\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou?it? n?kter?ch ?esk?ch typografick?ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate,mathabx}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven? dan? velikosti okraj?
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{pozns}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{\'Umluva}
\newtheorem*{example}{P\v{r}\'iklad}
\newtheorem*{examples}{P\v{r}\'iklady}
\newtheorem*{exercise}{Cvi\v{c}en\'i}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\M{\mathfrak{M}}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\ov{\overline}
\newcommand\eqc{\overset c=}
\def\st{\operatorname{st}}
\def\period{\mathcal{P}([0,2\pi])}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arg {\operatorname{arg}}
\def \Arg {\operatorname{Arg}}
\def \Log {\operatorname{Log}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\def\ind{\operatorname{ind}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dt {\, \mathrm{d} t}
\def \dz {\, \mathrm{d} z}
\def \dw {\, \mathrm{d} w}
\def \dmu {\, \mathrm{d} \mu}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\a{\mathbf{a}}
\def\o{\mathbf{o}}
\def\y{\mathbf{y}}
\def\f{\mathbf{f}}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\Int{\operatorname{Int}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\res{\operatorname{res}}
\newcommand\nint{(N)\int}
\newcommand\rint{(R)\int}
\newcommand\rsint{(RS)\int}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\newcommand\emphdef[1]{\emph{#1}}
%minus s teckou
\makeatletter
\newcommand{\dotminus}{\mathbin{\text{\@dotminus}}}

\newcommand{\@dotminus}{%
  \ooalign{\hidewidth\raise1ex\hbox{.}\hidewidth\cr$\m@th-$\cr}%
}
\makeatother
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~p\v{r}edn\'a\v{s}ky (#1)}
	\bigskip}

\title{P\v{r}edn\'a\v{s}ka - Kalkulus 1, MFF}  % tyto dv? polo?ky jsou zde v podstat? form?ln?, ve skute?nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
%\konecPrednasky{0.0.2017}
\chapter{Taylor\r{u}v polynom}

\begin{defin}
Nech\v{t} $f$ je funkce, $n\in\N$, $a \in \R$ a existuje vlastn\'i $f\sp{(n)}(a)$. Pak polynom
$$
T_n^{f,a}(x)  = f(a) + f'(a)(x-a) + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n
$$
naz\'yv\'ame \textbf{Taylorov\'ym polynomem \v{r}\'adu $n$ funkce $f$ v bod\v{e} $a$}.
\end{defin}

\begin{convention}
V dal\v{s}\'im textu budeme symbol tvaru $(x-a)^0$ ch\'apat jako~$1$, a to i tehdy, jestli\v{z}e $x=a$. Symbolem $f\sp{(0)}$ (tedy \uv{nultou derivac\'i} funkce $f$) budeme rozum\v{e}t samotnou funkci $f$.
\end{convention}

\begin{lemma}Nech\v{t} $n \in \N$, $a \in \R$, $Q$ je polynom, $\st Q\leq n $ a $\lim_{x\to a} \tfrac{Q(x)}{(x-a)^n}=0$. Pak $Q$ je nulov\'y polynom.
\end{lemma}

\begin{theorem}[Charakterizace Taylorova polynomu]\label{T:peanuv-tvar-zbytku}
Nech\v{t} $n \in \N$, $a \in \R$ a nech\v{t} m\'a funkce~$f$ v~bod\v{e}~$a$ vlastn\'i~$n$-tou derivaci. Potom
\begin{itemize}
	\item[(a)] Polynom $T^{f,a}_n(x)$ je jedin\'y polynom stupn\v{e} nejv\'y\v{s}e $n$ spl\v{n}uj\'ic\'i
		\[
		\lim_{x \to a}\frac{f(x) - T^{f,a}_n(x)}{(x-a)^n} = 0.
		\]
	\item[(b)] Polynom $P(x) = T^{f,a}_n(x)$ je jedin\'y polynom stupn\v{e} nejv\'y\v{s}e $n$ takov\'y, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $i\in\{0\ldots n\}$ plat\'i $f^{(i)}(a) = P^{(i)}(a)$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{corollary}Nech\v{t} $n \in \N$, $a \in \R$ a nech\v{t} m\'a funkce~$f$ v~bod\v{e}~$a$ vlastn\'i~$n$-tou derivaci. Potom
	\[f(x) = T^{f,a}_n(x) + \omega(x)(x-a)^n,\]
	kde $\lim_{x \to a}\omega(x) = 0$.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Taylor\r{u}v polynom z\'akladn\'ich funkc\'i] Nech\v{t} $n\in\N\cup\{0\}$, pak
\[\begin{split}
	T_{n}^{\exp,0}(x) & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\\
	T_{2n-1}^{\sin,0}(x) = T_{2n}^{\sin,0}(x) & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\
	T_{2n}^{\cos,0}(x) = T_{2n+1}^{\cos,0}(x) & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\
	T_{n}^{\log(1+x),0}(x) & = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\\
	\forall\alpha\in\er:\; T_{n}^{(1+x)^\alpha,0}(x) & = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n.
\end{split}\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[Lagrange\r{u}v tvar zbytku]\label{T:lagrangeuv-tvar-zbytku}
Nech\v{t} $n\in\N$ a nech\v{t} $a,x \in \R$, $a < x$. P\v{r}edpokl\'adejme, \v{z}e funkce $f$ m\'a v ka\v{z}d\'em bod\v{e} intervalu $[a,x]$ vlastn\'i derivaci \v{r}\'adu $(n+1)$. Pak existuje $\xi \in (a,x)$ takov\'e, \v{z}e
$$
f(x) - T_n^{f,a}(x)  = \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}.
$$
\end{theorem}

\begin{pozn}
V\v{e}ta~\ref{T:lagrangeuv-tvar-zbytku} plat\'i i v p\v{r}\'ipad\v{e} $x<a$.
\end{pozn}

\begin{corollary}Nech\v{t} $n \in \N$, $a \in \R$, $r > 0$ a nech\v{t} m\'a funkce~$f$ v ka\v{z}d\'em bod\v{e} intervalu $(a-r,a+r)$ vlastn\'i derivaci \v{r}\'adu $(n+1)$. Pak
	\[
	\forall x\in (a-r,a+r)\colon\quad |f(x) - T^{f,a}_n(x)|\leq \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}\sup_{|y-a|<r}|f^{(n+1)}(y)|.
	\]	
\end{corollary}

\begin{corollary}Nech\v{t} $a \in \R$, $r > 0$ a nech\v{t} m\'a funkce~$f$ v ka\v{z}d\'em bod\v{e} intervalu $(a-r,a+r)$ vlastn\'i derivaci \v{r}\'adu $n$ pro ka\v{z}d\'e $n\in\en$. \at existuje konstanta $K > 0$ takov\'a, \v{z}e $\sup_{|y-a|<r}|f^{(n+1)}(y)|\leq K^{n+1}$ pro $n\in\en$. Pak plat\'i:
	\begin{itemize}
		\item[(a)] Pro ka\v{z}d\'e $\varepsilon > 0$ existuje $n_0$ tak, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e p\v{r}irozen\'e \v{c}\'islo $n\geq n_0$ plat\'i
			\[
			\forall x\in (a-r,a+r)\colon \quad |f(x) - T^{f,a}_n(x)|\leq \varepsilon.
			\]
		\item[(b)] \[
						\forall x\in (a-r,a+r)\colon\quad f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.
					\]
	\end{itemize}
\end{corollary}

\begin{defin}
Nech\v{t} $f$ je funkce, $a \in \R$ a $f^{(n)}(a) \in \R$ pro ka\v{z}d\'e $n \in \N$. Potom \v{r}adu
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
naz\'yv\'ame \textbf{Taylorovou \v{r}adou funkce $f$ o st\v{r}edu $a$}. Ve speci\'aln\'im p\v{r}\'ipad\v{e} $a = 0$ mluv\'ime o \textbf{Maclaurinov\v{e} \v{r}ad\v{e}}.
\end{defin}

\begin{theorem}[Taylorovy \v{r}ady element\'arn\'ich funkc\'i]
Plat\'i (nap\v{r}\'iklad) n\'asleduj\'ic\'i vztahy mezi element\'arn\'imi funkcemi a jejich Taylorov\'ymi \v{r}adami (st\v{r}edem Taylorovy \v{r}ady je ve v\v{s}ech p\v{r}\'ipadech bod $a=0$):
\begin{align*}
&\textup{(a)}\forall x\in\er\colon\quad \exp x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \\
&\textup{(b)}\forall x\in\er\colon\quad \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1},   \\
&\textup{(c)}\forall x\in\er\colon\quad \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},  \\
&\textup{(d)}\forall x\in (-1,1]\colon\quad \log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n,  \\
&\textup{(e)}\forall x\in (-1,1),\, \forall \alpha\in\er\colon\quad (1+x)^{\alpha} = \sum_{n=1}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n,  \\
\end{align*}
\end{theorem}

\chapter{Primitivn\'i funkce}

\begin{notation}
\nec $I$ je interval a $n\in\en$. Budeme pou\v{z}\'ivat zna\v{c}en\'i
\begin{align*}
\C(I) & : = \{f:I\to\er\setsep f\text{ je spojit\'a na }I\};\\
\C^n(I) & := \{f:I\to\er\setsep f\text{ m\'a spojitou $n$-tou derivaci na }I\}.
\end{align*}
Symbol $f\in\C([a,b])$ znamen\'a, \v{z}e interval $[a,b]$ je omezen\'y a funkce $f$ je na tomto intervalu spojit\'a.
\end{notation}

\section{Z\'akladn\'i vlastnosti}

\begin{defin}
\label{8:D:pf-def}
Nech\v{t} funkce $f$ je definovan\'a na nepr\'azdn\'em otev\v{r}en\'em intervalu $I$. \v{R}ekneme, \v{z}e funkce $F$ je \emphdef{primitivn\'i funkc\'i k $f$ na $I$}, jestli\v{z}e pro ka\v{z}d\'e $x\in I$ existuje $F'(x)$ a plat\'i $F'(x)=f(x)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[vlastnosti primitivn\'i funkce]
\label{8:T:pm-const} Nech\v{t} funkce $F$ je primitivn\'i funkce k funkci $f$ na nepr\'azdn\'em otev\v{r}en\'em intervalu $I$. Pak:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $F$ je spojit\'a na $I$.
	\item Pro ka\v{z}d\'e $c\in\er$ je $F + c$ primitivn\'i funkce k $f$ na $I$.
	\item Pokud $G$ je primitivn\'i funkce k $f$ na $I$, pak existuje $c\in\er$ takov\'e, \v{z}e $F(x)=G(x)+c$ pro ka\v{z}d\'e $x\in I$.
\end{enumerate} 
\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah spojitosti a existence primitivn\'i funkce]
\label{8:T:pm-exist}
Nech\v{t} $I$ je nepr\'azdn\'y otev\v{r}en\'y interval a $f\in \C(I)$. Pak $f$ m\'a na $I$ primitivn\'i funkci.
\end{theorem}

\begin{notation}
Fakt, \v{z}e $F$ je primitivn\'i funkce k $f$ na nepr\'azdn\'em otev\v{r}en\'em intervalu $I$, zna\v{c}\'ime symbolem
\[
\int f(x)\dx\eqc F(x),\quad x\in I.
\]
Symbol $\int f(x)\dx$ ozna\v{c}uje mno\v{z}inu v\v{s}ech primitivn\'ich funkc\'i na k $f$ na $I$.
\end{notation}

\begin{theorem}[linearita primitivn\'i funkce]
\label{8:T:pm-linear}
Nech\v{t} funkce $g$, $f$ maj\'i na nepr\'azdn\'em otev\v{r}en\'em intervalu $I$ primitivn\'i funkci. Potom pro $\alpha,\beta\in\R$, $(\alpha,\beta)\neq (0,0)$ je 
\[
\int \alpha f(x) + \beta g(x)\dx = \alpha\int f(x)\dx + \beta\int g(x)\dx.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[integrace per partes]
\label{8:T:pm-perpartes}
Nech\v{t} $I$ je nepr\'azdn\'y otev\v{r}en\'y interval a $f, g\in \C(I)$. Nech\v{t} $F$ je primitivn\'i funkce k $f$ na $I$ a $G$ je primitivn\'i funkce ke $g$ na $I$.
Pak plat\'i
\[
\int g(x)F(x)\dx=G(x)F(x)-\int G(x)f(x)\dx, \quad x\in I.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[prvn\'i v\v{e}ta o substituci]\label{8:T:prvni-veta-o-subst}
Nech\v{t} $F$ je primitivn\'i funkce k $f$ na $(a,b)$. Nech\v{t} $\varphi:(\alpha,\beta)\to (a,b)$ je funkce, kter\'a m\'a v ka\v{z}d\'em bod\v{e} $t\in (\alpha,\beta)$ vlastn\'i derivaci. Pak
\[
\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\, dt\eqc F(\varphi(t)),\quad t\in (\alpha,\beta).
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[druh\'a v\v{e}ta o substituci]\label{8:T:druha-veta-o-subst}
Nech\v{t} $\varphi:(\alpha,\beta)\to (a,b)$ m\'a v ka\v{z}d\'em bod\v{e} nenulovou vlastn\'i derivaci a $\varphi\left((\alpha,\beta)\right)=(a,b)$. Nech\v{t} $f$ je funkce definovan\'a na intervalu $(a,b)$ a plat\'i
\[
\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\dt\eqc G(t),\quad t\in (\alpha,\beta).
\]
Pak
\[
\int f(x)\dx\eqc G(\varphi^{-1}(x)),\quad x\in (a,b).
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[lepen\'i]Nech\v{t} funkce $f$ je spojit\'a na intervalu $(a,b)$, $c\in (a,b)$ a $F$ je funkce spojit\'a v bod\v{e} $c$, spl\v{n}uj\'ic\'i $F'(x) = f(x)$ pro $x\in (a,b)\setminus\{c\}$. Pak $F$ je primitivn\'i k $f$ na $(a,b)$.
\end{theorem}

