\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou�it� n�kter�ch �esk�ch typografick�ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven� dan� velikosti okraj�
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{remarks}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{Úmluva}
\newtheorem*{example}{Příklad}
\newtheorem*{examples}{Příklady}
\newtheorem*{exercise}{Cvičení}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\Int{\operatorname{Int}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\emphdef[1]{\textbf{#1}}
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~přednášky (#1)}
	\bigskip}

\title{Přednáška - Kalkulus 1, MFF}  % tyto dv� polo�ky jsou zde v podstat� form�ln�, ve skute�nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
%\konecPrednasky{0.0.2017}
\chapter{\'Uvod}
\section{V\'yrokov\'a logika}
V\'yrok je tvrzen\'i, o kter\'em m\'a smysl \v{r}\'ici, \v{z}e plat\'i (je pravdiv\'e) nebo \v{z}e neplat\'i (je nepravdiv\'e).
\begin{defin}\begin{itemize}
	\item[] \textbf{Negac\'i $\neg A$} v\'yroku $A$ rozum\'ime v\'yrok:\vspace{-10pt}
		\begin{center}\emph{Nen\'i pravda, \v{z}e plat\'i $A$.}\end{center}
	\item[] \textbf{Konjukc\'i $A \& B$} (zna\v{c}\'ime t\'e\v{z} $A\wedge B$) v\'yrok\r{u} $A$ a $B$ rozum\'ime v\'yrok:\vspace{-10pt}
		\begin{center}\emph{Plat\'i $A$ i $B$.}\end{center}
	\item[] \textbf{Disjunkc\'i $A \vee B$} v\'yrok\r{u} $A$ a $B$ rozum\'ime v\'yrok:\vspace{-10pt}
		\begin{center}\emph{Plat\'i $A$, nebo $B$.}\end{center}
	\item[] \textbf{Implikac\'i $A \Rightarrow B$} naz\'yv\'ame v\'yrok:\vspace{-10pt}
		\begin{center}\emph{Pokud plat\'i $A$, pak plat\'i $B$.}\end{center}\vspace{-10pt}
		($A$ je \textbf{posta\v{c}uj\'ic\'i podm\'inka} pro platnost $B$, $B$ je \textbf{nutn\'a podm\'inka} pro platnost $A$)
	\item[]  \textbf{Ekvivalenc\'i $A \Leftrightarrow B$} naz\'yv\'ame v\'yrok:\vspace{-10pt}
			\begin{center}\emph{V\'yrok $A$ plat\'i pr\'av\v{e} tehdy, kdy\v{z} plat\'i v\'yrok $B$.}\end{center}
		\begin{center}\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
			$A$ & $B$ & $A\& B$ & $A\vee B$ & $A\Rightarrow B$ & $A \Leftrightarrow B$\\ \hline
			1 & 1 & 1 &1 & 1& 1\\
			1 & 0 & 0 &1 & 0& 0\\
			0 & 1 & 0 &1 & 1& 0\\
			0 & 0 & 0 &0 & 1& 1\\
		\end{tabular}\end{center}
	\item[] \textbf{V\'yrokovou formou} naz\'yv\'ame v\'yraz $A(x_1,\ldots,x_n)$, z n\v{e}ho\v{z} vznikne v\'yrok dosazen\'im prvk\r{u} $x_1\in M_1, x_2\in M_2,\ldots, x_n\in M_n$ z dan\'ych mno\v{z}in $M_1,\ldots,M_n$.
\end{itemize}\end{defin}
\begin{defin}A\v{t} $A(x),\;x\in M$ je v\'yrokov\'a forma.
	\begin{itemize}
		\item[(i)] V\'yrok \uv{Pro ka\v{z}d\'e $x\in M$ plat\'i $A(x)$} zapisujeme $$\forall x\in M:\; A(x).$$
		\item[(ii)] V\'yrok \uv{Existuje $x\in M$ takov\'e, \v{z}e plat\'i $A(x)$} zapisujeme $$\exists x\in M:\; A(x).$$
	\end{itemize}
\end{defin}
\begin{pozn} Negace v\'yrok\r{u} s kvantifik\'atory\\
	\begin{tabular}{ccc}
		\hspace{70pt}$\neg(\forall x\in M:\; A(x))$ & je ekvivalentn\'i s & $\exists x\in M:\; \neg A(x)$\\
		\hspace{70pt}$\neg(\exists x\in M:\; A(x))$ & je ekvivalentn\'i s & $\forall x\in M:\; \neg A(x)$\\
	\end{tabular}
\end{pozn}
\section{Mno\v{z}iny a mno\v{z}inov\'e operace}
\textbf{Mno\v{z}inou} rozum\'ime ka\v{z}d\'e shrnut\'i navz\'ajem r\r{u}zn\'ych objekt\r{u} (prvk\r{u}) do jednoho celku
\begin{defin}A\v{t} $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny. Pak
	\begin{itemize}
		\item $A = B$ (\textbf{$A$ rovn\'a se $B$}), pokud $A$ a $B$ maj\'i stejn\'e prvky. V opa\v{c}n\'em p\v{r}\'ipad\v{e} p\'i\v{s}eme $A\neq B$.
		\item $A\subset B$ (\textbf{$A$ je podmno\v{z}inou $B$}), pokud ka\v{z}d\'y prvek mno\v{z}iny $A$ je tak\'e prvkem mno\v{z}iny $B$ (zna\v{c}\'ime tak\'e $A\subseteq B$)
		\item $\emptyset$ (\textbf{pr\'azdn\'a mno\v{z}ina}) je mno\v{z}ina, kter\'a neobsahuje \v{z}\'adn\'y prvek
	\end{itemize}
\end{defin}
\noindent Je--li $V(x),\;x\in M$ v\'yrokov\'a forma a $A\subset M$, pak $B = \{x\in A\setsep V(x)\}$ zna\v{c}\'i mno\v{z}inu prvk\r{u} z $A$, kter\'e spl\v{n}uj\'i $V(x)$.
\begin{defin}A\v{t} $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny. Pak
	\begin{itemize}
		\item $A\cup B$ (\textbf{sjednocen\'i $A$ a $B$}) je mno\v{z}ina definovan\'a jako $$A \cup B := \{x\setsep x \in A\; \vee\; x \in B\}.$$ 
		\item $A\cap B$ (\textbf{pr\r{u}nik $A$ a $B$}) je mno\v{z}ina definovan\'a jako $$A \cap B := \{x\setsep x \in A\; \&\; x \in B\}.$$ 
			Pokud $A\cap B = \emptyset$, \v{r}ekneme \v{z}e $A$ a $B$ jsou \textbf{disjunktn\'i}.
		\item $A\setminus B$ (\textbf{rozd\'il $A$ a $B$}) je mno\v{z}ina definovan\'a jako $$A \setminus B := \{x\setsep x \in A\; \&\; x \notin B\}.$$ 
		\item Je--li $I\neq\emptyset$ mno\v{z}ina a $A_i,\; i\in I$ jsou mno\v{z}iny, pak
			$$\bigcup_{i\in I}A_i:=\{x\setsep \exists i\in I:\; x\in A_i\}\qquad\text{a}\qquad \bigcap_{i\in I}A_i:=\{x\setsep \forall i\in I:\;x\in A_i\}.$$
		\item Jsou--li $A_1,\ldots A_n$ mno\v{z}iny, pak \textbf{kart\'ezsk\'y sou\v{c}in $A_1,\ldots A_n$} je mno\v{z}ina uspo\v{r}\'adan\'ych $n$-tic
			$$A_1 \times \ldots \times A_n := \{[a_1,\ldots,a_n]\setsep a_1\in A_1, \ldots, a_n\in A_n\}.$$
	\end{itemize}
\end{defin}
\begin{prop}[de Morganova pravidla]\at $X$ a $I$ jsou nepr\'azdn\'e mno\v{z}iny a nech\v{t} $A_i,\; i\in I$ jsou mno\v{z}iny. Pak
	$$X\setminus\bigcup_{i\in I}A_i = \bigcap_{i\in I}(X\setminus A_i)\qquad\text{a}\qquad X\setminus\bigcap_{i\in I} A_i = \bigcup_{i\in I}(X\setminus A_i).$$
\end{prop}
\begin{defin}\at $A$ je mno\v{z}ina. Pak \textbf{potence} $\P(A)$ je definov\'ana jako
$$\P(A):=\{B\setsep B\subset A\}.$$
\end{defin}
\section{Relace, zobrazen\'i, funkce}
\begin{defin}\at $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny. \textbf{Bin\'arn\'i relac\'i} mezi prvky mno\v{z}in $A$ a $B$ rozum\'ime
libovolnou podmno\v{z}inu kart\'ezsk\'eho sou\v{c}inu $A\times B$. \at $R \subset A \times B$ je bin\'arn\'i relace. M\'isto z\'apisu $(a,b)\in R$ n\v{e}kdy p\'i\v{s}eme $a R b$. Pokud $A = B$ \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e $R$ je \textbf{relace na $A$}.
\end{defin}
\begin{defin}
\at $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny a $R\subset A\times B$ je relace. Relaci $R^{-1}\subset B\times A$ definovanou p\v{r}edpisem
\[
[x,y]\in R^{-1} \Leftrightarrow [y,x] \in R
\]
naz\'yv\'ame \textbf{inverzn\'i relac\'i} k relaci $R$.
\end{defin}
\begin{defin}\at $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny. Bin\'arn\'i relaci $f \subset A \times B$ naz\'yv\'ame \textbf{zobrazen\'m} (n\v{e}kdy t\'e\v{z}
 \textbf{funkc\'i}) z mno\v{z}iny $A$ do mno\v{z}iny $B$, jestli\v{z}e plat\'i
 \[
 \forall x\in A\ \forall y_1,y_2\in B, \bigl(([x,y_1]\in f\; \&\; [x,y_2]\in f )
 \Rightarrow y_1 = y_2\bigr).
 \]
\textbf{Defini\v{c}n\'im oborem} zobrazen\'i $f$ naz\'yv\'ame mno\v{z}inu
 \[
\dom(f)=\{x\in A\setsep \exists y\in B, [x,y]\in f\}.
 \]
 \cbl{Oborem hodnot}
 funkce $f$ naz\'yv\'ame mno\v{z}inu
 \[
\rng(f) = \{y \in B\setsep \exists x \in A, [x,y]\in f\}.
 \]
Pro $x\in \dom(f)$ jedin\'y prvek $y\in B$ pro kter\'y je $[x,y]\in f$ se zna\v{c}\'i $y=f(x)$.
Mno\v{z}ina $\{[x,f(x)];x\in \dom(f)\}$ se naz\'yv\'a \cbl{graf} zobrazen\'i $f$.
Symbol $f:A\to B$ zna\v{c}\'i zobrazen\'i definovan\'e na $A$ s hodnotami v $B$.
\end{defin}
\begin{defin}Nech\v{t} $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny a $f\colon A \to B$ je zobrazen\'i.
	\begin{itemize}
		 \item  \cbl{Obraz mno\v{z}iny} $M\subset A$ p\v{r}i zobrazen\'i $f$ je
			 \[
			 f(M) = \{y\in B\setsep \exists x\in M, f(x) = y\}\,.
			 \]
		\item \cbl{Vzorem} mno\v{z}iny $P$ p\v{r}i zobrazen\'i $f$ je
			 \[
			 f^{-1}(P) = \{x\in A\setsep f(x)\in P\}\,.
			 \]
	\end{itemize}
\end{defin}
\begin{defin}Nech\v{t} $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny a $f\colon A \to B$ je zobrazen\'i.
	\begin{itemize}
		\item\v{R}ekneme, \v{z}e $f$ je \cbl{prost\'e} (\cbl{injektivn\'i}), jestli\v{z}e
			 \[
			 \forall x,y \in A  (f(x) = f(y) \Rightarrow x=y).
			 \]
		
