α (VaR)

Hodnota v riziku na úrovni spolehlivosti 1-α:

Value at risk at (confidence) level 1-α is simply the α-quantile of L, sometimes denoted by (Subscript[q, α]).

(Subscript[VaR, α])(L):=(F^(-1))(α)=inf{x:F(x)≥α}=:(Subscript[q, α]).

The usual interpretation is that loss will exceed (Subscript[VaR, α])(L) with a (small) probability 1-α with typical values of α=0.95, 0.99 or in some extreme cases even α=0.999. In practice the time horizons are one day, one week, or one month but often longer time horizons are of interest. These need a special care, however. For the sake of simplicity of some calculations we often suppose (1/2)<α<1.

Interpretace: Ztráta překročí hodnotu (Subscript[VaR, α])(L) s (malou) pravděpodobností 1-α. Typické hodnoty α=0.95, 0.99, v některých extrémních případech α=0.999. V praxi používané časové horizonty jsou jeden den, jeden týden, jeden měsíc. Někdy je však nutné použít i delší časové horizonty. Pro zjednodušení některých výpočtů se často předpokládá (1/2)<α<1.

Hullova interpretace hodnoty v riziku V na úrovni splehlivosti 1-X s časovým horizontem N dnů:

Hull, J. C.: Options, Futures, and Other Derivatives, 8th edition, p. 471: “Jsem si na X procent jist, že ztráta v příštích N dnech nebude vyšší než V dolarů.”

Zde X=α, V=(Subscript[VaR, α]).

Ještě jiná slovní interpretace: Hodnota v riziku je mez, nad kterou se ztráta dostane jen s velmi malou předepsanou pravděpodobností.

Poznámka

Pozor na nejednoznačnost! Někdy se v literatuře místo úrovně spolehlivost 1-α uvažuje úroveň spolehlivosti α. Smysl ale zůstává týž: Ztráta překročí VaR s malou pravděpodobností.

**Poznámka

VaR není koherentní mírou rizika (coherent risk measure). Jeden z požadavků je subaditivita, a ten VaR nesplňuje. Pro koherentní míru rizika 𝔪 a ztráty L,(Subscript[L, 1]), (Subscript[L, 2]) musí platit 𝔪((Subscript[L, 1])+(Subscript[L, 2]))≤𝔪((Subscript[L, 1]))+𝔪((Subscript[L, 2])),  a to VaR obecně nesplňuje. Další požadavky na koherentní míru rizika jsou: invariance vůči posunutí: ∀ x∈ℝ  𝔪(L+x)=𝔪(L)+x, pozitivní homogenita: ∀ α>0  𝔪(α,L)=α,,𝔪(L), monotonicita: (Subscript[L, 1])≤(Subscript[L, 2])⟹, 𝔪((Subscript[L, 1]))≤ ,𝔪((Subscript[L, 2])) .

Ilustrace

Data Apple za poslední rok

DateListPlot[Appleceny=FinancialData["AAPL",{{2021,4,1},{2022,4,1}},Method->"Legacy"],Joined->True,PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Apple Prices" ]
Applevynosy=FinancialData["AAPL","Return",{{2021,4,1},{2022,4,1}},"Value",Method->"Legacy"] ;
Appleztraty=-Applevynosy;
𝒟EmpiricaltApple=EmpiricalDistribution[Appleztraty]
(* SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["AAPLPrices20210401",Appleceny];
Export["AAPLLosses20210401",Appleztraty];
*)

(* V případě, že data není možné data načíst online, použijeme tyto příkazy: *)

(* SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Appleceny=Import["AAPLPrices20210401"];
Appleztraty=Import["AAPLLosses20210401"];
*)

Charakteristiky ztrát (Apple)

Row@{"Mean = ",Mean[Appleztraty]," SD = ",StandardDeviation[Appleztraty]," (Subscript[γ, 1]) = ",Skewness[Appleztraty]," (Subscript[γ, 2]) = ",Kurtosis[Appleztraty]}
Text@Row@{"Sample size = ",Length[Appleztraty],"   Min = ",Min[Appleztraty],"   Max =  ",Max[Appleztraty]}
Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR"}}]
Show[Histogram[Appleztraty,Automatic,"PDF",PlotLabel->"Apple Losses (Smooth Histogram and Histogram)\n"],SmoothHistogram[Appleztraty,PlotStyle->Thick,PlotRange->All]]

Parametrická hodnota v riziku

Příklad

?StudentTDistribution

distr=StudentTDistribution[μ,σ,ν];
{Mean[distr],StandardDeviation[distr]}
PDF[distr,x]

Příklad (parametrická hodnota v riziku)

Normální rozdělení

V našem případě nereálný předpoklad, jak jsme viděli zvláště na výběrové špičatosti. Nejprve odhadneme neznámé parametry na základě pozorování (odhadnuté parametry jsou prakticky totožné s výše uvedenými):

𝒟normalApple=EstimatedDistribution[Appleztraty,NormalDistribution[μ,σ]]

Denní VaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01 (ve třetím sloupci jsou uvedeny výběrové kvantily):

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟normalApple,α],Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR (normal)","VaR (sample)"}}]

Row@{"Interpretace (z výběrových dat, sample): Pravděpodobnost, že denní ztráta překročí ",Quantile[Appleztraty,0.99] 100,"% je přibližně 0.01."}

VaR na T dnů na konfidenční úrovni 1-α= 0.01 pro konstantní střední hodnotu a rozptyl lineárně závislý na čase: (Subscript[σ, T]^2)=T,(σ^2).

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple],StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","(Subscript[VaR, 0.99])"}}]

VaR na T dnů na konfidenční úrovni 1-α= 0.01 pro střední hodnotu lineárně závislou na čase: (Subscript[μ, T])=T,μ a rozptyl také lineárně závislý na čase: (Subscript[σ, T]^2)=T,(σ^2).

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple] T,StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","(Subscript[VaR, 0.99])"}}]

t-rozdělení

Nejprve odhadneme neznámé parametry (včetně počtů stupňů volnosti ν)

Příklad (pokračování, použita data z období {{2021,4,1}, {2022,4,1}})

Poznámka. Každé empirické rozdělení má všechny momenty konečné. (Konečný počet pozorování.)

Charakteristiky empirického rozdělení a jeho charakteristiky:

Plot[CDF[𝒟EmpiricaltApple,x],{x,Min[Appleztraty],Max[Appleztraty]},PlotStyle->Thick, PlotLabel->"Empirical distribution function of Apple losses - whole range"]
Plot[CDF[𝒟EmpiricaltApple,x],{x,-.0002,0.0002},PlotStyle->Thick, PlotLabel->"\nEmpirical distribution function of Apple losses - narrow window",Exclusions->True]

𝒟StudentApple=EstimatedDistribution[Appleztraty,StudentTDistribution[μ,σ,ν]]

(*𝒟StudentAppleMethodOfMoments=EstimatedDistribution[Appleztraty,StudentTDistribution[μ,σ,ν],ParameterEstimator->"MethodOfMoments"] *)

V tomto případě (odhad (OverHat[ν]) >5) existuje prvních 5 momentů.

Row@{"Mean = ",Mean[𝒟StudentApple],"    SD = ",StandardDeviation[𝒟StudentApple],"    (Subscript[γ, 1]) = ",Skewness[𝒟StudentApple],"    (Subscript[γ, 2]) = ",Kurtosis[𝒟StudentApple]}

(*Row@{"Mean = ",Mean[𝒟StudentAppleMethodOfMoments],"    SD = ",StandardDeviation[𝒟StudentAppleMethodOfMoments],"    (Subscript[γ, 1]) = ",Skewness[𝒟StudentAppleMethodOfMoments],"    (Subscript[γ, 2]) = ",Kurtosis[𝒟StudentAppleMethodOfMoments]}
*)

Denní VaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01 (ve třetím sloupci pro porovnání výběrové kvantily):

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟StudentApple,α],Quantile[𝒟normalApple,α],Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR (Student)","VaR (Normal)","VaR (sample)"}}]

Row@{"Interpretace:(odhadnuté Studentovo rozdělení): Pravděpodobnost, že denní ztráta překročí ",Quantile[𝒟StudentApple,0.99] 100,"% je 0.01."}

Vidíme, že volba Studentova rozdělení vede k výsledkům srovnatelným s empirickým rozdělením.

Neparametrická hodnota v riziku

Příklad (neparametrická hodnota v riziku)

VaR jako výběrový kvantil

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR"}}]

Vidíme, že tyto výsledky jsou pochopitelně stejné jako při užití empirického rozdělení a podobné jako při užití Studentova rozdělení.

***BEGIN******************************************************************************************

VaR na základě uspořádaného náhodného výběru. (Nemusí dávat totožné výsledky s výše uvedenými neboť v reálných datech se vyskytují shody i u spojitých rozdělení (třeba v důsledku zaokrouhlovaní) a definice výběrových kvantilů se liší.)

Pozorované ztráty (náhodný výběr) (Subscript[L, 1]),...(Subscript[L, T]), uspořádaný náhodný výběr (Subscript[L, (1)])≤...≤(Subscript[L, (T)]). Odhad α-kvantilu je (Subscript[L, (⌊T,α⌋+1)]) , jestliže T,α není přirozené číslo a (1/2)[(Subscript[L, (T,α)])+(Subscript[L, (Tα+1)])], jestliže T,α je přirozené číslo.

Setříděné hodnoty:

AppleztratySorted=Sort[Appleztraty];
T=Length[%]

Text@TableForm[Table[{1-α,AppleztratySorted[[Floor[T α]]]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR"}}]

***END********************************************************************************************

***VaR na základě (neparametrického) jádrového odhadu (kernel estimates) hustoty

𝒟KernelApple=SmoothKernelDistribution[Appleztraty];
Plot[PDF[𝒟KernelApple,x],{x,-0.11,0.11},PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Apple kernel density estimator"]
Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟KernelApple,α],Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR (kernel)","VaR (sample)"}}]

***Volatilita

last50daysAppleceny=Take[FinancialData["AAPL",{{2011,1,1},{2014,5,5}}],-50];
last50daysApplevynosy=Take[FinancialData["AAPL","Return",{{2011,1,1},{2014,5,5}}],-50];
{StandardDeviation[Map[Last,last50daysAppleceny]],StandardDeviation[Map[Last,last50daysApplevynosy]],volatility20140505Apple50=FinancialData["AAPL","Volatility50Day"],StandardDeviation[Take[Map[Last,last50daysApplevynosy],-20]],volatility20140505Apple20=FinancialData["AAPL","Volatility20Day"]}

ListPlot[volatility20140505Apple50timeseries=FinancialData["AAPL","Volatility50Day",{2011,1,1}],Joined->True,PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Apple Volatility 50 Day"]

Podmíněná hodnota v riziku (Conditonal VaR, CVaR, Tail VaR, TVaR, expected shortfall)

Conditional value at risk (in case of continuous distributions also called Expected Shortfall), Očekávaná extrémní ztráta), Tail Conditional Expectation, Mean Excess Loss, Tail VaR) is the mean of the truncated distribution of L truncated at point (Subscript[VaR, α])(L) from the left:

(Subscript[CVaR, α])(L)=E{L|L≥(Subscript[VaR, α])(L)}.

Note that sometimes an analogue to the mean residual lifetime is considered:

(Subscript[CVaR, α])(L)-(Subscript[VaR, α])(L)=E{L-(Subscript[VaR, α])(L)|L≥(Subscript[VaR, α])(L)}.

For absolutely continuous distributions with the distribution function F(y) and density f(y) we have

(Subscript[CVaR, α])(L)=(1/(1-α))(∫_( (Subscript[Var, α])(L))^( ∞))y f(y)dy

or alternatively (after substitution F(y)=z, y=(F^(-1))(z), dz=f(y)dy)

(Subscript[CVaR, α])(L)=(1/(1-α))(∫_( α)^( 1))(F^(-1))(z)dz.

Poznámka (nejednoznačná terminologie)

V některých pramenech se v poslední době uvádí (podle mně nesprávně) poslední vzorec jako definice podmíněné hodnoty v riziku. Pro rozdělení, která nejsou absolutně spojitá (specielně diskrétní rozdělení) se mohou obě vyjádření lišit.

Procedury pro výpočet VaR a CVaR

** VaR, CVaR

Information about admissible values of the parameters can be transferred through the option assuming.

Clear[VaR];
VaR[distribution_,α_,assuming___]:=Assuming[{assuming},Quantile[distribution,α]//Simplify](* Symbolic CVaR*)
Clear[CVaR];
CVaR[distribution_,α_,assuming___]:=(1/(1-α))Assuming[{assuming},(∫_(VaR[distribution,α])^∞)y PDF[distribution,y]\[DifferentialD]y]//PowerExpand//Simplify
(* Numeric CVaR *)
Clear[NCVaR];
NCVaR[distribution_,α_]:=(1/(1-α))NIntegrate[y PDF[distribution,y],{y,VaR[distribution,α],∞}]

Example 1:

CVaR[NormalDistribution[],α]
Assuming[0<α<1,CVaR[NormalDistribution[],α]]

el

Assuming[0<α<1∧μ∈Reals∧σ>0,CVaR[NormalDistribution[μ,σ],α]]

Example 2:

Příklad (parametrická CVaR)

Normální rozdělení

Denní CVaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟normalApple,α],NCVaR[𝒟normalApple,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

Row@{"Interpretace: Jestliže ztráta překročí 1%-ní VaR, pak v průměru bude ",NCVaR[𝒟normalApple,0.99] 100,"% za den"}

Row@{"CVaR na T dnů na konfidenční úrovni 1 - α= 0.01 pro konstantní střední hodnotu odhadnutou ", Mean[𝒟normalApple]}

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple],StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99],NCVaR[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple],StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","VaR","CVaR"}}]

CVaR na T dnů na konfidenční úrovni 1-α= 0.01 pro střední hodnotu lineárně závislou na čase, (Subscript[(OverHat[μ ]), T])= (OverHat[μ ])T=-0.0015179592217426788` T:

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple] T,StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99],NCVaR[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple] T,StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","VaR","CVaR"}}]

t-rozdělení

Denní CVaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟StudentApple,α],NCVaR[𝒟StudentApple,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

Interpretace: Jestliže ztráta překročí 1%-ní VaR, pak v průměru bude 0.042, (4.2% za den).

Příklad (neparametrická CVaR)

CVaR jako výběrový průměr pozorovaných hodnot překračujících odpovídající VaR.

Clear[CVaRsample];
CVaRsample[data_,α_]:=Mean[Select[data,#≥Quantile[data,α]&]]

Porovnání výběrové VaR a výběrové CVaR:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[Appleztraty,α],CVaRsample[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

CVaR na základě (neparametrického) jádrového odhadu hustoty

Porovnání VaR a CVaR vypočítaných na základě jádrového odhadu hustoty:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟KernelApple,α],NCVaR[𝒟KernelApple,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

***Průměrná, vážená průměrná, mediánová a kvantilová VaR

***Spektrální míry rizika

***Expektily (expectiles)

Konec 2023-04-14

2023-04-21 Lekce 10

http://www2.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20230414PortfolioTheoryMarked8.pdf

Vynechat:  
1.2.2 Remark. 
1.3.5 Remark. 
1.3.9 Remark.

FAQ

Q1

A1

Teorie portfolia 1

Konec 2023-04-21

2023-04-28 Lekce 11

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20210414PortfolioTheoryT.pdf

FAQ

Q1

A1

!!! Q2 & A2 (důležité)

Dva dotazy k výnosům a ztrátám (z minula)

1. Interpretace výnosů a ztrát

V celém kursu FM jsou preferovány pojmy finanční matematiky. Definice výnosů, potažmo ztrát jsou zde odvozeny z cen případně hodnoty indexu apod. Ve výkladu se jedná o relativní přírůstky.  Nejedná se tedy o výsledky hospodaření:

(Subscript[P, 0]),(Subscript[P, 1]),... ceny aktiva typicky akcií (prices of an asset) v časech 0,1...  jsou nezáporné náhodné veličiny, vyplývá z principu omezeného ručení (limited liability)

(Subscript[R, t])=((Subscript[P, t+1])-(Subscript[P, t]))/(Subscript[P, t])=(Subscript[P, t+1])/(Subscript[P, t])-1 ... míra výnosnosti  (rate of return  ROR), míra zisku, výnos (return), znaménko libovolné (samozřejmě jsou to také náhodné veličiny). Je to veličina bezrozměrná (nebo přesněji má rozměr skaláru).

Ztráta (Subscript[L, t])=-(Subscript[R, t]). Zase znaménko libovolné. Podobně jako úrokovou míru ji vyjadřujeme v desetinné podobě (0.056) nebo ekvivalentně v procentech (5.6%). Pokud požadujeme vyjádření v peněžních jednotkách, pak jednoduše vynásobíme inkriminovanou částku ztrátou, výnosem, VaR, CVaR apod. Rozměr takto spočtené charakterisitky je potom stejný, jako má peněžní jednotka.

Jestliže v čase 0 je cena naší akcie (Subscript[P, 0])=10000 Kč a v čase 1 klesne na (Subscript[P, 1])=9300 Kč, je ztráta (Subscript[L, 0])=((Subscript[L, 0])-(Subscript[L, 1]))/(Subscript[L, 0])=(10000-9300)/10000=0.07 v desetinné podobě neboli 7%. V peněžním vyjádření je ztráta (Subscript[P, 0])×(Subscript[L, 0])=700 Kč.

2. Výběr dat pro výpočet charakteristik typu VaR, CVaR apod.

Je-li (Subscript[L, t])>0, jedná se skutečně o ztrátu, je-li (Subscript[L, t])<0, jde fakticky o výnos. Názor, že pro výpočet  výše uvedených charakteristik z historických dat by se měly vzít jenom skutečné ztráty (tj.  jenom kladné hodnoty), není správný. V tom případě bychom uvažovali podmíněné rozdělení, tj. rozdělení L|L>0. To ovšem odporuje realitě, asi by se těžko obchodovalo s aktivem, jehož výnosy by byly pořád záporné.

Příklad. Uvažujme denní ztráty firmy Apple za období 2020-04-01 až do současnosti:

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
ztratyAAPL=(* Minus!!! *)-FinancialData["AAPL","Return",{2020,4,1},Method->"Legacy"][[All,2]];
𝒟ztratyAAPL=EmpiricalDistribution[ztratyAAPL];
Row@{"Počet: ",Length[ztratyAAPL],"   Mean: ",Mean[ztratyAAPL],"   S.D.: ",StandardDeviation[ztratyAAPL] ,"   VaR na hladině 1-0.95: ",q95=Quantile[𝒟ztratyAAPL,0.95] }

Row@{"Interpretace: Pravděpodobnost, že denní ztráta bude větší než ",q95 100,"procent je 0.05. Pokud máme dnes akcie Apple v hodnotě USD 10000, pak pravděpodobnost, že jejich cena klesne pod USD ",10000(1-q95), " je 0.05. "}

Row@{"Relativní četnost ztrát překračujích 5%-ní kvantil: ",((Count[ztratyAAPL,_?(#>q95&)])/(Length[ztratyAAPL]))//N}

To je v souladu s realitou. Nyní vybereme jen kladné ztráty a spočítáme odpovídající výběrové charakteristiky:

kladneztraty=Select[ztratyAAPL,Positive];
𝒟kladneztraty=EmpiricalDistribution[kladneztraty];
Grid@{{Text[Style["Kladné ztráty:",16]],SpanFromLeft},
{"Počet: ",Length[kladneztraty],"   Mean: ",Mean[kladneztraty],"   S.D.: ",StandardDeviation[kladneztraty] ,"   VaR na hladině 1-0.95: ",q95kladne=Quantile[𝒟kladneztraty,0.95] }}

Row@{"Relativní četnost ztrát překračujících 5%-ní kvantil kladných ztrát: ",((Count[ztratyAAPL,_?(#>q95kladne&)])/(Length[ztratyAAPL]))//N}

Očividně v nesouladu s realitou. Přirozeně, dnes nemůžeme předpokládat, že zítra bude ztráta kladná. Kdybychom to věděli, tak bychom dnes aktivum prodali a zítra jej za nižší cenu nakoupili.

Pro ilustraci histogramy ztrát a kladných ztrát:

GraphicsRow@{Show[Histogram[ztratyAAPL,Automatic,"PDF",PlotLabel->"Ztráty Apple"],SmoothHistogram[ztratyAAPL]],Show[Histogram[kladneztraty,Automatic,"PDF",PlotLabel->Style["Kladné ztráty Apple",Red]],SmoothHistogram[kladneztraty]]}

Teorie portfolia 1

Zkratky a označení

V tomto notesu vektory a matice většinou označujeme zdvojeným písmenem. Např. x bude ve vstupních buňkách xx, V jako vv apod.

1,...,N aktiva
1=(((1,...,1))^T) vektor samých jedniček
x=((((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, N])))^T), (1^T)x=1 portfolio 
ρ=((((Subscript[ρ, 1]),...,(Subscript[ρ, N])))^T) výnosy
r=E,ρ=((((Subscript[r, 1]),...,(Subscript[r, N])))^T) očekávané výnosy
V=(cov((Subscript[ρ, i]),(Subscript[ρ, j])))  rozptylová matice výnosů
(Subscript[ρ, p])=(ρ^T)x výnos portfolia p
(Subscript[r, p])=E,(Subscript[ρ, p]) očekávaný výnos portfolia p
(Subscript[σ, p]^2)=var (Subscript[ρ, p])=(x^T)V,x rozptyl výnosu portfolia (zkráceně rozptyl portfolia)
(Subscript[σ, p])=(Sqrt[(Subscript[σ, p]^2)]) riziko portfolia; jestliže (Subscript[σ, p])=0, nazývá se portfolio bezrizikové (riskless, riskfree)
MVP ... portfolio s minimálním rozptylem (Minimum-Variance Portfolio)
GMVP ... globální portfolio s minimálním rozptylem (Global Minimum-Variance Portfolio)
EP ... eficientní portfolio
MP ... tržní portfolio (Market Portfolio)

1.1 Eficientní trh

Podstatné z matematického hlediska (z PDF materiálu):
Investoři: (1), (2), (3)
Trh: (6)

Prodeje nakrátko (short sales)

Zde podrobněji ilustruji na na jednoduchém příkladu.

Připomeňme, že v základech teorie portfolia uvažujeme časový horizont jedno období. Investor má bohatství (disponibilní fondy) W. Investor obchoduje na burze prostřednictvím svého makléře (broker). V čase 0 si investor půjčí akcie s tím, že mu je vrátí v čase 1. Tyto akcie prodá za aktuální (promtní) cenu  (Subscript[P, 0]), čímž se mu zvýší disponibilní zdroje na W+(Subscript[P, 0]). Ty investuje. V čase 1 musí zakoupit akcie za cenu (Subscript[P, 1]) platnou v čase 1 aby je vrátil svému makléřovi.

Strategie prodejů nakrátko je spekulativní. Investor sází na pokles ceny. Doufá tedy, že bude (Subscript[P, 1])<(Subscript[P, 0]). V takovém případě má zisk (Subscript[P, 0])-(Subscript[P, 1]) (pro jednoduchost neuvažujeme časovou hodnotu peněz). V případě, že (Subscript[P, 1])>(Subscript[P, 0]), utrpí ztrátu (Subscript[P, 1])-(Subscript[P, 0]). Obchody nakrátko jsou velmi riskantní - ztráta může být neomezená, v řadě zemí jsou prozřetelně legislativně zakázány.

Poznamenejme, že objem W, který investor hodlá investovat nebývá ve většině případů celý jeho majetek. Může tedy ztrátu hradit majetkem, který mu ještě zůstal. Makléři ještě navíc vyžadují nějakou pojistku (vinkulovaný vklad), podobně jako je tomu při pobchodování s futures aj., kde se skládají “marže” (margins, neplést s bankovními přirážkami).

1.2 Portfolio

1.2.1 Example (perfektně negativně korelovaná aktiva (akademický)

Časové řady očekávaných výnosů A a B [%]

Let us consider two assets A and B in the period of nine years with the corresponding returns (in per cent): 17, 13, 15, 20, 10, 16, 14, 12, 18 for the asset A and 13, 17, 15, 10, 20, 14, 16, 18, 12 for the asset B. The mean returns for both the assets based on these historical data are the same and equal to 15. The risks are also the same, 3.1225:

returnsA={17,13,15,20,10,16,14,12,18};
returnsB=(* = 30 - returnsA *){13,17,15,10,20,14,16,18,12};
Text@Grid[{{"Mean A  ",Mean[returnsA],"   Mean B  ",Mean[returnsB]},{"Risk A  ",StandardDeviation[returnsA],"   Risk B  ",StandardDeviation[returnsB]}}//N,Frame->All]

If we invest all the unit wealth to any of the assets, we can expect a risky return 15 per cent. If we divide our unit wealth equally between the two assets, we have certain return 15 per cent over the given time interval with no risk. This is the case if the returns are perfectly negatively correlated, see the following Figure:

ListLinePlot[{returnsA,returnsB,(1/2)(returnsA+returnsB)},PlotTheme->"Detailed",PlotLabel->"Returns of the assets A, B, and the portfolio",PlotRange->{10,20},PlotStyle->Thick]

Obě časové řady výnosů A a B mají stejný očekávaný výnos a rozptyl (a tedy i riziko):

Text@Grid[{{"Očekávaný výnos:  ",{(Subscript[r, A]),(Subscript[r, B])}=Map[Mean,{returnsA,returnsB}]},
{"Rozptyl:  ",Map[Variance,{returnsA,returnsB}]},
{"Riziko:  ",(Sqrt[Map[Variance,{returnsA,returnsB}]])//N}},Frame->All]

Výnosy A a B jsou perfektně negativně korelované:

Framed@Text@Row@{"(Subscript[corr, AB]):  ",Correlation[returnsA,returnsB]}

Portfolio x=((((1/2),(1/2)))^T)má očekávaný výnos

(Subscript[r, p])=(1/2)(Subscript[r, A])+(1/2)(Subscript[r, B])

Rozptylová (kovarianční) a korelační matice výnosů (obě jsou samozřejmě singulární) :

Row@{(covAB=Covariance[{returnsA,returnsB}//Transpose])//MatrixForm,"        ",(covAB=Correlation[{returnsA,returnsB}//Transpose])//MatrixForm}

Rozptyl výnosu portfolia:

{(1/2),(1/2)}.covAB.{(1/2),(1/2)}

1.3 Konstrukce optimálních portfolií a separační věty

1.3.1 Example

N=2,  (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])=1 => (Subscript[x, 2])=1-(Subscript[x, 1]), očekávané výnosy r=(((8,14))^T), rozptylová matice V=(({{9, 18ϱ}, {18ϱ, 36}})), 
korelační koeficient mezi výnosy ϱ=corr((Subscript[ρ, 1]),(Subscript[ρ, 2])) (Pozor na různé fonty: ρ a ϱ!)

Clear[xx,rr,vv,x1,rp,varp];
(* portfolio *)
xx={x1,1-x1};
(* expected returns *)
rr={8,14}(*[%]*);
(* variance matrix (*[((%)^2)]*) *)
(* ϱ = correlation between returns of the assets 1, 2 *)
vv[ϱ_]:=(({{9, 18 ϱ}, {18 ϱ, 36}}))
(* expected return on the portfolio *)
rp[x1_]:=rr.xx//Simplify
Text@Row[{"Expected return (Subscript[r, p]):",Spacer[10],rp[(Subscript[x, 1])]}]
(* variance of the portfolio return: two equivalent expressions *)
varp[x1_,ρ_]:=xx.vv[ϱ].xx//Simplify
Text@Row[{"Variance of the portfolio return (two equivalent expressions):\n",
varp[x1,ϱ],"\n   or\n",
varp[x1,ϱ]//Expand//Apart//TraditionalForm}]

Graphical representation:

Dependence between the expected return and risk are usually plotted in:
(závislost mezi očekávaným výnosem a rizikem se obvykle znázorňuje v:)

risk-expected return plane (rovina riziko - očekávaný výnos)
variance-expected return (rovina rozptyl - očekávaný výnos)
standard-deviation - expected return-plane (směrodatná odchylka - očekávaný výnos)
the corresponding curve (odpovídající křivka): minimum variance portfolios (MVP, portfolia s minimálním rozptylem)
upper part of the corresponding curve: eficient frontier (eficientní hranice), efficient portfolios (EF, eficientní portfolia)
global minimum variance portfolio (GMVP, globální portfolio s minimálním rozptylem)

V PDF materiálu jsou v tomto příkladu prodeje nakrátko zakázány, zde jsou povoleny - váha prvního aktiva (Subscript[x, 1])∈[-1,2] a tudíž i (Subscript[x, 2])∈[-1,2]

Manipulate[ParametricPlot[{(Sqrt[36-72 x1+45 (x1^2)+36 x1 ϱ-36 (x1^2) ϱ]),14-6 x1},{x1,-1,2},AxesOrigin->{0,8},AspectRatio->3/4,AxesLabel->{Style["(Subscript[σ, p])",Italic,16],Style["(Subscript[r, p])",Italic,16]},AxesStyle->Directive[14],PlotPoints->50,PlotStyle->{Black,Thick,Dashing[0.01+0.01ϱ]},PlotLabel->"Minimum Variance Portfolios"],{{ϱ,0},-1,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Globální portfolio s minimálním rozptylem (Global Minimum Variance Portfolio, GMVP)

For |ρ|<1 the variance matrix is positive definite so that the variance of the portfolio is a positive definite quadratic form. The only minimum is at (Subscript[x, 1]) for which the derivative of (Subscript[σ, p]^2) is zero:

(derivative=D[varp[x1,ρ],x1]//FullSimplify)//TraditionalForm

Globální portfolio s minimálním rozptylem
Optimal GMVP (Subscript[x, G]^✶)=((((Subscript[x, 1]^✶),(Subscript[x, 2]^✶)))^T):

Text@Row@{"((Subscript[x, 1]^✶),(Subscript[x, 2]^✶)) = ",xxGMVP={x1GMVP,x2GMVP}={(x1GMVP=(x1/.Solve[derivative==0,x1])//First),1-x1GMVP}//Simplify}

The corresponding expected return and variance

Text@Grid[{{"Expected return","Variance"},{rGMVP=xxGMVP.rr,(σ2GMVP=varp[x1GMVP,ϱ])//Simplify//TraditionalForm}//Simplify},Frame->All]

No short sales is equivalent to 0≤(Subscript[x, 1]^✶)≤1. We find the corresponding ρ’s:

x1GMVP

Reduce[0≤x1GMVP≤1∧-1≤ϱ≤1,ϱ]

Dependence of (Subscript[x, 1]^✶) on ρ:

Plot[((2 (-2+ρ))/(-5+4 ρ)),{ρ,-1,1},PlotRange->All,PlotStyle->Thick,AspectRatio->3/4,AxesLabel->{Style["ρ",16],Style["(Subscript[x, 1]^✶)",Italic,16]}]

For ρ>(1/2) we must sell asset 2 short, in the extreme case ρ=1 we have (Subscript[x, 1]^✶)=2 and therefore (Subscript[x, 2]^✶)=-1. Such a portfolio is also riskless.

Konec 2022-04-28

2023-05-05 Lekce 12

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20210414PortfolioTheoryT.pdf

FAQ

Q1

A1

Teorie portfolia 2

Příklad (reálná data)

Data a základní charakteristiky

membersDJI=FinancialData["^DJI","Members"]

membersDJIwithNames=Map[{#,FinancialData[#,"Name"]}&,membersDJI];
Grid[%,Frame->All]

Vybereme 7 společností a index ^DJI:

selectedCompaniesAndDJI={"AAPL","BA","KO","DIS","MCD","V","WMT","^DJI"};

pricesDJI=FinancialData[
"^DJI",{{2021,4,30},{2022,4,30}},Method->"Legacy"];
returnsAllwithDJI=FinancialData[selectedCompaniesAndDJI,"Return",{{2021,4,30},{2022,4,30}},"Value",Method->"Legacy"];
Row@{"Četnosti pozorovaní:  ",Map[Length,returnsAllwithDJI]}
Dimensions[returnsAllwithDJI]
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
(* 
Save["returnsAllwithDJI.save",returnsAllwithDJI];
Save["pricesDJI.save",pricesDJI];
*)

DateListPlot[pricesDJI,PlotLabel->"Prices ^DJI",PlotStyle->Thick]

*************BEGIN******************************************************************
V případě, že není možné získat data výše uvedeným způsobem, aktivujeme tyto příkazy:

SetDirectory[NotebookDirectory[]]; 
returnsAllwithDJI=Get["returnsAllwithDJI.save"]; 
pricesDJI=Get["pricesDJI.save"];

*************END******************************************************************

(* Returns of 7 companies without ^DJI: *)
returnsAllCompanies=Most[returnsAllwithDJI];
%//Dimensions

Očekávané výnosy (rr), rizika výnosů, rozptylová matice (vv) a korelační matice (corr)

rr=Mean[Transpose[returnsAllCompanies]];
vv=Covariance[Transpose[returnsAllCompanies]];
{Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]],Join[{"Oč. výnosy"},rr],Join[{"Rizika"},(Sqrt[Diagonal[vv]])]}//Grid[#,Frame->All]&
Text@Style["Correlation matrix:",Blue]
Prepend[Transpose[Prepend[(corr=Correlation[Transpose[returnsAllCompanies]]),Most[selectedCompaniesAndDJI]]],Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]]]//Grid

***Data a základní charakteristiky (numerické komentáře)

Determinant rozptylové matice:

Det[vv]

Svědčí o tom, že matice je prakticky singulární. Je také špatně podmíněná. To zhruba znamená, že malé změny v matici původní vyvolají velké změny v matici inverzní což má přirozeně vliv i na řešení soustavy lineárních rovnic

Max[vv]

Inverse[vv]
(* Inverze mírně porušené původní matice: k diagonále přičteme 0.0001 *)
Inverse[vvPerturbated=vv+0.0001IdentityMatrix[7]]

Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vv:\n",Eigenvalues[Inverse[vv]]}
Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vvPerturbated\n",Eigenvalues[Inverse[vvPerturbated]]}
Row@{"Determinanty inverzních matic: ",Det[Inverse[vv]],"    ",Det[Inverse[vvPerturbated]]}

1.3.1 Obecné řešení - minimalizace rizika

Minimalizace rizika - Lagrangeovy multiplikátory (prodeje nakrátko povoleny)

Clear[x,xx];
Row@{"Počet aktiv:  ",iN=Length[rr]}
xx=Array[x,iN];λλ={λ[1],λ[2]};xxλλ=Join[xx,λλ];
iLagrangeFunction=(1/2)xx.vv.xx+λ[1](1-Total[xx])+λ[2](μ-rr.xx)//Simplify;
(* Derivace Lagrangeovy funkce podle všech proměnných: *)
gradient=Map[D[iLagrangeFunction,#]&,xxλλ]//Simplify;

(* Řešení včetně Lagr. multiplikátorů *)
resenixxλλ=(xxλλ/.Solve[Thread[gradient==0],xxλλ])[[1]]
(* Řešení bez Lagr. multiplikátorů, tj. pouze váhy optimálního portfolia *)
resenixx=Take[resenixxλλ,iN];
Row@{"Optimální portfolio:\n",resenixx}
Row@{"Součet vah:  ",Total[resenixx],"   Očekávaný výnos:   "  ,resenixx.rr//Simplify,"\nRiziko:   ",(Sqrt[resenixx.vv.resenixx])//Simplify}

Row@{"Aktivum s nejvyšším očekávaným výnosem má očekávaný výnos (Subscript[μ, max]) = ",Max[rr],
"\nMVP při požadovaném očekávaném výnosu rovném (Subscript[μ, max]) je\n",rmax=resenixx/.μ-> Max[rr],",",
"\nmá očekávaný výnos ",rmax.rr," a riziko ",(Sqrt[rmax.vv.rmax]),".\nSnížení rizika bylo dosaženo umožněním prodejů nakrátko."}

Globální portfolio s minimálním rozptylem (GMVP)

(* Rozptyl výnosu portfolia s minimálním rozptylem v závislosti na požadovaném výnosu μ *)(rozptyl=resenixx.vv.resenixx//Simplify)//TraditionalForm

(* Minimum nastává v bodě, kde je derivace nulová: *)
Row@{"(Subscript[μ, GMVP]) = ",(Subscript[μ, GMVP])=μ/.NSolve[D[rozptyl,μ]==0,μ][[1]],"\nOdpovídající portfolio:\n",
(Subscript[xx, GMVP])=resenixx/.μ->(Subscript[μ, GMVP])}

Grafické znázornění v rovině rozptyl - očekávaný výnos (parabola):

GraphicsRow@{ParametricPlot[{rozptyl,μ},{μ,(Subscript[μ, GMVP])-0.004,0.005},AspectRatio->1/2,PlotStyle->{Thick},PlotLabel->"Portfolia s minimálním rozptylem",AxesLabel->{(Subscript[σ, p]^2),(Subscript[r, p])},AxesOrigin->{0,0}],ParametricPlot[{rozptyl,μ},{μ,(Subscript[μ, GMVP]),0.005},AspectRatio->1/2,PlotStyle->{Thick,Red},PlotLabel->"Eficientní hranice",AxesLabel->{(Subscript[σ, p]^2),(Subscript[r, p])},AxesOrigin->{0,0}]}

Grafické znázornění v rovině směrodatná odchylka - očekávaný výnos (hyperbola):

GraphicsRow@{ParametricPlot[{(Sqrt[rozptyl]),μ},{μ,(Subscript[μ, GMVP])-0.004,0.005},AspectRatio->1/2,PlotStyle->{Thick},PlotLabel->"Portfolia s minimálním rizikem",AxesLabel->{(Subscript[σ, p]),(Subscript[r, p])},AxesOrigin->{0,0}],ParametricPlot[{(Sqrt[rozptyl]),μ},{μ,(Subscript[μ, GMVP]),0.005},AspectRatio->1/2,PlotStyle->{Thick,Red},PlotLabel->"Eficientní hranice",AxesLabel->{(Subscript[σ, p]),(Subscript[r, p])},AxesOrigin->{0,0}]}

Minimalizace rizika - použití zabudované funkce Minimize (prodeje nakrátko povoleny)

Clear[x,xx];
Row@{"Počet aktiv:  ",iN=Length[rr]}
xx=Array[x,iN];
xx/.Minimize[{xx.vv.xx,Total[xx]==1,rr.xx==μ}/.μ->Max[rr],xx][[2]]

Vidíme, že výsledky získané metodou Lagrangeových multiplikátorů a užitím zabudované funkce jdou prakticky totožné.

1.3.2 Maximum Sharpeova poměru

Maximalizace Sharpeova poměru (prodeje nakrátko povoleny)

Řešení soustavy lineárních rovnic V,x=r a následném normování:

xxSharpe=(xx/.Solve[vv.xx==rr,xx])[[1]]
Row@{"Optimální portfolio:\n",xxSharpe=(xxSharpe/(Total[xxSharpe]))}
Row@{"Součet vah:  ",Total[xxSharpe],"   Očekávaný výnos:   "  ,xxSharpe.rr,"   Riziko:   ",(Sqrt[xxSharpe.vv.xxSharpe])}

Maximalizace Sharpeova poměru - použití zabudované funkce (prodeje nakrátko povoleny)

xxSharpe2=xx/.Maximize[((xx.rr)/(Sqrt[xx.vv.xx])),xx][[2]];
Row@{"Optimální portfolio:\n",xxSharpe=(xxSharpe2/(Total[xxSharpe2]))}

Row@{"Očekávaný výnos:   ",rr.xxSharpe,"   Riziko:   ",(Sqrt[xxSharpe.vv.xxSharpe])}

**1.3.3 Maximum rizikově korigovaného očekávaného výnosu

Rizikově korigovaný očekávaný výnos (prodeje nakrátko povoleny)

Faktor korigující riziko zde označujeme jako 𝔏. Maximalizujeme funkci rizikově korigovaný očekávaný výnos (risk-adjusted expected return) (r^T)x-𝔏,(x^T)V,x za podmínky (1^T)x=1. Použijeme opět metodu Lagrangeových multiplikátorů. V tomto případě je jenom jeden, označme jej γ.

xx=Array[x,iN];xxγ=Join[xx,{γ}];
iLagrangeFunction133=rr.xx-(1/2)𝔏 xx.vv.xx+γ(1-Total[xx])//Simplify;
gradient133=Map[D[iLagrangeFunction133,#]&,xxγ]//Simplify;

(* Řešení včetně Lagr. multiplikátorů *)
resenixxγ=(xxγ/.Solve[Thread[gradient133==0],xxγ])[[1]]//Simplify;
(* Řešení bez Lagr. multiplikátoru, tj. pouze váhy optimálního portfolia *)
resenixx133=Take[resenixxγ,iN];
Row@{"Optimální portfolio:\n",resenixx133}
Row@{"Součet vah:  ",Total[resenixx133],"   Očekávaný výnos:   "  ,erCorig=resenixx133.rr//Simplify,"\nRiziko:   ",riskCorig=(Sqrt[resenixx133.vv.resenixx133])//Simplify}

Plot[erCorig,{𝔏,0.011,1000},AxesLabel->{𝔏,(Subscript[r, p])},PlotLabel->"Rizikově korigovaný očekávaný výnos portfolia",PlotStyle->Thick]

Plot[riskCorig,{𝔏,0.011,1000},AxesLabel->{𝔏,(Subscript[σ, p])}, PlotLabel->"Riziko portfolia",PlotStyle->Thick]

Podívejme se na extrémní případ. Jaké je 𝔏 pro globální portfolio s minimálním rozptylem, které má očekávaný výnos:

(Subscript[μ, GMVP])= 0.0008116737985562087`

Nepatrně zvýšíme, jinak by 𝔏=∞ (proč?):

Row@{"(Subscript[𝔏, GMVP]) = ",𝔏/.NSolve[erCorig==0.000811673799,𝔏][[1]]}

Prodeje nakrátko zakázány (short sales not allowed)

Minimalizace rizika při předepsaném očekávaném výnosu μ. Níže uvedená ilustrace je pro μ=Medián výnosů obmyšlených aktiv.

rr//Sort

Row@{"Požadovaný výnos: μ = Median(r) = ",medianrr=Median[rr]}
Row@{"Optimální portfolio = ",aux1=xx/.Minimize[{xx.vv.xx,Total[xx]==1,rr.xx==μ,Thread[xx≥0]}/.μ->medianrr,xx][[2]]}
Row@{"Výnos = ", rr.aux1,"   Rozptyl = ",aux1.vv.aux1,"   Riziko = ",(Sqrt[aux1.vv.aux1])}

Grid[{selectedCompaniesAndDJI,rr},Frame->All]

Pro srovnání případ, kdy jsou prodeje nakrátko povoleny:

Row@{"Požadovaný výnos: μ = Median(r) = ",medianrr=Median[rr]}
Row@{"Optimální portfolio = ",aux1=xx/.Minimize[{xx.vv.xx,Total[xx]==1,rr.xx==μ}/.μ->medianrr,xx][[2]]}
Row@{"Výnos = ", rr.aux1,"   Rozptyl = ",aux1.vv.aux1,"   Riziko = ",(Sqrt[aux1.vv.aux1])}

Maximalizace Sharpeova poměru

xxSharpe2=xx/.Maximize[{((xx.rr)/(Sqrt[xx.vv.xx])),Thread[xx≥0]},xx][[2]];
Row@{"Optimální portfolio:\n",xxSharpe=(xxSharpe2/(Total[xxSharpe2]))}

Row@{"Očekávaný výnos:   ",rr.xxSharpe,"   Riziko:   ",(Sqrt[xxSharpe.vv.xxSharpe])}

Konec 2022-05-05

2023-05-12 Lekce 13

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20210414PortfolioTheoryT.pdf

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20210505CAPMT.pdf

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20210519HodnoceniInvesticT.pdf

FAQ

Q1

A1

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Tržní portfolio, Market portfolio

Připomeňme grafickou representaci MVP (Minimum Variance Portfolio) při existenci bezrizikového aktiva. Racionální investoři s ohledem na svou rizikovou averzi si volí portfolia reprezentované body na přímce spojující body {0,(Subscript[r, 0])} a {(Subscript[σ, t]),(r^t)} v rovině (Subscript[σ, p])-(Subscript[r, p]).

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Import["portfolior2riskyplusriskless.eps"]

Security Market Line

Cvičení. Vysvětlete, co reprezentují body nad a pod přímkou trhu cenných papírů na grafu β-verze.

[3] Cipra, T.: Matematika cenných papírů. Kamil Mařík Professional Publishing. Praha 2013.

Platné pro libovolné portfolio, libovolné aktivum.

Capital Market Line

Platné pouze pro eficientní portfolia!!! Rozdíl od SML!

CAPM Příklad

Data a jejich předzpracování je v odstavci CAPM (odhady, ...),  zde uvádíme pouze výsledky s komentářemi.

Uvažujeme N=30 společností zahrnutých do burzovního indexu ^DJI (members of ^DJI). Tento index bude v dalším reprezentovat i tržní portfolio. Data jsou z období dvou let: 2019-04-15 až 2021-04-15 na denní bázi, celkem T=500 obchodních dnů.

membersDJI={"NYSE:MMM","NYSE:AXP","NASDAQ:AMGN","NASDAQ:AAPL","NYSE:BA","NYSE:CAT","NYSE:CVX","NASDAQ:CSCO","NYSE:KO","NYSE:DIS","NYSE:DOW","NYSE:GS","NYSE:HD","NYSE:HON","NASDAQ:INTC","NYSE:IBM","NYSE:JNJ","NYSE:JPM","NYSE:MCD","NYSE:MRK","NASDAQ:MSFT","NYSE:NKE","NYSE:PG","NYSE:CRM","NYSE:TRV","NYSE:UNH","NYSE:VZ","NYSE:V","NASDAQ:WBA","NYSE:WMT"};

Známá bezriziková úroková míra (ú. m.)

Za bezrizikovou ú. m. jsme zvolili výnosy tříměsíčních státních pokladničních poukázek USA (T-bills 3M). Je kótována jako roční ú. m. v [%], pro naše účely je nutný přepočet na dny, takže místo kótované (Subscript[r, 0]) použijeme (Subscript[r, 0])/(100 365). Předpokládá se lineární regresní model (1.13) z materiálu PDF, ale bereme v potaz bezrizikové ú. m. proměnné v čase, takže v uvedeném vzorci uvažujeme (Subscript[r, 0])⟶(Subscript[r, 0t]), t=1,...,500. V procedurách figurují tyto proměnné:
(Subscript[ρ, t]^M)... iReturnsDJISelected[[All,2]]
(Subscript[r, 0t])... iRisklessRatesSelected3Mdaily
(Subscript[ρ, 1t]),...,(Subscript[ρ, 30,t]) ...  iReturnsMembersDJISelected[[1,All,2]], ..., iReturnsMembersDJISelected[[30,All,2]],
t=1,...,500.

Odhady faktoru β pro 30 společností z ^DJI:

Odhady faktoru β pro 30 společností z ^DJI setříděné podle β:

Riziko měřeno koeficientem β je nejrizikovější Boeing ((Subscript[β, BA])=1.7403919772539718`), stejně riskantní jako trh je firma Travelers (pojišťovna, (Subscript[β, TRV])=1.0088979859266995`) a nejméně citlivá na tržní výkyvy je společnost Wal-Mart (řetězec hypermarketů, (Subscript[β, WMT])=0.46430354831826315`).

Neznámá bezriziková úroková míra (ú. m.)

Odhadovaný model je (1.14) z materiálu PDF.

Odhady α a β pro 30 společností z ^DJI setříděné podle β:

Můžeme konstatovat, že odchylky od modelu, kde se předpokládají známé bezrizikové ú. m. jsou zanedbatelné.

Subdivisions 2 years, (1^st) year, (2^nd) year

Vidíme, že v druhém roce se projevil vliv pandemie. Všimněte si zvláště rozdílů mezi faktory (Subscript[β, Boeing]) a (Subscript[β, Wal-Mart]) v prvním a druhém roce. Prostudujte rozdíly i u ostatních společností z hlediska odvětví.

**CAPM (odhady parametrů α a β, technické záležitosti)

2021-05-13 Známá bezriziková úroková míra (ú. m.)

Uvažujeme 30 společností zahrnutých do burzovního indexu ^DJI (members of ^DJI). Tento index bude v dalším reprezentovat i tržní portfolio.

membersDJI={"NYSE:MMM","NYSE:AXP","NASDAQ:AMGN","NASDAQ:AAPL","NYSE:BA","NYSE:CAT","NYSE:CVX","NASDAQ:CSCO","NYSE:KO","NYSE:DIS","NYSE:DOW","NYSE:GS","NYSE:HD","NYSE:HON","NASDAQ:INTC","NYSE:IBM","NYSE:JNJ","NYSE:JPM","NYSE:MCD","NYSE:MRK","NASDAQ:MSFT","NYSE:NKE","NYSE:PG","NYSE:CRM","NYSE:TRV","NYSE:UNH","NYSE:VZ","NYSE:V","NASDAQ:WBA","NYSE:WMT"};

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
iPricesDJI=Import["20210511iPricesDJI.XML"]; 
iReturnsDJISelected=Import["20210511iReturnsDJISelected.XML"];
iPricesMembersDJI=Import["20210511iPricesMembersDJI.XML"];
iReturnsMembersDJISelected=Import["20210511iReturnsMembersDJISelected.XML"];
iRisklessRatesSelected=Import["20210511iRisklessRatesSelected.XML"];

DateListPlot[iPricesDJI,PlotLabel->"Prices ^DJI"]

iRisklessRatesSelected3MwithDates=iRisklessRatesSelected[[All,{1,4}]];
DateListPlot[%,PlotLabel->"T-bills 3 month [%]"]

iRisklessRatesSelected3Mdaily=iRisklessRatesSelected3MwithDates[[All,2]]/(100 365);
%//ListLinePlot

xx=iReturnsDJISelected[[All,2]]-iRisklessRatesSelected3Mdaily;

Grid[Prepend[iBetasRiskless={membersDJI,iNamesDJI, iSectorsDJI,Table[{β/.FindFit[{iReturnsDJISelected[[All,2]]-iRisklessRatesSelected3Mdaily,iReturnsMembersDJISelected[[j,All,2]]-iRisklessRatesSelected3Mdaily}//Transpose,β x,β,x]}//Flatten,{j,30}]//Flatten}//Transpose,Map[Style[#,Bold,15]&,{"Company","Name","Sector",β}]],Frame->All]

Sorted by β

Grid[Prepend[Sort[iBetasRiskless,#1[[4]]>#2[[4]]&],Map[Style[#,Bold,15]&,{"Company","Name","Sector",β}]],Frame->All]

2021-05-13 Neznámá bezriziková úroková míra (ú. m.)

Grid[Prepend[iBetasWithoutRiskless=Join[{membersDJI,iNamesDJI, iSectorsDJI}//Transpose,Table[{{α,β}/.FindFit[{iReturnsDJISelected[[All,2]],iReturnsMembersDJISelected[[j,All,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}//Flatten,{j,Length[iReturnsMembersDJISelected]}],2],Map[Style[#,Bold,15]&,{"Company","Name","Sector",α,β}]],Frame->All]

Sorted by β

Grid[Prepend[Sort[iBetasWithoutRiskless,#1[[5]]>#2[[5]]&],Map[Style[#,Bold,15]&,{"Company","Name","Sector",α,β}]],Frame->All]

2021-05-13 Subdivisions 2 years, (1^st) year, (2^nd) year

TableForm[Table[{{{α,β}/.FindFit[{iReturnsDJISelected[[All,2]],iReturnsMembersDJISelected[[j,All,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},{{α,β}/.FindFit[{iReturnsDJISelected[[1;;250,2]],iReturnsMembersDJISelected[[j,1;;250,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},
{{α,β}/.FindFit[{iReturnsDJISelected[[251;;500,2]],iReturnsMembersDJISelected[[j,251;;500,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}}//Flatten,{j,30}],TableHeadings->{membersDJI,{"α: days 1-500","β: days 1-500","α: days 1-250","β: days 1-250","α: days 251-500","β: days 251-500"}}]

**Data (Období dvou let: 2019-04-15 až 2021-04-15)

!!!!!!!20210510 Download data from the server (prices ^DJI, returns ^DJI, returns companies in DJI:

Ceny ( = hodnoty indexu) DJI, výnosy DJI, výnosy firem zahrnutých v DJI

(* Hodnoty indexu ^DJI *)
iPricesDJI=FinancialData["^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
(* Výnosy indexu ^DJI *)
iReturnsDJI=FinancialData["^DJI","Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
(* Výnosy 30 společností ^DJI *)
iReturnsMembersDJI=Map[FinancialData[#,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"]&,membersDJI];
(* Ceny 30 společností ^DJI *)
iPricesMembersDJI=Map[FinancialData[#,{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"]&,membersDJI];

Map[Length,{iPricesDJI,iReturnsDJI,iReturnsMembersDJI,iPricesMembersDJI}]
Map[Dimensions,{iReturnsMembersDJI,iPricesMembersDJI}]
Map[Length,iReturnsMembersDJI]
%//Union

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["20210511iPricesDJI.XML",iPricesDJI];
Export["20210511iReturnsDJI.XML",iReturnsDJI];
Export["20210511iPricesMembersDJI.XML",iPricesMembersDJI];
Export["20210511iReturnsMembersDJI.XML",iReturnsMembersDJI];

Vidíme, že pozorované počty (kótované výnosy) nejsou stejné pro všechny společnosti přestože se jedná o firmy pouze z USA. Pro rigorózní analýzu použijeme pouze kotace v kalendářních datech společných pro všechny společnosti. Poznamenejme, že úprava dat je většinou nutná pro analýzu dat  z různých zemí (např. USA versus Německo) už třeba kvůli různým svátkům a tudíž odlišným obchodním dnům. Takovéto úpravě dat budeme říkat konsolidace dat.

Ukázka struktury dat:

iPricesDJI[[1;;2]]
iReturnsDJI[[1;;2]]
iPricesMembersDJI[[1;;2,1;;2]]
iReturnsMembersDJI[[1;;2,1;;2]]

Kalendářní data společná pro výnosy ^DJI a firem v DJI (konsolidace dat:

iReturnsDJIDates=iReturnsDJI[[All,1]];
iReturnsMembersDJIDates=Table[iReturnsMembersDJI[[j,All,1]],{j,1,Length[iReturnsMembersDJI]}]

Prepend[iReturnsMembersDJIDates,iReturnsDJIDates]

Apply[Intersection,Prepend[iReturnsMembersDJIDates,iReturnsDJIDates]]//Length

!Bezrizikové ú. m.

Riskless rates (bezrizikové úrokové míry)

Možná, že se bezrizikové úrokové míry dají také získat přes funkci FinancialData, ale nevím jak. Pomocí systému Mathematica je možné extrakce dat z libovolné webové stránky (viz dokumentace (HyperlinkURL["http://reference.wolfram.com/language/workflow/ScrapeDataFromAWebsite.html", http://reference.wolfram.com/language/workflow/ScrapeDataFromAWebsite.html]) ), ale pro tak malý rozsah dat potřebný pro naše účely je nejjednodušší tupě data zkopírovat a pak s nimi dále pracovat. To je předmětem následujících podsekcí.

Zdroj:

Obsahuje denní kotace státních dluhopisů USA se splatnostmi 1, 2, 3, 6 měsíců, 1, 2, 3, ... roků (ve sloupcích). Pro větší flexibilitu zpracujeme pro všechny doby splatnosti.

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2019

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2020

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2021

Sloupce :

Grid[{StringSplit["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]},Frame->All]

"Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"//Split

Split["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]