\section{Integrace racion\'aln\'ich funkc\'i}

\begin{defin}
\emphdef{Racion\'aln\'i funkc\'i} rozum\'ime pod\'il dvou polynom\r{u}, kde polynom ve jmenovateli nen\'i identicky roven nule. Racion\'aln\'i funkce $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ je definovan\'a na libovoln\'e podmno\v{z}in\v{e} $\R$, kter\'a neobsahuje \v{z}\'adn\'y ko\v{r}en polynomu $Q$.
\end{defin}

\begin{theorem}[rozklad na parci\'aln\'i zlomky]\label{8:T:rozklad-na-parcialni-zlomky}
Nech\v{t} $P,\,Q$ jsou polynomy s re\'aln\'ymi koeficienty takov\'e, \v{z}e
\begin{itemize}
\item[(i)] $\st P < \st Q$,

\item[(ii)] $Q(x) = a_n(x-x_1)^{p_1}\dots(x-x_k)^{p_k} (x^2 + \alpha_1 x + \beta_1)^{q_1} \dots (x^2 + \alpha_lx +\beta_l)^{q_l}$,

\item[(iii)] $a_n,\,x_1,\dots,  x_k$, $\alpha_1, \dots,\alpha_l,\beta_1,\dots,\beta_l \in \R$, $a_n \not = 0$,\ $k,l\in\N\cup\{0\}$,

\item[(iv)] $p_1, \dots,p_k,\,q_1,\dots,q_l \in \N$,

\item[(v)] \v{z}\'adn\'y z mnoho\v{c}len\r{u} $x^2 + \alpha_1 x + \beta_1,\, \dots, x^2 + \alpha_l x + \beta_l$ nem\'a re\'aln\'y ko\v{r}en,

\item[(vi)] \v{z}\'adn\'e dva z polynom\r{u} $x-x_1,\,x-x_2,\dots,x-x_k,x^2 + \alpha_1 x + \beta_1,\, \dots, x^2 + \alpha_l x + \beta_l$ nemaj\'i spole\v{c}n\'y ko\v{r}en.
\end{itemize}
Pak existuj\'i jednozna\v{c}n\v{e} ur\v{c}en\'a \v{c}\'isla $A^1_1,\dots,A^1_{p_1}$, $\dots, A^k_1,\dots,A^k_{p_k}$, $B^1_1,\,C^1_1,\dots$, $B^1_{q_1}$, $C^1_{q_1},\dots$, $B^l_1$, $C^l_1,\dots, B^l_{q_l},\,C^l_{q_l}$ takov\'a, \v{z}e plat\'i
\begin{align*}
\frac{P(x)}{Q(x)}
&= \frac{A^1_1}{x-x_1} + \dots  + \frac{A^1_{p_1}}{(x-x_1)^{p_1}} \\
&+ \dots + \frac{A^k_1}{x-x_k} + \dots + \frac{A^k_{p_k}}{(x-x_k)^{p_k}} \\
&+\frac{B^1_1x+C^1_1}{x^2+\alpha_{1}x+\beta_{1}} + \dots + \frac{B^1_{q_1}x+C^1_{q_1}}{(x^2+\alpha_1x+\beta_1)^{q_1}} + \dots \\
&+\frac{B^l_1x+C^l_1}{x^2+\alpha_{l}x+\beta_{l}} + \dots + \frac{B^l_{q_l}x+C^l_{q_l}}{(x^2+\alpha_lx+\beta_l)^{q_l}}
\end{align*}
pro v\v{s}echna $x\in\R$ spl\v{n}uj\'ic\'i $Q(x)\neq 0$.
\end{theorem}

\begin{pozn}[postup p\v{r}i integraci racion\'aln\'i funkce] Nech\v{t} je zad\'ana racion\'aln\'i funkce $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, kde $P$ a $Q$ jsou polynomy, $Q\not\equiv 0$. P\v{r}i v\'ypo\v{c}tu primitivn\'i funkce $\int R(x)\dx$ na libovoln\'em intervalu $I$, kter\'y neobsahuje \v{z}\'adn\'y z ko\v{r}en\r{u} polynomu $Q$, pak postupujeme podle n\'asleduj\'ic\'i osnovy:
\begin{itemize}
\item[1.~krok:] vyj\'ad\v{r}\'ime funkci $R(x)$ ve tvaru $R(x)=P_1(x)+\frac{P_2(x)}{Q(x)}$, kde $\st P_2<\st Q$ pro v\v{s}echna $x\in\R$, $Q(x)\neq0$;
\item[2.~krok:] provedeme rozklad funkce $\frac{P_2(x)}{Q(x)}$ na parci\'aln\'i zlomky podle V\v{e}ty~\ref{8:T:rozklad-na-parcialni-zlomky};
\item[3.~krok:] integrujeme jednotliv\'e parci\'aln\'i zlomky podle n\'asleduj\'ic\'iho n\'avodu.
\end{itemize}

(a) Je-li
\[
I=\int \frac{A}{(x-a)^n}\dx,
\]
kde $A\in \R$ a $n\in\N$, pak
\[
I\eqc\begin{cases} \frac{1}{1-n}\frac{A}{(x-a)^{n-1}},&x\in(-\infty,a)\ \textup{nebo}\ x\in(a,\infty),\ \textup{je-li}\ n>1;\\
A\log |x-a|,&x\in(-\infty,a)\ \textup{nebo}\ x\in(a,\infty),\ \textup{je-li}\ n=1.
\end{cases}
\]

(b) Je-li
\[
I=\int\frac{Bx+C}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx,
\]
kde $q\in\N$, $\alpha,\beta\in\R$ a $\beta-\frac14\alpha^2>0$, pak nejprve vyj\'ad\v{r}\'ime $I$ ve tvaru
\[
I=\frac{B}{2}\int\frac{2x+\alpha}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx+(C-\frac{B\alpha}{2})\int \frac{1}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx.
\]
Ozna\v{c}\'ime-li
\[
I_1= \int\frac{2x+\alpha}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx\quad \textup{a}\quad
I_2=\int \frac{1}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx,
\]
potom
\[
I_1\eqc\begin{cases}\frac{1}{(1-q)(x^2+\alpha x+\beta)^{q-1}},&x\in\R,\ \textup{je-li}\ q>1,\\
                 \log(x^2+\alpha x+\beta),&x\in\R,\ \textup{je-li}\ q=1.
\end{cases}
\]
D\'ale plat\'i
\[
I_2=\int\frac{1}{((x+\frac{\alpha}{2})^2+\beta-\frac{\alpha^2}{4})^q}\dx=\frac{1}{(\beta-\frac{\alpha^2}{4})^q}
\int \frac{1}{\left[\left(\frac{2x+\alpha}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}\right)^2+1\right]^q}\dx.
\]
Pro v\'ypo\v{c}et posledn\'iho integr\'alu vyu\v{z}ijeme prvn\'i v\v{e}tu o substituci. Polo\v{z}\'ime $\varphi(x)=\frac{2x+\alpha}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}$, tak\v{z}e $\varphi'(x)=\frac{2}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}$, a obdr\v{z}\'ime
\[
\int \frac{1}{\left[\left(\frac{x+\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{\beta-\frac{\alpha^2}{4}}}\right)^2+1\right]^q}\dx=
\frac{2}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}\int \frac{1}{(y^2+1)^q}\,dy.
\]
Pro integr\'al $\int \frac{1}{(y^2+1)^q}\,dy$ je k dispozici rekurentn\'i vzorec z\'iskan\'y integrac\'i per partes:
\[\int \frac{1}{(y^2+1)^1}\,dy \eqc \arctg(y),\]
\[\int \frac{1}{(y^2+1)^{q+1}}\,dy = \frac{y}{2q(y^2 + 1)^q} + \frac{2q-1}{2q}\int \frac{1}{(y^2+1)^q}\,dy,\qquad q > 1.\]
\end{pozn}

\section{N\v{e}kter\'e u\v{z}ite\v{c}n\'e substituce}

\begin{pozn}[racionalisace integr\'al\r{u} s exponenci\'alou a s logaritmem]\at $R$ je racion\'aln\'i funkce.

(a) Pro p\v{r}evod integr\'al\r{u} tvaru $\int R(e^{at})\, dt$ (kde $a\in\er\setminus\{0\}$) na integraci racion\'aln\'i funkce lze vyu\v{z}\'it substituci $\varphi(t) = e^{at}$.

(b) Pro p\v{r}evod integr\'al\r{u} tvaru $\int \frac{R(\log t)}{t}\, dt$ na integraci racion\'aln\'i funkce lze vyu\v{z}\'it substituci $\varphi(t) = \log t$.
\end{pozn}

\begin{notation}
Ve zbytku t\'eto kapitoly budeme symbolem $R(x,y)$ zna\v{c}it \emphdef{racion\'aln\'i funkci dvou prom\v{e}nn\'ych}, tj.~$R(x,y)=\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}$, kde
\[
P(x,y)=\sum_{i,j=0}\sp {N_1} a_{ij} x^iy^j,\quad Q(x,y)=\sum_{i,j=0}\sp {N_2} b_{ij} x^iy^j.
\]
\end{notation}

\begin{pozn}[racionalisace trigonometrick\'ych integr\'al\r{u}]
Pro p\v{r}evod integr\'al\r{u} tvaru $\int R(\sin t,\cos t)\, dt$ na integraci racion\'aln\'i funkce lze vyu\v{z}\'it jedn\'e z n\'asleduj\'ic\'ich substituc\'i:

(a) v\v{z}dy lze u\v{z}\'it substituci $\varphi(t)=\tg (\frac t2)$, $t\in(-\pi,\pi)$,

(b) pokud $R(a,-b)=-R(a,b)$, lze u\v{z}\'it substituci $\varphi(t)=\sin t$, $t\in\R$,

(c) pokud $R(-a,b)=-R(a,b)$, pak lze u\v{z}\'it substituci $\varphi(t)=\cos t$, $t\in\R$,

(d) pokud $R(-a,-b)=R(a,b)$, pak lze u\v{z}\'it substituci $\varphi(t)=\tg t$, $t\in(-\tfrac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.