		\item\v{R}ekneme, \v{z}e $f$ je \cbl{na} (\cbl{surjektivn\'i}), jestli\v{z}e
			$$\forall y \in B\ \exists x \in A, f(x) = y.$$
		\item\v{R}ekneme, \v{z}e $f$ je \cbl{bijekce} (\cbl{vz\'ajemn\v{e} jednozna\v{c}n\'e}), jestli\v{z}e je z\'arove\v{n} prost\'e a na.
	\end{itemize}
\end{defin}
\begin{defin}Nech\v{t} $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny, $f: A \to B$  zobrazen\'i a $C \subset A$. Pak zobrazen\'i $g: C \to B$ definovan\'e p\v{r}edpisem $g(x) = f(x)$ pro $x \in C$ naz\'yv\'ame \cbl{z\'u\v{z}en\'im} (\cbl{restrikc\'i})  zobrazen\'i
 $f$ na mno\v{z}inu $C$. Zobrazen\'i $g$ ozna\v{c}ujeme symbolem $f|_C$.
\end{defin}
\begin{defin}Nech\v{t} $f$ a $g$ jsou zobrazen\'i. Pak zobrazen\'i $g\circ f$ je definov\'ano p\v{r}edpisem $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ pro v\v{s}echna $x\in D(f)$ takov\'a, \v{z}e $f(x)\in D(g)$. Zobrazen\'i $g\circ f$ naz\'yv\'ame \cbl{slo\v{z}en\'ym
zobrazen\'im}, p\v{r}i\v{c}em\v{z} $g$ naz\'yv\'ame \cbl{vn\v{e}j\v{s}\'im} zobrazen\'im a f naz\'yv\'ame \cbl{vnit\v{r}n\'im} zobrazen\'im.
\end{defin}
\begin{defin}Nech\v{t} $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny a $f: A \to B$ je prost\'e zobrazen\'i.
 Pak \cbl{inverzn\'i zobrazen\'i} k~$f$ je definov\'ano jako inverzn\'i relace k $f$.
 Inverzn\'i zobrazen\'i k~$f$ zna\v{c}\'ime $f^{-1}$.
\end{defin}
\section{Mohutnost mno\v{z}in}
\begin{defin}\

\begin{itemize}
	\item \v{R}\'ik\'ame, \v{z}e mno\v{z}iny $A,B$ maj\'i \cbl{stejnou mohutnost}, jestli\v{z}e existuje bijekce $f: A \to B$. P\'i\v{s}eme $|A|= |B|$.
	\item \v{R}\'ik\'ame, \v{z}e mno\v{z}ina $A$ m\'a \cbl{mohutnost men\v{s}\'i nebo rovnou mohutnosti} mno\v{z}iny $B$,
 jestli\v{z}e existuje prost\'e zobrazen\'i $f: A \to B$. P\'i\v{s}eme $|A|\leq |B|$.
\end{itemize}\end{defin}
\begin{theorem}[Cantor, Schr\"oder, Bernstein]
A\v{t} $A$ a $B$ jsou mno\v{z}iny spl\v{n}uj\'ic\'i $|A|\le |B|$ a z\'arove\v{n} $|B|\le |A|$. Pak $|A|=|B|$.
\end{theorem}
\begin{defin}\v{R}\'ik\'ame, \v{z}e mno\v{z}ina $A$ je \cbl{kone\v{c}n\'a}, pokud je bu\v{d} pr\'azdn\'a, nebo existuje $n\in\en$ takov\'e, \v{z}e $A$ m\'a stejnou mohutnost jako mno\v{z}ina $\{1, . . . , n\}$. \v{R}\'ik\'ame, \v{z}e mno\v{z}ina $A$ je \cbl{nekone\v{c}n\'a}, pokud nen\'i kone\v{c}n\'a. \v{R}\'ik\'ame, \v{z}e mno\v{z}ina $A$ je \cbl{spo\v{c}etn\'a}, jestli\v{z}e je kone\v{c}n\'a nebo m\'a stejnou mohutnost jako $\en$. Nekone\v{c}n\'a mno\v{z}ina, kter\'a nen\'i spo\v{c}etn\'a, se naz\'yv\'a \cbl{nespo\v{c}etn\'a}.
\end{defin}
\begin{prop}[Vlastnosti spo\v{c}etn\'ych mno\v{z}in]\