Riskless rates - T-Bills USA: Download & preprocessing

Kopie z výše uvedených stránek

iTBillsUSA2019="01/02/19	2.40	2.40	2.42	2.51	2.60	2.50	2.47	2.49	2.56	2.66	2.83	2.97
01/03/19	2.42	2.42	2.41	2.47	2.50	2.39	2.35	2.37	2.44	2.56	2.75	2.92
01/04/19	2.40	2.42	2.42	2.51	2.57	2.50	2.47	2.49	2.56	2.67	2.83	2.98
01/07/19	2.42	2.42	2.45	2.54	2.58	2.53	2.51	2.53	2.60	2.70	2.86	2.99
01/08/19	2.40	2.42	2.46	2.54	2.60	2.58	2.57	2.58	2.63	2.73	2.88	3.00
01/09/19	2.40	2.42	2.45	2.52	2.59	2.56	2.54	2.57	2.64	2.74	2.90	3.03
01/10/19	2.42	2.42	2.43	2.51	2.59	2.56	2.54	2.56	2.63	2.74	2.92	3.06
01/11/19	2.41	2.43	2.43	2.50	2.58	2.55	2.51	2.52	2.60	2.71	2.90	3.04
01/14/19	2.42	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.60	2.71	2.91	3.06
01/15/19	2.41	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.61	2.72	2.92	3.08
01/16/19	2.41	2.40	2.43	2.49	2.57	2.55	2.53	2.54	2.62	2.73	2.92	3.07
01/17/19	2.41	2.41	2.42	2.50	2.57	2.56	2.55	2.58	2.66	2.75	2.93	3.07
01/18/19	2.40	2.40	2.41	2.50	2.60	2.62	2.60	2.62	2.70	2.79	2.95	3.09
01/22/19	2.38	2.40	2.43	2.51	2.59	2.58	2.55	2.57	2.65	2.74	2.91	3.06
01/23/19	2.37	2.38	2.41	2.51	2.59	2.58	2.57	2.59	2.66	2.76	2.93	3.07
01/24/19	2.38	2.41	2.37	2.50	2.58	2.56	2.54	2.55	2.62	2.72	2.89	3.04
01/25/19	2.36	2.41	2.39	2.51	2.60	2.60	2.58	2.59	2.66	2.76	2.92	3.06
01/28/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.60	2.58	2.58	2.65	2.75	2.92	3.06
01/29/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.56	2.54	2.55	2.61	2.72	2.90	3.04
01/30/19	2.40	2.39	2.42	2.50	2.57	2.52	2.49	2.49	2.58	2.70	2.90	3.06
01/31/19	2.42	2.43	2.41	2.46	2.55	2.45	2.43	2.43	2.51	2.63	2.83	2.99
02/01/19	2.41	2.42	2.40	2.46	2.56	2.52	2.50	2.51	2.59	2.70	2.88	3.03
02/04/19	2.41	2.41	2.42	2.49	2.57	2.53	2.52	2.53	2.62	2.73	2.92	3.06
02/05/19	2.39	2.40	2.42	2.50	2.56	2.53	2.50	2.51	2.60	2.71	2.89	3.03
02/06/19	2.40	2.41	2.42	2.50	2.56	2.52	2.50	2.50	2.59	2.70	2.88	3.03
02/07/19	2.43	2.43	2.42	2.49	2.55	2.48	2.46	2.46	2.54	2.65	2.85	3.00
02/08/19	2.43	2.43	2.43	2.49	2.54	2.45	2.43	2.44	2.53	2.63	2.82	2.97
02/11/19	2.44	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.47	2.47	2.56	2.65	2.85	3.00
02/12/19	2.42	2.43	2.43	2.50	2.55	2.50	2.48	2.49	2.58	2.68	2.87	3.02
02/13/19	2.42	2.42	2.44	2.51	2.55	2.53	2.52	2.53	2.61	2.71	2.89	3.04
02/14/19	2.45	2.43	2.43	2.51	2.53	2.50	2.48	2.48	2.56	2.66	2.85	3.01
02/15/19	2.43	2.43	2.43	2.50	2.55	2.52	2.50	2.49	2.57	2.66	2.84	3.00
02/19/19	2.44	2.42	2.45	2.52	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	2.99
02/20/19	2.41	2.42	2.45	2.51	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	3.00
02/21/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.53	2.49	2.51	2.59	2.69	2.89	3.05
02/22/19	2.43	2.45	2.46	2.51	2.55	2.48	2.46	2.47	2.55	2.65	2.86	3.02
02/25/19	2.44	2.46	2.47	2.51	2.56	2.51	2.48	2.48	2.57	2.67	2.87	3.03
02/26/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.44	2.45	2.54	2.64	2.84	3.01
02/27/19	2.43	2.44	2.45	2.52	2.54	2.50	2.48	2.49	2.59	2.69	2.91	3.07
02/28/19	2.44	2.47	2.45	2.50	2.54	2.52	2.50	2.52	2.63	2.73	2.94	3.09
03/01/19	2.44	2.46	2.44	2.52	2.55	2.55	2.54	2.56	2.67	2.76	2.97	3.13
03/04/19	2.45	2.46	2.46	2.54	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.09
03/05/19	2.44	2.45	2.46	2.53	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.08
03/06/19	2.43	2.44	2.47	2.53	2.54	2.52	2.49	2.49	2.59	2.69	2.90	3.06
03/07/19	2.45	2.46	2.45	2.52	2.52	2.47	2.44	2.44	2.54	2.64	2.86	3.03
03/08/19	2.45	2.46	2.46	2.52	2.53	2.45	2.43	2.42	2.51	2.62	2.83	3.00
03/11/19	2.44	2.45	2.46	2.54	2.53	2.47	2.45	2.44	2.53	2.64	2.86	3.03
03/12/19	2.44	2.46	2.46	2.53	2.52	2.45	2.41	2.41	2.50	2.61	2.82	3.00
03/13/19	2.43	2.44	2.45	2.53	2.53	2.45	2.41	2.42	2.51	2.61	2.82	3.02
03/14/19	2.48	2.46	2.45	2.52	2.52	2.46	2.42	2.43	2.53	2.63	2.86	3.04
03/15/19	2.46	2.46	2.45	2.52	2.52	2.43	2.39	2.40	2.49	2.59	2.83	3.02
03/18/19	2.47	2.46	2.44	2.51	2.52	2.45	2.41	2.42	2.51	2.60	2.83	3.01
03/19/19	2.46	2.47	2.46	2.52	2.50	2.46	2.42	2.42	2.51	2.61	2.84	3.02
03/20/19	2.45	2.45	2.48	2.49	2.47	2.40	2.34	2.34	2.44	2.54	2.79	2.98
03/21/19	2.51	2.47	2.49	2.50	2.48	2.41	2.34	2.34	2.44	2.54	2.78	2.96
03/22/19	2.49	2.48	2.46	2.48	2.45	2.31	2.24	2.24	2.34	2.44	2.69	2.88
03/25/19	2.47	2.47	2.46	2.49	2.41	2.26	2.19	2.21	2.32	2.43	2.68	2.87
03/26/19	2.46	2.44	2.46	2.49	2.44	2.24	2.18	2.18	2.29	2.41	2.67	2.86
03/27/19	2.45	2.43	2.44	2.46	2.40	2.22	2.16	2.18	2.28	2.39	2.63	2.83
03/28/19	2.44	2.45	2.43	2.44	2.40	2.23	2.18	2.20	2.29	2.39	2.62	2.81
03/29/19	2.43	2.44	2.40	2.44	2.40	2.27	2.21	2.23	2.31	2.41	2.63	2.81
04/01/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.41	2.33	2.29	2.31	2.40	2.49	2.71	2.89
04/02/19	2.43	2.42	2.42	2.45	2.41	2.30	2.26	2.28	2.38	2.48	2.70	2.88
04/03/19	2.42	2.43	2.44	2.45	2.41	2.33	2.29	2.32	2.42	2.52	2.75	2.93
04/04/19	2.43	2.43	2.44	2.46	2.41	2.33	2.29	2.32	2.41	2.51	2.74	2.92
04/05/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.43	2.35	2.30	2.31	2.40	2.50	2.72	2.91
04/08/19	2.43	2.44	2.43	2.48	2.43	2.36	2.31	2.33	2.42	2.52	2.74	2.93
04/09/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.42	2.35	2.31	2.31	2.40	2.51	2.73	2.92
04/10/19	2.40	2.41	2.43	2.46	2.41	2.31	2.27	2.28	2.37	2.48	2.71	2.90
04/11/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.44	2.35	2.30	2.31	2.40	2.51	2.74	2.94
04/12/19	2.41	2.43	2.44	2.47	2.44	2.40	2.36	2.38	2.47	2.56	2.78	2.97
04/15/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.43	2.40	2.36	2.37	2.46	2.55	2.77	2.96
04/16/19	2.43	2.44	2.43	2.47	2.45	2.41	2.38	2.41	2.50	2.60	2.81	2.99
04/17/19	2.43	2.44	2.44	2.47	2.44	2.40	2.37	2.40	2.49	2.59	2.81	2.99
04/18/19	2.44	2.44	2.42	2.47	2.44	2.38	2.36	2.38	2.46	2.57	2.78	2.96
04/22/19	2.44	2.44	2.44	2.47	2.46	2.38	2.36	2.39	2.49	2.59	2.82	2.99
04/23/19	2.43	2.44	2.45	2.46	2.43	2.36	2.34	2.36	2.46	2.57	2.81	2.98
04/24/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.42	2.32	2.28	2.32	2.41	2.53	2.76	2.94
04/25/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.42	2.33	2.29	2.33	2.42	2.54	2.76	2.94
04/26/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.41	2.28	2.25	2.29	2.39	2.51	2.74	2.92
04/29/19	2.45	2.45	2.44	2.47	2.42	2.30	2.27	2.32	2.42	2.54	2.78	2.96
04/30/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.39	2.27	2.24	2.28	2.39	2.51	2.75	2.93
05/01/19	2.42	2.41	2.43	2.44	2.39	2.31	2.28	2.31	2.41	2.52	2.74	2.92
05/02/19	2.44	2.46	2.47	2.46	2.41	2.35	2.32	2.34	2.44	2.55	2.77	2.94
05/03/19	2.42	2.44	2.43	2.46	2.41	2.33	2.30	2.33	2.43	2.54	2.75	2.93
05/06/19	2.43	2.44	2.44	2.46	2.39	2.31	2.27	2.30	2.40	2.51	2.73	2.91
05/07/19	2.44	2.44	2.43	2.46	2.37	2.28	2.24	2.25	2.35	2.45	2.68	2.86
05/08/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.37	2.30	2.26	2.28	2.38	2.49	2.71	2.89
05/09/19	2.43	2.43	2.43	2.46	2.36	2.26	2.22	2.25	2.34	2.45	2.69	2.87
05/10/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.36	2.26	2.23	2.26	2.37	2.47	2.70	2.89
05/13/19	2.41	2.42	2.41	2.42	2.32	2.18	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.83
05/14/19	2.41	2.42	2.41	2.43	2.32	2.20	2.17	2.20	2.30	2.42	2.67	2.86
05/15/19	2.40	2.41	2.42	2.43	2.30	2.16	2.12	2.15	2.25	2.37	2.63	2.82
05/16/19	2.40	2.41	2.40	2.43	2.33	2.20	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.84
05/17/19	2.39	2.40	2.39	2.42	2.33	2.20	2.15	2.17	2.27	2.39	2.63	2.82
05/20/19	2.39	2.39	2.39	2.42	2.34	2.21	2.17	2.21	2.30	2.41	2.65	2.83
05/21/19	2.37	2.38	2.39	2.42	2.36	2.26	2.20	2.23	2.33	2.43	2.67	2.84
05/22/19	2.36	2.37	2.38	2.41	2.37	2.23	2.17	2.19	2.28	2.39	2.64	2.82
05/23/19	2.38	2.38	2.37	2.40	2.32	2.12	2.08	2.11	2.20	2.31	2.56	2.75
05/24/19	2.37	2.38	2.35	2.39	2.33	2.16	2.10	2.12	2.22	2.32	2.57	2.75
05/28/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.31	2.12	2.06	2.06	2.16	2.26	2.52	2.70
05/29/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.30	2.09	2.04	2.05	2.16	2.25	2.50	2.69
05/30/19	2.37	2.38	2.38	2.40	2.29	2.06	2.00	2.03	2.12	2.22	2.46	2.65
05/31/19	2.35	2.38	2.35	2.35	2.21	1.95	1.90	1.93	2.03	2.14	2.39	2.58
06/03/19	2.36	2.36	2.35	2.31	2.11	1.82	1.79	1.83	1.95	2.07	2.34	2.53
06/04/19	2.34	2.36	2.35	2.29	2.11	1.88	1.84	1.89	2.01	2.12	2.41	2.60
06/05/19	2.31	2.35	2.35	2.25	2.04	1.83	1.81	1.86	2.00	2.12	2.42	2.63
06/06/19	2.32	2.35	2.33	2.22	2.02	1.88	1.85	1.88	2.01	2.12	2.42	2.62
06/07/19	2.30	2.32	2.28	2.15	1.97	1.85	1.82	1.85	1.97	2.09	2.36	2.57
06/10/19	2.30	2.31	2.29	2.21	2.03	1.90	1.87	1.91	2.03	2.15	2.42	2.62
06/11/19	2.27	2.26	2.27	2.21	2.05	1.93	1.87	1.92	2.03	2.15	2.42	2.62
06/12/19	2.19	2.22	2.24	2.20	2.02	1.88	1.83	1.88	2.00	2.13	2.41	2.62
06/13/19	2.24	2.23	2.19	2.18	2.00	1.83	1.78	1.84	1.96	2.10	2.39	2.61
06/14/19	2.23	2.21	2.20	2.18	2.00	1.84	1.79	1.85	1.96	2.09	2.38	2.59
06/17/19	2.22	2.21	2.23	2.20	2.03	1.86	1.80	1.85	1.96	2.09	2.37	2.58
06/18/19	2.18	2.20	2.22	2.20	2.04	1.86	1.80	1.83	1.93	2.06	2.34	2.55
06/19/19	2.14	2.18	2.18	2.11	1.96	1.74	1.70	1.77	1.89	2.03	2.32	2.54
06/20/19	2.17	2.15	2.14	2.04	1.91	1.72	1.69	1.74	1.87	2.01	2.31	2.53
06/21/19	2.16	2.16	2.11	2.05	1.95	1.77	1.74	1.80	1.93	2.07	2.37	2.59
06/24/19	2.12	2.13	2.13	2.10	1.92	1.72	1.69	1.75	1.88	2.02	2.33	2.55
06/25/19	2.11	2.12	2.12	2.10	1.93	1.71	1.67	1.73	1.86	2.00	2.31	2.53
06/26/19	2.11	2.12	2.15	2.12	1.96	1.77	1.74	1.80	1.92	2.05	2.35	2.57
06/27/19	2.19	2.15	2.14	2.12	1.93	1.74	1.71	1.76	1.88	2.01	2.31	2.52
06/28/19	2.18	2.15	2.12	2.09	1.92	1.75	1.71	1.76	1.87	2.00	2.31	2.52
07/01/19	2.17	2.16	2.21	2.10	1.94	1.78	1.74	1.79	1.90	2.03	2.34	2.55
07/02/19	2.21	2.17	2.20	2.09	1.91	1.77	1.71	1.75	1.85	1.98	2.29	2.51
07/03/19	2.25	2.20	2.21	2.08	1.91	1.77	1.71	1.74	1.83	1.96	2.25	2.47
07/05/19	2.26	2.22	2.23	2.14	1.98	1.87	1.82	1.84	1.93	2.04	2.34	2.54
07/08/19	2.23	2.24	2.26	2.14	1.99	1.88	1.84	1.86	1.94	2.05	2.32	2.53
07/09/19	2.22	2.24	2.26	2.15	2.00	1.92	1.88	1.88	1.96	2.07	2.34	2.54
07/10/19	2.18	2.18	2.20	2.07	1.93	1.82	1.79	1.82	1.93	2.07	2.36	2.57
07/11/19	2.17	2.17	2.17	2.08	1.97	1.85	1.84	1.88	1.99	2.13	2.42	2.65
07/12/19	2.16	2.18	2.14	2.07	1.96	1.84	1.81	1.86	1.98	2.12	2.42	2.64
07/15/19	2.17	2.19	2.16	2.06	1.95	1.83	1.80	1.84	1.96	2.09	2.39	2.61
07/16/19	2.16	2.17	2.15	2.06	2.00	1.87	1.84	1.88	2.00	2.13	2.42	2.63
07/17/19	2.13	2.14	2.14	2.04	1.95	1.83	1.80	1.83	1.94	2.06	2.35	2.57
07/18/19	2.11	2.12	2.05	2.01	1.90	1.77	1.74	1.78	1.89	2.04	2.34	2.56
07/19/19	2.11	2.16	2.06	2.03	1.94	1.80	1.77	1.80	1.91	2.05	2.35	2.57
07/22/19	2.13	2.16	2.09	2.08	1.95	1.80	1.77	1.80	1.92	2.05	2.36	2.58
07/23/19	2.12	2.15	2.06	2.09	1.97	1.83	1.79	1.83	1.94	2.08	2.38	2.61
07/24/19	2.10	2.14	2.10	2.08	1.98	1.83	1.79	1.82	1.93	2.05	2.36	2.58
07/25/19	2.16	2.17	2.10	2.08	1.99	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.60
07/26/19	2.13	2.15	2.12	2.10	2.00	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.59
07/29/19	2.12	2.16	2.12	2.10	1.98	1.85	1.81	1.84	1.93	2.06	2.37	2.59
07/30/19	2.07	2.10	2.08	2.07	1.97	1.85	1.82	1.84	1.93	2.06	2.36	2.58
07/31/19	2.01	2.07	2.08	2.10	2.00	1.89	1.84	1.84	1.92	2.02	2.31	2.53
08/01/19	2.11	2.14	2.07	2.04	1.88	1.73	1.67	1.68	1.77	1.90	2.21	2.44
08/02/19	2.11	2.12	2.06	2.02	1.85	1.72	1.67	1.66	1.75	1.86	2.16	2.39
08/05/19	2.07	2.08	2.05	1.99	1.78	1.59	1.55	1.55	1.63	1.75	2.07	2.30
08/06/19	2.05	2.08	2.05	2.00	1.80	1.60	1.54	1.53	1.62	1.73	2.03	2.25
08/07/19	2.02	2.04	2.02	1.95	1.75	1.59	1.51	1.52	1.60	1.71	2.01	2.22
08/08/19	2.09	2.07	2.02	1.96	1.79	1.62	1.54	1.54	1.62	1.72	2.02	2.25
08/09/19	2.05	2.06	2.00	1.95	1.78	1.63	1.58	1.57	1.65	1.74	2.03	2.26
08/12/19	2.09	2.06	2.00	1.94	1.75	1.58	1.51	1.49	1.56	1.65	1.92	2.14
08/13/19	2.05	2.04	2.00	1.96	1.86	1.66	1.60	1.57	1.62	1.68	1.94	2.15
08/14/19	1.98	1.98	1.96	1.92	1.79	1.58	1.53	1.51	1.55	1.59	1.84	2.03
08/15/19	2.08	1.97	1.91	1.86	1.72	1.48	1.44	1.42	1.47	1.52	1.80	1.98
08/16/19	2.05	1.95	1.87	1.85	1.71	1.48	1.44	1.42	1.49	1.55	1.82	2.01
08/19/19	2.06	1.96	1.94	1.90	1.75	1.53	1.49	1.47	1.54	1.60	1.88	2.08
08/20/19	2.05	1.96	1.94	1.89	1.72	1.50	1.44	1.42	1.49	1.55	1.84	2.04
08/21/19	2.03	1.98	1.97	1.90	1.77	1.56	1.50	1.47	1.54	1.59	1.87	2.07
08/22/19	2.10	2.02	2.00	1.91	1.79	1.61	1.53	1.50	1.56	1.62	1.90	2.11
08/23/19	2.07	2.02	1.97	1.87	1.73	1.51	1.43	1.40	1.46	1.52	1.82	2.02
08/26/19	2.09	2.03	2.01	1.90	1.75	1.54	1.47	1.43	1.49	1.54	1.84	2.04
08/27/19	2.07	2.03	1.98	1.94	1.77	1.53	1.43	1.40	1.44	1.49	1.77	1.97
08/28/19	2.07	2.04	1.99	1.89	1.74	1.50	1.42	1.37	1.42	1.47	1.76	1.94
08/29/19	2.10	2.03	1.99	1.89	1.75	1.53	1.44	1.40	1.46	1.50	1.78	1.97
08/30/19	2.10	2.04	1.99	1.89	1.76	1.50	1.42	1.39	1.45	1.50	1.78	1.96
09/03/19	2.06	2.01	1.98	1.88	1.72	1.47	1.38	1.35	1.42	1.47	1.77	1.95
09/04/19	2.05	2.02	1.97	1.87	1.69	1.43	1.36	1.32	1.40	1.47	1.77	1.97
09/05/19	2.05	2.01	1.97	1.88	1.73	1.55	1.47	1.43	1.51	1.57	1.86	2.06
09/06/19	2.05	2.00	1.96	1.88	1.73	1.53	1.46	1.42	1.50	1.55	1.83	2.02
09/09/19	2.04	1.99	1.96	1.87	1.74	1.58	1.52	1.49	1.57	1.63	1.91	2.11
09/10/19	2.04	1.99	1.95	1.89	1.81	1.67	1.61	1.58	1.66	1.72	2.00	2.19
09/11/19	2.01	1.97	1.96	1.88	1.79	1.68	1.62	1.60	1.68	1.75	2.02	2.22
09/12/19	1.99	1.97	1.95	1.90	1.82	1.72	1.67	1.65	1.72	1.79	2.06	2.22
09/13/19	1.99	1.98	1.96	1.92	1.88	1.79	1.76	1.75	1.83	1.90	2.17	2.37
09/16/19	2.08	2.02	1.99	1.93	1.86	1.74	1.71	1.69	1.77	1.84	2.11	2.31
09/17/19	2.10	2.06	1.99	1.93	1.87	1.72	1.68	1.66	1.75	1.81	2.08	2.27
09/18/19	1.94	1.93	1.95	1.91	1.87	1.77	1.72	1.68	1.76	1.80	2.06	2.25
09/19/19	2.01	1.99	1.93	1.92	1.88	1.74	1.68	1.66	1.73	1.79	2.04	2.22
09/20/19	1.95	1.94	1.91	1.91	1.84	1.69	1.63	1.61	1.68	1.74	1.99	2.17
09/23/19	1.94	1.94	1.94	1.93	1.81	1.68	1.61	1.59	1.65	1.72	1.98	2.16
09/24/19	1.90	1.90	1.92	1.91	1.78	1.60	1.53	1.52	1.58	1.64	1.91	2.09
09/25/19	1.80	1.86	1.89	1.90	1.82	1.68	1.61	1.60	1.66	1.73	1.99	2.18
09/26/19	1.91	1.90	1.83	1.88	1.79	1.66	1.61	1.59	1.65	1.70	1.96	2.15
09/27/19	1.90	1.86	1.80	1.85	1.74	1.63	1.58	1.56	1.62	1.69	1.95	2.13
09/30/19	1.91	1.87	1.88	1.83	1.75	1.63	1.56	1.55	1.62	1.68	1.94	2.12
10/01/19	1.79	1.77	1.82	1.81	1.73	1.56	1.51	1.51	1.59	1.65	1.93	2.11
10/02/19	1.75	1.75	1.79	1.75	1.67	1.48	1.43	1.43	1.53	1.60	1.90	2.09
10/03/19	1.78	1.75	1.70	1.66	1.58	1.39	1.34	1.34	1.45	1.54	1.85	2.04
10/04/19	1.73	1.74	1.71	1.65	1.58	1.40	1.35	1.34	1.43	1.52	1.81	2.01
10/07/19	1.76	1.76	1.75	1.73	1.64	1.46	1.41	1.38	1.47	1.56	1.85	2.05
10/08/19	1.69	1.72	1.72	1.69	1.62	1.42	1.38	1.36	1.45	1.54	1.84	2.04
10/09/19	1.69	1.70	1.69	1.69	1.59	1.47	1.43	1.40	1.50	1.59	1.88	2.08
10/10/19	1.74	1.71	1.68	1.68	1.63	1.53	1.49	1.48	1.57	1.67	1.96	2.16
10/11/19	1.76	1.74	1.68	1.68	1.67	1.63	1.60	1.59	1.68	1.76	2.04	2.22
10/15/19	1.74	1.72	1.67	1.67	1.65	1.61	1.60	1.59	1.68	1.77	2.06	2.23
10/16/19	1.71	1.68	1.66	1.64	1.59	1.58	1.57	1.57	1.65	1.75	2.05	2.23
10/17/19	1.74	1.70	1.66	1.63	1.59	1.60	1.57	1.57	1.66	1.76	2.05	2.24
10/18/19	1.75	1.69	1.66	1.63	1.58	1.58	1.56	1.56	1.66	1.76	2.06	2.25
10/21/19	1.76	1.70	1.67	1.65	1.59	1.62	1.59	1.61	1.70	1.80	2.10	2.28
10/22/19	1.75	1.69	1.65	1.64	1.59	1.60	1.59	1.60	1.68	1.78	2.07	2.26
10/23/19	1.74	1.69	1.65	1.64	1.58	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.06	2.25
10/24/19	1.75	1.73	1.67	1.65	1.59	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.08	2.26
10/25/19	1.73	1.72	1.66	1.66	1.60	1.63	1.62	1.62	1.71	1.80	2.10	2.29
10/28/19	1.74	1.71	1.65	1.65	1.60	1.64	1.65	1.66	1.75	1.85	2.16	2.34
10/29/19	1.66	1.67	1.63	1.64	1.59	1.64	1.65	1.66	1.74	1.84	2.15	2.33
10/30/19	1.61	1.60	1.62	1.62	1.59	1.61	1.60	1.61	1.69	1.78	2.08	2.26
10/31/19	1.59	1.59	1.54	1.57	1.53	1.52	1.52	1.51	1.60	1.69	2.00	2.17
11/01/19	1.58	1.58	1.52	1.55	1.53	1.56	1.55	1.55	1.63	1.73	2.03	2.21
11/04/19	1.58	1.57	1.53	1.57	1.56	1.60	1.59	1.60	1.69	1.79	2.10	2.27
11/05/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.62	1.63	1.63	1.66	1.77	1.86	2.17	2.34
11/06/19	1.55	1.56	1.56	1.57	1.58	1.61	1.60	1.63	1.73	1.81	2.13	2.30
11/07/19	1.57	1.57	1.56	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.84	1.92	2.24	2.40
11/08/19	1.56	1.56	1.55	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.86	1.94	2.27	2.43
11/12/19	1.56	1.56	1.59	1.59	1.58	1.66	1.69	1.73	1.84	1.92	2.24	2.39
11/13/19	1.56	1.57	1.57	1.59	1.57	1.63	1.65	1.69	1.79	1.88	2.20	2.36
11/14/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.55	1.58	1.59	1.63	1.73	1.82	2.15	2.31
11/15/19	1.59	1.56	1.57	1.59	1.54	1.61	1.61	1.65	1.75	1.84	2.16	2.31
11/18/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.73	1.81	2.14	2.30
11/19/19	1.58	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.71	1.79	2.11	2.26
11/20/19	1.57	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.55	1.58	1.66	1.73	2.05	2.20
11/21/19	1.57	1.57	1.58	1.59	1.55	1.60	1.59	1.62	1.71	1.77	2.09	2.24
11/22/19	1.58	1.59	1.58	1.59	1.56	1.61	1.60	1.62	1.71	1.77	2.08	2.22
11/25/19	1.60	1.60	1.61	1.61	1.58	1.61	1.60	1.62	1.71	1.76	2.07	2.21
11/26/19	1.63	1.61	1.60	1.62	1.59	1.58	1.58	1.58	1.68	1.74	2.04	2.18
11/27/19	1.65	1.60	1.62	1.63	1.60	1.63	1.61	1.63	1.71	1.77	2.06	2.19
11/29/19	1.62	1.60	1.59	1.63	1.60	1.61	1.61	1.62	1.73	1.78	2.07	2.21
12/02/19	1.60	1.58	1.60	1.62	1.60	1.61	1.63	1.65	1.77	1.83	2.15	2.28
12/03/19	1.56	1.54	1.57	1.57	1.57	1.53	1.54	1.54	1.65	1.72	2.03	2.17
12/04/19	1.59	1.54	1.55	1.56	1.56	1.58	1.58	1.60	1.71	1.77	2.08	2.22
12/05/19	1.52	1.56	1.54	1.55	1.56	1.58	1.60	1.62	1.73	1.80	2.11	2.24
12/06/19	1.52	1.55	1.53	1.56	1.57	1.61	1.64	1.67	1.78	1.84	2.14	2.29
12/09/19	1.54	1.54	1.54	1.58	1.56	1.63	1.63	1.67	1.77	1.83	2.13	2.27
12/10/19	1.53	1.55	1.56	1.57	1.56	1.65	1.67	1.68	1.78	1.85	2.12	2.26
12/11/19	1.54	1.56	1.57	1.58	1.55	1.61	1.62	1.64	1.74	1.79	2.08	2.23
12/12/19	1.57	1.57	1.56	1.57	1.55	1.66	1.69	1.73	1.84	1.90	2.18	2.32
12/13/19	1.55	1.57	1.57	1.56	1.54	1.61	1.62	1.66	1.76	1.82	2.11	2.26
12/16/19	1.57	1.57	1.57	1.58	1.54	1.65	1.67	1.72	1.82	1.89	2.17	2.30
12/17/19	1.56	1.56	1.56	1.58	1.53	1.63	1.66	1.71	1.82	1.89	2.18	2.31
12/18/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.54	1.63	1.67	1.74	1.86	1.92	2.22	2.35
12/19/19	1.54	1.58	1.57	1.57	1.52	1.62	1.65	1.73	1.84	1.92	2.21	2.35
12/20/19	1.57	1.59	1.58	1.58	1.52	1.63	1.67	1.73	1.84	1.92	2.21	2.34
12/23/19	1.57	1.57	1.59	1.60	1.53	1.64	1.67	1.75	1.86	1.93	2.22	2.35
12/24/19	1.55	1.58	1.58	1.61	1.53	1.62	1.64	1.72	1.83	1.90	2.20	2.33
12/26/19	1.59	1.60	1.58	1.61	1.53	1.64	1.65	1.72	1.85	1.90	2.19	2.33
12/27/19	1.56	1.56	1.57	1.59	1.51	1.59	1.60	1.68	1.80	1.88	2.18	2.32
12/30/19	1.51	1.53	1.57	1.60	1.57	1.58	1.59	1.68	1.81	1.90	2.21	2.34
12/31/19	1.48	1.51	1.55	1.60	1.59	1.58	1.62	1.69	1.83	1.92	2.25	2.39";

iTBillsUSA2020="01/02/20	1.53	1.55	1.54	1.57	1.56	1.58	1.59	1.67	1.79	1.88	2.19	2.33
01/03/20	1.52	1.55	1.52	1.55	1.55	1.53	1.54	1.59	1.71	1.80	2.11	2.26
01/06/20	1.54	1.54	1.56	1.56	1.54	1.54	1.56	1.61	1.72	1.81	2.13	2.28
01/07/20	1.52	1.53	1.54	1.56	1.53	1.54	1.55	1.62	1.74	1.83	2.16	2.31
01/08/20	1.50	1.53	1.54	1.56	1.55	1.58	1.61	1.67	1.78	1.87	2.21	2.35
01/09/20	1.53	1.55	1.54	1.56	1.54	1.58	1.59	1.65	1.77	1.85	2.17	2.38
01/10/20	1.52	1.55	1.54	1.55	1.53	1.56	1.59	1.63	1.74	1.83	2.14	2.28
01/13/20	1.54	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.60	1.65	1.76	1.85	2.16	2.30
01/14/20	1.53	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.59	1.63	1.74	1.82	2.12	2.27
01/15/20	1.53	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.56	1.60	1.71	1.79	2.09	2.23
01/16/20	1.54	1.56	1.55	1.56	1.54	1.58	1.58	1.63	1.73	1.81	2.11	2.26
01/17/20	1.54	1.56	1.56	1.57	1.56	1.58	1.56	1.63	1.74	1.84	2.16	2.29
01/21/20	1.52	1.54	1.56	1.57	1.54	1.53	1.53	1.57	1.69	1.78	2.10	2.23
01/22/20	1.52	1.53	1.55	1.56	1.55	1.53	1.52	1.57	1.68	1.77	2.07	2.22
01/23/20	1.55	1.57	1.55	1.56	1.55	1.51	1.51	1.55	1.65	1.74	2.03	2.18
01/24/20	1.54	1.55	1.54	1.55	1.55	1.49	1.48	1.51	1.61	1.70	2.00	2.14
01/27/20	1.53	1.55	1.55	1.57	1.53	1.44	1.41	1.44	1.52	1.61	1.91	2.05
01/28/20	1.53	1.57	1.57	1.58	1.53	1.45	1.45	1.47	1.56	1.65	1.95	2.10
01/29/20	1.52	1.55	1.56	1.57	1.51	1.42	1.39	1.41	1.51	1.60	1.89	2.05
01/30/20	1.59	1.58	1.57	1.57	1.48	1.41	1.37	1.39	1.49	1.57	1.88	2.04
01/31/20	1.56	1.57	1.55	1.54	1.45	1.33	1.30	1.32	1.42	1.51	1.83	1.99
02/03/20	1.56	1.57	1.57	1.56	1.46	1.36	1.34	1.35	1.45	1.54	1.84	2.01
02/04/20	1.55	1.57	1.57	1.57	1.48	1.41	1.40	1.42	1.52	1.61	1.91	2.08
02/05/20	1.55	1.56	1.57	1.57	1.49	1.44	1.43	1.46	1.57	1.66	1.97	2.14
02/06/20	1.59	1.59	1.57	1.58	1.51	1.44	1.43	1.45	1.56	1.65	1.94	2.11
02/07/20	1.57	1.58	1.56	1.57	1.49	1.41	1.39	1.41	1.51	1.59	1.89	2.05
02/10/20	1.58	1.58	1.58	1.58	1.45	1.37	1.36	1.38	1.47	1.56	1.87	2.03
02/11/20	1.57	1.58	1.57	1.55	1.48	1.41	1.39	1.40	1.50	1.59	1.89	2.05
02/12/20	1.57	1.59	1.58	1.56	1.49	1.44	1.42	1.45	1.55	1.62	1.93	2.09
02/13/20	1.59	1.59	1.59	1.56	1.48	1.44	1.42	1.43	1.53	1.61	1.91	2.07
02/14/20	1.60	1.60	1.58	1.56	1.49	1.42	1.40	1.42	1.51	1.59	1.89	2.04
02/18/20	1.61	1.60	1.58	1.56	1.47	1.41	1.37	1.39	1.48	1.55	1.85	2.00
02/19/20	1.61	1.61	1.58	1.56	1.47	1.42	1.39	1.41	1.50	1.56	1.86	2.01
02/20/20	1.61	1.60	1.58	1.55	1.46	1.39	1.35	1.37	1.45	1.52	1.81	1.97
02/21/20	1.60	1.60	1.56	1.53	1.43	1.34	1.30	1.30	1.39	1.46	1.75	1.90
02/24/20	1.60	1.59	1.53	1.49	1.35	1.26	1.21	1.21	1.30	1.38	1.68	1.84
02/25/20	1.59	1.58	1.53	1.47	1.30	1.20	1.16	1.16	1.25	1.33	1.63	1.80
02/26/20	1.59	1.56	1.53	1.42	1.26	1.16	1.14	1.14	1.25	1.33	1.64	1.81
02/27/20	1.56	1.53	1.45	1.33	1.18	1.11	1.08	1.11	1.22	1.30	1.61	1.79
02/28/20	1.45	1.37	1.27	1.11	0.97	0.86	0.85	0.89	1.03	1.13	1.46	1.65
03/02/20	1.41	1.27	1.13	0.95	0.89	0.84	0.85	0.88	1.01	1.10	1.46	1.66
03/03/20	1.11	1.05	0.95	0.83	0.73	0.71	0.72	0.77	0.91	1.02	1.44	1.64
03/04/20	1.00	0.87	0.72	0.68	0.59	0.67	0.68	0.75	0.90	1.02	1.45	1.67
03/05/20	0.92	0.83	0.62	0.53	0.48	0.59	0.61	0.67	0.81	0.92	1.34	1.56
03/06/20	0.79	0.64	0.45	0.41	0.39	0.49	0.53	0.58	0.69	0.74	1.09	1.25
03/09/20	0.57	0.52	0.33	0.27	0.31	0.38	0.40	0.46	0.56	0.54	0.87	0.99
03/10/20	0.57	0.55	0.44	0.43	0.43	0.50	0.58	0.63	0.73	0.76	1.16	1.28
03/11/20	0.42	0.42	0.42	0.40	0.40	0.50	0.58	0.66	0.78	0.82	1.13	1.30
03/12/20	0.41	0.33	0.33	0.37	0.39	0.50	0.58	0.66	0.82	0.88	1.27	1.49
03/13/20	0.33	0.30	0.28	0.38	0.38	0.49	0.58	0.70	0.89	0.94	1.31	1.56
03/16/20	0.25	0.25	0.24	0.29	0.29	0.36	0.43	0.49	0.67	0.73	1.10	1.34
03/17/20	0.12	0.18	0.19	0.24	0.30	0.47	0.54	0.66	0.91	1.02	1.45	1.63
03/18/20	0.04	0.03	0.02	0.08	0.21	0.54	0.66	0.79	1.08	1.18	1.60	1.77
03/19/20	0.04	0.04	0.04	0.06	0.20	0.44	0.53	0.66	1.00	1.12	1.56	1.78
03/20/20	0.04	0.05	0.05	0.05	0.15	0.37	0.41	0.52	0.82	0.92	1.35	1.55
03/23/20	0.01	0.04	0.02	0.08	0.17	0.28	0.31	0.38	0.63	0.76	1.12	1.33
03/24/20	0.01	0.01	0.01	0.09	0.25	0.38	0.44	0.52	0.75	0.84	1.19	1.39
03/25/20	0.00	0.00	0.00	0.07	0.19	0.34	0.41	0.56	0.77	0.88	1.23	1.45
03/26/20	0.01	0.01	0.00	0.04	0.13	0.30	0.36	0.51	0.72	0.83	1.20	1.42
03/27/20	0.01	0.03	0.03	0.02	0.11	0.25	0.30	0.41	0.60	0.72	1.09	1.29
03/30/20	0.04	0.07	0.12	0.12	0.14	0.23	0.29	0.39	0.57	0.70	1.10	1.31
03/31/20	0.05	0.12	0.11	0.15	0.17	0.23	0.29	0.37	0.55	0.70	1.15	1.35
04/01/20	0.03	0.07	0.09	0.14	0.16	0.23	0.28	0.37	0.51	0.62	1.04	1.27
04/02/20	0.09	0.10	0.09	0.15	0.14	0.23	0.29	0.39	0.53	0.63	1.04	1.26
04/03/20	0.09	0.11	0.10	0.15	0.15	0.23	0.30	0.39	0.52	0.62	1.05	1.24
04/06/20	0.09	0.13	0.15	0.17	0.20	0.27	0.35	0.44	0.58	0.67	1.08	1.27
04/07/20	0.10	0.13	0.14	0.20	0.20	0.28	0.36	0.48	0.64	0.75	1.13	1.32
04/08/20	0.14	0.17	0.22	0.24	0.23	0.27	0.34	0.47	0.65	0.77	1.18	1.37
04/09/20	0.20	0.27	0.25	0.24	0.25	0.23	0.29	0.41	0.60	0.73	1.15	1.35
04/13/20	0.17	0.29	0.26	0.27	0.27	0.25	0.31	0.44	0.63	0.76	1.19	1.39
04/14/20	0.17	0.19	0.20	0.24	0.25	0.23	0.29	0.42	0.61	0.76	1.19	1.41
04/15/20	0.14	0.15	0.14	0.19	0.19	0.20	0.24	0.34	0.49	0.63	1.06	1.27
04/16/20	0.14	0.15	0.14	0.18	0.17	0.20	0.25	0.35	0.50	0.61	1.01	1.21
04/17/20	0.12	0.12	0.12	0.16	0.16	0.20	0.26	0.36	0.53	0.65	1.08	1.27
04/20/20	0.10	0.10	0.12	0.15	0.15	0.20	0.26	0.35	0.51	0.63	1.04	1.23
04/21/20	0.08	0.08	0.11	0.14	0.17	0.20	0.24	0.34	0.48	0.58	0.98	1.17
04/22/20	0.09	0.09	0.12	0.14	0.16	0.22	0.26	0.37	0.52	0.63	1.03	1.22
04/23/20	0.09	0.12	0.11	0.14	0.17	0.22	0.26	0.37	0.51	0.61	0.99	1.18
04/24/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.18	0.22	0.26	0.36	0.51	0.60	0.98	1.17
04/27/20	0.09	0.13	0.12	0.15	0.17	0.24	0.29	0.41	0.56	0.67	1.06	1.25
04/28/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.26	0.37	0.52	0.62	1.00	1.20
04/29/20	0.10	0.09	0.10	0.12	0.18	0.20	0.24	0.36	0.52	0.63	1.02	1.24
04/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.16	0.20	0.24	0.36	0.53	0.64	1.05	1.28
05/01/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.17	0.20	0.25	0.36	0.53	0.64	1.04	1.27
05/04/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.16	0.19	0.24	0.36	0.52	0.64	1.05	1.29
05/05/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.19	0.24	0.36	0.53	0.66	1.07	1.32
05/06/20	0.08	0.10	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.37	0.57	0.72	1.16	1.41
05/07/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.15	0.13	0.19	0.29	0.49	0.63	1.05	1.31
05/08/20	0.10	0.11	0.12	0.15	0.15	0.16	0.21	0.33	0.53	0.69	1.12	1.39
05/11/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.36	0.56	0.73	1.16	1.43
05/12/20	0.10	0.11	0.13	0.16	0.16	0.17	0.22	0.34	0.53	0.69	1.11	1.38
05/13/20	0.10	0.10	0.13	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.50	0.64	1.07	1.35
05/14/20	0.09	0.10	0.12	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.48	0.63	1.03	1.30
05/15/20	0.09	0.09	0.12	0.15	0.15	0.16	0.19	0.31	0.49	0.64	1.05	1.32
05/18/20	0.10	0.11	0.13	0.15	0.17	0.18	0.24	0.38	0.57	0.73	1.17	1.44
05/19/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.17	0.22	0.35	0.54	0.70	1.15	1.43
05/20/20	0.08	0.11	0.12	0.14	0.16	0.16	0.21	0.34	0.53	0.68	1.19	1.40
05/21/20	0.09	0.11	0.12	0.14	0.16	0.17	0.21	0.35	0.53	0.68	1.16	1.40
05/22/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.17	0.17	0.21	0.34	0.51	0.66	1.12	1.37
05/26/20	0.10	0.12	0.14	0.17	0.17	0.18	0.22	0.35	0.53	0.69	1.19	1.43
05/27/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.34	0.52	0.68	1.19	1.44
05/28/20	0.14	0.15	0.15	0.18	0.17	0.17	0.22	0.34	0.54	0.70	1.23	1.47
05/29/20	0.13	0.14	0.14	0.18	0.17	0.16	0.19	0.30	0.50	0.65	1.18	1.41
06/01/20	0.12	0.14	0.14	0.18	0.17	0.14	0.20	0.31	0.50	0.66	1.22	1.46
06/02/20	0.12	0.13	0.15	0.18	0.17	0.17	0.20	0.32	0.52	0.68	1.24	1.48
06/03/20	0.12	0.14	0.16	0.19	0.17	0.19	0.26	0.38	0.59	0.77	1.32	1.56
06/04/20	0.13	0.15	0.15	0.18	0.17	0.19	0.26	0.40	0.63	0.82	1.38	1.61
06/05/20	0.13	0.14	0.15	0.18	0.18	0.22	0.29	0.47	0.71	0.91	1.46	1.68
06/08/20	0.15	0.15	0.17	0.19	0.19	0.22	0.29	0.45	0.69	0.88	1.43	1.65
06/09/20	0.14	0.17	0.19	0.19	0.19	0.20	0.25	0.40	0.65	0.84	1.37	1.59
06/10/20	0.13	0.16	0.17	0.19	0.18	0.17	0.22	0.33	0.56	0.75	1.31	1.53
06/11/20	0.14	0.16	0.17	0.18	0.19	0.19	0.22	0.32	0.51	0.66	1.19	1.41
06/12/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.18	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/15/20	0.15	0.16	0.18	0.19	0.17	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/16/20	0.14	0.15	0.17	0.19	0.18	0.21	0.23	0.34	0.56	0.75	1.31	1.54
06/17/20	0.13	0.15	0.17	0.18	0.19	0.19	0.23	0.34	0.55	0.74	1.30	1.52
06/18/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.19	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.24	1.47
06/19/20	0.13	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.33	0.53	0.70	1.23	1.47
06/22/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.17	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.23	1.46
06/23/20	0.12	0.14	0.16	0.17	0.18	0.18	0.22	0.33	0.54	0.72	1.25	1.49
06/24/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.17	0.19	0.21	0.33	0.52	0.69	1.21	1.44
06/25/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.17	0.17	0.21	0.32	0.53	0.68	1.20	1.43
06/26/20	0.12	0.15	0.14	0.17	0.17	0.17	0.19	0.30	0.49	0.64	1.15	1.37
06/29/20	0.11	0.14	0.14	0.18	0.16	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.16	1.39
06/30/20	0.13	0.14	0.16	0.18	0.16	0.16	0.18	0.29	0.49	0.66	1.18	1.41
07/01/20	0.12	0.12	0.14	0.17	0.16	0.17	0.19	0.31	0.52	0.69	1.20	1.43
07/02/20	0.13	0.14	0.14	0.16	0.16	0.16	0.19	0.29	0.50	0.68	1.20	1.43
07/06/20	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.16	0.19	0.31	0.51	0.69	1.21	1.45
07/07/20	0.12	0.14	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.29	0.48	0.65	1.15	1.38
07/08/20	0.11	0.13	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.67	1.16	1.39
07/09/20	0.11	0.12	0.13	0.16	0.15	0.16	0.18	0.28	0.46	0.62	1.09	1.32
07/10/20	0.10	0.12	0.13	0.15	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.65	1.12	1.33
07/13/20	0.11	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.19	0.30	0.48	0.64	1.11	1.33
07/14/20	0.11	0.14	0.15	0.14	0.17	0.14	0.19	0.28	0.47	0.63	1.09	1.30
07/15/20	0.12	0.13	0.16	0.15	0.15	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.11	1.33
07/16/20	0.12	0.11	0.11	0.13	0.14	0.16	0.17	0.28	0.46	0.62	1.09	1.31
07/17/20	0.11	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.18	0.29	0.47	0.64	1.11	1.33
07/20/20	0.11	0.12	0.13	0.14	0.14	0.16	0.18	0.29	0.47	0.62	1.10	1.32
07/21/20	0.09	0.11	0.13	0.13	0.15	0.14	0.17	0.27	0.45	0.61	1.09	1.31
07/22/20	0.09	0.12	0.13	0.14	0.14	0.14	0.17	0.27	0.45	0.60	1.08	1.29
07/23/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.16	0.27	0.44	0.59	1.03	1.24
07/24/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.16	0.14	0.17	0.27	0.44	0.59	1.03	1.23
07/27/20	0.10	0.10	0.11	0.14	0.14	0.15	0.18	0.30	0.46	0.62	1.05	1.25
07/28/20	0.09	0.11	0.11	0.12	0.14	0.14	0.16	0.26	0.44	0.59	1.01	1.22
07/29/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.12	0.15	0.25	0.43	0.58	1.03	1.24
07/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.11	0.11	0.14	0.23	0.40	0.55	0.98	1.20
07/31/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/03/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.11	0.13	0.22	0.40	0.56	1.01	1.23
08/04/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.11	0.10	0.19	0.36	0.52	0.96	1.19
08/05/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.12	0.11	0.13	0.22	0.39	0.55	1.00	1.22
08/06/20	0.07	0.11	0.10	0.11	0.14	0.11	0.13	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.13	0.14	0.23	0.41	0.57	1.01	1.23
08/10/20	0.09	0.11	0.11	0.13	0.13	0.14	0.15	0.24	0.42	0.59	1.04	1.25
08/11/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.15	0.16	0.18	0.27	0.46	0.64	1.10	1.32
08/12/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.19	0.30	0.50	0.69	1.15	1.37
08/13/20	0.08	0.10	0.10	0.12	0.14	0.16	0.19	0.32	0.52	0.71	1.20	1.42
08/14/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.51	0.71	1.21	1.45
08/17/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.49	0.69	1.19	1.43
08/18/20	0.08	0.09	0.09	0.13	0.13	0.14	0.17	0.27	0.47	0.67	1.16	1.40
08/19/20	0.07	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.17	0.29	0.48	0.68	1.20	1.42
08/20/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.12	0.13	0.15	0.26	0.46	0.65	1.15	1.38
08/21/20	0.07	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.16	0.27	0.46	0.64	1.13	1.35
08/24/20	0.09	0.10	0.12	0.12	0.14	0.14	0.18	0.28	0.47	0.65	1.14	1.35
08/25/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.18	0.30	0.49	0.69	1.18	1.39
08/26/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.28	0.50	0.69	1.20	1.41
08/27/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.31	0.53	0.74	1.28	1.50
08/28/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.28	0.51	0.74	1.29	1.52
08/31/20	0.08	0.10	0.11	0.13	0.12	0.14	0.15	0.28	0.50	0.72	1.26	1.49
09/01/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.12	0.13	0.14	0.26	0.46	0.68	1.20	1.43
09/02/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.16	0.26	0.45	0.66	1.16	1.38
09/03/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.12	0.13	0.15	0.24	0.43	0.63	1.13	1.34
09/04/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.50	0.72	1.25	1.46
09/08/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.15	0.14	0.17	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/09/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.14	0.14	0.17	0.28	0.48	0.71	1.25	1.45
09/10/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.14	0.17	0.26	0.46	0.68	1.22	1.43
09/11/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.13	0.13	0.16	0.26	0.45	0.67	1.21	1.42
09/14/20	0.10	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/15/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.43
09/16/20	0.08	0.11	0.12	0.12	0.12	0.14	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.45
09/17/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/18/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.16	0.29	0.48	0.70	1.24	1.45
09/21/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.22	1.43
09/22/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/23/20	0.08	0.09	0.11	0.11	0.13	0.14	0.15	0.28	0.46	0.68	1.21	1.42
09/24/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.67	1.19	1.40
09/25/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.26	0.45	0.66	1.19	1.40
09/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.12	0.14	0.16	0.26	0.46	0.67	1.20	1.42
09/29/20	0.07	0.08	0.09	0.11	0.12	0.11	0.13	0.24	0.44	0.66	1.19	1.41
09/30/20	0.08	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.46
10/01/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.23	1.45
10/02/20	0.10	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.48	0.70	1.25	1.48
10/05/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.19	0.33	0.55	0.78	1.34	1.57
10/06/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.14	0.14	0.17	0.32	0.53	0.76	1.33	1.56
10/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.21	0.35	0.56	0.81	1.37	1.60
10/08/20	0.09	0.09	0.09	0.12	0.13	0.13	0.18	0.33	0.54	0.78	1.34	1.57
10/09/20	0.10	0.11	0.10	0.12	0.15	0.16	0.20	0.34	0.55	0.79	1.34	1.58
10/13/20	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.18	0.31	0.52	0.74	1.29	1.52
10/14/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.51	0.73	1.28	1.50
10/15/20	0.10	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.52	0.74	1.29	1.52
10/16/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.53	0.76	1.30	1.52
10/19/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.34	0.54	0.78	1.32	1.55
10/20/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.19	0.34	0.57	0.81	1.37	1.60
10/21/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.20	0.36	0.58	0.83	1.40	1.62
10/22/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.21	0.38	0.62	0.87	1.43	1.67
10/23/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.18	0.21	0.37	0.61	0.85	1.41	1.64
10/26/20	0.08	0.09	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.35	0.58	0.81	1.37	1.59
10/27/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.57
10/28/20	0.07	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.56
10/29/20	0.08	0.10	0.09	0.10	0.12	0.16	0.20	0.38	0.61	0.85	1.39	1.62
10/30/20	0.08	0.09	0.09	0.11	0.13	0.14	0.19	0.38	0.64	0.88	1.43	1.65
11/02/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.38	0.63	0.87	1.41	1.63
11/03/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.17	0.21	0.39	0.65	0.90	1.44	1.66
11/04/20	0.08	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.55	0.78	1.33	1.55
11/05/20	0.09	0.10	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.56	0.79	1.32	1.54
11/06/20	0.10	0.10	0.10	0.11	0.12	0.16	0.21	0.36	0.59	0.83	1.37	1.60
11/09/20	0.10	0.10	0.11	0.11	0.12	0.17	0.25	0.44	0.70	0.96	1.51	1.73
11/10/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.19	0.26	0.46	0.72	0.98	1.53	1.75
11/12/20	0.10	0.11	0.10	0.10	0.13	0.17	0.23	0.40	0.64	0.88	1.42	1.64
11/13/20	0.10	0.09	0.09	0.10	0.12	0.17	0.23	0.41	0.65	0.89	1.43	1.65
11/16/20	0.09	0.10	0.09	0.12	0.12	0.19	0.24	0.41	0.66	0.91	1.44	1.66
11/17/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.12	0.18	0.22	0.39	0.63	0.87	1.40	1.62
11/18/20	0.07	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.40	0.64	0.88	1.42	1.62
11/19/20	0.08	0.08	0.07	0.10	0.11	0.18	0.22	0.39	0.63	0.86	1.38	1.58
11/20/20	0.09	0.09	0.07	0.10	0.11	0.16	0.21	0.38	0.62	0.83	1.33	1.53
11/23/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.16	0.22	0.39	0.64	0.86	1.36	1.56
11/24/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.39	0.65	0.88	1.40	1.60
11/25/20	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.17	0.21	0.39	0.65	0.88	1.41	1.62
11/27/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.20	0.37	0.61	0.84	1.36	1.57
11/30/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.16	0.19	0.36	0.62	0.84	1.37	1.58
12/01/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.12	0.17	0.22	0.42	0.68	0.92	1.46	1.66
12/02/20	0.07	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.42	0.69	0.95	1.50	1.70
12/03/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.40	0.67	0.92	1.46	1.67
12/04/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.11	0.16	0.21	0.42	0.70	0.97	1.53	1.73
12/07/20	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.20	0.40	0.67	0.94	1.49	1.69
12/08/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.46	1.67
12/09/20	0.07	0.07	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.41	0.68	0.95	1.48	1.69
12/10/20	0.07	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.44	1.65
12/11/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.11	0.18	0.37	0.63	0.90	1.42	1.63
12/14/20	0.07	0.08	0.09	0.08	0.10	0.13	0.17	0.37	0.63	0.90	1.43	1.63
12/15/20	0.07	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.18	0.37	0.64	0.92	1.45	1.65
12/16/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.37	0.64	0.92	1.46	1.66
12/17/20	0.08	0.09	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.38	0.66	0.94	1.47	1.68
12/18/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.39	0.67	0.95	1.49	1.70
12/21/20	0.08	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.39	0.66	0.95	1.48	1.68
12/22/20	0.07	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.17	0.37	0.64	0.93	1.45	1.65
12/23/20	0.07	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.38	0.67	0.96	1.49	1.70
12/24/20	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.37	0.66	0.94	1.46	1.66
12/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.13	0.17	0.38	0.65	0.94	1.46	1.67
12/29/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.11	0.12	0.17	0.37	0.66	0.94	1.47	1.67
12/30/20	0.06	0.06	0.08	0.09	0.12	0.12	0.17	0.37	0.66	0.93	1.46	1.66
12/31/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.36	0.65	0.93	1.45	1.65";

iTBillsUSA2021="01/04/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.36	0.64	0.93	1.46	1.66
01/05/21	0.08	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.38	0.66	0.96	1.49	1.70
01/06/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.20	0.43	0.74	1.04	1.60	1.81
01/07/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.22	0.46	0.78	1.08	1.64	1.85
01/08/21	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.24	0.49	0.81	1.13	1.67	1.87
01/11/21	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.22	0.50	0.84	1.15	1.68	1.88
01/12/21	0.09	0.08	0.09	0.09	0.11	0.14	0.23	0.50	0.83	1.15	1.68	1.88
01/13/21	0.09	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.22	0.48	0.80	1.10	1.63	1.82
01/14/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.16	0.23	0.49	0.82	1.15	1.69	1.88
01/15/21	0.08	0.09	0.09	0.10	0.10	0.13	0.20	0.46	0.78	1.11	1.66	1.85
01/19/21	0.07	0.09	0.09	0.11	0.10	0.14	0.21	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/20/21	0.08	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/21/21	0.07	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.19	0.45	0.79	1.12	1.68	1.87
01/22/21	0.07	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.44	0.77	1.10	1.66	1.85
01/25/21	0.07	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.42	0.73	1.05	1.61	1.80
01/26/21	0.05	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.18	0.42	0.74	1.05	1.61	1.80
01/27/21	0.05	0.06	0.08	0.09	0.09	0.12	0.18	0.41	0.72	1.04	1.60	1.79
01/28/21	0.05	0.06	0.07	0.08	0.08	0.12	0.18	0.42	0.75	1.07	1.63	1.81
01/29/21	0.07	0.07	0.06	0.07	0.10	0.11	0.19	0.45	0.79	1.11	1.68	1.87
02/01/21	0.06	0.07	0.07	0.08	0.08	0.11	0.17	0.42	0.76	1.09	1.66	1.84
02/02/21	0.04	0.05	0.07	0.08	0.08	0.11	0.18	0.45	0.79	1.12	1.69	1.87
02/03/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.11	0.19	0.46	0.81	1.15	1.73	1.92
02/04/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.18	0.46	0.81	1.15	1.75	1.93
02/05/21	0.02	0.03	0.03	0.05	0.06	0.09	0.19	0.47	0.83	1.19	1.79	1.97
02/08/21	0.04	0.03	0.05	0.05	0.07	0.11	0.20	0.48	0.83	1.19	1.78	1.96
02/09/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.19	0.48	0.83	1.18	1.78	1.95
02/10/21	0.05	0.04	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.80	1.15	1.75	1.92
02/11/21	0.05	0.05	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.81	1.16	1.77	1.94
02/12/21	0.03	0.04	0.04	0.05	0.06	0.11	0.20	0.50	0.85	1.20	1.83	2.01
02/16/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.23	0.57	0.94	1.30	1.92	2.08
02/17/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.21	0.57	0.94	1.29	1.92	2.06
02/18/21	0.03	0.03	0.03	0.04	0.06	0.11	0.21	0.56	0.94	1.29	1.91	2.08
02/19/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.07	0.11	0.22	0.59	0.98	1.34	1.98	2.14
02/22/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.11	0.22	0.61	1.00	1.37	2.02	2.19
02/23/21	0.03	0.02	0.04	0.05	0.08	0.11	0.22	0.59	1.00	1.37	2.03	2.21
02/24/21	0.03	0.03	0.03	0.05	0.08	0.12	0.24	0.62	1.02	1.38	2.07	2.24
02/25/21	0.04	0.03	0.04	0.06	0.09	0.17	0.34	0.81	1.23	1.54	2.25	2.33
02/26/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.30	0.75	1.15	1.44	2.08	2.17
03/01/21	0.03	0.03	0.05	0.07	0.08	0.13	0.27	0.71	1.12	1.45	2.11	2.23
03/02/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.26	0.67	1.08	1.42	2.09	2.21
03/03/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.08	0.14	0.29	0.73	1.14	1.47	2.12	2.25
03/04/21	0.03	0.05	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.77	1.21	1.54	2.18	2.30
03/05/21	0.04	0.04	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.79	1.23	1.56	2.18	2.28
03/08/21	0.04	0.04	0.05	0.06	0.09	0.17	0.34	0.86	1.28	1.59	2.20	2.31
03/09/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.10	0.17	0.35	0.83	1.23	1.55	2.16	2.26
03/10/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.08	0.16	0.32	0.80	1.20	1.53	2.15	2.24
03/11/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.31	0.78	1.20	1.54	2.18	2.29
03/12/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.09	0.14	0.34	0.85	1.30	1.64	2.31	2.40
03/15/21	0.02	0.02	0.04	0.06	0.08	0.14	0.33	0.84	1.28	1.62	2.27	2.37
03/16/21	0.01	0.02	0.02	0.06	0.07	0.15	0.33	0.83	1.28	1.62	2.30	2.38
03/17/21	0.01	0.02	0.02	0.05	0.07	0.13	0.29	0.80	1.27	1.63	2.32	2.42
03/18/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.08	0.16	0.33	0.86	1.35	1.71	2.36	2.45
03/19/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.07	0.16	0.33	0.90	1.38	1.74	2.36	2.45
03/22/21	0.02	0.02	0.03	0.05	0.06	0.15	0.32	0.87	1.34	1.69	2.29	2.38
03/23/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.08	0.15	0.31	0.83	1.29	1.63	2.24	2.34
03/24/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.14	0.31	0.83	1.27	1.62	2.21	2.31
03/25/21	0.02	0.03	0.02	0.04	0.07	0.14	0.30	0.82	1.29	1.63	2.24	2.34
03/26/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.14	0.31	0.85	1.32	1.67	2.27	2.37
03/29/21	0.02	0.03	0.03	0.04	0.06	0.14	0.32	0.89	1.37	1.73	2.32	2.43
03/30/21	0.01	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.33	0.90	1.39	1.73	2.29	2.38
03/31/21	0.01	0.01	0.03	0.05	0.07	0.16	0.35	0.92	1.40	1.74	2.31	2.41
04/01/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.17	0.35	0.90	1.37	1.69	2.24	2.34
04/02/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.19	0.39	0.97	1.42	1.72	2.27	2.35
04/05/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.17	0.37	0.94	1.40	1.73	2.28	2.36
04/06/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.88	1.34	1.67	2.24	2.32
04/07/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.87	1.34	1.68	2.26	2.35
04/08/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.05	0.14	0.33	0.85	1.30	1.64	2.22	2.32
04/09/21	0.02	0.01	0.02	0.03	0.06	0.16	0.35	0.87	1.33	1.67	2.23	2.34
04/12/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.18	0.38	0.89	1.35	1.69	2.24	2.34
04/13/21	0.03	0.02	0.03	0.05	0.06	0.16	0.35	0.85	1.29	1.64	2.21	2.32
04/14/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.87	1.31	1.64	2.22	2.32
04/15/21	0.02	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.56	2.13	2.23
04/16/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.84	1.26	1.59	2.15	2.26
04/19/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.08	0.16	0.34	0.85	1.28	1.61	2.18	2.29
04/20/21	0.01	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.31	0.81	1.25	1.58	2.16	2.27
04/21/21	0.00	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.32	0.81	1.24	1.57	2.16	2.26
04/22/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.57	2.13	2.24
04/23/21	0.01	0.02	0.03	0.03	0.07	0.16	0.34	0.83	1.26	1.58	2.14	2.25
04/26/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.18	0.35	0.85	1.27	1.58	2.13	2.24
04/27/21	0.01	0.02	0.01	0.04	0.06	0.17	0.36	0.88	1.32	1.63	2.18	2.29
04/28/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.17	0.35	0.86	1.31	1.63	2.19	2.29
04/29/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.20	2.31
04/30/21	0.01	0.02	0.01	0.03	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.19	2.30";

!!!!!!Riskless rates - T-Bills USA: Data Processing

iTBillsUSA2019split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2019],13];
iTBillsUSA2020split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2020],13];
iTBillsUSA2021split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2021],13];

(iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split])//Dimensions

iTBillsUSA2019split//First

DateList[{"01/02/19",{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]

(*
column1=Map[DateList[{#,{"Day","Month","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];columns2to13=Map[Rest,iTBillsUSAAlloriginal];
Join[column1,columns2to13]
*)
iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split];iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]=Map[DateList[{#,{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];
iTBillsUSAAlloriginal=iTBillsUSAAlloriginal//ToExpression;
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["TBillsUSA2019to2021.XML",iTBillsUSAAlloriginal];

SetDirectory[NotebookDirectory[]]
(iTBillsUSAAlloriginal=Import["TBillsUSA2019to2021.XML"])//Dimensions
iTBillsUSAAlloriginalDates=iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]

***Consolidation

20210512 Consolidation

Import

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
iPricesDJI=Import["20210511iPricesDJI.XML"];
iReturnsDJI=Import["20210511iReturnsDJI.XML"];
iPricesMembersDJI=Import["20210511iPricesMembersDJI.XML"];
iReturnsMembersDJI=Import["20210511iReturnsMembersDJI.XML"];
iTBillsUSAAlloriginal=Import["TBillsUSA2019to2021.XML"];

Dates and Common Dates

iPricesDJIDates=iPricesDJI[[All,1]];
iReturnsDJIDates=iReturnsDJI[[All,1]];
iPricesMembersDJIDates=Table[iPricesMembersDJI[[j,All,1]],{j,1,Length[iPricesMembersDJI]}];
iReturnsMembersDJIDates=Table[iReturnsMembersDJI[[j,All,1]],{j,1,Length[iReturnsMembersDJI]}];
iTBillsUSAAlloriginalDates=iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]];
iCommonDates=Apply[Intersection,Prepend[Prepend[iReturnsMembersDJIDates,iReturnsDJIDates],iTBillsUSAAlloriginalDates]];

Consolidation

(iReturnsMembersDJISelected=Table[Flatten[Map[Select[iReturnsMembersDJI[[j]],Function[x,x[[1]]==#]]&,iCommonDates],1],{j,Length[iReturnsMembersDJI]}])//Dimensions

(iReturnsMembersDJISelected=Table[Flatten[Map[Select[iReturnsMembersDJI[[j]],Function[x,x[[1]]==#]]&,iCommonDates],1],{j,Length[iReturnsMembersDJI]}])//Dimensions
(iReturnsDJISelected=Flatten[Map[Select[iReturnsDJI,Function[x,x[[1]]==#]]&,iCommonDates],1])//Dimensions
(iRisklessRatesSelected=Flatten[Table[Select[iTBillsUSAAlloriginal,Function[x,x[[1]]==j]],{j,iCommonDates}],1])//Dimensions

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
(* Export["20210511iPricesDJI.XML",iPricesDJI]; *)
Export["20210511iReturnsDJISelected.XML",iReturnsDJISelected];
Export["20210511iPricesMembersDJI.XML",iPricesMembersDJI];
Export["20210511iReturnsMembersDJISelected.XML",iReturnsMembersDJISelected];
Export["20210511iRisklessRatesSelected.XML",iRisklessRatesSelected];

!Data for companies in DJI

Download data from the server:

pricesDJI=FinancialData["^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsDJIwithDates=FinancialData["^DJI","Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsDJI=FinancialData["^DJI","Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];

iDatesreturnsDJI=returnsDJIwithDates[[All,1]];

Map[Length,{pricesDJI,returnsDJI}]

membersDJI={"NYSE:MMM","NYSE:AXP","NASDAQ:AMGN","NASDAQ:AAPL","NYSE:BA","NYSE:CAT","NYSE:CVX","NASDAQ:CSCO","NYSE:KO","NYSE:DIS","NYSE:DOW","NYSE:GS","NYSE:HD","NYSE:HON","NASDAQ:INTC","NYSE:IBM","NYSE:JNJ","NYSE:JPM","NYSE:MCD","NYSE:MRK","NASDAQ:MSFT","NYSE:NKE","NYSE:PG","NYSE:CRM","NYSE:TRV","NYSE:UNH","NYSE:VZ","NYSE:V","NASDAQ:WBA","NYSE:WMT"};

iSectorsDJI={"SpecialtyIndustrialMachinery","CreditServices","DrugManufacturersGeneral","ConsumerElectronics","AerospaceAndDefense","FarmAndHeavyConstructionMachinery","OilAndGasIntegrated","CommunicationEquipment","BeveragesNonAlcoholic","Entertainment","Chemicals","CapitalMarkets","HomeImprovementRetail","SpecialtyIndustrialMachinery","Semiconductors","InformationTechnologyServices","DrugManufacturersGeneral","BanksDiversified","Restaurants","DrugManufacturersGeneral","SoftwareInfrastructure","FootwearAndAccessories","HouseholdAndPersonalProducts","SoftwareApplication","InsurancePropertyAndCasualty","HealthcarePlans","TelecomServices","CreditServices","PharmaceuticalRetailers","DiscountStores"};

iNamesDJI={"3M","American Express","Amgen","Apple","Boeing","Caterpillar","Chevron","Cisco","Coca-Cola","Disney","Dow","Goldman Sachs","Home Depot","Honeywell","Intel","IBM","Johnson & Johnson","JPMorgan Chase","McDonald's","Merck & Co.","Microsoft","Nike","Procter & Gamble","Salesforce.com","Travelers","UnitedHealth","Verizon Communications","Visa","Walgreens Boots Alliance Inc","Wal-Mart Stores"};

membersDJIwithNamesSectors=Map[({#,FinancialData[#,{"Name","Sector"}]}//Flatten)&,membersDJI];
Prepend[membersDJIwithNamesSectors,Map[Style[#,Bold,15]&,{"Company","Name","Sector"}]];
Grid[%,Frame->All]

iNamesDJI={"American Express","Amgen","Apple","Boeing","Caterpillar","Chevron","Cisco","Coca-Cola","Disney","Dow","Goldman Sachs","Home Depot","Honeywell","Intel","IBM","Johnson & Johnson","JPMorgan Chase","McDonald's","Merck & Co.","Microsoft","Nike","Procter & Gamble","Salesforce.com","Travelers","UnitedHealth","Verizon Communications","Visa","Walgreens Boots Alliance Inc","Wal-Mart Stores"};

pricesCompaniesDJI=FinancialData[membersDJI,{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];

{Map[Length,pricesCompaniesDJI]//Min,Dimensions[pricesCompaniesDJI]}

pricesCompaniesDJIc=Map[Take[#,505]&,pricesCompaniesDJI];
%//Dimensions

returnsCompaniesDJI=FinancialData[membersDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];

{Map[Length,returnsCompaniesDJI]//Min,Dimensions[returnsCompaniesDJI]}

returnsCompaniesDJIc=Map[Take[#,504]&,returnsCompaniesDJI];
%//Dimensions

Export

Structure of the files:
returnsCompaniesDJIWithNames.XML:
{{“NYSE:MMM”,{0.00495757,0.00341174,0.00569751,-0.001553,..., {“NYSE:WMT”,...}}
returnsDJI.XML:
Just Returns Values (504 values)

(returnsCompaniesDJIWithNames={membersDJI,returnsCompaniesDJIc}//Transpose)

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsCompaniesDJIWithNames.XML",returnsCompaniesDJIWithNames];
Export["returnsDJI.XML",returnsDJI];
Export["returnsDJIwithDates.XML",returnsDJIwithDates];

***Data a základní charakteristiky

Not necessary to activate:

membersDJI=FinancialData["^DJI","Members"]

membersDJIwithNames=Map[{#,FinancialData[#,"Name"]}&,membersDJI];
Grid[%,Frame->All]

Vybereme 7 společností a index ^DJI:

selectedCompaniesAndDJI={"AAPL","BA","KO","DIS","MCD","V","WMT","^DJI"};

Daily data

pricesDJI=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsAllwithDJI=FinancialData[selectedCompaniesAndDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];
Map[Length,returnsAllwithDJI]
Dimensions[returnsAllwithDJI]

DateListPlot[pricesDJI,PlotLabel->"Prices ^DJI"]

returnsAllwithDJI504=Map[Take[#,504]&,returnsAllwithDJI];
Dimensions[returnsAllwithDJI504]
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsAllwithDJI504.XML",returnsAllwithDJI504];
Export["pricesDJI.XML",pricesDJI];

Weekly data

pricesDJIweekly=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},Method->"Legacy"];

pricesDJIweekly=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},Method->"Legacy"];
returnsAllwithDJIweekly=FinancialData[selectedCompaniesAndDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},"Value",Method->"Legacy"];
Map[Length,returnsAllwithDJIweekly]
Dimensions[returnsAllwithDJIweekly]

DateListPlot[pricesDJIweekly,PlotLabel->"Prices ^DJI Weekly"]

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsAllwithDJIweekly105.XML",returnsAllwithDJIweekly];
Export["pricesDJIweekly105.XML",pricesDJIweekly];

*************BEGIN***Daily and Weekly***********************************************
V případě, že není možné získat data výše uvedeným způsobem, aktivujeme tyto příkazy:

SetDirectory[NotebookDirectory[]]; 
returnsAllwithDJI504Import=Import["returnsAllwithDJI504.XML"]; 
pricesDJIImport=Import["pricesDJI.XML"];
returnsAllwithDJIweeklyImport=Import["returnsAllwithDJIweekly105.XML"];
pricesDJIweeklyImport=Import["pricesDJIweekly105.XML"];
pricesDJI=pricesDJIImport;
returnsAllwithDJI504=returnsAllwithDJI504Import;
pricesDJIweekly=pricesDJIweeklyImport;
returnsAllwithDJIweekly=returnsAllwithDJIweeklyImport;

*************END***Daily and Weekly*************************************************

ListLinePlot[returnsAllwithDJI504,PlotRange->All]

ListLinePlot[returnsAllwithDJIweekly,PlotRange->All]

(* Returns of 7 companies without ^DJI: *)
returnsAllCompanies=Most[returnsAllwithDJI504];
%//Dimensions
(* Returns ^DJI: *)
returnsDJI=Last[returnsAllwithDJI504];

***Characteristics of the data

Očekávané výnosy (rr), rizika výnosů, rozptylová matice (vv) a korelační matice (corr)

rr=Mean[Transpose[returnsAllCompanies]];
vv=Covariance[Transpose[returnsAllCompanies]];
{Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]],Join[{"Oč. výnosy"},rr],Join[{"Rizika"},(Sqrt[Diagonal[vv]])]}//Grid[#,Frame->All]&
Text@Style["Correlation matrix:",Blue]
Prepend[Transpose[Prepend[(corr=Correlation[Transpose[returnsAllCompanies]]),Most[selectedCompaniesAndDJI]]],Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]]]//Grid

Determinant rozptylové matice:

Det[vv]

Svědčí o tom, že matice je prakticky singulární. Je také špatně podmíněná. To zhruba znamená, že malé změny v matici původní vyvolají velké změny v matici inverzní což má přirozeně vliv i na řešení soustavy lineárních rovnic

Max[vv]

Inverse[vv]
(* Inverze mírně porušené původní matice: k diagonále přičteme 0.0001 *)
Inverse[vvPerturbated=vv+0.0001IdentityMatrix[7]]

Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vv:\n",Eigenvalues[Inverse[vv]]}
Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vvPerturbated\n",Eigenvalues[Inverse[vvPerturbated]]}
Row@{"Determinanty inverzních matic: ",Det[Inverse[vv]],"    ",Det[Inverse[vvPerturbated]]}

!CAPM estimation 20210502 (unknown riskless rate)

Estimation: unknown riskless rate

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
returnsCompaniesDJIWithNames=Import["returnsCompaniesDJIWithNames.XML"];
returnsDJI=Import["returnsDJI.XML"];
returnsDJIwithDates=Import["returnsDJIwithDates.XML"];

(* Checking *)
{Length[returnsCompaniesDJIWithNames],Map[Length,returnsCompaniesDJIWithNames[[All,2]]]}

(* Test *)
{"^DJI",{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsDJI}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}//Flatten

All days (2 years)

TableForm[Table[{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}//Flatten,{j,Length[returnsCompaniesDJIWithNames]}],TableHeadings->{returnsCompaniesDJIWithNames[[All,1]],{"α","β"}}]

Subdivisions: 2 years, first year, second year

TableForm[Table[{{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI[[1;;252]],returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]][[1;;252]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI[[253;;504]],returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]][[253;;504]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}}//Flatten,{j,Length[returnsCompaniesDJIWithNames]}],TableHeadings->{returnsCompaniesDJIWithNames[[All,1]],{"α: days 1-504","β: days 1-504","α: days 1-252","β: days 1-252","α: days 253-504","β: days 253-504"}}]

***CAPM estimation 20210502 (known riskless rate)

Estimation: known riskless rate

Further reading

https://demonstrations.wolfram.com/ExpectedReturnsOfTheDowIndustrialsBetaModel/

nebo

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/ExpectedReturnsOfTheDowIndustrialsBetaModel-source.nb

***Riskless rates - T-Bills USA: Data Processing

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2019

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2020

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2021

Columns:

Grid[{StringSplit["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]},Frame->All]

"Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"//Split

Split["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]

iTBillsUSA2019="01/02/19	2.40	2.40	2.42	2.51	2.60	2.50	2.47	2.49	2.56	2.66	2.83	2.97
01/03/19	2.42	2.42	2.41	2.47	2.50	2.39	2.35	2.37	2.44	2.56	2.75	2.92
01/04/19	2.40	2.42	2.42	2.51	2.57	2.50	2.47	2.49	2.56	2.67	2.83	2.98
01/07/19	2.42	2.42	2.45	2.54	2.58	2.53	2.51	2.53	2.60	2.70	2.86	2.99
01/08/19	2.40	2.42	2.46	2.54	2.60	2.58	2.57	2.58	2.63	2.73	2.88	3.00
01/09/19	2.40	2.42	2.45	2.52	2.59	2.56	2.54	2.57	2.64	2.74	2.90	3.03
01/10/19	2.42	2.42	2.43	2.51	2.59	2.56	2.54	2.56	2.63	2.74	2.92	3.06
01/11/19	2.41	2.43	2.43	2.50	2.58	2.55	2.51	2.52	2.60	2.71	2.90	3.04
01/14/19	2.42	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.60	2.71	2.91	3.06
01/15/19	2.41	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.61	2.72	2.92	3.08
01/16/19	2.41	2.40	2.43	2.49	2.57	2.55	2.53	2.54	2.62	2.73	2.92	3.07
01/17/19	2.41	2.41	2.42	2.50	2.57	2.56	2.55	2.58	2.66	2.75	2.93	3.07
01/18/19	2.40	2.40	2.41	2.50	2.60	2.62	2.60	2.62	2.70	2.79	2.95	3.09
01/22/19	2.38	2.40	2.43	2.51	2.59	2.58	2.55	2.57	2.65	2.74	2.91	3.06
01/23/19	2.37	2.38	2.41	2.51	2.59	2.58	2.57	2.59	2.66	2.76	2.93	3.07
01/24/19	2.38	2.41	2.37	2.50	2.58	2.56	2.54	2.55	2.62	2.72	2.89	3.04
01/25/19	2.36	2.41	2.39	2.51	2.60	2.60	2.58	2.59	2.66	2.76	2.92	3.06
01/28/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.60	2.58	2.58	2.65	2.75	2.92	3.06
01/29/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.56	2.54	2.55	2.61	2.72	2.90	3.04
01/30/19	2.40	2.39	2.42	2.50	2.57	2.52	2.49	2.49	2.58	2.70	2.90	3.06
01/31/19	2.42	2.43	2.41	2.46	2.55	2.45	2.43	2.43	2.51	2.63	2.83	2.99
02/01/19	2.41	2.42	2.40	2.46	2.56	2.52	2.50	2.51	2.59	2.70	2.88	3.03
02/04/19	2.41	2.41	2.42	2.49	2.57	2.53	2.52	2.53	2.62	2.73	2.92	3.06
02/05/19	2.39	2.40	2.42	2.50	2.56	2.53	2.50	2.51	2.60	2.71	2.89	3.03
02/06/19	2.40	2.41	2.42	2.50	2.56	2.52	2.50	2.50	2.59	2.70	2.88	3.03
02/07/19	2.43	2.43	2.42	2.49	2.55	2.48	2.46	2.46	2.54	2.65	2.85	3.00
02/08/19	2.43	2.43	2.43	2.49	2.54	2.45	2.43	2.44	2.53	2.63	2.82	2.97
02/11/19	2.44	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.47	2.47	2.56	2.65	2.85	3.00
02/12/19	2.42	2.43	2.43	2.50	2.55	2.50	2.48	2.49	2.58	2.68	2.87	3.02
02/13/19	2.42	2.42	2.44	2.51	2.55	2.53	2.52	2.53	2.61	2.71	2.89	3.04
02/14/19	2.45	2.43	2.43	2.51	2.53	2.50	2.48	2.48	2.56	2.66	2.85	3.01
02/15/19	2.43	2.43	2.43	2.50	2.55	2.52	2.50	2.49	2.57	2.66	2.84	3.00
02/19/19	2.44	2.42	2.45	2.52	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	2.99
02/20/19	2.41	2.42	2.45	2.51	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	3.00
02/21/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.53	2.49	2.51	2.59	2.69	2.89	3.05
02/22/19	2.43	2.45	2.46	2.51	2.55	2.48	2.46	2.47	2.55	2.65	2.86	3.02
02/25/19	2.44	2.46	2.47	2.51	2.56	2.51	2.48	2.48	2.57	2.67	2.87	3.03
02/26/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.44	2.45	2.54	2.64	2.84	3.01
02/27/19	2.43	2.44	2.45	2.52	2.54	2.50	2.48	2.49	2.59	2.69	2.91	3.07
02/28/19	2.44	2.47	2.45	2.50	2.54	2.52	2.50	2.52	2.63	2.73	2.94	3.09
03/01/19	2.44	2.46	2.44	2.52	2.55	2.55	2.54	2.56	2.67	2.76	2.97	3.13
03/04/19	2.45	2.46	2.46	2.54	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.09
03/05/19	2.44	2.45	2.46	2.53	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.08
03/06/19	2.43	2.44	2.47	2.53	2.54	2.52	2.49	2.49	2.59	2.69	2.90	3.06
03/07/19	2.45	2.46	2.45	2.52	2.52	2.47	2.44	2.44	2.54	2.64	2.86	3.03
03/08/19	2.45	2.46	2.46	2.52	2.53	2.45	2.43	2.42	2.51	2.62	2.83	3.00
03/11/19	2.44	2.45	2.46	2.54	2.53	2.47	2.45	2.44	2.53	2.64	2.86	3.03
03/12/19	2.44	2.46	2.46	2.53	2.52	2.45	2.41	2.41	2.50	2.61	2.82	3.00
03/13/19	2.43	2.44	2.45	2.53	2.53	2.45	2.41	2.42	2.51	2.61	2.82	3.02
03/14/19	2.48	2.46	2.45	2.52	2.52	2.46	2.42	2.43	2.53	2.63	2.86	3.04
03/15/19	2.46	2.46	2.45	2.52	2.52	2.43	2.39	2.40	2.49	2.59	2.83	3.02
03/18/19	2.47	2.46	2.44	2.51	2.52	2.45	2.41	2.42	2.51	2.60	2.83	3.01
03/19/19	2.46	2.47	2.46	2.52	2.50	2.46	2.42	2.42	2.51	2.61	2.84	3.02
03/20/19	2.45	2.45	2.48	2.49	2.47	2.40	2.34	2.34	2.44	2.54	2.79	2.98
03/21/19	2.51	2.47	2.49	2.50	2.48	2.41	2.34	2.34	2.44	2.54	2.78	2.96
03/22/19	2.49	2.48	2.46	2.48	2.45	2.31	2.24	2.24	2.34	2.44	2.69	2.88
03/25/19	2.47	2.47	2.46	2.49	2.41	2.26	2.19	2.21	2.32	2.43	2.68	2.87
03/26/19	2.46	2.44	2.46	2.49	2.44	2.24	2.18	2.18	2.29	2.41	2.67	2.86
03/27/19	2.45	2.43	2.44	2.46	2.40	2.22	2.16	2.18	2.28	2.39	2.63	2.83
03/28/19	2.44	2.45	2.43	2.44	2.40	2.23	2.18	2.20	2.29	2.39	2.62	2.81
03/29/19	2.43	2.44	2.40	2.44	2.40	2.27	2.21	2.23	2.31	2.41	2.63	2.81
04/01/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.41	2.33	2.29	2.31	2.40	2.49	2.71	2.89
04/02/19	2.43	2.42	2.42	2.45	2.41	2.30	2.26	2.28	2.38	2.48	2.70	2.88
04/03/19	2.42	2.43	2.44	2.45	2.41	2.33	2.29	2.32	2.42	2.52	2.75	2.93
04/04/19	2.43	2.43	2.44	2.46	2.41	2.33	2.29	2.32	2.41	2.51	2.74	2.92
04/05/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.43	2.35	2.30	2.31	2.40	2.50	2.72	2.91
04/08/19	2.43	2.44	2.43	2.48	2.43	2.36	2.31	2.33	2.42	2.52	2.74	2.93
04/09/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.42	2.35	2.31	2.31	2.40	2.51	2.73	2.92
04/10/19	2.40	2.41	2.43	2.46	2.41	2.31	2.27	2.28	2.37	2.48	2.71	2.90
04/11/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.44	2.35	2.30	2.31	2.40	2.51	2.74	2.94
04/12/19	2.41	2.43	2.44	2.47	2.44	2.40	2.36	2.38	2.47	2.56	2.78	2.97
04/15/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.43	2.40	2.36	2.37	2.46	2.55	2.77	2.96
04/16/19	2.43	2.44	2.43	2.47	2.45	2.41	2.38	2.41	2.50	2.60	2.81	2.99
04/17/19	2.43	2.44	2.44	2.47	2.44	2.40	2.37	2.40	2.49	2.59	2.81	2.99
04/18/19	2.44	2.44	2.42	2.47	2.44	2.38	2.36	2.38	2.46	2.57	2.78	2.96
04/22/19	2.44	2.44	2.44	2.47	2.46	2.38	2.36	2.39	2.49	2.59	2.82	2.99
04/23/19	2.43	2.44	2.45	2.46	2.43	2.36	2.34	2.36	2.46	2.57	2.81	2.98
04/24/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.42	2.32	2.28	2.32	2.41	2.53	2.76	2.94
04/25/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.42	2.33	2.29	2.33	2.42	2.54	2.76	2.94
04/26/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.41	2.28	2.25	2.29	2.39	2.51	2.74	2.92
04/29/19	2.45	2.45	2.44	2.47	2.42	2.30	2.27	2.32	2.42	2.54	2.78	2.96
04/30/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.39	2.27	2.24	2.28	2.39	2.51	2.75	2.93
05/01/19	2.42	2.41	2.43	2.44	2.39	2.31	2.28	2.31	2.41	2.52	2.74	2.92
05/02/19	2.44	2.46	2.47	2.46	2.41	2.35	2.32	2.34	2.44	2.55	2.77	2.94
05/03/19	2.42	2.44	2.43	2.46	2.41	2.33	2.30	2.33	2.43	2.54	2.75	2.93
05/06/19	2.43	2.44	2.44	2.46	2.39	2.31	2.27	2.30	2.40	2.51	2.73	2.91
05/07/19	2.44	2.44	2.43	2.46	2.37	2.28	2.24	2.25	2.35	2.45	2.68	2.86
05/08/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.37	2.30	2.26	2.28	2.38	2.49	2.71	2.89
05/09/19	2.43	2.43	2.43	2.46	2.36	2.26	2.22	2.25	2.34	2.45	2.69	2.87
05/10/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.36	2.26	2.23	2.26	2.37	2.47	2.70	2.89
05/13/19	2.41	2.42	2.41	2.42	2.32	2.18	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.83
05/14/19	2.41	2.42	2.41	2.43	2.32	2.20	2.17	2.20	2.30	2.42	2.67	2.86
05/15/19	2.40	2.41	2.42	2.43	2.30	2.16	2.12	2.15	2.25	2.37	2.63	2.82
05/16/19	2.40	2.41	2.40	2.43	2.33	2.20	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.84
05/17/19	2.39	2.40	2.39	2.42	2.33	2.20	2.15	2.17	2.27	2.39	2.63	2.82
05/20/19	2.39	2.39	2.39	2.42	2.34	2.21	2.17	2.21	2.30	2.41	2.65	2.83
05/21/19	2.37	2.38	2.39	2.42	2.36	2.26	2.20	2.23	2.33	2.43	2.67	2.84
05/22/19	2.36	2.37	2.38	2.41	2.37	2.23	2.17	2.19	2.28	2.39	2.64	2.82
05/23/19	2.38	2.38	2.37	2.40	2.32	2.12	2.08	2.11	2.20	2.31	2.56	2.75
05/24/19	2.37	2.38	2.35	2.39	2.33	2.16	2.10	2.12	2.22	2.32	2.57	2.75
05/28/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.31	2.12	2.06	2.06	2.16	2.26	2.52	2.70
05/29/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.30	2.09	2.04	2.05	2.16	2.25	2.50	2.69
05/30/19	2.37	2.38	2.38	2.40	2.29	2.06	2.00	2.03	2.12	2.22	2.46	2.65
05/31/19	2.35	2.38	2.35	2.35	2.21	1.95	1.90	1.93	2.03	2.14	2.39	2.58
06/03/19	2.36	2.36	2.35	2.31	2.11	1.82	1.79	1.83	1.95	2.07	2.34	2.53
06/04/19	2.34	2.36	2.35	2.29	2.11	1.88	1.84	1.89	2.01	2.12	2.41	2.60
06/05/19	2.31	2.35	2.35	2.25	2.04	1.83	1.81	1.86	2.00	2.12	2.42	2.63
06/06/19	2.32	2.35	2.33	2.22	2.02	1.88	1.85	1.88	2.01	2.12	2.42	2.62
06/07/19	2.30	2.32	2.28	2.15	1.97	1.85	1.82	1.85	1.97	2.09	2.36	2.57
06/10/19	2.30	2.31	2.29	2.21	2.03	1.90	1.87	1.91	2.03	2.15	2.42	2.62
06/11/19	2.27	2.26	2.27	2.21	2.05	1.93	1.87	1.92	2.03	2.15	2.42	2.62
06/12/19	2.19	2.22	2.24	2.20	2.02	1.88	1.83	1.88	2.00	2.13	2.41	2.62
06/13/19	2.24	2.23	2.19	2.18	2.00	1.83	1.78	1.84	1.96	2.10	2.39	2.61
06/14/19	2.23	2.21	2.20	2.18	2.00	1.84	1.79	1.85	1.96	2.09	2.38	2.59
06/17/19	2.22	2.21	2.23	2.20	2.03	1.86	1.80	1.85	1.96	2.09	2.37	2.58
06/18/19	2.18	2.20	2.22	2.20	2.04	1.86	1.80	1.83	1.93	2.06	2.34	2.55
06/19/19	2.14	2.18	2.18	2.11	1.96	1.74	1.70	1.77	1.89	2.03	2.32	2.54
06/20/19	2.17	2.15	2.14	2.04	1.91	1.72	1.69	1.74	1.87	2.01	2.31	2.53
06/21/19	2.16	2.16	2.11	2.05	1.95	1.77	1.74	1.80	1.93	2.07	2.37	2.59
06/24/19	2.12	2.13	2.13	2.10	1.92	1.72	1.69	1.75	1.88	2.02	2.33	2.55
06/25/19	2.11	2.12	2.12	2.10	1.93	1.71	1.67	1.73	1.86	2.00	2.31	2.53
06/26/19	2.11	2.12	2.15	2.12	1.96	1.77	1.74	1.80	1.92	2.05	2.35	2.57
06/27/19	2.19	2.15	2.14	2.12	1.93	1.74	1.71	1.76	1.88	2.01	2.31	2.52
06/28/19	2.18	2.15	2.12	2.09	1.92	1.75	1.71	1.76	1.87	2.00	2.31	2.52
07/01/19	2.17	2.16	2.21	2.10	1.94	1.78	1.74	1.79	1.90	2.03	2.34	2.55
07/02/19	2.21	2.17	2.20	2.09	1.91	1.77	1.71	1.75	1.85	1.98	2.29	2.51
07/03/19	2.25	2.20	2.21	2.08	1.91	1.77	1.71	1.74	1.83	1.96	2.25	2.47
07/05/19	2.26	2.22	2.23	2.14	1.98	1.87	1.82	1.84	1.93	2.04	2.34	2.54
07/08/19	2.23	2.24	2.26	2.14	1.99	1.88	1.84	1.86	1.94	2.05	2.32	2.53
07/09/19	2.22	2.24	2.26	2.15	2.00	1.92	1.88	1.88	1.96	2.07	2.34	2.54
07/10/19	2.18	2.18	2.20	2.07	1.93	1.82	1.79	1.82	1.93	2.07	2.36	2.57
07/11/19	2.17	2.17	2.17	2.08	1.97	1.85	1.84	1.88	1.99	2.13	2.42	2.65
07/12/19	2.16	2.18	2.14	2.07	1.96	1.84	1.81	1.86	1.98	2.12	2.42	2.64
07/15/19	2.17	2.19	2.16	2.06	1.95	1.83	1.80	1.84	1.96	2.09	2.39	2.61
07/16/19	2.16	2.17	2.15	2.06	2.00	1.87	1.84	1.88	2.00	2.13	2.42	2.63
07/17/19	2.13	2.14	2.14	2.04	1.95	1.83	1.80	1.83	1.94	2.06	2.35	2.57
07/18/19	2.11	2.12	2.05	2.01	1.90	1.77	1.74	1.78	1.89	2.04	2.34	2.56
07/19/19	2.11	2.16	2.06	2.03	1.94	1.80	1.77	1.80	1.91	2.05	2.35	2.57
07/22/19	2.13	2.16	2.09	2.08	1.95	1.80	1.77	1.80	1.92	2.05	2.36	2.58
07/23/19	2.12	2.15	2.06	2.09	1.97	1.83	1.79	1.83	1.94	2.08	2.38	2.61
07/24/19	2.10	2.14	2.10	2.08	1.98	1.83	1.79	1.82	1.93	2.05	2.36	2.58
07/25/19	2.16	2.17	2.10	2.08	1.99	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.60
07/26/19	2.13	2.15	2.12	2.10	2.00	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.59
07/29/19	2.12	2.16	2.12	2.10	1.98	1.85	1.81	1.84	1.93	2.06	2.37	2.59
07/30/19	2.07	2.10	2.08	2.07	1.97	1.85	1.82	1.84	1.93	2.06	2.36	2.58
07/31/19	2.01	2.07	2.08	2.10	2.00	1.89	1.84	1.84	1.92	2.02	2.31	2.53
08/01/19	2.11	2.14	2.07	2.04	1.88	1.73	1.67	1.68	1.77	1.90	2.21	2.44
08/02/19	2.11	2.12	2.06	2.02	1.85	1.72	1.67	1.66	1.75	1.86	2.16	2.39
08/05/19	2.07	2.08	2.05	1.99	1.78	1.59	1.55	1.55	1.63	1.75	2.07	2.30
08/06/19	2.05	2.08	2.05	2.00	1.80	1.60	1.54	1.53	1.62	1.73	2.03	2.25
08/07/19	2.02	2.04	2.02	1.95	1.75	1.59	1.51	1.52	1.60	1.71	2.01	2.22
08/08/19	2.09	2.07	2.02	1.96	1.79	1.62	1.54	1.54	1.62	1.72	2.02	2.25
08/09/19	2.05	2.06	2.00	1.95	1.78	1.63	1.58	1.57	1.65	1.74	2.03	2.26
08/12/19	2.09	2.06	2.00	1.94	1.75	1.58	1.51	1.49	1.56	1.65	1.92	2.14
08/13/19	2.05	2.04	2.00	1.96	1.86	1.66	1.60	1.57	1.62	1.68	1.94	2.15
08/14/19	1.98	1.98	1.96	1.92	1.79	1.58	1.53	1.51	1.55	1.59	1.84	2.03
08/15/19	2.08	1.97	1.91	1.86	1.72	1.48	1.44	1.42	1.47	1.52	1.80	1.98
08/16/19	2.05	1.95	1.87	1.85	1.71	1.48	1.44	1.42	1.49	1.55	1.82	2.01
08/19/19	2.06	1.96	1.94	1.90	1.75	1.53	1.49	1.47	1.54	1.60	1.88	2.08
08/20/19	2.05	1.96	1.94	1.89	1.72	1.50	1.44	1.42	1.49	1.55	1.84	2.04
08/21/19	2.03	1.98	1.97	1.90	1.77	1.56	1.50	1.47	1.54	1.59	1.87	2.07
08/22/19	2.10	2.02	2.00	1.91	1.79	1.61	1.53	1.50	1.56	1.62	1.90	2.11
08/23/19	2.07	2.02	1.97	1.87	1.73	1.51	1.43	1.40	1.46	1.52	1.82	2.02
08/26/19	2.09	2.03	2.01	1.90	1.75	1.54	1.47	1.43	1.49	1.54	1.84	2.04
08/27/19	2.07	2.03	1.98	1.94	1.77	1.53	1.43	1.40	1.44	1.49	1.77	1.97
08/28/19	2.07	2.04	1.99	1.89	1.74	1.50	1.42	1.37	1.42	1.47	1.76	1.94
08/29/19	2.10	2.03	1.99	1.89	1.75	1.53	1.44	1.40	1.46	1.50	1.78	1.97
08/30/19	2.10	2.04	1.99	1.89	1.76	1.50	1.42	1.39	1.45	1.50	1.78	1.96
09/03/19	2.06	2.01	1.98	1.88	1.72	1.47	1.38	1.35	1.42	1.47	1.77	1.95
09/04/19	2.05	2.02	1.97	1.87	1.69	1.43	1.36	1.32	1.40	1.47	1.77	1.97
09/05/19	2.05	2.01	1.97	1.88	1.73	1.55	1.47	1.43	1.51	1.57	1.86	2.06
09/06/19	2.05	2.00	1.96	1.88	1.73	1.53	1.46	1.42	1.50	1.55	1.83	2.02
09/09/19	2.04	1.99	1.96	1.87	1.74	1.58	1.52	1.49	1.57	1.63	1.91	2.11
09/10/19	2.04	1.99	1.95	1.89	1.81	1.67	1.61	1.58	1.66	1.72	2.00	2.19
09/11/19	2.01	1.97	1.96	1.88	1.79	1.68	1.62	1.60	1.68	1.75	2.02	2.22
09/12/19	1.99	1.97	1.95	1.90	1.82	1.72	1.67	1.65	1.72	1.79	2.06	2.22
09/13/19	1.99	1.98	1.96	1.92	1.88	1.79	1.76	1.75	1.83	1.90	2.17	2.37
09/16/19	2.08	2.02	1.99	1.93	1.86	1.74	1.71	1.69	1.77	1.84	2.11	2.31
09/17/19	2.10	2.06	1.99	1.93	1.87	1.72	1.68	1.66	1.75	1.81	2.08	2.27
09/18/19	1.94	1.93	1.95	1.91	1.87	1.77	1.72	1.68	1.76	1.80	2.06	2.25
09/19/19	2.01	1.99	1.93	1.92	1.88	1.74	1.68	1.66	1.73	1.79	2.04	2.22
09/20/19	1.95	1.94	1.91	1.91	1.84	1.69	1.63	1.61	1.68	1.74	1.99	2.17
09/23/19	1.94	1.94	1.94	1.93	1.81	1.68	1.61	1.59	1.65	1.72	1.98	2.16
09/24/19	1.90	1.90	1.92	1.91	1.78	1.60	1.53	1.52	1.58	1.64	1.91	2.09
09/25/19	1.80	1.86	1.89	1.90	1.82	1.68	1.61	1.60	1.66	1.73	1.99	2.18
09/26/19	1.91	1.90	1.83	1.88	1.79	1.66	1.61	1.59	1.65	1.70	1.96	2.15
09/27/19	1.90	1.86	1.80	1.85	1.74	1.63	1.58	1.56	1.62	1.69	1.95	2.13
09/30/19	1.91	1.87	1.88	1.83	1.75	1.63	1.56	1.55	1.62	1.68	1.94	2.12
10/01/19	1.79	1.77	1.82	1.81	1.73	1.56	1.51	1.51	1.59	1.65	1.93	2.11
10/02/19	1.75	1.75	1.79	1.75	1.67	1.48	1.43	1.43	1.53	1.60	1.90	2.09
10/03/19	1.78	1.75	1.70	1.66	1.58	1.39	1.34	1.34	1.45	1.54	1.85	2.04
10/04/19	1.73	1.74	1.71	1.65	1.58	1.40	1.35	1.34	1.43	1.52	1.81	2.01
10/07/19	1.76	1.76	1.75	1.73	1.64	1.46	1.41	1.38	1.47	1.56	1.85	2.05
10/08/19	1.69	1.72	1.72	1.69	1.62	1.42	1.38	1.36	1.45	1.54	1.84	2.04
10/09/19	1.69	1.70	1.69	1.69	1.59	1.47	1.43	1.40	1.50	1.59	1.88	2.08
10/10/19	1.74	1.71	1.68	1.68	1.63	1.53	1.49	1.48	1.57	1.67	1.96	2.16
10/11/19	1.76	1.74	1.68	1.68	1.67	1.63	1.60	1.59	1.68	1.76	2.04	2.22
10/15/19	1.74	1.72	1.67	1.67	1.65	1.61	1.60	1.59	1.68	1.77	2.06	2.23
10/16/19	1.71	1.68	1.66	1.64	1.59	1.58	1.57	1.57	1.65	1.75	2.05	2.23
10/17/19	1.74	1.70	1.66	1.63	1.59	1.60	1.57	1.57	1.66	1.76	2.05	2.24
10/18/19	1.75	1.69	1.66	1.63	1.58	1.58	1.56	1.56	1.66	1.76	2.06	2.25
10/21/19	1.76	1.70	1.67	1.65	1.59	1.62	1.59	1.61	1.70	1.80	2.10	2.28
10/22/19	1.75	1.69	1.65	1.64	1.59	1.60	1.59	1.60	1.68	1.78	2.07	2.26
10/23/19	1.74	1.69	1.65	1.64	1.58	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.06	2.25
10/24/19	1.75	1.73	1.67	1.65	1.59	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.08	2.26
10/25/19	1.73	1.72	1.66	1.66	1.60	1.63	1.62	1.62	1.71	1.80	2.10	2.29
10/28/19	1.74	1.71	1.65	1.65	1.60	1.64	1.65	1.66	1.75	1.85	2.16	2.34
10/29/19	1.66	1.67	1.63	1.64	1.59	1.64	1.65	1.66	1.74	1.84	2.15	2.33
10/30/19	1.61	1.60	1.62	1.62	1.59	1.61	1.60	1.61	1.69	1.78	2.08	2.26
10/31/19	1.59	1.59	1.54	1.57	1.53	1.52	1.52	1.51	1.60	1.69	2.00	2.17
11/01/19	1.58	1.58	1.52	1.55	1.53	1.56	1.55	1.55	1.63	1.73	2.03	2.21
11/04/19	1.58	1.57	1.53	1.57	1.56	1.60	1.59	1.60	1.69	1.79	2.10	2.27
11/05/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.62	1.63	1.63	1.66	1.77	1.86	2.17	2.34
11/06/19	1.55	1.56	1.56	1.57	1.58	1.61	1.60	1.63	1.73	1.81	2.13	2.30
11/07/19	1.57	1.57	1.56	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.84	1.92	2.24	2.40
11/08/19	1.56	1.56	1.55	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.86	1.94	2.27	2.43
11/12/19	1.56	1.56	1.59	1.59	1.58	1.66	1.69	1.73	1.84	1.92	2.24	2.39
11/13/19	1.56	1.57	1.57	1.59	1.57	1.63	1.65	1.69	1.79	1.88	2.20	2.36
11/14/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.55	1.58	1.59	1.63	1.73	1.82	2.15	2.31
11/15/19	1.59	1.56	1.57	1.59	1.54	1.61	1.61	1.65	1.75	1.84	2.16	2.31
11/18/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.73	1.81	2.14	2.30
11/19/19	1.58	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.71	1.79	2.11	2.26
11/20/19	1.57	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.55	1.58	1.66	1.73	2.05	2.20
11/21/19	1.57	1.57	1.58	1.59	1.55	1.60	1.59	1.62	1.71	1.77	2.09	2.24
11/22/19	1.58	1.59	1.58	1.59	1.56	1.61	1.60	1.62	1.71	1.77	2.08	2.22
11/25/19	1.60	1.60	1.61	1.61	1.58	1.61	1.60	1.62	1.71	1.76	2.07	2.21
11/26/19	1.63	1.61	1.60	1.62	1.59	1.58	1.58	1.58	1.68	1.74	2.04	2.18
11/27/19	1.65	1.60	1.62	1.63	1.60	1.63	1.61	1.63	1.71	1.77	2.06	2.19
11/29/19	1.62	1.60	1.59	1.63	1.60	1.61	1.61	1.62	1.73	1.78	2.07	2.21
12/02/19	1.60	1.58	1.60	1.62	1.60	1.61	1.63	1.65	1.77	1.83	2.15	2.28
12/03/19	1.56	1.54	1.57	1.57	1.57	1.53	1.54	1.54	1.65	1.72	2.03	2.17
12/04/19	1.59	1.54	1.55	1.56	1.56	1.58	1.58	1.60	1.71	1.77	2.08	2.22
12/05/19	1.52	1.56	1.54	1.55	1.56	1.58	1.60	1.62	1.73	1.80	2.11	2.24
12/06/19	1.52	1.55	1.53	1.56	1.57	1.61	1.64	1.67	1.78	1.84	2.14	2.29
12/09/19	1.54	1.54	1.54	1.58	1.56	1.63	1.63	1.67	1.77	1.83	2.13	2.27
12/10/19	1.53	1.55	1.56	1.57	1.56	1.65	1.67	1.68	1.78	1.85	2.12	2.26
12/11/19	1.54	1.56	1.57	1.58	1.55	1.61	1.62	1.64	1.74	1.79	2.08	2.23
12/12/19	1.57	1.57	1.56	1.57	1.55	1.66	1.69	1.73	1.84	1.90	2.18	2.32
12/13/19	1.55	1.57	1.57	1.56	1.54	1.61	1.62	1.66	1.76	1.82	2.11	2.26
12/16/19	1.57	1.57	1.57	1.58	1.54	1.65	1.67	1.72	1.82	1.89	2.17	2.30
12/17/19	1.56	1.56	1.56	1.58	1.53	1.63	1.66	1.71	1.82	1.89	2.18	2.31
12/18/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.54	1.63	1.67	1.74	1.86	1.92	2.22	2.35
12/19/19	1.54	1.58	1.57	1.57	1.52	1.62	1.65	1.73	1.84	1.92	2.21	2.35
12/20/19	1.57	1.59	1.58	1.58	1.52	1.63	1.67	1.73	1.84	1.92	2.21	2.34
12/23/19	1.57	1.57	1.59	1.60	1.53	1.64	1.67	1.75	1.86	1.93	2.22	2.35
12/24/19	1.55	1.58	1.58	1.61	1.53	1.62	1.64	1.72	1.83	1.90	2.20	2.33
12/26/19	1.59	1.60	1.58	1.61	1.53	1.64	1.65	1.72	1.85	1.90	2.19	2.33
12/27/19	1.56	1.56	1.57	1.59	1.51	1.59	1.60	1.68	1.80	1.88	2.18	2.32
12/30/19	1.51	1.53	1.57	1.60	1.57	1.58	1.59	1.68	1.81	1.90	2.21	2.34
12/31/19	1.48	1.51	1.55	1.60	1.59	1.58	1.62	1.69	1.83	1.92	2.25	2.39";

iTBillsUSA2020="01/02/20	1.53	1.55	1.54	1.57	1.56	1.58	1.59	1.67	1.79	1.88	2.19	2.33
01/03/20	1.52	1.55	1.52	1.55	1.55	1.53	1.54	1.59	1.71	1.80	2.11	2.26
01/06/20	1.54	1.54	1.56	1.56	1.54	1.54	1.56	1.61	1.72	1.81	2.13	2.28
01/07/20	1.52	1.53	1.54	1.56	1.53	1.54	1.55	1.62	1.74	1.83	2.16	2.31
01/08/20	1.50	1.53	1.54	1.56	1.55	1.58	1.61	1.67	1.78	1.87	2.21	2.35
01/09/20	1.53	1.55	1.54	1.56	1.54	1.58	1.59	1.65	1.77	1.85	2.17	2.38
01/10/20	1.52	1.55	1.54	1.55	1.53	1.56	1.59	1.63	1.74	1.83	2.14	2.28
01/13/20	1.54	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.60	1.65	1.76	1.85	2.16	2.30
01/14/20	1.53	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.59	1.63	1.74	1.82	2.12	2.27
01/15/20	1.53	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.56	1.60	1.71	1.79	2.09	2.23
01/16/20	1.54	1.56	1.55	1.56	1.54	1.58	1.58	1.63	1.73	1.81	2.11	2.26
01/17/20	1.54	1.56	1.56	1.57	1.56	1.58	1.56	1.63	1.74	1.84	2.16	2.29
01/21/20	1.52	1.54	1.56	1.57	1.54	1.53	1.53	1.57	1.69	1.78	2.10	2.23
01/22/20	1.52	1.53	1.55	1.56	1.55	1.53	1.52	1.57	1.68	1.77	2.07	2.22
01/23/20	1.55	1.57	1.55	1.56	1.55	1.51	1.51	1.55	1.65	1.74	2.03	2.18
01/24/20	1.54	1.55	1.54	1.55	1.55	1.49	1.48	1.51	1.61	1.70	2.00	2.14
01/27/20	1.53	1.55	1.55	1.57	1.53	1.44	1.41	1.44	1.52	1.61	1.91	2.05
01/28/20	1.53	1.57	1.57	1.58	1.53	1.45	1.45	1.47	1.56	1.65	1.95	2.10
01/29/20	1.52	1.55	1.56	1.57	1.51	1.42	1.39	1.41	1.51	1.60	1.89	2.05
01/30/20	1.59	1.58	1.57	1.57	1.48	1.41	1.37	1.39	1.49	1.57	1.88	2.04
01/31/20	1.56	1.57	1.55	1.54	1.45	1.33	1.30	1.32	1.42	1.51	1.83	1.99
02/03/20	1.56	1.57	1.57	1.56	1.46	1.36	1.34	1.35	1.45	1.54	1.84	2.01
02/04/20	1.55	1.57	1.57	1.57	1.48	1.41	1.40	1.42	1.52	1.61	1.91	2.08
02/05/20	1.55	1.56	1.57	1.57	1.49	1.44	1.43	1.46	1.57	1.66	1.97	2.14
02/06/20	1.59	1.59	1.57	1.58	1.51	1.44	1.43	1.45	1.56	1.65	1.94	2.11
02/07/20	1.57	1.58	1.56	1.57	1.49	1.41	1.39	1.41	1.51	1.59	1.89	2.05
02/10/20	1.58	1.58	1.58	1.58	1.45	1.37	1.36	1.38	1.47	1.56	1.87	2.03
02/11/20	1.57	1.58	1.57	1.55	1.48	1.41	1.39	1.40	1.50	1.59	1.89	2.05
02/12/20	1.57	1.59	1.58	1.56	1.49	1.44	1.42	1.45	1.55	1.62	1.93	2.09
02/13/20	1.59	1.59	1.59	1.56	1.48	1.44	1.42	1.43	1.53	1.61	1.91	2.07
02/14/20	1.60	1.60	1.58	1.56	1.49	1.42	1.40	1.42	1.51	1.59	1.89	2.04
02/18/20	1.61	1.60	1.58	1.56	1.47	1.41	1.37	1.39	1.48	1.55	1.85	2.00
02/19/20	1.61	1.61	1.58	1.56	1.47	1.42	1.39	1.41	1.50	1.56	1.86	2.01
02/20/20	1.61	1.60	1.58	1.55	1.46	1.39	1.35	1.37	1.45	1.52	1.81	1.97
02/21/20	1.60	1.60	1.56	1.53	1.43	1.34	1.30	1.30	1.39	1.46	1.75	1.90
02/24/20	1.60	1.59	1.53	1.49	1.35	1.26	1.21	1.21	1.30	1.38	1.68	1.84
02/25/20	1.59	1.58	1.53	1.47	1.30	1.20	1.16	1.16	1.25	1.33	1.63	1.80
02/26/20	1.59	1.56	1.53	1.42	1.26	1.16	1.14	1.14	1.25	1.33	1.64	1.81
02/27/20	1.56	1.53	1.45	1.33	1.18	1.11	1.08	1.11	1.22	1.30	1.61	1.79
02/28/20	1.45	1.37	1.27	1.11	0.97	0.86	0.85	0.89	1.03	1.13	1.46	1.65
03/02/20	1.41	1.27	1.13	0.95	0.89	0.84	0.85	0.88	1.01	1.10	1.46	1.66
03/03/20	1.11	1.05	0.95	0.83	0.73	0.71	0.72	0.77	0.91	1.02	1.44	1.64
03/04/20	1.00	0.87	0.72	0.68	0.59	0.67	0.68	0.75	0.90	1.02	1.45	1.67
03/05/20	0.92	0.83	0.62	0.53	0.48	0.59	0.61	0.67	0.81	0.92	1.34	1.56
03/06/20	0.79	0.64	0.45	0.41	0.39	0.49	0.53	0.58	0.69	0.74	1.09	1.25
03/09/20	0.57	0.52	0.33	0.27	0.31	0.38	0.40	0.46	0.56	0.54	0.87	0.99
03/10/20	0.57	0.55	0.44	0.43	0.43	0.50	0.58	0.63	0.73	0.76	1.16	1.28
03/11/20	0.42	0.42	0.42	0.40	0.40	0.50	0.58	0.66	0.78	0.82	1.13	1.30
03/12/20	0.41	0.33	0.33	0.37	0.39	0.50	0.58	0.66	0.82	0.88	1.27	1.49
03/13/20	0.33	0.30	0.28	0.38	0.38	0.49	0.58	0.70	0.89	0.94	1.31	1.56
03/16/20	0.25	0.25	0.24	0.29	0.29	0.36	0.43	0.49	0.67	0.73	1.10	1.34
03/17/20	0.12	0.18	0.19	0.24	0.30	0.47	0.54	0.66	0.91	1.02	1.45	1.63
03/18/20	0.04	0.03	0.02	0.08	0.21	0.54	0.66	0.79	1.08	1.18	1.60	1.77
03/19/20	0.04	0.04	0.04	0.06	0.20	0.44	0.53	0.66	1.00	1.12	1.56	1.78
03/20/20	0.04	0.05	0.05	0.05	0.15	0.37	0.41	0.52	0.82	0.92	1.35	1.55
03/23/20	0.01	0.04	0.02	0.08	0.17	0.28	0.31	0.38	0.63	0.76	1.12	1.33
03/24/20	0.01	0.01	0.01	0.09	0.25	0.38	0.44	0.52	0.75	0.84	1.19	1.39
03/25/20	0.00	0.00	0.00	0.07	0.19	0.34	0.41	0.56	0.77	0.88	1.23	1.45
03/26/20	0.01	0.01	0.00	0.04	0.13	0.30	0.36	0.51	0.72	0.83	1.20	1.42
03/27/20	0.01	0.03	0.03	0.02	0.11	0.25	0.30	0.41	0.60	0.72	1.09	1.29
03/30/20	0.04	0.07	0.12	0.12	0.14	0.23	0.29	0.39	0.57	0.70	1.10	1.31
03/31/20	0.05	0.12	0.11	0.15	0.17	0.23	0.29	0.37	0.55	0.70	1.15	1.35
04/01/20	0.03	0.07	0.09	0.14	0.16	0.23	0.28	0.37	0.51	0.62	1.04	1.27
04/02/20	0.09	0.10	0.09	0.15	0.14	0.23	0.29	0.39	0.53	0.63	1.04	1.26
04/03/20	0.09	0.11	0.10	0.15	0.15	0.23	0.30	0.39	0.52	0.62	1.05	1.24
04/06/20	0.09	0.13	0.15	0.17	0.20	0.27	0.35	0.44	0.58	0.67	1.08	1.27
04/07/20	0.10	0.13	0.14	0.20	0.20	0.28	0.36	0.48	0.64	0.75	1.13	1.32
04/08/20	0.14	0.17	0.22	0.24	0.23	0.27	0.34	0.47	0.65	0.77	1.18	1.37
04/09/20	0.20	0.27	0.25	0.24	0.25	0.23	0.29	0.41	0.60	0.73	1.15	1.35
04/13/20	0.17	0.29	0.26	0.27	0.27	0.25	0.31	0.44	0.63	0.76	1.19	1.39
04/14/20	0.17	0.19	0.20	0.24	0.25	0.23	0.29	0.42	0.61	0.76	1.19	1.41
04/15/20	0.14	0.15	0.14	0.19	0.19	0.20	0.24	0.34	0.49	0.63	1.06	1.27
04/16/20	0.14	0.15	0.14	0.18	0.17	0.20	0.25	0.35	0.50	0.61	1.01	1.21
04/17/20	0.12	0.12	0.12	0.16	0.16	0.20	0.26	0.36	0.53	0.65	1.08	1.27
04/20/20	0.10	0.10	0.12	0.15	0.15	0.20	0.26	0.35	0.51	0.63	1.04	1.23
04/21/20	0.08	0.08	0.11	0.14	0.17	0.20	0.24	0.34	0.48	0.58	0.98	1.17
04/22/20	0.09	0.09	0.12	0.14	0.16	0.22	0.26	0.37	0.52	0.63	1.03	1.22
04/23/20	0.09	0.12	0.11	0.14	0.17	0.22	0.26	0.37	0.51	0.61	0.99	1.18
04/24/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.18	0.22	0.26	0.36	0.51	0.60	0.98	1.17
04/27/20	0.09	0.13	0.12	0.15	0.17	0.24	0.29	0.41	0.56	0.67	1.06	1.25
04/28/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.26	0.37	0.52	0.62	1.00	1.20
04/29/20	0.10	0.09	0.10	0.12	0.18	0.20	0.24	0.36	0.52	0.63	1.02	1.24
04/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.16	0.20	0.24	0.36	0.53	0.64	1.05	1.28
05/01/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.17	0.20	0.25	0.36	0.53	0.64	1.04	1.27
05/04/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.16	0.19	0.24	0.36	0.52	0.64	1.05	1.29
05/05/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.19	0.24	0.36	0.53	0.66	1.07	1.32
05/06/20	0.08	0.10	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.37	0.57	0.72	1.16	1.41
05/07/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.15	0.13	0.19	0.29	0.49	0.63	1.05	1.31
05/08/20	0.10	0.11	0.12	0.15	0.15	0.16	0.21	0.33	0.53	0.69	1.12	1.39
05/11/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.36	0.56	0.73	1.16	1.43
05/12/20	0.10	0.11	0.13	0.16	0.16	0.17	0.22	0.34	0.53	0.69	1.11	1.38
05/13/20	0.10	0.10	0.13	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.50	0.64	1.07	1.35
05/14/20	0.09	0.10	0.12	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.48	0.63	1.03	1.30
05/15/20	0.09	0.09	0.12	0.15	0.15	0.16	0.19	0.31	0.49	0.64	1.05	1.32
05/18/20	0.10	0.11	0.13	0.15	0.17	0.18	0.24	0.38	0.57	0.73	1.17	1.44
05/19/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.17	0.22	0.35	0.54	0.70	1.15	1.43
05/20/20	0.08	0.11	0.12	0.14	0.16	0.16	0.21	0.34	0.53	0.68	1.19	1.40
05/21/20	0.09	0.11	0.12	0.14	0.16	0.17	0.21	0.35	0.53	0.68	1.16	1.40
05/22/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.17	0.17	0.21	0.34	0.51	0.66	1.12	1.37
05/26/20	0.10	0.12	0.14	0.17	0.17	0.18	0.22	0.35	0.53	0.69	1.19	1.43
05/27/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.34	0.52	0.68	1.19	1.44
05/28/20	0.14	0.15	0.15	0.18	0.17	0.17	0.22	0.34	0.54	0.70	1.23	1.47
05/29/20	0.13	0.14	0.14	0.18	0.17	0.16	0.19	0.30	0.50	0.65	1.18	1.41
06/01/20	0.12	0.14	0.14	0.18	0.17	0.14	0.20	0.31	0.50	0.66	1.22	1.46
06/02/20	0.12	0.13	0.15	0.18	0.17	0.17	0.20	0.32	0.52	0.68	1.24	1.48
06/03/20	0.12	0.14	0.16	0.19	0.17	0.19	0.26	0.38	0.59	0.77	1.32	1.56
06/04/20	0.13	0.15	0.15	0.18	0.17	0.19	0.26	0.40	0.63	0.82	1.38	1.61
06/05/20	0.13	0.14	0.15	0.18	0.18	0.22	0.29	0.47	0.71	0.91	1.46	1.68
06/08/20	0.15	0.15	0.17	0.19	0.19	0.22	0.29	0.45	0.69	0.88	1.43	1.65
06/09/20	0.14	0.17	0.19	0.19	0.19	0.20	0.25	0.40	0.65	0.84	1.37	1.59
06/10/20	0.13	0.16	0.17	0.19	0.18	0.17	0.22	0.33	0.56	0.75	1.31	1.53
06/11/20	0.14	0.16	0.17	0.18	0.19	0.19	0.22	0.32	0.51	0.66	1.19	1.41
06/12/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.18	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/15/20	0.15	0.16	0.18	0.19	0.17	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/16/20	0.14	0.15	0.17	0.19	0.18	0.21	0.23	0.34	0.56	0.75	1.31	1.54
06/17/20	0.13	0.15	0.17	0.18	0.19	0.19	0.23	0.34	0.55	0.74	1.30	1.52
06/18/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.19	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.24	1.47
06/19/20	0.13	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.33	0.53	0.70	1.23	1.47
06/22/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.17	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.23	1.46
06/23/20	0.12	0.14	0.16	0.17	0.18	0.18	0.22	0.33	0.54	0.72	1.25	1.49
06/24/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.17	0.19	0.21	0.33	0.52	0.69	1.21	1.44
06/25/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.17	0.17	0.21	0.32	0.53	0.68	1.20	1.43
06/26/20	0.12	0.15	0.14	0.17	0.17	0.17	0.19	0.30	0.49	0.64	1.15	1.37
06/29/20	0.11	0.14	0.14	0.18	0.16	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.16	1.39
06/30/20	0.13	0.14	0.16	0.18	0.16	0.16	0.18	0.29	0.49	0.66	1.18	1.41
07/01/20	0.12	0.12	0.14	0.17	0.16	0.17	0.19	0.31	0.52	0.69	1.20	1.43
07/02/20	0.13	0.14	0.14	0.16	0.16	0.16	0.19	0.29	0.50	0.68	1.20	1.43
07/06/20	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.16	0.19	0.31	0.51	0.69	1.21	1.45
07/07/20	0.12	0.14	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.29	0.48	0.65	1.15	1.38
07/08/20	0.11	0.13	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.67	1.16	1.39
07/09/20	0.11	0.12	0.13	0.16	0.15	0.16	0.18	0.28	0.46	0.62	1.09	1.32
07/10/20	0.10	0.12	0.13	0.15	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.65	1.12	1.33
07/13/20	0.11	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.19	0.30	0.48	0.64	1.11	1.33
07/14/20	0.11	0.14	0.15	0.14	0.17	0.14	0.19	0.28	0.47	0.63	1.09	1.30
07/15/20	0.12	0.13	0.16	0.15	0.15	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.11	1.33
07/16/20	0.12	0.11	0.11	0.13	0.14	0.16	0.17	0.28	0.46	0.62	1.09	1.31
07/17/20	0.11	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.18	0.29	0.47	0.64	1.11	1.33
07/20/20	0.11	0.12	0.13	0.14	0.14	0.16	0.18	0.29	0.47	0.62	1.10	1.32
07/21/20	0.09	0.11	0.13	0.13	0.15	0.14	0.17	0.27	0.45	0.61	1.09	1.31
07/22/20	0.09	0.12	0.13	0.14	0.14	0.14	0.17	0.27	0.45	0.60	1.08	1.29
07/23/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.16	0.27	0.44	0.59	1.03	1.24
07/24/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.16	0.14	0.17	0.27	0.44	0.59	1.03	1.23
07/27/20	0.10	0.10	0.11	0.14	0.14	0.15	0.18	0.30	0.46	0.62	1.05	1.25
07/28/20	0.09	0.11	0.11	0.12	0.14	0.14	0.16	0.26	0.44	0.59	1.01	1.22
07/29/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.12	0.15	0.25	0.43	0.58	1.03	1.24
07/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.11	0.11	0.14	0.23	0.40	0.55	0.98	1.20
07/31/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/03/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.11	0.13	0.22	0.40	0.56	1.01	1.23
08/04/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.11	0.10	0.19	0.36	0.52	0.96	1.19
08/05/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.12	0.11	0.13	0.22	0.39	0.55	1.00	1.22
08/06/20	0.07	0.11	0.10	0.11	0.14	0.11	0.13	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.13	0.14	0.23	0.41	0.57	1.01	1.23
08/10/20	0.09	0.11	0.11	0.13	0.13	0.14	0.15	0.24	0.42	0.59	1.04	1.25
08/11/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.15	0.16	0.18	0.27	0.46	0.64	1.10	1.32
08/12/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.19	0.30	0.50	0.69	1.15	1.37
08/13/20	0.08	0.10	0.10	0.12	0.14	0.16	0.19	0.32	0.52	0.71	1.20	1.42
08/14/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.51	0.71	1.21	1.45
08/17/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.49	0.69	1.19	1.43
08/18/20	0.08	0.09	0.09	0.13	0.13	0.14	0.17	0.27	0.47	0.67	1.16	1.40
08/19/20	0.07	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.17	0.29	0.48	0.68	1.20	1.42
08/20/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.12	0.13	0.15	0.26	0.46	0.65	1.15	1.38
08/21/20	0.07	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.16	0.27	0.46	0.64	1.13	1.35
08/24/20	0.09	0.10	0.12	0.12	0.14	0.14	0.18	0.28	0.47	0.65	1.14	1.35
08/25/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.18	0.30	0.49	0.69	1.18	1.39
08/26/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.28	0.50	0.69	1.20	1.41
08/27/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.31	0.53	0.74	1.28	1.50
08/28/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.28	0.51	0.74	1.29	1.52
08/31/20	0.08	0.10	0.11	0.13	0.12	0.14	0.15	0.28	0.50	0.72	1.26	1.49
09/01/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.12	0.13	0.14	0.26	0.46	0.68	1.20	1.43
09/02/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.16	0.26	0.45	0.66	1.16	1.38
09/03/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.12	0.13	0.15	0.24	0.43	0.63	1.13	1.34
09/04/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.50	0.72	1.25	1.46
09/08/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.15	0.14	0.17	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/09/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.14	0.14	0.17	0.28	0.48	0.71	1.25	1.45
09/10/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.14	0.17	0.26	0.46	0.68	1.22	1.43
09/11/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.13	0.13	0.16	0.26	0.45	0.67	1.21	1.42
09/14/20	0.10	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/15/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.43
09/16/20	0.08	0.11	0.12	0.12	0.12	0.14	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.45
09/17/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/18/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.16	0.29	0.48	0.70	1.24	1.45
09/21/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.22	1.43
09/22/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/23/20	0.08	0.09	0.11	0.11	0.13	0.14	0.15	0.28	0.46	0.68	1.21	1.42
09/24/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.67	1.19	1.40
09/25/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.26	0.45	0.66	1.19	1.40
09/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.12	0.14	0.16	0.26	0.46	0.67	1.20	1.42
09/29/20	0.07	0.08	0.09	0.11	0.12	0.11	0.13	0.24	0.44	0.66	1.19	1.41
09/30/20	0.08	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.46
10/01/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.23	1.45
10/02/20	0.10	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.48	0.70	1.25	1.48
10/05/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.19	0.33	0.55	0.78	1.34	1.57
10/06/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.14	0.14	0.17	0.32	0.53	0.76	1.33	1.56
10/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.21	0.35	0.56	0.81	1.37	1.60
10/08/20	0.09	0.09	0.09	0.12	0.13	0.13	0.18	0.33	0.54	0.78	1.34	1.57
10/09/20	0.10	0.11	0.10	0.12	0.15	0.16	0.20	0.34	0.55	0.79	1.34	1.58
10/13/20	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.18	0.31	0.52	0.74	1.29	1.52
10/14/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.51	0.73	1.28	1.50
10/15/20	0.10	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.52	0.74	1.29	1.52
10/16/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.53	0.76	1.30	1.52
10/19/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.34	0.54	0.78	1.32	1.55
10/20/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.19	0.34	0.57	0.81	1.37	1.60
10/21/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.20	0.36	0.58	0.83	1.40	1.62
10/22/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.21	0.38	0.62	0.87	1.43	1.67
10/23/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.18	0.21	0.37	0.61	0.85	1.41	1.64
10/26/20	0.08	0.09	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.35	0.58	0.81	1.37	1.59
10/27/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.57
10/28/20	0.07	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.56
10/29/20	0.08	0.10	0.09	0.10	0.12	0.16	0.20	0.38	0.61	0.85	1.39	1.62
10/30/20	0.08	0.09	0.09	0.11	0.13	0.14	0.19	0.38	0.64	0.88	1.43	1.65
11/02/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.38	0.63	0.87	1.41	1.63
11/03/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.17	0.21	0.39	0.65	0.90	1.44	1.66
11/04/20	0.08	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.55	0.78	1.33	1.55
11/05/20	0.09	0.10	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.56	0.79	1.32	1.54
11/06/20	0.10	0.10	0.10	0.11	0.12	0.16	0.21	0.36	0.59	0.83	1.37	1.60
11/09/20	0.10	0.10	0.11	0.11	0.12	0.17	0.25	0.44	0.70	0.96	1.51	1.73
11/10/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.19	0.26	0.46	0.72	0.98	1.53	1.75
11/12/20	0.10	0.11	0.10	0.10	0.13	0.17	0.23	0.40	0.64	0.88	1.42	1.64
11/13/20	0.10	0.09	0.09	0.10	0.12	0.17	0.23	0.41	0.65	0.89	1.43	1.65
11/16/20	0.09	0.10	0.09	0.12	0.12	0.19	0.24	0.41	0.66	0.91	1.44	1.66
11/17/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.12	0.18	0.22	0.39	0.63	0.87	1.40	1.62
11/18/20	0.07	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.40	0.64	0.88	1.42	1.62
11/19/20	0.08	0.08	0.07	0.10	0.11	0.18	0.22	0.39	0.63	0.86	1.38	1.58
11/20/20	0.09	0.09	0.07	0.10	0.11	0.16	0.21	0.38	0.62	0.83	1.33	1.53
11/23/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.16	0.22	0.39	0.64	0.86	1.36	1.56
11/24/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.39	0.65	0.88	1.40	1.60
11/25/20	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.17	0.21	0.39	0.65	0.88	1.41	1.62
11/27/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.20	0.37	0.61	0.84	1.36	1.57
11/30/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.16	0.19	0.36	0.62	0.84	1.37	1.58
12/01/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.12	0.17	0.22	0.42	0.68	0.92	1.46	1.66
12/02/20	0.07	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.42	0.69	0.95	1.50	1.70
12/03/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.40	0.67	0.92	1.46	1.67
12/04/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.11	0.16	0.21	0.42	0.70	0.97	1.53	1.73
12/07/20	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.20	0.40	0.67	0.94	1.49	1.69
12/08/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.46	1.67
12/09/20	0.07	0.07	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.41	0.68	0.95	1.48	1.69
12/10/20	0.07	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.44	1.65
12/11/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.11	0.18	0.37	0.63	0.90	1.42	1.63
12/14/20	0.07	0.08	0.09	0.08	0.10	0.13	0.17	0.37	0.63	0.90	1.43	1.63
12/15/20	0.07	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.18	0.37	0.64	0.92	1.45	1.65
12/16/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.37	0.64	0.92	1.46	1.66
12/17/20	0.08	0.09	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.38	0.66	0.94	1.47	1.68
12/18/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.39	0.67	0.95	1.49	1.70
12/21/20	0.08	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.39	0.66	0.95	1.48	1.68
12/22/20	0.07	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.17	0.37	0.64	0.93	1.45	1.65
12/23/20	0.07	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.38	0.67	0.96	1.49	1.70
12/24/20	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.37	0.66	0.94	1.46	1.66
12/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.13	0.17	0.38	0.65	0.94	1.46	1.67
12/29/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.11	0.12	0.17	0.37	0.66	0.94	1.47	1.67
12/30/20	0.06	0.06	0.08	0.09	0.12	0.12	0.17	0.37	0.66	0.93	1.46	1.66
12/31/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.36	0.65	0.93	1.45	1.65";

iTBillsUSA2021="01/04/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.36	0.64	0.93	1.46	1.66
01/05/21	0.08	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.38	0.66	0.96	1.49	1.70
01/06/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.20	0.43	0.74	1.04	1.60	1.81
01/07/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.22	0.46	0.78	1.08	1.64	1.85
01/08/21	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.24	0.49	0.81	1.13	1.67	1.87
01/11/21	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.22	0.50	0.84	1.15	1.68	1.88
01/12/21	0.09	0.08	0.09	0.09	0.11	0.14	0.23	0.50	0.83	1.15	1.68	1.88
01/13/21	0.09	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.22	0.48	0.80	1.10	1.63	1.82
01/14/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.16	0.23	0.49	0.82	1.15	1.69	1.88
01/15/21	0.08	0.09	0.09	0.10	0.10	0.13	0.20	0.46	0.78	1.11	1.66	1.85
01/19/21	0.07	0.09	0.09	0.11	0.10	0.14	0.21	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/20/21	0.08	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/21/21	0.07	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.19	0.45	0.79	1.12	1.68	1.87
01/22/21	0.07	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.44	0.77	1.10	1.66	1.85
01/25/21	0.07	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.42	0.73	1.05	1.61	1.80
01/26/21	0.05	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.18	0.42	0.74	1.05	1.61	1.80
01/27/21	0.05	0.06	0.08	0.09	0.09	0.12	0.18	0.41	0.72	1.04	1.60	1.79
01/28/21	0.05	0.06	0.07	0.08	0.08	0.12	0.18	0.42	0.75	1.07	1.63	1.81
01/29/21	0.07	0.07	0.06	0.07	0.10	0.11	0.19	0.45	0.79	1.11	1.68	1.87
02/01/21	0.06	0.07	0.07	0.08	0.08	0.11	0.17	0.42	0.76	1.09	1.66	1.84
02/02/21	0.04	0.05	0.07	0.08	0.08	0.11	0.18	0.45	0.79	1.12	1.69	1.87
02/03/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.11	0.19	0.46	0.81	1.15	1.73	1.92
02/04/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.18	0.46	0.81	1.15	1.75	1.93
02/05/21	0.02	0.03	0.03	0.05	0.06	0.09	0.19	0.47	0.83	1.19	1.79	1.97
02/08/21	0.04	0.03	0.05	0.05	0.07	0.11	0.20	0.48	0.83	1.19	1.78	1.96
02/09/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.19	0.48	0.83	1.18	1.78	1.95
02/10/21	0.05	0.04	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.80	1.15	1.75	1.92
02/11/21	0.05	0.05	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.81	1.16	1.77	1.94
02/12/21	0.03	0.04	0.04	0.05	0.06	0.11	0.20	0.50	0.85	1.20	1.83	2.01
02/16/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.23	0.57	0.94	1.30	1.92	2.08
02/17/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.21	0.57	0.94	1.29	1.92	2.06
02/18/21	0.03	0.03	0.03	0.04	0.06	0.11	0.21	0.56	0.94	1.29	1.91	2.08
02/19/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.07	0.11	0.22	0.59	0.98	1.34	1.98	2.14
02/22/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.11	0.22	0.61	1.00	1.37	2.02	2.19
02/23/21	0.03	0.02	0.04	0.05	0.08	0.11	0.22	0.59	1.00	1.37	2.03	2.21
02/24/21	0.03	0.03	0.03	0.05	0.08	0.12	0.24	0.62	1.02	1.38	2.07	2.24
02/25/21	0.04	0.03	0.04	0.06	0.09	0.17	0.34	0.81	1.23	1.54	2.25	2.33
02/26/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.30	0.75	1.15	1.44	2.08	2.17
03/01/21	0.03	0.03	0.05	0.07	0.08	0.13	0.27	0.71	1.12	1.45	2.11	2.23
03/02/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.26	0.67	1.08	1.42	2.09	2.21
03/03/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.08	0.14	0.29	0.73	1.14	1.47	2.12	2.25
03/04/21	0.03	0.05	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.77	1.21	1.54	2.18	2.30
03/05/21	0.04	0.04	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.79	1.23	1.56	2.18	2.28
03/08/21	0.04	0.04	0.05	0.06	0.09	0.17	0.34	0.86	1.28	1.59	2.20	2.31
03/09/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.10	0.17	0.35	0.83	1.23	1.55	2.16	2.26
03/10/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.08	0.16	0.32	0.80	1.20	1.53	2.15	2.24
03/11/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.31	0.78	1.20	1.54	2.18	2.29
03/12/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.09	0.14	0.34	0.85	1.30	1.64	2.31	2.40
03/15/21	0.02	0.02	0.04	0.06	0.08	0.14	0.33	0.84	1.28	1.62	2.27	2.37
03/16/21	0.01	0.02	0.02	0.06	0.07	0.15	0.33	0.83	1.28	1.62	2.30	2.38
03/17/21	0.01	0.02	0.02	0.05	0.07	0.13	0.29	0.80	1.27	1.63	2.32	2.42
03/18/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.08	0.16	0.33	0.86	1.35	1.71	2.36	2.45
03/19/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.07	0.16	0.33	0.90	1.38	1.74	2.36	2.45
03/22/21	0.02	0.02	0.03	0.05	0.06	0.15	0.32	0.87	1.34	1.69	2.29	2.38
03/23/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.08	0.15	0.31	0.83	1.29	1.63	2.24	2.34
03/24/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.14	0.31	0.83	1.27	1.62	2.21	2.31
03/25/21	0.02	0.03	0.02	0.04	0.07	0.14	0.30	0.82	1.29	1.63	2.24	2.34
03/26/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.14	0.31	0.85	1.32	1.67	2.27	2.37
03/29/21	0.02	0.03	0.03	0.04	0.06	0.14	0.32	0.89	1.37	1.73	2.32	2.43
03/30/21	0.01	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.33	0.90	1.39	1.73	2.29	2.38
03/31/21	0.01	0.01	0.03	0.05	0.07	0.16	0.35	0.92	1.40	1.74	2.31	2.41
04/01/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.17	0.35	0.90	1.37	1.69	2.24	2.34
04/02/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.19	0.39	0.97	1.42	1.72	2.27	2.35
04/05/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.17	0.37	0.94	1.40	1.73	2.28	2.36
04/06/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.88	1.34	1.67	2.24	2.32
04/07/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.87	1.34	1.68	2.26	2.35
04/08/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.05	0.14	0.33	0.85	1.30	1.64	2.22	2.32
04/09/21	0.02	0.01	0.02	0.03	0.06	0.16	0.35	0.87	1.33	1.67	2.23	2.34
04/12/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.18	0.38	0.89	1.35	1.69	2.24	2.34
04/13/21	0.03	0.02	0.03	0.05	0.06	0.16	0.35	0.85	1.29	1.64	2.21	2.32
04/14/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.87	1.31	1.64	2.22	2.32
04/15/21	0.02	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.56	2.13	2.23
04/16/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.84	1.26	1.59	2.15	2.26
04/19/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.08	0.16	0.34	0.85	1.28	1.61	2.18	2.29
04/20/21	0.01	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.31	0.81	1.25	1.58	2.16	2.27
04/21/21	0.00	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.32	0.81	1.24	1.57	2.16	2.26
04/22/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.57	2.13	2.24
04/23/21	0.01	0.02	0.03	0.03	0.07	0.16	0.34	0.83	1.26	1.58	2.14	2.25
04/26/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.18	0.35	0.85	1.27	1.58	2.13	2.24
04/27/21	0.01	0.02	0.01	0.04	0.06	0.17	0.36	0.88	1.32	1.63	2.18	2.29
04/28/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.17	0.35	0.86	1.31	1.63	2.19	2.29
04/29/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.20	2.31
04/30/21	0.01	0.02	0.01	0.03	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.19	2.30";

iTBillsUSA2019split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2019],13];
iTBillsUSA2020split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2020],13];
iTBillsUSA2021split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2021],13];

(iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split])//Dimensions

iTBillsUSA2019split//First

DateList[{"01/02/19",{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]

(*
column1=Map[DateList[{#,{"Day","Month","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];columns2to13=Map[Rest,iTBillsUSAAlloriginal];
Join[column1,columns2to13]
*)
iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split];iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]=Map[DateList[{#,{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];
iTBillsUSAAlloriginal=iTBillsUSAAlloriginal//ToExpression;
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["TBillsUSA2019to2021.XML",iTBillsUSAAlloriginal];

Riskless rates - T-Bills USA: Extraction

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
returnsCompaniesDJIWithNames=Import["returnsCompaniesDJIWithNames.XML"];
returnsDJI=Import["returnsDJI.XML"];
returnsDJIwithDates=Import["returnsDJIwithDates.XML"];
iDatesreturnsDJI=returnsDJIwithDates[[All,1]];

(iRisklessRates=Import["TBillsUSA2019to2021.XML"])[[1;;2]]
iRisklessDates=iRisklessRates[[All,1]];
%//Length

(iRisklessDatesSelected=Select[Map[DateObject,iRisklessDates],DateObject[{2019,4,15}]≤ #≤DateObject[ {2021,4,15}]&])//Length
iRisklessDatesSelectedLists=Map[DateList[#][[1;;3]]&,iRisklessDatesSelected];

Map[Length,{iRisklessDatesSelected,iRisklessDatesSelectedLists}]

iDatesreturnsDJI

(commonDates=Intersection[iDatesreturnsDJI,iRisklessDatesSelectedLists])//Length

Function[x,x[[1]]=={2020,4,21}]

#[[1]]=={2020,4,21}&//FullForm

Select[iRisklessRates,#[[1]]=={2020,4,21}&]
Select[iRisklessRates,Function[x,x[[1]]=={2020,4,21}]]

iRisklessRatescommonDates=Table[Select[iRisklessRates,Function[x,x[[1]]==j]],{j,commonDates}]//Flatten[#,1]&;

RandomChoice[commonDates]

Select[

***Auxiliary calculations

DateWithinQ[DateObject[{2021}],Today]

DateObject[{2019,4,15}]≤DateObject[{2021,4,15}]

Hodnocení investic: Investice s pevným výnosem 1

Zde budeme finanční investice hodnotit současnou hodnotou, případně střední hodnotou současné hodnoty.

Pozor, definice se v různých pramenech liší!!!

Cenné papíry (securities) s pevným výnosem, fixed-income securities jsou obvykle obchodovatelné finanční nástroje, které poskytují jejich vlastníkovi jistým způsobem definovaný příjem (tj.  peněžní tok) během určitého časového období. Pro investory jsou důležité, neboť vlastně definují  peněžní trh, poskytují zpětnou vazbu prostřednictvím informace o ceně peněz a většina investorů se více méně musí na peněžním trhu angažovat.

V minulosti pevný výnos skutečně zaručoval vlastníkovi příslušného ceného papíru pevný výnos, pomineme-li ovšem selhání emitenta (default) (dlužníka). V současnosti je pojem pevný výnos nutno brát s jistou rezervou. Většina emitentů nyní totiž váže výplaty úroků na nějakou obecně dobře kontrolovatelnou veličinu jako je např. depozitní úroková sazba centrální banky, mezibankovní úroková míra typu PRIBOR, LIBOR, případně jiná dohodnutá referenční sazba, méně již míra inflace apod. Obecně však platí, že cenné papíry s pevným výnosem poskytují zafixovaný peněžní tok až na dobře definované náhodné výjimky. Budeme tedy za cenné papíry s pevným výnosem považovat cenné papíry s předem definovanou strukturou posloupnosti plateb s tím, že některé platby jsou závislé na exogenních faktorech, které pravděpodobně žádná ze stran kontraktu nemůže významně ovlivnit.

Současné problémy s referenčními sazbami viz:

https://www.cnb.cz/cs/o_cnb/cnblog/Konec-ery-LIBORu-na-financnich-trzich-Co-bude-dal/

https://www.kb.cz/cs/podpora/slovnik/vyrazy-zacinajici-na-l/libor

Konec 2022-05-12

2024-05-19 Lekce 14

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/20210519HodnoceniInvesticT.pdf

FAQ

Q1

A1

Hodnocení investic: Investice s pevným výnosem 2

Kupónové obligace (dluhopisy, bonds)

Označení

Terminologie je nejednotná, často zavádějící. Uvádíme řadu možností. Největší problémy asi činí rozdíl mezi výnosem do splatnosti a výnosem (ve smyslu hodnotící úrokové míry).

Fair = dirty = gross = hrubá = spravedlivá cena, hodnota (price, full value),
clean = pure = čistá cena (clean price, value) 
t ... hodnotící čas, settlement
T ... splatnost (maturita)
i ... hodnotící úroková míra (tržní úroková míra, někdy nazývaná výnos, yield resp. požadovaný výnos, neplést s výnosem do splatnosti (YTM)!)
v=1/(1+i) ... diskontní faktor
c=C/F... kuponová sazba!!!
n ... počet období do splatnosti n:=T-t, invertovaný čas; n=0 je okamžik splatnosti (vypršení, maturity), předpokládáme t<T
A,(Subscript[I, i]) ... alikvótní úrok (alikvótní úrokový výnos, AUV, Accrued Interest, AI) při úrokové míře i (v [1] jsou vzorce pro AI špatně)
YTM ... výnos do splatnosti, yield to maturity, implied yield to maturity

Hodnocení obligací (dluhopisů)

Obligace s maturitou T roků (všude předpokládáme T∈ℕ) a nominální hodnotou F  emitovaná v čase 0 vyplácí kupóny ve výši C v časech 1,...,T. Nominální hodnota je splatná taktéž v čase T. Pro držitele obligace po celou dobu její životnosti je odpovídající peněžní tok:

Import["Cashflowofabond.pdf"]//First

Obligace je však obchodovatelný cenný papír, nutno znát jeho hodnotu v libovolném čase do splatnosti  t<T. Situace je poněkud komplikována administrativními důvody (v tomto případě pochopitelnými, nutno evidovat řádově tisíce držitelů): Emitent stanoví datum ex-kupónu (Subscript[t, ex]), tj. datum, od kterého je dluhopis obchodován bez nejbližšího následujícího kupónu. (The ex coupon date is the first day the bond starts trading without the coupon attached to it.) Datum ex-kupónu je obvykle několik dnů před výplatou kupónu, typicky 14 dnů. Na obrázku je hodnotící čas t∉ℕ, t<(Subscript[t, ex]). Držiteli obligace tedy náleží kupóny v časech ⌊t⌋+1,⌊t⌋+2,...,T-1,T, celkem tedy T-⌊t⌋ kupónů. Od času (Subscript[t, ex])  jsou vypláceny kupóny v časech ⌊t⌋+2,...,T-1,T. V dalším uvedeme spravedlivé ceny obligace ve všech možných případech.