\end{pozn}

\begin{pozn}[racionalisace integr\'al\r{u} s odmocninou]\label{R:integral-substituce-odmocniny}
Nech\v{t} $q\in\N$, $a,b,c,d\in\R$, $ad\neq bc$. Potom pro p\v{r}evod integr\'al\r{u} tvaru $\int R(t,(\frac {at+b}{ct+d})^{\frac1 q})\dt$, na integraci racion\'aln\'i funkce lze vyu\v{z}\'it substituci $\varphi(t)=(\frac {at+b}{ct+d})^{\frac1 q}$.
\end{pozn}

\begin{pozn}[racionalisace integr\'al\r{u} tvaru $\int R(t,\sqrt{at^2+bt+c})\dt$]\label{R:integral-substituce-euler}
Nech\v{t} $a,b,c\in\R$, $a\neq 0$. Potom pro p\v{r}evod integr\'al\r{u} tvaru $\int R(t,\sqrt{at^2+bt+c})\dx$ na integraci racion\'aln\'i funkce rozli\v{s}ujeme n\'asleduj\'ic\'i p\v{r}\'ipady:

(a) Nech\v{t} m\'a troj\v{c}len $at^2+bt+c$ dvojn\'asobn\'y re\'aln\'y ko\v{r}en $\alpha$ a plat\'i $at^2+bt+c=a(t-\alpha)\sp2$. M\'a-li m\'it \'uloha smysl, mus\'i platit $a>0$. Pak ale
\[
\sqrt{at^2+bt+c}=\sqrt{a}|t-\alpha|.
\]

(b) Nech\v{t} m\'a troj\v{c}len $at^2+bt+c$ dva r\r{u}zn\'e re\'aln\'e ko\v{r}eny $\alpha_1,\alpha_2$, $\alpha_1<\alpha_2$ a plat\'i $at^2+bt+c=a(t-\alpha_1)(t-\alpha_2)$. Je-li $a>0$, pak pro $t\in(-\infty,\alpha_1)$ a $t\in(\alpha_2,\infty)$ plat\'i
\begin{align*}
\sqrt{at^2+bt+c}&=\sqrt{a(t-\alpha_1)(t-\alpha_2)}\\
&=\sqrt{a}|t-\alpha_1|\sqrt{\frac{t-\alpha_2}{t-\alpha_1}}.
\end{align*}
Je-li $a<0$, pak pro $t\in(\alpha_1,\alpha_2)$ plat\'i
\begin{align*}
\sqrt{at^2+bt+c}&=\sqrt{(-a)(t-\alpha_1)(\alpha_2-t)}\\
&=\sqrt{-a}(t-\alpha_1)\sqrt{\frac{\alpha_2-t}{t-\alpha_1}}.
\end{align*}
V obou p\v{r}\'ipadech jsme tedy zad\'an\'i p\v{r}evedli na \'ulohu nal\'ezt primitivn\'i funkci $\int R(t,(\frac {at+b}{ct+d})^{\frac1 q})\dt$, jeji\v{z} \v{r}e\v{s}en\'i ji\v{z} zn\'ame. Pov\v{s}imn\v{e}me si, \v{z}e v~obou p\v{r}\'ipadech je spln\v{e}na podm\'inka $ad\neq bc$, nebo\v{t} v prvn\'im p\v{r}\'ipad\v{e} plat\'i $ad=-\alpha_1$ a $bc=-\alpha_2$, zat\'imco ve druh\'em p\v{r}\'ipad\v{e} plat\'i $ad=\alpha_1$ a $bc=\alpha_2$.

(c) Polynom $at^2+bt+c$ nem\'a re\'aln\'e ko\v{r}eny, nebo má dva různé reálné kořeny. M\'a-li m\'it \'uloha smysl, mus\'i platit $a>0$ a $c>0$. V tomto p\v{r}\'ipad\v{e} lze u\v{z}\'it takzvanou \emphdef{Eulerovu substituci} $\sqrt{at^2+bt+c}=\sqrt at+x$.
\begin{fact}Jsou--li $a>0$, $b,c\in\mathbb{\er}$ taková, že $b^2-4ac\neq 0$, pak funkce $\psi(x):=\sqrt{a}x + \sqrt{ax^2 + bx +c}$ definovaná na množině $\{x\in\er\setsep ax^2 + bx +c>0\}$ je prostá na každém intervalu $I$ svého definičního oboru a označíme--li $\varphi:=(\psi|_I)^{-1}$, pak $\varphi(t)=\tfrac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b}$ má nenulovou vlastní derivaci na svém definičním oboru danou předpisem $\varphi'(t) = 2\frac{\sqrt{a}t^2 + bt +\sqrt{a}c}{(2\sqrt{a}t + b)^2}$.
\end{fact}
Z výše uvedeného faktu vyplývá, že Eulerovu substituci můžeme použít kdykoliv $a>0$ a $b^2-4ac\neq 0$ a že v takovém případě jsou předpoklady 2. věty o substituci automaticky splněny (kde $x=\varphi(t)$ a $\dx = \varphi'(t) \dt$).
\end{pozn}

\chapter{Newton\r{u}v, Riemann\r{u}v a Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al}

\section{Newton\r{u}v integr\'al}

\begin{defin}
Nech\v{t} $a,b\in\Rr$, $a<b$. \v{R}ekneme, \v{z}e \emphdef{Newton\r{u}v integr\'al z funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ existuje}, jestli\v{z}e
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $f$ m\'a na $(a,b)$ primitivn\'i funkci (ozna\v{c}me ji $F$),
\item[$\bullet$] existuj\'i limity $\lim_{x\to a_+}F(x)$ a $\lim_{x\to b_-} F(x)$ (nikoli nutn\v{e} vlastn\'i);
\item[$\bullet$] rozd\'il t\v{e}chto dvou limit je definov\'an jako prvek mno\v{z}iny $\Rr$.
\end{itemize}
Hodnotou Newtonova integr\'alu z funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ pak rozum\'ime prvek
\[
\nint_a^b f(x)\,d x=\lim_{x\to b_-} F(x)-\lim_{x\to a_+} F(x).
\]
Pokud $a>b$, pak klademe $\nint_a^b f(x)\,d x=-\int_b^a f(x)\,d x$. Pro $a\in\Rr$ definujeme  $\nint_a^a f(x)\,d x=0$.
Jestli\v{z}e $\nint_a^b f(x)\,d x$ existuje vlastn\'i, pak \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e integr\'al je \emphdef{konvergentn\'i}. Nen\'i-li integr\'al konvergentn\'i, \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e je \emphdef{divergentn\'i}.
\end{defin}

\begin{pozn} Nech\v{t} $a,b\in\Rr$, $a<b$, a nech\v{t} $f$ je funkce definovan\'a na intervalu $(a,b)$. Pak nast\'av\'a pr\'av\v{e} jedna z n\'asleduj\'ic\'ich mo\v{z}nost\'i:
\[
\nint_a^bf(x)\,d x \begin{cases}
\text{ neexistuje,}\\
\text{ existuje }
 {\begin{cases}
 =\infty, \\
 =-\infty, \\
 \in\R.
 \end{cases}}\\

\end{cases}
\]
\end{pozn}

\begin{notation}
Nech\v{t} $a,b\in\Rr$, $a<b$. Mno\v{z}inu v\v{s}ech funkc\'i $f:(a,b)\to \R$, kter\'e maj\'i na intervalu $(a,b)$ konvergentn\'i Newton\r{u}v integr\'al, zna\v{c}\'ime symbolem $\mathcal{N}(a,b)$.
\end{notation}

\begin{convention}
Je-li $(a,b)\subset \dom(f)$, pak symbol $f\in\mathcal{N}(a,b)$ znamen\'a $f|_{(a,b)}\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{convention}

\begin{notation}
Nech\v{t} funkce $F$ je definovan\'a na $(a,b)$ a existuj\'i (vlastn\'i nebo nevlastn\'i) jednostrann\'e limity $\lim_{x\to a+}F(x)$ a $\lim_{x\to b-}F(x)$. Potom budeme zna\v{c}it $F(a+)=\lim_{x\to a+}F(x)$, $F(b-)=\lim_{x\to b-}F(x)$ a $[F]_{a}\sp{b}=F(b-)-F(a+)$, pokud m\'a rozd\'il smysl. Budeme ob\v{c}as ps\'at $\int$ m\'isto $(N)\int$.
\end{notation}

\begin{example}\label{EX:ni-xalpha}
\[
\nint_0^1 x^\alpha\,d x=\begin{cases} [\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_0^1=\frac{1}{\alpha+1},& \alpha\in (-1,\infty)\quad \textup{(konverguje)},\\
[\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_0^1=\infty,& \alpha\in (-\infty,-1)\quad \textup{(diverguje)},\\
                                    [\log x]_0^1=\infty,& \alpha=-1\quad \textup{(diverguje)}.
                        \end{cases}
\]
\[
\nint_1^\infty x^\alpha\,d x=\begin{cases} [\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_1^\infty=\infty,& \alpha\in (-1,\infty)\quad \textup{(diverguje)},\\
[\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_1^\infty=\frac{-1}{\alpha+1},& \alpha\in (-\infty,-1)\quad \textup{(konverguje)},\\
                                    [\log x]_1^\infty=\infty,& \alpha=-1\quad \textup{(diverguje)}.
                        \end{cases}
\]
\end{example}

\begin{notation}
Nem\r{u}\v{z}e-li doj\'it ke zmaten\'i, p\'i\v{s}eme $\int_a\sp b f$ m\'isto $(N)\int_a\sp b f(x)\dx$.
\end{notation}

\begin{theorem}[vlastnosti Newtonova integr\'alu]\label{T:ni-linear}
Nech\v{t} $a,b\in\Rr$, $a<b$.

\textup{(a)} Pro $\alpha\in\er$ plat\'i n\'asleduj\'ic\'i rovnosti, pokud prav\'e strany rovnost\'i maj\'i smysl
\[
\int_a^b  f+g=\int_a^b f+\int_a^b g,\quad
\int_a^b \alpha f=\alpha\int_a^bf.
\]

\textup{(b)} Jestli\v{z}e $f,g\in\mathcal{N}(a,b)$ a $f\le g$, pak $\int_a^b f\le \int_a^b g$.

\textup{(c)} Jestli\v{z}e  $f\in\mathcal{N}(a,b)\cap \C((a,b))$, pak $\int_a^b |f|$ existuje a $\abs{\int_a^b f}\le \int_a^b \abs{f}$.

\textup{(d)} Nech\v{t} $a,b,c\in\Rr$, $a<b<c$. Jestli\v{z}e $f\in \mathcal{N}(a,c)$, pak $f\in\mathcal{N}(a,b)\cap \mathcal{N}(b,c)$ a plat\'i
\[
\int_a^c f=\int_a^bf+\int_b^c f.
\]

\textup{(e)} Nech\v{t} $a,b,c\in\Rr$, $a<b<c$. Nech\v{t} $f$ je spojit\'a v $b$. Pak $f\in \mathcal{N}(a,b)\cap\mathcal{N}(b,c)\Leftrightarrow f\in\mathcal{N}(a,c)$.

\textup{(f)} \at $f\in\mathcal{N}(a,b)$. \at $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ jsou posloupnosti z $(a,b)$ spl\v{n}uj\'ic\'i $\lim a_n = a$, $\lim b_n = b$. Pak \[\int_a^b f = \lp \int_{a_n}^{b_n} f.\]

\textup{(g)} \at $f\in\mathcal{N}(a,b)$ a $m\leq f(x)\leq M$ pro $x\in [a,b]$. Pak
\[m(b-a)\leq \int_a^b f\leq M(b-a).\]

\textup{(h)} \at $f\in\mathcal{N}(a,b)$, $c\in (a,b)$. Pak $(x\mapsto \int_c^x f(t)\dt)' = f(x)$ pro $x\in(c,b)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
(a): lehké (vynecháme)\\
(b): ať $F\in\int f$ a $G\in\int g$. Pak máme
\[\int_a^b g = \int_a^b (g-f) + \int_a^b f = (G-F)(b-) - (G-F)(a+) + \int_a^b f,\]
zároveň $(G-F)' = g-f\geq 0$ a tedy $(G-F)(b-) - (G-F)(a+)\geq 0$.\\
(c): d\r{u}kaz \v{z}e $\int_a^b |f|$ existuje vynecháme. Důkaz nerovnosti plyne aplikací (b):
\[\abs{\int_a^b f} = \max\Big\{\int_a^b f,-\int_a^b f\Big\} = \max\Big\{\int_a^b f,\int_a^b -f\Big\}\stackrel{(b)}{\leq} \int_a^b |f|.\]
(d): ať $F\in\int f$. Použijeme-li spojitost funkce $F$ v bod\v{e} $b$, dostáváme
\[\int_a^bf+\int_b^c f = F(b-) - F(a+) + F(c-) - F(b+) = F(c-) - F(a+) = \int_a^b f.\]
(e): důkaz vynecháme.\\
(f): plyne z Heineho věty a ze spojitosti funkce $F$.\\
(g): plyne ihned z (b).\\
(h): ať $F\in\int f$. Pak pro každé $x\in (c,b)$ máme
\[(x\mapsto \int_c^x f(t)\dt)'(x) = (F(x-)-F(c+))'(x) = F'(x) = f(x).\]
\end{proof}

\begin{theorem}[per partes pro Newton\r{u}v integr\'al]\label{T:ni-perpartes}
Nech\v{t} $a,b\in\Rr$, $a<b$, a nech\v{t} $f$ a $g$ jsou funkce definovan\'e na $(a,b)$. Nech\v{t} $F$ je primitivn\'i funkce k~funkci $f$ na $(a,b)$ a $G$ je primitivn\'i funkce k~funkci $g$ na $(a,b)$. Potom plat\'i
\[
\int_a^b Fg=[FG]_a^b-\int_a^b fG,
\]
jestli\v{z}e m\'a prav\'a strana smysl.
\end{theorem}
\begin{proof}
důkaz vynecháme (analogický jako důkaz věty o per partes pro primitivní funkce).
\end{proof}

\begin{theorem}[substituce pro Newton\r{u}v integr\'al]\label{T:ni-subst}
Nech\v{t} $a,b,\alpha,\beta\in\Rr$, $a<b$ a $\alpha<\beta$. Nech\v{t} $f$ je funkce definovan\'a na $(a,b)$ a nech\v{t} $\varphi$ je funkce definovan\'a na $(\alpha,\beta)$. Nech\v{t} $\varphi$ m\'a vlastn\'i nenulovou derivaci na $(\alpha,\beta)$ a nech\v{t} plat\'i $\varphi((\alpha,\beta))=(a,b)$. Potom
\[
\int_a^b f=\int_\alpha^\beta (f\circ \varphi)\abs{\varphi'},
\]
m\'a-li alespo\v{n} jedna strana smysl.
\end{theorem}
\begin{proof}
důkaz vynecháme (snadno plyne y 1. a 2. věty o substituci pro primitivní funkce).
\end{proof}