\begin{itemize}
	\item Podmno\v{z}ina spo\v{c}etn\'e mno\v{z}iny je spo\v{c}etn\'a.
	\item Nech\v{t} zobrazen\'i $f\colon A \to \N$ je prost\'e. Potom je mno\v{z}ina $A$ spo\v{c}etn\'a.
	\item Sjednocen\'i spo\v{c}etn\v{e} mnoha spo\v{c}etn\'ych mno\v{z}in je spo\v{c}etn\'e.
	\item Obraz spo\v{c}etn\'e mno\v{z}iny je spo\v{c}etn\'a mno\v{z}ina.
	\item Ka\v{z}d\'a nekone\v{c}n\'a mno\v{z}ina obsahuje nekone\v{c}nou spo\v{c}etnou podmno\v{z}inu.
\end{itemize}
\end{prop}
\konecPrednasky{3.10.2017}
\section{Zaveden\'i re\'aln\'ych \v{c}\'isel}
Mno\v{z}inu re\'aln\'ych \v{c}\'isel $\er$ lze popsat jako mno\v{z}inu, na n\'i\v{z} jsou definov\'any operace
s\v{c}\'it\'an\'i a n\'asoben\'i, kter\'e budeme zna\v{c}it obvykl\'ym zp\r{u}sobem, a relace uspo\v{r}\'ad\'an\'i ($\leq$), p\v{r}i\v{c}em\v{z}
jsou spln\v{e}ny n\'asleduj\'ic\'i t\v{r}i skupiny vlastnost\'i:
\begin{itemize}
	\item[I.] Vlastnosti s\v{c}\'it\'an\'i a n\'asoben\'i a jejich vz\'ajemn\'y vztah.
	\item[II.] Vztah uspo\v{r}\'ad\'an\'i a operac\'i s\v{c}\'it\'an\'i a n\'asoben\'i. 
	\item[III.] Axiom suprema.
\end{itemize}
\textbf{I. Vlastnosti s\v{c}\'it\'an\'i a n\'asoben\'i a jejich vz\'ajemn\'y vztah}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{S\v{c}\'it\'an\'i a n\'asoben\'i jsou asociativn\'i}, tj. $$\forall x,y,z\in\er:\; (x + y) + z = x + (y+z) \quad \& \quad  x(yz) = (xy)z.$$
		\item \textbf{S\v{c}\'it\'an\'i a n\'asoben\'i jsou komutativn\'i}, tj. $$\forall x,y\in\er:\; x + y = y+x \quad \& \quad  xy = yx.$$
		\item \textbf{Navz\'ajem jsou ob\v{e} operace distributivn\'i}, tj. $$\forall x,y,z\in\er:\; x(y+z) = xy + xz.$$
		\item \textbf{Existence neutr\'aln\'iho prvku vzhledem ke s\v{c}\'it\'an\'i a k n\'asoben\'i}, tj. $$\exists 0\in\er\; \forall x\in\er:\; x+0=x\quad \&\quad \exists 1\in\er\; \forall x\in\er:\; x\cdot 1=x\quad \& \quad 1\neq 0.$$
		\item \textbf{Existence inverzn\'iho prvku vzhledem ke s\v{c}\'it\'an\'i a vzhledem k n\'asoben\'i}, tj. $$\forall x\in\er\; \exists z\in\er:\; x + z = 0\quad \& \quad \forall x\in\er\setminus\{0\}\; \exists z\in\er:\; xz = 1.$$
		Pozn\'amka: inverzn\'i prvek k $x\in\er$ vzhledem ke s\v{c}\'it\'an\'i (resp. k n\'asoben\'i) je ur\v{c}en jednozna\v{c}n\v{e} a zna\v{c}\'ime jej $-x$ (resp. $x^{-1}$ nebo tak\'e $\frac{1}{x}$).
	\end{itemize}
\textbf{II. Vztah uspo\v{r}\'ad\'an\'i a operac\'i s\v{c}\'it\'an\'i a n\'asoben\'i}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{``$\leq$'' je line\'arn\'i \v{c}\'aste\v{c}n\'e uspo\v{r}\'ad\'an\'i}, tj. \begin{align*}
			\forall x,y,z\in\er:\;&  (x\leq y\; \&\; y\leq z)\Rightarrow x\leq z\quad& \text{(tranzitivita)}\\
			\forall x,y\in\er:\; & (x\leq y\; \&\; y\leq x)\Rightarrow x = y\quad&  \text{(slab\'a anitsymetrie)}\\
			\forall x,y\in\er:\; & (x\leq y\; \vee\; y\leq x)\quad&  \text{(linearita)}
			\end{align*}
		\item \textbf{Uspo\v{r}\'ad\'an\'i se zachov\'av\'a s\v{c}\'it\'an\'im}, tj. $$\forall x,y,z\in\er:\; x\leq y \Rightarrow x + z\leq y + z.$$
		\item \textbf{Uspo\v{r}\'ad\'an\'i se zachov\'av\'a n\'asoben\'im kladn\'ymi \v{c}\'isly}, tj. $$\forall x,y\in \er:\; (x\geq 0\;\&\; y\geq 0)\Rightarrow 0\leq x\cdot y.$$
	\end{itemize}	
\textbf{III. Axiom suprema}

P\v{r}ed formulac\'i axiomu suprema nejprve definujme pomocn\'e pojmy.

\begin{defin}\v{R}ekneme, \v{z}e mno\v{z}ina $M\subset\er$ je \textbf{omezen\'a shora}, pokud existuje $K\in\er$ takov\'e, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $x\in M$ je $x\leq K$. Takov\'e \v{c}\'islo $K$ naz\'yv\'ame \textbf{horn\'i z\'avorou} mno\v{z}iny $M$. Analogicky definujeme pojmy \textbf{mno\v{z}ina omezen\'a zdola} a \textbf{doln\'i z\'avora}. \v{R}ekneme, \v{z}e mno\v{z}ina je \textbf{omezen\'a}, pokud je omezen\'a shora i zdola.
\end{defin}

\begin{defin}\at $M\subset \er$. \v{C}\'islo $S\in\er$ spl\v{n}uj\'ic\'i
	\begin{itemize}
		\item $S$ je horn\'i z\'avora mno\v{z}iny $M$,
		\item $\forall S'\in\er,\;S' < S\;\exists x\in M:\; x > S'$,
	\end{itemize}
naz\'yv\'ame \textbf{supremum} mno\v{z}iny $M$. M\'a-li mno\v{z}ina supremum, je toto ur\v{c}eno jednozna\v{c}n\v{e} a zna\v{c}\'ime jej $\sup M$. Pokud je $\sup M\in M$, naz\'yv\'a se \textbf{maximum} (nejv\v{e}t\v{s}\'i prvek) mno\v{z}iny $M$ a zna\v{c}\'ime jej $\max M$.
\end{defin}

\begin{itemize}
	\item \textbf{Axiom suprema}: Ka\v{z}d\'a nepr\'azdn\'a shora omezen\'a mno\v{z}ina $\er$ m\'a supremum.
\end{itemize}

\begin{theorem}[Existence a jednozna\v{c}nost mno\v{z}iny re\'aln\'ych \v{c}\'isel]
Existuje \v{c}tve\v{r}ice $(\er,+,\cdot,\leq)$ spl\v{n}uj\'ic\'i podm\'inky I-III, p\v{r}i\v{c}em\v{z} je t\v{e}mito podm\'inkami ur\v{c}ena jednozna\v{c}n\v{e} v n\'asleduj\'ic\'im smyslu. Pokud \v{c}tve\v{r}ice $(*\er,+^*,\cdot^*,\leq^*)$ spl\v{n}uje tak\'e podm\'inky I-III, pak existuje bijekce $\varphi:\er\to*\er$ takov\'a, \v{z}e pro $x,y\in\er$ plat\'i $\varphi(x+y) = \varphi(x) +^* \varphi(y)$, $\varphi(xy) = \varphi(x) \cdot^* \varphi(y)$ a $x\leq y\Leftrightarrow \varphi(x)\leq^* \varphi(y)$.
\end{theorem}