Import["CashflowofabondValuation.eps"]

V dalším užíváme elementární vztahy mezi celou ⌊⌋, zlomkovou částí {} a stropem ⌈⌉, zdůrazněme T celé.

t=⌊t⌋+{t} ,  ⌊T-t⌋=T-⌈t⌉,   ⌊t⌋+1-t=1-{t}.

Spravedlivá cena obligace: t∉ℕ, t<(Subscript[t, ex])

P,V=C,(v^(⌊t⌋+1-t))+C,(v^(⌊t⌋+2-t))+...+(Cv^(T-1-t))+(C+F)(v^(T-t))=
C,(v^(1-{t}))((1-(v^(T-⌊t⌋)))/(1-v))+F,,(v^(T-t))

Spravedlivá cena cena obligace: t∉ℕ, (Subscript[t, ex])≤t≤⌊t⌋+1

P,V=C,(v^(⌊t⌋+2-t))+C,(v^(⌊t⌋+3-t))+...+(Cv^(T-1-t))+(C+F)(v^(T-t))=
C,(v^(2-{t}))((1-(v^(T-⌊t⌋-1)))/(1-v))+F,,(v^(T-t))

Spravedlivá cena cena obligace: t∈ℕ, v čase t se pochopitelně žádný kupón nevyplácí

P,V=C,v+C,(v^2)+...+(Cv^(T-1-t))+(C+F)(v^(T-t))=
C,v((1-(v^(T-t)))/(1-v))+F,,(v^(T-t))

Čistá cena (t=0, kupóny se vyplácejí v okamžicích t=1,2,...,T):

P,(Subscript[V, p])=C,v+C,(v^2)...+(C+F)(v^T)=C,(∑_(j=1)^T)(v^j)+F,(v^T)=((C,,v((v^T)-1))/(v-1))+F,(v^T)=(C/i)+(1/(((1+i))^T))(F-(C/i))

***Procedury pro hodnocení obligací (dluhopisů)

⚠

V následujících třech procedurách se používá invertovaný čas n=T-t. Vzorec pro výpočet čisté ceny (použito v proceduře cleanvalue pro výpočet čisté hodnoty):

Procedury pro spravedlivou (dirty) cenu, čistou (clean) cenu a alikvótní úrok:

Clear[dirtyvalue,cleanvalue,accruedinterest];
{(dirtyvalue[c_,F_,n_,i_]=Module[{v},
c F  (v^(n-⌊n⌋))(If[⌊n⌋-n==0,0,1]+ (∑_(j=1)^(⌊n⌋))(v^j))+F (v^n)/.v->(1/(1+i))]//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&),
(cleanvalue[c_,F_,n_,i_]=Module[{v},F ((v^n)+((c v ((v^n)-1))/(v-1)))/.v->(1/(1+i))]//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&),
(accruedinterest[c_,F_,n_,i_]=
((c F (-1+(((1+i))^(1-n+Floor[n]))))/i))}//TraditionalForm

Skutečně pro alikvótní úrok platí:

dirtyvalue[c,F,n,i]-cleanvalue[c,F,n,i]//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&//TraditionalForm

Ve finančním tisku se většinou uvádí hodnota A,I(Subscript[,, 0]):=C(1-{n}), nebere se v potaz hodnotící úroková míra. Ve všech případech je 0≤A,(Subscript[I, i])≤1 a 0≤A,(Subscript[I, 0])≤1.

Limit[((c F (-1+(((1+i))^(1-n+Floor[n]))))/i),i->0]//FullSimplify[#1,Assumptions->n≥0]&//TraditionalForm

Rozdíl mezi A,(Subscript[I, i]) a A,(Subscript[I, 0]):

Manipulate[Plot[({c F t,accruedinterest[c,F,1-t,i]}/.{F->1})//Evaluate,{t,0,1},PlotPoints->500,Exclusions->None,AxesLabel->{t,AI},PlotLabel->"AI a (Subscript[AI, 0])",PlotStyle->{{Dashed,Thick},{Orange,Thick}}],
{{c,0.1,"c"},0.01,0.20,0.01,Appearance->"Labeled"},
{{i,0.5,"i"},0.01,0.50,0.01,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

A,(Subscript[I, 0])-A,(Subscript[I, i]); Derivace podle t je pro i>0 záporná, takže ∀0<t<1 je A,(Subscript[I, 0])>A,(Subscript[I, i]). (Srovnejte s analogickým výsledkem pro současnou hodnotu při úročení jednoduchém a složeném a úrokovém období kratší jednoho roku.)

dif=(c F t-accruedinterest[c,F,1-t,i]/.{F->1})//FullSimplify[#,Assumptions->i>0∧c>0∧0<t<1]&
D[dif,t]

Výnos do splatnosti (YTM) je definován jako IRR (vnitřní míra výnosnosti) peněžního toku {-MP,C,...,C,C+F}, kde MP je pořizovací cena (tržní cena, market price).

Clear[YTMdirty];
(* Používá se počáteční aproximace Hawawini & Vora, viz [3], str. 42 *)
YTMdirty[MP_,c_,F_,n_]:=Module[{ytm0=((c F+(F-MP)/n)/(0.6 MP+0.4 F)),ytm},
{ytm0,ytm/.FindRoot[dirtyvalue[c,F,n,ytm]==MP,{ytm,ytm0}]}(*//Last*)]

Manipulate[Plot[YTMdirty[MP,c,F,T-t],{t,0,0.9T},PlotPoints->500,Exclusions->None,AxesLabel->{t,YTM},PlotStyle->Thick,PlotRange->{{0,T},{0,0.2F}}],
{{T,10,"T",Appearance->"Labeled"},1,30,1,Appearance->"Labeled"},
{{c,0.1,"c"},0.01,0.20,0.01,Appearance->"Labeled"},
{{F,1,"F"},1,10,Appearance->"Labeled"},
{{MP,F+c F,"MP"},0.4F,1.4F,0.05F,Appearance->"Labeled"},
SaveDefinitions->True]

Clear[YTMclean];
(* Používá se počáteční aproximace Hawawini & Vora, viz [3], str. 42 *)
YTMclean[MP_,c_,F_,n_]:=Module[{ytm0=((c F+(F-MP)/n)/(0.6 MP+0.4 F)),ytm},
{ytm0,ytm/.FindRoot[cleanvalue[c,F,n,ytm]==MP,{ytm,ytm0}]}(*//Last*)]

Manipulate[Plot[YTMclean[MP,c,F,T-t],{t,0,0.9T},PlotPoints->500,Exclusions->None,AxesLabel->{t,YTM},PlotStyle->Thick,PlotRange->{{0,T},{0,0.2F}}],
{{T,10,"T",Appearance->"Labeled"},1,30,1,Appearance->"Labeled"},
{{c,0.1,"c"},0.01,0.20,0.01,Appearance->"Labeled"},
{{F,1,"F"},1,10,Appearance->"Labeled"},
{{MP,F+c F,"MP"},0.4F,1.4F,0.05F,Appearance->"Labeled"},
SaveDefinitions->True]

1.1.3 Example (Příklad)

Znázornění ve skutečném (a ne invertovaném) čase:

Kuponova obligace s kuponovou sazbou c=0.1, splatnost T=10, nominalni hodnota F=1, hodnotici urokova sazba i=0.15, tj. diskontni obligace.

p12=Plot[{dirtyvalue[0.1,1,10-n,0.15],cleanvalue[0.1,1,10-n,0.15]},{n,0,10},Exclusions->None,PlotPoints->500,PlotStyle->Thick,AxesLabel->{t,PV}]

Kuponova obligace s kuponovou sazbou c=0.1, splatnost T=10, nominalni hodnota F=1, hodnotici urokova sazba i=0.1.

p3=Plot[dirtyvalue[0.1,1,10-n,0.1],{n,0,10},Exclusions->None,PlotStyle->{{Dashing[{0.01,0.01}],Black,Thick}},AxesLabel->{t,PV}]

Kuponova obligace s kuponovou sazbou c=0.1, splatnost T=10, nominalni hodnota F=1, hodnotici urokova sazba i=0.05, tj. premiova obligace.

p45=Plot[{dirtyvalue[0.1,1,10-n,0.05],cleanvalue[0.1,1,10-n,0.05]},{n,0,10},PlotPoints->500,Exclusions->None,PlotStyle->Thick,AxesLabel->{t,PV}]

Show[p12,p3,p45,PlotRange->All]

⚠ !!! Obecně

Manipulate[Plot[{dirtyvalue[c,f,T-t,i],cleanvalue[c,f,T-t,i],cleanvalue[c,f,T-t,c]},{t,0,T},PlotPoints->500,Exclusions->None,AxesLabel->{t,PV},PlotStyle->Thick,PlotRange->{{0,T},{0,2f}}],
{{T,15,"T",Appearance->"Labeled"},5,30,1,Appearance->"Labeled"},
{{c,0.1,"c"},0.01,0.20,0.01,Appearance->"Labeled"},
{{f,1,"F"},1,1000,50,Appearance->"Labeled"},
{{i,0.15,"i"},0.01,0.20,0.01,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Alikvótní úrok (Všimněte si, že změny úrokové míry se na grafu neprojeví.)

Manipulate[Plot[{dirtyvalue[c,f,T-t,i]-cleanvalue[c,f,T-t,i]},{t,0,T},PlotPoints->500,Exclusions->None,PlotStyle->Thick,AxesLabel->{t,AI},PlotLabel->"Alikvótní úrok",PlotRange->{{0,T},{0,0.22 f}}],
{{T,10,"T",Appearance->"Labeled"},1,30,1,Appearance->"Labeled"},
{{c,0.1,"c"},0.01,0.20,0.01,Appearance->"Labeled"},
{{f,1,"F"},1,1000,50,Appearance->"Labeled"},
{{i,0.15,"i"},0.01,0.20,0.01,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

**Duration of a coupon bond

Definice durace kuponove obligace

((c F(∑_(j=1)^n)j (v^j)+F n (v^n))/(c F(∑_(j=1)^n) (v^j)+F  (v^n)))/.v->(1/(1+i))//PowerExpand//FullSimplify

Clear[cleanduration,dirtyduration,v];
(cleanduration[c_,F_,n_,i_]=1+(1/i)-((1+i+c n-i n)/(i+c (-1+(((1+i))^n))))//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&)//TraditionalForm
(dirtyduration[c_,F_,n_,i_]=((c F (∑_(j=0)^(⌊n⌋)) (n-⌊n⌋+j) (v^(n-⌊n⌋+j))+F n (v^n))/(c F (v^(n-⌊n⌋)) (∑_(j=0)^(⌊n⌋))(v^j)+F (v^n))/.v->(1/(1+i)))//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&)//TraditionalForm

Plot[{dirtyduration[0.1,1,10-t,0.15],cleanduration[0.1,1,10-t,0.15]},{t,0,10},PlotPoints->500,Exclusions->None]

Plot[{dirtyduration[0.1,1,10-n,0.05],cleanduration[0.1,1,10-n,0.05]},{n,0,10},PlotPoints->500,Exclusions->None]

** Mathematica funkce FinancialBond (obligace, dluhopis)

Tento odstavec slouží k procvičení.

**Popis zabudované funkce

FinancialBond (* Označte kursorem a stiskněte F1 *)

Označení: “FaceValue” nominální hodnota F, “Coupon” kuponova sazba c, “Maturity” doba do splatnosti od okamziku vydani T, “Settlement” hodnotici okamzik t, “InterestRate” hodnotici urokova mira r, trzni urokova mira pro srovnatelnou investici, cenu kapitalu, “CouponInterval” rocni frekvence vyplaty kuponu 1/f, (f=2 znamena dvakrat rocne), “DayCountBasis” kalendářová konvence, “AccruedInterest” alikvotni urok, “Value” clean value, “FullValue” dirty value.

POZOR NA SYNTAXI!!! PRI RESENI ULOH ZKOPIRUJTE Z HELPU!!!

propertiesFinancialBond=FinancialBond["Properties"]

Poznamka: Properties:

({{"Value", price adjusted for accrued interest}, {"FullValue", unadjusted price}, {"AccruedInterest", accrued interest at settlement}, {"Duration", Macaulay duration}, {"ModifiedDuration", modified duration}, {"Convexity", convexity}, {"CouponPeriodDays", days in coupon period containing the settlement}, {"CouponToSettlementDays", days from previous coupon to settlement}, {"SettlementToCouponDays", days from settlement to next coupon}, {"NextCouponDate", next coupon date}, {"PreviousCouponDate", previous coupon date}, {"RemainingCoupons", remaining coupon payments}})

1 Příklad (numerický)

Současná hodnotící úroková míra je  6%. Jaká je spravedlivá cena kuponové obligace splatné za 30 let s roční kuponovou sazbou 5.75% a nominální hodnotou 1000Kč?

FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"Coupon"->0.0575,"Maturity"->30},{"InterestRate"->0.06,"Settlement"->0}]

2 Příklad (numerický)

10 - letá obligace, nominální hodnota 1000Kč, kupon dvakrát ročně, kupon 5.75% p.a., hodnocená 9 měsíců po vydání, hodnotící úr. míra r=5% p.a.:

FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"Coupon"->0.0575,"Maturity"->10,"CouponInterval"->(1/2)},{"InterestRate"->0.05,"Settlement"->(9/12)}]

3 Příklad (numerický)

F=1000, c=0.04, kupon ctvrtletni, splatnost 31. 12. 2030, hodnocena ke dni 5. 9. 2013, r=0.06.

FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"Coupon"->0.04,"Maturity"->{2030,12,31},"CouponInterval"->(1/4)},{"InterestRate"->.06,"Settlement"->{2013,9,5}}]

Graficky v zavislosti na hodnotici urokove mire:

Plot[FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"Coupon"->0.04,"Maturity"->{2030,12,31},"CouponInterval"->(1/4)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->{2013,9,5}}],{r,0.03,0.05}]

4 Priklad (alikvótní úrok)

Alikvotni urok pri kalendari "Actual/360". Ostatni je zrejme z predchoziho vykladu.

FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"Coupon"->0.07,"Maturity"->{2030,12,31},"CouponInterval"->(1/2)},{"InterestRate"->0.06,"Settlement"->{2010,11,12},"DayCountBasis"->"Actual/360"},"AccruedInterest"]

ListPlot[Table[FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"Coupon"->0.07,"Maturity"->{2030,12,31},"CouponInterval"->(1/2)},{"InterestRate"->0.06,"Settlement"->{2010,11,d},"DayCountBasis"->"Actual/360"},"AccruedInterest"],{d,1,30}]]

Cviceni:
Graficky znazornete alikvotni urok jako funkci hodnoticiho data pro obdobi 1.11.2010 az 31.12.2013. Navod: Pouzijte funkci DaysPlus.

5 Příklad (výnos do splatnosti)

Vynos do splatnosti (YTM, Yield To Maturity, zde nazyvany “Implied yield to maturity”) obligace, ktera se 3.5.2013 prodavala za trzni cenu 900.

FindRoot[FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"Coupon"->0.05,"Maturity"->{2018,6,31},"CouponInterval"->(1/4)},{"InterestRate"->ytm,"Settlement"->{2013,5,3}}]==900,{ytm,.1}]

6a Příklad (explicitni vzorce)

Je mozne ziskat i explicitni vzorce:

FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->t}]//Apart//TraditionalForm

Value

(value=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->t},"Value"])//Apart//FullSimplify//TraditionalForm

FullValue

(fullvalue=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->t},"FullValue"])//Apart//TraditionalForm

Alikvótní úrok

(accrued=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->t},"AccruedInterest"])//Apart//TraditionalForm

Zkoušky, zda jsou výše uvedené vzorce v souladu:

fullvalue-value//FullSimplify//TraditionalForm

fullvalue-value==accrued//FullSimplify

Občas je užitečný rozvoj na parciální zlomky užitím funkce Apart:

FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->5},{"InterestRate"->r,"Settlement"->0}]
%//Apart//TraditionalForm

**6b Příklad (explicitni vzorce pro vsechny vlastnosti)

propertiesFinancialBond=FinancialBond["Properties"]

Map[{#,FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->t},#]//FullSimplify}&,propertiesFinancialBond]//TableForm

**7 Příklad (Durace, konvexita)

FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->0},"Duration"]//Simplify

Podobně konvexita, místo “Duration” použít “Convexity”.

8 Příklad (Hodnoceni pri uziti urokovych mer ze spotove vynosove krivky)

vynosovakrivka=Thread[Range[5]->Table[(Subscript[R, i]),{i,5}]]

FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->5},{"InterestRate"->vynosovakrivka,"Settlement"->0}]
%//Apart//TraditionalForm

***9 Příklad (Nahodna urokova mira)

pricer=FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"RedemptionValue"->1100,"Coupon"->0.07`,"Maturity"->5,"CouponInterval"->(1/2)},{"InterestRate"->r,"Settlement"->0}]

Expectation[pricer,r\[Distributed]NormalDistribution[0.05,0.01]]

V teto podobe nefunguje. Ale treba pro dobu do splatnosti funguje:

pricet=FinancialBond[{"FaceValue"->1000,"RedemptionValue"->1100,"Coupon"->0.07`,"Maturity"->t,"CouponInterval"->(1/2)},{"InterestRate"->.09,"Settlement"->0}]
Expectation[pricet,t\[Distributed]NormalDistribution[12.5,1]]

***10 Příklad (Rules)

Je mozne ziskat i explicitni vzorce:

(FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->i,"Settlement"->t}]/.f->1)//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&

Value

(value=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->i,"Settlement"->t},"Value"]/.f->1)//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&
(%/.i->(1/v)-1)//FullSimplify[#,Assumptions->0<v<1]&

(value=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->i,"Settlement"->t},"Value"]/.{f->1,t->0})//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&

FullValue

(fullvalue=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->i,"Settlement"->t},"FullValue"]/.f->1)//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&

FullValue minus value

fullvalue-value//FullSimplify[#,Assumptions->i>0]&

Alikvótní úrok

(accrued=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->i,"Settlement"->t},"AccruedInterest"]/.f->1)//TraditionalForm

Rules

(rules=FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->T,"CouponInterval"->(1/f)},{"InterestRate"->i,"Settlement"->t},"Rules"]/.f->1)//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&
(%/.i->(1/v)-1)//FullSimplify[#,Assumptions->0<v<1]&

(value+accrued-fullvalue//FullSimplify[#,Assumptions->i>0]&)/.{t->3.4,T->6,i->.05}

fullvalue-value//FullSimplify

FinancialBond[{"FaceValue"->F,"Coupon"->c,"Maturity"->5},{"InterestRate"->r,"Settlement"->0}]
%//Apart//TraditionalForm

***11 Příklad ([3] Cipra, Matematika cenných papírů, 2013, str. 29 a dále)

Pozor, ve vzorcích zde figuruje kupónová sazba c=C/F!!!

Clear[cipraPV124,cipraVτ126,cipraCτ127];
(* Vzorec 1.2.4 *)
{(cipraPV124[c_,F_,n_,i_]=Module[{v},c F  (∑_(j=1)^n)(v^j)+F (v^n)/.v->(1/(1+i))]//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&)//Apart//TraditionalForm,
(* Vzorec 1.2.6 *)(cipraVτ126[c_,F_,n_,τ_,i_]=(((1+i))^τ)cipraPV124[c,F,n,i]//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&)//Apart//TraditionalForm,(cipraCτ127[c_,F_,n_,τ_,i_]=((c F)/i)((((1+i))^τ)-1)//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&)//Apart//TraditionalForm}
(%[[2]]-%//Last)//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&

C (v^(-τ))(∑_(j=1)^n)(v^j)+F (v^(n-τ))
(%/.v->(1/(1+i)))//FullSimplify[#,Assumptions->i>-1]&

***12 Příklad ([3] Cipra, Matematika cenných papírů, 2013, str. 100 a dále, Příklad 1.7.1)

Plot[{FinancialBond[{"FaceValue"->10000,"Coupon"->0.1,"Maturity"->3},{"InterestRate"->.05,"Settlement"->0}](1.05^t),
FinancialBond[{"FaceValue"->10000,"Coupon"->0.1,"Maturity"->3},{"InterestRate"->.1,"Settlement"->0}](1.1^t),
FinancialBond[{"FaceValue"->10000,"Coupon"->0.1,"Maturity"->3},{"InterestRate"->.15,"Settlement"->0}](1.15^t)}//Evaluate,{t,2.7,2.8}]

8858.39 (1.15^3)

***Obligace (bonds)

Assuming[t ∈Reals∧T∈Integers∧0<t<T,Simplify[T-Floor[T-t]]]
Assuming[t ∈Reals∧T∈Integers,Simplify[Floor[T+t]]]
Assuming[t ∈Reals∧T∈Integers,Simplify[Floor[T-t]]]
Assuming[t ∈Reals∧T∈Integers∧¬(t∈Integers),Simplify[Floor[T-t]]]
Assuming[x ∈Reals∧n∈Integers∧x>0,Simplify[Ceiling[x]-Floor[x]-1]]
Assuming[x ∈Reals∧n∈Integers,n-Ceiling[x]==n-Floor[x]-1]
Plot[-1+Ceiling[x]-Floor[x],{x,-2.5,2.5},PlotStyle->{Red,Thick}]

1.1.6 Svolatelný dluhopis (vypověditelný, callable bond)

Emitent může dluhopis splatit (odkoupit, svolat) před uplynutím normální doby splatnosti. Zpravidla tak učiní v případě, že má přístup k “levnějším” penězům než musí platit v úrocích emitovaného dluhopisu. Pro držitele dluhopisu (investora) to bývá nevýhodné (emitent obvykle svolává v případě, že tržní ú. m. je nižší než kupónová sazba, investor tedy obvykle na trhu nenajde stejně výhodnou investiční příležitost) , takže emitent musí nabídnout určitou kompenzaci. Ta je obvykle zakotvena ve svolávacím plánu (call schedule).

Je-li T doba do splatnosti, nominální hodnota F, pak emitent může obvykle svolat v okamžicích (Subscript[T, -k])=T-k, k=1,...,K    se splatnými částkami (Subscript[F, -1]),...,(Subscript[F, -K]). Z podstaty věci vyplývá, že by mělo platit (Subscript[F, -k])>F. K exaktnímu hodnocení musíme též znát pravděpodobnosti svolání (Subscript[p, -1]),...(Subscript[p, K]) v okamžicích (Subscript[T, -1]),...,(Subscript[T, K]). Je přirozené, že tyto pravděpodobnosti se mění v závislosti na tržní situaci a jsou závislé na hodnotícím okamžiku t: (Subscript[p, -1])(t),...(Subscript[p, K])(t). Struktura CALL opce je tedy poměrně komplikovaná.

V praxi se uvádějí svolávací ceny v procentech: (Subscript[F, 0])=100%,(Subscript[F, -1])=102%,(Subscript[F, -2])=104%,....

Mluví se o též dluhopisu s vnořenou opcí (embedded option). Opci může uplatnit emitent (je v dlouhé pozici), takže

(cena svolatelného dluhopisu) = (cena ekvivalentního dluhopisu bez možnosti svolání) - (cena CALL opce).

***Price of a callable bond is always lower than the price of a straight bond because the call option adds value to an issuer. Yield on a callable bond is higher than the yield on a straight bond.

Viz též [3], str. 11, 90 a dále.

Poznámka (puttable bond)

V tomto případě má držitel právo prodat dluhopis emitentovi, opět za předem dohodnutých podmínek (prodejní opce). Exisují také dluhopisy s oběma opcemi, CALL opce a PUT opce se vzájemně nevylučují.

1.1.7 Amortizované obligace

Emitent nesplatí v okamžiku vypršení nominální hodnotu, ale “amortizuje” ji v konstantních kupónech. Místo standardního peněžního toku pro běžnou kupónovou obligaci {C,C,...,C,C+F} tak investor dostává anuitu {(SuperStar[C]),(SuperStar[C]),...,(SuperStar[C])}. Amortizovaná obligace je, ceteris paribus, méně riskantní (proč?), takže “ekvivalentní” kupón bude nižší než vypočtený z přesné ekvivalence peněžních toků (samozřejmě závislých na hodnotící ú. m.).

1.1.8 Simple Bonds under Uncertainty 1 (Obligace za nejistoty)

Obligace s nulovým kupónem a nominální hodnotou F maturitou 1 vyplatí v okamžiku vypršení částku F s pravděpodobností p a částku η,F s pravděpodobností 1-p, kde  η∈[0,1) je míra pokrytí (recovery rate) a λ:=1-η je ztrátový poměr (loss rate). Případ η=0 odpovídá úplnému selhání emitenta (default). Střední hodnota výplaty v čase 1 je p,F+(1-p)η,F. Při hodnotící úrokové míře r je tedy spravedlivá cena (OverBar[P,V]) = (1/(1+r))[p,F+(1-p)η,F], kde r je hodnotící úroková míra.

Clear[pvUncertainty1]
pvUncertainty1[r_,p_,iF_,η_]:=(1/(1+r))(p iF+(1-p)η iF)
Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Nominální hodnota F = 1"}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"r = ",r,"   p = ",p,"   η = ",η}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"Spravedlivá cena = ",pvUncertainty1[r,p,1,η]}],Bold,14]}],
{{r,0.05},0,0.15,Appearance->"Labeled"},
{{p,0.9},0,1,Appearance->"Labeled"},{{η,0.9},0,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

***Simple Bonds under Uncertainty I

Suppose that a zero coupon bond pays F with probability p and pays η,F with probability 1-p at maturity one year , where η ∈[0, 1) is called the recovery rate (míra pokrytí, míra zotavení), and  λ:=1-η  is called the loss rate (ztrátový poměr). The case η=0  is equivalent to the default (nesplacení). Suppose that the valuation interest rate is r. The fair value of the bond is the expected present value:

(OverBar[PV]) =(1/(1+r))[p,F+(1-p)η,F]

1.1.10 Simple Bonds under Uncertainty 2

Obligace s nulovým kupónem a nominální hodnotou F=1 splatnou za jeden rok (maturitou 1 rok) vyplatí v okamžiku vypršení částku X, kde X je náhodná veličina s nosičem [0,1], tj. 0≤X≤1 s pravděpodobností 1. Analogicky s předchozím případem je spravedlivá cena (OverBar[P,V]) = (1/(1+r))E,X.

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Střední hodnota = ",Mean[BetaDistribution[α,β]]}]//N,Bold,14],Plot[PDF[BetaDistribution[α,β],x],{x,0,1},PlotLabel->"Hustota Beta-rozdělení"]}],{{α,2},1/50,5,Appearance->"Labeled"},{{β,1/4},1/50,5,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Stanovení rizikové přirážky

Podobnou myšlenku můžeme užít i pro hodnoceni půjček, resp. při stanovení prémie z rizika nesplacení (default risk premium). Předpokládejme, že půjčka ve výši PV = 1 je splatná za 1 rok, ale ve skutečnosti dlužník splatí náhodnou částku X, 0≤X≤1, úrok v to nepočítaje. Otázkou je, jaká by měla být prémie za riziko z nesplacení (Subscript[r, default]) účtovaná věřitelem, aby dostal v průměru bezrizikový úrok (Subscript[r, 0]). Jistá budoucí hodnota půjčky je 1+(Subscript[r, 0]), takže věřitel by měl požadovat rizikovou přirážku vyplývajici ze vztahu

1+(Subscript[r, 0])=(1+(Subscript[r, 0]))(1+(Subscript[r, default]))E,X

z čehož

(Subscript[r, default])=(1/(E,X))-1.

***Simple Bonds under Uncertainty 2

Uvažujme pro změnu obligaci s nulovým kuponem splatnou za jeden rok s nominální hodnotou F=1, ale ve skutečnosti vyplatí X, kde X je náhodná veličina, 0≤X≤1. Nechť r je hodnotici urokova mira. Spravedlivá hodnota obligace je pak

(OverBar[PV]) =(1/(1+r))E,X

Hodnocení investic (Investice s pohyblivým výnosem, finanční deriváty)

Finanční derivát je finanční instrument, jehož hodnota závisí na hodnotě jiného finančního instrumentu. Tomu se říká podkladové aktivum (underlying asset).

**Securities represent all financial investments. Derivatives are such securities which payoff depends on another security.

Hodnocení opcí a futures 1

Úvod

Arbitráž a zajišťování (hedging)

All the models treated assume no-arbitrage principle, in other words, the absence of arbitrage opportunities. By an arbitrage opportunity we mean any of the two situations:
(1) At the same time, the same asset is sold at different prices at different places. Nowadays, this can hardly happen in the financial world since the information from one stock exchange is available on the stock exchange on the opposite side of the globe within a second.
(2) With zero investment at time 0 there is no probability of loss but there is a possibility of a riskless profit at time 1. More rigorously, an arbitrage opportunity in this case is a self-financing trading strategy with no initial investment, and a positive probability of positive profit and zero probability of negative profit later on.

Arbitrage opportunity is often characterized as a “money pump” and no-arbitrage
principle by the slogan: “There is no such thing like a free lunch.”.

Velmi často se setkáme s následujicí, poněkud nepřesnou terminologií.
Investor je v krátké pozici, short position, jestliže nějaké aktivum nevlastní, ale má závazky z něj plynoucí. Obvykle se jedná o emitenta dluhopisu nebo prodávajicího opce. V dlouhé pozici, long position je investor, ktery je držitelem (kupujícim) nějakého aktiva, ze kterého pro protistranu plynou nějaké závazky. V připadě opcí investorovi v krátké pozici nezbývá než trpně přihližet, jak se bude trh vyvíjet, a jak se protistrana zachová. V případě racionálně se chovajícího se investora v dlouhé pozici je jeho rozhodnutí determinováno trhem.

Zkráceně se někdy dlouhá pozice značí “+“, krátká “-“.

Příklad arbitráže

Nulová investice v čase 0 a nenulová pravděpodobnost zisku v čase 1 a nulová pravděpodobnost ztráty v čase 1.

Cena akcie v čase t je (Subscript[S, t]), t=0,1. V čase t=0 si půjčím částku B=-(Subscript[S, 0]), (úroková míra r) a za ní  si koupím akcii. Moje bilance (hodnota portfólia) v čase t=0 je (Subscript[S, 0])+B=0. V čase t=1 je hodnota portfólia (Subscript[S, 1])+(1+r)B. Jestliže P((Subscript[S, 1])+(1+r)B>0)>0 a zároveň P((Subscript[S, 1])+(1+r)B<0)=0, jedná se o arbitráž.

Bezriziková úroková míra (riskless, riskfree)

Při hodnocení opcí se (s výjimkou diskrétních modelů) téměř výhradně používá intenzita úročení (dále úroková míra) jako ve spojitém modelování.

Abstraktní pojem, předpokládá se že existuje úroková míra (Subscript[r, 0]), která je stejná pro dlužníky, vypůjčovatele (borrowers) i věřitele (lenders). Investice při této ú. m. poskytují zaručený, jistý výnos. S touto úrokovou mírou se setkáváme v řadě modelů. V praktických výpočtech se obvykle nahrazuje (proxy) úrokovou mírou výnosu státních dluhopisů (poukázek) pro srovnatelnou dobu splatnosti. V současnosti při tzv. “kvantitavním uvolňování” (rozuměj tištění nekrytých bankovek) jak v USD tak EUR zóně je možné o bezrizikovosti s úspěchem pochybovat. To také platí při iracionálních zásazích centrální banky.

***Záleží na kontextu, stejná pro dlužníky, vypůjčovatele (borrowers) i věřitele (lenders) je jistě nereálné, navíc transakční náklady.

Evropské a americké opce (vanilla options, obyčejné opce)

r ... bezriziková úr. míra (někdy značena  (Subscript[r, 0]))
(Subscript[S, t]) ... cena podkladového aktiva (akcie) v čase t, v našem přístupu náhodná veličina
(Subscript[c, t]) resp. (Subscript[p, t]) ... cena (opční prémie) evropské CALL resp. PUT opce
K ... realizační cena (exercise, strike price)
T ... čas vypršení (expiry) evropské opce = čas případné realizace
τ ... čas realizace americké opce τ≤T

Opce je cenný papír (security), který dává svému držiteli právo (nikoliv povinnost) ve smluveném budoucím okamžiku T případně kdykoli do smluveného okamžiku T koupit (kupní opce, CALL opce) nebo prodat (prodejní opce, PUT opce) podkladové aktivum za předem smluvenou cenu K. Evropskou opci je možné uplatnit pouze v okamžiku vypršení T, americkou opci je možné uplatnit kdykoli do času T.  Zdůrazněme, že držitel může, ale nemusí své právo uplatnit. Uplatní-li svoje právo, mluví se o realizaci opce. Za toto právo musí prodávajícímu (pisateli opce) zaplatit. Předpokládáme, že kupující se chová racionálně a své právo uplatní, jestliže to pro něj bude výhodné.

Příklad Apple 1 (Data používána i v dalších výpočtech v této lekci)

Data

(* Jen pro ilustraci, slouží jen pro ilustraci, jak získat data a případnou aktualizaci. *)
(* Potřebná data se načtou následujícími příkazy. *)
pricesApple20200525=FinancialData["AAPL",{{2020,2,25},{2021,5,24}},Method->"Legacy"];
returnsApple20200525=FinancialData["AAPL","Return",{{2020,2,25},{2021,5,24}},Method->"Legacy"];
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Save["pricesApple20200525",pricesApple20200525]
Save["returnsApple20200525",returnsApple20200525]

Import

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
pricesApple20200525=Get["pricesApple20200525"];
returnsApple20200525=Get["returnsApple20200525"];

Ilustrace

(* *** *)
Cases[pricesApple20200525,{{2021,2,25},_}]

Investor dne 2021-02-25 koupí evropskou CALL opci na akcii Apple s datem vypršení T= 2021-05-24 a realizační cenou K=125. V okamžiku koupě je cena akcie (Subscript[S, 0])=(Subscript[S, 2021-02-25])=120.98999786376953`.  V okamžiku vypršení je aktuální cena (Subscript[S, T])=(Subscript[S, 2021-05-24])=127.1. Investor tedy opci realizuje, koupí akcii za K=125, obratem ji prodá a má zisk 127.1-125=2.1. To je ovšem hrubý zisk, investor musel opci koupit.

DateListPlot[pricesApple20200525,PlotLabel->"Ceny akcií Apple v období 2020-02-25 až 2021-05-24"]

Výplatní funkce (payoff function) evropské opce

v okamžiku vypršení

CALL: (SuperPlus[((Subscript[S, T])-K)])=Max[0,(Subscript[S, T])-K]

PUT: (SuperPlus[(K-(Subscript[S, T]))])=Max[0,K-(Subscript[S, T])]

Výplatní funkce (payoff function) americké opce

v okamžiku realizace τ

CALL: (SuperPlus[((Subscript[S, τ])-K)])

PUT: (SuperPlus[(K-(Subscript[S, τ]))])

!!!PUT - CALL parita (platí pouze pro evropské opce!)

({{({{(Subscript[S, t])+(Subscript[p, t])=(Subscript[c, t])+K,(e^(-r(T-t)))}})}})

Mnemotechnická pomůcka pro zapamatování: státní podnik = císařsko-královské

Důkaz: viz též [1], str. 54. Uvažujme portfolio: + PUT + akcie - CALL, vše na stejnou akcii, opce evropské se stejnou dobou vypršení se stejnou realizační cenou K. Hodnota portfolia v čase t≤T je

({{(Subscript[Π, t])=(Subscript[S, t])+(Subscript[p, t])-(Subscript[c, t]).}})

V čase vypršení T je hodnota tohoto portfolia

({{({{(Subscript[Π, T])=(Subscript[S, T])+(SuperPlus[(K-(Subscript[S, T]))])-(SuperPlus[((Subscript[S, T])-K)]).}})}})

V případě (Subscript[S, T])≤K je (Subscript[Π, T])=(Subscript[S, T])+K-(Subscript[S, T])-0=K, v případě (Subscript[S, T])>K je (Subscript[Π, T])=(Subscript[S, T])+0-((Subscript[S, T])-K)=K. To znamená, že portfolio je bezrizikové vedoucí k jistému zisku K. Budoucí hodnota je  (Subscript[Π, T])=K  a současná hodnota je tedy (Subscript[Π, t])=K,(e^(-r(T-t))).

Současná hodnota výplatní funkce (payoff function) evropské opce v čase t≤T

Obě funkce jsou náhodné veličiny (závisí na (Subscript[S, T ]))!

CALL: (SuperPlus[(e^(-r(T-t)))((Subscript[S, T])-K)])

PUT: (SuperPlus[(e^(-r(T-t)))(K-(Subscript[S, T]))])

Black-Scholesův vzorec

Risk Neutral Valuation (rizikově neutrální prostředí, rizikově neutrální svět)

We assume that the stochastic process of the prices of an asset  (Subscript[{(Subscript[S, t])}, t≥0]) is goverened by a geometrical Brownian motion, hence

({{({{ℒ((Subscript[S, T])|(Subscript[S, t]))=L,N(ln (Subscript[S, t])+(μ-(1/2)(σ^2))(T-t),(σ^2)(T-t))}})}})

where μ is the rate of return on the underlying asset and σ its volatility.

Rizikově neutrální hodnocení: Investoři se chovají racionálně, čím větší riziko (volatilita), tím vyšší očekávaný výnos požadují. Čím vyšší averze k riziku, tím vyšší očekávaný výnos je požadován. Vyloučením rizikových preferencí dojdou investoři ke shodě na jediném rizikově neutrálním výnosu μ=r. Pozor, v žádném případě to neznamená, že by výnos podkladového aktiva byl roven r !!!

Alternativní princip vedoucí k témuž závěru: Očekávaný výnos z držení akcie v hodnotě (Subscript[S, t])  v období (t,T) by měl být stejný jako bezrizikový výnos z investice  ve výši (Subscript[S, t])  při úrokové míře r:

({{({{(SuperStar[E])((Subscript[S, T])|(Subscript[S, t]))=FV((Subscript[S, t]),r)=(Subscript[S, t])(e^(r(T-t)))}}).}})

Hvězdičkou zde i v dalším značíme skutečnost, že za výnos bereme rizikově-neutrální výnos r.

Neuvažujeme-li žádné rizikové preference investorů, je

({{({{(SuperStar[ℒ])((Subscript[S, T])|(Subscript[S, t]))=L,N(ln (Subscript[S, t])+(r-(1/2)(σ^2))(T-t),(σ^2)(T-t))}}).}})

Potom

Row@{"\!\(\*FormBox[GridBox[{{RowBox[{RowBox[{SuperscriptBox["E", "*"], "(", RowBox[{SubscriptBox["S", "T"], "|", SubscriptBox["S", "t"]}], ")"}], "="}]}
},GridBoxAlignment->{"Columns" -> {{"Center"}}}],TraditionalForm]\) ",Mean[LogNormalDistribution[Log[(Subscript[S, t])]+(r-(1/2)(σ^2))(T-t),σ(Sqrt[T-t])]]//Simplify//TraditionalForm}

Podobně pro rozptyl:

Row@{"\!\(\*FormBox[GridBox[{{RowBox[{RowBox[{SuperscriptBox["var", "*"], "(", RowBox[{SubscriptBox["S", "T"], "|", SubscriptBox["S", "t"]}], ")"}], "="}]}
},GridBoxAlignment->{"Columns" -> {{"Center"}}}],TraditionalForm]\) ",Variance[LogNormalDistribution[Log[(Subscript[S, t])]+(r-(1/2)(σ^2))(T-t),σ(Sqrt[T-t])]]//Simplify//TraditionalForm}

Viz [1], str. 55-56.

Hodnota (cena) evropské opce

Jako přirozené se jeví vzít za hodnotu evropské opce v čase t podmíněnou střední hodnotu současné hodnoty výplatní funkce při dané hodnotě podkladového aktiva (Subscript[S, t]) přičemž střední hodnota je uvažovaná při bezrizikové (tj. rizikově neutrální) úrokové míře r:

({{({{(Subscript[c, t])=(e^(-r(T-t)))(SuperStar[E])((SuperPlus[((Subscript[S, T])-K)])|(Subscript[S, t]))}, {(Subscript[p, t])=(e^(-r(T-t)))(SuperPlus[(SuperStar[E])(K-(Subscript[S, T]))])|(Subscript[S, t]))}})}})

(ct=(E^(-r(T-t)))Expectation[Max[0,((Subscript[S, T])-K)],(Subscript[S, T])\[Distributed]LogNormalDistribution[Log[(Subscript[S, t])]+(r-(1/2)(σ^2))(T-t),σ(Sqrt[T-t])]])//Timing

ct[[2,2]]//FullSimplify

Tuto formuli lze převést do běžně uváděného tvaru (Black-Scholes formula)

({{({{(Subscript[c, t])=(Subscript[S, t])Φ((Subscript[d, 1]))-K (e^(-r(T-t)))Φ((Subscript[d, 2])),
(Subscript[d, 1,2])=((log((Subscript[S, t])/K)+(r±(σ^2)/2)(T-t))/(σ(Sqrt[T-t]))).}})}})

Hodnota PUT opce se získá z PUT - CALL parity: ({{({{(Subscript[p, t])=(Subscript[c, t])+K,(e^(-r(T-t)))}})-(Subscript[S, t]).}})

**Funkce pro další použití (hodnoty evropských opcí)

Clear[callJH,putJH]
(E^(-r(T-t)))Assuming[K>0,Expectation[Max[0,((Subscript[S, T])-K)],(Subscript[S, T])\[Distributed]LogNormalDistribution[Log[St]+(r-(1/2)(σ^2))(T-t),σ(Sqrt[T-t])]]]//Simplify

callJH[St_,K_,σ_,T_,t_,r_]=(1/2) (-(E^(r (t-T))) K Erfc[(((t-T) (2 r-(σ^2))+2 Log[K]-2 Log[St])/(2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-t+T]) σ))]+St Erfc[(((t-T) (2 r+(σ^2))+2 Log[K]-2 Log[St])/(2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-t+T]) σ))]);
putJH[St_,K_,σ_,T_,t_,r_]=callJH[St,K,σ,T,t,r]+K (E^(-r(T-t)))-St;

**Poznámka (opce na akcie vyplácející dividendu)

Vyplácí-li akcie dividendu s dividendovou intenzitou d, pak se v předchozím vzorci nahradí r→r-d. Vyplácením dividendy se snižuje hodnota firmy a tudíž i kapitálový výnos.

Hodnocení opcí a futures 2

Hodnota (cena) evropské opce (doplněno a modifikováno)

Jako přirozené se jeví vzít za hodnotu evropské opce v čase t podmíněnou střední hodnotu současné hodnoty výplatní funkce při dané hodnotě podkladového aktiva (Subscript[S, t]) přičemž střední hodnota je uvažovaná při bezrizikové (tj. rizikově neutrální) úrokové míře r:

({{({{(Subscript[c, t])=(e^(-r(T-t)))(SuperStar[E])((SuperPlus[((Subscript[S, T])-K)])|(Subscript[S, t]))}, {(Subscript[p, t])=(e^(-r(T-t)))(SuperPlus[(SuperStar[E])(K-(Subscript[S, T]))])|(Subscript[S, t]))}})}})

ct=(E^(-r(T-t)))Expectation[Max[0,((Subscript[S, T])-K)],(Subscript[S, T])\[Distributed]LogNormalDistribution[Log[(Subscript[S, t])]+(r-(1/2)(σ^2))(T-t),σ(Sqrt[T-t])]]

ct[[2,2]]//FullSimplify

Tuto formuli lze převést do běžně uváděného tvaru (Black-Scholes formula)

({{({{(Subscript[c, t])=(Subscript[S, t])Φ((Subscript[d, 1]))-K (e^(-r(T-t)))Φ((Subscript[d, 2])),
(Subscript[d, 1,2])=((log((Subscript[S, t])/K)+(r±(σ^2)/2)(T-t))/(σ(Sqrt[T-t]))).}})}})

Hodnota PUT opce se získá z PUT - CALL parity: ({{({{(Subscript[p, t])=(Subscript[c, t])+K,(e^(-r(T-t)))}})-(Subscript[S, t]).}})

Funkce pro další použití (hodnoty evropských opcí)

(E^(-r(T-t)))Assuming[K>0,Expectation[Max[0,((Subscript[S, T])-K)],(Subscript[S, T])\[Distributed]LogNormalDistribution[Log[St]+(r-(1/2)(σ^2))(T-t),σ(Sqrt[T-t])]]]//Simplify

Clear[callJH,putJH]
callJH[St_,K_,σ_,T_,t_,r_]=(1/2) (-(E^(r (t-T))) K Erfc[(((t-T) (2 r-(σ^2))+2 Log[K]-2 Log[St])/(2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-t+T]) σ))]+St Erfc[(((t-T) (2 r+(σ^2))+2 Log[K]-2 Log[St])/(2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-t+T]) σ))]);
putJH[St_,K_,σ_,T_,t_,r_]=callJH[St,K,σ,T,t,r]+K (E^(-r(T-t)))-St;

**Citlivosti (Comparative Statics, The Greeks)

Statics je sice vžitý, ale asi chybně použitý termín nevystihující podstatu. Greeks: charakteristiky (až na jednu) se označují řeckými písmeny.

Nechť (Subscript[V, t]) označuje hodnotu CALL resp. PUT opce, (Subscript[V, t])=(Subscript[c, t]) resp. (Subscript[V, t])=(Subscript[p, t]). Z Black-Scholesova vzorce je patrné, že (Subscript[V, t]) je funkcí pěti proměnných (parametrů):

({{({{(Subscript[V, t])=(Subscript[V, t])((Subscript[S, t]),K,σ,T-t,r)}}).}})

Derivace podle jednotlivých proměnných se nazývají citlivosti a protože se označují řeckými písmeny, jsou též známé jako “The Greeks”. Jejich výpočet je přímočarý, ale v některých případech technicky dosti komplikovaný. Uvedeme jen jednu míru citlivosti delta, derivaci podle aktuální ceny akcie:

({{({{Δ=((∂(Subscript[V, t]))/(∂(Subscript[S, t])))}}).}})

Pro CALL resp. PUT dostaneme

({{({{(Subscript[Δ, c])=Φ((Subscript[d, 1]))   resp.   (Subscript[Δ, p])=(Subscript[Δ, c])-1=-Φ(}})-(Subscript[d, 1])).}})

Charakteristiky Δ se používá k tzv. delta-zajišťování, delta hedging. Uvažujme portfolio skládající se z dlouhé pozice jedné akcie a krátké pozice v A kusech CALL opcí na tutéž akcii. Hodnota portfolia je tedy (Subscript[Π, t])=(Subscript[S, t])-A,(Subscript[c, t]). Chceme najít A takové, aby hodnota portfolia byla invariantní vůči (malým) změnám ceny akcie, tj.

({{({{((∂,(Subscript[Π, t]))/(∂(Subscript[S, t])))}})=0.}})

Hledané A=1/(Subscript[Δ, c]), nazývané zajišťovací poměr, hedge ratio. Vzhledem k tomu, že se delta mění v čase, musí se portfolio často měnit → dynamické zajišťování, dynamic hedge. To může být nákladné kvůli transakčním nákladům. Tudíž vhodné pro makléře a tvůrce trhu, kteří mají relativně nízké transakční náklady. Všimněme si, že čím nižší (Subscript[S, t]) ve srovnání s K, tím vyšší je zajišťovací poměr. Podobnou mírou citlivosti je elasticita ceny CALL opce vzhledem k ceně akcie definovaná jako (Subscript[E, c])=(Subscript[Δ, c])(Subscript[S, t])/(Subscript[c, t]). Vždy je (Subscript[E, c])>1. (Dokažte za cvičení.) Proto je CALL opce vždy riskantnější než její podkladové aktivum. Analogie k Δ je durace.

**Další míry citlivosti viz [1], str. 60-61.

!!! Příklad (Cena opce v závislosti na parametrech)

Manipulate[Plot[callJH[St,iK,σ,T,t,r]//Evaluate,{St,0,120},PlotStyle->Thick,AxesLabel->{"(Subscript[S, t])","(Subscript[c, t])"}],
{{iK,50,"K"},20,100,Appearance->"Labeled"},
{{σ,0.1,"volatilita"},0.001,0.8,Appearance->"Labeled"},
{{T,1.5,"T"},1,2,Appearance->"Labeled"},
{{t,0,"t"},0,T-0.00001,Appearance->"Labeled"},
{{r,0.02,"r"},0,0.1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Viz také

https://demonstrations.wolfram.com/OptionsTimeValue/

Implied Volatility (Implikovaná volatilita)

Viděli jsme, že v Black-Scholesově formuli je hodnota evropské opce (jak CALL, tak PUT)

({{({{(Subscript[V, t])=(Subscript[V, t])((Subscript[S, t]),K,σ,T-t,r)}}).}})

Ve výše uvedeném vzorci pro (Subscript[V, t]) v okamžiku t vždy známe hodnoty (Subscript[S, t]),K,T-t,r. Při aplikaci Black-Scholesova vzorce pro neznámou volatilitu obvykle použijeme výběrovou směrodatnou odchylku z historických (známých) dat logaritmických výnosů ln((Subscript[S, t+1])/(Subscript[S, t])) pro nějaké rozumné historické hodnoty. Sofistikovanější metody jsou založené na modelech volatility typu ARCH, GARCH, jejich zobecněních a modifikacích. Viz zabudované funkce (nezahrnují zdaleka všechny dnes používané modely):

?*ARCH*

?*AR*

Můžeme ale též přistoupit k odhadu volatility jiným způsobem. V daném časovém okamžiku t, (teď, hodnotící časový okamžik), známe nejenom  hodnoty (Subscript[S, t]),K,T-t,r, ale i tržní hodnotu opce (Subscript[V, t]^M). Po substituci známých hodnot do Black-Scholesovy formule dostaneme rovnici pro neznámou σ:

({{(Subscript[V, t]^M)=({{(Subscript[V, t])((Subscript[S, t]),K,σ,T-t,r)}}).}})

Tato rovnice nemusí mít žádné řešení (řešení je nutné hledat numericky), může mít právě jedno (nejpříjemnější situace, i když i tam můžeme býti překvapeni) nebo více řešení - z těch je pak zapotřebí citlivě vybírat.

Důležité! Volatilita a implikovaná volatilita viz materiál PDF str. 19-20 a také [1], str. 61-62.

***Odhady bezrizikové úrokové míry

Z výnosů tříměsíčních T-bills USA, viz také CAPM:

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
iRisklessRatesSelected=Import["20210511iRisklessRatesSelected.XML"];
iRisklessRatesSelected3MwithDates=iRisklessRatesSelected[[All,{1,4}]];
{Position[iRisklessRatesSelected3MwithDates,{{2021,2,24},0.03`}],
Position[iRisklessRatesSelected3MwithDates,{{2020,11,24},_}]}

DateListPlot[(iRisklessForOptionsPricing=iRisklessRatesSelected3MwithDates[[404;;465]]),PlotLabel->"3 months riskless rates"]
Text@Row[{"Poslední údaj: ",iRisklessForOptionsPricing//Last}]

Za normálních okolností bychom spočítali průměr z těchto 61 kótací, tím bychom dostali průměrný (samozřejmě již anualizovaný, kótace jsou p. a.) bezrizikový výnos  v procentech

Row@{"Aritmetický průměr = ",Mean[iRisklessForOptionsPricing[[All,2]]],"% p.a.   Geometrický průměr = ",GeometricMean[iRisklessForOptionsPricing[[All,2]]],"% p.a."}

Z grafu však vidíme, že vývoj je podivný. Měli bychom brát v úvahu též ekonomické a politické okolnosti. Bez podrobnější analýzy a modelování je v tomto případě asi nejlepší  vzít poslední pozorování, tj. r=0.03,%, v desetinné podobě r=0.0003. Kdybychom samozřejmě věděli to co dnes, volili bychom r=0.0002, jindy bychom si koupili akcie VW v době největšího propadu po diesel aféře, bitcoiny před dvěma léty a prodali je před dvěma měsící apod.

***Odhady volatility

Pro účely výpočtu hodnoty opce pomocí Black-Scholesova vzorce se volatilita odhaduje z logaritmických výnosů, viz. Počáteční cenu opce hodnotíme v čase 2021-02-25, máme tedy k dispozici data až do tohoto kalendářního data včetně. Jako jeden z mnoha možných odhadů volatility vezmeme anualizovanou směrodatnou odchylku pozorovaných výnosů období. Co tím myslíme? Máme-li denní pozorované logaritmické  výnosy, pak z nich spočítanou směrodatnou odchylku vynásobíme faktorem (Sqrt[252]). Číslo 252 je považováno za počet obchodních dnů v roce. V případě pozorovaných týdenních výnosů se použije faktor (Sqrt[51]) atd.

V čase 2021-02-25 máme k dispozici údaje i ze vzdálené minulosti. Využijeme tedy data posledních cca 250 dnů ke dni koupě:

Position[pricesApple20200525,{{2021,2,25},_}]
logpricesApple20200525=Log[pricesApple20200525[[254-251;;254]][[All,2]]];logreturnsApple20200525=Rest[logpricesApple20200525]-Most[logpricesApple20200525];
σ=StandardDeviation[logreturnsApple20200525](Sqrt[252])

!!!Příklad Apple 2

Investor dne 2021-02-25 koupí evropskou CALL opci na akcii Apple s datem vypršení T= 2021-05-24 a realizační cenou K=125. V okamžiku koupě je cena akcie (Subscript[S, 0])=(Subscript[S, 2021-02-25])=120.98999786376953`.  V okamžiku vypršení je aktuální cena (Subscript[S, T])=(Subscript[S, 2021-05-24])=127.1. Investor tedy opci realizuje, koupí akcii za K=125, obratem ji prodá a má zisk 127.1-125=2.1. To je ovšem hrubý zisk, investor musel opci koupit.

A za kolik ji musel koupit? Použijeme Black-Scholesův vzorec. Připomeňme proměnné ve funkci callJH:

callJH[St_,K_,σ_,T_,t_,r_]

Vstupní údaje v okamžiku koupě tedy jsou: St=120.98999786376953`, K=125,   r=0.0003, σ=0.4647005207702044`, T=1/4, t=0. Takže

c0=callJH[120.99,125,0.464701,1/4,0,0.0003]

Čistý zisk je tedy

Text@Row@{"Čistý zisk = ",2.1-c0,"     Čistý zisk s uvažováním časové hodnoty = ",2.1-c0 (E^(0.0003 0.25))}

To je fakticky ztráta ve výši 7.3854.

Manipulate[Plot[callJH[st,125,0.464701,1/4,t,0.0003],{st,110,140},PlotStyle->Thick],{{t,0.125},0,1/4.000001,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

1.2.5 Portfolia opcí

Příklad v [1], str. 62-63. Viz též 1.2.5 Example z materiálu PDF. Jedná se o tzv. motýlí rozpětí, butterfly spread.

SetDirectory[NotebookDirectory[]];

Import["FM1aPortfolia_opci.jpg"]

Illustration of a cap:

With[{K=50,B=70},Plot[Max[0,S-K]-Max[0,S-K-B],{S,0,200},PlotTheme->"Business"]]

Forwardy a futures

Na rozdíl od opcí je smlouva mezi stranami závazná. Forwardy jsou individuálně uzavírané kontrakty o budoucím vypořádání, futures standardizované.

1.2.2 Termínové obchody: Forwardy a futures

Připomeňme nejprve mechanismus fungování opcí. U nich investor (držitel, kupující) v dlouhé pozici má právo, nikoli povinnost své právo zakotvené v opční smlouvě uplatnit. To znamená,že podkladové aktivum (underlying) může buď koupit (v případě CALL opce) nebo prodat (v případě PUT opce). Prodávající (pisatel) pak trpně čeká, jak se vyvíjí tržní situace, a jestli držitel své právo uplatní. Ten tak ovšem učiní v případě, že uplatněním opce dosáhne zisku nebo alespoň bude minimalizovat ztrátu vzniklou náklady na pořízení opce.

U kontraktů typu forward a futures není možná volba jako u opcí. Pro obě strany je smlouva závazná, tudíž tady v okamžiku uzavření kontraktu neexistuje cena kontraktu v pravém slova smyslu. Forwardový kontrakt je termínový obchod, smlouva mezi dvěma partnery (řekněme A a B), ve kterém se strana kupující A (v dlouhé pozici) zavazuje koupit od strany prodávající B (v krátké pozici) určitou komoditu v určeném množství za určitou cenu F fixovanou v okamžiku uzavření kontraktu v určitém budoucím termínu T (dodání, delivery). Vše je závazně domluveno dnes, dejme tomu v okamžiku  t = 0, a vlastní transakce proběhne ve sjednaném termínu v budoucnosti T, t<T. Obě strany jsou povinné své závazky splnit. Předpokládejme dále, že aktuální cena podkladového aktiva v okamžiku uzavření kontraktu je (Subscript[S, 0]).

Pozice obou stran v kontraktu je symetrická. V okamžiku vypořádání zisk jedné strany jest roven ztrátě druhé strany. Jestliže  smluvená cena kontraktu v čase vypořádání T je F, pak strana A obdrží v okamžiku T částku (Subscript[S, T])-F a strana B přirozeně obdrží  F-(Subscript[S, T]). To, co se obvykle v teorii neuvažuje, jsou transakční náklady. Pro individuálně uzavřené kontrakty mohou být nezanedbatelné.

Tyto kontrakty mají minimálně tyto dvě funkce. První: ochrana (uhájení) ceny komodity, která je předmětem kontraktu. Druhá: transfer vlastnictví; fixováním ceny dnes (v čase t) je kupující chráněn (jištěn) proti případné vyšší ceně v okamžiku vypořádání kontraktu (tj. okamžité (spotové) ceně na trhu v okamžiku dodání). Prodávající je chráněn (jištěn) proti případné nižší promtní ceně v okamžiku vypořádaní kontraktu (tj. okamžité ceně na trhu v okamžiku dodání).

Obchodování s forwardy není prakticky regulováno, jsou to obchody individuální, takže riziko z nesplacení (default) je nezanedbatelné. V tomto případě se rizikem selhání myslí to, že strana v dlouhé pozici cukne, nebude chtít koupit nebo strana v krátké pozici odmítne prodat. Toto riziko je z velké části eliminováno standardizací. Není možné postihnout všechny individuální obchody a převést je ke globálnímu obchodování, nicméně je mnoho komodit (obilí, ropa, strategické kovy, měny, . . . ), které je možné dovést ke standardizovanému obchodování. Standardizované obchody tohoto typu se provádějí na specializované burze a nazývají se futures.

Futures: Z matematického hlediska jsou forwards a futures prakticky totožné. Proto se na hodnocení futures vztahují stejná kritéria jako na forwardy. Dále budeme mluvit o hodnocení forwardů.

Uvedeme některé přístupy k hodnocení forwardových kontraktů. Nejprve uveďme hodnocení na základě principu neexistence arbitráže. Jako dříve předpokládáme, že cena podkladového aktiva v čase t=0 je (Subscript[S, 0]) a z držení aktiva neplynou žádné závazky např. ve formě dividend. Dále uvažujeme bezrizikovou hodnotící úrokovou míru r.

Strana B, krátká v kontraktu, jest povinnou doručit (deliver) částku (Subscript[S, T]) v okamžiku T. Strana B si vypůjčí částku (Subscript[S, 0]) v čase t=0 (čas uzavření kontraktu), koupí předmětné aktivum a v čase T obdrží F. Touto částkou (F) splatí půjčku, která v čase T je ve výši budoucí hodnoty (Subscript[S, 0])(e^(r,T)) , takže forwardová cena je

F=(Subscript[S, 0])(e^(r,T))

V okamžiku t=0 si strany nevyměňují žádné peníze, hodnota kontraktu je tudíž nulová.
V libovolném čase 0≤t≤T je však hodnota kontraktu

(Subscript[f, t])=(Subscript[S, t])-F,(e^(-r(,T-t)))

V takovém okamžiku může každá ze stran „uzamknout, lock” svou pozici tak, že uzavře pozici opačnou. Může tak fixovat zisk nebo ztrátu. Je-li (Subscript[S, t])<F,(e^(-r(T-t))), strana B si půjčí (Subscript[S, t]), koupí akcii, v okamžiku T splatí (Subscript[S, t])(e^(r(T-t))) a akcii prodá za F. Je-li naopak (Subscript[S, t])>F,(e^(-r(T-t))), strana A prodá akcii nakrátko, dostane za ni (Subscript[S, t]), tuto částku uloží a v okamžiku T vybere (Subscript[S, t])(e^(r(T-t)))>F. Koupí akcii za F a akcii vrátí.

4.3.9 Poznámka. (Ekvivalentní portfolio) Výplatní funkce forwardu v dlouhé pozici je (Subscript[S, T])-F. Dlouhá pozice ve forwardu je ekvivalentní v dlouhé evropské CALL a krátké pozici v evropské PUT, obě se stejnou dobou vypršení, stejnou realizační cenou K=F jako má forwardový kontrakt. Taková kombinace opcí má stejnou výplatní funkci jako forward, a tedy i v okamžiku uzavření kontraktu musí mít stejnou hodnotu. V čase t=0 (okamžik uzavření kontraktu) je však hodnota kontraktu nulová (nedochází k žádné výměně peněz), jinými slovy (Subscript[c, 0])-(Subscript[p, 0])=0. Ale z PUT-CALL parity (Subscript[c, 0])-(Subscript[p, 0])=(Subscript[S, 0])-F,(e^(-r,T)). Z toho tedy vyplývá vzorec pro F.

With[{K=50},GraphicsRow[{Plot[Max[0,S-K],{S,0,100},PlotStyle->{Thick,Red},PlotLabel->"CALL",AxesLabel->{"(Subscript[S, T])","(Subscript[c, T])"}],
Plot[Max[0,K-S],{S,0,100},PlotStyle->{Thick,Orange},PlotLabel->"PUT",AxesLabel->{"(Subscript[S, T])","(Subscript[p, T])"}],
Plot[Max[0,S-K]-Max[0,K-S],{S,0,100},PlotStyle->{Thick,Blue},PlotLabel->"Forward",AxesLabel->{"(Subscript[S, T])","(Subscript[f, T])"}]}]]

4.3.10 Poznámka. (Hodnocení pomocí Black–Scholesovy formule) Při rizikově neutrálním
oceňování a předpokladu, že cena akcie se řídí Black–Scholesovým vzorcem, je E((Subscript[S, T])|(Subscript[S, 0]))=(Subscript[S, 0])(e^(r,T)).  Výplatní funkce forwardu je (Subscript[S, T])-F. Střední hodnota této funkce podmíněná známou cenou akcie v okamžiku uzavření kontraktu t=0 a diskontovaná k okamžiku 0 je tedy (Subscript[S, 0])-F,(e^(-r,T)). Tento výraz je však roven nule, neboť v okamžiku uzavření kontraktu je cena nulová.
(WILMOTT Students, p. 99)

**FinancialDerivative v systému  Mathematica  (v této verzi (12) zatím omezeno jenom na opce)

FinancialDerivative

Označení: “StrikePrice” realizacni cena K, “Expiration” doba do splatnosti, doba do vyprseni T, pokud se uvede “ReferenceTime” t, pak je to T-t,  “InterestRate” bezrizikova urokova mira (Subscript[r, 0]), “Volatility” volatilita ceny podkladoveho aktiva σ (underlying asset), “CurrentPrice” soucasna cena podkladoveho aktiva (Subscript[S, 0]) resp. (Subscript[S, t]) . “Dividend” je dividendova intenzita q. Vsechny udaje se vztahuji ke stejnemu casovemu obdobi, typicky 1 rok.

(* vsechny zabudovane derivaty, zde zvane "Contracts" *)
FinancialDerivative[]
(* //Length *)

POZOR NA SYNTAXI!!! PRI RESENI ULOH ZKOPIRUJTE Z HELPU!!! Typicky ma FinancialDerivative 3 az 4 argumenty, kazdy z nich je seznam (list).

1 Priklad (hodnoty opci)

FinancialDerivative[{"European","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->1},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> 50, "Dividend"->0.05}]

{FinancialDerivative[{"American","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->1},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> 50, "Dividend"->0.05}],FinancialDerivative[{"American","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->1},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> 50, "Dividend"->0.05},Method->"Binomial","Steps"->5000],FinancialDerivative[{"American","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->1},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> 50, "Dividend"->0.05},"GridSize"->{250,250}],FinancialDerivative[{"American","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->1},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> 50, "Dividend"->0.05},"GridSize"->{1000,1250}]}

2 Priklad (hodnoty opci a jejich citlivosti, The Greeks)

Opce z predchoziho prikladu, vystupem hodnota opce a citlivosti

FinancialDerivative[{"European","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->1},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> 50, "Dividend"->0.05}, {"Value", "Greeks"}]

3 Priklad (Graficke znazorneni)

Manipulate[Plot[FinancialDerivative[{"European","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->T},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" ->σ, "CurrentPrice"-> s, "Dividend"->0.05}],{s,40,60},AxesOrigin->{Automatic,0},PlotRange->{0,25},PlotStyle->{Thick,Red}],{{T,0.5},0.0001,1,Appearance->"Labeled"},{{σ,0.5},0.01,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Manipulate[Plot[FinancialDerivative[{"American","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->T},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" ->σ, "CurrentPrice"-> s, "Dividend"->0.05},Method->"Binomial"],{s,45,55},AxesOrigin->{Automatic,0},PlotRange->{0,25},PlotStyle->Thick],{{T,0.5},0.0001,1,Appearance->"Labeled"},{{σ,0.5},0.01,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

4 Priklad (Graficke znazorneni)

Plot[FinancialDerivative[{"European","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->1},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> st, "Dividend"->0.05}],{st,30,60}]

Plot[Table[FinancialDerivative[{"European",(* "Call" *)"Put"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->t},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> st, "Dividend"->0.05}],{t,{0,0.01,0.1,0.5,1}}],{st,30,60}]

Manipulate[Plot[FinancialDerivative[{"European","Call"}, {"StrikePrice"-> 50.00, "Expiration"->t},  {"InterestRate"-> 0.1, "Volatility" -> 0.5, "CurrentPrice"-> st, "Dividend"->0.05}],{st,40,60},PlotRange->{0,15},PlotStyle->Thick],
{{t,0,"Doba do vyprseni"},0,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Hodnocení derivátů typu Cap (strop) a Floor  (dno)

Důvod, proč ve funkci FinancialDerivative není volba Cap resp. Floor (přesněji Caplet a Floorlet) vidím v tom, že tyto pojmy nejsou jednoznačně 
definovány a možností je celá řada. Obvykle jsou však kombinací elementárních finančních instrumentů (obligací, opcí, apod.)

Uvedeme ilustraci Cap na evropskou CALL opci s dobou vypršení T a realizační cenou K. Chrání investora v krátké pozici před neomezenou ztrátou. V případě, že cena (Subscript[S, T]) podkladového aktiva je v okamžiku vypršení vyšší než B,  vyplácí se B.

vyplataCAPnaCALL[St_,K_,B_]:=Min[Max[St-K,0],B]
Plot[vyplataCAPnaCALL[st,1,2],{st,0,5},PlotStyle->Thick]

Dlouhá pozice v tomto finančním instrumentu je ekvivalentní držení portfolia dvou CALL opcí, obě se stejnou dobou vypršení, jedna v dlouhé pozici s realizační cenou K, druhá v krátké pozici s realizační cenou K+B.

vyplataportfolia[St_,K_,B_]:=Max[St-K,0]-Max[St-K-B,0]
Plot[vyplataportfolia[st,1,2],{st,0,5},PlotStyle->Thick]

Cena tohoto instrumentu podle Black-Scholesova vzorce je tedy (musíme přidat bezrizikovou úrokovou míru r,0, volatilitu σ a dobu do vypršení T,t.