\section{Riemann\r{u}v integr\'al}

\begin{defin}
Kone\v{c}nou posloupnost $\{x_j\}_{j=0}^n$ naz\'yv\'ame \textbf{d\v{e}len\'im intervalu} $[a,b]$, jest\-li\v{z}e plat\'i
$$
a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b.
$$
Body $x_0,\dots,x_n$ naz\'yv\'ame \textbf{d\v{e}l\'ic\'imi body}.
\textbf{Normou d\v{e}len\'i} $D = \{x_j\}_{j=0}^{n}$ rozum\'ime \v{c}\'islo
$$
\nu(D) = \max\{x_j - x_{j-1};\, j = 1, \dots,n\}.
$$
\end{defin}

\begin{defin}
Nech\v{t} $f$ je omezen\'a funkce definovan\'a na intervalu $[a,b]$ a $D = \{x_j\}_{j=0}^n$ je d\v{e}len\'i $[a,b]$. Ozna\v{c}me
\begin{align*}
\overline{S}(f,D) &= \sum_{j=1}^n M_j(x_j-x_{j-1}),  \text { kde } M_j = \sup \{f(x); x \in [ x_{j-1},x_j ]\},   \\
\underline{S}(f,D) &= \sum_{j=1}^n m_j(x_j-x_{j-1}), \text { kde } m_j = \inf \{f(x); x \in [ x_{j-1},x_j ]\},
\end{align*}
\begin{align*}
\overline{\int_a^b} f(x) \dx &= \inf \{\overline{S}(f,D);\ D \text{ je d\v{e}len\'im intervalu } [a,b]\},  \\
\underline{\int_a^b} f(x) \dx  &= \sup \{\underline{S}(f,D);\ D \text{ je d\v{e}len\'im intervalu } [a,b]\}.
\end{align*}
\end{defin}

\begin{defin}
\v{R}ekneme, \v{z}e omezen\'a funkce $f$ na intervalu $[a,b]$, $a < b$, m\'a \textbf{Riemann\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$},
pokud $\overline{\int_a^b} f(x) \dx = \underline{\int_a^b} f(x) \dx$.
Hodnota integr\'alu $f$ od $a$ do $b$ je rovna
t\'eto spole\v{c}n\'e hodnot\v{e}.
Zna\v{c}\'ime ji $(R)\int_a^b f$. Nem\r{u}\v{z}e-li doj\'it ke zmaten\'i, p\'i\v{s}eme $\int_a\sp b f$ m\'isto $(R)\int_a\sp b f(x)\dx$. Jestli\v{z}e $a > b$, definujeme $\int_a^b f(x) \dx  = -\int_b^a f(x) \dx$. V~p\v{r}\'ipad\v{e}, \v{z}e $a=b$,
definujeme $\int_a^b f(x) \dx = 0$.
\end{defin}

\begin{pozn}Nech\v{t} $f$ je omezen\'a funkce definovan\'a na intervalu $[a,b]$, kter\'a m\'a Riemann\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$. Pak hodnotu integr\'alu m\r{u}\v{z}eme ur\v{c}it n\'asleduj\'ic\'im zp\r{u}sobem.
\begin{itemize}
			\item pro ka\v{z}d\'e $n\in\en$ zvol\'ime d\v{e}len\'i $D_n = \{x_{n,k}\}_{k=1}^{k_n}$ tak, \v{z}e $\lp \nu(D_n) = 0$;
			\item pro ka\v{z}d\'e $n\in\en$ a $i\in\{1,\ldots k_n\}$ zvol\'ime $c_{n,i}\in [x_{n,i-1},x_{n,i}]$;
		\end{itemize}
		Pak $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{k_n} f(c_{n,i})(x_{n,i} - x_{n,i-1}) = \int_a^b f(x) \dx$.
\end{pozn}

\begin{defin}
Nech\v{t} $a,b \in \R$.
Mno\v{z}inu v\v{s}ech funkc\'i, kter\'e maj\'i Riemann\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$, zna\v{c}\'ime $\mathcal R([a,b])$. Pokud $[a,b]\subset \dom(f)$, potom symbol $f\in\mathcal{R}([a,b])$ znamen\'a, \v{z}e $f|_{[a,b]}\in\mathcal{R}([a,b])$.
\end{defin}

\begin{examples}
(a) Existuje funkce, kter\'a je Riemannovsky integrovateln\'a, ale nen\'i Newtonovsky integrovateln\'a (nap\v{r}\'iklad $|\sgn x|$ na intervalu $[-1,1]$).

(b) Existuje funkce, kter\'a je Newtonovsky integrovateln\'a, ale nen\'i Riemannovsky integrovateln\'a (nap\v{r}\'iklad $\frac{1}{\sqrt{x}}$ na intervalu $(0,1)$ dodefinovan\'a libovolnou hodnotou v bod\v{e} $0$).
\end{examples}

\begin{theorem}[spojitost a riemann\r{u}v integr\'al]
\label{T:spojita-ma-riemannuv-integral}
Nech\v{t} $f\in\C([a,b])$. Potom $f\in\mathcal{R}([a,b])$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah Riemannova a Newtonova integr\'alu]\label{T:ni-r=n}
Nech\v{t} $a,b\in\R$, $a<b$, a nech\v{t} $f\in\mathcal{R}([a,b])\cap \mathcal{N}(a,b)$. Potom
\[
\rint_a^b f(x)\,d x=\nint_a^b f(x)\,d x.
\]
\end{theorem}

\begin{corollary}[spojitost a existence Riemannova a Newtonova integr\'alu]\label{C:ni-r=nspoj}
Nech\v{t} $f\in\C([a,b])$. Potom $f\in\mathcal{R}([a,b])\cap \mathcal{N}(a,b)$ a
\[
\rint_a^b f(x)\,d x=\nint_a^b f(x)\,d x.
\]
\end{corollary}

\section{Konvergence Newtonova integr\'alu}

\begin{theorem}[vztah spojitosti a konvergence Newtonova integr\'alu]\label{T:ni-existspoj}
Nech\v{t} $a,b\in\er$ a $f\in\C((a,b))$ je omezen\'a. Potom $f\in\mathcal{N}(a,b)$.

Speci\'aln\v{e}, pokud $f\in\C((a,b))$, $f(a+)\in\er$ a $f(b-)\in \er$, pak $f\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[srovn\'avac\'i krit\'erium pro konvergenci Newtonova integr\'alu]\label{T:ni-srov}
Nech\v{t} $a\in\R$, $b\in\Rr$ a nech\v{t} $a<b$. Nech\v{t} funkce $f,g:[a,b)\to\R$ spl\v{n}uj\'i $0\le f(x)\le g(x)$ pro ka\v{z}d\'e $x\in[a,b)$. Nech\v{t} je $f\in \C([a,b))$ a $g\in\mathcal{N}(a,b)$. Potom $f\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[limitn\'i srovn\'avac\'i krit\'erium pro konvergenci Newtonova integr\'alu]
\label{T:ni-limsrov}
Nech\v{t} $a\in\R$, $b\in\Rr$, $a<b$. Nech\v{t} $f,g$ jsou spojit\'e nez\'aporn\'e funkce na $[a,b)$.
Jestli\v{z}e $\lim_{x\to b_-} \frac{f(x)}{g(x)}\in (0,\infty)$, pak $f\in\mathcal{N}(a,b)$ pr\'av\v{e} tehdy, kdy\v{z} $g\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{pozn}
Tvrzen\'i V\v{e}t~\ref{T:ni-srov} a~\ref{T:ni-limsrov} plat\'i s p\v{r}\'islu\v{s}n\'ymi \'upravami i pro intervaly typu $(a,b]$.
\end{pozn}

\begin{theorem}[vztah absolutn\'i konvergence a konvergence Newtonova integr\'alu]\label{T:absolutni-konvergence-a-konvergence-newtonova-integralu}
Nech\v{t} $a,b\in\Rr$, $a<b$, a nech\v{t} je d\'ana funkce $f\in\C((a,b))$ spl\v{n}uj\'ic\'i $|f|\in\mathcal{N}(a,b)$. Potom $f\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Abelovo-Dirichletovo krit\'erium konvergence Newtonova integr\'alu]\label{T:ni-da}
Nech\v{t} $a\in\R$, $b\in\Rr$, $a<b$. Nech\v{t} $f, g\in\C([a,b))$ a $g$ je monot\'onn\'i na $[a,b)$. Nech\v{t} $F$ je primitivn\'i funkce k funkci $f$ na $(a,b)$.

\textup{(a)} Jestli\v{z}e $f\in\mathcal{N}(a,b)$ a $g$ je omezen\'a na $[a,b)$, potom $fg\in\mathcal{N}(a,b)$.

\textup{(b)} Jestli\v{z}e $F$ je omezen\'a na $(a,b)$ a $\lim_{x\to b_-} g(x)=0$, potom $fg\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{pozn}
Tvrzen\'i V\v{e}ty~\ref{T:ni-da} plat\'i s p\v{r}\'islu\v{s}n\'ymi \'upravami i pro intervaly typu $(a,b]$.
\end{pozn}

\section{Aplikace ur\v{c}it\'eho integr\'alu}

Teorie integr\'alu se pou\v{z}\'iv\'a jako teoretick\'y n\'astroj v matematice, ale tak\'e v geometrii, fyzice a v mnoha dal\v{s}\'i v\v{e}d\'ach, kde se matematika aplikuje. N\v{e}jak\'e z\'akladn\'i p\v{r}\'ikady jsou n\'i\v{z}e.

\begin{enumerate}[(a)]
		\item \textbf{Integrální kritérium konvergence řad}\\
		\emph{Nechť $n_0\in\en$ a $f\in\C([n_0,+\infty))$ je nezáporná a  nerostoucí. Pak $\int_{n_0}^{\infty} f(x) \dx$ konverguje právě tehdy, když $\sum_{n=n_0}^{\infty}f(n)$ konverguje.}
		\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete konvergenci \v{r}ad $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log n}$ a $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log^2 n}$.\\ \emph{Řešení: prvn\'i \v{r}ada diverguje, druh\'a konverguje}
		\end{example}
		\item \textbf{Obsah podgrafu spojit\'e funkce}\\ \emph{Nech\v{t} $f\in\C([a,b])$, $f\geq 0$. Pak obsah podgrafu $f$ je roven \v{c}\'islu $\int_a^b f(x)\dx$.} P\v{r}esn\v{e}ji,
		\[
			\operatorname{obsah}\Big(\big\{(x,y)\setsep x\in[a,b], 0\leq y \leq f(x)\big\}\Big) = \int_a^b f(x)\dx.
		\]
		\begin{example}Vypo\v{c}t\v{e}te obsah podgrafu funkce $\sin x$, $x\in [0,\pi]$.
		\\ \emph{Řešení: $2$}
		\end{example}
		\item \textbf{Obsah mno\v{z}iny vytvo\v{r}en\'e grafy funkc\'i}\\
		\emph{Nech\v{t} $f, g\in\C([a,b])$. Pak obsah mno\v{z}iny bod\r{u} le\v{z}\'ic\'ich mezi grafy funkc\'i $f$ a $g$ je roven \v{c}\'islu $\int_a^b |g(x) - f(x)|\,\dx$.} P\v{r}esn\v{e}ji,
		\[
			\operatorname{obsah}\Big(\big\{(x,y)\setsep x\in[a,b], f(x)\leq y \leq g(x)\text{ nebo }g(x)\leq y\leq f(x)\big\}\Big) = \int_a^b |g(x) - f(x)|\dx.
		\]
		\begin{example}Vypo\v{c}t\v{e}te obsah plochy ohrani\v{c}en\'e grafy funkcí $f(x)=x^2$ a $g(x)=\sqrt{x}$ pro $x\in[0,1]$
		\\ \emph{Řešení: $\tfrac{1}{3}$}
		\end{example}
		\item \textbf{D\'elka grafu funkce}\\
		\emph{Nech\v{t} $f\in\C^1([a,b])$. Pak $$\text{d\'elka grafu funkce $f$} = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \dx.$$}
		\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te d\'elku k\v{r}ivky $y=\arcsin x + \sqrt{1-x^2}, x\in (-1,1)$.\\ \emph{Řešení: $4$}
		\end{example}
		\item \textbf{Zm\v{e}na polohy a ujet\'a vzd\'alenost}\\
		Jestliže se bod pohybuje po přímce (např. po ose $x$) a značí-li $s(t)$ souřadnici bodu v čase $t$, je $s'(t)$ okamžitá rychlost
 $v(t)$ v čase $t$ a $v'(t)=s''(t)$ okamžité zrychlení v čase $t$. Je-li dána závislost rychlosti na čase funkcí $v(t)$, není
 $$
 \int_a^b v(t) \dt =s(b)-s(a)
 $$
 ujetá vzdálenost, ale změna polohy pohybujícího se bodu. Ujetá délka cesty od okamžiku $t=a$ do okamžiku $t=b$ se spočte jako 
 $$
 \int_a^b |v(t)| \dt\,.
 $$

\begin{example}Vypočítejte dráhu dešťové kapky za prvních $6$ sekund, kde okamžitá rychlost (v metrech za sekundu) kapky je dána vzorcem $v(t) = g.t$, kde $g=9.81$.\\ \emph{Řešení: $176.58$ metrů ($176.58 = 9.81\cdot 18$)}
\end{example}
	\end{enumerate}