\section{Z\'akladn\'i vlastnosti re\'aln\'ych \v{c}\'isel}

\begin{defin}
\at $M \subset \R$. \v{C}\'islo $i \in \er$ spl\v{n}uj\'ic\'i

\begin{itemize}
\item $i$ je doln\'i z\'avora mno\v{z}iny $M$,

\item $\forall i' \in \R, \ i' > i \ \exists x \in M:\  x < i'$,
\end{itemize}

naz\'yv\'ame \emphdef{infimem} mno\v{z}iny $M$. M\'a-li mno\v{z}ina $M$ infimum, je toto ur\v{c}eno jednozna\v{c}n\v{e} a zna\v{c}\'ime je inf $M$. Pokud je $\inf M\in M$, naz\'yv\'a se \textbf{minimum} (nejmen\v{s}\'i prvek) mno\v{z}iny $M$ a zna\v{c}\'ime jej $\min M$.
\end{defin}

\begin{theorem}[existence infima]
\at $M \subset \R$ je nepr\'azdn\'a zdola omezen\'a mno\v{z}ina. Pak existuje infimum mno\v{z}iny $M$.
\end{theorem}

\konecPrednasky{5.10.2017}
\begin{defin}Pro ka\v{z}d\'e $x\in\er$ definujeme jeho \emphdef{absolutn\'i hodnotu} jako
\[
|x| = \begin{cases}x,\qquad & \text{pokud }x\geq 0,\\
				 -x, & \text{pokud }x<0.\end{cases}
\]
\end{defin}

\begin{theorem}[troj\'uheln\'ikov\'a nerovnost]\at $a, b\in\er$. Pak plat\'i $|a+b|\leq |a| + |b|$, a tak\'e $||a| - |b||\leq |a - b|$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[existence cel\'e \v{c}\'asti re\'aln\'eho \v{c}\'isla]
Pro ka\v{z}d\'e $x \in \er$ existuje pr\'av\v{e} jedno \v{c}\'islo $k \in \zet$ takov\'e, \v{z}e $k \leq x< k + 1$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[hustota racion\'aln\'ich \v{c}\'isel v $\R$]
\at $a,b \in \R$, $a < b$. Pak existuje $q \in \qe$ takov\'e, \v{z}e $a < q < b$.
\end{theorem}

\subsubsection{Racion\'aln\'i mocnina}

\begin{defin}\at $x\in\er$.
	\begin{itemize}
		\item Pokud $n\in\en$, pak $x^n$ je zkr\'acen\'y z\'apis n\'asoben\'i $n$ \v{c}\'isel rovn\'ych $x$. D\'ale pro $x\neq 0$ definujeme $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ a $x^0=1$.	
	\end{itemize}
\end{defin}

Mocnina $0^0$ nen\'i definov\'ana.

%\begin{cviko}\
	%\begin{enumerate}
			%\item	Dokažte indukcí, že že pro $n\in\mathbb N$ je $0<a^n< b^n$  jakmile $0< a<b,a,b\in\mathbb R$.
			%\item Dokažte, že pro $a>1,n<m$ je $1<a^n<a^m$. Jak se změní uvedený vztah pro $0<a<1$?
		%\end{enumerate}
%\end{cviko}

\begin{theorem}[existence $n$-t\'e odmocniny]
Pro ka\v{z}d\'e $n \in \en$ a $x \in \er$, $x \geq 0$, existuje pr\'av\v{e} jedno $y \in \er$, $y \geq 0$, spl\v{n}uj\'ic\'i $y^n = x$.
Toto \v{c}\'islo se zna\v{c}\'i $\sqrt[n]{x}$ a \v{c}te se $n$-t\'a odmocnina \v{c}\'isla $x$.
\end{theorem}

Pro $n$ liché se definuje odmocnina i pro záporná čísla $x$ rovností $\root n\of x=-\root n\of {|x|}$.

%\begin{cviko}\
	%\begin{enumerate}
			%\item	Ukažte, že pro $0<x<y$ je $0<\root n\of x < \root n\of y$.
			%\item Ukažte, že pro $x>1,n<m$ je $\root n\of x>\root m\of x>1$. Jak se změní vztah pro $0<x<1$?
			%\item Ukažte, že pro liché $n$ a $x<y$ je $\root n\of x < \root n\of y$.
			%\item Ukažte, že $\root n\of x \root n\of y=\root n\of{xy}, \root n\of{\root m\of x}=\root {mn}\of x$.
		%\end{enumerate}
%\end{cviko}

\begin{defin}\at $x\in\er$.
	\begin{itemize}
		\item Pokud $p\in\zet$, $q\in\en$ jsou nesoud\v{e}ln\'a, pak $x^{p/q}$ se definuje jako $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$ kdykoliv m\'a v\'yraz vpravo smysl.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{pozn}Pro $x>0$ a $n\in\mathbb N$ je $\sqrt[q]{x^p} =\sqrt[nq]{x^{np}}$. (Pro $x>0$ tedy v definici mocniny $x^{p/q}$ nemusejí být $p,q$ nesoudělná.)
	\end{pozn}
	
	\konecPrednasky{10.10.2017}

%\begin{cviko}\
	%\begin{enumerate}
			%\item	Dokažte, že pro kladné racionální číslo $r$ je $x^r< y^r$, jakmile $x<y$ a výrazy $x^r,y^r$ mají smysl. Jak se změní tvrzení pro záporná $r$?
			%\item Ukažte, že pro $x>0$ a $n\in\mathbb N$ je $\root q\of{x^p} =\root
   %nq\of{x^{np}}$. (Pro $x>0$ tedy v definici mocniny $x^{p/q}$ nemusejí být
   %$p,q$ nesoudělná.)
			%\item Jaký problém nastane v předchozím cvičení pro $x<0$?
			%\item Dokažte, \v{z}e plat\'i n\'asleduj\'ic\'i rovnosti, jakmile v nich má vše smysl:
				%$$a^r a^s=a^{r+s};\quad (ab)^r=a^r b^r;\quad \big(a^r\big)^s=a^{rs};\quad a^{-r}=\frac{1}{a^r}.$$
		%\end{enumerate}
%\end{cviko}