Clear[cenaCAPnaCALL];
cenaCAPnaCALL[St_,K_,B_,r0_,σ_,Tt_]:=FinancialDerivative[{"European","Call"}, {"StrikePrice"-> K, "Expiration"->Tt},  {"InterestRate"-> r0, "Volatility" -> σ, "CurrentPrice"-> St}]-FinancialDerivative[{"European","Call"}, {"StrikePrice"-> K+B, "Expiration"->Tt},  {"InterestRate"-> r0, "Volatility" -> σ, "CurrentPrice"-> St}]

Vyzkoušejte si manipulovat s některými parametry:

Manipulate[Plot[cenaCAPnaCALL[st,1,2,0.05,σ,Tt],{st,0,5},PlotRange->{0,2},PlotStyle->Thick],{{σ,0.4},0.01,1,Appearance->"Labeled"},
{{Tt,0.5,"T-t"},0.001,1,Appearance->"Labeled"}]

Konec 2022-05-19

***Miscellaneous

Výnos, očekávaný výnos a riziko 3

Pravděpodobnostní rozdělení

Procedury (nutno spustit před dalšími výpočty)

Clear[moments];
(* Procedura pro výpočet průměru, směrodatné odchylky (SD), šikmosti a špičatosti *)
moments[distribution_]:=
Text@Grid[{{"Mean",Mean[distribution]//TraditionalForm},{"SD",StandardDeviation[distribution]//TraditionalForm},{"Skewness",Skewness[distribution]//TraditionalForm},{"Kurtosis",Kurtosis[distribution]//TraditionalForm}}//Transpose,Frame->All,Alignment->{Center,Center}]

Empirické rozdělení

Referenční náhodná veličina X, náhodný výběr rozsahu (Subscript[X, 1]),....,(Subscript[X, n]) tvoří n “kopií” této náhodné veličiny, považujeme je za nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny (iid, independent identically distributed).

Za empirické rozdělení se považuje rozdělení, kde se každé z pozorovaných hodnot připisuje stejná  pravděpodobnost 1/n. Empirická distribuční funkce je definována (při daných (Subscript[X, 1]),...,(Subscript[X, n]) jakožto funkce x) takto:

(Subscript[F, n])(x)=(1/n)(∑_(i=1)^n)I{(Subscript[X, i])≤x}

Příklad: (simulovaná data z rozdělení N(0,1), rozsah výběru n=100)

SeedRandom[13];
empiricalDataN01Size100=RandomVariate[NormalDistribution[],100];
empiricalDistribution100=EmpiricalDistribution[empiricalDataN01Size100]
GraphicsRow@{Plot[CDF[empiricalDistribution100,x],{x,-4,4},PlotLabel->"Empirická distribuční funkce"],Plot[CDF[empiricalDistribution100,x],{x,-0.5,0.5},PlotLabel->"Empirická distribuční funkce (detail)"]}

Příklad: (simulovaná data z rozdělení N(0,1), rozsah výběru n=1000)

SeedRandom[13];
empiricalDataN01Size1000=RandomVariate[NormalDistribution[],1000];
empiricalDistributionempiricalDataN01Size1000=EmpiricalDistribution[empiricalDataN01Size1000]

GraphicsRow@{Plot[CDF[empiricalDistributionempiricalDataN01Size1000,x],{x,-3,3},PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Empirical distribution function"],Histogram[empiricalDataN01Size1000,15,"PDF",PlotLabel->"Histogram"],SmoothHistogram[empiricalDataN01Size1000,PlotLabel->"Smoothed density",PlotRange->Full]}

Číselné charakteristiky:

moments[empiricalDistributionempiricalDataN01Size1000]

Normální rozdělení N(μ,(σ^2))

𝒟normal=NormalDistribution[μ,σ];
Row@{"Hustota:  ",PDF[𝒟normal,x],"    Distribuční funkce:  ",CDF[𝒟normal,x]}
(* Nosič rozdělení angl. též support, domain: *)
DistributionDomain[𝒟normal]
moments[𝒟normal]
?Erfc

plot𝒟normal=Plot[PDF[𝒟normal/.{μ->0,σ->1},x],{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick},PlotLabel->"Hustota standardního normálního rozdělení\n" ]

Pravidlo 3σ

{Probability[Abs[X-μ]>3σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N,Probability[Abs[X-μ]<3σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N}

Pravidlo 2σ

{Probability[Abs[X-μ]>2σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N,Probability[Abs[X-μ]<2σ,X\[Distributed]NormalDistribution[μ,σ]]//N}

! Logaritmicko-normální rozdělení L,N(μ,(σ^2))

Značení: X∼L,N(μ,(σ^2)) nebo ℒ(X)=L,N(μ,(σ^2))

Parametry: μ∈ℝ, σ>0

Nosič: X∈(0,∞)

Poznámky:
1. Parametry nemají význam střední hodnoty a rozptylu!!!
2. Souvislost s normálním rozdělením: Jesliže Y∼N(μ,(σ^2)), pak X:=(e^Y)∼L,N(μ,(σ^2)).

𝒟LN=LogNormalDistribution[μ,σ];
Row@{"Hustota:  ",PDF[𝒟LN,x],"       Distribuční funkce:  ",CDF[𝒟LN,x]}
DistributionDomain[𝒟LN]
moments[𝒟LN]

Hustota:

PDF[𝒟LN=LogNormalDistribution[μ,σ],x]//TraditionalForm

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[LogNormalDistribution[μ,σ]],"        Variance: ",Variance[LogNormalDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[LogNormalDistribution[μ,σ]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[LogNormalDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Show[Plot[PDF[LogNormalDistribution[μ,σ],x],{x,0,17},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnou střední hodnotou a rozptylem."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[LogNormalDistribution[μ,σ]],σ->StandardDeviation[LogNormalDistribution[μ,σ]]},x]//Evaluate,{x,0,17},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ,1.5},-1,3,Appearance->"Labeled"},{{σ,0.32},0.1,1.5,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Poznámka (ke geometrickému Brownově pohybu)

{Mean[LogNormalDistribution[Log[(Subscript[P, 0])]+(μ-(1/2)(σ^2))t,σ(Sqrt[t])]]//Simplify,Variance[LogNormalDistribution[Log[(Subscript[P, 0])]+(μ-(1/2)(σ^2))t,σ(Sqrt[t])]]//Simplify}//TraditionalForm

Laplaceovo (dvojitě exponenciální) rozdělení

𝒟Laplace=LaplaceDistribution[μ,σ];
DistributionDomain[𝒟Laplace]
moments[𝒟Laplace]
Text@Row@{"Hustota  f(x;μ,σ) = ",PDF[𝒟Laplace,x]//FullSimplify//TraditionalForm}

Parametr σ nemá význam směrodatné odchylky.

Row@{moments[𝒟Laplace],"  ",moments[𝒟Laplace/.{μ->0,σ->1/(Sqrt[2])}]}

⟹ Špičatost je nezávislá na parametrech. Je dvakrát vyšší než u normálního rozdělení.

Porovnání s normálním rozdělením se stejným rozptylem:

Plot[{PDF[𝒟Laplace/.{μ->0,σ->1/(Sqrt[2])},x],PDF[NormalDistribution[],x]},{x,-4,4},PlotStyle->Thick,AxesOrigin->{0,0},PlotLegends->{"Laplace","Normal"}]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[LaplaceDistribution[μ,σ]],"        Variance: ",Variance[LaplaceDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[LaplaceDistribution[μ,σ]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[LaplaceDistribution[μ,σ]]}],Bold,14],
Show[Plot[PDF[LaplaceDistribution[μ,σ],x],{x,-4,4},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[LaplaceDistribution[μ,σ]],σ->StandardDeviation[LaplaceDistribution[μ,σ]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ,0},-1,3,Appearance->"Labeled"},{{σ,1},0.1,1.5,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

! Cauchyovo rozdělení C(μ,σ) a t-rozdělení o k stupních volnosti (Subscript[t, k])(μ,σ)

𝒟Cauchy=CauchyDistribution[μ,σ];
DistributionDomain[𝒟Cauchy]
moments[𝒟Cauchy]
Text@Row@{"Hustota f(x;μ,σ) = ",PDF[𝒟Cauchy,x]//FullSimplify}

𝒟Student=StudentTDistribution[μ,σ,ν];
DistributionDomain[𝒟Student]
moments[𝒟Student]
Text@Row@{"Hustota f(x;μ,σ) = ",PDF[𝒟Student,x]//FullSimplify}

Caychyovo rozdělení vyniká tím, že má těžké chvosty (heavy tails). ( ***Kvantifikuje se pomocí indexu chvostu (tail index).) Je speciálním případem   t-rozdělení: C(μ,σ)=(Subscript[t, 1])(μ,σ). Počet stupňů volnosti k může být libovolné reálné k≥1! Pro k⟶∞ konverguje (Subscript[t, k])(μ,σ) k N(μ,(σ^2)) v distribuci. Momenty (Subscript[t, k]) existují jen do řádu k-1. Žádný moment Cauchyova rozdělení není konečný.

Porovnání s normálním rozdělením: pravděpodobnosti chvostů P(|X|>k) pro vybraná rozdělení, parametr polohy (location) μ=0 a parametr měřítka (scale) σ=1.

Text@TableForm[Table[{k,Probability[Abs[x]>k,x\[Distributed]CauchyDistribution[0.,1]],
Probability[Abs[x]>k,x\[Distributed]StudentTDistribution[0.,1,2.01]],Probability[Abs[x]>k,x\[Distributed]StudentTDistribution[0.,1,5]],Probability[Abs[x]>k,x\[Distributed]StudentTDistribution[0.,1,10]],Probability[Abs[x]>k,x\[Distributed]NormalDistribution[0.,1]]},{k,{1.959963984540054`,2,3,4,5}}],TableHeadings->{None,{"k","C(0,1)","(Subscript[t, 2.01])(0,1)","(Subscript[t, 5])(0,1)","(Subscript[t, 10])(0,1)","N(0,1)"}}]

moments[StudentTDistribution[μ,σ,k]]

Kurtosis of the Student (Subscript[t, k])

Text@TableForm[Table[{k,((3 (-2+k))/(-4+k))},{k,{4.01,4.5,5,10,100}}]//N,TableHeadings->{None,{"k","Kurtosis"}}]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[StudentTDistribution[0,1,ν]],"        Variance: ",Variance[StudentTDistribution[0,1,ν]]}],Bold,14],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[StudentTDistribution[0,1,ν]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[StudentTDistribution[0,1,ν]]}],Bold,14],
Show[Plot[PDF[StudentTDistribution[0,1,ν],x],{x,-4,4},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[StudentTDistribution[0,1,ν]],σ->StandardDeviation[StudentTDistribution[0,1,ν]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{ν,5},2.1,30,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

*Logistické rozdělení

𝒟Logistic=LogisticDistribution[μ,σ];
DistributionDomain[𝒟Logistic]
moments[𝒟Logistic]
Text@Row@{"Hustota  f(x;μ,σ) = ",PDF[𝒟Logistic,x]//TraditionalForm}

(* Distribucni funkce *)
CDF[𝒟Logistic,x]

Row@{moments[𝒟Logistic],"    ",moments[(𝒟Logistic/.{μ->0,σ->((Sqrt[3])/π)})//Evaluate]}

Porovnání s normálním rozdělením se stejným rozptylem

Show[Plot[PDF[𝒟Logistic/.{μ->0,σ->((Sqrt[3])/π)},x],{x,-4,4},PlotStyle->Thick,AxesOrigin->{0,0}],Plot[PDF[NormalDistribution[],x],{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]

!!!Směs rozdělení (Mixture distribution)

Směs rozdělení s distribučními funkcemi {(Subscript[F, 1]),...,(Subscript[F, K])} podle p={(Subscript[p, 1]),...,(Subscript[p, K])}, kde p je rozdělení pravděpodobností ((Subscript[p, 1])+...+(Subscript[p, K])=1, (Subscript[p, k])≥0) je rozdělení s distribuční funkcí

F=(Subscript[p, 1])(Subscript[F, 1])+...+(Subscript[p, K])(Subscript[F, K]).

Vektor p reprezentuje váhy. Ekvivalentně je možné definovat směs pomocí hustot {(Subscript[f, 1]),...,(Subscript[f, K])}:

f=(Subscript[p, 1])(Subscript[f, 1])+...+(Subscript[p, K])(Subscript[f, K]).

Výhodou je velká flexibilita (mnoho parametrů), což je zároveň i nevýhodou (problémy s identifikací parametrů: i při podstatně se lišících množinách parametrů mohou být rozdělení velmi blízká). S tím souvisí možné problémy při odhadech neznámých parametrů a následných závěrech užívajících číselné charakteristiky odvozených na základě těchto odhadů.

Pro taková rozdělení mohou hodnoty šikmosti a špičatosti nabývat i extrémních hodnot.

Příklad (směs tří normálních rozdělení s obecnými parametry a se “symetrickými” vahami)

Poznamenejme, že distribuční funkce N(μ,(σ^2)) je Φ((x-μ)/σ), kde Φ je distribuční funkce normovaného (standardního) normálního rozdělení N(0,1). Odpovídající distribuční funkce směsi je

F(x)=ε, Φ(((x-(Subscript[μ, 1]))/(Subscript[σ, 1])))+(1-2ε), Φ(((x-(Subscript[μ, 2]))/(Subscript[σ, 2])))+ε, Φ(((x-(Subscript[μ, 3]))/(Subscript[σ, 3]))) ,

kde 0<ε<(1/2). Symbolicky tuto směs zapisujeme ε,N((Subscript[μ, 1]),(Subscript[σ, 1]^2))+(1-2ε)N((Subscript[μ, 2]),(Subscript[σ, 2]^2))+ε,N((Subscript[μ, 3]),(Subscript[σ, 3]^2)). Rozdělení směsi symetrických rozdělení není obecně není symetrické!

Pro vytváření směsí použijeme zabudovanou funkci MixtureDistribution. V základním nastavení si všimněte hodnoty špičatosti.

Clear[𝒟3normals,μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,σ,ε];
𝒟3normals[μ1_,μ2_,μ3_,σ1_,σ2_,σ3_,ε_]=MixtureDistribution[{ε,1-2 ε,ε},{NormalDistribution[μ1,σ1],NormalDistribution[μ2,σ2],NormalDistribution[μ3,σ3]}];
{Skewness[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],kurtosis3normals=Kurtosis[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}//Simplify;
({Skewness[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],Kurtosis[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}/.{σ1->σ,σ2->σ,σ3->σ})//Simplify;

moments[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],"        Variance: ",Variance[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}],Bold,16],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]}],Bold,16],
Show[Plot[PDF[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε],x],{x,-5,5},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry jako má směs."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]],σ->StandardDeviation[𝒟3normals[μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3,ε]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ1,-3.57},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ2,0},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ3,3},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{σ1,0.5},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{σ2,0.5},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{σ3,0.7},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{ε,0.05},0.001,0.4,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Příklad (směs tří normálních rozdělení s různými středními hodnotami, stejným rozptylem a se “symetrickými” vahami)

Clear[mixture];
mixture[dist1_,dist2_,dist3_,ε_]:=MixtureDistribution[{ε,1-2ε,ε},{dist1,dist2,dist3}]
𝒟3normalsEqualVariances[μ1_,μ2_,μ3_,σ_,ε_]=mixture[NormalDistribution[μ1,σ],NormalDistribution[μ2,σ],NormalDistribution[μ3,σ],ε]

Manipulate[Column[{
Text@Style[Row[{"Mean:        ",Mean[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]],"        Variance: ",Variance[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]]}],Bold,16],
Text@Style[Row[{"Skewness: ",Skewness[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]],"     Kurtosis: ",Kurtosis[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]]}],Bold,16],
(* Text@Style[Row[{"\n\n"}]], *)
Show[Plot[PDF[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε],x],{x,-5,5},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Black,Thick},PlotRange->All,ImageSize->Large,PlotLabel->"Červeně je vyznačena hustota N(μ,σ) se stejnými parametry jako má směs."],Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ]/.{μ->Mean[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]],σ->StandardDeviation[𝒟3normalsEqualVariances[μ1,μ2,μ3,σ,ε]]},x]//Evaluate,{x,-4,4},PlotStyle->{Red,Thick}]]}],
{{μ1,-3},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ2,0},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{μ3,3},-4,4,Appearance->"Labeled"},
{{σ,0.51},0.1,3,Appearance->"Labeled"},
{{ε,0.04},0.00001,0.4,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Model vývoje cen: náhodné procházky, hypotéza náhodné procházky
(Random Walk Hypothesis)

1 Vývoj cen podle náhodné procházky pro ceny

Pro ceny se používá se zřídka.

(Subscript[P, t+1])=μ+(Subscript[P, t])+(Subscript[ε, t+1]),    t=0,...,T-1,

μ ... drift, trend, (Subscript[P, t]) ... ceny,  (Subscript[P, 0])>0 počáteční cena (musí být dostatečně velká ve srovnání s rozptylem (Subscript[ε, t])  - jinak by ceny (Subscript[P, t]) mohly klesnout pod nulu - to je v rozporu s předpokladem omezeného ručení, limited liability), (Subscript[ε, t]) ... nezávislé  (ve slabé verzi nekorelované) stejně rozdělené náhodné veličiny (iid, independent identically distributed, poruchy, disturbances, innovations) s nulovou střední hodnotou, E,(Subscript[ε, t]),=0, a stejným konečným nenulovým rozptylem, var (Subscript[ε, t])=(σ^2) . V časových řadách se odpovídající posloupnost nazývá autoregresní posloupnost 1. řádu, AR(1).

V níže uvedeném příkladě čas běží ve dnech. Jsou znázorněny 4 trajektorie ((Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3]),(Subscript[ω, 4]))  pro vývoj ceny s těmito parametry:  μ=(Subscript[P, 0])((((1+0.05))^(1/250))-1) (odpovídá ročnímu výnosu přibližně 5%), (Subscript[P, 0])=100, (Subscript[ε, t]) iid s rozdělením N(0,4×(10^(-2))= rozptyl ), T=1000 [dnů]. Pro účely reprodukovatelnosti je při všech aktivacích zajištěno stejné počáteční náhodné číslo (SeedRandom[113333], všechny simulace je možné kdykoli kompletně zrekonstruovat). Užívejte vždy při publikaci (domácí úlohy, Bc práce, DP práce i ostatní publikace)!!

SeedRandom[113333];ListLinePlot[pricesP=Table[NestList[(100×((((1+0.05))^(1/250))-1)+#+ RandomReal[NormalDistribution[0,0.2]])&,100,1000],{4}],PlotStyle->{Thick},Filling->Axis,AxesLabel->{Style["   t",Italic,18],Style["(Subscript[P, t])",Italic,18]},AxesStyle->Directive[16],GridLines->{100 Range[8],Automatic},GridLinesStyle->Directive[Orange],PlotRange->{{0,1001},All},PlotLabel->Style["4 možné vývoje ceny akcie (Subscript[P, t]) v období 1000 dnů\n při počáteční ceně akcie \!\(\*SubscriptBox[\(P\), \(\(0\)\(\\ \)\)]\)= 100",Bold,16]]

2 Vývoj cen podle náhodné procházky pro logaritmické ceny

Označení z předchozí sekce. Nejčastější použití modelu náhodné procházky ve finanční matematice ((Subscript[p, t])=ln (Subscript[P, t])):

(Subscript[p, t+1])=μ+(Subscript[p, t])+(Subscript[ε, t+1]),    t=0,...,T-1,

takže pro ceny platí

(Subscript[P, t+1])=(Subscript[P, t])exp{μ+(Subscript[ε, t+1])},    t=0,...,T-1.

V níže uvedeném příkladě čas běží ve dnech. Jsou znázorněny 4 trajektorie pro vývoj ceny s těmito parametry: drift μ=0.00003, (Subscript[p, 0])=4.6 (to odpovídá připbližně (Subscript[P, 0])=100), (Subscript[ε, t]) iid s rozdělením N(0,(0.0004^2)), T=1000 [dnů]. Pro účely reprodukovatelnosti je opět použito počáteční náhodné číslo (SeedRandom[113333], všechny simulace je možné kdykoli kompletně zrekonstruovat).

SeedRandom[113333];ListLinePlot[logpricesP=Table[NestList[(0.00003+#+4.6RandomReal[NormalDistribution[0,0.0004]])&,4.6,1000],{4}],PlotStyle->{Thick},Filling->Axis,AxesLabel->{Style["   t",Italic,20],Style["(Subscript[p, t])",Italic,20]},AxesStyle->Directive[16],GridLines->{100 Range[8],Automatic},GridLinesStyle->Directive[Orange],PlotRange->{{0,1001},All},PlotLabel->Style["4 možné vývoje logaritmické ceny akcie (Subscript[p, t]) v období 1000 dnů\n při počáteční ceně akcie \!\(\*SubscriptBox[\(p\), \(\(0\)\(\\ \)\)]\)= Log[100] = 4.6",Bold,18]]

Model vývoje cen: náhodné procházky, hypotéza náhodné procházky
(Random Walk Hypothesis)

1 Vývoj cen podle náhodné procházky pro ceny

Pro ceny se používá se zřídka.

(Subscript[P, t+1])=μ+(Subscript[P, t])+(Subscript[ε, t+1]),    t=0,...,T-1,

μ ... drift, trend, (Subscript[P, t]) ... ceny,  (Subscript[P, 0])>0 počáteční cena (musí být dostatečně velká ve srovnání s rozptylem (Subscript[ε, t])  - jinak by ceny (Subscript[P, t]) mohly klesnout pod nulu - to je v rozporu s předpokladem omezeného ručení, limited liability), (Subscript[ε, t]) ... nezávislé  (ve slabé verzi nekorelované) stejně rozdělené náhodné veličiny (iid, independent identically distributed, poruchy, disturbances, innovations) s nulovou střední hodnotou, E,(Subscript[ε, t]),=0, a stejným konečným nenulovým rozptylem, var (Subscript[ε, t])=(σ^2) . V časových řadách se odpovídající posloupnost nazývá autoregresní posloupnost 1. řádu, AR(1).

V níže uvedeném příkladě čas běží ve dnech. Jsou znázorněny 4 trajektorie ((Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3]),(Subscript[ω, 4]))  pro vývoj ceny s těmito parametry:  μ=(Subscript[P, 0])((((1+0.05))^(1/250))-1) (odpovídá ročnímu výnosu přibližně 5%), (Subscript[P, 0])=100, (Subscript[ε, t]) iid s rozdělením N(0,4×(10^(-2))= rozptyl ), T=1000 [dnů]. Pro účely reprodukovatelnosti je při všech aktivacích zajištěno stejné počáteční náhodné číslo (SeedRandom[113333], všechny simulace je možné kdykoli kompletně zrekonstruovat). Užívejte vždy při publikaci (domácí úlohy, Bc práce, DP práce i ostatní publikace)!!

SeedRandom[113333];ListLinePlot[pricesP=Table[NestList[(100×((((1+0.05))^(1/250))-1)+#+ RandomReal[NormalDistribution[0,0.2]])&,100,1000],{4}],PlotStyle->{Thick},Filling->Axis,AxesLabel->{Style["   t",Italic,18],Style["(Subscript[P, t])",Italic,18]},AxesStyle->Directive[16],GridLines->{100 Range[8],Automatic},GridLinesStyle->Directive[Orange],PlotRange->{{0,1001},All},PlotLabel->Style["4 možné vývoje ceny akcie (Subscript[P, t]) v období 1000 dnů\n při počáteční ceně akcie \!\(\*SubscriptBox[\(P\), \(\(0\)\(\\ \)\)]\)= 100",Bold,16]]

2 Vývoj cen podle náhodné procházky pro logaritmické ceny

Označení z předchozí sekce. Nejčastější použití modelu náhodné procházky ve finanční matematice ((Subscript[p, t])=ln (Subscript[P, t])):

(Subscript[p, t+1])=μ+(Subscript[p, t])+(Subscript[ε, t+1]),    t=0,...,T-1,

takže pro ceny platí

(Subscript[P, t+1])=(Subscript[P, t])exp{μ+(Subscript[ε, t+1])},    t=0,...,T-1.

V níže uvedeném příkladě čas běží ve dnech. Jsou znázorněny 4 trajektorie pro vývoj ceny s těmito parametry: drift μ=0.00003, (Subscript[p, 0])=4.6 (to odpovídá připbližně (Subscript[P, 0])=100), (Subscript[ε, t]) iid s rozdělením N(0,(0.0004^2)), T=1000 [dnů]. Pro účely reprodukovatelnosti je opět použito počáteční náhodné číslo (SeedRandom[113333], všechny simulace je možné kdykoli kompletně zrekonstruovat).

SeedRandom[113333];ListLinePlot[logpricesP=Table[NestList[(0.00003+#+4.6RandomReal[NormalDistribution[0,0.0004]])&,4.6,1000],{4}],PlotStyle->{Thick},Filling->Axis,AxesLabel->{Style["   t",Italic,20],Style["(Subscript[p, t])",Italic,20]},AxesStyle->Directive[16],GridLines->{100 Range[8],Automatic},GridLinesStyle->Directive[Orange],PlotRange->{{0,1001},All},PlotLabel->Style["4 možné vývoje logaritmické ceny akcie (Subscript[p, t]) v období 1000 dnů\n při počáteční ceně akcie \!\(\*SubscriptBox[\(p\), \(\(0\)\(\\ \)\)]\)= Log[100] = 4.6",Bold,18]]

Míry rizika

Připomeneme, že za míru výnosnosti, krátce výnos považujeme za náhodnou veličinu a v daném kontextu označujeme ρ, (Subscript[ρ, t]), (Subscript[R, t]) nebo ρ(t), potřebujeme-li vyjádřit závislost na čase (pozor na časové jednotky!). Náhodná veličina

L=-ρ ,              (Subscript[L, t])=(((Subscript[P, t])-(Subscript[P, t+1]))/(Subscript[P, t]))

se nazývá ztráta (loss) nebo také ztrátová náhodná veličina (loss random variable).

V praxi, je-li výnos ρ>0, jde o  zisk, je-li výnos ρ<0, jde o ztrátu, která se však také uvádí s kladným znaménkem, tj. uvádí se L.

Rozptylové míry rizika

Směrodatná odchylka, volatilita (Standard Deviation, S. D., volatility)

Je nejjednodušší mírou rizika. V teorii portfolia se přímo rizikem nazývá.

σ=(Sqrt[var ρ])=(Sqrt[var L]).

Nevýhoda: citlivá na “velké” odchylky, chyby pozorování.

Střední absolutní odchylka (mean absolute deviation, MAD)

MAD(ρ)=MAD(L)=E|ρ-E,ρ|=E|L-E,L|.

Robustní vůči chybám a velkým odchylkám.

Example

The assets A and B possess returns dependent on the state of economy in the following way:

Text@Grid[{{"State of Economy","Probability","Return A [%]","Return B [%]"},
{"Boom",0.3,100,20},
{"Normal",0.4`,15,15},
{"Recession",0.3`,-70,10}},Frame->All]

𝒟assetA=EmpiricalDistribution[{0.3,0.4,0.3}->{100,15,-70}];
𝒟assetB=EmpiricalDistribution[{0.3,0.4,0.3}->{20,15,10}];
Text@Grid[{{" ","Asset A","Asset B"},
{"Mean",Mean[𝒟assetA],Mean[𝒟assetB]},
{"Variance",Variance[𝒟assetA],Variance[𝒟assetB]},
{"S. D.",StandardDeviation[𝒟assetA],StandardDeviation[𝒟assetB]},
{"MAD",Expectation[Abs[x-Mean[𝒟assetA]],x\[Distributed]𝒟assetA],Expectation[Abs[x-Mean[𝒟assetB]],x\[Distributed]𝒟assetB]}},Frame->All]

Hodnota v riziku (Value at Risk, VaR)

Value at Risk at (confidence) level 1-α (VaR)

Hodnota v riziku na úrovni spolehlivosti 1-α:

Value at risk at (confidence) level 1-α is simply the α-quantile of L, sometimes denoted by (Subscript[q, α]).

(Subscript[VaR, α])(L):=(F^(-1))(α)=inf{x:F(x)≥α}=:(Subscript[q, α]).

The usual interpretation is that loss will exceed (Subscript[VaR, α])(L) with a (small) probability 1-α with typical values of α=0.95, 0.99 or in some extreme cases even α=0.999. In practice the time horizons are one day, one week, or one month but often longer time horizons are of interest. These need a special care, however. For the sake of simplicity of some calculations we often suppose (1/2)<α<1.

Interpretace: Ztráta překročí hodnotu (Subscript[VaR, α])(L) s (malou) pravděpodobností 1-α. Typické hodnoty α=0.95, 0.99, v některých extrémních případech α=0.999. V praxi používané časové horizonty jsou jeden den, jeden týden, jeden měsíc. Někdy je však nutné použít i delší časové horizonty. Pro zjednodušení některých výpočtů se často předpokládá (1/2)<α<1.

Hullova interpretace hodnoty v riziku V na úrovni splehlivosti 1-X s časovým horizontem N dnů:

Hull, J. C.: Options, Futures, and Other Derivatives, 8th edition, p. 471: “Jsem si na X procent jist, že ztráta v příštích N dnech nebude vyšší než V dolarů.”

Zde X=α, V=(Subscript[VaR, α]).

Ještě jiná slovní interpretace: Hodnota v riziku je mez, nad kterou se ztráta dostane jen s velmi malou předepsanou pravděpodobností.

Poznámka

Pozor na nejednoznačnost! Někdy se v literatuře místo úrovně spolehlivost 1-α uvažuje úroveň spolehlivosti α. Smysl ale zůstává týž: Ztráta překročí VaR s malou pravděpodobností.

**Poznámka

VaR není koherentní mírou rizika (coherent risk measure). Jeden z požadavků je subaditivita, a ten VaR nesplňuje. Pro koherentní míru rizika 𝔪 a ztráty L,(Subscript[L, 1]), (Subscript[L, 2]) musí platit 𝔪((Subscript[L, 1])+(Subscript[L, 2]))≤𝔪((Subscript[L, 1]))+𝔪((Subscript[L, 2])),  a to VaR obecně nesplňuje. Další požadavky na koherentní míru rizika jsou: invariance vůči posunutí: ∀ x∈ℝ  𝔪(L+x)=𝔪(L)+x, pozitivní homogenita: ∀ α>0  𝔪(α,L)=α,,𝔪(L), monotonicita: (Subscript[L, 1])≤(Subscript[L, 2])⟹, 𝔪((Subscript[L, 1]))≤ ,𝔪((Subscript[L, 2])) .

Ilustrace

Data Apple za poslední rok

DateListPlot[Appleceny=FinancialData["AAPL",{{2021,4,1},{2022,4,1}},Method->"Legacy"],Joined->True,PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Apple Prices" ]
Applevynosy=FinancialData["AAPL","Return",{{2021,4,1},{2022,4,1}},"Value",Method->"Legacy"] ;
Appleztraty=-Applevynosy;
𝒟EmpiricaltApple=EmpiricalDistribution[Appleztraty]
(* SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["AAPLPrices20210401",Appleceny];
Export["AAPLLosses20210401",Appleztraty];
*)

(* V případě, že data není možné data načíst online, použijeme tyto příkazy: *)

(* SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Appleceny=Import["AAPLPrices20210401"];
Appleztraty=Import["AAPLLosses20210401"];
*)

Charakteristiky ztrát (Apple)

Row@{"Mean = ",Mean[Appleztraty]," SD = ",StandardDeviation[Appleztraty]," (Subscript[γ, 1]) = ",Skewness[Appleztraty]," (Subscript[γ, 2]) = ",Kurtosis[Appleztraty]}
Text@Row@{"Sample size = ",Length[Appleztraty],"   Min = ",Min[Appleztraty],"   Max =  ",Max[Appleztraty]}
Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR"}}]
Show[Histogram[Appleztraty,Automatic,"PDF",PlotLabel->"Apple Losses (Smooth Histogram and Histogram)\n"],SmoothHistogram[Appleztraty,PlotStyle->Thick,PlotRange->All]]

Parametrická hodnota v riziku

Příklad

?StudentTDistribution

distr=StudentTDistribution[μ,σ,ν];
{Mean[distr],StandardDeviation[distr]}
PDF[distr,x]

Příklad (parametrická hodnota v riziku)

Normální rozdělení

V našem případě nereálný předpoklad, jak jsme viděli zvláště na výběrové špičatosti. Nejprve odhadneme neznámé parametry na základě pozorování (odhadnuté parametry jsou prakticky totožné s výše uvedenými):

𝒟normalApple=EstimatedDistribution[Appleztraty,NormalDistribution[μ,σ]]

Denní VaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01 (ve třetím sloupci jsou uvedeny výběrové kvantily):

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟normalApple,α],Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR (normal)","VaR (sample)"}}]

Row@{"Interpretace (z výběrových dat, sample): Pravděpodobnost, že denní ztráta překročí ",Quantile[Appleztraty,0.99] 100,"% je přibližně 0.01."}

VaR na T dnů na konfidenční úrovni 1-α= 0.01 pro konstantní střední hodnotu a rozptyl lineárně závislý na čase: (Subscript[σ, T]^2)=T,(σ^2).

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple],StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","(Subscript[VaR, 0.99])"}}]

VaR na T dnů na konfidenční úrovni 1-α= 0.01 pro střední hodnotu lineárně závislou na čase: (Subscript[μ, T])=T,μ a rozptyl také lineárně závislý na čase: (Subscript[σ, T]^2)=T,(σ^2).

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple] T,StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","(Subscript[VaR, 0.99])"}}]

t-rozdělení

Nejprve odhadneme neznámé parametry (včetně počtů stupňů volnosti ν)

Příklad (pokračování, použita data z období {{2021,4,1}, {2022,4,1}})

Poznámka. Každé empirické rozdělení má všechny momenty konečné. (Konečný počet pozorování.)

Charakteristiky empirického rozdělení a jeho charakteristiky:

Plot[CDF[𝒟EmpiricaltApple,x],{x,Min[Appleztraty],Max[Appleztraty]},PlotStyle->Thick, PlotLabel->"Empirical distribution function of Apple losses - whole range"]
Plot[CDF[𝒟EmpiricaltApple,x],{x,-.0002,0.0002},PlotStyle->Thick, PlotLabel->"\nEmpirical distribution function of Apple losses - narrow window",Exclusions->True]

𝒟StudentApple=EstimatedDistribution[Appleztraty,StudentTDistribution[μ,σ,ν]]

(*𝒟StudentAppleMethodOfMoments=EstimatedDistribution[Appleztraty,StudentTDistribution[μ,σ,ν],ParameterEstimator->"MethodOfMoments"] *)

V tomto případě (odhad (OverHat[ν]) >5) existuje prvních 5 momentů.

Row@{"Mean = ",Mean[𝒟StudentApple],"    SD = ",StandardDeviation[𝒟StudentApple],"    (Subscript[γ, 1]) = ",Skewness[𝒟StudentApple],"    (Subscript[γ, 2]) = ",Kurtosis[𝒟StudentApple]}

(*Row@{"Mean = ",Mean[𝒟StudentAppleMethodOfMoments],"    SD = ",StandardDeviation[𝒟StudentAppleMethodOfMoments],"    (Subscript[γ, 1]) = ",Skewness[𝒟StudentAppleMethodOfMoments],"    (Subscript[γ, 2]) = ",Kurtosis[𝒟StudentAppleMethodOfMoments]}
*)

Denní VaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01 (ve třetím sloupci pro porovnání výběrové kvantily):

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟StudentApple,α],Quantile[𝒟normalApple,α],Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR (Student)","VaR (Normal)","VaR (sample)"}}]

Row@{"Interpretace:(odhadnuté Studentovo rozdělení): Pravděpodobnost, že denní ztráta překročí ",Quantile[𝒟StudentApple,0.99] 100,"% je 0.01."}

Vidíme, že volba Studentova rozdělení vede k výsledkům srovnatelným s empirickým rozdělením.

Neparametrická hodnota v riziku

Příklad (neparametrická hodnota v riziku)

VaR jako výběrový kvantil

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR"}}]

Vidíme, že tyto výsledky jsou pochopitelně stejné jako při užití empirického rozdělení a podobné jako při užití Studentova rozdělení.

***BEGIN******************************************************************************************

VaR na základě uspořádaného náhodného výběru. (Nemusí dávat totožné výsledky s výše uvedenými neboť v reálných datech se vyskytují shody i u spojitých rozdělení (třeba v důsledku zaokrouhlovaní) a definice výběrových kvantilů se liší.)

Pozorované ztráty (náhodný výběr) (Subscript[L, 1]),...(Subscript[L, T]), uspořádaný náhodný výběr (Subscript[L, (1)])≤...≤(Subscript[L, (T)]). Odhad α-kvantilu je (Subscript[L, (⌊T,α⌋+1)]) , jestliže T,α není přirozené číslo a (1/2)[(Subscript[L, (T,α)])+(Subscript[L, (Tα+1)])], jestliže T,α je přirozené číslo.

Setříděné hodnoty:

AppleztratySorted=Sort[Appleztraty];
T=Length[%]

Text@TableForm[Table[{1-α,AppleztratySorted[[Floor[T α]]]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR"}}]

***END********************************************************************************************

***VaR na základě (neparametrického) jádrového odhadu (kernel estimates) hustoty

𝒟KernelApple=SmoothKernelDistribution[Appleztraty];
Plot[PDF[𝒟KernelApple,x],{x,-0.11,0.11},PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Apple kernel density estimator"]
Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟KernelApple,α],Quantile[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR (kernel)","VaR (sample)"}}]

***Volatilita

last50daysAppleceny=Take[FinancialData["AAPL",{{2011,1,1},{2014,5,5}}],-50];
last50daysApplevynosy=Take[FinancialData["AAPL","Return",{{2011,1,1},{2014,5,5}}],-50];
{StandardDeviation[Map[Last,last50daysAppleceny]],StandardDeviation[Map[Last,last50daysApplevynosy]],volatility20140505Apple50=FinancialData["AAPL","Volatility50Day"],StandardDeviation[Take[Map[Last,last50daysApplevynosy],-20]],volatility20140505Apple20=FinancialData["AAPL","Volatility20Day"]}

ListPlot[volatility20140505Apple50timeseries=FinancialData["AAPL","Volatility50Day",{2011,1,1}],Joined->True,PlotStyle->Thick,PlotLabel->"Apple Volatility 50 Day"]

Podmíněná hodnota v riziku (Conditonal VaR, CVaR, Tail VaR, TVaR, expected shortfall)

Conditional value at risk (in case of continuous distributions also called Expected Shortfall), Očekávaná extrémní ztráta), Tail Conditional Expectation, Mean Excess Loss, Tail VaR) is the mean of the truncated distribution of L truncated at point (Subscript[VaR, α])(L) from the left:

(Subscript[CVaR, α])(L)=E{L|L≥(Subscript[VaR, α])(L)}.

Note that sometimes an analogue to the mean residual lifetime is considered:

(Subscript[CVaR, α])(L)-(Subscript[VaR, α])(L)=E{L-(Subscript[VaR, α])(L)|L≥(Subscript[VaR, α])(L)}.

For absolutely continuous distributions with the distribution function F(y) and density f(y) we have

(Subscript[CVaR, α])(L)=(1/(1-α))(∫_( (Subscript[Var, α])(L))^( ∞))y f(y)dy

or alternatively (after substitution F(y)=z, y=(F^(-1))(z), dz=f(y)dy)

(Subscript[CVaR, α])(L)=(1/(1-α))(∫_( α)^( 1))(F^(-1))(z)dz.

Poznámka (nejednoznačná terminologie)

V některých pramenech se v poslední době uvádí (podle mně nesprávně) poslední vzorec jako definice podmíněné hodnoty v riziku. Pro rozdělení, která nejsou absolutně spojitá (specielně diskrétní rozdělení) se mohou obě vyjádření lišit.

Procedury pro výpočet VaR a CVaR

** VaR, CVaR

Information about admissible values of the parameters can be transferred through the option assuming.

Clear[VaR];
VaR[distribution_,α_,assuming___]:=Assuming[{assuming},Quantile[distribution,α]//Simplify](* Symbolic CVaR*)
Clear[CVaR];
CVaR[distribution_,α_,assuming___]:=(1/(1-α))Assuming[{assuming},(∫_(VaR[distribution,α])^∞)y PDF[distribution,y]\[DifferentialD]y]//PowerExpand//Simplify
(* Numeric CVaR *)
Clear[NCVaR];
NCVaR[distribution_,α_]:=(1/(1-α))NIntegrate[y PDF[distribution,y],{y,VaR[distribution,α],∞}]

Example 1:

CVaR[NormalDistribution[],α]
Assuming[0<α<1,CVaR[NormalDistribution[],α]]

el

Assuming[0<α<1∧μ∈Reals∧σ>0,CVaR[NormalDistribution[μ,σ],α]]

Example 2:

Příklad (parametrická CVaR)

Normální rozdělení

Denní CVaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟normalApple,α],NCVaR[𝒟normalApple,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

Row@{"Interpretace: Jestliže ztráta překročí 1%-ní VaR, pak v průměru bude ",NCVaR[𝒟normalApple,0.99] 100,"% za den"}

Row@{"CVaR na T dnů na konfidenční úrovni 1 - α= 0.01 pro konstantní střední hodnotu odhadnutou ", Mean[𝒟normalApple]}

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple],StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99],NCVaR[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple],StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","VaR","CVaR"}}]

CVaR na T dnů na konfidenční úrovni 1-α= 0.01 pro střední hodnotu lineárně závislou na čase, (Subscript[(OverHat[μ ]), T])= (OverHat[μ ])T=-0.0015179592217426788` T:

Clear[T]
Text@TableForm[Table[{T,Quantile[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple] T,StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99],NCVaR[NormalDistribution[Mean[𝒟normalApple] T,StandardDeviation[𝒟normalApple](Sqrt[T])],0.99]},{T,{1,2,5,10,252}}],TableHeadings->{None,{"T","VaR","CVaR"}}]

t-rozdělení

Denní CVaR na konfidenčních úrovních 1-α= 0.1, 0.05, 0.01:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟StudentApple,α],NCVaR[𝒟StudentApple,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

Interpretace: Jestliže ztráta překročí 1%-ní VaR, pak v průměru bude 0.042, (4.2% za den).

Příklad (neparametrická CVaR)

CVaR jako výběrový průměr pozorovaných hodnot překračujících odpovídající VaR.

Clear[CVaRsample];
CVaRsample[data_,α_]:=Mean[Select[data,#≥Quantile[data,α]&]]

Porovnání výběrové VaR a výběrové CVaR:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[Appleztraty,α],CVaRsample[Appleztraty,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

CVaR na základě (neparametrického) jádrového odhadu hustoty

Porovnání VaR a CVaR vypočítaných na základě jádrového odhadu hustoty:

Text@TableForm[Table[{1-α,Quantile[𝒟KernelApple,α],NCVaR[𝒟KernelApple,α]},{α,{0.9,0.95,0.99}}],TableHeadings->{None,{"1 - α","VaR","CVaR"}}]

***Průměrná, vážená průměrná, mediánová a kvantilová VaR

***Spektrální míry rizika

***Expektily (expectiles)

cashFlowDiagram

(* cf in the form  {{(Subscript[time, 1]),(Subscript[c, 1])},{(Subscript[time, 2]),(Subscript[c, 2])},…} *)
Clear[cashFlowDiagram];
cashFlowDiagram[cf_,plotlabel_:"Cash flow"]:=
	Module[{PVprofile,tmin,tmax,cfmin,cfmax},
tmin=Min[cf//Transpose//First];
tmax=Max[cf//Transpose//First];
cfmin=Min[cf//Transpose//Last];
cfmax=Max[cf//Transpose//Last];
PVprofile=Plot[0,{x,tmin,tmax},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Thin,Black},PlotRange->{Min[cfmin,0],Max[cfmax,0]}, Axes->True,AxesLabel->{"t","CF"},LabelStyle->Directive[Italic],PlotLabel->plotlabel ];
Show[PVprofile,
Map[Graphics[{Thick,If[#[[2]]<0,Red,Black],Arrow[{{#[[1]],0},{#[[1]],#[[2]]}}]}]&,cf]]]

Volatility

returnsApple20200525

logaritmickeVynosy//Length

FinancialData["AAPL","Volatility250Day",{{2021,2,25},{2021,2,25}},Method->"Legacy"]

logApple=Log[pricesApple20200525[[All,2]]]
logaritmickeVynosy=Most[logApple]-Rest[logApple]
rozptyllogaritmickychvynosu=Variance[logaritmickeVynosy]
anualizovanasmerodatnaodchylkavynosu=StandardDeviation[logaritmickeVynosy] (Sqrt[252])

{vol250Day=FinancialData["AAPL","Volatility250Day",{{2021,5,24},{2021,5,24}},Method->"Legacy"],
vol50Day=FinancialData["AAPL","Volatility50Day",{{2021,5,24},{2021,5,24}},Method->"Legacy"],vol20Day=FinancialData["AAPL","Volatility20Day",{{2021,5,24},{2021,5,24}},Method->"Legacy"],FinancialData["AAPL","Volatility20Day",{{2021,3,1},{2021,4,25}},Method->"Legacy"]}

ret250Day=FinancialData["AAPL","Return",{{2020,5,25},{2021,5,24}},Method->"Legacy"];
%//Length

r250=ret250Day[[All,2]];
r250minus20=Take[r250,-20];
{Variance[r250],StandardDeviation[r250] (Sqrt[250]),vol250Day//Last,(Sqrt[251(Variance[r250]+((Mean[r250])^2))])}
{Variance[r250minus20],StandardDeviation[r250minus20] (Sqrt[250]),vol20Day,(Sqrt[251(Variance[r250minus20]+((((20/19)))^2)((Mean[r250minus20])^2))])}

Positive and negative losses

Q3

A3

SetDirectory[NotebookDirectory[]]; 
returnsAllwithDJI504Import=Import["returnsAllwithDJI504.XML"]; 
pricesDJIImport=Import["pricesDJI.XML"];
pricesDJI=pricesDJIImport;
returnsAllwithDJI504=returnsAllwithDJI504Import;

returnsDJIcalculatedFromPrices=((Differences[pricesDJI[[All,2]]])/(Most[pricesDJI[[All,2]]]));
returnsDJI504=returnsAllwithDJI504[[8,All]];

DateListPlot[pricesDJI,PlotLabel->"Prices DJI"]

lossesDJI504=-returnsDJI504;
lossesDJI504positive=Select[lossesDJI504,Function[x,x>0]];
𝒟lossesDJI504=EmpiricalDistribution[lossesDJI504];
𝒟lossesDJI504positive=EmpiricalDistribution[lossesDJI504positive];
{SmoothHistogram[lossesDJI504,PlotRange->All],Histogram[lossesDJI504positive,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]}

Independence

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
ztraty=Import["AAPLLosses20210401.XML"];
𝒟ztraty=EmpiricalDistribution[ztraty];
Row@{"Počet: ",Length[ztraty],"   Mean: ",Mean[ztraty],"   S.D.: ",StandardDeviation[ztraty] ,"   VaR na hladině 1-0.95: ",Quantile[𝒟ztraty,0.95] }

CorrelationFunction[ztraty,{3}]

{AutocorrelationTest[ztraty],Length[ztraty],Log[Length[ztraty]]//N}

2021-04-28 Lekce 9

Záznam 2021-04-28 Lekce 9 není k dispozici.

Data for Estimating CAPM

Data DJI companies

Download data from the server:

pricesDJI=FinancialData["^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsDJI=FinancialData["^DJI","Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];

Map[Length,{pricesDJI,returnsDJI}]

membersDJI={"NYSE:MMM","NYSE:AXP","NASDAQ:AMGN","NASDAQ:AAPL","NYSE:BA","NYSE:CAT","NYSE:CVX","NASDAQ:CSCO","NYSE:KO","NYSE:DIS","NYSE:DOW","NYSE:GS","NYSE:HD","NYSE:HON","NASDAQ:INTC","NYSE:IBM","NYSE:JNJ","NYSE:JPM","NYSE:MCD","NYSE:MRK","NASDAQ:MSFT","NYSE:NKE","NYSE:PG","NYSE:CRM","NYSE:TRV","NYSE:UNH","NYSE:VZ","NYSE:V","NASDAQ:WBA","NYSE:WMT"};

membersDJIwithNames=Map[{#,FinancialData[#,"Name"]}&,membersDJI];
Grid[%,Frame->All]

membersDJIwithNamesSectors=Map[({#,FinancialData[#,{"Name","Sector"}]}//Flatten)&,membersDJI];
Grid[%,Frame->All]

pricesCompaniesDJI=FinancialData[membersDJI,{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];

{Map[Length,pricesCompaniesDJI]//Min,Dimensions[pricesCompaniesDJI]}

pricesCompaniesDJIc=Map[Take[#,505]&,pricesCompaniesDJI];
%//Dimensions

returnsCompaniesDJI=FinancialData[membersDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];

{Map[Length,returnsCompaniesDJI]//Min,Dimensions[returnsCompaniesDJI]}

returnsCompaniesDJIc=Map[Take[#,504]&,returnsCompaniesDJI];
%//Dimensions

Export

Structure of the files:
returnsCompaniesDJIWithNames.XML:
{{“NYSE:MMM”,{0.00495757,0.00341174,0.00569751,-0.001553,..., {“NYSE:WMT”,...}}
returnsDJI.XML:
Just Returns Values (504 values)

(returnsCompaniesDJIWithNames={membersDJI,returnsCompaniesDJIc}//Transpose)

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsCompaniesDJIWithNames.XML",returnsCompaniesDJIWithNames];
Export["returnsDJI.XML",returnsDJI];

Data a základní charakteristiky

Not necessary to activate:

membersDJI=FinancialData["^DJI","Members"]

membersDJIwithNames=Map[{#,FinancialData[#,"Name"]}&,membersDJI];
Grid[%,Frame->All]

Vybereme 7 společností a index ^DJI:

selectedCompaniesAndDJI={"AAPL","BA","KO","DIS","MCD","V","WMT","^DJI"};

Daily data

pricesDJI=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsAllwithDJI=FinancialData[selectedCompaniesAndDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];
Map[Length,returnsAllwithDJI]
Dimensions[returnsAllwithDJI]

DateListPlot[pricesDJI,PlotLabel->"Prices ^DJI"]

returnsAllwithDJI504=Map[Take[#,504]&,returnsAllwithDJI];
Dimensions[returnsAllwithDJI504]
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsAllwithDJI504.XML",returnsAllwithDJI504];
Export["pricesDJI.XML",pricesDJI];

Weekly data

pricesDJIweekly=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},Method->"Legacy"];

pricesDJIweekly=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},Method->"Legacy"];
returnsAllwithDJIweekly=FinancialData[selectedCompaniesAndDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},"Value",Method->"Legacy"];
Map[Length,returnsAllwithDJIweekly]
Dimensions[returnsAllwithDJIweekly]

DateListPlot[pricesDJIweekly,PlotLabel->"Prices ^DJI Weekly"]

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsAllwithDJIweekly105.XML",returnsAllwithDJIweekly];
Export["pricesDJIweekly105.XML",pricesDJIweekly];

*************BEGIN***Daily and Weekly***********************************************
V případě, že není možné získat data výše uvedeným způsobem, aktivujeme tyto příkazy:

SetDirectory[NotebookDirectory[]]; 
returnsAllwithDJI504Import=Import["returnsAllwithDJI504.XML"]; 
pricesDJIImport=Import["pricesDJI.XML"];
returnsAllwithDJIweeklyImport=Import["returnsAllwithDJIweekly105.XML"];
pricesDJIweeklyImport=Import["pricesDJIweekly105.XML"];
pricesDJI=pricesDJIImport;
returnsAllwithDJI504=returnsAllwithDJI504Import;
pricesDJIweekly=pricesDJIweeklyImport;
returnsAllwithDJIweekly=returnsAllwithDJIweeklyImport;

*************END***Daily and Weekly*************************************************

ListLinePlot[returnsAllwithDJI504,PlotRange->All]

ListLinePlot[returnsAllwithDJIweekly,PlotRange->All]

(* Returns of 7 companies without ^DJI: *)
returnsAllCompanies=Most[returnsAllwithDJI504];
%//Dimensions
(* Returns ^DJI: *)
returnsDJI=Last[returnsAllwithDJI504];

Characteristics of the data

Očekávané výnosy (rr), rizika výnosů, rozptylová matice (vv) a korelační matice (corr)

rr=Mean[Transpose[returnsAllCompanies]];
vv=Covariance[Transpose[returnsAllCompanies]];
{Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]],Join[{"Oč. výnosy"},rr],Join[{"Rizika"},(Sqrt[Diagonal[vv]])]}//Grid[#,Frame->All]&
Text@Style["Correlation matrix:",Blue]
Prepend[Transpose[Prepend[(corr=Correlation[Transpose[returnsAllCompanies]]),Most[selectedCompaniesAndDJI]]],Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]]]//Grid

Determinant rozptylové matice:

Det[vv]

Svědčí o tom, že matice je prakticky singulární. Je také špatně podmíněná. To zhruba znamená, že malé změny v matici původní vyvolají velké změny v matici inverzní což má přirozeně vliv i na řešení soustavy lineárních rovnic

Max[vv]

Inverse[vv]
(* Inverze mírně porušené původní matice: k diagonále přičteme 0.0001 *)
Inverse[vvPerturbated=vv+0.0001IdentityMatrix[7]]

Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vv:\n",Eigenvalues[Inverse[vv]]}
Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vvPerturbated\n",Eigenvalues[Inverse[vvPerturbated]]}
Row@{"Determinanty inverzních matic: ",Det[Inverse[vv]],"    ",Det[Inverse[vvPerturbated]]}

CAPM estimation 20210502 (unknown riskless rate)

Estimation: unknown riskless rate

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
returnsCompaniesDJIWithNames=Import["returnsCompaniesDJIWithNames.XML"];
returnsDJI=Import["returnsDJI.XML"];

(* Checking *)
{Length[returnsCompaniesDJIWithNames],Map[Length,returnsCompaniesDJIWithNames[[All,2]]]}

(* Test *)
{"^DJI",{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsDJI}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}//Flatten

All days (2 years)

TableForm[Table[{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}//Flatten,{j,Length[returnsCompaniesDJIWithNames]}],TableHeadings->{returnsCompaniesDJIWithNames[[All,1]],{"α","β"}}]

Subdivisions: 2 years, first year, second year

TableForm[Table[{{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI[[1;;252]],returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]][[1;;252]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI[[253;;504]],returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]][[253;;504]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}}//Flatten,{j,Length[returnsCompaniesDJIWithNames]}],TableHeadings->{returnsCompaniesDJIWithNames[[All,1]],{"α: days 1-504","β: days 1-504","α: days 1-252","β: days 1-252","α: days 253-504","β: days 253-504"}}]

CAPM estimation 20210502 (known riskless rate)

Estimation: known riskless rate

Further reading

https://demonstrations.wolfram.com/ExpectedReturnsOfTheDowIndustrialsBetaModel/

or

Bhttp://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/

Riskless rates - T-Bills USA

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2019

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2020

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2021

aux=Import["20210503_TBills_USA.XML"]