\section{Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al}

\begin{convention}V t\'eto sekci $[a,b]$ zna\v{c}\'i omezen\'y interval, $f:[a,b]\to\er$ a $\varphi:[a,b]\to\er$ jsou omezen\'e funkce. 
\end{convention}

N\'asleduj\'ic\'i definice je p\v{r}\'imo\v{c}a\'ym zobecn\v{e}n\'im Riemannova integr\'alu.

\begin{defin}
Nech\v{t} $D = \{x_j\}_{j=0}^n$ je d\v{e}len\'i $[a,b]$ a $\varphi:[a,b]$ je neklesaj\'ic\'i. Ozna\v{c}me
\begin{align*}
\overline{S}(f,D,\varphi) &= \sum_{j=1}^n M_j(\varphi(x_j)-\varphi(x_{j-1})),  \text { kde } M_j = \sup \{f(x); x \in [ x_{j-1},x_j ]\},   \\
\underline{S}(f,D,\varphi) &= \sum_{j=1}^n m_j(\varphi(x_j)-\varphi(x_{j-1})), \text { kde } m_j = \inf \{f(x); x \in [ x_{j-1},x_j ]\},
\end{align*}
\begin{align*}
\overline{\int_a^b} f(x) \dgx{\varphi(x)} &= \inf \{\overline{S}(f,D,\varphi);\ D \text{ je d\v{e}len\'im intervalu } [a,b]\},  \\
\underline{\int_a^b} f(x) \dgx{\varphi(x)}  &= \sup \{\underline{S}(f,D,\varphi);\ D \text{ je d\v{e}len\'im intervalu } [a,b]\}.
\end{align*}
\v{R}ekneme, \v{z}e $f$ m\'a \textbf{Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $\varphi$},
pokud $\overline{\int_a^b} f(x) \dgx{\varphi(x)} = \underline{\int_a^b} f(x) \dgx{\varphi(x)}$. Hodnota integr\'alu $f$ od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $\varphi$ je rovna t\'eto spole\v{c}n\'e hodnot\v{e}. Zna\v{c}\'ime ji $(RS)\int_a^b f \dgx{\varphi(x)}$.
\end{defin}

Tuto definici je ale mo\v{z}n\'e d\'ale zobecnit.

\begin{defin}Nech\v{t} $D = \{x_j\}_{j=0}^n$ je d\v{e}len\'i $[a,b]$ a $c_j\in [x_{j-1},x_j]$ pro $j=1,\ldots,n$. Pak \emph{Riemannova-Stieltjesova suma $S(f,D,\varphi,(c_j)_{j=1}^n)$} je definov\'ana jako
\[S(f,D,\varphi,(c_j)_{j=1}^n) = \sum_{j=1}^n f(c_j)(\varphi(x_j)-\varphi(x_{j-1})).\]
V\v{e}t\v{s}inou m\'isto $S(f,D,\varphi,(c_j)_{j=1}^n)$ p\'i\v{s}eme krat\v{s}\'i z\'apis $S(f,D,\varphi)$.
\end{defin}

\begin{fact}Nech\v{t} $\varphi$ je neklesaj\'ic\'i a $A\in\er$. Pak $(RS)\int_a^b f \dgx{\varphi(x)} = A$ pr\'av\v{e} tehdy, kdy\v{z} pro ka\v{z}d\'e $\varepsilon>0$ existuje $D$ d\v{e}len\'i $[a,b]$ takov\'e, \v{z}e kdykoliv $D'\supset D$ je d\v{e}len\'i $[a,b]$ a kdykoliv $S(f,D',\varphi)$ je Riemannova-Stieltjesova suma, pak $|S(f,D',\varphi) - A|<\varepsilon$.
\end{fact}

Tento fakt n\'as motivuje k n\'asleduj\'ic\'i definici.

\begin{defin}\v{R}ekneme, \v{z}e \v{z}e $f$ m\'a \textbf{Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $\varphi$} (kde $\varphi$ nen\'i nutn\v{e} neklesaj\'ic\'i), pokud existuje $A\in\er$ takov\'e, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $\varepsilon>0$ existuje $D$ d\v{e}len\'i $[a,b]$ takov\'e, \v{z}e kdykoliv $D'\supset D$ je d\v{e}len\'i $[a,b]$ a kdykoliv $S(f,D',\varphi)$ je Riemannova-Stieltjesova suma, pak $|S(f,D',\varphi) - A|<\varepsilon$.

V takov\'em p\v{r}\'ipad\v{e} je \v{c}\'islo $A$ ur\v{c}eno jednozna\v{c}n\v{e}, zna\v{c}\'ime jej $(RS)\int_a^b f \dgx{\varphi(x)}$ a \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e $(RS)\int_a^b f \dgx{\varphi(x)}$ je \textbf{Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $\varphi$}. Nem\r{u}\v{z}e-li doj\'it ke zmaten\'i, p\'i\v{s}eme $\int_a^b f \dgx{\varphi(x)}$ m\'isto $(RS)\int_a\sp b f(x)\dgx{\varphi(x)}$. Jestli\v{z}e $a > b$, definujeme $\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)}  = -\int_b^a f(x) \dgx{\varphi(x)}$. V~p\v{r}\'ipad\v{e}, \v{z}e $a=b$,
definujeme $\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} = 0$.
\end{defin}

%pokracovani priste ... 

\begin{defin}Nech\v{t} $\varphi:[a,b]\to \er$ je neklesaj\'ic\'i funkce. \v{R}ekneme, \v{z}e omezen\'a funkce $f$ na intervalu $[a,b]$, $a < b$, m\'a \textbf{Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $\varphi$},
pokud $\overline{\int_a^b} f(x) \dgx{\varphi(x)} = \underline{\int_a^b} f(x) \dgx{\varphi(x)}$.
Hodnota integr\'alu $f$ od $a$ do $b$ je rovna
t\'eto spole\v{c}n\'e hodnot\v{e}.
Zna\v{c}\'ime ji $(RS)\int_a^b f \dgx{\varphi(x)}$. Nem\r{u}\v{z}e-li doj\'it ke zmaten\'i, p\'i\v{s}eme $\int_a^b f \dgx{\varphi(x)}$ m\'isto $(RS)\int_a\sp b f(x)\dgx{\varphi(x)}$. Jestli\v{z}e $a > b$, definujeme $\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)}  = -\int_b^a f(x) \dgx{\varphi(x)}$. V~p\v{r}\'ipad\v{e}, \v{z}e $a=b$,
definujeme $\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} = 0$.
\end{defin}

\begin{defin}
Nech\v{t} $\varphi:[a,b]\to \er$ je neklesaj\'ic\'i funkce.
Mno\v{z}inu v\v{s}ech funkc\'i, kter\'e maj\'i Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $\varphi$, zna\v{c}\'ime $\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$. Pokud $[a,b]\subset \dom(f)$, potom symbol $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$ znamen\'a, \v{z}e $f|_{[a,b]}\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$.
\end{defin}

% vlastnosti integralu

\begin{theorem}[bilinearita RS integr\'alu]
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Je--li $f,g\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$ a $c,d\in\er$, pak $cf + dg\in \mathcal{RS}_\varphi([a,b])$ a plat\'i
			\[
				\int_a^b (cf + dg)(x) \dgx{\varphi(x)} =c\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} + d\int_a^b g(x) \dgx{\varphi(x)}.
				\]
		\item Jestli\v{z}e $\psi:[a,b]\to \er$ je omezen\'a funkce, $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])\cap \mathcal{RS}_\psi([a,b])$ a $c,d\in\er$, pak $f\in\mathcal{RS}_{c\varphi+d\psi}([a,b])$ a plat\'i
		\[
		\int_a^b f(x) \dgx{(c\varphi + d\psi)(x)} =c\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} + d\int_a^b f(x) \dgx{\psi(x)}.
		\]
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[aditivita RS integr\'alu vzhledem k interval\r{u}m]\label{thm:aditivitaIntervaly} Nech\v{t} $c\in(a,b)$. Pak $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$ pr\'av\v{e} tehdy, kdy\v{z} $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,c])\cap \mathcal{RS}_\varphi([c,b])$ a pokud $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$ pak plat\'i
\[\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} = \int_a^c f(x) \dgx{\varphi(x)} + \int_c^b f(x) \dgx{\varphi(x)}.\]
\end{theorem}

% existence integralu

\begin{theorem}[spojitost a RS integr\'al] Nech\v{t} $\varphi:[a,b]\to \er$ je neklesaj\'ic\'i funkce a $f:[a,b]\to \er$ je omezen\'a funkce. Jestli\v{z}e mno\v{z}ina bod\r{u} nespojitosti funkce $f$ je kone\v{c}n\'a a je--li v ka\v{z}d\'em z t\v{e}chto bod\r{u} funkce $\varphi$ spojit\'a, pak $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$.
\end{theorem}

\begin{pozn}Speci\'aln\v{e}, je--li $f$ spojit\'a a\v{z} na kone\v{c}n\v{e} mnoho bod\r{u}, pak existuje Riemann\r{u}v integr\'al funkce $f$. Jedn\'a se tedy o zes\'ilen\'i a zobecn\v{e}n\'i v\v{e}ty~\ref{T:spojita-ma-riemannuv-integral}.
\end{pozn}

\begin{corollary} Nech\v{t} $f\in\C([a,b])$ a $\varphi$ je monot\'onn\'i. Pak $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$.
\end{corollary}

\begin{theorem}[per partes pro RS integr\'al]\label{thm:perpartesRS} Funkce $f$ m\'a Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $\varphi$ pr\'av\v{e} tehdy, kdy\v{z} funkce $\varphi$ m\'a Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $f$ a pokud oba integr\'aly existuj\'i pak
\[\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} = [f(x)\varphi(x)]_a^b - \int_a^b \varphi(x) \dgx{f(x)},\]
kde symbol $[f(x)\varphi(x)]_a^b$ zna\v{c}\'i rozd\'il $f(b)\varphi(b) - f(a)\varphi(a)$.
\end{theorem}

\begin{corollary} Nech\v{t} $f$ je monot\'onn\'i a $\varphi\in\C([a,b])$. Pak $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$.
\end{corollary}

\begin{pozn}Speci\'aln\v{e}, je--li $f$ monot\'onn\'i, pak existuje Riemann\r{u}v integr\'al funkce $f$. To je nov\'y pro n\'as nov\'y poznatek i pro Riemann\r{u}v integr\'al.
\end{pozn}

% pocitani integralu

\begin{theorem}[vztah Riemannova a Riemannova-Stieltjesova integr\'alu]
Nech\v{t} $f\in\mathcal{R}([a,b])$ a $\varphi\in\C^1([a,b])$. Pak $f\varphi'\in\mathcal{R}([a,b])$, $f\in\mathcal{RS}_\varphi([a,b])$ a plat\'i
\[
	\rsint_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} = \rint_a^b f(x)\varphi'(x) \dx.
\]
\end{theorem}

\begin{lemma} Nech\v{t} $f\in\C([a,b])$ a $\varphi$ je neklesaj\'ic\'i. Ozna\v{c}me $m:=\min\{f(x)\colon x\in[a,b]\}$ a $M:=\max\{f(x)\colon x\in[a,b]\}$. Pak
\[m(\varphi(b)-\varphi(a)) \leq \int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} \leq M(\varphi(b)-\varphi(a)).\]
\end{lemma}

\begin{theorem}[integr\'al a funkce shodn\'e skoro v\v{s}ude]\label{thm:sv}Nech\v{t} $f\in \C([a,b])$ a $g:[a,b]\to \er$ je funkce kter\'a je shodn\'a s $f$ a\v{z} na kone\v{c}n\'y po\v{c}et bod\r{u}. Pak
\[\int_a^b f(x) \dx = \int_a^b g(x) \dx.\]
\end{theorem}

\begin{example}
Spo\v{c}t\v{e}te n\'asleduj\'ic\'i Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al ($[x]$ zna\v{c}\'i funkci cel\'a \v{c}\'ast)
\[\int_0^3 x \dgx{[x]}.\]
\textit{\v{R}e\v{s}en\'i}: Proto\v{z}e funkce $[x]$ je neklesaj\'c\'i, integr\'al existuje a dle V\v{e}ty~\ref{thm:perpartesRS} m\'ame
\[\int_0^3 x \dgx{[x]} = [x[x]]_0^3 - \int_0^3 [x] \dx = 9 - \int_0^3 [x] \dx\]
S pomoc\'i V\v{e}ty~\ref{thm:aditivitaIntervaly} m\'ame
 \[\int_0^3 x \dgx{[x]} = 9 - \int_0^1 [x] \dx - \int_1^2 [x] \dx - \int_2^3 [x] \dx\]
a dle V\v{e}ty~\ref{thm:sv} tak dost\'av\'ame
 \[\int_0^3 x \dgx{[x]} = 9 - \int_0^1 0 \dx - \int_1^2 1 \dx - \int_2^3 2 \dx = 6.\]
\end{example}

\chapter{Diferenci\'aln\'i rovnice}

\begin{defin}\emphdef{Diferenci\'aln\'i rovnic\'i} rozum\'ime rovnici tvaru
 \begin{equation}\label{eq:difRov}
 F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\,,
 \end{equation}
kde $F$ je re\'aln\'a funkce $n+2$ prom\v{e}nn\'ych. \emphdef{\v{R}\'ad diferenci\'aln\'i rovnice} \eqref{eq:difRov} je nejvy\v{s}\v{s}\'i \v{r}\'ad derivace funkce $y$ vyskytuj\'ic\'i se v \eqref{eq:difRov}.
 