\chapter{Limita posloupnosti}

\section{Úvod}

\begin{defin}
\at $X$ je mno\v{z}ina. \cbl{Posloupnost} v $X$ (nebo  posloupnost prvků množiny $X$) je funkce $f:{\mathbb N}\to X$. Značíme $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$. Číslo $f(n) = a_n$ nazveme \emphdef{$n$-tým členem} této posloupnosti.
\end{defin}

\begin{convention}V tomto textu budeme \emphdef{posloupnost\'i} rozum\v{e}t posloupnost v $\er$.
\end{convention}

\begin{defin}Posloupnost $\{a_n\}$ se nazývá
\begin{itemize}
		\item  \cbl{rostoucí } (resp. \cbl{neklesající}), jestliže $a_n< a_{n+1}$ (resp. $a_n\le a_{n+1}$) pro všechna $n\in\en$;
	\item \cbl{klesající } (resp. \cbl{nerostoucí}), jestliže $a_n > a_{n+1}$ (resp. $a_n\ge a_{n+1}$) pro všechna $n\in\en$; 
	\item \cbl{ryze monotónní}, pokud je rostoucí nebo klesající;
	\item \cbl{monotónní} pokud je neklesající nebo nerostoucí;
	\item \emphdef{shora omezená}, jestliže mno\-ži\-na všech členů této posloupnosti je shora omezená;
	\item \emphdef{zdola omezená}, jestliže mno\-ži\-na všech členů této posloupnosti je zdola omezená;
	\item \emphdef{omezená}, jestliže mno\-ži\-na všech členů této posloupnosti je omezená.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{defin}
Řekneme, že posloupnost $\{a_n\}$ má \emphdef{limitu} rovnou reálnému číslu $A$, jest\-liže platí
$$
\forall \varepsilon \in \R, \varepsilon  > 0\   \exists n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n \geq n_0:\  |a_n - A| < \varepsilon.
$$
\end{defin}

\begin{theorem}[jednoznačnost limity]
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
\end{theorem}

\section{Konvergence posloupnosti reálných čísel}

\begin{defin}
Má-li posloupnost $\{a_n\}$ limitu rovnou číslu $A \in \R$, pak píšeme $\lim\limits_{n\to\infty}{a_n} = A$ nebo jenom $\lim {a_n} = A$.

Řekneme, že posloupnost $\{a_n\}$ je \emphdef{konvergentní}, pokud existuje $A \in \R$ takové, že $\lim a_n = A$.
\end{defin}

\begin{theorem}
Každá konvergentní posloupnost je omezená.
\end{theorem}

\begin{defin}
Nechť $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ je posloupnost. Jestliže $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ je rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak $\{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ se nazývá \emphdef{podposloupnost\'i $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$}.
\end{defin}

\begin{theorem}[limita podposloupnosti]
Nechť $\{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ podposloupnost posloupnosti $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$.
Jestliže  platí $\lim_{n \to \infty} a_n = A \in \R$, pak také $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = A$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[aritmetika limit]
Nechť $\lim{a_n} = A \in \R$ a  $\lim{b_n} = B \in \R$. Potom platí:
\begin{itemize}
\item[{\rm (a)}] $\lim{(a_n + b_n)} = A + B$,

\item[{\rm (b)}] $\lim{(a_n \cdot b_n)} = A \cdot B$,

\item[{\rm (c)}] je-li $B \neq 0$ a $b_n \neq 0$ pro všechna $n \in \N$, je $\lim (a_n/b_n) = A/B$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\konecPrednasky{12.10.2017}

\begin{theorem}[limita \uv{omezen\'e kr\'at nulov\'e} posloupnosti]
Nechť $\lim{a_n} = 0$ a nechť posloupnost  $\{b_n\}$ je omezená. Potom $\lim a_n  b_n = 0$.
\end{theorem}

\subsubsection{Vlastnost \uv{skoro}}
	V\'yrazem \cbl{pro skoro v\v{s}echna $n\in\en$ plat\'i ...} rozum\'ime \uv{existuje $n_0$, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $n\in\en$, $n\geq n_0$ plat\'i...}.

\begin{theorem}[limita a uspořádání]
Nechť $\lim{a_n} = A \in \R$ a $\lim{b_n} = B \in \R$.
\begin{itemize}
\item[{\rm (a)}]   Nechť pro skoro v\v{s}echna $n\in\en$ plat\'i $a_n \geq b_n$.
Potom $A \geq B$.

\item[{\rm (b)}]  Nechť $A < B$. Potom pro skoro v\v{s}echna $n\in\en$ plat\'i $a_n < b_n$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[o~dvou policajtech]
Nechť $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ jsou dvě konvergentní posloupnosti a $\{c_n\}$ je posloupnost splňující:
\begin{itemize}
\item[{\rm (a)}]  Pro skoro v\v{s}echna $n\in\en$ plat\'i: $a_n \leq c_n \leq b_n$,
\item[{\rm (b)}]  $\lim{a_n} = \lim{b_n}$.
\end{itemize}
Potom existuje $\lim{c_n}$ a platí $\lim{c_n} = \lim{a_n}$.
\end{theorem}

\konecPrednasky{17.10.2017}

\section{Nevlastní limita posloupnosti}

\begin{defin}\label{2:D:nevlastni-limita}
Řekneme, že posloupnost $\{a_n\}$ \emphdef{má limitu rovnou $\infty$} (čteme plus nekonečno),  jestliže
\[
\forall K \in \R\  \exists n_0 \in \N\  \forall n \in \N,n \ge n_0\colon a_n \geq K.
\]
Řekneme, že posloupnost $\{a_n\}$ \emphdef{má limitu rovnou $-\infty$} (čteme mínus nekonečno),  jestliže
\[
\forall K \in \R\, \exists n_0 \in \N \, \forall n \in \N, n \ge n_0\colon a_n \leq K.
\]
Má-li posloupnost limitu rovnou $\infty$, říkáme, že \emphdef{diverguje k $\infty$}. Má-li posloupnost limitu rovnou $-\infty$, říkáme, že \emphdef{diverguje k $-\infty$}. Má-li posloupnost limitu rovnou plus nebo mínus nekonečnu, říkáme, že \emphdef{má nevlastní limitu}.
\end{defin}

\begin{defin}\label{2:D:rozsirena_realna_osa}
\emphdef{Rozšířenou reálnou osou\index{rozšíření reálné osy}} budeme nazývat množinu $\er \cup \{\infty,-\infty\}$ a budeme ji značit $\er^*$.
Na množinu $\er^*$ rozšíříme aritmetické operace a relaci uspořádání definované na $\er$ následujícím způsobem.

\textbf{Operace sčítání:}
\begin{itemize}
\item $\forall a \in \{-\infty\} \cup \er \colon -\infty + a = a + (-\infty) = - \infty$,

\item $\forall a \in  \er \cup \{\infty\} \colon \infty + a = a +\infty = \infty$,

\item $-(\infty) = -\infty, -(-\infty) = \infty$.
\end{itemize}

\textbf{Operace násobení:}
\begin{itemize}
\item $\forall a \in (0,\infty) \cup \{\infty\} \colon a \cdot \infty = \infty\cdot a = \infty$,
\item $\forall a \in (0,\infty) \cup \{\infty\} \colon a \cdot (-\infty) = (-\infty)\cdot a = -\infty$,
\item $\forall a \in \{-\infty\} \cup (-\infty,0) \colon a \cdot \infty = \infty\cdot a = -\infty$,
\item $\forall a \in \{-\infty\} \cup (-\infty,0) \colon a \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot a = \infty$,
\item $(\infty)^{-1} = 0, (-\infty)^{-1} = 0$.
\end{itemize}

\textbf{Relace uspořádání:}
\begin{itemize}
\item $\forall a \in \R\colon -\infty < a, a < \infty$,
\item $-\infty < \infty$.
\end{itemize}

Absolutní hodnota je na množině $\Rr$ definována předpisem $|x|= \max\{x,-x\}$, a tedy
$|\infty|=\infty$, $|-\infty|=\infty$.