iTBillsUSA2019="01/02/19	2.40	2.40	2.42	2.51	2.60	2.50	2.47	2.49	2.56	2.66	2.83	2.97
01/03/19	2.42	2.42	2.41	2.47	2.50	2.39	2.35	2.37	2.44	2.56	2.75	2.92
01/04/19	2.40	2.42	2.42	2.51	2.57	2.50	2.47	2.49	2.56	2.67	2.83	2.98
01/07/19	2.42	2.42	2.45	2.54	2.58	2.53	2.51	2.53	2.60	2.70	2.86	2.99
01/08/19	2.40	2.42	2.46	2.54	2.60	2.58	2.57	2.58	2.63	2.73	2.88	3.00
01/09/19	2.40	2.42	2.45	2.52	2.59	2.56	2.54	2.57	2.64	2.74	2.90	3.03
01/10/19	2.42	2.42	2.43	2.51	2.59	2.56	2.54	2.56	2.63	2.74	2.92	3.06
01/11/19	2.41	2.43	2.43	2.50	2.58	2.55	2.51	2.52	2.60	2.71	2.90	3.04
01/14/19	2.42	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.60	2.71	2.91	3.06
01/15/19	2.41	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.61	2.72	2.92	3.08
01/16/19	2.41	2.40	2.43	2.49	2.57	2.55	2.53	2.54	2.62	2.73	2.92	3.07
01/17/19	2.41	2.41	2.42	2.50	2.57	2.56	2.55	2.58	2.66	2.75	2.93	3.07
01/18/19	2.40	2.40	2.41	2.50	2.60	2.62	2.60	2.62	2.70	2.79	2.95	3.09
01/22/19	2.38	2.40	2.43	2.51	2.59	2.58	2.55	2.57	2.65	2.74	2.91	3.06
01/23/19	2.37	2.38	2.41	2.51	2.59	2.58	2.57	2.59	2.66	2.76	2.93	3.07
01/24/19	2.38	2.41	2.37	2.50	2.58	2.56	2.54	2.55	2.62	2.72	2.89	3.04
01/25/19	2.36	2.41	2.39	2.51	2.60	2.60	2.58	2.59	2.66	2.76	2.92	3.06
01/28/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.60	2.58	2.58	2.65	2.75	2.92	3.06
01/29/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.56	2.54	2.55	2.61	2.72	2.90	3.04
01/30/19	2.40	2.39	2.42	2.50	2.57	2.52	2.49	2.49	2.58	2.70	2.90	3.06
01/31/19	2.42	2.43	2.41	2.46	2.55	2.45	2.43	2.43	2.51	2.63	2.83	2.99
02/01/19	2.41	2.42	2.40	2.46	2.56	2.52	2.50	2.51	2.59	2.70	2.88	3.03
02/04/19	2.41	2.41	2.42	2.49	2.57	2.53	2.52	2.53	2.62	2.73	2.92	3.06
02/05/19	2.39	2.40	2.42	2.50	2.56	2.53	2.50	2.51	2.60	2.71	2.89	3.03
02/06/19	2.40	2.41	2.42	2.50	2.56	2.52	2.50	2.50	2.59	2.70	2.88	3.03
02/07/19	2.43	2.43	2.42	2.49	2.55	2.48	2.46	2.46	2.54	2.65	2.85	3.00
02/08/19	2.43	2.43	2.43	2.49	2.54	2.45	2.43	2.44	2.53	2.63	2.82	2.97
02/11/19	2.44	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.47	2.47	2.56	2.65	2.85	3.00
02/12/19	2.42	2.43	2.43	2.50	2.55	2.50	2.48	2.49	2.58	2.68	2.87	3.02
02/13/19	2.42	2.42	2.44	2.51	2.55	2.53	2.52	2.53	2.61	2.71	2.89	3.04
02/14/19	2.45	2.43	2.43	2.51	2.53	2.50	2.48	2.48	2.56	2.66	2.85	3.01
02/15/19	2.43	2.43	2.43	2.50	2.55	2.52	2.50	2.49	2.57	2.66	2.84	3.00
02/19/19	2.44	2.42	2.45	2.52	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	2.99
02/20/19	2.41	2.42	2.45	2.51	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	3.00
02/21/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.53	2.49	2.51	2.59	2.69	2.89	3.05
02/22/19	2.43	2.45	2.46	2.51	2.55	2.48	2.46	2.47	2.55	2.65	2.86	3.02
02/25/19	2.44	2.46	2.47	2.51	2.56	2.51	2.48	2.48	2.57	2.67	2.87	3.03
02/26/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.44	2.45	2.54	2.64	2.84	3.01
02/27/19	2.43	2.44	2.45	2.52	2.54	2.50	2.48	2.49	2.59	2.69	2.91	3.07
02/28/19	2.44	2.47	2.45	2.50	2.54	2.52	2.50	2.52	2.63	2.73	2.94	3.09
03/01/19	2.44	2.46	2.44	2.52	2.55	2.55	2.54	2.56	2.67	2.76	2.97	3.13
03/04/19	2.45	2.46	2.46	2.54	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.09
03/05/19	2.44	2.45	2.46	2.53	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.08
03/06/19	2.43	2.44	2.47	2.53	2.54	2.52	2.49	2.49	2.59	2.69	2.90	3.06
03/07/19	2.45	2.46	2.45	2.52	2.52	2.47	2.44	2.44	2.54	2.64	2.86	3.03
03/08/19	2.45	2.46	2.46	2.52	2.53	2.45	2.43	2.42	2.51	2.62	2.83	3.00
03/11/19	2.44	2.45	2.46	2.54	2.53	2.47	2.45	2.44	2.53	2.64	2.86	3.03
03/12/19	2.44	2.46	2.46	2.53	2.52	2.45	2.41	2.41	2.50	2.61	2.82	3.00
03/13/19	2.43	2.44	2.45	2.53	2.53	2.45	2.41	2.42	2.51	2.61	2.82	3.02
03/14/19	2.48	2.46	2.45	2.52	2.52	2.46	2.42	2.43	2.53	2.63	2.86	3.04
03/15/19	2.46	2.46	2.45	2.52	2.52	2.43	2.39	2.40	2.49	2.59	2.83	3.02
03/18/19	2.47	2.46	2.44	2.51	2.52	2.45	2.41	2.42	2.51	2.60	2.83	3.01
03/19/19	2.46	2.47	2.46	2.52	2.50	2.46	2.42	2.42	2.51	2.61	2.84	3.02
03/20/19	2.45	2.45	2.48	2.49	2.47	2.40	2.34	2.34	2.44	2.54	2.79	2.98
03/21/19	2.51	2.47	2.49	2.50	2.48	2.41	2.34	2.34	2.44	2.54	2.78	2.96
03/22/19	2.49	2.48	2.46	2.48	2.45	2.31	2.24	2.24	2.34	2.44	2.69	2.88
03/25/19	2.47	2.47	2.46	2.49	2.41	2.26	2.19	2.21	2.32	2.43	2.68	2.87
03/26/19	2.46	2.44	2.46	2.49	2.44	2.24	2.18	2.18	2.29	2.41	2.67	2.86
03/27/19	2.45	2.43	2.44	2.46	2.40	2.22	2.16	2.18	2.28	2.39	2.63	2.83
03/28/19	2.44	2.45	2.43	2.44	2.40	2.23	2.18	2.20	2.29	2.39	2.62	2.81
03/29/19	2.43	2.44	2.40	2.44	2.40	2.27	2.21	2.23	2.31	2.41	2.63	2.81
04/01/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.41	2.33	2.29	2.31	2.40	2.49	2.71	2.89
04/02/19	2.43	2.42	2.42	2.45	2.41	2.30	2.26	2.28	2.38	2.48	2.70	2.88
04/03/19	2.42	2.43	2.44	2.45	2.41	2.33	2.29	2.32	2.42	2.52	2.75	2.93
04/04/19	2.43	2.43	2.44	2.46	2.41	2.33	2.29	2.32	2.41	2.51	2.74	2.92
04/05/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.43	2.35	2.30	2.31	2.40	2.50	2.72	2.91
04/08/19	2.43	2.44	2.43	2.48	2.43	2.36	2.31	2.33	2.42	2.52	2.74	2.93
04/09/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.42	2.35	2.31	2.31	2.40	2.51	2.73	2.92
04/10/19	2.40	2.41	2.43	2.46	2.41	2.31	2.27	2.28	2.37	2.48	2.71	2.90
04/11/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.44	2.35	2.30	2.31	2.40	2.51	2.74	2.94
04/12/19	2.41	2.43	2.44	2.47	2.44	2.40	2.36	2.38	2.47	2.56	2.78	2.97
04/15/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.43	2.40	2.36	2.37	2.46	2.55	2.77	2.96
04/16/19	2.43	2.44	2.43	2.47	2.45	2.41	2.38	2.41	2.50	2.60	2.81	2.99
04/17/19	2.43	2.44	2.44	2.47	2.44	2.40	2.37	2.40	2.49	2.59	2.81	2.99
04/18/19	2.44	2.44	2.42	2.47	2.44	2.38	2.36	2.38	2.46	2.57	2.78	2.96
04/22/19	2.44	2.44	2.44	2.47	2.46	2.38	2.36	2.39	2.49	2.59	2.82	2.99
04/23/19	2.43	2.44	2.45	2.46	2.43	2.36	2.34	2.36	2.46	2.57	2.81	2.98
04/24/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.42	2.32	2.28	2.32	2.41	2.53	2.76	2.94
04/25/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.42	2.33	2.29	2.33	2.42	2.54	2.76	2.94
04/26/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.41	2.28	2.25	2.29	2.39	2.51	2.74	2.92
04/29/19	2.45	2.45	2.44	2.47	2.42	2.30	2.27	2.32	2.42	2.54	2.78	2.96
04/30/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.39	2.27	2.24	2.28	2.39	2.51	2.75	2.93
05/01/19	2.42	2.41	2.43	2.44	2.39	2.31	2.28	2.31	2.41	2.52	2.74	2.92
05/02/19	2.44	2.46	2.47	2.46	2.41	2.35	2.32	2.34	2.44	2.55	2.77	2.94
05/03/19	2.42	2.44	2.43	2.46	2.41	2.33	2.30	2.33	2.43	2.54	2.75	2.93
05/06/19	2.43	2.44	2.44	2.46	2.39	2.31	2.27	2.30	2.40	2.51	2.73	2.91
05/07/19	2.44	2.44	2.43	2.46	2.37	2.28	2.24	2.25	2.35	2.45	2.68	2.86
05/08/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.37	2.30	2.26	2.28	2.38	2.49	2.71	2.89
05/09/19	2.43	2.43	2.43	2.46	2.36	2.26	2.22	2.25	2.34	2.45	2.69	2.87
05/10/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.36	2.26	2.23	2.26	2.37	2.47	2.70	2.89
05/13/19	2.41	2.42	2.41	2.42	2.32	2.18	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.83
05/14/19	2.41	2.42	2.41	2.43	2.32	2.20	2.17	2.20	2.30	2.42	2.67	2.86
05/15/19	2.40	2.41	2.42	2.43	2.30	2.16	2.12	2.15	2.25	2.37	2.63	2.82
05/16/19	2.40	2.41	2.40	2.43	2.33	2.20	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.84
05/17/19	2.39	2.40	2.39	2.42	2.33	2.20	2.15	2.17	2.27	2.39	2.63	2.82
05/20/19	2.39	2.39	2.39	2.42	2.34	2.21	2.17	2.21	2.30	2.41	2.65	2.83
05/21/19	2.37	2.38	2.39	2.42	2.36	2.26	2.20	2.23	2.33	2.43	2.67	2.84
05/22/19	2.36	2.37	2.38	2.41	2.37	2.23	2.17	2.19	2.28	2.39	2.64	2.82
05/23/19	2.38	2.38	2.37	2.40	2.32	2.12	2.08	2.11	2.20	2.31	2.56	2.75
05/24/19	2.37	2.38	2.35	2.39	2.33	2.16	2.10	2.12	2.22	2.32	2.57	2.75
05/28/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.31	2.12	2.06	2.06	2.16	2.26	2.52	2.70
05/29/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.30	2.09	2.04	2.05	2.16	2.25	2.50	2.69
05/30/19	2.37	2.38	2.38	2.40	2.29	2.06	2.00	2.03	2.12	2.22	2.46	2.65
05/31/19	2.35	2.38	2.35	2.35	2.21	1.95	1.90	1.93	2.03	2.14	2.39	2.58
06/03/19	2.36	2.36	2.35	2.31	2.11	1.82	1.79	1.83	1.95	2.07	2.34	2.53
06/04/19	2.34	2.36	2.35	2.29	2.11	1.88	1.84	1.89	2.01	2.12	2.41	2.60
06/05/19	2.31	2.35	2.35	2.25	2.04	1.83	1.81	1.86	2.00	2.12	2.42	2.63
06/06/19	2.32	2.35	2.33	2.22	2.02	1.88	1.85	1.88	2.01	2.12	2.42	2.62
06/07/19	2.30	2.32	2.28	2.15	1.97	1.85	1.82	1.85	1.97	2.09	2.36	2.57
06/10/19	2.30	2.31	2.29	2.21	2.03	1.90	1.87	1.91	2.03	2.15	2.42	2.62
06/11/19	2.27	2.26	2.27	2.21	2.05	1.93	1.87	1.92	2.03	2.15	2.42	2.62
06/12/19	2.19	2.22	2.24	2.20	2.02	1.88	1.83	1.88	2.00	2.13	2.41	2.62
06/13/19	2.24	2.23	2.19	2.18	2.00	1.83	1.78	1.84	1.96	2.10	2.39	2.61
06/14/19	2.23	2.21	2.20	2.18	2.00	1.84	1.79	1.85	1.96	2.09	2.38	2.59
06/17/19	2.22	2.21	2.23	2.20	2.03	1.86	1.80	1.85	1.96	2.09	2.37	2.58
06/18/19	2.18	2.20	2.22	2.20	2.04	1.86	1.80	1.83	1.93	2.06	2.34	2.55
06/19/19	2.14	2.18	2.18	2.11	1.96	1.74	1.70	1.77	1.89	2.03	2.32	2.54
06/20/19	2.17	2.15	2.14	2.04	1.91	1.72	1.69	1.74	1.87	2.01	2.31	2.53
06/21/19	2.16	2.16	2.11	2.05	1.95	1.77	1.74	1.80	1.93	2.07	2.37	2.59
06/24/19	2.12	2.13	2.13	2.10	1.92	1.72	1.69	1.75	1.88	2.02	2.33	2.55
06/25/19	2.11	2.12	2.12	2.10	1.93	1.71	1.67	1.73	1.86	2.00	2.31	2.53
06/26/19	2.11	2.12	2.15	2.12	1.96	1.77	1.74	1.80	1.92	2.05	2.35	2.57
06/27/19	2.19	2.15	2.14	2.12	1.93	1.74	1.71	1.76	1.88	2.01	2.31	2.52
06/28/19	2.18	2.15	2.12	2.09	1.92	1.75	1.71	1.76	1.87	2.00	2.31	2.52
07/01/19	2.17	2.16	2.21	2.10	1.94	1.78	1.74	1.79	1.90	2.03	2.34	2.55
07/02/19	2.21	2.17	2.20	2.09	1.91	1.77	1.71	1.75	1.85	1.98	2.29	2.51
07/03/19	2.25	2.20	2.21	2.08	1.91	1.77	1.71	1.74	1.83	1.96	2.25	2.47
07/05/19	2.26	2.22	2.23	2.14	1.98	1.87	1.82	1.84	1.93	2.04	2.34	2.54
07/08/19	2.23	2.24	2.26	2.14	1.99	1.88	1.84	1.86	1.94	2.05	2.32	2.53
07/09/19	2.22	2.24	2.26	2.15	2.00	1.92	1.88	1.88	1.96	2.07	2.34	2.54
07/10/19	2.18	2.18	2.20	2.07	1.93	1.82	1.79	1.82	1.93	2.07	2.36	2.57
07/11/19	2.17	2.17	2.17	2.08	1.97	1.85	1.84	1.88	1.99	2.13	2.42	2.65
07/12/19	2.16	2.18	2.14	2.07	1.96	1.84	1.81	1.86	1.98	2.12	2.42	2.64
07/15/19	2.17	2.19	2.16	2.06	1.95	1.83	1.80	1.84	1.96	2.09	2.39	2.61
07/16/19	2.16	2.17	2.15	2.06	2.00	1.87	1.84	1.88	2.00	2.13	2.42	2.63
07/17/19	2.13	2.14	2.14	2.04	1.95	1.83	1.80	1.83	1.94	2.06	2.35	2.57
07/18/19	2.11	2.12	2.05	2.01	1.90	1.77	1.74	1.78	1.89	2.04	2.34	2.56
07/19/19	2.11	2.16	2.06	2.03	1.94	1.80	1.77	1.80	1.91	2.05	2.35	2.57
07/22/19	2.13	2.16	2.09	2.08	1.95	1.80	1.77	1.80	1.92	2.05	2.36	2.58
07/23/19	2.12	2.15	2.06	2.09	1.97	1.83	1.79	1.83	1.94	2.08	2.38	2.61
07/24/19	2.10	2.14	2.10	2.08	1.98	1.83	1.79	1.82	1.93	2.05	2.36	2.58
07/25/19	2.16	2.17	2.10	2.08	1.99	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.60
07/26/19	2.13	2.15	2.12	2.10	2.00	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.59
07/29/19	2.12	2.16	2.12	2.10	1.98	1.85	1.81	1.84	1.93	2.06	2.37	2.59
07/30/19	2.07	2.10	2.08	2.07	1.97	1.85	1.82	1.84	1.93	2.06	2.36	2.58
07/31/19	2.01	2.07	2.08	2.10	2.00	1.89	1.84	1.84	1.92	2.02	2.31	2.53
08/01/19	2.11	2.14	2.07	2.04	1.88	1.73	1.67	1.68	1.77	1.90	2.21	2.44
08/02/19	2.11	2.12	2.06	2.02	1.85	1.72	1.67	1.66	1.75	1.86	2.16	2.39
08/05/19	2.07	2.08	2.05	1.99	1.78	1.59	1.55	1.55	1.63	1.75	2.07	2.30
08/06/19	2.05	2.08	2.05	2.00	1.80	1.60	1.54	1.53	1.62	1.73	2.03	2.25
08/07/19	2.02	2.04	2.02	1.95	1.75	1.59	1.51	1.52	1.60	1.71	2.01	2.22
08/08/19	2.09	2.07	2.02	1.96	1.79	1.62	1.54	1.54	1.62	1.72	2.02	2.25
08/09/19	2.05	2.06	2.00	1.95	1.78	1.63	1.58	1.57	1.65	1.74	2.03	2.26
08/12/19	2.09	2.06	2.00	1.94	1.75	1.58	1.51	1.49	1.56	1.65	1.92	2.14
08/13/19	2.05	2.04	2.00	1.96	1.86	1.66	1.60	1.57	1.62	1.68	1.94	2.15
08/14/19	1.98	1.98	1.96	1.92	1.79	1.58	1.53	1.51	1.55	1.59	1.84	2.03
08/15/19	2.08	1.97	1.91	1.86	1.72	1.48	1.44	1.42	1.47	1.52	1.80	1.98
08/16/19	2.05	1.95	1.87	1.85	1.71	1.48	1.44	1.42	1.49	1.55	1.82	2.01
08/19/19	2.06	1.96	1.94	1.90	1.75	1.53	1.49	1.47	1.54	1.60	1.88	2.08
08/20/19	2.05	1.96	1.94	1.89	1.72	1.50	1.44	1.42	1.49	1.55	1.84	2.04
08/21/19	2.03	1.98	1.97	1.90	1.77	1.56	1.50	1.47	1.54	1.59	1.87	2.07
08/22/19	2.10	2.02	2.00	1.91	1.79	1.61	1.53	1.50	1.56	1.62	1.90	2.11
08/23/19	2.07	2.02	1.97	1.87	1.73	1.51	1.43	1.40	1.46	1.52	1.82	2.02
08/26/19	2.09	2.03	2.01	1.90	1.75	1.54	1.47	1.43	1.49	1.54	1.84	2.04
08/27/19	2.07	2.03	1.98	1.94	1.77	1.53	1.43	1.40	1.44	1.49	1.77	1.97
08/28/19	2.07	2.04	1.99	1.89	1.74	1.50	1.42	1.37	1.42	1.47	1.76	1.94
08/29/19	2.10	2.03	1.99	1.89	1.75	1.53	1.44	1.40	1.46	1.50	1.78	1.97
08/30/19	2.10	2.04	1.99	1.89	1.76	1.50	1.42	1.39	1.45	1.50	1.78	1.96
09/03/19	2.06	2.01	1.98	1.88	1.72	1.47	1.38	1.35	1.42	1.47	1.77	1.95
09/04/19	2.05	2.02	1.97	1.87	1.69	1.43	1.36	1.32	1.40	1.47	1.77	1.97
09/05/19	2.05	2.01	1.97	1.88	1.73	1.55	1.47	1.43	1.51	1.57	1.86	2.06
09/06/19	2.05	2.00	1.96	1.88	1.73	1.53	1.46	1.42	1.50	1.55	1.83	2.02
09/09/19	2.04	1.99	1.96	1.87	1.74	1.58	1.52	1.49	1.57	1.63	1.91	2.11
09/10/19	2.04	1.99	1.95	1.89	1.81	1.67	1.61	1.58	1.66	1.72	2.00	2.19
09/11/19	2.01	1.97	1.96	1.88	1.79	1.68	1.62	1.60	1.68	1.75	2.02	2.22
09/12/19	1.99	1.97	1.95	1.90	1.82	1.72	1.67	1.65	1.72	1.79	2.06	2.22
09/13/19	1.99	1.98	1.96	1.92	1.88	1.79	1.76	1.75	1.83	1.90	2.17	2.37
09/16/19	2.08	2.02	1.99	1.93	1.86	1.74	1.71	1.69	1.77	1.84	2.11	2.31
09/17/19	2.10	2.06	1.99	1.93	1.87	1.72	1.68	1.66	1.75	1.81	2.08	2.27
09/18/19	1.94	1.93	1.95	1.91	1.87	1.77	1.72	1.68	1.76	1.80	2.06	2.25
09/19/19	2.01	1.99	1.93	1.92	1.88	1.74	1.68	1.66	1.73	1.79	2.04	2.22
09/20/19	1.95	1.94	1.91	1.91	1.84	1.69	1.63	1.61	1.68	1.74	1.99	2.17
09/23/19	1.94	1.94	1.94	1.93	1.81	1.68	1.61	1.59	1.65	1.72	1.98	2.16
09/24/19	1.90	1.90	1.92	1.91	1.78	1.60	1.53	1.52	1.58	1.64	1.91	2.09
09/25/19	1.80	1.86	1.89	1.90	1.82	1.68	1.61	1.60	1.66	1.73	1.99	2.18
09/26/19	1.91	1.90	1.83	1.88	1.79	1.66	1.61	1.59	1.65	1.70	1.96	2.15
09/27/19	1.90	1.86	1.80	1.85	1.74	1.63	1.58	1.56	1.62	1.69	1.95	2.13
09/30/19	1.91	1.87	1.88	1.83	1.75	1.63	1.56	1.55	1.62	1.68	1.94	2.12
10/01/19	1.79	1.77	1.82	1.81	1.73	1.56	1.51	1.51	1.59	1.65	1.93	2.11
10/02/19	1.75	1.75	1.79	1.75	1.67	1.48	1.43	1.43	1.53	1.60	1.90	2.09
10/03/19	1.78	1.75	1.70	1.66	1.58	1.39	1.34	1.34	1.45	1.54	1.85	2.04
10/04/19	1.73	1.74	1.71	1.65	1.58	1.40	1.35	1.34	1.43	1.52	1.81	2.01
10/07/19	1.76	1.76	1.75	1.73	1.64	1.46	1.41	1.38	1.47	1.56	1.85	2.05
10/08/19	1.69	1.72	1.72	1.69	1.62	1.42	1.38	1.36	1.45	1.54	1.84	2.04
10/09/19	1.69	1.70	1.69	1.69	1.59	1.47	1.43	1.40	1.50	1.59	1.88	2.08
10/10/19	1.74	1.71	1.68	1.68	1.63	1.53	1.49	1.48	1.57	1.67	1.96	2.16
10/11/19	1.76	1.74	1.68	1.68	1.67	1.63	1.60	1.59	1.68	1.76	2.04	2.22
10/15/19	1.74	1.72	1.67	1.67	1.65	1.61	1.60	1.59	1.68	1.77	2.06	2.23
10/16/19	1.71	1.68	1.66	1.64	1.59	1.58	1.57	1.57	1.65	1.75	2.05	2.23
10/17/19	1.74	1.70	1.66	1.63	1.59	1.60	1.57	1.57	1.66	1.76	2.05	2.24
10/18/19	1.75	1.69	1.66	1.63	1.58	1.58	1.56	1.56	1.66	1.76	2.06	2.25
10/21/19	1.76	1.70	1.67	1.65	1.59	1.62	1.59	1.61	1.70	1.80	2.10	2.28
10/22/19	1.75	1.69	1.65	1.64	1.59	1.60	1.59	1.60	1.68	1.78	2.07	2.26
10/23/19	1.74	1.69	1.65	1.64	1.58	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.06	2.25
10/24/19	1.75	1.73	1.67	1.65	1.59	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.08	2.26
10/25/19	1.73	1.72	1.66	1.66	1.60	1.63	1.62	1.62	1.71	1.80	2.10	2.29
10/28/19	1.74	1.71	1.65	1.65	1.60	1.64	1.65	1.66	1.75	1.85	2.16	2.34
10/29/19	1.66	1.67	1.63	1.64	1.59	1.64	1.65	1.66	1.74	1.84	2.15	2.33
10/30/19	1.61	1.60	1.62	1.62	1.59	1.61	1.60	1.61	1.69	1.78	2.08	2.26
10/31/19	1.59	1.59	1.54	1.57	1.53	1.52	1.52	1.51	1.60	1.69	2.00	2.17
11/01/19	1.58	1.58	1.52	1.55	1.53	1.56	1.55	1.55	1.63	1.73	2.03	2.21
11/04/19	1.58	1.57	1.53	1.57	1.56	1.60	1.59	1.60	1.69	1.79	2.10	2.27
11/05/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.62	1.63	1.63	1.66	1.77	1.86	2.17	2.34
11/06/19	1.55	1.56	1.56	1.57	1.58	1.61	1.60	1.63	1.73	1.81	2.13	2.30
11/07/19	1.57	1.57	1.56	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.84	1.92	2.24	2.40
11/08/19	1.56	1.56	1.55	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.86	1.94	2.27	2.43
11/12/19	1.56	1.56	1.59	1.59	1.58	1.66	1.69	1.73	1.84	1.92	2.24	2.39
11/13/19	1.56	1.57	1.57	1.59	1.57	1.63	1.65	1.69	1.79	1.88	2.20	2.36
11/14/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.55	1.58	1.59	1.63	1.73	1.82	2.15	2.31
11/15/19	1.59	1.56	1.57	1.59	1.54	1.61	1.61	1.65	1.75	1.84	2.16	2.31
11/18/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.73	1.81	2.14	2.30
11/19/19	1.58	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.71	1.79	2.11	2.26
11/20/19	1.57	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.55	1.58	1.66	1.73	2.05	2.20
11/21/19	1.57	1.57	1.58	1.59	1.55	1.60	1.59	1.62	1.71	1.77	2.09	2.24
11/22/19	1.58	1.59	1.58	1.59	1.56	1.61	1.60	1.62	1.71	1.77	2.08	2.22
11/25/19	1.60	1.60	1.61	1.61	1.58	1.61	1.60	1.62	1.71	1.76	2.07	2.21
11/26/19	1.63	1.61	1.60	1.62	1.59	1.58	1.58	1.58	1.68	1.74	2.04	2.18
11/27/19	1.65	1.60	1.62	1.63	1.60	1.63	1.61	1.63	1.71	1.77	2.06	2.19
11/29/19	1.62	1.60	1.59	1.63	1.60	1.61	1.61	1.62	1.73	1.78	2.07	2.21
12/02/19	1.60	1.58	1.60	1.62	1.60	1.61	1.63	1.65	1.77	1.83	2.15	2.28
12/03/19	1.56	1.54	1.57	1.57	1.57	1.53	1.54	1.54	1.65	1.72	2.03	2.17
12/04/19	1.59	1.54	1.55	1.56	1.56	1.58	1.58	1.60	1.71	1.77	2.08	2.22
12/05/19	1.52	1.56	1.54	1.55	1.56	1.58	1.60	1.62	1.73	1.80	2.11	2.24
12/06/19	1.52	1.55	1.53	1.56	1.57	1.61	1.64	1.67	1.78	1.84	2.14	2.29
12/09/19	1.54	1.54	1.54	1.58	1.56	1.63	1.63	1.67	1.77	1.83	2.13	2.27
12/10/19	1.53	1.55	1.56	1.57	1.56	1.65	1.67	1.68	1.78	1.85	2.12	2.26
12/11/19	1.54	1.56	1.57	1.58	1.55	1.61	1.62	1.64	1.74	1.79	2.08	2.23
12/12/19	1.57	1.57	1.56	1.57	1.55	1.66	1.69	1.73	1.84	1.90	2.18	2.32
12/13/19	1.55	1.57	1.57	1.56	1.54	1.61	1.62	1.66	1.76	1.82	2.11	2.26
12/16/19	1.57	1.57	1.57	1.58	1.54	1.65	1.67	1.72	1.82	1.89	2.17	2.30
12/17/19	1.56	1.56	1.56	1.58	1.53	1.63	1.66	1.71	1.82	1.89	2.18	2.31
12/18/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.54	1.63	1.67	1.74	1.86	1.92	2.22	2.35
12/19/19	1.54	1.58	1.57	1.57	1.52	1.62	1.65	1.73	1.84	1.92	2.21	2.35
12/20/19	1.57	1.59	1.58	1.58	1.52	1.63	1.67	1.73	1.84	1.92	2.21	2.34
12/23/19	1.57	1.57	1.59	1.60	1.53	1.64	1.67	1.75	1.86	1.93	2.22	2.35
12/24/19	1.55	1.58	1.58	1.61	1.53	1.62	1.64	1.72	1.83	1.90	2.20	2.33
12/26/19	1.59	1.60	1.58	1.61	1.53	1.64	1.65	1.72	1.85	1.90	2.19	2.33
12/27/19	1.56	1.56	1.57	1.59	1.51	1.59	1.60	1.68	1.80	1.88	2.18	2.32
12/30/19	1.51	1.53	1.57	1.60	1.57	1.58	1.59	1.68	1.81	1.90	2.21	2.34
12/31/19	1.48	1.51	1.55	1.60	1.59	1.58	1.62	1.69	1.83	1.92	2.25	2.39";

iTBillsUSA2020="01/02/20	1.53	1.55	1.54	1.57	1.56	1.58	1.59	1.67	1.79	1.88	2.19	2.33
01/03/20	1.52	1.55	1.52	1.55	1.55	1.53	1.54	1.59	1.71	1.80	2.11	2.26
01/06/20	1.54	1.54	1.56	1.56	1.54	1.54	1.56	1.61	1.72	1.81	2.13	2.28
01/07/20	1.52	1.53	1.54	1.56	1.53	1.54	1.55	1.62	1.74	1.83	2.16	2.31
01/08/20	1.50	1.53	1.54	1.56	1.55	1.58	1.61	1.67	1.78	1.87	2.21	2.35
01/09/20	1.53	1.55	1.54	1.56	1.54	1.58	1.59	1.65	1.77	1.85	2.17	2.38
01/10/20	1.52	1.55	1.54	1.55	1.53	1.56	1.59	1.63	1.74	1.83	2.14	2.28
01/13/20	1.54	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.60	1.65	1.76	1.85	2.16	2.30
01/14/20	1.53	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.59	1.63	1.74	1.82	2.12	2.27
01/15/20	1.53	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.56	1.60	1.71	1.79	2.09	2.23
01/16/20	1.54	1.56	1.55	1.56	1.54	1.58	1.58	1.63	1.73	1.81	2.11	2.26
01/17/20	1.54	1.56	1.56	1.57	1.56	1.58	1.56	1.63	1.74	1.84	2.16	2.29
01/21/20	1.52	1.54	1.56	1.57	1.54	1.53	1.53	1.57	1.69	1.78	2.10	2.23
01/22/20	1.52	1.53	1.55	1.56	1.55	1.53	1.52	1.57	1.68	1.77	2.07	2.22
01/23/20	1.55	1.57	1.55	1.56	1.55	1.51	1.51	1.55	1.65	1.74	2.03	2.18
01/24/20	1.54	1.55	1.54	1.55	1.55	1.49	1.48	1.51	1.61	1.70	2.00	2.14
01/27/20	1.53	1.55	1.55	1.57	1.53	1.44	1.41	1.44	1.52	1.61	1.91	2.05
01/28/20	1.53	1.57	1.57	1.58	1.53	1.45	1.45	1.47	1.56	1.65	1.95	2.10
01/29/20	1.52	1.55	1.56	1.57	1.51	1.42	1.39	1.41	1.51	1.60	1.89	2.05
01/30/20	1.59	1.58	1.57	1.57	1.48	1.41	1.37	1.39	1.49	1.57	1.88	2.04
01/31/20	1.56	1.57	1.55	1.54	1.45	1.33	1.30	1.32	1.42	1.51	1.83	1.99
02/03/20	1.56	1.57	1.57	1.56	1.46	1.36	1.34	1.35	1.45	1.54	1.84	2.01
02/04/20	1.55	1.57	1.57	1.57	1.48	1.41	1.40	1.42	1.52	1.61	1.91	2.08
02/05/20	1.55	1.56	1.57	1.57	1.49	1.44	1.43	1.46	1.57	1.66	1.97	2.14
02/06/20	1.59	1.59	1.57	1.58	1.51	1.44	1.43	1.45	1.56	1.65	1.94	2.11
02/07/20	1.57	1.58	1.56	1.57	1.49	1.41	1.39	1.41	1.51	1.59	1.89	2.05
02/10/20	1.58	1.58	1.58	1.58	1.45	1.37	1.36	1.38	1.47	1.56	1.87	2.03
02/11/20	1.57	1.58	1.57	1.55	1.48	1.41	1.39	1.40	1.50	1.59	1.89	2.05
02/12/20	1.57	1.59	1.58	1.56	1.49	1.44	1.42	1.45	1.55	1.62	1.93	2.09
02/13/20	1.59	1.59	1.59	1.56	1.48	1.44	1.42	1.43	1.53	1.61	1.91	2.07
02/14/20	1.60	1.60	1.58	1.56	1.49	1.42	1.40	1.42	1.51	1.59	1.89	2.04
02/18/20	1.61	1.60	1.58	1.56	1.47	1.41	1.37	1.39	1.48	1.55	1.85	2.00
02/19/20	1.61	1.61	1.58	1.56	1.47	1.42	1.39	1.41	1.50	1.56	1.86	2.01
02/20/20	1.61	1.60	1.58	1.55	1.46	1.39	1.35	1.37	1.45	1.52	1.81	1.97
02/21/20	1.60	1.60	1.56	1.53	1.43	1.34	1.30	1.30	1.39	1.46	1.75	1.90
02/24/20	1.60	1.59	1.53	1.49	1.35	1.26	1.21	1.21	1.30	1.38	1.68	1.84
02/25/20	1.59	1.58	1.53	1.47	1.30	1.20	1.16	1.16	1.25	1.33	1.63	1.80
02/26/20	1.59	1.56	1.53	1.42	1.26	1.16	1.14	1.14	1.25	1.33	1.64	1.81
02/27/20	1.56	1.53	1.45	1.33	1.18	1.11	1.08	1.11	1.22	1.30	1.61	1.79
02/28/20	1.45	1.37	1.27	1.11	0.97	0.86	0.85	0.89	1.03	1.13	1.46	1.65
03/02/20	1.41	1.27	1.13	0.95	0.89	0.84	0.85	0.88	1.01	1.10	1.46	1.66
03/03/20	1.11	1.05	0.95	0.83	0.73	0.71	0.72	0.77	0.91	1.02	1.44	1.64
03/04/20	1.00	0.87	0.72	0.68	0.59	0.67	0.68	0.75	0.90	1.02	1.45	1.67
03/05/20	0.92	0.83	0.62	0.53	0.48	0.59	0.61	0.67	0.81	0.92	1.34	1.56
03/06/20	0.79	0.64	0.45	0.41	0.39	0.49	0.53	0.58	0.69	0.74	1.09	1.25
03/09/20	0.57	0.52	0.33	0.27	0.31	0.38	0.40	0.46	0.56	0.54	0.87	0.99
03/10/20	0.57	0.55	0.44	0.43	0.43	0.50	0.58	0.63	0.73	0.76	1.16	1.28
03/11/20	0.42	0.42	0.42	0.40	0.40	0.50	0.58	0.66	0.78	0.82	1.13	1.30
03/12/20	0.41	0.33	0.33	0.37	0.39	0.50	0.58	0.66	0.82	0.88	1.27	1.49
03/13/20	0.33	0.30	0.28	0.38	0.38	0.49	0.58	0.70	0.89	0.94	1.31	1.56
03/16/20	0.25	0.25	0.24	0.29	0.29	0.36	0.43	0.49	0.67	0.73	1.10	1.34
03/17/20	0.12	0.18	0.19	0.24	0.30	0.47	0.54	0.66	0.91	1.02	1.45	1.63
03/18/20	0.04	0.03	0.02	0.08	0.21	0.54	0.66	0.79	1.08	1.18	1.60	1.77
03/19/20	0.04	0.04	0.04	0.06	0.20	0.44	0.53	0.66	1.00	1.12	1.56	1.78
03/20/20	0.04	0.05	0.05	0.05	0.15	0.37	0.41	0.52	0.82	0.92	1.35	1.55
03/23/20	0.01	0.04	0.02	0.08	0.17	0.28	0.31	0.38	0.63	0.76	1.12	1.33
03/24/20	0.01	0.01	0.01	0.09	0.25	0.38	0.44	0.52	0.75	0.84	1.19	1.39
03/25/20	0.00	0.00	0.00	0.07	0.19	0.34	0.41	0.56	0.77	0.88	1.23	1.45
03/26/20	0.01	0.01	0.00	0.04	0.13	0.30	0.36	0.51	0.72	0.83	1.20	1.42
03/27/20	0.01	0.03	0.03	0.02	0.11	0.25	0.30	0.41	0.60	0.72	1.09	1.29
03/30/20	0.04	0.07	0.12	0.12	0.14	0.23	0.29	0.39	0.57	0.70	1.10	1.31
03/31/20	0.05	0.12	0.11	0.15	0.17	0.23	0.29	0.37	0.55	0.70	1.15	1.35
04/01/20	0.03	0.07	0.09	0.14	0.16	0.23	0.28	0.37	0.51	0.62	1.04	1.27
04/02/20	0.09	0.10	0.09	0.15	0.14	0.23	0.29	0.39	0.53	0.63	1.04	1.26
04/03/20	0.09	0.11	0.10	0.15	0.15	0.23	0.30	0.39	0.52	0.62	1.05	1.24
04/06/20	0.09	0.13	0.15	0.17	0.20	0.27	0.35	0.44	0.58	0.67	1.08	1.27
04/07/20	0.10	0.13	0.14	0.20	0.20	0.28	0.36	0.48	0.64	0.75	1.13	1.32
04/08/20	0.14	0.17	0.22	0.24	0.23	0.27	0.34	0.47	0.65	0.77	1.18	1.37
04/09/20	0.20	0.27	0.25	0.24	0.25	0.23	0.29	0.41	0.60	0.73	1.15	1.35
04/13/20	0.17	0.29	0.26	0.27	0.27	0.25	0.31	0.44	0.63	0.76	1.19	1.39
04/14/20	0.17	0.19	0.20	0.24	0.25	0.23	0.29	0.42	0.61	0.76	1.19	1.41
04/15/20	0.14	0.15	0.14	0.19	0.19	0.20	0.24	0.34	0.49	0.63	1.06	1.27
04/16/20	0.14	0.15	0.14	0.18	0.17	0.20	0.25	0.35	0.50	0.61	1.01	1.21
04/17/20	0.12	0.12	0.12	0.16	0.16	0.20	0.26	0.36	0.53	0.65	1.08	1.27
04/20/20	0.10	0.10	0.12	0.15	0.15	0.20	0.26	0.35	0.51	0.63	1.04	1.23
04/21/20	0.08	0.08	0.11	0.14	0.17	0.20	0.24	0.34	0.48	0.58	0.98	1.17
04/22/20	0.09	0.09	0.12	0.14	0.16	0.22	0.26	0.37	0.52	0.63	1.03	1.22
04/23/20	0.09	0.12	0.11	0.14	0.17	0.22	0.26	0.37	0.51	0.61	0.99	1.18
04/24/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.18	0.22	0.26	0.36	0.51	0.60	0.98	1.17
04/27/20	0.09	0.13	0.12	0.15	0.17	0.24	0.29	0.41	0.56	0.67	1.06	1.25
04/28/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.26	0.37	0.52	0.62	1.00	1.20
04/29/20	0.10	0.09	0.10	0.12	0.18	0.20	0.24	0.36	0.52	0.63	1.02	1.24
04/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.16	0.20	0.24	0.36	0.53	0.64	1.05	1.28
05/01/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.17	0.20	0.25	0.36	0.53	0.64	1.04	1.27
05/04/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.16	0.19	0.24	0.36	0.52	0.64	1.05	1.29
05/05/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.19	0.24	0.36	0.53	0.66	1.07	1.32
05/06/20	0.08	0.10	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.37	0.57	0.72	1.16	1.41
05/07/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.15	0.13	0.19	0.29	0.49	0.63	1.05	1.31
05/08/20	0.10	0.11	0.12	0.15	0.15	0.16	0.21	0.33	0.53	0.69	1.12	1.39
05/11/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.36	0.56	0.73	1.16	1.43
05/12/20	0.10	0.11	0.13	0.16	0.16	0.17	0.22	0.34	0.53	0.69	1.11	1.38
05/13/20	0.10	0.10	0.13	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.50	0.64	1.07	1.35
05/14/20	0.09	0.10	0.12	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.48	0.63	1.03	1.30
05/15/20	0.09	0.09	0.12	0.15	0.15	0.16	0.19	0.31	0.49	0.64	1.05	1.32
05/18/20	0.10	0.11	0.13	0.15	0.17	0.18	0.24	0.38	0.57	0.73	1.17	1.44
05/19/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.17	0.22	0.35	0.54	0.70	1.15	1.43
05/20/20	0.08	0.11	0.12	0.14	0.16	0.16	0.21	0.34	0.53	0.68	1.19	1.40
05/21/20	0.09	0.11	0.12	0.14	0.16	0.17	0.21	0.35	0.53	0.68	1.16	1.40
05/22/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.17	0.17	0.21	0.34	0.51	0.66	1.12	1.37
05/26/20	0.10	0.12	0.14	0.17	0.17	0.18	0.22	0.35	0.53	0.69	1.19	1.43
05/27/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.34	0.52	0.68	1.19	1.44
05/28/20	0.14	0.15	0.15	0.18	0.17	0.17	0.22	0.34	0.54	0.70	1.23	1.47
05/29/20	0.13	0.14	0.14	0.18	0.17	0.16	0.19	0.30	0.50	0.65	1.18	1.41
06/01/20	0.12	0.14	0.14	0.18	0.17	0.14	0.20	0.31	0.50	0.66	1.22	1.46
06/02/20	0.12	0.13	0.15	0.18	0.17	0.17	0.20	0.32	0.52	0.68	1.24	1.48
06/03/20	0.12	0.14	0.16	0.19	0.17	0.19	0.26	0.38	0.59	0.77	1.32	1.56
06/04/20	0.13	0.15	0.15	0.18	0.17	0.19	0.26	0.40	0.63	0.82	1.38	1.61
06/05/20	0.13	0.14	0.15	0.18	0.18	0.22	0.29	0.47	0.71	0.91	1.46	1.68
06/08/20	0.15	0.15	0.17	0.19	0.19	0.22	0.29	0.45	0.69	0.88	1.43	1.65
06/09/20	0.14	0.17	0.19	0.19	0.19	0.20	0.25	0.40	0.65	0.84	1.37	1.59
06/10/20	0.13	0.16	0.17	0.19	0.18	0.17	0.22	0.33	0.56	0.75	1.31	1.53
06/11/20	0.14	0.16	0.17	0.18	0.19	0.19	0.22	0.32	0.51	0.66	1.19	1.41
06/12/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.18	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/15/20	0.15	0.16	0.18	0.19	0.17	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/16/20	0.14	0.15	0.17	0.19	0.18	0.21	0.23	0.34	0.56	0.75	1.31	1.54
06/17/20	0.13	0.15	0.17	0.18	0.19	0.19	0.23	0.34	0.55	0.74	1.30	1.52
06/18/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.19	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.24	1.47
06/19/20	0.13	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.33	0.53	0.70	1.23	1.47
06/22/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.17	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.23	1.46
06/23/20	0.12	0.14	0.16	0.17	0.18	0.18	0.22	0.33	0.54	0.72	1.25	1.49
06/24/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.17	0.19	0.21	0.33	0.52	0.69	1.21	1.44
06/25/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.17	0.17	0.21	0.32	0.53	0.68	1.20	1.43
06/26/20	0.12	0.15	0.14	0.17	0.17	0.17	0.19	0.30	0.49	0.64	1.15	1.37
06/29/20	0.11	0.14	0.14	0.18	0.16	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.16	1.39
06/30/20	0.13	0.14	0.16	0.18	0.16	0.16	0.18	0.29	0.49	0.66	1.18	1.41
07/01/20	0.12	0.12	0.14	0.17	0.16	0.17	0.19	0.31	0.52	0.69	1.20	1.43
07/02/20	0.13	0.14	0.14	0.16	0.16	0.16	0.19	0.29	0.50	0.68	1.20	1.43
07/06/20	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.16	0.19	0.31	0.51	0.69	1.21	1.45
07/07/20	0.12	0.14	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.29	0.48	0.65	1.15	1.38
07/08/20	0.11	0.13	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.67	1.16	1.39
07/09/20	0.11	0.12	0.13	0.16	0.15	0.16	0.18	0.28	0.46	0.62	1.09	1.32
07/10/20	0.10	0.12	0.13	0.15	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.65	1.12	1.33
07/13/20	0.11	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.19	0.30	0.48	0.64	1.11	1.33
07/14/20	0.11	0.14	0.15	0.14	0.17	0.14	0.19	0.28	0.47	0.63	1.09	1.30
07/15/20	0.12	0.13	0.16	0.15	0.15	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.11	1.33
07/16/20	0.12	0.11	0.11	0.13	0.14	0.16	0.17	0.28	0.46	0.62	1.09	1.31
07/17/20	0.11	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.18	0.29	0.47	0.64	1.11	1.33
07/20/20	0.11	0.12	0.13	0.14	0.14	0.16	0.18	0.29	0.47	0.62	1.10	1.32
07/21/20	0.09	0.11	0.13	0.13	0.15	0.14	0.17	0.27	0.45	0.61	1.09	1.31
07/22/20	0.09	0.12	0.13	0.14	0.14	0.14	0.17	0.27	0.45	0.60	1.08	1.29
07/23/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.16	0.27	0.44	0.59	1.03	1.24
07/24/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.16	0.14	0.17	0.27	0.44	0.59	1.03	1.23
07/27/20	0.10	0.10	0.11	0.14	0.14	0.15	0.18	0.30	0.46	0.62	1.05	1.25
07/28/20	0.09	0.11	0.11	0.12	0.14	0.14	0.16	0.26	0.44	0.59	1.01	1.22
07/29/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.12	0.15	0.25	0.43	0.58	1.03	1.24
07/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.11	0.11	0.14	0.23	0.40	0.55	0.98	1.20
07/31/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/03/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.11	0.13	0.22	0.40	0.56	1.01	1.23
08/04/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.11	0.10	0.19	0.36	0.52	0.96	1.19
08/05/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.12	0.11	0.13	0.22	0.39	0.55	1.00	1.22
08/06/20	0.07	0.11	0.10	0.11	0.14	0.11	0.13	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.13	0.14	0.23	0.41	0.57	1.01	1.23
08/10/20	0.09	0.11	0.11	0.13	0.13	0.14	0.15	0.24	0.42	0.59	1.04	1.25
08/11/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.15	0.16	0.18	0.27	0.46	0.64	1.10	1.32
08/12/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.19	0.30	0.50	0.69	1.15	1.37
08/13/20	0.08	0.10	0.10	0.12	0.14	0.16	0.19	0.32	0.52	0.71	1.20	1.42
08/14/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.51	0.71	1.21	1.45
08/17/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.49	0.69	1.19	1.43
08/18/20	0.08	0.09	0.09	0.13	0.13	0.14	0.17	0.27	0.47	0.67	1.16	1.40
08/19/20	0.07	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.17	0.29	0.48	0.68	1.20	1.42
08/20/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.12	0.13	0.15	0.26	0.46	0.65	1.15	1.38
08/21/20	0.07	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.16	0.27	0.46	0.64	1.13	1.35
08/24/20	0.09	0.10	0.12	0.12	0.14	0.14	0.18	0.28	0.47	0.65	1.14	1.35
08/25/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.18	0.30	0.49	0.69	1.18	1.39
08/26/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.28	0.50	0.69	1.20	1.41
08/27/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.31	0.53	0.74	1.28	1.50
08/28/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.28	0.51	0.74	1.29	1.52
08/31/20	0.08	0.10	0.11	0.13	0.12	0.14	0.15	0.28	0.50	0.72	1.26	1.49
09/01/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.12	0.13	0.14	0.26	0.46	0.68	1.20	1.43
09/02/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.16	0.26	0.45	0.66	1.16	1.38
09/03/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.12	0.13	0.15	0.24	0.43	0.63	1.13	1.34
09/04/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.50	0.72	1.25	1.46
09/08/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.15	0.14	0.17	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/09/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.14	0.14	0.17	0.28	0.48	0.71	1.25	1.45
09/10/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.14	0.17	0.26	0.46	0.68	1.22	1.43
09/11/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.13	0.13	0.16	0.26	0.45	0.67	1.21	1.42
09/14/20	0.10	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/15/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.43
09/16/20	0.08	0.11	0.12	0.12	0.12	0.14	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.45
09/17/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/18/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.16	0.29	0.48	0.70	1.24	1.45
09/21/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.22	1.43
09/22/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/23/20	0.08	0.09	0.11	0.11	0.13	0.14	0.15	0.28	0.46	0.68	1.21	1.42
09/24/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.67	1.19	1.40
09/25/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.26	0.45	0.66	1.19	1.40
09/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.12	0.14	0.16	0.26	0.46	0.67	1.20	1.42
09/29/20	0.07	0.08	0.09	0.11	0.12	0.11	0.13	0.24	0.44	0.66	1.19	1.41
09/30/20	0.08	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.46
10/01/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.23	1.45
10/02/20	0.10	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.48	0.70	1.25	1.48
10/05/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.19	0.33	0.55	0.78	1.34	1.57
10/06/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.14	0.14	0.17	0.32	0.53	0.76	1.33	1.56
10/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.21	0.35	0.56	0.81	1.37	1.60
10/08/20	0.09	0.09	0.09	0.12	0.13	0.13	0.18	0.33	0.54	0.78	1.34	1.57
10/09/20	0.10	0.11	0.10	0.12	0.15	0.16	0.20	0.34	0.55	0.79	1.34	1.58
10/13/20	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.18	0.31	0.52	0.74	1.29	1.52
10/14/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.51	0.73	1.28	1.50
10/15/20	0.10	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.52	0.74	1.29	1.52
10/16/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.53	0.76	1.30	1.52
10/19/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.34	0.54	0.78	1.32	1.55
10/20/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.19	0.34	0.57	0.81	1.37	1.60
10/21/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.20	0.36	0.58	0.83	1.40	1.62
10/22/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.21	0.38	0.62	0.87	1.43	1.67
10/23/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.18	0.21	0.37	0.61	0.85	1.41	1.64
10/26/20	0.08	0.09	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.35	0.58	0.81	1.37	1.59
10/27/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.57
10/28/20	0.07	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.56
10/29/20	0.08	0.10	0.09	0.10	0.12	0.16	0.20	0.38	0.61	0.85	1.39	1.62
10/30/20	0.08	0.09	0.09	0.11	0.13	0.14	0.19	0.38	0.64	0.88	1.43	1.65
11/02/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.38	0.63	0.87	1.41	1.63
11/03/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.17	0.21	0.39	0.65	0.90	1.44	1.66
11/04/20	0.08	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.55	0.78	1.33	1.55
11/05/20	0.09	0.10	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.56	0.79	1.32	1.54
11/06/20	0.10	0.10	0.10	0.11	0.12	0.16	0.21	0.36	0.59	0.83	1.37	1.60
11/09/20	0.10	0.10	0.11	0.11	0.12	0.17	0.25	0.44	0.70	0.96	1.51	1.73
11/10/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.19	0.26	0.46	0.72	0.98	1.53	1.75
11/12/20	0.10	0.11	0.10	0.10	0.13	0.17	0.23	0.40	0.64	0.88	1.42	1.64
11/13/20	0.10	0.09	0.09	0.10	0.12	0.17	0.23	0.41	0.65	0.89	1.43	1.65
11/16/20	0.09	0.10	0.09	0.12	0.12	0.19	0.24	0.41	0.66	0.91	1.44	1.66
11/17/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.12	0.18	0.22	0.39	0.63	0.87	1.40	1.62
11/18/20	0.07	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.40	0.64	0.88	1.42	1.62
11/19/20	0.08	0.08	0.07	0.10	0.11	0.18	0.22	0.39	0.63	0.86	1.38	1.58
11/20/20	0.09	0.09	0.07	0.10	0.11	0.16	0.21	0.38	0.62	0.83	1.33	1.53
11/23/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.16	0.22	0.39	0.64	0.86	1.36	1.56
11/24/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.39	0.65	0.88	1.40	1.60
11/25/20	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.17	0.21	0.39	0.65	0.88	1.41	1.62
11/27/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.20	0.37	0.61	0.84	1.36	1.57
11/30/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.16	0.19	0.36	0.62	0.84	1.37	1.58
12/01/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.12	0.17	0.22	0.42	0.68	0.92	1.46	1.66
12/02/20	0.07	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.42	0.69	0.95	1.50	1.70
12/03/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.40	0.67	0.92	1.46	1.67
12/04/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.11	0.16	0.21	0.42	0.70	0.97	1.53	1.73
12/07/20	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.20	0.40	0.67	0.94	1.49	1.69
12/08/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.46	1.67
12/09/20	0.07	0.07	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.41	0.68	0.95	1.48	1.69
12/10/20	0.07	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.44	1.65
12/11/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.11	0.18	0.37	0.63	0.90	1.42	1.63
12/14/20	0.07	0.08	0.09	0.08	0.10	0.13	0.17	0.37	0.63	0.90	1.43	1.63
12/15/20	0.07	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.18	0.37	0.64	0.92	1.45	1.65
12/16/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.37	0.64	0.92	1.46	1.66
12/17/20	0.08	0.09	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.38	0.66	0.94	1.47	1.68
12/18/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.39	0.67	0.95	1.49	1.70
12/21/20	0.08	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.39	0.66	0.95	1.48	1.68
12/22/20	0.07	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.17	0.37	0.64	0.93	1.45	1.65
12/23/20	0.07	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.38	0.67	0.96	1.49	1.70
12/24/20	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.37	0.66	0.94	1.46	1.66
12/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.13	0.17	0.38	0.65	0.94	1.46	1.67
12/29/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.11	0.12	0.17	0.37	0.66	0.94	1.47	1.67
12/30/20	0.06	0.06	0.08	0.09	0.12	0.12	0.17	0.37	0.66	0.93	1.46	1.66
12/31/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.36	0.65	0.93	1.45	1.65";

iTBillsUSA2021="01/04/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.36	0.64	0.93	1.46	1.66
01/05/21	0.08	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.38	0.66	0.96	1.49	1.70
01/06/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.20	0.43	0.74	1.04	1.60	1.81
01/07/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.22	0.46	0.78	1.08	1.64	1.85
01/08/21	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.24	0.49	0.81	1.13	1.67	1.87
01/11/21	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.22	0.50	0.84	1.15	1.68	1.88
01/12/21	0.09	0.08	0.09	0.09	0.11	0.14	0.23	0.50	0.83	1.15	1.68	1.88
01/13/21	0.09	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.22	0.48	0.80	1.10	1.63	1.82
01/14/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.16	0.23	0.49	0.82	1.15	1.69	1.88
01/15/21	0.08	0.09	0.09	0.10	0.10	0.13	0.20	0.46	0.78	1.11	1.66	1.85
01/19/21	0.07	0.09	0.09	0.11	0.10	0.14	0.21	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/20/21	0.08	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/21/21	0.07	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.19	0.45	0.79	1.12	1.68	1.87
01/22/21	0.07	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.44	0.77	1.10	1.66	1.85
01/25/21	0.07	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.42	0.73	1.05	1.61	1.80
01/26/21	0.05	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.18	0.42	0.74	1.05	1.61	1.80
01/27/21	0.05	0.06	0.08	0.09	0.09	0.12	0.18	0.41	0.72	1.04	1.60	1.79
01/28/21	0.05	0.06	0.07	0.08	0.08	0.12	0.18	0.42	0.75	1.07	1.63	1.81
01/29/21	0.07	0.07	0.06	0.07	0.10	0.11	0.19	0.45	0.79	1.11	1.68	1.87
02/01/21	0.06	0.07	0.07	0.08	0.08	0.11	0.17	0.42	0.76	1.09	1.66	1.84
02/02/21	0.04	0.05	0.07	0.08	0.08	0.11	0.18	0.45	0.79	1.12	1.69	1.87
02/03/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.11	0.19	0.46	0.81	1.15	1.73	1.92
02/04/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.18	0.46	0.81	1.15	1.75	1.93
02/05/21	0.02	0.03	0.03	0.05	0.06	0.09	0.19	0.47	0.83	1.19	1.79	1.97
02/08/21	0.04	0.03	0.05	0.05	0.07	0.11	0.20	0.48	0.83	1.19	1.78	1.96
02/09/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.19	0.48	0.83	1.18	1.78	1.95
02/10/21	0.05	0.04	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.80	1.15	1.75	1.92
02/11/21	0.05	0.05	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.81	1.16	1.77	1.94
02/12/21	0.03	0.04	0.04	0.05	0.06	0.11	0.20	0.50	0.85	1.20	1.83	2.01
02/16/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.23	0.57	0.94	1.30	1.92	2.08
02/17/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.21	0.57	0.94	1.29	1.92	2.06
02/18/21	0.03	0.03	0.03	0.04	0.06	0.11	0.21	0.56	0.94	1.29	1.91	2.08
02/19/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.07	0.11	0.22	0.59	0.98	1.34	1.98	2.14
02/22/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.11	0.22	0.61	1.00	1.37	2.02	2.19
02/23/21	0.03	0.02	0.04	0.05	0.08	0.11	0.22	0.59	1.00	1.37	2.03	2.21
02/24/21	0.03	0.03	0.03	0.05	0.08	0.12	0.24	0.62	1.02	1.38	2.07	2.24
02/25/21	0.04	0.03	0.04	0.06	0.09	0.17	0.34	0.81	1.23	1.54	2.25	2.33
02/26/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.30	0.75	1.15	1.44	2.08	2.17
03/01/21	0.03	0.03	0.05	0.07	0.08	0.13	0.27	0.71	1.12	1.45	2.11	2.23
03/02/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.26	0.67	1.08	1.42	2.09	2.21
03/03/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.08	0.14	0.29	0.73	1.14	1.47	2.12	2.25
03/04/21	0.03	0.05	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.77	1.21	1.54	2.18	2.30
03/05/21	0.04	0.04	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.79	1.23	1.56	2.18	2.28
03/08/21	0.04	0.04	0.05	0.06	0.09	0.17	0.34	0.86	1.28	1.59	2.20	2.31
03/09/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.10	0.17	0.35	0.83	1.23	1.55	2.16	2.26
03/10/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.08	0.16	0.32	0.80	1.20	1.53	2.15	2.24
03/11/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.31	0.78	1.20	1.54	2.18	2.29
03/12/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.09	0.14	0.34	0.85	1.30	1.64	2.31	2.40
03/15/21	0.02	0.02	0.04	0.06	0.08	0.14	0.33	0.84	1.28	1.62	2.27	2.37
03/16/21	0.01	0.02	0.02	0.06	0.07	0.15	0.33	0.83	1.28	1.62	2.30	2.38
03/17/21	0.01	0.02	0.02	0.05	0.07	0.13	0.29	0.80	1.27	1.63	2.32	2.42
03/18/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.08	0.16	0.33	0.86	1.35	1.71	2.36	2.45
03/19/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.07	0.16	0.33	0.90	1.38	1.74	2.36	2.45
03/22/21	0.02	0.02	0.03	0.05	0.06	0.15	0.32	0.87	1.34	1.69	2.29	2.38
03/23/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.08	0.15	0.31	0.83	1.29	1.63	2.24	2.34
03/24/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.14	0.31	0.83	1.27	1.62	2.21	2.31
03/25/21	0.02	0.03	0.02	0.04	0.07	0.14	0.30	0.82	1.29	1.63	2.24	2.34
03/26/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.14	0.31	0.85	1.32	1.67	2.27	2.37
03/29/21	0.02	0.03	0.03	0.04	0.06	0.14	0.32	0.89	1.37	1.73	2.32	2.43
03/30/21	0.01	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.33	0.90	1.39	1.73	2.29	2.38
03/31/21	0.01	0.01	0.03	0.05	0.07	0.16	0.35	0.92	1.40	1.74	2.31	2.41
04/01/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.17	0.35	0.90	1.37	1.69	2.24	2.34
04/02/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.19	0.39	0.97	1.42	1.72	2.27	2.35
04/05/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.17	0.37	0.94	1.40	1.73	2.28	2.36
04/06/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.88	1.34	1.67	2.24	2.32
04/07/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.87	1.34	1.68	2.26	2.35
04/08/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.05	0.14	0.33	0.85	1.30	1.64	2.22	2.32
04/09/21	0.02	0.01	0.02	0.03	0.06	0.16	0.35	0.87	1.33	1.67	2.23	2.34
04/12/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.18	0.38	0.89	1.35	1.69	2.24	2.34
04/13/21	0.03	0.02	0.03	0.05	0.06	0.16	0.35	0.85	1.29	1.64	2.21	2.32
04/14/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.87	1.31	1.64	2.22	2.32
04/15/21	0.02	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.56	2.13	2.23
04/16/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.84	1.26	1.59	2.15	2.26
04/19/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.08	0.16	0.34	0.85	1.28	1.61	2.18	2.29
04/20/21	0.01	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.31	0.81	1.25	1.58	2.16	2.27
04/21/21	0.00	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.32	0.81	1.24	1.57	2.16	2.26
04/22/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.57	2.13	2.24
04/23/21	0.01	0.02	0.03	0.03	0.07	0.16	0.34	0.83	1.26	1.58	2.14	2.25
04/26/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.18	0.35	0.85	1.27	1.58	2.13	2.24
04/27/21	0.01	0.02	0.01	0.04	0.06	0.17	0.36	0.88	1.32	1.63	2.18	2.29
04/28/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.17	0.35	0.86	1.31	1.63	2.19	2.29
04/29/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.20	2.31
04/30/21	0.01	0.02	0.01	0.03	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.19	2.30";

iTBillsUSA2019split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2019],13];
iTBillsUSA2020split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2020],13];
iTBillsUSA2021split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2021],13];

(iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split])//Dimensions

iTBillsUSA2019split//First

DateList[{"01/02/19",{"Day","Month","YearShort"}}][[1;;3]]

(*
column1=Map[DateList[{#,{"Day","Month","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];columns2to13=Map[Rest,iTBillsUSAAlloriginal];
Join[column1,columns2to13]
*)
iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split];iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]=Map[DateList[{#,{"Day","Month","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];
iTBillsUSAAlloriginal=iTBillsUSAAlloriginal//ToExpression;

Estimating CAPM (odhady parametrů α a β)

Uvažujeme 30 společností zahrnutých do burzovního indexu ^DJI (members of ^DJI). Tento index bude v dalším reprezentovat i tržní portfolio.

membersDJI={"NYSE:MMM","NYSE:AXP","NASDAQ:AMGN","NASDAQ:AAPL","NYSE:BA","NYSE:CAT","NYSE:CVX","NASDAQ:CSCO","NYSE:KO","NYSE:DIS","NYSE:DOW","NYSE:GS","NYSE:HD","NYSE:HON","NASDAQ:INTC","NYSE:IBM","NYSE:JNJ","NYSE:JPM","NYSE:MCD","NYSE:MRK","NASDAQ:MSFT","NYSE:NKE","NYSE:PG","NYSE:CRM","NYSE:TRV","NYSE:UNH","NYSE:VZ","NYSE:V","NASDAQ:WBA","NYSE:WMT"};

Data (Období dvou let: 2019-04-15 až 2021-04-15)

!!!!!!!20210510 Download data from the server (prices ^DJI, returns ^DJI, returns companies in DJI:

Ceny ( = hodnoty indexu) DJI, výnosy DJI, výnosy firem zahrnutých v DJI

(* Hodnoty indexu ^DJI *)
iPricesDJI=FinancialData["^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
(* Výnosy indexu ^DJI *)
iReturnsDJI=FinancialData["^DJI","Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
(* Výnosy 30 společností ^DJI *)
iReturnsMembersDJI=Map[FinancialData[#,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"]&,membersDJI];
(* Ceny 30 společností ^DJI *)
iPricesMembersDJI=Map[FinancialData[#,{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"]&,membersDJI];

Map[Length,{iPricesDJI,iReturnsDJI,iReturnsMembersDJI,iPricesMembersDJI}]
Map[Dimensions,{iReturnsMembersDJI,iPricesMembersDJI}]
Map[Length,iReturnsMembersDJI]
%//Union

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["20210511iPricesDJI.XML",iPricesDJI];
Export["20210511iReturnsDJI.XML",iReturnsDJI];
Export["20210511iPricesMembersDJI.XML",iPricesMembersDJI];
Export["20210511iReturnsMembersDJI.XML",iReturnsMembersDJI];

Vidíme, že pozorované počty (kótované výnosy) nejsou stejné pro všechny společnosti přestože se jedná o firmy pouze z USA. Pro rigorózní analýzu použijeme pouze kotace v kalendářních datech společných pro všechny společnosti. Poznamenejme, že úprava dat je většinou nutná pro analýzu dat  z různých zemí (např. USA versus Německo) už třeba kvůli různým svátkům a tudíž odlišným obchodním dnům. Takovéto úpravě dat budeme říkat konsolidace dat.

Ukázka struktury dat:

iPricesDJI[[1;;2]]
iReturnsDJI[[1;;2]]
iPricesMembersDJI[[1;;2,1;;2]]
iReturnsMembersDJI[[1;;2,1;;2]]

Kalendářní data společná pro výnosy ^DJI a firem v DJI (konsolidace dat:

iReturnsDJIDates=iReturnsDJI[[All,1]];
iReturnsMembersDJIDates=Table[iReturnsMembersDJI[[j,All,1]],{j,1,Length[iReturnsMembersDJI]}]

Riskless rates (bezrizikové úrokové míry)

Možná, že se bezrizikové úrokové míry dají také získat přes funkci FinancialData, ale nevím jak. Pomocí systému Mathematica je možné extrakce dat z libovolné webové stránky (viz dokumentace (HyperlinkURL["http://reference.wolfram.com/language/workflow/ScrapeDataFromAWebsite.html", http://reference.wolfram.com/language/workflow/ScrapeDataFromAWebsite.html]) ), ale pro tak malý rozsah dat potřebný pro naše účely je nejjednodušší tupě data zkopírovat a pak s nimi dále pracovat. To je předmětem následujících podsekcí.

Zdroj:

Obsahuje denní kotace státních dluhopisů USA se splatnostmi 1, 2, 3, 6 měsíců, 1, 2, 3, ... roků (ve sloupcích). Pro větší flexibilitu zpracujeme pro všechny doby splatnosti.

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2019

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2020

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2021

Sloupce :

Grid[{StringSplit["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]},Frame->All]

"Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"//Split

Split["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]