 \emphdef{\v{R}e\v{s}en\'im diferenci\'aln\'i rovnice} \eqref{eq:difRov} rozum\'ime funkci $y$ definovanou na n\v{e}jak\'em nepr\'azdn\'em otev\v{r}en\'em intervalu $I$, kter\'a m\'a v ka\v{z}d\'em bod\v{e} intervalu $I$ vlastn\'i $n$-tou derivaci a jej\'i\v{z} hodnoty spolu s hodnotami derivac\'i spl\v{n}uj\'i rovnici \eqref{eq:difRov} v ka\v{z}d\'em bod\v{e} intervalu $I$, tj. pro ka\v{z}d\'e $x\in I$ plat\'i
	\[F\Big(x,y(x),y'(x),y''(x),...,y^{(n)}(x)\Big)=0.\]
 \end{defin}

\begin{defin}Je-li funkce $y$ \v{r}e\v{s}en\'im rovnice \eqref{eq:difRov} na intervalu $I$ a funkce $\tilde{y}$ \v{r}e\v{s}en\'im rovnice \eqref{eq:difRov} na intervalu $\tilde{I}$, kde $I\subset \tilde{I}$, $I\neq \tilde{I}$ a
$y(x) = \tilde{y}(x)$ pro v\v{s}echna $x\in I$ , pak \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e \v{r}e\v{s}en\'i $\tilde{y}$ je \emphdef{prodlou\v{z}en\'im \v{r}e\v{s}en\'i} $y$ na interval $\tilde{I}$.

\v{R}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:difRov}, kter\'e nem\'a prodlou\v{z}en\'i, naz\'yv\'ame \emphdef{maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'im} rovnice \eqref{eq:difRov}. \emphdef{Obecn\'ym \v{r}e\v{s}en\'im} rozum\'ime mno\v{z}inu v\v{s}ech maxim\'alm\'ich \v{r}e\v{s}en\'i. Maxim\'aln\'imu \v{r}e\v{s}en\'i n\v{e}kdy tak\'e \v{r}\'ik\'ame \emphdef{partikul\'arn\'i \v{r}e\v{s}en\'i}.
\end{defin}

\begin{defin}Rovnice tvaru
	\[y^{(n)} = f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)}),\]
	kde $f$ je re\'aln\'a funkce $n+1$ prom\v{e}nn\'ych, se naz\'yv\'a \emphdef{diferenci\'aln\'i rovnice ($n$-t\'eho \v{r}\'adu) vy\v{r}e\v{s}en\'a vzhledem k nejvy\v{s}\v{s}\'i derivaci}.
\end{defin}

\section{Oby\v{c}ejn\'e diferenci\'aln\'i rovnice prvn\'iho \v{r}\'adu}

\subsubsection{Rovnice se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi}

\begin{defin}[Rovnice se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi]\emphdef{Diferenci\'aln\'i rovnice se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi} je rovnice tvaru
 \begin{equation}\label{eq:sep}
		y' = g(y)h(x).
	\end{equation}
\end{defin}

\begin{lemma}[Lemma o lepen\'i \v{r}e\v{s}en\'i]\label{lem:lepeniODR}
Nech\v{t} $a,b,c,d\in\er$, $a<b$, $c<d$, nech\v{t} $h:(a,b)\to\er$ a $g:(c,d)\to\er$ jsou spojit\'e funkce, $x_0\in(a,b)$ a $A\in(c,d)$. Nechť $y_l$ je řešením diferenciální rovnice~\eqref{eq:sep} na intervalu $(x_0-\delta,x_0)$ pro n\v{e}jak\'e $\delta>0$ a $y_r$ je řešením diferenciální rovnice~\eqref{eq:sep} na intervalu $(x_0,x_0+\eta)$ pro n\v{e}jak\'e $\eta>0$. Nechť platí
\[\lim_{x\to {x_0}^-} y_l(x) = A = \lim_{x\to {x_0}^+} y_r(x).\]
Pak funkce
\[
y(x):=\begin{cases} y_l(x) & x\in (x_0-\delta,x_0)\\ A & x = x_0\\ y_r(x) & x\in (x_0,x_0+\eta)
\end{cases}
\]
je řešením rovnice~\eqref{eq:sep} na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\eta)$.
\end{lemma}

\begin{lemma}
Nech\v{t} $a,b,c,d\in\er$, $a<b$, $c<d$, nech\v{t} $h:(a,b)\to\er$ a $g:(c,d)\to\er$ jsou spojit\'e funkce, $g$ je nenulov\'a, $x_0\in(a,b)$ a $y_0\in(c,d)$. 
Ozna\v{c}me
\[H(x):=\int_{x_0}^x h(t) \dt,\qquad x\in(a,b)\]
a
\[G(y):=\int_{y_0}^y \frac{1}{g(t)} \dt,\qquad y\in(c,d).\]
Potom existuje právě jedno maximální řešení $y$ rovnice~\eqref{eq:sep} splňující podmínku $y(x_0)=y_0$. Definičním intervalem $I$ tohoto řešení je maximální interval ze všech intervalů tvaru $(x_0-\delta,x_0+\eta)$, které splňují $(x_0-\delta,x_0+\eta)\subset (a,b)$ a
\[H(x)\in G((c,d)),\qquad x\in I.\]
\end{lemma}

Metoda \v{r}e\v{s}en\'i pro $g$, $h$ spojit\'e na sv\'ych defini\v{c}n\'ich oborech.

\begin{enumerate}[(a)]
	\item  Ur\v{c}\'ime maxim\'aln\'i otev\v{r}en\'e intervaly obsa\v{z}en\'e v defini\v{c}n\'im oboru funkce $h$. (T\'im m\'ame vymezeny maxim\'aln\'i intervaly, na kter\'ych m\r{u}\v{z}eme hledat \v{r}e\v{s}en\'i.)
	\item Najdeme v\v{s}echny nulov\'e body funkce $g$. Je-li $g(c) = 0$, pak na ka\v{z}d\'em intervalu z 1. kroku je funkce $y(x) = c$ tzv. \emphdef{singul\'arn\'im} (t\'e\v{z} \emphdef{stacion\'arn\'im}) \v{r}e\v{s}en\'im rovnice \eqref{eq:sep}.
	\item Ur\v{c}\'ime maxim\'aln\'i otev\v{r}en\'e intervaly, na kter\'ych je funkce $g$ nenulov\'a.
	\item Vezmeme interval $I$ z 1. kroku a interval $J$ ze 3. kroku. Tedy $h$ je na I spojit\'a a g je na J spojit\'a a nenulov\'a. Budeme hledat \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:sep}, jejich\v{z} defini\v{c}n\'i obor je obsa\v{z}en v intervalu $I$ a maj\'i hodnoty v intervalu $J$. Je-li $y$ takov\'e \v{r}e\v{s}en\'i, pak pro ka\v{z}d\'e $x\in \dom(y)$ plat\'i
 \[
		\frac{y'(x)}{g(y(x))} = h(x).
	\]
Nech\v{t} $H$ je primitivn\'i funkce k funkci $h$ na intervalu $I$ a $G$ je primitivn\'i funkce k funkci $1/g$ na $J$ . Potom existuje konstanta $C\in \er$ takov\'a, \v{z}e plat\'i
	\[
		G(y(x)) = H(x) + C
	\]
na defini\v{c}n\'im oboru \v{r}e\v{s}en\'i $y$, kter\'y nalezneme v n\'asleduj\'ic\'im kroku.
	\item Nyn\'i zafixujeme $C$ a nalezneme maxim\'aln\'i nepr\'azdn\'e otev\v{r}en\'e intervaly obsa\v{z}en\'e v mno\v{z}in\v{e}
\[
	\{x\in I\setsep H(x) + C\in G(J)\}.
\]
Na ka\v{z}d\'em z t\v{e}chto interval\r{u} \v{r}e\v{s}en\'i mus\'i m\'it tvar
\[
	y(x) = G^{-1}(H(x) + C),
\]
kde $G^{-1}$ zna\v{c}\'i funkci inverzn\'i k funkci $G$. Ta existuje, nebo\v{t} $G$ je na intervalu $J$ bu\v{d} rostouc\'i nebo klesaj\'ic\'i.
	\item Z \v{r}e\v{s}en\'i nalezen\'ych v 5. kroku a singul\'arn\'ich \v{r}e\v{s}en\'i z 2. kroku \uv{slep\'ime} v\v{s}echna maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:sep} pomoc\'i Lemmatu~\ref{lem:lepeniODR}
\end{enumerate}

\subsubsection{Homogenn\'i rovnice}

\begin{defin}[Homogenn\'i rovnice]\emphdef{Homogen\'i diferenci\'aln\'i rovnice 1. \v{r}\'adu} se naz\'yv\'a rovnice tvaru $y' = f(x,y)$, kde pro ka\v{z}d\'e $\lambda\neq 0$ m\'ame $f(x,y) = f(\lambda x,\lambda y)$.
\end{defin}

Metoda p\v{r}evodu homogenn\'i rovnice na rovnici se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi.

\begin{enumerate}[(a)]
	\item Definujme pro $x\neq 0$ funkci $z(x) = \frac{y(x)}{x}$. Pak pro $x\neq 0$ m\'ame
	\begin{align*}
		y(x) & = xz(x),\\
		y'(x) & = xz'(x) + z(x).
	\end{align*}
		Rovnice tak p\v{r}ech\'az\'i na $xz' + z = f(x,xz) = f(1,z)$, tj.
		\[
			z' = \frac{1}{x}\left(f(1,z) - z\right),
		\]
		co\v{z} je rovnice se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi.
		\item Vy\v{r}e\v{s}\'ime rovnici se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi na otev\v{r}en\'ych podintervalech $(-\infty,0)$ a $(0,\infty)$. Pak polo\v{z}\'ime $y(x) = x\cdot z(x)$.
		\item Proto\v{z}e jsme na za\v{c}\'atku vylou\v{c}ili p\v{r}\'ipad $x=0$, je pot\v{r}eba na z\'av\v{e}r ov\v{e}\v{r}it, zda nalezen\'a \v{r}e\v{s}en\'i m\r{u}\v{z}eme prodlou\v{z}it do po\v{c}\'atku.
\end{enumerate}

\subsubsection{Line\'arn\'i rovnice 1. \v{r}\'adu}

\begin{defin}[Line\'arn\'i rovnice]\emphdef{Line\'arn\'i diferenci\'aln\'i rovnic\'i prvn\'iho \v{r}\'adu} rozum\'ime rovnici tvaru
\begin{equation}\label{eq:linRadJedna}
	y' + p(x)y = q(x),
\end{equation}
kde $p$, $q$ jsou funkce definovan\'e na intervalu $(a,b)$. Je-li $q = 0$, naz\'yv\'a se rovnice \emphdef{homogenn\'i}, v opa\v{c}n\'em p\v{r}\'ipad\v{e} \emphdef{nehomogenn\'i}.
\end{defin}

Metoda \v{r}e\v{s}en\'i pro $p$, $q$ spojit\'e na sv\'ych defini\v{c}n\'ich oborech.

\begin{enumerate}[(a)]
	\item Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i homogenn\'i rovnice je tvo\v{r}eno funkcemi
	\[y(x) = Ke^{-P(x)},\quad x\in (a,b), K\in\er,\]
	kde $P$ je primitivn\'i funkce k $p$ na intervalu $(a,b)$.
	\item Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna} je tvo\v{r}eno funkcemi
		\[
			y(x) = y_p(x) + Ke^{-P(x)},\quad x\in (a,b),\; K\in\er,
		\]
		kde $P$ je primitivn\'i funkce k $p$ na intervalu $(a,b)$ a $y_p(x)$ je libovoln\'e (tzv. ``partikul\'arn\'i'') maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna}.
		