\end{defin}

\begin{pozn}
Následující výrazy nejsou definovány:
\[
\infty + (-\infty), \quad -\infty+\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \infty\cdot0,\quad 0\cdot(-\infty),\quad (-\infty)\cdot0,\quad \frac{\textup{cokoli}}{0}.
\]
\end{pozn}

\begin{defin}\label{2:D:supremum-2}
Nechť $A \subset \R\sp*$ a $G \in \Rr$. Předpokládejme, že platí následující podmínky:
\begin{itemize}
\item[(a)] $\forall a \in A\colon a \leq G$,
\item[(b)] $\forall G' \in \Rr, G' < G \ \exists a \in A \colon G' < a$.
\end{itemize}
Pak $G$ nazýváme \emphdef{supremem} množiny $A$.
Podobně definujeme \emphdef{infimum} množiny $A$.
\end{defin}

\begin{pozn}\label{2:PAR:konsistence-dvou-definic-suprema-a-infima}
Pro neprázdnou a shora omezenou podmnožinu reálných čísel se pojem suprema shoduje s pojmem zavedeným dříve. Supremum shora neomezené množiny je rovno $\infty$ a supremum prázdné množiny je rovno $-\infty$. Infimum zdola neomezené množiny je rovno $-\infty$ a infimum prázdné množiny je rovno $\infty$.
\end{pozn}

\begin{theorem}[jednoznačnost limity podruhé]
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu v $\Rr$.
\end{theorem}

\begin{notation}
Má-li posloupnost $\{a_n\}$ nevlastní limitu, označujeme hodnotu této limity opět symbolem $\lim a_n$. Píšeme tedy $\lim a_n=\infty$ nebo $\lim a_n=-\infty$.
\end{notation}

\begin{pozn}\label{2:R:moznosti-limitniho-chovani-posloupnosti}
Pro každou posloupnost reálných čísel $\{a_n\}$ nastává právě jedna z následujících možností:
\[
\lim a_n \begin{cases}
\text{ existuje }
 {\begin{cases}
 \text{vlastní\index{limita!posloupnosti!vlastní}, tj. je rovna reálnému číslu,} \\
 \text{nevlastní\index{limita!posloupnosti!nevlastní}, tj. je rovna $\infty$ nebo $-\infty$},
 \end{cases}}\\
\text{ neexistuje.}
\end{cases}
\]

\end{pozn}

\begin{defin}
Nechť $a,b \in \R\sp*$, $a \le b$. Definujeme množiny
\begin{align*}
(a,b)             &= \{x\in\R\setsep a<x<b\}, \quad a,b\in\R\sp*,\\
[a,b]        &= \{x\in\R\setsep a\leq x\leq b\}, \quad a,b\in\R, \\
(a,b]             &= \{x\in\R\setsep a< x\leq b\},\quad a\in\R\sp*, b\in\R, \\
[a,b)        &= \{x\in\R\setsep a\leq x<b\},\quad a\in\R\sp, b\in\R\sp*.
\end{align*}
Pak množinu $(a,b)$ nazýváme \emphdef{otevřeným intervalem}, množinu $[a,b]$ nazýváme \emphdef{uzavřeným intervalem} a množiny $[a,b)$ a $(a,b]$, nazýváme \emphdef{polouzavřenými intervaly}.
\end{defin}

\begin{defin}\label{D:okoli}
Nechť $c \in \R$. Potom \emphdef{okolím} bodu $c$  rozumíme každou množinu tvaru $B(c,\varepsilon) = (c-\varepsilon,c+\varepsilon)$, kde $\varepsilon \in \R, \ \varepsilon > 0$. \emphdef{Okolím} bodu $\infty$ rozumíme každou množinu tvaru $B(\infty,\varepsilon) = (\frac 1{\varepsilon},\infty)$, kde $\varepsilon \in \R, \ \varepsilon > 0$. \emphdef{Okolím} bodu $-\infty$ rozumíme každou množinu tvaru $B(-\infty,\varepsilon) = (-\infty,-\frac 1{\varepsilon})$, kde $\varepsilon \in \R, \ \varepsilon > 0$.
\end{defin}

%\begin{pozn}\label{EXE:def-limity-posl-okolim}
%Zavedení pojmu okolí nám umožňuje ekvivalentně formulovat pojem limity posloupnosti (vlastní i nevlastní) jedinou formulí. Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel a $A\in\Rr$. Pak $\lim a_n=A$ právě tehdy, když platí
%\[
%\forall \ve\in\R, \ve>0\ \exists n_0\in\N\ \forall n\in\N, n\geq n_0\colon a_n\in B(A,\ve).
%\]
%\end{pozn}

\begin{pozn}\label{R:vety-o-nevlastni-limite}
Věty o limitě podposloupnosti, o limitě a uspořádání a o dvou policajtech  platí v nezměněné podobě i tehdy, připustíme-li nevlastní limity.
\end{pozn}

\begin{theorem}[změna konečně mnoha členů posloupnosti]\label{T:zmena konecne mnoha clenu}
Nechť $\{a_{n}\}$ a $\{b_{n}\}$ jsou posloupnosti reálných čísel, $A\in\R\sp*$ a $\lim a_n = A$.
Nechť pro skoro v\v{s}echna $n\in\en$ plat\'i $a_n = b_n$. Pak také $\lim b_n = A$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[aritmetika limit podruhé]
Nechť $\{a_{n}\}$ a $\{b_{n}\}$ jsou posloupnosti reálných čísel, $A,B\in\R\sp*$, $\lim a_n = A$ a $\lim b_n = B$.  Potom platí:
\begin{itemize}
\item[{\rm (a)}] $\lim{(a_n + b_n)} = A + B$, pokud je výraz na pravé straně definován,
\item[{\rm (b)}]  $\lim{(a_n \cdot b_n)} = A \cdot B$, pokud je výraz na pravé straně definován,
\item[{\rm (c)}] $\lim a_n/b_n = A/B$, pokud je $b_n\neq0$ pro každé $n\in\N$ a výraz na pravé straně definován.
\end{itemize}
\end{theorem}

\konecPrednasky{19.10.2017}

\begin{theorem}[\uv{$\frac{1}{0^+} = \infty$}]
Nechť $\{b_{n}\}$ je posloupnost reálných čísel, přičemž pro každé $n\in\N$ platí $b_n\neq0$. Nechť $\lim b_n = 0$ a pro skoro v\v{s}echna $n\in\en$ platí $b_n > 0$.
Potom $\lim \frac{1}{b_n} = \infty$.
\end{theorem}

\section{Hlubší věty o limitě posloupnosti}

\begin{theorem}[limita monotónní posloupnosti]\label{T:limita monotónní posloupnosti}\index{limita!posloupnosti!monotónní}
Každá monotónní posloupnost má limitu.
Je-li $\{a_n\}$ neklesající, pak $\lim a_n=\sup\{a_n\setsep n\in\N\}$.
Je-li $\{a_n\}$ nerostoucí, pak $\lim a_n=\inf\{a_n\setsep n\in\N\}$.
\end{theorem}

\begin{corollary}\label{C:monotonni-posloupnost}
Každá neklesající a shora omezená (nerostoucí a zdola omezená) posloupnost je konvergentní.
\end{corollary}

\begin{defin}
Nechť $I$ je interval. Jeho \emphdef{délkou} rozumíme $\infty$, je-li $I$ neomezený, a číslo $b-a$, je-li $I$ omezený s koncovými body $a,b\in\mathbb R$, $a\leq b$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Cantorův princip vložených intervalů]
Nechť $\{I_n\}_{n=1}\sp{\infty}$ je posloupnost uzavřených intervalů splňující
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] pro každé $n\in\N$ platí $I_{n+1}\subset I_n$,
\item[$\bullet$] platí $\lim \textup{délka}\ I_n=0$.
\end{itemize}
Potom je množina $\bigcap I_n$ jednobodová.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Bolzanova-Weierstrassova věta]
Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.
\end{theorem}