Kopie z výše uvedených stránek

iTBillsUSA2019="01/02/19	2.40	2.40	2.42	2.51	2.60	2.50	2.47	2.49	2.56	2.66	2.83	2.97
01/03/19	2.42	2.42	2.41	2.47	2.50	2.39	2.35	2.37	2.44	2.56	2.75	2.92
01/04/19	2.40	2.42	2.42	2.51	2.57	2.50	2.47	2.49	2.56	2.67	2.83	2.98
01/07/19	2.42	2.42	2.45	2.54	2.58	2.53	2.51	2.53	2.60	2.70	2.86	2.99
01/08/19	2.40	2.42	2.46	2.54	2.60	2.58	2.57	2.58	2.63	2.73	2.88	3.00
01/09/19	2.40	2.42	2.45	2.52	2.59	2.56	2.54	2.57	2.64	2.74	2.90	3.03
01/10/19	2.42	2.42	2.43	2.51	2.59	2.56	2.54	2.56	2.63	2.74	2.92	3.06
01/11/19	2.41	2.43	2.43	2.50	2.58	2.55	2.51	2.52	2.60	2.71	2.90	3.04
01/14/19	2.42	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.60	2.71	2.91	3.06
01/15/19	2.41	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.61	2.72	2.92	3.08
01/16/19	2.41	2.40	2.43	2.49	2.57	2.55	2.53	2.54	2.62	2.73	2.92	3.07
01/17/19	2.41	2.41	2.42	2.50	2.57	2.56	2.55	2.58	2.66	2.75	2.93	3.07
01/18/19	2.40	2.40	2.41	2.50	2.60	2.62	2.60	2.62	2.70	2.79	2.95	3.09
01/22/19	2.38	2.40	2.43	2.51	2.59	2.58	2.55	2.57	2.65	2.74	2.91	3.06
01/23/19	2.37	2.38	2.41	2.51	2.59	2.58	2.57	2.59	2.66	2.76	2.93	3.07
01/24/19	2.38	2.41	2.37	2.50	2.58	2.56	2.54	2.55	2.62	2.72	2.89	3.04
01/25/19	2.36	2.41	2.39	2.51	2.60	2.60	2.58	2.59	2.66	2.76	2.92	3.06
01/28/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.60	2.58	2.58	2.65	2.75	2.92	3.06
01/29/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.56	2.54	2.55	2.61	2.72	2.90	3.04
01/30/19	2.40	2.39	2.42	2.50	2.57	2.52	2.49	2.49	2.58	2.70	2.90	3.06
01/31/19	2.42	2.43	2.41	2.46	2.55	2.45	2.43	2.43	2.51	2.63	2.83	2.99
02/01/19	2.41	2.42	2.40	2.46	2.56	2.52	2.50	2.51	2.59	2.70	2.88	3.03
02/04/19	2.41	2.41	2.42	2.49	2.57	2.53	2.52	2.53	2.62	2.73	2.92	3.06
02/05/19	2.39	2.40	2.42	2.50	2.56	2.53	2.50	2.51	2.60	2.71	2.89	3.03
02/06/19	2.40	2.41	2.42	2.50	2.56	2.52	2.50	2.50	2.59	2.70	2.88	3.03
02/07/19	2.43	2.43	2.42	2.49	2.55	2.48	2.46	2.46	2.54	2.65	2.85	3.00
02/08/19	2.43	2.43	2.43	2.49	2.54	2.45	2.43	2.44	2.53	2.63	2.82	2.97
02/11/19	2.44	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.47	2.47	2.56	2.65	2.85	3.00
02/12/19	2.42	2.43	2.43	2.50	2.55	2.50	2.48	2.49	2.58	2.68	2.87	3.02
02/13/19	2.42	2.42	2.44	2.51	2.55	2.53	2.52	2.53	2.61	2.71	2.89	3.04
02/14/19	2.45	2.43	2.43	2.51	2.53	2.50	2.48	2.48	2.56	2.66	2.85	3.01
02/15/19	2.43	2.43	2.43	2.50	2.55	2.52	2.50	2.49	2.57	2.66	2.84	3.00
02/19/19	2.44	2.42	2.45	2.52	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	2.99
02/20/19	2.41	2.42	2.45	2.51	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	3.00
02/21/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.53	2.49	2.51	2.59	2.69	2.89	3.05
02/22/19	2.43	2.45	2.46	2.51	2.55	2.48	2.46	2.47	2.55	2.65	2.86	3.02
02/25/19	2.44	2.46	2.47	2.51	2.56	2.51	2.48	2.48	2.57	2.67	2.87	3.03
02/26/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.44	2.45	2.54	2.64	2.84	3.01
02/27/19	2.43	2.44	2.45	2.52	2.54	2.50	2.48	2.49	2.59	2.69	2.91	3.07
02/28/19	2.44	2.47	2.45	2.50	2.54	2.52	2.50	2.52	2.63	2.73	2.94	3.09
03/01/19	2.44	2.46	2.44	2.52	2.55	2.55	2.54	2.56	2.67	2.76	2.97	3.13
03/04/19	2.45	2.46	2.46	2.54	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.09
03/05/19	2.44	2.45	2.46	2.53	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.08
03/06/19	2.43	2.44	2.47	2.53	2.54	2.52	2.49	2.49	2.59	2.69	2.90	3.06
03/07/19	2.45	2.46	2.45	2.52	2.52	2.47	2.44	2.44	2.54	2.64	2.86	3.03
03/08/19	2.45	2.46	2.46	2.52	2.53	2.45	2.43	2.42	2.51	2.62	2.83	3.00
03/11/19	2.44	2.45	2.46	2.54	2.53	2.47	2.45	2.44	2.53	2.64	2.86	3.03
03/12/19	2.44	2.46	2.46	2.53	2.52	2.45	2.41	2.41	2.50	2.61	2.82	3.00
03/13/19	2.43	2.44	2.45	2.53	2.53	2.45	2.41	2.42	2.51	2.61	2.82	3.02
03/14/19	2.48	2.46	2.45	2.52	2.52	2.46	2.42	2.43	2.53	2.63	2.86	3.04
03/15/19	2.46	2.46	2.45	2.52	2.52	2.43	2.39	2.40	2.49	2.59	2.83	3.02
03/18/19	2.47	2.46	2.44	2.51	2.52	2.45	2.41	2.42	2.51	2.60	2.83	3.01
03/19/19	2.46	2.47	2.46	2.52	2.50	2.46	2.42	2.42	2.51	2.61	2.84	3.02
03/20/19	2.45	2.45	2.48	2.49	2.47	2.40	2.34	2.34	2.44	2.54	2.79	2.98
03/21/19	2.51	2.47	2.49	2.50	2.48	2.41	2.34	2.34	2.44	2.54	2.78	2.96
03/22/19	2.49	2.48	2.46	2.48	2.45	2.31	2.24	2.24	2.34	2.44	2.69	2.88
03/25/19	2.47	2.47	2.46	2.49	2.41	2.26	2.19	2.21	2.32	2.43	2.68	2.87
03/26/19	2.46	2.44	2.46	2.49	2.44	2.24	2.18	2.18	2.29	2.41	2.67	2.86
03/27/19	2.45	2.43	2.44	2.46	2.40	2.22	2.16	2.18	2.28	2.39	2.63	2.83
03/28/19	2.44	2.45	2.43	2.44	2.40	2.23	2.18	2.20	2.29	2.39	2.62	2.81
03/29/19	2.43	2.44	2.40	2.44	2.40	2.27	2.21	2.23	2.31	2.41	2.63	2.81
04/01/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.41	2.33	2.29	2.31	2.40	2.49	2.71	2.89
04/02/19	2.43	2.42	2.42	2.45	2.41	2.30	2.26	2.28	2.38	2.48	2.70	2.88
04/03/19	2.42	2.43	2.44	2.45	2.41	2.33	2.29	2.32	2.42	2.52	2.75	2.93
04/04/19	2.43	2.43	2.44	2.46	2.41	2.33	2.29	2.32	2.41	2.51	2.74	2.92
04/05/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.43	2.35	2.30	2.31	2.40	2.50	2.72	2.91
04/08/19	2.43	2.44	2.43	2.48	2.43	2.36	2.31	2.33	2.42	2.52	2.74	2.93
04/09/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.42	2.35	2.31	2.31	2.40	2.51	2.73	2.92
04/10/19	2.40	2.41	2.43	2.46	2.41	2.31	2.27	2.28	2.37	2.48	2.71	2.90
04/11/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.44	2.35	2.30	2.31	2.40	2.51	2.74	2.94
04/12/19	2.41	2.43	2.44	2.47	2.44	2.40	2.36	2.38	2.47	2.56	2.78	2.97
04/15/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.43	2.40	2.36	2.37	2.46	2.55	2.77	2.96
04/16/19	2.43	2.44	2.43	2.47	2.45	2.41	2.38	2.41	2.50	2.60	2.81	2.99
04/17/19	2.43	2.44	2.44	2.47	2.44	2.40	2.37	2.40	2.49	2.59	2.81	2.99
04/18/19	2.44	2.44	2.42	2.47	2.44	2.38	2.36	2.38	2.46	2.57	2.78	2.96
04/22/19	2.44	2.44	2.44	2.47	2.46	2.38	2.36	2.39	2.49	2.59	2.82	2.99
04/23/19	2.43	2.44	2.45	2.46	2.43	2.36	2.34	2.36	2.46	2.57	2.81	2.98
04/24/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.42	2.32	2.28	2.32	2.41	2.53	2.76	2.94
04/25/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.42	2.33	2.29	2.33	2.42	2.54	2.76	2.94
04/26/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.41	2.28	2.25	2.29	2.39	2.51	2.74	2.92
04/29/19	2.45	2.45	2.44	2.47	2.42	2.30	2.27	2.32	2.42	2.54	2.78	2.96
04/30/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.39	2.27	2.24	2.28	2.39	2.51	2.75	2.93
05/01/19	2.42	2.41	2.43	2.44	2.39	2.31	2.28	2.31	2.41	2.52	2.74	2.92
05/02/19	2.44	2.46	2.47	2.46	2.41	2.35	2.32	2.34	2.44	2.55	2.77	2.94
05/03/19	2.42	2.44	2.43	2.46	2.41	2.33	2.30	2.33	2.43	2.54	2.75	2.93
05/06/19	2.43	2.44	2.44	2.46	2.39	2.31	2.27	2.30	2.40	2.51	2.73	2.91
05/07/19	2.44	2.44	2.43	2.46	2.37	2.28	2.24	2.25	2.35	2.45	2.68	2.86
05/08/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.37	2.30	2.26	2.28	2.38	2.49	2.71	2.89
05/09/19	2.43	2.43	2.43	2.46	2.36	2.26	2.22	2.25	2.34	2.45	2.69	2.87
05/10/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.36	2.26	2.23	2.26	2.37	2.47	2.70	2.89
05/13/19	2.41	2.42	2.41	2.42	2.32	2.18	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.83
05/14/19	2.41	2.42	2.41	2.43	2.32	2.20	2.17	2.20	2.30	2.42	2.67	2.86
05/15/19	2.40	2.41	2.42	2.43	2.30	2.16	2.12	2.15	2.25	2.37	2.63	2.82
05/16/19	2.40	2.41	2.40	2.43	2.33	2.20	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.84
05/17/19	2.39	2.40	2.39	2.42	2.33	2.20	2.15	2.17	2.27	2.39	2.63	2.82
05/20/19	2.39	2.39	2.39	2.42	2.34	2.21	2.17	2.21	2.30	2.41	2.65	2.83
05/21/19	2.37	2.38	2.39	2.42	2.36	2.26	2.20	2.23	2.33	2.43	2.67	2.84
05/22/19	2.36	2.37	2.38	2.41	2.37	2.23	2.17	2.19	2.28	2.39	2.64	2.82
05/23/19	2.38	2.38	2.37	2.40	2.32	2.12	2.08	2.11	2.20	2.31	2.56	2.75
05/24/19	2.37	2.38	2.35	2.39	2.33	2.16	2.10	2.12	2.22	2.32	2.57	2.75
05/28/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.31	2.12	2.06	2.06	2.16	2.26	2.52	2.70
05/29/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.30	2.09	2.04	2.05	2.16	2.25	2.50	2.69
05/30/19	2.37	2.38	2.38	2.40	2.29	2.06	2.00	2.03	2.12	2.22	2.46	2.65
05/31/19	2.35	2.38	2.35	2.35	2.21	1.95	1.90	1.93	2.03	2.14	2.39	2.58
06/03/19	2.36	2.36	2.35	2.31	2.11	1.82	1.79	1.83	1.95	2.07	2.34	2.53
06/04/19	2.34	2.36	2.35	2.29	2.11	1.88	1.84	1.89	2.01	2.12	2.41	2.60
06/05/19	2.31	2.35	2.35	2.25	2.04	1.83	1.81	1.86	2.00	2.12	2.42	2.63
06/06/19	2.32	2.35	2.33	2.22	2.02	1.88	1.85	1.88	2.01	2.12	2.42	2.62
06/07/19	2.30	2.32	2.28	2.15	1.97	1.85	1.82	1.85	1.97	2.09	2.36	2.57
06/10/19	2.30	2.31	2.29	2.21	2.03	1.90	1.87	1.91	2.03	2.15	2.42	2.62
06/11/19	2.27	2.26	2.27	2.21	2.05	1.93	1.87	1.92	2.03	2.15	2.42	2.62
06/12/19	2.19	2.22	2.24	2.20	2.02	1.88	1.83	1.88	2.00	2.13	2.41	2.62
06/13/19	2.24	2.23	2.19	2.18	2.00	1.83	1.78	1.84	1.96	2.10	2.39	2.61
06/14/19	2.23	2.21	2.20	2.18	2.00	1.84	1.79	1.85	1.96	2.09	2.38	2.59
06/17/19	2.22	2.21	2.23	2.20	2.03	1.86	1.80	1.85	1.96	2.09	2.37	2.58
06/18/19	2.18	2.20	2.22	2.20	2.04	1.86	1.80	1.83	1.93	2.06	2.34	2.55
06/19/19	2.14	2.18	2.18	2.11	1.96	1.74	1.70	1.77	1.89	2.03	2.32	2.54
06/20/19	2.17	2.15	2.14	2.04	1.91	1.72	1.69	1.74	1.87	2.01	2.31	2.53
06/21/19	2.16	2.16	2.11	2.05	1.95	1.77	1.74	1.80	1.93	2.07	2.37	2.59
06/24/19	2.12	2.13	2.13	2.10	1.92	1.72	1.69	1.75	1.88	2.02	2.33	2.55
06/25/19	2.11	2.12	2.12	2.10	1.93	1.71	1.67	1.73	1.86	2.00	2.31	2.53
06/26/19	2.11	2.12	2.15	2.12	1.96	1.77	1.74	1.80	1.92	2.05	2.35	2.57
06/27/19	2.19	2.15	2.14	2.12	1.93	1.74	1.71	1.76	1.88	2.01	2.31	2.52
06/28/19	2.18	2.15	2.12	2.09	1.92	1.75	1.71	1.76	1.87	2.00	2.31	2.52
07/01/19	2.17	2.16	2.21	2.10	1.94	1.78	1.74	1.79	1.90	2.03	2.34	2.55
07/02/19	2.21	2.17	2.20	2.09	1.91	1.77	1.71	1.75	1.85	1.98	2.29	2.51
07/03/19	2.25	2.20	2.21	2.08	1.91	1.77	1.71	1.74	1.83	1.96	2.25	2.47
07/05/19	2.26	2.22	2.23	2.14	1.98	1.87	1.82	1.84	1.93	2.04	2.34	2.54
07/08/19	2.23	2.24	2.26	2.14	1.99	1.88	1.84	1.86	1.94	2.05	2.32	2.53
07/09/19	2.22	2.24	2.26	2.15	2.00	1.92	1.88	1.88	1.96	2.07	2.34	2.54
07/10/19	2.18	2.18	2.20	2.07	1.93	1.82	1.79	1.82	1.93	2.07	2.36	2.57
07/11/19	2.17	2.17	2.17	2.08	1.97	1.85	1.84	1.88	1.99	2.13	2.42	2.65
07/12/19	2.16	2.18	2.14	2.07	1.96	1.84	1.81	1.86	1.98	2.12	2.42	2.64
07/15/19	2.17	2.19	2.16	2.06	1.95	1.83	1.80	1.84	1.96	2.09	2.39	2.61
07/16/19	2.16	2.17	2.15	2.06	2.00	1.87	1.84	1.88	2.00	2.13	2.42	2.63
07/17/19	2.13	2.14	2.14	2.04	1.95	1.83	1.80	1.83	1.94	2.06	2.35	2.57
07/18/19	2.11	2.12	2.05	2.01	1.90	1.77	1.74	1.78	1.89	2.04	2.34	2.56
07/19/19	2.11	2.16	2.06	2.03	1.94	1.80	1.77	1.80	1.91	2.05	2.35	2.57
07/22/19	2.13	2.16	2.09	2.08	1.95	1.80	1.77	1.80	1.92	2.05	2.36	2.58
07/23/19	2.12	2.15	2.06	2.09	1.97	1.83	1.79	1.83	1.94	2.08	2.38	2.61
07/24/19	2.10	2.14	2.10	2.08	1.98	1.83	1.79	1.82	1.93	2.05	2.36	2.58
07/25/19	2.16	2.17	2.10	2.08	1.99	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.60
07/26/19	2.13	2.15	2.12	2.10	2.00	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.59
07/29/19	2.12	2.16	2.12	2.10	1.98	1.85	1.81	1.84	1.93	2.06	2.37	2.59
07/30/19	2.07	2.10	2.08	2.07	1.97	1.85	1.82	1.84	1.93	2.06	2.36	2.58
07/31/19	2.01	2.07	2.08	2.10	2.00	1.89	1.84	1.84	1.92	2.02	2.31	2.53
08/01/19	2.11	2.14	2.07	2.04	1.88	1.73	1.67	1.68	1.77	1.90	2.21	2.44
08/02/19	2.11	2.12	2.06	2.02	1.85	1.72	1.67	1.66	1.75	1.86	2.16	2.39
08/05/19	2.07	2.08	2.05	1.99	1.78	1.59	1.55	1.55	1.63	1.75	2.07	2.30
08/06/19	2.05	2.08	2.05	2.00	1.80	1.60	1.54	1.53	1.62	1.73	2.03	2.25
08/07/19	2.02	2.04	2.02	1.95	1.75	1.59	1.51	1.52	1.60	1.71	2.01	2.22
08/08/19	2.09	2.07	2.02	1.96	1.79	1.62	1.54	1.54	1.62	1.72	2.02	2.25
08/09/19	2.05	2.06	2.00	1.95	1.78	1.63	1.58	1.57	1.65	1.74	2.03	2.26
08/12/19	2.09	2.06	2.00	1.94	1.75	1.58	1.51	1.49	1.56	1.65	1.92	2.14
08/13/19	2.05	2.04	2.00	1.96	1.86	1.66	1.60	1.57	1.62	1.68	1.94	2.15
08/14/19	1.98	1.98	1.96	1.92	1.79	1.58	1.53	1.51	1.55	1.59	1.84	2.03
08/15/19	2.08	1.97	1.91	1.86	1.72	1.48	1.44	1.42	1.47	1.52	1.80	1.98
08/16/19	2.05	1.95	1.87	1.85	1.71	1.48	1.44	1.42	1.49	1.55	1.82	2.01
08/19/19	2.06	1.96	1.94	1.90	1.75	1.53	1.49	1.47	1.54	1.60	1.88	2.08
08/20/19	2.05	1.96	1.94	1.89	1.72	1.50	1.44	1.42	1.49	1.55	1.84	2.04
08/21/19	2.03	1.98	1.97	1.90	1.77	1.56	1.50	1.47	1.54	1.59	1.87	2.07
08/22/19	2.10	2.02	2.00	1.91	1.79	1.61	1.53	1.50	1.56	1.62	1.90	2.11
08/23/19	2.07	2.02	1.97	1.87	1.73	1.51	1.43	1.40	1.46	1.52	1.82	2.02
08/26/19	2.09	2.03	2.01	1.90	1.75	1.54	1.47	1.43	1.49	1.54	1.84	2.04
08/27/19	2.07	2.03	1.98	1.94	1.77	1.53	1.43	1.40	1.44	1.49	1.77	1.97
08/28/19	2.07	2.04	1.99	1.89	1.74	1.50	1.42	1.37	1.42	1.47	1.76	1.94
08/29/19	2.10	2.03	1.99	1.89	1.75	1.53	1.44	1.40	1.46	1.50	1.78	1.97
08/30/19	2.10	2.04	1.99	1.89	1.76	1.50	1.42	1.39	1.45	1.50	1.78	1.96
09/03/19	2.06	2.01	1.98	1.88	1.72	1.47	1.38	1.35	1.42	1.47	1.77	1.95
09/04/19	2.05	2.02	1.97	1.87	1.69	1.43	1.36	1.32	1.40	1.47	1.77	1.97
09/05/19	2.05	2.01	1.97	1.88	1.73	1.55	1.47	1.43	1.51	1.57	1.86	2.06
09/06/19	2.05	2.00	1.96	1.88	1.73	1.53	1.46	1.42	1.50	1.55	1.83	2.02
09/09/19	2.04	1.99	1.96	1.87	1.74	1.58	1.52	1.49	1.57	1.63	1.91	2.11
09/10/19	2.04	1.99	1.95	1.89	1.81	1.67	1.61	1.58	1.66	1.72	2.00	2.19
09/11/19	2.01	1.97	1.96	1.88	1.79	1.68	1.62	1.60	1.68	1.75	2.02	2.22
09/12/19	1.99	1.97	1.95	1.90	1.82	1.72	1.67	1.65	1.72	1.79	2.06	2.22
09/13/19	1.99	1.98	1.96	1.92	1.88	1.79	1.76	1.75	1.83	1.90	2.17	2.37
09/16/19	2.08	2.02	1.99	1.93	1.86	1.74	1.71	1.69	1.77	1.84	2.11	2.31
09/17/19	2.10	2.06	1.99	1.93	1.87	1.72	1.68	1.66	1.75	1.81	2.08	2.27
09/18/19	1.94	1.93	1.95	1.91	1.87	1.77	1.72	1.68	1.76	1.80	2.06	2.25
09/19/19	2.01	1.99	1.93	1.92	1.88	1.74	1.68	1.66	1.73	1.79	2.04	2.22
09/20/19	1.95	1.94	1.91	1.91	1.84	1.69	1.63	1.61	1.68	1.74	1.99	2.17
09/23/19	1.94	1.94	1.94	1.93	1.81	1.68	1.61	1.59	1.65	1.72	1.98	2.16
09/24/19	1.90	1.90	1.92	1.91	1.78	1.60	1.53	1.52	1.58	1.64	1.91	2.09
09/25/19	1.80	1.86	1.89	1.90	1.82	1.68	1.61	1.60	1.66	1.73	1.99	2.18
09/26/19	1.91	1.90	1.83	1.88	1.79	1.66	1.61	1.59	1.65	1.70	1.96	2.15
09/27/19	1.90	1.86	1.80	1.85	1.74	1.63	1.58	1.56	1.62	1.69	1.95	2.13
09/30/19	1.91	1.87	1.88	1.83	1.75	1.63	1.56	1.55	1.62	1.68	1.94	2.12
10/01/19	1.79	1.77	1.82	1.81	1.73	1.56	1.51	1.51	1.59	1.65	1.93	2.11
10/02/19	1.75	1.75	1.79	1.75	1.67	1.48	1.43	1.43	1.53	1.60	1.90	2.09
10/03/19	1.78	1.75	1.70	1.66	1.58	1.39	1.34	1.34	1.45	1.54	1.85	2.04
10/04/19	1.73	1.74	1.71	1.65	1.58	1.40	1.35	1.34	1.43	1.52	1.81	2.01
10/07/19	1.76	1.76	1.75	1.73	1.64	1.46	1.41	1.38	1.47	1.56	1.85	2.05
10/08/19	1.69	1.72	1.72	1.69	1.62	1.42	1.38	1.36	1.45	1.54	1.84	2.04
10/09/19	1.69	1.70	1.69	1.69	1.59	1.47	1.43	1.40	1.50	1.59	1.88	2.08
10/10/19	1.74	1.71	1.68	1.68	1.63	1.53	1.49	1.48	1.57	1.67	1.96	2.16
10/11/19	1.76	1.74	1.68	1.68	1.67	1.63	1.60	1.59	1.68	1.76	2.04	2.22
10/15/19	1.74	1.72	1.67	1.67	1.65	1.61	1.60	1.59	1.68	1.77	2.06	2.23
10/16/19	1.71	1.68	1.66	1.64	1.59	1.58	1.57	1.57	1.65	1.75	2.05	2.23
10/17/19	1.74	1.70	1.66	1.63	1.59	1.60	1.57	1.57	1.66	1.76	2.05	2.24
10/18/19	1.75	1.69	1.66	1.63	1.58	1.58	1.56	1.56	1.66	1.76	2.06	2.25
10/21/19	1.76	1.70	1.67	1.65	1.59	1.62	1.59	1.61	1.70	1.80	2.10	2.28
10/22/19	1.75	1.69	1.65	1.64	1.59	1.60	1.59	1.60	1.68	1.78	2.07	2.26
10/23/19	1.74	1.69	1.65	1.64	1.58	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.06	2.25
10/24/19	1.75	1.73	1.67	1.65	1.59	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.08	2.26
10/25/19	1.73	1.72	1.66	1.66	1.60	1.63	1.62	1.62	1.71	1.80	2.10	2.29
10/28/19	1.74	1.71	1.65	1.65	1.60	1.64	1.65	1.66	1.75	1.85	2.16	2.34
10/29/19	1.66	1.67	1.63	1.64	1.59	1.64	1.65	1.66	1.74	1.84	2.15	2.33
10/30/19	1.61	1.60	1.62	1.62	1.59	1.61	1.60	1.61	1.69	1.78	2.08	2.26
10/31/19	1.59	1.59	1.54	1.57	1.53	1.52	1.52	1.51	1.60	1.69	2.00	2.17
11/01/19	1.58	1.58	1.52	1.55	1.53	1.56	1.55	1.55	1.63	1.73	2.03	2.21
11/04/19	1.58	1.57	1.53	1.57	1.56	1.60	1.59	1.60	1.69	1.79	2.10	2.27
11/05/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.62	1.63	1.63	1.66	1.77	1.86	2.17	2.34
11/06/19	1.55	1.56	1.56	1.57	1.58	1.61	1.60	1.63	1.73	1.81	2.13	2.30
11/07/19	1.57	1.57	1.56	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.84	1.92	2.24	2.40
11/08/19	1.56	1.56	1.55	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.86	1.94	2.27	2.43
11/12/19	1.56	1.56	1.59	1.59	1.58	1.66	1.69	1.73	1.84	1.92	2.24	2.39
11/13/19	1.56	1.57	1.57	1.59	1.57	1.63	1.65	1.69	1.79	1.88	2.20	2.36
11/14/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.55	1.58	1.59	1.63	1.73	1.82	2.15	2.31
11/15/19	1.59	1.56	1.57	1.59	1.54	1.61	1.61	1.65	1.75	1.84	2.16	2.31
11/18/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.73	1.81	2.14	2.30
11/19/19	1.58	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.71	1.79	2.11	2.26
11/20/19	1.57	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.55	1.58	1.66	1.73	2.05	2.20
11/21/19	1.57	1.57	1.58	1.59	1.55	1.60	1.59	1.62	1.71	1.77	2.09	2.24
11/22/19	1.58	1.59	1.58	1.59	1.56	1.61	1.60	1.62	1.71	1.77	2.08	2.22
11/25/19	1.60	1.60	1.61	1.61	1.58	1.61	1.60	1.62	1.71	1.76	2.07	2.21
11/26/19	1.63	1.61	1.60	1.62	1.59	1.58	1.58	1.58	1.68	1.74	2.04	2.18
11/27/19	1.65	1.60	1.62	1.63	1.60	1.63	1.61	1.63	1.71	1.77	2.06	2.19
11/29/19	1.62	1.60	1.59	1.63	1.60	1.61	1.61	1.62	1.73	1.78	2.07	2.21
12/02/19	1.60	1.58	1.60	1.62	1.60	1.61	1.63	1.65	1.77	1.83	2.15	2.28
12/03/19	1.56	1.54	1.57	1.57	1.57	1.53	1.54	1.54	1.65	1.72	2.03	2.17
12/04/19	1.59	1.54	1.55	1.56	1.56	1.58	1.58	1.60	1.71	1.77	2.08	2.22
12/05/19	1.52	1.56	1.54	1.55	1.56	1.58	1.60	1.62	1.73	1.80	2.11	2.24
12/06/19	1.52	1.55	1.53	1.56	1.57	1.61	1.64	1.67	1.78	1.84	2.14	2.29
12/09/19	1.54	1.54	1.54	1.58	1.56	1.63	1.63	1.67	1.77	1.83	2.13	2.27
12/10/19	1.53	1.55	1.56	1.57	1.56	1.65	1.67	1.68	1.78	1.85	2.12	2.26
12/11/19	1.54	1.56	1.57	1.58	1.55	1.61	1.62	1.64	1.74	1.79	2.08	2.23
12/12/19	1.57	1.57	1.56	1.57	1.55	1.66	1.69	1.73	1.84	1.90	2.18	2.32
12/13/19	1.55	1.57	1.57	1.56	1.54	1.61	1.62	1.66	1.76	1.82	2.11	2.26
12/16/19	1.57	1.57	1.57	1.58	1.54	1.65	1.67	1.72	1.82	1.89	2.17	2.30
12/17/19	1.56	1.56	1.56	1.58	1.53	1.63	1.66	1.71	1.82	1.89	2.18	2.31
12/18/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.54	1.63	1.67	1.74	1.86	1.92	2.22	2.35
12/19/19	1.54	1.58	1.57	1.57	1.52	1.62	1.65	1.73	1.84	1.92	2.21	2.35
12/20/19	1.57	1.59	1.58	1.58	1.52	1.63	1.67	1.73	1.84	1.92	2.21	2.34
12/23/19	1.57	1.57	1.59	1.60	1.53	1.64	1.67	1.75	1.86	1.93	2.22	2.35
12/24/19	1.55	1.58	1.58	1.61	1.53	1.62	1.64	1.72	1.83	1.90	2.20	2.33
12/26/19	1.59	1.60	1.58	1.61	1.53	1.64	1.65	1.72	1.85	1.90	2.19	2.33
12/27/19	1.56	1.56	1.57	1.59	1.51	1.59	1.60	1.68	1.80	1.88	2.18	2.32
12/30/19	1.51	1.53	1.57	1.60	1.57	1.58	1.59	1.68	1.81	1.90	2.21	2.34
12/31/19	1.48	1.51	1.55	1.60	1.59	1.58	1.62	1.69	1.83	1.92	2.25	2.39";

iTBillsUSA2020="01/02/20	1.53	1.55	1.54	1.57	1.56	1.58	1.59	1.67	1.79	1.88	2.19	2.33
01/03/20	1.52	1.55	1.52	1.55	1.55	1.53	1.54	1.59	1.71	1.80	2.11	2.26
01/06/20	1.54	1.54	1.56	1.56	1.54	1.54	1.56	1.61	1.72	1.81	2.13	2.28
01/07/20	1.52	1.53	1.54	1.56	1.53	1.54	1.55	1.62	1.74	1.83	2.16	2.31
01/08/20	1.50	1.53	1.54	1.56	1.55	1.58	1.61	1.67	1.78	1.87	2.21	2.35
01/09/20	1.53	1.55	1.54	1.56	1.54	1.58	1.59	1.65	1.77	1.85	2.17	2.38
01/10/20	1.52	1.55	1.54	1.55	1.53	1.56	1.59	1.63	1.74	1.83	2.14	2.28
01/13/20	1.54	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.60	1.65	1.76	1.85	2.16	2.30
01/14/20	1.53	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.59	1.63	1.74	1.82	2.12	2.27
01/15/20	1.53	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.56	1.60	1.71	1.79	2.09	2.23
01/16/20	1.54	1.56	1.55	1.56	1.54	1.58	1.58	1.63	1.73	1.81	2.11	2.26
01/17/20	1.54	1.56	1.56	1.57	1.56	1.58	1.56	1.63	1.74	1.84	2.16	2.29
01/21/20	1.52	1.54	1.56	1.57	1.54	1.53	1.53	1.57	1.69	1.78	2.10	2.23
01/22/20	1.52	1.53	1.55	1.56	1.55	1.53	1.52	1.57	1.68	1.77	2.07	2.22
01/23/20	1.55	1.57	1.55	1.56	1.55	1.51	1.51	1.55	1.65	1.74	2.03	2.18
01/24/20	1.54	1.55	1.54	1.55	1.55	1.49	1.48	1.51	1.61	1.70	2.00	2.14
01/27/20	1.53	1.55	1.55	1.57	1.53	1.44	1.41	1.44	1.52	1.61	1.91	2.05
01/28/20	1.53	1.57	1.57	1.58	1.53	1.45	1.45	1.47	1.56	1.65	1.95	2.10
01/29/20	1.52	1.55	1.56	1.57	1.51	1.42	1.39	1.41	1.51	1.60	1.89	2.05
01/30/20	1.59	1.58	1.57	1.57	1.48	1.41	1.37	1.39	1.49	1.57	1.88	2.04
01/31/20	1.56	1.57	1.55	1.54	1.45	1.33	1.30	1.32	1.42	1.51	1.83	1.99
02/03/20	1.56	1.57	1.57	1.56	1.46	1.36	1.34	1.35	1.45	1.54	1.84	2.01
02/04/20	1.55	1.57	1.57	1.57	1.48	1.41	1.40	1.42	1.52	1.61	1.91	2.08
02/05/20	1.55	1.56	1.57	1.57	1.49	1.44	1.43	1.46	1.57	1.66	1.97	2.14
02/06/20	1.59	1.59	1.57	1.58	1.51	1.44	1.43	1.45	1.56	1.65	1.94	2.11
02/07/20	1.57	1.58	1.56	1.57	1.49	1.41	1.39	1.41	1.51	1.59	1.89	2.05
02/10/20	1.58	1.58	1.58	1.58	1.45	1.37	1.36	1.38	1.47	1.56	1.87	2.03
02/11/20	1.57	1.58	1.57	1.55	1.48	1.41	1.39	1.40	1.50	1.59	1.89	2.05
02/12/20	1.57	1.59	1.58	1.56	1.49	1.44	1.42	1.45	1.55	1.62	1.93	2.09
02/13/20	1.59	1.59	1.59	1.56	1.48	1.44	1.42	1.43	1.53	1.61	1.91	2.07
02/14/20	1.60	1.60	1.58	1.56	1.49	1.42	1.40	1.42	1.51	1.59	1.89	2.04
02/18/20	1.61	1.60	1.58	1.56	1.47	1.41	1.37	1.39	1.48	1.55	1.85	2.00
02/19/20	1.61	1.61	1.58	1.56	1.47	1.42	1.39	1.41	1.50	1.56	1.86	2.01
02/20/20	1.61	1.60	1.58	1.55	1.46	1.39	1.35	1.37	1.45	1.52	1.81	1.97
02/21/20	1.60	1.60	1.56	1.53	1.43	1.34	1.30	1.30	1.39	1.46	1.75	1.90
02/24/20	1.60	1.59	1.53	1.49	1.35	1.26	1.21	1.21	1.30	1.38	1.68	1.84
02/25/20	1.59	1.58	1.53	1.47	1.30	1.20	1.16	1.16	1.25	1.33	1.63	1.80
02/26/20	1.59	1.56	1.53	1.42	1.26	1.16	1.14	1.14	1.25	1.33	1.64	1.81
02/27/20	1.56	1.53	1.45	1.33	1.18	1.11	1.08	1.11	1.22	1.30	1.61	1.79
02/28/20	1.45	1.37	1.27	1.11	0.97	0.86	0.85	0.89	1.03	1.13	1.46	1.65
03/02/20	1.41	1.27	1.13	0.95	0.89	0.84	0.85	0.88	1.01	1.10	1.46	1.66
03/03/20	1.11	1.05	0.95	0.83	0.73	0.71	0.72	0.77	0.91	1.02	1.44	1.64
03/04/20	1.00	0.87	0.72	0.68	0.59	0.67	0.68	0.75	0.90	1.02	1.45	1.67
03/05/20	0.92	0.83	0.62	0.53	0.48	0.59	0.61	0.67	0.81	0.92	1.34	1.56
03/06/20	0.79	0.64	0.45	0.41	0.39	0.49	0.53	0.58	0.69	0.74	1.09	1.25
03/09/20	0.57	0.52	0.33	0.27	0.31	0.38	0.40	0.46	0.56	0.54	0.87	0.99
03/10/20	0.57	0.55	0.44	0.43	0.43	0.50	0.58	0.63	0.73	0.76	1.16	1.28
03/11/20	0.42	0.42	0.42	0.40	0.40	0.50	0.58	0.66	0.78	0.82	1.13	1.30
03/12/20	0.41	0.33	0.33	0.37	0.39	0.50	0.58	0.66	0.82	0.88	1.27	1.49
03/13/20	0.33	0.30	0.28	0.38	0.38	0.49	0.58	0.70	0.89	0.94	1.31	1.56
03/16/20	0.25	0.25	0.24	0.29	0.29	0.36	0.43	0.49	0.67	0.73	1.10	1.34
03/17/20	0.12	0.18	0.19	0.24	0.30	0.47	0.54	0.66	0.91	1.02	1.45	1.63
03/18/20	0.04	0.03	0.02	0.08	0.21	0.54	0.66	0.79	1.08	1.18	1.60	1.77
03/19/20	0.04	0.04	0.04	0.06	0.20	0.44	0.53	0.66	1.00	1.12	1.56	1.78
03/20/20	0.04	0.05	0.05	0.05	0.15	0.37	0.41	0.52	0.82	0.92	1.35	1.55
03/23/20	0.01	0.04	0.02	0.08	0.17	0.28	0.31	0.38	0.63	0.76	1.12	1.33
03/24/20	0.01	0.01	0.01	0.09	0.25	0.38	0.44	0.52	0.75	0.84	1.19	1.39
03/25/20	0.00	0.00	0.00	0.07	0.19	0.34	0.41	0.56	0.77	0.88	1.23	1.45
03/26/20	0.01	0.01	0.00	0.04	0.13	0.30	0.36	0.51	0.72	0.83	1.20	1.42
03/27/20	0.01	0.03	0.03	0.02	0.11	0.25	0.30	0.41	0.60	0.72	1.09	1.29
03/30/20	0.04	0.07	0.12	0.12	0.14	0.23	0.29	0.39	0.57	0.70	1.10	1.31
03/31/20	0.05	0.12	0.11	0.15	0.17	0.23	0.29	0.37	0.55	0.70	1.15	1.35
04/01/20	0.03	0.07	0.09	0.14	0.16	0.23	0.28	0.37	0.51	0.62	1.04	1.27
04/02/20	0.09	0.10	0.09	0.15	0.14	0.23	0.29	0.39	0.53	0.63	1.04	1.26
04/03/20	0.09	0.11	0.10	0.15	0.15	0.23	0.30	0.39	0.52	0.62	1.05	1.24
04/06/20	0.09	0.13	0.15	0.17	0.20	0.27	0.35	0.44	0.58	0.67	1.08	1.27
04/07/20	0.10	0.13	0.14	0.20	0.20	0.28	0.36	0.48	0.64	0.75	1.13	1.32
04/08/20	0.14	0.17	0.22	0.24	0.23	0.27	0.34	0.47	0.65	0.77	1.18	1.37
04/09/20	0.20	0.27	0.25	0.24	0.25	0.23	0.29	0.41	0.60	0.73	1.15	1.35
04/13/20	0.17	0.29	0.26	0.27	0.27	0.25	0.31	0.44	0.63	0.76	1.19	1.39
04/14/20	0.17	0.19	0.20	0.24	0.25	0.23	0.29	0.42	0.61	0.76	1.19	1.41
04/15/20	0.14	0.15	0.14	0.19	0.19	0.20	0.24	0.34	0.49	0.63	1.06	1.27
04/16/20	0.14	0.15	0.14	0.18	0.17	0.20	0.25	0.35	0.50	0.61	1.01	1.21
04/17/20	0.12	0.12	0.12	0.16	0.16	0.20	0.26	0.36	0.53	0.65	1.08	1.27
04/20/20	0.10	0.10	0.12	0.15	0.15	0.20	0.26	0.35	0.51	0.63	1.04	1.23
04/21/20	0.08	0.08	0.11	0.14	0.17	0.20	0.24	0.34	0.48	0.58	0.98	1.17
04/22/20	0.09	0.09	0.12	0.14	0.16	0.22	0.26	0.37	0.52	0.63	1.03	1.22
04/23/20	0.09	0.12	0.11	0.14	0.17	0.22	0.26	0.37	0.51	0.61	0.99	1.18
04/24/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.18	0.22	0.26	0.36	0.51	0.60	0.98	1.17
04/27/20	0.09	0.13	0.12	0.15	0.17	0.24	0.29	0.41	0.56	0.67	1.06	1.25
04/28/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.26	0.37	0.52	0.62	1.00	1.20
04/29/20	0.10	0.09	0.10	0.12	0.18	0.20	0.24	0.36	0.52	0.63	1.02	1.24
04/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.16	0.20	0.24	0.36	0.53	0.64	1.05	1.28
05/01/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.17	0.20	0.25	0.36	0.53	0.64	1.04	1.27
05/04/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.16	0.19	0.24	0.36	0.52	0.64	1.05	1.29
05/05/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.19	0.24	0.36	0.53	0.66	1.07	1.32
05/06/20	0.08	0.10	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.37	0.57	0.72	1.16	1.41
05/07/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.15	0.13	0.19	0.29	0.49	0.63	1.05	1.31
05/08/20	0.10	0.11	0.12	0.15	0.15	0.16	0.21	0.33	0.53	0.69	1.12	1.39
05/11/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.36	0.56	0.73	1.16	1.43
05/12/20	0.10	0.11	0.13	0.16	0.16	0.17	0.22	0.34	0.53	0.69	1.11	1.38
05/13/20	0.10	0.10	0.13	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.50	0.64	1.07	1.35
05/14/20	0.09	0.10	0.12	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.48	0.63	1.03	1.30
05/15/20	0.09	0.09	0.12	0.15	0.15	0.16	0.19	0.31	0.49	0.64	1.05	1.32
05/18/20	0.10	0.11	0.13	0.15	0.17	0.18	0.24	0.38	0.57	0.73	1.17	1.44
05/19/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.17	0.22	0.35	0.54	0.70	1.15	1.43
05/20/20	0.08	0.11	0.12	0.14	0.16	0.16	0.21	0.34	0.53	0.68	1.19	1.40
05/21/20	0.09	0.11	0.12	0.14	0.16	0.17	0.21	0.35	0.53	0.68	1.16	1.40
05/22/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.17	0.17	0.21	0.34	0.51	0.66	1.12	1.37
05/26/20	0.10	0.12	0.14	0.17	0.17	0.18	0.22	0.35	0.53	0.69	1.19	1.43
05/27/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.34	0.52	0.68	1.19	1.44
05/28/20	0.14	0.15	0.15	0.18	0.17	0.17	0.22	0.34	0.54	0.70	1.23	1.47
05/29/20	0.13	0.14	0.14	0.18	0.17	0.16	0.19	0.30	0.50	0.65	1.18	1.41
06/01/20	0.12	0.14	0.14	0.18	0.17	0.14	0.20	0.31	0.50	0.66	1.22	1.46
06/02/20	0.12	0.13	0.15	0.18	0.17	0.17	0.20	0.32	0.52	0.68	1.24	1.48
06/03/20	0.12	0.14	0.16	0.19	0.17	0.19	0.26	0.38	0.59	0.77	1.32	1.56
06/04/20	0.13	0.15	0.15	0.18	0.17	0.19	0.26	0.40	0.63	0.82	1.38	1.61
06/05/20	0.13	0.14	0.15	0.18	0.18	0.22	0.29	0.47	0.71	0.91	1.46	1.68
06/08/20	0.15	0.15	0.17	0.19	0.19	0.22	0.29	0.45	0.69	0.88	1.43	1.65
06/09/20	0.14	0.17	0.19	0.19	0.19	0.20	0.25	0.40	0.65	0.84	1.37	1.59
06/10/20	0.13	0.16	0.17	0.19	0.18	0.17	0.22	0.33	0.56	0.75	1.31	1.53
06/11/20	0.14	0.16	0.17	0.18	0.19	0.19	0.22	0.32	0.51	0.66	1.19	1.41
06/12/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.18	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/15/20	0.15	0.16	0.18	0.19	0.17	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/16/20	0.14	0.15	0.17	0.19	0.18	0.21	0.23	0.34	0.56	0.75	1.31	1.54
06/17/20	0.13	0.15	0.17	0.18	0.19	0.19	0.23	0.34	0.55	0.74	1.30	1.52
06/18/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.19	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.24	1.47
06/19/20	0.13	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.33	0.53	0.70	1.23	1.47
06/22/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.17	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.23	1.46
06/23/20	0.12	0.14	0.16	0.17	0.18	0.18	0.22	0.33	0.54	0.72	1.25	1.49
06/24/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.17	0.19	0.21	0.33	0.52	0.69	1.21	1.44
06/25/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.17	0.17	0.21	0.32	0.53	0.68	1.20	1.43
06/26/20	0.12	0.15	0.14	0.17	0.17	0.17	0.19	0.30	0.49	0.64	1.15	1.37
06/29/20	0.11	0.14	0.14	0.18	0.16	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.16	1.39
06/30/20	0.13	0.14	0.16	0.18	0.16	0.16	0.18	0.29	0.49	0.66	1.18	1.41
07/01/20	0.12	0.12	0.14	0.17	0.16	0.17	0.19	0.31	0.52	0.69	1.20	1.43
07/02/20	0.13	0.14	0.14	0.16	0.16	0.16	0.19	0.29	0.50	0.68	1.20	1.43
07/06/20	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.16	0.19	0.31	0.51	0.69	1.21	1.45
07/07/20	0.12	0.14	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.29	0.48	0.65	1.15	1.38
07/08/20	0.11	0.13	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.67	1.16	1.39
07/09/20	0.11	0.12	0.13	0.16	0.15	0.16	0.18	0.28	0.46	0.62	1.09	1.32
07/10/20	0.10	0.12	0.13	0.15	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.65	1.12	1.33
07/13/20	0.11	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.19	0.30	0.48	0.64	1.11	1.33
07/14/20	0.11	0.14	0.15	0.14	0.17	0.14	0.19	0.28	0.47	0.63	1.09	1.30
07/15/20	0.12	0.13	0.16	0.15	0.15	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.11	1.33
07/16/20	0.12	0.11	0.11	0.13	0.14	0.16	0.17	0.28	0.46	0.62	1.09	1.31
07/17/20	0.11	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.18	0.29	0.47	0.64	1.11	1.33
07/20/20	0.11	0.12	0.13	0.14	0.14	0.16	0.18	0.29	0.47	0.62	1.10	1.32
07/21/20	0.09	0.11	0.13	0.13	0.15	0.14	0.17	0.27	0.45	0.61	1.09	1.31
07/22/20	0.09	0.12	0.13	0.14	0.14	0.14	0.17	0.27	0.45	0.60	1.08	1.29
07/23/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.16	0.27	0.44	0.59	1.03	1.24
07/24/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.16	0.14	0.17	0.27	0.44	0.59	1.03	1.23
07/27/20	0.10	0.10	0.11	0.14	0.14	0.15	0.18	0.30	0.46	0.62	1.05	1.25
07/28/20	0.09	0.11	0.11	0.12	0.14	0.14	0.16	0.26	0.44	0.59	1.01	1.22
07/29/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.12	0.15	0.25	0.43	0.58	1.03	1.24
07/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.11	0.11	0.14	0.23	0.40	0.55	0.98	1.20
07/31/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/03/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.11	0.13	0.22	0.40	0.56	1.01	1.23
08/04/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.11	0.10	0.19	0.36	0.52	0.96	1.19
08/05/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.12	0.11	0.13	0.22	0.39	0.55	1.00	1.22
08/06/20	0.07	0.11	0.10	0.11	0.14	0.11	0.13	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.13	0.14	0.23	0.41	0.57	1.01	1.23
08/10/20	0.09	0.11	0.11	0.13	0.13	0.14	0.15	0.24	0.42	0.59	1.04	1.25
08/11/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.15	0.16	0.18	0.27	0.46	0.64	1.10	1.32
08/12/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.19	0.30	0.50	0.69	1.15	1.37
08/13/20	0.08	0.10	0.10	0.12	0.14	0.16	0.19	0.32	0.52	0.71	1.20	1.42
08/14/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.51	0.71	1.21	1.45
08/17/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.49	0.69	1.19	1.43
08/18/20	0.08	0.09	0.09	0.13	0.13	0.14	0.17	0.27	0.47	0.67	1.16	1.40
08/19/20	0.07	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.17	0.29	0.48	0.68	1.20	1.42
08/20/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.12	0.13	0.15	0.26	0.46	0.65	1.15	1.38
08/21/20	0.07	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.16	0.27	0.46	0.64	1.13	1.35
08/24/20	0.09	0.10	0.12	0.12	0.14	0.14	0.18	0.28	0.47	0.65	1.14	1.35
08/25/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.18	0.30	0.49	0.69	1.18	1.39
08/26/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.28	0.50	0.69	1.20	1.41
08/27/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.31	0.53	0.74	1.28	1.50
08/28/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.28	0.51	0.74	1.29	1.52
08/31/20	0.08	0.10	0.11	0.13	0.12	0.14	0.15	0.28	0.50	0.72	1.26	1.49
09/01/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.12	0.13	0.14	0.26	0.46	0.68	1.20	1.43
09/02/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.16	0.26	0.45	0.66	1.16	1.38
09/03/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.12	0.13	0.15	0.24	0.43	0.63	1.13	1.34
09/04/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.50	0.72	1.25	1.46
09/08/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.15	0.14	0.17	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/09/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.14	0.14	0.17	0.28	0.48	0.71	1.25	1.45
09/10/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.14	0.17	0.26	0.46	0.68	1.22	1.43
09/11/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.13	0.13	0.16	0.26	0.45	0.67	1.21	1.42
09/14/20	0.10	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/15/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.43
09/16/20	0.08	0.11	0.12	0.12	0.12	0.14	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.45
09/17/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/18/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.16	0.29	0.48	0.70	1.24	1.45
09/21/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.22	1.43
09/22/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/23/20	0.08	0.09	0.11	0.11	0.13	0.14	0.15	0.28	0.46	0.68	1.21	1.42
09/24/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.67	1.19	1.40
09/25/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.26	0.45	0.66	1.19	1.40
09/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.12	0.14	0.16	0.26	0.46	0.67	1.20	1.42
09/29/20	0.07	0.08	0.09	0.11	0.12	0.11	0.13	0.24	0.44	0.66	1.19	1.41
09/30/20	0.08	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.46
10/01/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.23	1.45
10/02/20	0.10	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.48	0.70	1.25	1.48
10/05/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.19	0.33	0.55	0.78	1.34	1.57
10/06/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.14	0.14	0.17	0.32	0.53	0.76	1.33	1.56
10/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.21	0.35	0.56	0.81	1.37	1.60
10/08/20	0.09	0.09	0.09	0.12	0.13	0.13	0.18	0.33	0.54	0.78	1.34	1.57
10/09/20	0.10	0.11	0.10	0.12	0.15	0.16	0.20	0.34	0.55	0.79	1.34	1.58
10/13/20	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.18	0.31	0.52	0.74	1.29	1.52
10/14/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.51	0.73	1.28	1.50
10/15/20	0.10	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.52	0.74	1.29	1.52
10/16/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.53	0.76	1.30	1.52
10/19/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.34	0.54	0.78	1.32	1.55
10/20/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.19	0.34	0.57	0.81	1.37	1.60
10/21/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.20	0.36	0.58	0.83	1.40	1.62
10/22/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.21	0.38	0.62	0.87	1.43	1.67
10/23/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.18	0.21	0.37	0.61	0.85	1.41	1.64
10/26/20	0.08	0.09	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.35	0.58	0.81	1.37	1.59
10/27/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.57
10/28/20	0.07	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.56
10/29/20	0.08	0.10	0.09	0.10	0.12	0.16	0.20	0.38	0.61	0.85	1.39	1.62
10/30/20	0.08	0.09	0.09	0.11	0.13	0.14	0.19	0.38	0.64	0.88	1.43	1.65
11/02/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.38	0.63	0.87	1.41	1.63
11/03/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.17	0.21	0.39	0.65	0.90	1.44	1.66
11/04/20	0.08	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.55	0.78	1.33	1.55
11/05/20	0.09	0.10	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.56	0.79	1.32	1.54
11/06/20	0.10	0.10	0.10	0.11	0.12	0.16	0.21	0.36	0.59	0.83	1.37	1.60
11/09/20	0.10	0.10	0.11	0.11	0.12	0.17	0.25	0.44	0.70	0.96	1.51	1.73
11/10/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.19	0.26	0.46	0.72	0.98	1.53	1.75
11/12/20	0.10	0.11	0.10	0.10	0.13	0.17	0.23	0.40	0.64	0.88	1.42	1.64
11/13/20	0.10	0.09	0.09	0.10	0.12	0.17	0.23	0.41	0.65	0.89	1.43	1.65
11/16/20	0.09	0.10	0.09	0.12	0.12	0.19	0.24	0.41	0.66	0.91	1.44	1.66
11/17/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.12	0.18	0.22	0.39	0.63	0.87	1.40	1.62
11/18/20	0.07	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.40	0.64	0.88	1.42	1.62
11/19/20	0.08	0.08	0.07	0.10	0.11	0.18	0.22	0.39	0.63	0.86	1.38	1.58
11/20/20	0.09	0.09	0.07	0.10	0.11	0.16	0.21	0.38	0.62	0.83	1.33	1.53
11/23/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.16	0.22	0.39	0.64	0.86	1.36	1.56
11/24/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.39	0.65	0.88	1.40	1.60
11/25/20	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.17	0.21	0.39	0.65	0.88	1.41	1.62
11/27/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.20	0.37	0.61	0.84	1.36	1.57
11/30/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.16	0.19	0.36	0.62	0.84	1.37	1.58
12/01/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.12	0.17	0.22	0.42	0.68	0.92	1.46	1.66
12/02/20	0.07	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.42	0.69	0.95	1.50	1.70
12/03/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.40	0.67	0.92	1.46	1.67
12/04/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.11	0.16	0.21	0.42	0.70	0.97	1.53	1.73
12/07/20	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.20	0.40	0.67	0.94	1.49	1.69
12/08/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.46	1.67
12/09/20	0.07	0.07	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.41	0.68	0.95	1.48	1.69
12/10/20	0.07	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.44	1.65
12/11/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.11	0.18	0.37	0.63	0.90	1.42	1.63
12/14/20	0.07	0.08	0.09	0.08	0.10	0.13	0.17	0.37	0.63	0.90	1.43	1.63
12/15/20	0.07	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.18	0.37	0.64	0.92	1.45	1.65
12/16/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.37	0.64	0.92	1.46	1.66
12/17/20	0.08	0.09	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.38	0.66	0.94	1.47	1.68
12/18/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.39	0.67	0.95	1.49	1.70
12/21/20	0.08	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.39	0.66	0.95	1.48	1.68
12/22/20	0.07	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.17	0.37	0.64	0.93	1.45	1.65
12/23/20	0.07	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.38	0.67	0.96	1.49	1.70
12/24/20	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.37	0.66	0.94	1.46	1.66
12/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.13	0.17	0.38	0.65	0.94	1.46	1.67
12/29/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.11	0.12	0.17	0.37	0.66	0.94	1.47	1.67
12/30/20	0.06	0.06	0.08	0.09	0.12	0.12	0.17	0.37	0.66	0.93	1.46	1.66
12/31/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.36	0.65	0.93	1.45	1.65";

iTBillsUSA2021="01/04/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.36	0.64	0.93	1.46	1.66
01/05/21	0.08	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.38	0.66	0.96	1.49	1.70
01/06/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.20	0.43	0.74	1.04	1.60	1.81
01/07/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.22	0.46	0.78	1.08	1.64	1.85
01/08/21	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.24	0.49	0.81	1.13	1.67	1.87
01/11/21	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.22	0.50	0.84	1.15	1.68	1.88
01/12/21	0.09	0.08	0.09	0.09	0.11	0.14	0.23	0.50	0.83	1.15	1.68	1.88
01/13/21	0.09	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.22	0.48	0.80	1.10	1.63	1.82
01/14/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.16	0.23	0.49	0.82	1.15	1.69	1.88
01/15/21	0.08	0.09	0.09	0.10	0.10	0.13	0.20	0.46	0.78	1.11	1.66	1.85
01/19/21	0.07	0.09	0.09	0.11	0.10	0.14	0.21	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/20/21	0.08	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/21/21	0.07	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.19	0.45	0.79	1.12	1.68	1.87
01/22/21	0.07	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.44	0.77	1.10	1.66	1.85
01/25/21	0.07	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.42	0.73	1.05	1.61	1.80
01/26/21	0.05	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.18	0.42	0.74	1.05	1.61	1.80
01/27/21	0.05	0.06	0.08	0.09	0.09	0.12	0.18	0.41	0.72	1.04	1.60	1.79
01/28/21	0.05	0.06	0.07	0.08	0.08	0.12	0.18	0.42	0.75	1.07	1.63	1.81
01/29/21	0.07	0.07	0.06	0.07	0.10	0.11	0.19	0.45	0.79	1.11	1.68	1.87
02/01/21	0.06	0.07	0.07	0.08	0.08	0.11	0.17	0.42	0.76	1.09	1.66	1.84
02/02/21	0.04	0.05	0.07	0.08	0.08	0.11	0.18	0.45	0.79	1.12	1.69	1.87
02/03/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.11	0.19	0.46	0.81	1.15	1.73	1.92
02/04/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.18	0.46	0.81	1.15	1.75	1.93
02/05/21	0.02	0.03	0.03	0.05	0.06	0.09	0.19	0.47	0.83	1.19	1.79	1.97
02/08/21	0.04	0.03	0.05	0.05	0.07	0.11	0.20	0.48	0.83	1.19	1.78	1.96
02/09/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.19	0.48	0.83	1.18	1.78	1.95
02/10/21	0.05	0.04	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.80	1.15	1.75	1.92
02/11/21	0.05	0.05	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.81	1.16	1.77	1.94
02/12/21	0.03	0.04	0.04	0.05	0.06	0.11	0.20	0.50	0.85	1.20	1.83	2.01
02/16/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.23	0.57	0.94	1.30	1.92	2.08
02/17/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.21	0.57	0.94	1.29	1.92	2.06
02/18/21	0.03	0.03	0.03	0.04	0.06	0.11	0.21	0.56	0.94	1.29	1.91	2.08
02/19/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.07	0.11	0.22	0.59	0.98	1.34	1.98	2.14
02/22/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.11	0.22	0.61	1.00	1.37	2.02	2.19
02/23/21	0.03	0.02	0.04	0.05	0.08	0.11	0.22	0.59	1.00	1.37	2.03	2.21
02/24/21	0.03	0.03	0.03	0.05	0.08	0.12	0.24	0.62	1.02	1.38	2.07	2.24
02/25/21	0.04	0.03	0.04	0.06	0.09	0.17	0.34	0.81	1.23	1.54	2.25	2.33
02/26/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.30	0.75	1.15	1.44	2.08	2.17
03/01/21	0.03	0.03	0.05	0.07	0.08	0.13	0.27	0.71	1.12	1.45	2.11	2.23
03/02/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.26	0.67	1.08	1.42	2.09	2.21
03/03/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.08	0.14	0.29	0.73	1.14	1.47	2.12	2.25
03/04/21	0.03	0.05	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.77	1.21	1.54	2.18	2.30
03/05/21	0.04	0.04	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.79	1.23	1.56	2.18	2.28
03/08/21	0.04	0.04	0.05	0.06	0.09	0.17	0.34	0.86	1.28	1.59	2.20	2.31
03/09/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.10	0.17	0.35	0.83	1.23	1.55	2.16	2.26
03/10/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.08	0.16	0.32	0.80	1.20	1.53	2.15	2.24
03/11/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.31	0.78	1.20	1.54	2.18	2.29
03/12/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.09	0.14	0.34	0.85	1.30	1.64	2.31	2.40
03/15/21	0.02	0.02	0.04	0.06	0.08	0.14	0.33	0.84	1.28	1.62	2.27	2.37
03/16/21	0.01	0.02	0.02	0.06	0.07	0.15	0.33	0.83	1.28	1.62	2.30	2.38
03/17/21	0.01	0.02	0.02	0.05	0.07	0.13	0.29	0.80	1.27	1.63	2.32	2.42
03/18/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.08	0.16	0.33	0.86	1.35	1.71	2.36	2.45
03/19/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.07	0.16	0.33	0.90	1.38	1.74	2.36	2.45
03/22/21	0.02	0.02	0.03	0.05	0.06	0.15	0.32	0.87	1.34	1.69	2.29	2.38
03/23/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.08	0.15	0.31	0.83	1.29	1.63	2.24	2.34
03/24/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.14	0.31	0.83	1.27	1.62	2.21	2.31
03/25/21	0.02	0.03	0.02	0.04	0.07	0.14	0.30	0.82	1.29	1.63	2.24	2.34
03/26/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.14	0.31	0.85	1.32	1.67	2.27	2.37
03/29/21	0.02	0.03	0.03	0.04	0.06	0.14	0.32	0.89	1.37	1.73	2.32	2.43
03/30/21	0.01	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.33	0.90	1.39	1.73	2.29	2.38
03/31/21	0.01	0.01	0.03	0.05	0.07	0.16	0.35	0.92	1.40	1.74	2.31	2.41
04/01/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.17	0.35	0.90	1.37	1.69	2.24	2.34
04/02/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.19	0.39	0.97	1.42	1.72	2.27	2.35
04/05/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.17	0.37	0.94	1.40	1.73	2.28	2.36
04/06/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.88	1.34	1.67	2.24	2.32
04/07/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.87	1.34	1.68	2.26	2.35
04/08/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.05	0.14	0.33	0.85	1.30	1.64	2.22	2.32
04/09/21	0.02	0.01	0.02	0.03	0.06	0.16	0.35	0.87	1.33	1.67	2.23	2.34
04/12/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.18	0.38	0.89	1.35	1.69	2.24	2.34
04/13/21	0.03	0.02	0.03	0.05	0.06	0.16	0.35	0.85	1.29	1.64	2.21	2.32
04/14/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.87	1.31	1.64	2.22	2.32
04/15/21	0.02	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.56	2.13	2.23
04/16/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.84	1.26	1.59	2.15	2.26
04/19/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.08	0.16	0.34	0.85	1.28	1.61	2.18	2.29
04/20/21	0.01	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.31	0.81	1.25	1.58	2.16	2.27
04/21/21	0.00	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.32	0.81	1.24	1.57	2.16	2.26
04/22/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.57	2.13	2.24
04/23/21	0.01	0.02	0.03	0.03	0.07	0.16	0.34	0.83	1.26	1.58	2.14	2.25
04/26/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.18	0.35	0.85	1.27	1.58	2.13	2.24
04/27/21	0.01	0.02	0.01	0.04	0.06	0.17	0.36	0.88	1.32	1.63	2.18	2.29
04/28/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.17	0.35	0.86	1.31	1.63	2.19	2.29
04/29/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.20	2.31
04/30/21	0.01	0.02	0.01	0.03	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.19	2.30";

!!!!!!Riskless rates - T-Bills USA: Data Processing

iTBillsUSA2019split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2019],13];
iTBillsUSA2020split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2020],13];
iTBillsUSA2021split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2021],13];

(iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split])//Dimensions

iTBillsUSA2019split//First

DateList[{"01/02/19",{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]

(*
column1=Map[DateList[{#,{"Day","Month","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];columns2to13=Map[Rest,iTBillsUSAAlloriginal];
Join[column1,columns2to13]
*)
iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split];iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]=Map[DateList[{#,{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];
iTBillsUSAAlloriginal=iTBillsUSAAlloriginal//ToExpression;
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["TBillsUSA2019to2021.XML",iTBillsUSAAlloriginal];

SetDirectory[NotebookDirectory[]]
(iTBillsUSAAlloriginal=Import["TBillsUSA2019to2021.XML"])//Dimensions
iTBillsUSAAlloriginalDates=iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]

20210512 Consolidation

Import

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
iPricesDJI=Import["20210511iPricesDJI.XML"];
iReturnsDJI=Import["20210511iReturnsDJI.XML"];
iPricesMembersDJI=Import["20210511iPricesMembersDJI.XML"];
iReturnsMembersDJI=Import["20210511iReturnsMembersDJI.XML"];
iTBillsUSAAlloriginal=Import["TBillsUSA2019to2021.XML"];

Dates and Common Dates

iPricesDJIDates=iPricesDJI[[All,1]];
iReturnsDJIDates=iReturnsDJI[[All,1]];
iPricesMembersDJIDates=Table[iPricesMembersDJI[[j,All,1]],{j,1,Length[iPricesMembersDJI]}];
iReturnsMembersDJIDates=Table[iReturnsMembersDJI[[j,All,1]],{j,1,Length[iReturnsMembersDJI]}];
iTBillsUSAAlloriginalDates=iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]];
iCommonDates=Apply[Intersection,Prepend[Prepend[iReturnsMembersDJIDates,iReturnsDJIDates],iTBillsUSAAlloriginalDates]];

Consolidation

(iReturnsMembersDJISelected=Table[Flatten[Map[Select[iReturnsMembersDJI[[j]],Function[x,x[[1]]==#]]&,iCommonDates],1],{j,Length[iReturnsMembersDJI]}])//Dimensions

(iReturnsMembersDJISelected=Table[Flatten[Map[Select[iReturnsMembersDJI[[j]],Function[x,x[[1]]==#]]&,iCommonDates],1],{j,Length[iReturnsMembersDJI]}])//Dimensions
(iReturnsDJISelected=Flatten[Map[Select[iReturnsDJI,Function[x,x[[1]]==#]]&,iCommonDates],1])//Dimensions
(iRisklessRatesSelected=Flatten[Table[Select[iTBillsUSAAlloriginal,Function[x,x[[1]]==j]],{j,iCommonDates}],1])//Dimensions

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
(* Export["20210511iPricesDJI.XML",iPricesDJI]; *)
Export["20210511iReturnsDJISelected.XML",iReturnsDJISelected];
Export["20210511iPricesMembersDJI.XML",iPricesMembersDJI];
Export["20210511iReturnsMembersDJISelected.XML",iReturnsMembersDJISelected];
Export["20210511iRisklessRatesSelected.XML",iRisklessRatesSelected];

!Data for companies in DJI

Download data from the server:

pricesDJI=FinancialData["^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsDJIwithDates=FinancialData["^DJI","Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsDJI=FinancialData["^DJI","Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];

iDatesreturnsDJI=returnsDJIwithDates[[All,1]];

Map[Length,{pricesDJI,returnsDJI}]

membersDJI={"NYSE:MMM","NYSE:AXP","NASDAQ:AMGN","NASDAQ:AAPL","NYSE:BA","NYSE:CAT","NYSE:CVX","NASDAQ:CSCO","NYSE:KO","NYSE:DIS","NYSE:DOW","NYSE:GS","NYSE:HD","NYSE:HON","NASDAQ:INTC","NYSE:IBM","NYSE:JNJ","NYSE:JPM","NYSE:MCD","NYSE:MRK","NASDAQ:MSFT","NYSE:NKE","NYSE:PG","NYSE:CRM","NYSE:TRV","NYSE:UNH","NYSE:VZ","NYSE:V","NASDAQ:WBA","NYSE:WMT"};

membersDJIwithNamesSectors=Map[({#,FinancialData[#,{"Name","Sector"}]}//Flatten)&,membersDJI];
Prepend[membersDJIwithNamesSectors,Map[Style[#,Bold,15]&,{"Company","Name","Sector"}]];
Grid[%,Frame->All]

pricesCompaniesDJI=FinancialData[membersDJI,{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];

{Map[Length,pricesCompaniesDJI]//Min,Dimensions[pricesCompaniesDJI]}

pricesCompaniesDJIc=Map[Take[#,505]&,pricesCompaniesDJI];
%//Dimensions

returnsCompaniesDJI=FinancialData[membersDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];

{Map[Length,returnsCompaniesDJI]//Min,Dimensions[returnsCompaniesDJI]}

returnsCompaniesDJIc=Map[Take[#,504]&,returnsCompaniesDJI];
%//Dimensions

Export

Structure of the files:
returnsCompaniesDJIWithNames.XML:
{{“NYSE:MMM”,{0.00495757,0.00341174,0.00569751,-0.001553,..., {“NYSE:WMT”,...}}
returnsDJI.XML:
Just Returns Values (504 values)

(returnsCompaniesDJIWithNames={membersDJI,returnsCompaniesDJIc}//Transpose)

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsCompaniesDJIWithNames.XML",returnsCompaniesDJIWithNames];
Export["returnsDJI.XML",returnsDJI];
Export["returnsDJIwithDates.XML",returnsDJIwithDates];

***Data a základní charakteristiky

Not necessary to activate:

membersDJI=FinancialData["^DJI","Members"]

membersDJIwithNames=Map[{#,FinancialData[#,"Name"]}&,membersDJI];
Grid[%,Frame->All]

Vybereme 7 společností a index ^DJI:

selectedCompaniesAndDJI={"AAPL","BA","KO","DIS","MCD","V","WMT","^DJI"};

Daily data

pricesDJI=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15}},Method->"Legacy"];
returnsAllwithDJI=FinancialData[selectedCompaniesAndDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15}},"Value",Method->"Legacy"];
Map[Length,returnsAllwithDJI]
Dimensions[returnsAllwithDJI]

DateListPlot[pricesDJI,PlotLabel->"Prices ^DJI"]

returnsAllwithDJI504=Map[Take[#,504]&,returnsAllwithDJI];
Dimensions[returnsAllwithDJI504]
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsAllwithDJI504.XML",returnsAllwithDJI504];
Export["pricesDJI.XML",pricesDJI];

Weekly data

pricesDJIweekly=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},Method->"Legacy"];

pricesDJIweekly=FinancialData[
"^DJI",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},Method->"Legacy"];
returnsAllwithDJIweekly=FinancialData[selectedCompaniesAndDJI,"Return",{{2019,4,15},{2021,4,15},"Week"},"Value",Method->"Legacy"];
Map[Length,returnsAllwithDJIweekly]
Dimensions[returnsAllwithDJIweekly]

DateListPlot[pricesDJIweekly,PlotLabel->"Prices ^DJI Weekly"]

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["returnsAllwithDJIweekly105.XML",returnsAllwithDJIweekly];
Export["pricesDJIweekly105.XML",pricesDJIweekly];

*************BEGIN***Daily and Weekly***********************************************
V případě, že není možné získat data výše uvedeným způsobem, aktivujeme tyto příkazy:

SetDirectory[NotebookDirectory[]]; 
returnsAllwithDJI504Import=Import["returnsAllwithDJI504.XML"]; 
pricesDJIImport=Import["pricesDJI.XML"];
returnsAllwithDJIweeklyImport=Import["returnsAllwithDJIweekly105.XML"];
pricesDJIweeklyImport=Import["pricesDJIweekly105.XML"];
pricesDJI=pricesDJIImport;
returnsAllwithDJI504=returnsAllwithDJI504Import;
pricesDJIweekly=pricesDJIweeklyImport;
returnsAllwithDJIweekly=returnsAllwithDJIweeklyImport;

*************END***Daily and Weekly*************************************************

ListLinePlot[returnsAllwithDJI504,PlotRange->All]

ListLinePlot[returnsAllwithDJIweekly,PlotRange->All]

(* Returns of 7 companies without ^DJI: *)
returnsAllCompanies=Most[returnsAllwithDJI504];
%//Dimensions
(* Returns ^DJI: *)
returnsDJI=Last[returnsAllwithDJI504];

***Characteristics of the data

Očekávané výnosy (rr), rizika výnosů, rozptylová matice (vv) a korelační matice (corr)

rr=Mean[Transpose[returnsAllCompanies]];
vv=Covariance[Transpose[returnsAllCompanies]];
{Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]],Join[{"Oč. výnosy"},rr],Join[{"Rizika"},(Sqrt[Diagonal[vv]])]}//Grid[#,Frame->All]&
Text@Style["Correlation matrix:",Blue]
Prepend[Transpose[Prepend[(corr=Correlation[Transpose[returnsAllCompanies]]),Most[selectedCompaniesAndDJI]]],Join[{" "},Most[selectedCompaniesAndDJI]]]//Grid

Determinant rozptylové matice:

Det[vv]

Svědčí o tom, že matice je prakticky singulární. Je také špatně podmíněná. To zhruba znamená, že malé změny v matici původní vyvolají velké změny v matici inverzní což má přirozeně vliv i na řešení soustavy lineárních rovnic

Max[vv]

Inverse[vv]
(* Inverze mírně porušené původní matice: k diagonále přičteme 0.0001 *)
Inverse[vvPerturbated=vv+0.0001IdentityMatrix[7]]

Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vv:\n",Eigenvalues[Inverse[vv]]}
Row@{"Charakteristická čísla matice inverzní k vvPerturbated\n",Eigenvalues[Inverse[vvPerturbated]]}
Row@{"Determinanty inverzních matic: ",Det[Inverse[vv]],"    ",Det[Inverse[vvPerturbated]]}

!CAPM estimation 20210502 (unknown riskless rate)

Estimation: unknown riskless rate

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
returnsCompaniesDJIWithNames=Import["returnsCompaniesDJIWithNames.XML"];
returnsDJI=Import["returnsDJI.XML"];
returnsDJIwithDates=Import["returnsDJIwithDates.XML"];

(* Checking *)
{Length[returnsCompaniesDJIWithNames],Map[Length,returnsCompaniesDJIWithNames[[All,2]]]}

(* Test *)
{"^DJI",{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsDJI}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}//Flatten

All days (2 years)

TableForm[Table[{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}//Flatten,{j,Length[returnsCompaniesDJIWithNames]}],TableHeadings->{returnsCompaniesDJIWithNames[[All,1]],{"α","β"}}]

Subdivisions: 2 years, first year, second year

TableForm[Table[{{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI,returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI[[1;;252]],returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]][[1;;252]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]},{{α,β}/.FindFit[{returnsDJI[[253;;504]],returnsCompaniesDJIWithNames[[j,2]][[253;;504]]}//Transpose,α+β x,{α,β},x]}}//Flatten,{j,Length[returnsCompaniesDJIWithNames]}],TableHeadings->{returnsCompaniesDJIWithNames[[All,1]],{"α: days 1-504","β: days 1-504","α: days 1-252","β: days 1-252","α: days 253-504","β: days 253-504"}}]

***CAPM estimation 20210502 (known riskless rate)

Estimation: known riskless rate

Further reading

https://demonstrations.wolfram.com/ExpectedReturnsOfTheDowIndustrialsBetaModel/

nebo

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/ExpectedReturnsOfTheDowIndustrialsBetaModel-source.nb

***Riskless rates - T-Bills USA: Data Processing

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2019

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2020

https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/pages/TextView.aspx?data=yieldYear&year=2021

Columns:

Grid[{StringSplit["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]},Frame->All]

"Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"//Split

Split["Date 1 mo 2 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr"]

iTBillsUSA2019="01/02/19	2.40	2.40	2.42	2.51	2.60	2.50	2.47	2.49	2.56	2.66	2.83	2.97
01/03/19	2.42	2.42	2.41	2.47	2.50	2.39	2.35	2.37	2.44	2.56	2.75	2.92
01/04/19	2.40	2.42	2.42	2.51	2.57	2.50	2.47	2.49	2.56	2.67	2.83	2.98
01/07/19	2.42	2.42	2.45	2.54	2.58	2.53	2.51	2.53	2.60	2.70	2.86	2.99
01/08/19	2.40	2.42	2.46	2.54	2.60	2.58	2.57	2.58	2.63	2.73	2.88	3.00
01/09/19	2.40	2.42	2.45	2.52	2.59	2.56	2.54	2.57	2.64	2.74	2.90	3.03
01/10/19	2.42	2.42	2.43	2.51	2.59	2.56	2.54	2.56	2.63	2.74	2.92	3.06
01/11/19	2.41	2.43	2.43	2.50	2.58	2.55	2.51	2.52	2.60	2.71	2.90	3.04
01/14/19	2.42	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.60	2.71	2.91	3.06
01/15/19	2.41	2.43	2.45	2.52	2.57	2.53	2.51	2.53	2.61	2.72	2.92	3.08
01/16/19	2.41	2.40	2.43	2.49	2.57	2.55	2.53	2.54	2.62	2.73	2.92	3.07
01/17/19	2.41	2.41	2.42	2.50	2.57	2.56	2.55	2.58	2.66	2.75	2.93	3.07
01/18/19	2.40	2.40	2.41	2.50	2.60	2.62	2.60	2.62	2.70	2.79	2.95	3.09
01/22/19	2.38	2.40	2.43	2.51	2.59	2.58	2.55	2.57	2.65	2.74	2.91	3.06
01/23/19	2.37	2.38	2.41	2.51	2.59	2.58	2.57	2.59	2.66	2.76	2.93	3.07
01/24/19	2.38	2.41	2.37	2.50	2.58	2.56	2.54	2.55	2.62	2.72	2.89	3.04
01/25/19	2.36	2.41	2.39	2.51	2.60	2.60	2.58	2.59	2.66	2.76	2.92	3.06
01/28/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.60	2.58	2.58	2.65	2.75	2.92	3.06
01/29/19	2.39	2.41	2.42	2.51	2.60	2.56	2.54	2.55	2.61	2.72	2.90	3.04
01/30/19	2.40	2.39	2.42	2.50	2.57	2.52	2.49	2.49	2.58	2.70	2.90	3.06
01/31/19	2.42	2.43	2.41	2.46	2.55	2.45	2.43	2.43	2.51	2.63	2.83	2.99
02/01/19	2.41	2.42	2.40	2.46	2.56	2.52	2.50	2.51	2.59	2.70	2.88	3.03
02/04/19	2.41	2.41	2.42	2.49	2.57	2.53	2.52	2.53	2.62	2.73	2.92	3.06
02/05/19	2.39	2.40	2.42	2.50	2.56	2.53	2.50	2.51	2.60	2.71	2.89	3.03
02/06/19	2.40	2.41	2.42	2.50	2.56	2.52	2.50	2.50	2.59	2.70	2.88	3.03
02/07/19	2.43	2.43	2.42	2.49	2.55	2.48	2.46	2.46	2.54	2.65	2.85	3.00
02/08/19	2.43	2.43	2.43	2.49	2.54	2.45	2.43	2.44	2.53	2.63	2.82	2.97
02/11/19	2.44	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.47	2.47	2.56	2.65	2.85	3.00
02/12/19	2.42	2.43	2.43	2.50	2.55	2.50	2.48	2.49	2.58	2.68	2.87	3.02
02/13/19	2.42	2.42	2.44	2.51	2.55	2.53	2.52	2.53	2.61	2.71	2.89	3.04
02/14/19	2.45	2.43	2.43	2.51	2.53	2.50	2.48	2.48	2.56	2.66	2.85	3.01
02/15/19	2.43	2.43	2.43	2.50	2.55	2.52	2.50	2.49	2.57	2.66	2.84	3.00
02/19/19	2.44	2.42	2.45	2.52	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	2.99
02/20/19	2.41	2.42	2.45	2.51	2.54	2.50	2.47	2.47	2.55	2.65	2.84	3.00
02/21/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.53	2.49	2.51	2.59	2.69	2.89	3.05
02/22/19	2.43	2.45	2.46	2.51	2.55	2.48	2.46	2.47	2.55	2.65	2.86	3.02
02/25/19	2.44	2.46	2.47	2.51	2.56	2.51	2.48	2.48	2.57	2.67	2.87	3.03
02/26/19	2.43	2.44	2.45	2.51	2.55	2.48	2.44	2.45	2.54	2.64	2.84	3.01
02/27/19	2.43	2.44	2.45	2.52	2.54	2.50	2.48	2.49	2.59	2.69	2.91	3.07
02/28/19	2.44	2.47	2.45	2.50	2.54	2.52	2.50	2.52	2.63	2.73	2.94	3.09
03/01/19	2.44	2.46	2.44	2.52	2.55	2.55	2.54	2.56	2.67	2.76	2.97	3.13
03/04/19	2.45	2.46	2.46	2.54	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.09
03/05/19	2.44	2.45	2.46	2.53	2.54	2.55	2.52	2.53	2.63	2.72	2.93	3.08
03/06/19	2.43	2.44	2.47	2.53	2.54	2.52	2.49	2.49	2.59	2.69	2.90	3.06
03/07/19	2.45	2.46	2.45	2.52	2.52	2.47	2.44	2.44	2.54	2.64	2.86	3.03
03/08/19	2.45	2.46	2.46	2.52	2.53	2.45	2.43	2.42	2.51	2.62	2.83	3.00
03/11/19	2.44	2.45	2.46	2.54	2.53	2.47	2.45	2.44	2.53	2.64	2.86	3.03
03/12/19	2.44	2.46	2.46	2.53	2.52	2.45	2.41	2.41	2.50	2.61	2.82	3.00
03/13/19	2.43	2.44	2.45	2.53	2.53	2.45	2.41	2.42	2.51	2.61	2.82	3.02
03/14/19	2.48	2.46	2.45	2.52	2.52	2.46	2.42	2.43	2.53	2.63	2.86	3.04
03/15/19	2.46	2.46	2.45	2.52	2.52	2.43	2.39	2.40	2.49	2.59	2.83	3.02
03/18/19	2.47	2.46	2.44	2.51	2.52	2.45	2.41	2.42	2.51	2.60	2.83	3.01
03/19/19	2.46	2.47	2.46	2.52	2.50	2.46	2.42	2.42	2.51	2.61	2.84	3.02
03/20/19	2.45	2.45	2.48	2.49	2.47	2.40	2.34	2.34	2.44	2.54	2.79	2.98
03/21/19	2.51	2.47	2.49	2.50	2.48	2.41	2.34	2.34	2.44	2.54	2.78	2.96
03/22/19	2.49	2.48	2.46	2.48	2.45	2.31	2.24	2.24	2.34	2.44	2.69	2.88
03/25/19	2.47	2.47	2.46	2.49	2.41	2.26	2.19	2.21	2.32	2.43	2.68	2.87
03/26/19	2.46	2.44	2.46	2.49	2.44	2.24	2.18	2.18	2.29	2.41	2.67	2.86
03/27/19	2.45	2.43	2.44	2.46	2.40	2.22	2.16	2.18	2.28	2.39	2.63	2.83
03/28/19	2.44	2.45	2.43	2.44	2.40	2.23	2.18	2.20	2.29	2.39	2.62	2.81
03/29/19	2.43	2.44	2.40	2.44	2.40	2.27	2.21	2.23	2.31	2.41	2.63	2.81
04/01/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.41	2.33	2.29	2.31	2.40	2.49	2.71	2.89
04/02/19	2.43	2.42	2.42	2.45	2.41	2.30	2.26	2.28	2.38	2.48	2.70	2.88
04/03/19	2.42	2.43	2.44	2.45	2.41	2.33	2.29	2.32	2.42	2.52	2.75	2.93
04/04/19	2.43	2.43	2.44	2.46	2.41	2.33	2.29	2.32	2.41	2.51	2.74	2.92
04/05/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.43	2.35	2.30	2.31	2.40	2.50	2.72	2.91
04/08/19	2.43	2.44	2.43	2.48	2.43	2.36	2.31	2.33	2.42	2.52	2.74	2.93
04/09/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.42	2.35	2.31	2.31	2.40	2.51	2.73	2.92
04/10/19	2.40	2.41	2.43	2.46	2.41	2.31	2.27	2.28	2.37	2.48	2.71	2.90
04/11/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.44	2.35	2.30	2.31	2.40	2.51	2.74	2.94
04/12/19	2.41	2.43	2.44	2.47	2.44	2.40	2.36	2.38	2.47	2.56	2.78	2.97
04/15/19	2.42	2.43	2.43	2.46	2.43	2.40	2.36	2.37	2.46	2.55	2.77	2.96
04/16/19	2.43	2.44	2.43	2.47	2.45	2.41	2.38	2.41	2.50	2.60	2.81	2.99
04/17/19	2.43	2.44	2.44	2.47	2.44	2.40	2.37	2.40	2.49	2.59	2.81	2.99
04/18/19	2.44	2.44	2.42	2.47	2.44	2.38	2.36	2.38	2.46	2.57	2.78	2.96
04/22/19	2.44	2.44	2.44	2.47	2.46	2.38	2.36	2.39	2.49	2.59	2.82	2.99
04/23/19	2.43	2.44	2.45	2.46	2.43	2.36	2.34	2.36	2.46	2.57	2.81	2.98
04/24/19	2.42	2.43	2.44	2.46	2.42	2.32	2.28	2.32	2.41	2.53	2.76	2.94
04/25/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.42	2.33	2.29	2.33	2.42	2.54	2.76	2.94
04/26/19	2.42	2.43	2.42	2.46	2.41	2.28	2.25	2.29	2.39	2.51	2.74	2.92
04/29/19	2.45	2.45	2.44	2.47	2.42	2.30	2.27	2.32	2.42	2.54	2.78	2.96
04/30/19	2.43	2.44	2.43	2.46	2.39	2.27	2.24	2.28	2.39	2.51	2.75	2.93
05/01/19	2.42	2.41	2.43	2.44	2.39	2.31	2.28	2.31	2.41	2.52	2.74	2.92
05/02/19	2.44	2.46	2.47	2.46	2.41	2.35	2.32	2.34	2.44	2.55	2.77	2.94
05/03/19	2.42	2.44	2.43	2.46	2.41	2.33	2.30	2.33	2.43	2.54	2.75	2.93
05/06/19	2.43	2.44	2.44	2.46	2.39	2.31	2.27	2.30	2.40	2.51	2.73	2.91
05/07/19	2.44	2.44	2.43	2.46	2.37	2.28	2.24	2.25	2.35	2.45	2.68	2.86
05/08/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.37	2.30	2.26	2.28	2.38	2.49	2.71	2.89
05/09/19	2.43	2.43	2.43	2.46	2.36	2.26	2.22	2.25	2.34	2.45	2.69	2.87
05/10/19	2.42	2.43	2.43	2.45	2.36	2.26	2.23	2.26	2.37	2.47	2.70	2.89
05/13/19	2.41	2.42	2.41	2.42	2.32	2.18	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.83
05/14/19	2.41	2.42	2.41	2.43	2.32	2.20	2.17	2.20	2.30	2.42	2.67	2.86
05/15/19	2.40	2.41	2.42	2.43	2.30	2.16	2.12	2.15	2.25	2.37	2.63	2.82
05/16/19	2.40	2.41	2.40	2.43	2.33	2.20	2.15	2.18	2.28	2.40	2.65	2.84
05/17/19	2.39	2.40	2.39	2.42	2.33	2.20	2.15	2.17	2.27	2.39	2.63	2.82
05/20/19	2.39	2.39	2.39	2.42	2.34	2.21	2.17	2.21	2.30	2.41	2.65	2.83
05/21/19	2.37	2.38	2.39	2.42	2.36	2.26	2.20	2.23	2.33	2.43	2.67	2.84
05/22/19	2.36	2.37	2.38	2.41	2.37	2.23	2.17	2.19	2.28	2.39	2.64	2.82
05/23/19	2.38	2.38	2.37	2.40	2.32	2.12	2.08	2.11	2.20	2.31	2.56	2.75
05/24/19	2.37	2.38	2.35	2.39	2.33	2.16	2.10	2.12	2.22	2.32	2.57	2.75
05/28/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.31	2.12	2.06	2.06	2.16	2.26	2.52	2.70
05/29/19	2.35	2.36	2.37	2.38	2.30	2.09	2.04	2.05	2.16	2.25	2.50	2.69
05/30/19	2.37	2.38	2.38	2.40	2.29	2.06	2.00	2.03	2.12	2.22	2.46	2.65
05/31/19	2.35	2.38	2.35	2.35	2.21	1.95	1.90	1.93	2.03	2.14	2.39	2.58
06/03/19	2.36	2.36	2.35	2.31	2.11	1.82	1.79	1.83	1.95	2.07	2.34	2.53
06/04/19	2.34	2.36	2.35	2.29	2.11	1.88	1.84	1.89	2.01	2.12	2.41	2.60
06/05/19	2.31	2.35	2.35	2.25	2.04	1.83	1.81	1.86	2.00	2.12	2.42	2.63
06/06/19	2.32	2.35	2.33	2.22	2.02	1.88	1.85	1.88	2.01	2.12	2.42	2.62
06/07/19	2.30	2.32	2.28	2.15	1.97	1.85	1.82	1.85	1.97	2.09	2.36	2.57
06/10/19	2.30	2.31	2.29	2.21	2.03	1.90	1.87	1.91	2.03	2.15	2.42	2.62
06/11/19	2.27	2.26	2.27	2.21	2.05	1.93	1.87	1.92	2.03	2.15	2.42	2.62
06/12/19	2.19	2.22	2.24	2.20	2.02	1.88	1.83	1.88	2.00	2.13	2.41	2.62
06/13/19	2.24	2.23	2.19	2.18	2.00	1.83	1.78	1.84	1.96	2.10	2.39	2.61
06/14/19	2.23	2.21	2.20	2.18	2.00	1.84	1.79	1.85	1.96	2.09	2.38	2.59
06/17/19	2.22	2.21	2.23	2.20	2.03	1.86	1.80	1.85	1.96	2.09	2.37	2.58
06/18/19	2.18	2.20	2.22	2.20	2.04	1.86	1.80	1.83	1.93	2.06	2.34	2.55
06/19/19	2.14	2.18	2.18	2.11	1.96	1.74	1.70	1.77	1.89	2.03	2.32	2.54
06/20/19	2.17	2.15	2.14	2.04	1.91	1.72	1.69	1.74	1.87	2.01	2.31	2.53
06/21/19	2.16	2.16	2.11	2.05	1.95	1.77	1.74	1.80	1.93	2.07	2.37	2.59
06/24/19	2.12	2.13	2.13	2.10	1.92	1.72	1.69	1.75	1.88	2.02	2.33	2.55
06/25/19	2.11	2.12	2.12	2.10	1.93	1.71	1.67	1.73	1.86	2.00	2.31	2.53
06/26/19	2.11	2.12	2.15	2.12	1.96	1.77	1.74	1.80	1.92	2.05	2.35	2.57
06/27/19	2.19	2.15	2.14	2.12	1.93	1.74	1.71	1.76	1.88	2.01	2.31	2.52
06/28/19	2.18	2.15	2.12	2.09	1.92	1.75	1.71	1.76	1.87	2.00	2.31	2.52
07/01/19	2.17	2.16	2.21	2.10	1.94	1.78	1.74	1.79	1.90	2.03	2.34	2.55
07/02/19	2.21	2.17	2.20	2.09	1.91	1.77	1.71	1.75	1.85	1.98	2.29	2.51
07/03/19	2.25	2.20	2.21	2.08	1.91	1.77	1.71	1.74	1.83	1.96	2.25	2.47
07/05/19	2.26	2.22	2.23	2.14	1.98	1.87	1.82	1.84	1.93	2.04	2.34	2.54
07/08/19	2.23	2.24	2.26	2.14	1.99	1.88	1.84	1.86	1.94	2.05	2.32	2.53
07/09/19	2.22	2.24	2.26	2.15	2.00	1.92	1.88	1.88	1.96	2.07	2.34	2.54
07/10/19	2.18	2.18	2.20	2.07	1.93	1.82	1.79	1.82	1.93	2.07	2.36	2.57
07/11/19	2.17	2.17	2.17	2.08	1.97	1.85	1.84	1.88	1.99	2.13	2.42	2.65
07/12/19	2.16	2.18	2.14	2.07	1.96	1.84	1.81	1.86	1.98	2.12	2.42	2.64
07/15/19	2.17	2.19	2.16	2.06	1.95	1.83	1.80	1.84	1.96	2.09	2.39	2.61
07/16/19	2.16	2.17	2.15	2.06	2.00	1.87	1.84	1.88	2.00	2.13	2.42	2.63
07/17/19	2.13	2.14	2.14	2.04	1.95	1.83	1.80	1.83	1.94	2.06	2.35	2.57
07/18/19	2.11	2.12	2.05	2.01	1.90	1.77	1.74	1.78	1.89	2.04	2.34	2.56
07/19/19	2.11	2.16	2.06	2.03	1.94	1.80	1.77	1.80	1.91	2.05	2.35	2.57
07/22/19	2.13	2.16	2.09	2.08	1.95	1.80	1.77	1.80	1.92	2.05	2.36	2.58
07/23/19	2.12	2.15	2.06	2.09	1.97	1.83	1.79	1.83	1.94	2.08	2.38	2.61
07/24/19	2.10	2.14	2.10	2.08	1.98	1.83	1.79	1.82	1.93	2.05	2.36	2.58
07/25/19	2.16	2.17	2.10	2.08	1.99	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.60
07/26/19	2.13	2.15	2.12	2.10	2.00	1.86	1.83	1.85	1.95	2.08	2.38	2.59
07/29/19	2.12	2.16	2.12	2.10	1.98	1.85	1.81	1.84	1.93	2.06	2.37	2.59
07/30/19	2.07	2.10	2.08	2.07	1.97	1.85	1.82	1.84	1.93	2.06	2.36	2.58
07/31/19	2.01	2.07	2.08	2.10	2.00	1.89	1.84	1.84	1.92	2.02	2.31	2.53
08/01/19	2.11	2.14	2.07	2.04	1.88	1.73	1.67	1.68	1.77	1.90	2.21	2.44
08/02/19	2.11	2.12	2.06	2.02	1.85	1.72	1.67	1.66	1.75	1.86	2.16	2.39
08/05/19	2.07	2.08	2.05	1.99	1.78	1.59	1.55	1.55	1.63	1.75	2.07	2.30
08/06/19	2.05	2.08	2.05	2.00	1.80	1.60	1.54	1.53	1.62	1.73	2.03	2.25
08/07/19	2.02	2.04	2.02	1.95	1.75	1.59	1.51	1.52	1.60	1.71	2.01	2.22
08/08/19	2.09	2.07	2.02	1.96	1.79	1.62	1.54	1.54	1.62	1.72	2.02	2.25
08/09/19	2.05	2.06	2.00	1.95	1.78	1.63	1.58	1.57	1.65	1.74	2.03	2.26
08/12/19	2.09	2.06	2.00	1.94	1.75	1.58	1.51	1.49	1.56	1.65	1.92	2.14
08/13/19	2.05	2.04	2.00	1.96	1.86	1.66	1.60	1.57	1.62	1.68	1.94	2.15
08/14/19	1.98	1.98	1.96	1.92	1.79	1.58	1.53	1.51	1.55	1.59	1.84	2.03
08/15/19	2.08	1.97	1.91	1.86	1.72	1.48	1.44	1.42	1.47	1.52	1.80	1.98
08/16/19	2.05	1.95	1.87	1.85	1.71	1.48	1.44	1.42	1.49	1.55	1.82	2.01
08/19/19	2.06	1.96	1.94	1.90	1.75	1.53	1.49	1.47	1.54	1.60	1.88	2.08
08/20/19	2.05	1.96	1.94	1.89	1.72	1.50	1.44	1.42	1.49	1.55	1.84	2.04
08/21/19	2.03	1.98	1.97	1.90	1.77	1.56	1.50	1.47	1.54	1.59	1.87	2.07
08/22/19	2.10	2.02	2.00	1.91	1.79	1.61	1.53	1.50	1.56	1.62	1.90	2.11
08/23/19	2.07	2.02	1.97	1.87	1.73	1.51	1.43	1.40	1.46	1.52	1.82	2.02
08/26/19	2.09	2.03	2.01	1.90	1.75	1.54	1.47	1.43	1.49	1.54	1.84	2.04
08/27/19	2.07	2.03	1.98	1.94	1.77	1.53	1.43	1.40	1.44	1.49	1.77	1.97
08/28/19	2.07	2.04	1.99	1.89	1.74	1.50	1.42	1.37	1.42	1.47	1.76	1.94
08/29/19	2.10	2.03	1.99	1.89	1.75	1.53	1.44	1.40	1.46	1.50	1.78	1.97
08/30/19	2.10	2.04	1.99	1.89	1.76	1.50	1.42	1.39	1.45	1.50	1.78	1.96
09/03/19	2.06	2.01	1.98	1.88	1.72	1.47	1.38	1.35	1.42	1.47	1.77	1.95
09/04/19	2.05	2.02	1.97	1.87	1.69	1.43	1.36	1.32	1.40	1.47	1.77	1.97
09/05/19	2.05	2.01	1.97	1.88	1.73	1.55	1.47	1.43	1.51	1.57	1.86	2.06
09/06/19	2.05	2.00	1.96	1.88	1.73	1.53	1.46	1.42	1.50	1.55	1.83	2.02
09/09/19	2.04	1.99	1.96	1.87	1.74	1.58	1.52	1.49	1.57	1.63	1.91	2.11
09/10/19	2.04	1.99	1.95	1.89	1.81	1.67	1.61	1.58	1.66	1.72	2.00	2.19
09/11/19	2.01	1.97	1.96	1.88	1.79	1.68	1.62	1.60	1.68	1.75	2.02	2.22
09/12/19	1.99	1.97	1.95	1.90	1.82	1.72	1.67	1.65	1.72	1.79	2.06	2.22
09/13/19	1.99	1.98	1.96	1.92	1.88	1.79	1.76	1.75	1.83	1.90	2.17	2.37
09/16/19	2.08	2.02	1.99	1.93	1.86	1.74	1.71	1.69	1.77	1.84	2.11	2.31
09/17/19	2.10	2.06	1.99	1.93	1.87	1.72	1.68	1.66	1.75	1.81	2.08	2.27
09/18/19	1.94	1.93	1.95	1.91	1.87	1.77	1.72	1.68	1.76	1.80	2.06	2.25
09/19/19	2.01	1.99	1.93	1.92	1.88	1.74	1.68	1.66	1.73	1.79	2.04	2.22
09/20/19	1.95	1.94	1.91	1.91	1.84	1.69	1.63	1.61	1.68	1.74	1.99	2.17
09/23/19	1.94	1.94	1.94	1.93	1.81	1.68	1.61	1.59	1.65	1.72	1.98	2.16
09/24/19	1.90	1.90	1.92	1.91	1.78	1.60	1.53	1.52	1.58	1.64	1.91	2.09
09/25/19	1.80	1.86	1.89	1.90	1.82	1.68	1.61	1.60	1.66	1.73	1.99	2.18
09/26/19	1.91	1.90	1.83	1.88	1.79	1.66	1.61	1.59	1.65	1.70	1.96	2.15
09/27/19	1.90	1.86	1.80	1.85	1.74	1.63	1.58	1.56	1.62	1.69	1.95	2.13
09/30/19	1.91	1.87	1.88	1.83	1.75	1.63	1.56	1.55	1.62	1.68	1.94	2.12
10/01/19	1.79	1.77	1.82	1.81	1.73	1.56	1.51	1.51	1.59	1.65	1.93	2.11
10/02/19	1.75	1.75	1.79	1.75	1.67	1.48	1.43	1.43	1.53	1.60	1.90	2.09
10/03/19	1.78	1.75	1.70	1.66	1.58	1.39	1.34	1.34	1.45	1.54	1.85	2.04
10/04/19	1.73	1.74	1.71	1.65	1.58	1.40	1.35	1.34	1.43	1.52	1.81	2.01
10/07/19	1.76	1.76	1.75	1.73	1.64	1.46	1.41	1.38	1.47	1.56	1.85	2.05
10/08/19	1.69	1.72	1.72	1.69	1.62	1.42	1.38	1.36	1.45	1.54	1.84	2.04
10/09/19	1.69	1.70	1.69	1.69	1.59	1.47	1.43	1.40	1.50	1.59	1.88	2.08
10/10/19	1.74	1.71	1.68	1.68	1.63	1.53	1.49	1.48	1.57	1.67	1.96	2.16
10/11/19	1.76	1.74	1.68	1.68	1.67	1.63	1.60	1.59	1.68	1.76	2.04	2.22
10/15/19	1.74	1.72	1.67	1.67	1.65	1.61	1.60	1.59	1.68	1.77	2.06	2.23
10/16/19	1.71	1.68	1.66	1.64	1.59	1.58	1.57	1.57	1.65	1.75	2.05	2.23
10/17/19	1.74	1.70	1.66	1.63	1.59	1.60	1.57	1.57	1.66	1.76	2.05	2.24
10/18/19	1.75	1.69	1.66	1.63	1.58	1.58	1.56	1.56	1.66	1.76	2.06	2.25
10/21/19	1.76	1.70	1.67	1.65	1.59	1.62	1.59	1.61	1.70	1.80	2.10	2.28
10/22/19	1.75	1.69	1.65	1.64	1.59	1.60	1.59	1.60	1.68	1.78	2.07	2.26
10/23/19	1.74	1.69	1.65	1.64	1.58	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.06	2.25
10/24/19	1.75	1.73	1.67	1.65	1.59	1.58	1.58	1.58	1.67	1.77	2.08	2.26
10/25/19	1.73	1.72	1.66	1.66	1.60	1.63	1.62	1.62	1.71	1.80	2.10	2.29
10/28/19	1.74	1.71	1.65	1.65	1.60	1.64	1.65	1.66	1.75	1.85	2.16	2.34
10/29/19	1.66	1.67	1.63	1.64	1.59	1.64	1.65	1.66	1.74	1.84	2.15	2.33
10/30/19	1.61	1.60	1.62	1.62	1.59	1.61	1.60	1.61	1.69	1.78	2.08	2.26
10/31/19	1.59	1.59	1.54	1.57	1.53	1.52	1.52	1.51	1.60	1.69	2.00	2.17
11/01/19	1.58	1.58	1.52	1.55	1.53	1.56	1.55	1.55	1.63	1.73	2.03	2.21
11/04/19	1.58	1.57	1.53	1.57	1.56	1.60	1.59	1.60	1.69	1.79	2.10	2.27
11/05/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.62	1.63	1.63	1.66	1.77	1.86	2.17	2.34
11/06/19	1.55	1.56	1.56	1.57	1.58	1.61	1.60	1.63	1.73	1.81	2.13	2.30
11/07/19	1.57	1.57	1.56	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.84	1.92	2.24	2.40
11/08/19	1.56	1.56	1.55	1.58	1.58	1.68	1.70	1.74	1.86	1.94	2.27	2.43
11/12/19	1.56	1.56	1.59	1.59	1.58	1.66	1.69	1.73	1.84	1.92	2.24	2.39
11/13/19	1.56	1.57	1.57	1.59	1.57	1.63	1.65	1.69	1.79	1.88	2.20	2.36
11/14/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.55	1.58	1.59	1.63	1.73	1.82	2.15	2.31
11/15/19	1.59	1.56	1.57	1.59	1.54	1.61	1.61	1.65	1.75	1.84	2.16	2.31
11/18/19	1.59	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.73	1.81	2.14	2.30
11/19/19	1.58	1.57	1.57	1.58	1.54	1.60	1.59	1.63	1.71	1.79	2.11	2.26
11/20/19	1.57	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.55	1.58	1.66	1.73	2.05	2.20
11/21/19	1.57	1.57	1.58	1.59	1.55	1.60	1.59	1.62	1.71	1.77	2.09	2.24
11/22/19	1.58	1.59	1.58	1.59	1.56	1.61	1.60	1.62	1.71	1.77	2.08	2.22
11/25/19	1.60	1.60	1.61	1.61	1.58	1.61	1.60	1.62	1.71	1.76	2.07	2.21
11/26/19	1.63	1.61	1.60	1.62	1.59	1.58	1.58	1.58	1.68	1.74	2.04	2.18
11/27/19	1.65	1.60	1.62	1.63	1.60	1.63	1.61	1.63	1.71	1.77	2.06	2.19
11/29/19	1.62	1.60	1.59	1.63	1.60	1.61	1.61	1.62	1.73	1.78	2.07	2.21
12/02/19	1.60	1.58	1.60	1.62	1.60	1.61	1.63	1.65	1.77	1.83	2.15	2.28
12/03/19	1.56	1.54	1.57	1.57	1.57	1.53	1.54	1.54	1.65	1.72	2.03	2.17
12/04/19	1.59	1.54	1.55	1.56	1.56	1.58	1.58	1.60	1.71	1.77	2.08	2.22
12/05/19	1.52	1.56	1.54	1.55	1.56	1.58	1.60	1.62	1.73	1.80	2.11	2.24
12/06/19	1.52	1.55	1.53	1.56	1.57	1.61	1.64	1.67	1.78	1.84	2.14	2.29
12/09/19	1.54	1.54	1.54	1.58	1.56	1.63	1.63	1.67	1.77	1.83	2.13	2.27
12/10/19	1.53	1.55	1.56	1.57	1.56	1.65	1.67	1.68	1.78	1.85	2.12	2.26
12/11/19	1.54	1.56	1.57	1.58	1.55	1.61	1.62	1.64	1.74	1.79	2.08	2.23
12/12/19	1.57	1.57	1.56	1.57	1.55	1.66	1.69	1.73	1.84	1.90	2.18	2.32
12/13/19	1.55	1.57	1.57	1.56	1.54	1.61	1.62	1.66	1.76	1.82	2.11	2.26
12/16/19	1.57	1.57	1.57	1.58	1.54	1.65	1.67	1.72	1.82	1.89	2.17	2.30
12/17/19	1.56	1.56	1.56	1.58	1.53	1.63	1.66	1.71	1.82	1.89	2.18	2.31
12/18/19	1.56	1.57	1.56	1.58	1.54	1.63	1.67	1.74	1.86	1.92	2.22	2.35
12/19/19	1.54	1.58	1.57	1.57	1.52	1.62	1.65	1.73	1.84	1.92	2.21	2.35
12/20/19	1.57	1.59	1.58	1.58	1.52	1.63	1.67	1.73	1.84	1.92	2.21	2.34
12/23/19	1.57	1.57	1.59	1.60	1.53	1.64	1.67	1.75	1.86	1.93	2.22	2.35
12/24/19	1.55	1.58	1.58	1.61	1.53	1.62	1.64	1.72	1.83	1.90	2.20	2.33
12/26/19	1.59	1.60	1.58	1.61	1.53	1.64	1.65	1.72	1.85	1.90	2.19	2.33
12/27/19	1.56	1.56	1.57	1.59	1.51	1.59	1.60	1.68	1.80	1.88	2.18	2.32
12/30/19	1.51	1.53	1.57	1.60	1.57	1.58	1.59	1.68	1.81	1.90	2.21	2.34
12/31/19	1.48	1.51	1.55	1.60	1.59	1.58	1.62	1.69	1.83	1.92	2.25	2.39";

iTBillsUSA2020="01/02/20	1.53	1.55	1.54	1.57	1.56	1.58	1.59	1.67	1.79	1.88	2.19	2.33
01/03/20	1.52	1.55	1.52	1.55	1.55	1.53	1.54	1.59	1.71	1.80	2.11	2.26
01/06/20	1.54	1.54	1.56	1.56	1.54	1.54	1.56	1.61	1.72	1.81	2.13	2.28
01/07/20	1.52	1.53	1.54	1.56	1.53	1.54	1.55	1.62	1.74	1.83	2.16	2.31
01/08/20	1.50	1.53	1.54	1.56	1.55	1.58	1.61	1.67	1.78	1.87	2.21	2.35
01/09/20	1.53	1.55	1.54	1.56	1.54	1.58	1.59	1.65	1.77	1.85	2.17	2.38
01/10/20	1.52	1.55	1.54	1.55	1.53	1.56	1.59	1.63	1.74	1.83	2.14	2.28
01/13/20	1.54	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.60	1.65	1.76	1.85	2.16	2.30
01/14/20	1.53	1.56	1.57	1.57	1.53	1.58	1.59	1.63	1.74	1.82	2.12	2.27
01/15/20	1.53	1.56	1.57	1.58	1.54	1.56	1.56	1.60	1.71	1.79	2.09	2.23
01/16/20	1.54	1.56	1.55	1.56	1.54	1.58	1.58	1.63	1.73	1.81	2.11	2.26
01/17/20	1.54	1.56	1.56	1.57	1.56	1.58	1.56	1.63	1.74	1.84	2.16	2.29
01/21/20	1.52	1.54	1.56	1.57	1.54	1.53	1.53	1.57	1.69	1.78	2.10	2.23
01/22/20	1.52	1.53	1.55	1.56	1.55	1.53	1.52	1.57	1.68	1.77	2.07	2.22
01/23/20	1.55	1.57	1.55	1.56	1.55	1.51	1.51	1.55	1.65	1.74	2.03	2.18
01/24/20	1.54	1.55	1.54	1.55	1.55	1.49	1.48	1.51	1.61	1.70	2.00	2.14
01/27/20	1.53	1.55	1.55	1.57	1.53	1.44	1.41	1.44	1.52	1.61	1.91	2.05
01/28/20	1.53	1.57	1.57	1.58	1.53	1.45	1.45	1.47	1.56	1.65	1.95	2.10
01/29/20	1.52	1.55	1.56	1.57	1.51	1.42	1.39	1.41	1.51	1.60	1.89	2.05
01/30/20	1.59	1.58	1.57	1.57	1.48	1.41	1.37	1.39	1.49	1.57	1.88	2.04
01/31/20	1.56	1.57	1.55	1.54	1.45	1.33	1.30	1.32	1.42	1.51	1.83	1.99
02/03/20	1.56	1.57	1.57	1.56	1.46	1.36	1.34	1.35	1.45	1.54	1.84	2.01
02/04/20	1.55	1.57	1.57	1.57	1.48	1.41	1.40	1.42	1.52	1.61	1.91	2.08
02/05/20	1.55	1.56	1.57	1.57	1.49	1.44	1.43	1.46	1.57	1.66	1.97	2.14
02/06/20	1.59	1.59	1.57	1.58	1.51	1.44	1.43	1.45	1.56	1.65	1.94	2.11
02/07/20	1.57	1.58	1.56	1.57	1.49	1.41	1.39	1.41	1.51	1.59	1.89	2.05
02/10/20	1.58	1.58	1.58	1.58	1.45	1.37	1.36	1.38	1.47	1.56	1.87	2.03
02/11/20	1.57	1.58	1.57	1.55	1.48	1.41	1.39	1.40	1.50	1.59	1.89	2.05
02/12/20	1.57	1.59	1.58	1.56	1.49	1.44	1.42	1.45	1.55	1.62	1.93	2.09
02/13/20	1.59	1.59	1.59	1.56	1.48	1.44	1.42	1.43	1.53	1.61	1.91	2.07
02/14/20	1.60	1.60	1.58	1.56	1.49	1.42	1.40	1.42	1.51	1.59	1.89	2.04
02/18/20	1.61	1.60	1.58	1.56	1.47	1.41	1.37	1.39	1.48	1.55	1.85	2.00
02/19/20	1.61	1.61	1.58	1.56	1.47	1.42	1.39	1.41	1.50	1.56	1.86	2.01
02/20/20	1.61	1.60	1.58	1.55	1.46	1.39	1.35	1.37	1.45	1.52	1.81	1.97
02/21/20	1.60	1.60	1.56	1.53	1.43	1.34	1.30	1.30	1.39	1.46	1.75	1.90
02/24/20	1.60	1.59	1.53	1.49	1.35	1.26	1.21	1.21	1.30	1.38	1.68	1.84
02/25/20	1.59	1.58	1.53	1.47	1.30	1.20	1.16	1.16	1.25	1.33	1.63	1.80
02/26/20	1.59	1.56	1.53	1.42	1.26	1.16	1.14	1.14	1.25	1.33	1.64	1.81
02/27/20	1.56	1.53	1.45	1.33	1.18	1.11	1.08	1.11	1.22	1.30	1.61	1.79
02/28/20	1.45	1.37	1.27	1.11	0.97	0.86	0.85	0.89	1.03	1.13	1.46	1.65
03/02/20	1.41	1.27	1.13	0.95	0.89	0.84	0.85	0.88	1.01	1.10	1.46	1.66
03/03/20	1.11	1.05	0.95	0.83	0.73	0.71	0.72	0.77	0.91	1.02	1.44	1.64
03/04/20	1.00	0.87	0.72	0.68	0.59	0.67	0.68	0.75	0.90	1.02	1.45	1.67
03/05/20	0.92	0.83	0.62	0.53	0.48	0.59	0.61	0.67	0.81	0.92	1.34	1.56
03/06/20	0.79	0.64	0.45	0.41	0.39	0.49	0.53	0.58	0.69	0.74	1.09	1.25
03/09/20	0.57	0.52	0.33	0.27	0.31	0.38	0.40	0.46	0.56	0.54	0.87	0.99
03/10/20	0.57	0.55	0.44	0.43	0.43	0.50	0.58	0.63	0.73	0.76	1.16	1.28
03/11/20	0.42	0.42	0.42	0.40	0.40	0.50	0.58	0.66	0.78	0.82	1.13	1.30
03/12/20	0.41	0.33	0.33	0.37	0.39	0.50	0.58	0.66	0.82	0.88	1.27	1.49
03/13/20	0.33	0.30	0.28	0.38	0.38	0.49	0.58	0.70	0.89	0.94	1.31	1.56
03/16/20	0.25	0.25	0.24	0.29	0.29	0.36	0.43	0.49	0.67	0.73	1.10	1.34
03/17/20	0.12	0.18	0.19	0.24	0.30	0.47	0.54	0.66	0.91	1.02	1.45	1.63
03/18/20	0.04	0.03	0.02	0.08	0.21	0.54	0.66	0.79	1.08	1.18	1.60	1.77
03/19/20	0.04	0.04	0.04	0.06	0.20	0.44	0.53	0.66	1.00	1.12	1.56	1.78
03/20/20	0.04	0.05	0.05	0.05	0.15	0.37	0.41	0.52	0.82	0.92	1.35	1.55
03/23/20	0.01	0.04	0.02	0.08	0.17	0.28	0.31	0.38	0.63	0.76	1.12	1.33
03/24/20	0.01	0.01	0.01	0.09	0.25	0.38	0.44	0.52	0.75	0.84	1.19	1.39
03/25/20	0.00	0.00	0.00	0.07	0.19	0.34	0.41	0.56	0.77	0.88	1.23	1.45
03/26/20	0.01	0.01	0.00	0.04	0.13	0.30	0.36	0.51	0.72	0.83	1.20	1.42
03/27/20	0.01	0.03	0.03	0.02	0.11	0.25	0.30	0.41	0.60	0.72	1.09	1.29
03/30/20	0.04	0.07	0.12	0.12	0.14	0.23	0.29	0.39	0.57	0.70	1.10	1.31
03/31/20	0.05	0.12	0.11	0.15	0.17	0.23	0.29	0.37	0.55	0.70	1.15	1.35
04/01/20	0.03	0.07	0.09	0.14	0.16	0.23	0.28	0.37	0.51	0.62	1.04	1.27
04/02/20	0.09	0.10	0.09	0.15	0.14	0.23	0.29	0.39	0.53	0.63	1.04	1.26
04/03/20	0.09	0.11	0.10	0.15	0.15	0.23	0.30	0.39	0.52	0.62	1.05	1.24
04/06/20	0.09	0.13	0.15	0.17	0.20	0.27	0.35	0.44	0.58	0.67	1.08	1.27
04/07/20	0.10	0.13	0.14	0.20	0.20	0.28	0.36	0.48	0.64	0.75	1.13	1.32
04/08/20	0.14	0.17	0.22	0.24	0.23	0.27	0.34	0.47	0.65	0.77	1.18	1.37
04/09/20	0.20	0.27	0.25	0.24	0.25	0.23	0.29	0.41	0.60	0.73	1.15	1.35
04/13/20	0.17	0.29	0.26	0.27	0.27	0.25	0.31	0.44	0.63	0.76	1.19	1.39
04/14/20	0.17	0.19	0.20	0.24	0.25	0.23	0.29	0.42	0.61	0.76	1.19	1.41
04/15/20	0.14	0.15	0.14	0.19	0.19	0.20	0.24	0.34	0.49	0.63	1.06	1.27
04/16/20	0.14	0.15	0.14	0.18	0.17	0.20	0.25	0.35	0.50	0.61	1.01	1.21
04/17/20	0.12	0.12	0.12	0.16	0.16	0.20	0.26	0.36	0.53	0.65	1.08	1.27
04/20/20	0.10	0.10	0.12	0.15	0.15	0.20	0.26	0.35	0.51	0.63	1.04	1.23
04/21/20	0.08	0.08	0.11	0.14	0.17	0.20	0.24	0.34	0.48	0.58	0.98	1.17
04/22/20	0.09	0.09	0.12	0.14	0.16	0.22	0.26	0.37	0.52	0.63	1.03	1.22
04/23/20	0.09	0.12	0.11	0.14	0.17	0.22	0.26	0.37	0.51	0.61	0.99	1.18
04/24/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.18	0.22	0.26	0.36	0.51	0.60	0.98	1.17
04/27/20	0.09	0.13	0.12	0.15	0.17	0.24	0.29	0.41	0.56	0.67	1.06	1.25
04/28/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.26	0.37	0.52	0.62	1.00	1.20
04/29/20	0.10	0.09	0.10	0.12	0.18	0.20	0.24	0.36	0.52	0.63	1.02	1.24
04/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.16	0.20	0.24	0.36	0.53	0.64	1.05	1.28
05/01/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.17	0.20	0.25	0.36	0.53	0.64	1.04	1.27
05/04/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.16	0.19	0.24	0.36	0.52	0.64	1.05	1.29
05/05/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.19	0.24	0.36	0.53	0.66	1.07	1.32
05/06/20	0.08	0.10	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.37	0.57	0.72	1.16	1.41
05/07/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.15	0.13	0.19	0.29	0.49	0.63	1.05	1.31
05/08/20	0.10	0.11	0.12	0.15	0.15	0.16	0.21	0.33	0.53	0.69	1.12	1.39
05/11/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.16	0.17	0.24	0.36	0.56	0.73	1.16	1.43
05/12/20	0.10	0.11	0.13	0.16	0.16	0.17	0.22	0.34	0.53	0.69	1.11	1.38
05/13/20	0.10	0.10	0.13	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.50	0.64	1.07	1.35
05/14/20	0.09	0.10	0.12	0.15	0.15	0.16	0.20	0.31	0.48	0.63	1.03	1.30
05/15/20	0.09	0.09	0.12	0.15	0.15	0.16	0.19	0.31	0.49	0.64	1.05	1.32
05/18/20	0.10	0.11	0.13	0.15	0.17	0.18	0.24	0.38	0.57	0.73	1.17	1.44
05/19/20	0.09	0.11	0.13	0.15	0.16	0.17	0.22	0.35	0.54	0.70	1.15	1.43
05/20/20	0.08	0.11	0.12	0.14	0.16	0.16	0.21	0.34	0.53	0.68	1.19	1.40
05/21/20	0.09	0.11	0.12	0.14	0.16	0.17	0.21	0.35	0.53	0.68	1.16	1.40
05/22/20	0.09	0.11	0.12	0.16	0.17	0.17	0.21	0.34	0.51	0.66	1.12	1.37
05/26/20	0.10	0.12	0.14	0.17	0.17	0.18	0.22	0.35	0.53	0.69	1.19	1.43
05/27/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.34	0.52	0.68	1.19	1.44
05/28/20	0.14	0.15	0.15	0.18	0.17	0.17	0.22	0.34	0.54	0.70	1.23	1.47
05/29/20	0.13	0.14	0.14	0.18	0.17	0.16	0.19	0.30	0.50	0.65	1.18	1.41
06/01/20	0.12	0.14	0.14	0.18	0.17	0.14	0.20	0.31	0.50	0.66	1.22	1.46
06/02/20	0.12	0.13	0.15	0.18	0.17	0.17	0.20	0.32	0.52	0.68	1.24	1.48
06/03/20	0.12	0.14	0.16	0.19	0.17	0.19	0.26	0.38	0.59	0.77	1.32	1.56
06/04/20	0.13	0.15	0.15	0.18	0.17	0.19	0.26	0.40	0.63	0.82	1.38	1.61
06/05/20	0.13	0.14	0.15	0.18	0.18	0.22	0.29	0.47	0.71	0.91	1.46	1.68
06/08/20	0.15	0.15	0.17	0.19	0.19	0.22	0.29	0.45	0.69	0.88	1.43	1.65
06/09/20	0.14	0.17	0.19	0.19	0.19	0.20	0.25	0.40	0.65	0.84	1.37	1.59
06/10/20	0.13	0.16	0.17	0.19	0.18	0.17	0.22	0.33	0.56	0.75	1.31	1.53
06/11/20	0.14	0.16	0.17	0.18	0.19	0.19	0.22	0.32	0.51	0.66	1.19	1.41
06/12/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.18	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/15/20	0.15	0.16	0.18	0.19	0.17	0.19	0.22	0.33	0.54	0.71	1.24	1.45
06/16/20	0.14	0.15	0.17	0.19	0.18	0.21	0.23	0.34	0.56	0.75	1.31	1.54
06/17/20	0.13	0.15	0.17	0.18	0.19	0.19	0.23	0.34	0.55	0.74	1.30	1.52
06/18/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.19	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.24	1.47
06/19/20	0.13	0.14	0.15	0.17	0.18	0.19	0.22	0.33	0.53	0.70	1.23	1.47
06/22/20	0.14	0.15	0.16	0.18	0.17	0.19	0.22	0.34	0.54	0.71	1.23	1.46
06/23/20	0.12	0.14	0.16	0.17	0.18	0.18	0.22	0.33	0.54	0.72	1.25	1.49
06/24/20	0.11	0.14	0.15	0.17	0.17	0.19	0.21	0.33	0.52	0.69	1.21	1.44
06/25/20	0.13	0.14	0.16	0.17	0.17	0.17	0.21	0.32	0.53	0.68	1.20	1.43
06/26/20	0.12	0.15	0.14	0.17	0.17	0.17	0.19	0.30	0.49	0.64	1.15	1.37
06/29/20	0.11	0.14	0.14	0.18	0.16	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.16	1.39
06/30/20	0.13	0.14	0.16	0.18	0.16	0.16	0.18	0.29	0.49	0.66	1.18	1.41
07/01/20	0.12	0.12	0.14	0.17	0.16	0.17	0.19	0.31	0.52	0.69	1.20	1.43
07/02/20	0.13	0.14	0.14	0.16	0.16	0.16	0.19	0.29	0.50	0.68	1.20	1.43
07/06/20	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.16	0.19	0.31	0.51	0.69	1.21	1.45
07/07/20	0.12	0.14	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.29	0.48	0.65	1.15	1.38
07/08/20	0.11	0.13	0.15	0.17	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.67	1.16	1.39
07/09/20	0.11	0.12	0.13	0.16	0.15	0.16	0.18	0.28	0.46	0.62	1.09	1.32
07/10/20	0.10	0.12	0.13	0.15	0.15	0.16	0.19	0.30	0.49	0.65	1.12	1.33
07/13/20	0.11	0.12	0.14	0.15	0.16	0.16	0.19	0.30	0.48	0.64	1.11	1.33
07/14/20	0.11	0.14	0.15	0.14	0.17	0.14	0.19	0.28	0.47	0.63	1.09	1.30
07/15/20	0.12	0.13	0.16	0.15	0.15	0.16	0.18	0.28	0.47	0.64	1.11	1.33
07/16/20	0.12	0.11	0.11	0.13	0.14	0.16	0.17	0.28	0.46	0.62	1.09	1.31
07/17/20	0.11	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.18	0.29	0.47	0.64	1.11	1.33
07/20/20	0.11	0.12	0.13	0.14	0.14	0.16	0.18	0.29	0.47	0.62	1.10	1.32
07/21/20	0.09	0.11	0.13	0.13	0.15	0.14	0.17	0.27	0.45	0.61	1.09	1.31
07/22/20	0.09	0.12	0.13	0.14	0.14	0.14	0.17	0.27	0.45	0.60	1.08	1.29
07/23/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.16	0.27	0.44	0.59	1.03	1.24
07/24/20	0.10	0.11	0.11	0.14	0.16	0.14	0.17	0.27	0.44	0.59	1.03	1.23
07/27/20	0.10	0.10	0.11	0.14	0.14	0.15	0.18	0.30	0.46	0.62	1.05	1.25
07/28/20	0.09	0.11	0.11	0.12	0.14	0.14	0.16	0.26	0.44	0.59	1.01	1.22
07/29/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.12	0.15	0.25	0.43	0.58	1.03	1.24
07/30/20	0.10	0.10	0.09	0.11	0.11	0.11	0.14	0.23	0.40	0.55	0.98	1.20
07/31/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/03/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.11	0.13	0.22	0.40	0.56	1.01	1.23
08/04/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.11	0.10	0.19	0.36	0.52	0.96	1.19
08/05/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.12	0.11	0.13	0.22	0.39	0.55	1.00	1.22
08/06/20	0.07	0.11	0.10	0.11	0.14	0.11	0.13	0.21	0.39	0.55	0.98	1.20
08/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.13	0.14	0.23	0.41	0.57	1.01	1.23
08/10/20	0.09	0.11	0.11	0.13	0.13	0.14	0.15	0.24	0.42	0.59	1.04	1.25
08/11/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.15	0.16	0.18	0.27	0.46	0.64	1.10	1.32
08/12/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.19	0.30	0.50	0.69	1.15	1.37
08/13/20	0.08	0.10	0.10	0.12	0.14	0.16	0.19	0.32	0.52	0.71	1.20	1.42
08/14/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.51	0.71	1.21	1.45
08/17/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.18	0.29	0.49	0.69	1.19	1.43
08/18/20	0.08	0.09	0.09	0.13	0.13	0.14	0.17	0.27	0.47	0.67	1.16	1.40
08/19/20	0.07	0.09	0.11	0.12	0.13	0.14	0.17	0.29	0.48	0.68	1.20	1.42
08/20/20	0.08	0.09	0.11	0.13	0.12	0.13	0.15	0.26	0.46	0.65	1.15	1.38
08/21/20	0.07	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.16	0.27	0.46	0.64	1.13	1.35
08/24/20	0.09	0.10	0.12	0.12	0.14	0.14	0.18	0.28	0.47	0.65	1.14	1.35
08/25/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.18	0.30	0.49	0.69	1.18	1.39
08/26/20	0.08	0.10	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.28	0.50	0.69	1.20	1.41
08/27/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.31	0.53	0.74	1.28	1.50
08/28/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.28	0.51	0.74	1.29	1.52
08/31/20	0.08	0.10	0.11	0.13	0.12	0.14	0.15	0.28	0.50	0.72	1.26	1.49
09/01/20	0.09	0.11	0.12	0.13	0.12	0.13	0.14	0.26	0.46	0.68	1.20	1.43
09/02/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.16	0.26	0.45	0.66	1.16	1.38
09/03/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.12	0.13	0.15	0.24	0.43	0.63	1.13	1.34
09/04/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.50	0.72	1.25	1.46
09/08/20	0.10	0.10	0.13	0.14	0.15	0.14	0.17	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/09/20	0.10	0.11	0.12	0.14	0.14	0.14	0.17	0.28	0.48	0.71	1.25	1.45
09/10/20	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.14	0.17	0.26	0.46	0.68	1.22	1.43
09/11/20	0.10	0.11	0.11	0.12	0.13	0.13	0.16	0.26	0.45	0.67	1.21	1.42
09/14/20	0.10	0.11	0.11	0.13	0.14	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/15/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.21	1.43
09/16/20	0.08	0.11	0.12	0.12	0.12	0.14	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.45
09/17/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.22	1.43
09/18/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.13	0.14	0.16	0.29	0.48	0.70	1.24	1.45
09/21/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.22	1.43
09/22/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.15	0.27	0.46	0.68	1.21	1.42
09/23/20	0.08	0.09	0.11	0.11	0.13	0.14	0.15	0.28	0.46	0.68	1.21	1.42
09/24/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.67	1.19	1.40
09/25/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.15	0.26	0.45	0.66	1.19	1.40
09/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.12	0.14	0.16	0.26	0.46	0.67	1.20	1.42
09/29/20	0.07	0.08	0.09	0.11	0.12	0.11	0.13	0.24	0.44	0.66	1.19	1.41
09/30/20	0.08	0.08	0.10	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.47	0.69	1.23	1.46
10/01/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.12	0.14	0.16	0.27	0.46	0.68	1.23	1.45
10/02/20	0.10	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.28	0.48	0.70	1.25	1.48
10/05/20	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.14	0.19	0.33	0.55	0.78	1.34	1.57
10/06/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.14	0.14	0.17	0.32	0.53	0.76	1.33	1.56
10/07/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.16	0.21	0.35	0.56	0.81	1.37	1.60
10/08/20	0.09	0.09	0.09	0.12	0.13	0.13	0.18	0.33	0.54	0.78	1.34	1.57
10/09/20	0.10	0.11	0.10	0.12	0.15	0.16	0.20	0.34	0.55	0.79	1.34	1.58
10/13/20	0.09	0.09	0.11	0.12	0.13	0.16	0.18	0.31	0.52	0.74	1.29	1.52
10/14/20	0.10	0.10	0.12	0.12	0.13	0.14	0.18	0.30	0.51	0.73	1.28	1.50
10/15/20	0.10	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.52	0.74	1.29	1.52
10/16/20	0.09	0.10	0.11	0.12	0.12	0.14	0.18	0.32	0.53	0.76	1.30	1.52
10/19/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.13	0.16	0.19	0.34	0.54	0.78	1.32	1.55
10/20/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.19	0.34	0.57	0.81	1.37	1.60
10/21/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.13	0.14	0.20	0.36	0.58	0.83	1.40	1.62
10/22/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.21	0.38	0.62	0.87	1.43	1.67
10/23/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.18	0.21	0.37	0.61	0.85	1.41	1.64
10/26/20	0.08	0.09	0.11	0.12	0.12	0.16	0.18	0.35	0.58	0.81	1.37	1.59
10/27/20	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.57
10/28/20	0.07	0.09	0.10	0.11	0.12	0.16	0.19	0.34	0.56	0.79	1.34	1.56
10/29/20	0.08	0.10	0.09	0.10	0.12	0.16	0.20	0.38	0.61	0.85	1.39	1.62
10/30/20	0.08	0.09	0.09	0.11	0.13	0.14	0.19	0.38	0.64	0.88	1.43	1.65
11/02/20	0.09	0.09	0.09	0.11	0.13	0.16	0.20	0.38	0.63	0.87	1.41	1.63
11/03/20	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.17	0.21	0.39	0.65	0.90	1.44	1.66
11/04/20	0.08	0.09	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.55	0.78	1.33	1.55
11/05/20	0.09	0.10	0.10	0.10	0.12	0.14	0.18	0.33	0.56	0.79	1.32	1.54
11/06/20	0.10	0.10	0.10	0.11	0.12	0.16	0.21	0.36	0.59	0.83	1.37	1.60
11/09/20	0.10	0.10	0.11	0.11	0.12	0.17	0.25	0.44	0.70	0.96	1.51	1.73
11/10/20	0.09	0.09	0.10	0.11	0.12	0.19	0.26	0.46	0.72	0.98	1.53	1.75
11/12/20	0.10	0.11	0.10	0.10	0.13	0.17	0.23	0.40	0.64	0.88	1.42	1.64
11/13/20	0.10	0.09	0.09	0.10	0.12	0.17	0.23	0.41	0.65	0.89	1.43	1.65
11/16/20	0.09	0.10	0.09	0.12	0.12	0.19	0.24	0.41	0.66	0.91	1.44	1.66
11/17/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.12	0.18	0.22	0.39	0.63	0.87	1.40	1.62
11/18/20	0.07	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.40	0.64	0.88	1.42	1.62
11/19/20	0.08	0.08	0.07	0.10	0.11	0.18	0.22	0.39	0.63	0.86	1.38	1.58
11/20/20	0.09	0.09	0.07	0.10	0.11	0.16	0.21	0.38	0.62	0.83	1.33	1.53
11/23/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.16	0.22	0.39	0.64	0.86	1.36	1.56
11/24/20	0.08	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.39	0.65	0.88	1.40	1.60
11/25/20	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.17	0.21	0.39	0.65	0.88	1.41	1.62
11/27/20	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.20	0.37	0.61	0.84	1.36	1.57
11/30/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.16	0.19	0.36	0.62	0.84	1.37	1.58
12/01/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.12	0.17	0.22	0.42	0.68	0.92	1.46	1.66
12/02/20	0.07	0.08	0.09	0.10	0.11	0.16	0.22	0.42	0.69	0.95	1.50	1.70
12/03/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.40	0.67	0.92	1.46	1.67
12/04/20	0.07	0.07	0.09	0.10	0.11	0.16	0.21	0.42	0.70	0.97	1.53	1.73
12/07/20	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.20	0.40	0.67	0.94	1.49	1.69
12/08/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.46	1.67
12/09/20	0.07	0.07	0.08	0.09	0.10	0.16	0.21	0.41	0.68	0.95	1.48	1.69
12/10/20	0.07	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.20	0.39	0.65	0.92	1.44	1.65
12/11/20	0.08	0.08	0.08	0.08	0.10	0.11	0.18	0.37	0.63	0.90	1.42	1.63
12/14/20	0.07	0.08	0.09	0.08	0.10	0.13	0.17	0.37	0.63	0.90	1.43	1.63
12/15/20	0.07	0.08	0.08	0.08	0.09	0.11	0.18	0.37	0.64	0.92	1.45	1.65
12/16/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.37	0.64	0.92	1.46	1.66
12/17/20	0.08	0.09	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.38	0.66	0.94	1.47	1.68
12/18/20	0.08	0.08	0.08	0.09	0.09	0.13	0.19	0.39	0.67	0.95	1.49	1.70
12/21/20	0.08	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.39	0.66	0.95	1.48	1.68
12/22/20	0.07	0.09	0.09	0.09	0.09	0.13	0.17	0.37	0.64	0.93	1.45	1.65
12/23/20	0.07	0.08	0.09	0.09	0.09	0.13	0.18	0.38	0.67	0.96	1.49	1.70
12/24/20	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.37	0.66	0.94	1.46	1.66
12/28/20	0.09	0.10	0.11	0.11	0.11	0.13	0.17	0.38	0.65	0.94	1.46	1.67
12/29/20	0.08	0.09	0.10	0.12	0.11	0.12	0.17	0.37	0.66	0.94	1.47	1.67
12/30/20	0.06	0.06	0.08	0.09	0.12	0.12	0.17	0.37	0.66	0.93	1.46	1.66
12/31/20	0.08	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.36	0.65	0.93	1.45	1.65";

iTBillsUSA2021="01/04/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.11	0.16	0.36	0.64	0.93	1.46	1.66
01/05/21	0.08	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.38	0.66	0.96	1.49	1.70
01/06/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.20	0.43	0.74	1.04	1.60	1.81
01/07/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.11	0.14	0.22	0.46	0.78	1.08	1.64	1.85
01/08/21	0.08	0.08	0.08	0.09	0.10	0.14	0.24	0.49	0.81	1.13	1.67	1.87
01/11/21	0.09	0.08	0.08	0.10	0.10	0.14	0.22	0.50	0.84	1.15	1.68	1.88
01/12/21	0.09	0.08	0.09	0.09	0.11	0.14	0.23	0.50	0.83	1.15	1.68	1.88
01/13/21	0.09	0.08	0.09	0.10	0.12	0.14	0.22	0.48	0.80	1.10	1.63	1.82
01/14/21	0.09	0.09	0.09	0.09	0.10	0.16	0.23	0.49	0.82	1.15	1.69	1.88
01/15/21	0.08	0.09	0.09	0.10	0.10	0.13	0.20	0.46	0.78	1.11	1.66	1.85
01/19/21	0.07	0.09	0.09	0.11	0.10	0.14	0.21	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/20/21	0.08	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.45	0.78	1.10	1.65	1.84
01/21/21	0.07	0.09	0.09	0.09	0.10	0.13	0.19	0.45	0.79	1.12	1.68	1.87
01/22/21	0.07	0.08	0.08	0.10	0.10	0.13	0.19	0.44	0.77	1.10	1.66	1.85
01/25/21	0.07	0.08	0.09	0.09	0.10	0.13	0.17	0.42	0.73	1.05	1.61	1.80
01/26/21	0.05	0.07	0.07	0.09	0.09	0.11	0.18	0.42	0.74	1.05	1.61	1.80
01/27/21	0.05	0.06	0.08	0.09	0.09	0.12	0.18	0.41	0.72	1.04	1.60	1.79
01/28/21	0.05	0.06	0.07	0.08	0.08	0.12	0.18	0.42	0.75	1.07	1.63	1.81
01/29/21	0.07	0.07	0.06	0.07	0.10	0.11	0.19	0.45	0.79	1.11	1.68	1.87
02/01/21	0.06	0.07	0.07	0.08	0.08	0.11	0.17	0.42	0.76	1.09	1.66	1.84
02/02/21	0.04	0.05	0.07	0.08	0.08	0.11	0.18	0.45	0.79	1.12	1.69	1.87
02/03/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.11	0.19	0.46	0.81	1.15	1.73	1.92
02/04/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.18	0.46	0.81	1.15	1.75	1.93
02/05/21	0.02	0.03	0.03	0.05	0.06	0.09	0.19	0.47	0.83	1.19	1.79	1.97
02/08/21	0.04	0.03	0.05	0.05	0.07	0.11	0.20	0.48	0.83	1.19	1.78	1.96
02/09/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.19	0.48	0.83	1.18	1.78	1.95
02/10/21	0.05	0.04	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.80	1.15	1.75	1.92
02/11/21	0.05	0.05	0.05	0.06	0.07	0.11	0.19	0.46	0.81	1.16	1.77	1.94
02/12/21	0.03	0.04	0.04	0.05	0.06	0.11	0.20	0.50	0.85	1.20	1.83	2.01
02/16/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.23	0.57	0.94	1.30	1.92	2.08
02/17/21	0.03	0.04	0.04	0.06	0.07	0.11	0.21	0.57	0.94	1.29	1.92	2.06
02/18/21	0.03	0.03	0.03	0.04	0.06	0.11	0.21	0.56	0.94	1.29	1.91	2.08
02/19/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.07	0.11	0.22	0.59	0.98	1.34	1.98	2.14
02/22/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.11	0.22	0.61	1.00	1.37	2.02	2.19
02/23/21	0.03	0.02	0.04	0.05	0.08	0.11	0.22	0.59	1.00	1.37	2.03	2.21
02/24/21	0.03	0.03	0.03	0.05	0.08	0.12	0.24	0.62	1.02	1.38	2.07	2.24
02/25/21	0.04	0.03	0.04	0.06	0.09	0.17	0.34	0.81	1.23	1.54	2.25	2.33
02/26/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.30	0.75	1.15	1.44	2.08	2.17
03/01/21	0.03	0.03	0.05	0.07	0.08	0.13	0.27	0.71	1.12	1.45	2.11	2.23
03/02/21	0.04	0.04	0.04	0.06	0.08	0.13	0.26	0.67	1.08	1.42	2.09	2.21
03/03/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.08	0.14	0.29	0.73	1.14	1.47	2.12	2.25
03/04/21	0.03	0.05	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.77	1.21	1.54	2.18	2.30
03/05/21	0.04	0.04	0.04	0.07	0.08	0.14	0.32	0.79	1.23	1.56	2.18	2.28
03/08/21	0.04	0.04	0.05	0.06	0.09	0.17	0.34	0.86	1.28	1.59	2.20	2.31
03/09/21	0.04	0.04	0.05	0.07	0.10	0.17	0.35	0.83	1.23	1.55	2.16	2.26
03/10/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.08	0.16	0.32	0.80	1.20	1.53	2.15	2.24
03/11/21	0.04	0.04	0.04	0.05	0.08	0.14	0.31	0.78	1.20	1.54	2.18	2.29
03/12/21	0.03	0.03	0.04	0.06	0.09	0.14	0.34	0.85	1.30	1.64	2.31	2.40
03/15/21	0.02	0.02	0.04	0.06	0.08	0.14	0.33	0.84	1.28	1.62	2.27	2.37
03/16/21	0.01	0.02	0.02	0.06	0.07	0.15	0.33	0.83	1.28	1.62	2.30	2.38
03/17/21	0.01	0.02	0.02	0.05	0.07	0.13	0.29	0.80	1.27	1.63	2.32	2.42
03/18/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.08	0.16	0.33	0.86	1.35	1.71	2.36	2.45
03/19/21	0.01	0.01	0.01	0.03	0.07	0.16	0.33	0.90	1.38	1.74	2.36	2.45
03/22/21	0.02	0.02	0.03	0.05	0.06	0.15	0.32	0.87	1.34	1.69	2.29	2.38
03/23/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.08	0.15	0.31	0.83	1.29	1.63	2.24	2.34
03/24/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.14	0.31	0.83	1.27	1.62	2.21	2.31
03/25/21	0.02	0.03	0.02	0.04	0.07	0.14	0.30	0.82	1.29	1.63	2.24	2.34
03/26/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.14	0.31	0.85	1.32	1.67	2.27	2.37
03/29/21	0.02	0.03	0.03	0.04	0.06	0.14	0.32	0.89	1.37	1.73	2.32	2.43
03/30/21	0.01	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.33	0.90	1.39	1.73	2.29	2.38
03/31/21	0.01	0.01	0.03	0.05	0.07	0.16	0.35	0.92	1.40	1.74	2.31	2.41
04/01/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.17	0.35	0.90	1.37	1.69	2.24	2.34
04/02/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.07	0.19	0.39	0.97	1.42	1.72	2.27	2.35
04/05/21	0.03	0.02	0.03	0.04	0.06	0.17	0.37	0.94	1.40	1.73	2.28	2.36
04/06/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.88	1.34	1.67	2.24	2.32
04/07/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.87	1.34	1.68	2.26	2.35
04/08/21	0.02	0.02	0.01	0.04	0.05	0.14	0.33	0.85	1.30	1.64	2.22	2.32
04/09/21	0.02	0.01	0.02	0.03	0.06	0.16	0.35	0.87	1.33	1.67	2.23	2.34
04/12/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.18	0.38	0.89	1.35	1.69	2.24	2.34
04/13/21	0.03	0.02	0.03	0.05	0.06	0.16	0.35	0.85	1.29	1.64	2.21	2.32
04/14/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.35	0.87	1.31	1.64	2.22	2.32
04/15/21	0.02	0.01	0.02	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.56	2.13	2.23
04/16/21	0.02	0.02	0.02	0.04	0.06	0.16	0.34	0.84	1.26	1.59	2.15	2.26
04/19/21	0.01	0.02	0.02	0.04	0.08	0.16	0.34	0.85	1.28	1.61	2.18	2.29
04/20/21	0.01	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.31	0.81	1.25	1.58	2.16	2.27
04/21/21	0.00	0.02	0.03	0.04	0.07	0.15	0.32	0.81	1.24	1.57	2.16	2.26
04/22/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.16	0.32	0.81	1.24	1.57	2.13	2.24
04/23/21	0.01	0.02	0.03	0.03	0.07	0.16	0.34	0.83	1.26	1.58	2.14	2.25
04/26/21	0.02	0.02	0.03	0.04	0.06	0.18	0.35	0.85	1.27	1.58	2.13	2.24
04/27/21	0.01	0.02	0.01	0.04	0.06	0.17	0.36	0.88	1.32	1.63	2.18	2.29
04/28/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.17	0.35	0.86	1.31	1.63	2.19	2.29
04/29/21	0.01	0.01	0.01	0.04	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.20	2.31
04/30/21	0.01	0.02	0.01	0.03	0.05	0.16	0.35	0.86	1.32	1.65	2.19	2.30";

iTBillsUSA2019split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2019],13];
iTBillsUSA2020split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2020],13];
iTBillsUSA2021split=Partition[StringSplit[iTBillsUSA2021],13];

(iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split])//Dimensions

iTBillsUSA2019split//First

DateList[{"01/02/19",{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]

(*
column1=Map[DateList[{#,{"Day","Month","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];columns2to13=Map[Rest,iTBillsUSAAlloriginal];
Join[column1,columns2to13]
*)
iTBillsUSAAlloriginal=Join[iTBillsUSA2019split,iTBillsUSA2020split,iTBillsUSA2021split];iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]=Map[DateList[{#,{"Month","Day","YearShort"}}][[1;;3]]&,iTBillsUSAAlloriginal[[All,1]]];
iTBillsUSAAlloriginal=iTBillsUSAAlloriginal//ToExpression;
SetDirectory[NotebookDirectory[]];
Export["TBillsUSA2019to2021.XML",iTBillsUSAAlloriginal];

Riskless rates - T-Bills USA: Extraction

SetDirectory[NotebookDirectory[]];
returnsCompaniesDJIWithNames=Import["returnsCompaniesDJIWithNames.XML"];
returnsDJI=Import["returnsDJI.XML"];
returnsDJIwithDates=Import["returnsDJIwithDates.XML"];
iDatesreturnsDJI=returnsDJIwithDates[[All,1]];

(iRisklessRates=Import["TBillsUSA2019to2021.XML"])[[1;;2]]
iRisklessDates=iRisklessRates[[All,1]];
%//Length

(iRisklessDatesSelected=Select[Map[DateObject,iRisklessDates],DateObject[{2019,4,15}]≤ #≤DateObject[ {2021,4,15}]&])//Length
iRisklessDatesSelectedLists=Map[DateList[#][[1;;3]]&,iRisklessDatesSelected];

Map[Length,{iRisklessDatesSelected,iRisklessDatesSelectedLists}]

iDatesreturnsDJI

(commonDates=Intersection[iDatesreturnsDJI,iRisklessDatesSelectedLists])//Length

Function[x,x[[1]]=={2020,4,21}]

#[[1]]=={2020,4,21}&//FullForm

Select[iRisklessRates,#[[1]]=={2020,4,21}&]
Select[iRisklessRates,Function[x,x[[1]]=={2020,4,21}]]

iRisklessRatescommonDates=Table[Select[iRisklessRates,Function[x,x[[1]]==j]],{j,commonDates}]//Flatten[#,1]&;

RandomChoice[commonDates]

Select[

***Auxiliary calculations

DateWithinQ[DateObject[{2021}],Today]

DateObject[{2019,4,15}]≤DateObject[{2021,4,15}]