		Nav\'ic, je--li $c(x)$ primitivn\'i funkce k $q(x)e^{P(x)}$ na intervalu $(a,b)$, pak funkce $y_p(x) = c(x)e^{-P(x)}$, $x\in (a,b)$ je maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna}.
		\item Maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna} spl\v{n}uj\'ic\'i \emphdef{po\v{c}\'ate\v{c}n\'i podm\'inku} $y(x_0) = y_0$ nalezneme vhodnou volbou konstanty $K\in\er$.
		
		P\v{r}esn\v{e}ji, pokud je obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna} tvaru $y(x) = y_p(x) + Ke^{-P(x)}$, pak pro volbu $K=(y_0-y_p(x_0))e^{P(x_0)}$ dost\'av\'ame, \v{z}e toto \v{r}e\v{s}en\'i vyhovuje podm\'ince $y(x_0)=y_0$. \end{enumerate}
		
\begin{pozn}
Pro ka\v{z}d\'e $x_0\in (a,b)$ a ka\v{z}d\'e $y_0\in\er$ existuje pr\'av\v{e} jedno maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna}, kter\'e spl\v{n}uje podm\'inku $y(x_0) = y_0$. Toto \v{r}e\v{s}en\'i je nav\'ic definov\'ano na cel\'em $(a,b)$.
\end{pozn}

\section{Aplikace diferenci\'aln\'ich rovnic prvn\'iho \v{r}\'adu}

\begin{example}[Malthus\r{u}v populační model] M\v{e}jme n\v{e}jakou izolovanou populaci. Nechť $p(t)$ je počet jedinců této populace v čase $t$. Slovem izolovaná míníme, že nedochází ke stěhování mezi naší populací a vnějším světem. Takovou populací mohou být například bakterie v Petriho misce. Předpokládejme, že přírůstek populace v krátkém čase je přímo úměrný velikosti populace (tj. počet bakterií, které se rozdělí, je přímo úměrný jejich celkovému počtu). To znamená, že existuje konstanta $a>0$ taková, že přírůstek za krátký časový úsek $h$, tj. $p(t+h)-p(t)$, je přibližně roven $a p(t) h$. 
Poněvadž $p'(t) = \lim_{h\to 0} \frac{p(t+h)-p(t)}{h}$, vede tato přibližná úvaha k diferenciální rovnici
\[p'(t) = a\cdot p(t).\]
 Jedn\'a se o homogenn\'i line\'arn\'i diferenci\'aln\'i rovnici, jej\'im\v{z} obecn\'ym \v{r}e\v{s}en\'im je $p(t) = Ke^{at}$, $t\in\er$ ($K\in\er$). Dosazen\'im $t=0$ vid\'ime, \v{z}e $K=p(0)$, proto m\'a obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i tvar
\[p(t)=p(0)e^{at},\quad t\in\er.\]
\end{example}

\begin{example}[Radioaktivn\'i rozpad] Mějme nějakou radioaktivní látku. Nechť $M(t)$ je množství radioaktivní látky v čase $t$. Předokládejme, že rychlost rozpadu libovolného radioaktivního prvku je přímo úměrná dosud nerozpadlému množství. To znamená, že existuje konstanta $a>0$ taková, že úbytek za krátký časový úsek $h$, tj. $M(t+h)-M(t)$, je přibližně roven $- a M(t) h$. Pak podobně jako výše odvodíme, že funkce $t\mapsto M(t)$ by měla splňovat diferenciální rovnici
\[M'(t) = -aM(t),\]
jejíž obecné řešení má tvar
\[M(t) = M(0)\cdot e^{-at},\quad t\in\er.\]
K popisu radioaktivního štěpení se používá veličina poločas rozpadu $T = \tfrac{\log 2}{a}$, což je doba, za kterou se rozpadne polovina p\r{u}vodního množství látky (tj. $M(T) = \tfrac{M(0)}{2}$).\\
\emph{Úloha}: kolik procent p\r{u}vodního množství radioaktivního uhlíku ${}^{14}C$ z\r{u}stane po 200
letech v zkoumaném biologickém materiálu? Poločas rozpadu radioaktivního izotopu uhlíku ${}^{14}C$ je 5730 let.\\
\emph{Odpov\v{e}\v{d}}: Po 200 letech z\r{u}stane 
\[ M(200) = M(0)\cdot \exp\Big(-\tfrac{\log 2}{5730}\cdot 200\Big) \approx M(0)\cdot 0.976,\]
tj. $97.6\%$ matri\'alu.
\end{example}

\begin{example}[Line\'arn\'i dietn\'i model] Hmotnost člověka závisí na mnoha věcech, ale v prvním přiblížení je funkcí přísunu energie v potravinách a její „spotřeby" (b\v{e}h, u\v{c}en\'i atd.). Denn\'i spot\v{r}eba energie je v pr\r{u}m\v{e}ru 35 kcal denně na každý kilogram váhy jedince. Předpokládejme tedy, že změna váhy $w(t)$ je přímo úměrná nedostatku/přebytku energie, tj. existuje konstanta $a>0$, že přírustek/úbytek váhy za krátký časový úsek $h$, tj. $w(t+h)-w(h)$, je přibližně roven $a\cdot(c-35w(t))\cdot h$, kde $c$ je množství kalorií, které přijmu za den. Předpokládejme, že každých 7000 kcal přebytku v celkovém přísunu energie vyvolá následné zvýšení váhy o 1 kg, tj. $a = \tfrac{1}{7000}$. Podobně jako výše odvodíme, že funkce $t\mapsto w(t)$ by měla splňovat diferenciální rovnici
\[
w'(t) = \frac{c-35w(t)}{7000}.
\]
\emph{Řešení rovnice}: jedn\'a se o line\'arn\'i diferenci\'aln\'i rovnici. Jej\'i obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i se d\'a popsat jako
\[ w(t) = \tfrac{c}{35} + (w(0)-\tfrac{c}{35})e^{-0.005t},\quad t\in\er. \]
(viz. z\'apisky k p\v{r}edn\'a\v{s}ce)\\
\emph{\'Uloha}: Pan Tlustý váží 100 kg a chce omezit příjem kalorií na 2625 ($=\tfrac{3500}{75}$, tj. na 75\%). Za jak dlouho dosáhne váhy 90 kg?\\
\emph{Řešení \'ulohy}: Máme $w(t) = 75 + (100-75)e^{-0.005t} = 75 + 25e^{-0.005t}$ (kde $t$ jsou dny). Tedy pokud $w(t) = 90$, pak
\[\begin{split}90 & = 75 + 25e^{-0.005t}\\
 e^{0.005t} & = \tfrac{15}{15}\\
0.005t & = \log\tfrac{5}{3}\\
t & = 200 \log\tfrac{5}{3} \approx 102.
\end{split}\]
Tedy podle našeho modelu pan Tlustý dosáhne váhy 90 kg za 102 dní.
\end{example}

\begin{example}[Logistick\'y popula\v{c}n\'i model] Ukazuje se, že Malthusův model dobře popisuje skutečnost, pokud populace není příliš velká (či přesněji příliš hustá). V hustých populacích se objevuje další faktor – konkurence. Tato skutečnost se projeví zpomalením růstu. Proto zahrneme do rovnice další člen, který bude přímo úměrný možnému počtu střetů, tj. $p^2$. To vede k rovnici
\[p' = ap -bp^2,\]
kde $a, b$ jsou kladné parametry, přičemž $b$ bývá obvykle velmi malé vůči $a$.\\
\emph{Řešení rovnice}: jedn\'a se o diferenci\'aln\'i rovnici se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi. Jej\'i obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i se d\'a popsat jako $p(t)=\tfrac{a}{b}$, $t\in\er$ nebo pro ka\v{z}d\'e $K\in\er$ je
\[ p(t) = \frac{aK}{e^{-at} + bK}\]
\v{r}e\v{s}en\'im definovan\'ym na intervalu, kde $p(t)\geq 0$ (viz. z\'apisky k p\v{r}edn\'a\v{s}ce). 

Pokud je \v{r}e\v{s}en\'i definov\'ano pro $t=0$ pak $p(0)=\frac{aK}{1 + bK}$ a tedy po \'uprav\v{e} dostaneme $K = \tfrac{p(0)}{a-bp(0)}$ a
\[ p(t) = \frac{ap(0)}{(a-bp(0))e^{-at} + bp(0)}.\]
\end{example}

\section{Oby\v{c}ejn\'e diferenci\'aln\'i rovnice druh\'eho \v{r}\'adu}

\subsubsection{Line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu}

\begin{defin}[Line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu]\emphdef{Line\'arn\'i diferenci\'aln\'i rovnic\'i druh\'eho \v{r}\'adu} rozum\'ime rovnici tvaru
\begin{equation}\label{eq:linRadDva}
	y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x),
\end{equation}
kde $p$, $q$, $r$ jsou funkce spojit\'e na intervalu $(a,b)$.

\emphdef{Homogenn\'i rovnic\'i} p\v{r}\'islu\v{s}nou k rovnici \eqref{eq:linRadDva} rozum\'ime rovnici
\begin{equation}\label{eq:linRadDvaHomogen}
	y'' + p(x)y' + q(x)y = 0.
\end{equation}
\end{defin}

\begin{theorem}[Existence \v{r}e\v{s}en\'i pro line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu]\label{T:exceLinRadDva}\nec $t_0\in(a,b)$ a $z_0, z_1\in\er$. Pak existuje pr\'av\v{e} jedno maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i $y$ rovnice \eqref{eq:linRadDva}, kter\'e spl\v{n}uje podm\'inky $y(t_0) = z_0$, $y'(t_0) = z_1$. Nav\'ic, toto \v{r}e\v{s}en\'i je definov\'ano na cel\'em intervalu $(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Struktura \v{r}e\v{s}en\'i line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu]\
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} tvo\v{r}\'i vektorov\'y podprostor prostoru $\C^2((a,b))$ dimenze $2$.
	\item Nech\v{t} $y_p$ je partikul\'arn\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDva}. Pak obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDva} je
	\[\{y_h + y_p\setsep y_h\text{ je \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} na intervalu }(a,b)\}.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{pozns}\
	\begin{itemize}
		\item B\'aze prostoru maxim\'aln\'ich \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} se naz\'yv\'a \emphdef{fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i} rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen}.
		\item Jsou-li funkce $y_1, y_2$ line\'arn\v{e} nez\'avisl\'a maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen}, pak ji\v{z} tvo\v{r}\'i fundament\'aln\'i syst\'em.
		\item Abychom vy\v{r}e\v{s}ili nehomogenn\'i rovnici \eqref{eq:linRadDva}, najdeme fundament\'aln\'i syst\'em $y_1, y_2$ pro rovnici \eqref{eq:linRadDvaHomogen} a jedno (\uv{partikul\'arn\'i}) \v{r}e\v{s}en\'i $y_p$ rovnice \eqref{eq:linRadDva}. Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDva} pak je $\{y_p + C_1y_1 + C_2y_2\setsep C_1, C_2 \in\er\}$.
	\end{itemize}
\end{pozns}

\begin{theorem}[Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i homogenn\'i rovnice]\nec $y_1$, $y_2$ jsou dv\v{e} \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} na $(a,b)$. Pak n\'asleduj\'ic\'i tvrzen\'i jsou ekvivalentn\'i:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Funkce $y_1$, $y_2$ jsou line\'arn\v{e} nez\'avisl\'e;
		\item Tzv. Wronsk\'eho determinant
			\[
				\left| \begin{array}{cc}
				y_1(x) & y_2(x)\\
				y'_1(x) & y'_2(x)
			\end{array} \right|
			\]
			je nenulov\'y alespo\v{n} v jednom bod\v{e} intervalu $(a,b)$ (pak je nenulov\'y v ka\v{z}d\'em bod\v{e} $(a,b)$).
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[variace konstant]\nec funkce $y_1, y_2$ tvo\v{r}\'i fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen}. Pokud existuj\'i funkce $c_1, c_2$ maj\'ic\'i na $(a,b)$ vlastn\'i derivaci a spl\v{n}uj\'ic\'i soustavu rovnic
	\[\begin{array}{rl}
		c'_1y_1 + c'_2y_2 & = 0\\
		c'_1y'_1 + c'_2y'_2 & = r\\
	\end{array}\]
na intervalu $(a,b)$, pak funkce $y_p(x) = c_1(x)y_1(x) + c_2(x)y_2(x),\;x\in(a,b)$ je \v{r}e\v{s}en\'im rovnice \eqref{eq:linRadDva}.
\end{theorem}

\subsubsection{Line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu s konstantn\'imi koeficienty}

\begin{defin}[Line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu s konstantn\'imi koeficienty]\emphdef{Line\'arn\'i diferenci\'aln\'i rovnic\'i druh\'eho \v{r}\'adu s konstantn\'imi koeficienty} rozum\'ime rovnici tvaru
\begin{equation}\label{eq:linRadDvaKonst}
	y'' + py' + qy = r(x),
\end{equation}
kde $p, q\in\er$ a $r$ je funkce spojit\'a na intervalu $(a,b)$.