\konecPrednasky{24.10.2017}

%\begin{pozn}\label{R:existence-limsup}
%Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel. Nechť je $\{a_n\}$  shora omezená. Položme $b_n = \sup\{a_k\setsep k\in\N,\ k\geq n\}$, $n \in \N$. Pak je $\{b_n\}$ nerostoucí posloupnost reálných čísel. Podle věty o limitě monotónní posloupnosti tedy existuje $\lim b_n$. Nechť je $\{a_n\}$ zdola omezená. Položíme $c_n = \inf\{a_k\setsep k\in\N,\ k\geq n\}$, $n \in \N$. Pak je $\{c_n\}$ neklesající posloupnost reálných čísel, a tedy existuje $\lim c_n$.
%\end{pozn}

\begin{defin}\label{D:limsup}
Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme
$$
\limsup_{n\to\infty} a_n=\begin{cases}
\lim\limits_{n\to\infty}\sup\{a_k; k\geq n\},\quad&\textup{jestliže je}\ \{a_n\}\ \textup{shora omezená},\\
\infty,&\textup{jestliže je}\ \{a_n\}\ \textup{shora neomezená}.
\end{cases}
$$
Tuto hodnotu nazýváme \emphdef{limes superior} posloupnosti $\{a_n\}$. Obdobně definujeme \emphdef{limes inferior} posloupnosti $\{a_n\}$ předpisem
$$
\liminf_{n\to\infty} a_n=
\begin{cases}
\lim\limits_{n\to\infty} \inf\{a_k; k\geq n\},\quad&\textup{jestliže je}\ \{a_n\}\ \textup{zdola omezená},\\
-\infty,&\textup{jestliže je}\ \{a_n\}\ \textup{zdola neomezená}.
\end{cases}
$$
Pokud nemůže dojít k nedorozumění, budeme místo symbolů $\limsup_{n\to\infty} a_n$ a $\liminf_{n\to\infty} a_n$ psát pouze $\limsup a_n$ a $\liminf a_n$.
\end{defin}

%\begin{remarks}\label{RS:existence-limsup}
%Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel.
%
%(a) Pojmy $\limsup a_n$ a $\liminf a_n$ jsou dobře definovány, neboť dle výše uvedené poznámky limity v definici těchto pojmů existují.
%
%(b) Limita posloupnosti nemusí existovat, avšak hodnoty $\limsup a_n$ a $\liminf a_n$ existují vždy a splňují
%$\limsup a_n\in\Rr$, $\liminf a_n\in\Rr$. Z definice dále zřejmě plyne, že $\liminf a_n\leq \limsup a_n$.
%
%(c) Hodnoty $\limsup a_n$ a $\liminf a_n$ se nemusí rovnat. Například pro posloupnost $\{a_n\}=\{(-1)\sp n\}$ platí $\limsup a_n=1$ a $\liminf a_n=-1$. Pro posloupnost $\{a_n\}=\{(-1)\sp nn\}$ platí $\limsup a_n=\infty$ a $\liminf a_n=-\infty$.
%\end{remarks}

\begin{theorem}[o vztahu limity, limes superior a limes inferior]\label{2:T:vztah_lim_limsup}
Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel a $A\in\R\sp*$. Potom $\lim a_n=A$ právě tehdy, když $\limsup a_n=\liminf a_n=A$.
\end{theorem}

\begin{defin}Prvek $A\in{\mathbb R}^*$ se nazývá
 \cbl{hromadný bod} posloupnosti $\{a_n\}$, jestliže každé
 okolí bodu $A$ obsahuje nekonečně mnoho prvků posloupnosti $\{a_n\}$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o hromadn\'ych bodech a podposloupnostech]\label{2:T:vztah-limsup-hrom}
Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel.
\begin{enumerate}
   \item  Prvek $A\in{\mathbb R}^*$ je hromadným bodem posloupnosti $\{a_n\}$,
   právě když existuje její podposloupnost $\{a_{k_n}\}$, která
   konverguje k bodu $A$.
   \item Hodnota $\liminf a_n$ je nejmenším hromadným bodem posloupnosti $\{a_n\}$   
   \item Hodnota $\limsup a_n$ je největším hromadným bodem posloupnosti $\{a_n\}$
   \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}\label{2:D:bolzano_cauchy_podminka}
Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že $\{a_n\}$ splňuje \emphdef{Bolzanovu--Cauchyovu podmínku}, jestliže
\[
\begin{split}
\forall \varepsilon \in\R, \varepsilon > 0\ \exists n_0\in\N \
\forall m,n\in\N, n\geq n_0, m\geq n_0\colon |a_n-a_m| < \varepsilon.
\end{split}
\]
\end{defin}

\begin{theorem}[Bolzanova--Cauchyova podmínka pro posloupnosti]\label{2:T:bolzano_cauchy}
Posloupnost $\{a_n\}$ má vlastní limitu právě tehdy, když splňuje Bolzanovu--Cauchyovu podmínku.
\end{theorem}

\konecPrednasky{26.10.2017}

\begin{theorem}[Borelova věta]
Nechť $I$ je uzavřený interval a  $\mathcal S$ je množina otevřených intervalů taková, že $I \subset \bigcup \mathcal S$.
Potom existuje konečná množina $\mathcal S_0 \subset \mathcal S$ taková, že $I \subset \bigcup \mathcal S_0$.
\end{theorem}

\chapter{Limita a spojitost funkce}

\section{Základní pojmy}

\begin{defin}
\emphdef{Funkce $f$ jedné reálné proměnné} (dále jen \emphdef{funkce}) je zobrazení $f:M\to\R$, kde $M\subset\R$.
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $M\subset\R$. Funkce $f:M\to\R$ je \emphdef{rostoucí} na $M$, jestliže pro každou dvojici $x,y\in M$, $x<y$, platí $f(x)<f(y)$. Obdobně definujeme funkci \emphdef{klesající}, \emphdef{nerostoucí} a \emphdef{neklesající}. Řekneme, že funkce $f$ je \emphdef{monotónní} na $M$, jestliže je buď nerostoucí nebo neklesající na $M$. Řekneme, že funkce $f$ je \emphdef{ryze monotónní} na $M$, jestliže je buď rostoucí, nebo klesající na $M$.
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $f$ je funkce. Řekneme, že $f$ je \emphdef{lichá}, jestliže pro každé $x\in\dom(f)$ platí $-x\in\dom(f)$ a $f(-x)=-f(x)$.
Nechť $f$ je funkce. Řekneme, že $f$ je \emphdef{sudá}, jestliže pro každé $x\in\dom(f)$ platí $-x\in\dom(f)$ a $f(-x)=f(x)$. Řekneme, že $f$ je \emphdef{periodická} s periodou $a\in\R$, $a>0$, jestliže pro každé $x\in\dom(f)$ platí $x+a\in\dom(f)$, $x-a\in\dom(f)$ a $f(x+a)=f(x-a)=f(x)$.
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $f$ je funkce a $M\subset \dom(f)$. Řekneme, že $f$ je \emphdef{omezen\'a} (resp. \emphdef{shora omezená} nebo \emphdef{zdola omezená}) na $M$, jestliže existuje $K\in\R$ takové, že pro každé $x\in M$ platí $|f(x)|\leq K$ (resp. $f(x)\leq K$ nebo $f(x)\geq K$).
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $c \in \Rr$. \emphdef{Prstencovým okolím bodu} $c$ nazýváme
libovolnou množinu tvaru
$$
P(c,\varepsilon) =
\begin{cases}
B(c,\ve) \setminus \{c\}&\textup{pokud}\ c\in\R;\\
B(c,\ve)&\textup{pokud}\ c \in \{\infty,-\infty\},
\end{cases}
$$
kde $\varepsilon \in \R$, $\varepsilon > 0$.