\emphdef{Homogenn\'i rovnic\'i} p\v{r}\'islu\v{s}nou k rovnici \eqref{eq:linRadDvaKonst} rozum\'ime rovnici
\begin{equation}\label{eq:linRadDvaKonstHomogen}
	y'' + py' + qy = 0.
\end{equation}
\end{defin}

\begin{pozn} Maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} jsou definov\'ana na cel\'em $\er$.
\end{pozn}

\begin{defin}\emph{Charakteristick\'ym polynomem} rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} rozum\'ime polynom
	\[\chi(\lambda) := \lambda^2 + p\lambda + q.\]
\end{defin}

\begin{theorem}[tvar fundament\'aln\'iho syst\'emu]Necht\v{t} $\lambda_1, \lambda_2\in \ce$ jsou ko\v{r}eny charakteristick\'eho polynomu rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen}.
	\begin{itemize}
		\item Pokud jsou $\lambda_1$, $\lambda_2$ r\r{u}zn\'e re\'aln\'e ko\v{r}eny, pak fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} tvo\v{r}\'i funkce $y_1(x) = e^{\lambda_1x}$ a $y_2(x) = e^{\lambda_2x}$.
		\item Pokud $\lambda_1 = \lambda_2$, pak fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} tvo\v{r}\'i funkce $y_1(x) = e^{\lambda_1x}$ a $y_2(x) = xe^{\lambda_1x}$.
		\item Pokud jsou $\lambda_1 = \alpha + \beta i$, $\lambda_2 = \alpha - \beta i$ r\r{u}zn\'e komplexn\'i ko\v{r}eny, pak fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} tvo\v{r}\'i funkce $y_1(x) = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ a $y_2(x) = e^{\alpha x}\cos(\beta x)$.
	\end{itemize}
\end{theorem}
	
\begin{theorem}[speci\'aln\'i prav\'a strana]
	Nechť
	\[r(x) = e^{ax}\cdot (P(x)\cos bx + Q(x)\sin bx),\quad x\in\er,\]
	kde $a, b\in\er$ a $P, Q$ jsou polynomy. Pak existuje \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonst} ve tvaru
	\[y_p(x) = x^me^{ax}(R(x)\sin bx + S(x)\cos bx),\quad x\in\er,\]
	kde $R, S$ jsou polynomy stupn\v{e} ne v\v{e}t\v{s}\'iho ne\v{z} $\max\{\st P, \st Q\}$ a $m\in\en\cup\{0\}$ ud\'av\'a, jakou n\'asobnost m\'a \v{c}\'islo $a + bi$ jako\v{z}to ko\v{r}en charakteristick\'eho polynomu p\v{r}\'islu\v{s}n\'e homogenn\'i rovnice.
\end{theorem}

\chapter{Funkce více proměnných}

\begin{defin}\emphdef{Euklidovskou metrikou (vzdáleností) na $\er^n$} rozumíme funkci $\rho:\er^n\times\er^n\to [0,\infty)$ definovanou pro $x,y\in\er^n$ předpisem
\[
\rho(x,y):=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - y_i)^2}.
\]
Číslo $\rho(x,y)$ nazýváme \emphdef{vzdáleností bodu $x$ od bodu $y$}.
\end{defin}

\begin{lemma}\label{L:ekvivMetrik}Definujme funkci $\rho_{\max}:\er^n\times\er^n\to [0,\infty)$ pro $x,y\in\er^n$ předpisem $\rho_{\max}(x,y):=\max\{|x_i - y_i|\setsep i=1,\ldots,n\}$. Pak pro $x,y\in\er^n$ platí 
\[
	\rho_{\max}(x,y)\leq \rho(x,y)\leq \sqrt{n}\cdot\rho_{\max}(x,y).
\]
\end{lemma}

\begin{lemma}[základní vlastnosti Euklidovsk\'e metriky]Nech\v{t} $x, y, z\in\er^n$ a $\lambda\in\er$. Pak plat\'i:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\rho(x,y) = 0\Leftrightarrow x = y$;
		\item $\rho(\lambda x,\lambda y) = |\lambda|\rho(x,y)$;
		\item $\rho(x,y)\leq \rho(x,z) + \rho(z,y)$;
		\item $\rho(x+z,y+z) = \rho(x,y)$
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{defin}\nec $x\in\er^n$ a $R > 0$. Pak množinu
\[B(x,R):=\{y\in\er^n\setsep \rho(x,y) < R\}\]
nazýváme \emphdef{otevřenou koulí o středu $x$ a poloměru $R$}.
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $A\subset \er^n$. Řekneme, že $x\in\er^n$ je \emphdef{vnitřním bodem množiny $A$}, jestliže existuje takové $R > 0$, že $B(x,R)\subset A$.
Množina $A\subset \er^n$ je \emphdef{otevřená}, pokud každý bod $x\in A$ je jejím vniřním bodem.
\emphdef{Vnitřkem} množiny $A$ rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny $A$ a značíme jej $\Int A$.
\end{defin}

\begin{defin}O množině $I\subset \er^n$ řekneme, že to je (otevřený) \emphdef{interval}, pokud existují (otevřené) intervaly $I_1,\ldots,I_n\subset\er$ takové, že $I = I_1\times I_2\times \ldots \times I_n$.
\end{defin}

\begin{pozns}
	\begin{enumerate}[(a)]
	\item Z Lemmatu \ref{L:ekvivMetrik} plyne, že $A\subset\er^n$ je otevřená právě tehdy, když pro každé $x\in A$ existuje takový interval $I$, že $x\in I$ a $I\subset A$.
		\item Otevřená koule je otevřená množina, otevřený interval je otevřená množina.
		
	\end{enumerate}
\end{pozns}

\begin{theorem}[vlastnosti otevřených množin]\
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Prázdná množina a celý prostor $\er^n$ jsou otevřené v $\er^n$.
		\item Sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina.
		\item Pr\r{u}nik kone\v{c}n\v{e} mnoha otevřených množin je otevřená množina.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}\label{D:konvergence-v-Rn}
Nechť $\{x_k\}$ je posloupnost v $\er^n$ a $x\in \er^n$. Řekneme, že $\{x_k\}$ \emphdef{konverguje} k $x$, jestliže $\lim_{k\to\infty}\rho(x_k,x)=0$. Značíme $x_k\to x$, nebo tak\'e $\lim_{k\to\infty} x_k = x$, případně $\lim x_k = x$. Prvek $x$ nazýváme \emphdef{limitou posloupnosti} $\{x_k\}$ v $\er^n$. \emphdef{Konvergentní posloupností} rozumíme posloupnost, která má limitu v $\er^n$.
\end{defin}

\begin{lemma}[vlastnosti konvergence]Nechť $\{x_k\}$ je posloupnost prvků z $\er^n$ a $x\in\er^n$. Pak platí:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\{x_k\}$ má nejvýše jednu limitu;
		\item $\{x_k\}$ konverguje k $x$ právě tehdy když konverguje po složkách, tj. pro každé $i = 1,\ldots,n$ platí $x_k(i)\to x(i)$.		
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{defin}Množina $A\subset \er^n$ je \emphdef{uzavřená}, pokud platí následující implikace:
\[
\{x_k\}\subset A,\ \ x_k\to x,\ x\in \er^n\quad \Rightarrow\quad x\in A.
\]
\end{defin}

\begin{theorem}[vztah otevřených a uzavřených množin]
Nechť $A\subset \er^n$. Potom $A$ je uzavřená právě tehdy, když $\er^n\setminus A$ je otevřená.
\end{theorem}

\begin{theorem}[vlastnosti uzavřených množin]\
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Prázdná množina a celý prostor $\er^n$ jsou uzavřené v $\er^n$.
		\item Sjednocení kone\v{c}n\v{e} mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.
		\item Pr\r{u}nik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}Nechť $f$ je funkce $n$ proměnných a $x\in\er^n$. Řekneme, že \emphdef{$f$ je spojitá v bodě $x$}, jestliže platí
\[
	\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall y\in B(x,\delta)\colon |f(y) - f(x)| < \varepsilon.
\]
Nechť $A\subset \er^n$ a $x\in A$. Řekneme, \emphdef{že $f$ je spojitá v bodě $x$ vzhledem k $A$}, pokud platí
\[
	\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall y\in B(x,\delta)\cap A\colon |f(y) - f(x)| < \varepsilon.
\]
Řekneme, že \emphdef{$f$ je spojité na množině $A$}, jestliže je spojité v každém bodě $a\in A$ vzhledem k $A$ a že \emphdef{$f$ je spojité}, jestliže je spojité na $\er^n$.
\end{defin}

\begin{lemma}Pro každé $i = 1\ldots,n$ je funkce $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i$ spojitá.
\end{lemma}

\begin{theorem}[zachování spojitosti při aritmetických operacích]\nec $A\subset \er^n$, $x\in A$, $f:A\to \er$, $g:A\to \er$ a $\alpha\in\er$. Jestli\v{z}e $f$ a $g$ jsou spojit\'e v bodě $x$ vzhledem k $A$, potom také funkce $\alpha f$, $f + g$ a $fg$ jsou spojit\'e vzhledem k $A$. Pokud navíc funkce $g$ je nenulová v bodě $x$, pak je spojitá i funkce
$f/g$ v bodě $x$ vzhledem k $A$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[složení spojitých funkcí je spojitá funkce]Nechť $r, s\in \en$, $A\subset \er^s$, $B\subset\er^r$ a $y\in A$.
Necht’ $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ jsou funkce definované na $A$, spojité v bodě $y$ vzhledem k $A$ a $(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_r(x))\in B$ pro každé $x\in A$. 
Nechť $f:B\to\er$ je spojitá v bodě 
$(\varphi_1(y),\ldots,\varphi_r(y))$ vzhledem k $B$.
Potom složená funkce $F:A\to\er$ daná předpisem
\[
	F(x):=f((\varphi_1(x),\ldots,\varphi_r(x))),\quad x\in A
\]
je spojitá v $y$ vzhledem k $A$.
\end{theorem}

\begin{theorem}Nech\v{t} $f$ je spojitá funkce na $\er^n$ a $c\in\er$. Potom platí:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) > c\}$ je otevřená v $\er^n$.
		\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) < c\}$ je otevřená v $\er^n$.
		\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) \leq c\}$ je uzavřená v $\er^n$.
	\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) \geq c\}$ je uzavřená v $\er^n$.
	\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) = c\}$ je uzavřená v $\er^n$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}Řekneme, že funkce $f$ o $n$ proměnných má v bodě $a\in\er^n$ limitu rovnou $A\in\er^*$, jestliže platí
	\[
		\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall x\in B(a,\delta)\setminus\{a\}\colon f(x)\in B(A,\varepsilon).
	\]
\end{defin}

\begin{pozns}\begin{enumerate}[(a)]
	\item Každá funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, píšeme $\lim_{x\to a}f(x) = A$.
	\item $f$ je spojitá v $a$, právě když $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$.
	\item Pro limity funkcí více promenných platí obdobné věty jako pro limity funkcí jedné proměnné (aritmetika, policajti, $\ldots$).
\end{enumerate}
\end{pozns}

\begin{defin}
Nechť $f$ je reálná funkce $n$ proměnných, $a \in \R^n$ a $1 \leq i \leq n$.
Pak \emphdef{parciální derivaci funkce $f$ v bodě $a$ podle $i$-té proměnné} definujeme jako limitu
\[\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) & = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+te^i) - f(a)}{t}\\
& = \lim_{t \to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_{i-1}, a_i + t, a_{i+1},\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{t},
\end{split}\]
pokud tato limita existuje vlastní. Symbolem $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ označujeme \textbf{parciální derivaci funkce $f$ podle $i$-té proměnné}, tj. funkci definovanou předpisem
\[
\frac{\partial f}{\partial x_i}\colon x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(x).
\]
\end{defin}


\end{document}