Nechť $c \in \R\cup\{-\infty\}$. \emphdef{Pravým okolím bodu} $c$ nazýváme
libovolnou množinu tvaru
$$
B_+(c,\varepsilon) =
\begin{cases}
[c,c+\ve)&\textup{pokud}\ c\in\R;\\
B(c,\ve)&\textup{pokud}\ c =-\infty,
\end{cases}
$$
a \emphdef{pravým prstencovým okolím bodu} $c$ nazýváme
libovolnou množinu tvaru
$$
P_+(c,\varepsilon) =
\begin{cases}
(c,c+\ve)&\textup{pokud}\ c\in\R;\\
B(c,\ve)&\textup{pokud}\ c =-\infty,
\end{cases}
$$
kde $\varepsilon \in \R$, $\varepsilon > 0$.

Nechť $c \in \R\cup\{\infty\}$. \emphdef{Levým okolím bodu} $c$ nazýváme
libovolnou množinu tvaru
$$
B_-(c,\varepsilon) =
\begin{cases}
(c-\ve,c]&\textup{pokud}\ c\in\R;\\
B(c,\ve)&\textup{pokud}\ c =\infty,
\end{cases}
$$
a \emphdef{levým prstencovým okolím bodu} $c$ nazýváme
libovolnou množinu tvaru
$$
P_-(c,\varepsilon) =
\begin{cases}
(c-\ve,c)&\textup{pokud}\ c\in\R;\\
B(c,\ve)&\textup{pokud}\ c =\infty,
\end{cases}
$$
kde $\varepsilon \in \R$, $\varepsilon > 0$.
\end{defin}

\section{Element\'arn\'i funkce}

Abychom mohli form\'aln\v{e} zav\'est element\'arn\'i funkce, budeme pot\v{r}ebovat pojem ``limita funkce''.

\begin{defin}\label{D:limita-funkce-v-bode}
Řekneme, že prvek $A \in \Rr$ je \emphdef{limitou funkce $f$ v~bodě} $c \in \Rr$, jestliže
\[
\forall \varepsilon \in \R, \varepsilon > 0 \ \exists \delta \in \R, \delta > 0 \ \forall x \in P(c,\delta):\ f(x) \in B(A,\varepsilon).
\]
\end{defin}\ \\

Tento slo\v{z}it\'y pojem budem d\'ale rozv\'ijet a pozn\'avat pozd\v{e}ji. P\v{r}edt\'im ale zavedeme n\v{e}kter\'e z\'akladn\'i funkce, s kter\'ymi budeme d\'ale pracovat p\v{r}i po\v{c}\'it\'an\'i p\v{r}\'iklad\r{u}.

\begin{theorem}[zavedení exponenciální funkce]\label{T:exp-zavedeni}
Existuje právě jedna funkce \emphdef{exponenci\'ala} (budeme ji zna\v{c}it $\exp$) splňující podmínky
\begin{itemize}
\item[\textup{(E1)}] $\dom(\exp) = \er$
\item[\textup{(E2)}] $ \forall x,y \in \R\colon \exp(x+y) = \exp x \cdot \exp y$,
\item[\textup{(E3)}] $\lim\limits_{x\to0}\frac{\exp x-1}{x} = 1$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[vlastnosti exponenciální funkce]
Následující vlastnosti exponenciální funkce je možné odvodit pouze z vlastností (E1) a (E2).
\begin{itemize}
%\item[(E3)] Pro každé $x \in \R$ platí $\exp'(x) = \exp x$.
\item Platí $\exp (0) = 1$.
\item Pro každé $x \in \R$ platí $ \exp(-x) = \frac{1}{\exp x}$.
%\item[(E6)] Funkce $\exp$ je spojitá na $\R$.
\item Pro každé $x \in \R$ platí $\exp x > 0$.
\item Funkce $\exp$ je rostoucí na $\R$.
\item Platí $\lim\limits_{x\to \infty} \exp x = \infty$ a $\lim\limits_{x\to -\infty}\exp x = 0$.
\item Platí $\rng(\exp) = (0,\infty)$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{defin}\label{D:logaritmus-a-obecna-mocnina}\hfil
\begin{itemize}
\item[(a)] Funkce $\log \colon (0,\infty)\to\R$ je definována jako inverzní funkce k funkci $\exp$. Nazývá se \emphdef{přirozeným logaritmem}.

\item[(b)] Je-li $a \in (0,\infty) \setminus \{1\}$, pak definujeme
\[
\log_{a} (x) = \frac{\log (x)}{\log (a)},\quad x\in(0,\infty).
\]
Funkci $\log_a$ nazýváme \emphdef{logaritmem o základu} $a$.

\item[(c)] Nechť $a \in \R, a > 0$, a $b \in \R$. Potom definujeme reálné číslo $a^b$ předpisem $a^b = \exp(b\log (a))$.

\item[(d)] Nechť $a > 0$. Potom funkci $x \mapsto a\sp x$, $x \in \R$, nazýváme \emphdef{obecnou mocninou}.

\item[(e)] \v{C}\'islo \emphdef{$e$} definujeme jako $e = \exp(1)$, naz\'yv\'ame jej \emphdef{Eulerova konstanta}.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{pozn}
Pro každé $x,y\in\R$ platí
\[
(\exp(y))\sp x=\exp(x\log(\exp(y))=\exp(xy).
\]
Speciálně (pro $y=1$) dostáváme
\[
e\sp{x}=(\exp(1))\sp{x}=\exp(x)
\]
pro každé $x\in\R$. Místo $\exp x$ můžeme tedy psát $e^x$.
\end{pozn}

\begin{theorem}[vlastnosti logaritmu]\label{T:log-vlastnosti}
Funkce $\log$ má následující vlastnosti.\hfil
\begin{itemize}
\item Platí $D(\log) = (0,\infty)$.
\item Platí $\rng(\log) = \R$.
\item Funkce $\log$ je rostoucí na $(0,\infty)$.
%\item[\textup{(L4)}] Funkce $\log$ je spojitá na $(0,\infty)$.
\item Pro každé $x,y \in (0,\infty)$ platí $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$.
\item Pro každé $a \in (0,\infty)$ a $b \in \R$ platí $\log a^b = b \log a$.
%\item Pro každé $x \in (0,\infty)$ platí $\log'(x) = \frac{1}{x}$.
\item Platí $\lim\limits_{x\to 0_+}\log x = -\infty$, $\lim_{x\to \infty}\log x = \infty$ a $\lim_{x\to 1}\frac{\log x}{x-1} = \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x} = 1$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[zavedení sinu a \v{c}\'isla $\pi$]\label{T:sico}
Existuje jedin\'e kladn\'e re\'aln\'e \v{c}\'islo (budeme ho zna\v{c}it $\pi$) a jedin\'a funkce \emphdef{sinus} (budeme ji zna\v{c}it $\sin$), kter\'a m\'a n\'asleduj\'ic\'i vlastnosti:
\begin{itemize}
\item[\textup{(S1)}] $\dom(\sin) = \er$
\item[\textup{(S2)}] $\sin$ je rostouc\'i na $[-\pi/2,\pi/2]$,
\item[\textup{(S3)}] $\sin 0 = 0$,
\item[\textup{(S4)}] $\forall x,y \in \er:\; \sin(x+y) = \sin x\sin(\frac{\pi}{2} - y) + \sin(\frac{\pi}{2} - x)\sin y$,
\item[\textup{(S5)}] $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{defin}
Funkci \emphdef{kosinus} zna\v{c}\'ime $\cos$ a definujeme p\v{r}edpisem
$$\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right),\quad x\in\er.$$
\end{defin}

\begin{theorem}[vlastnosti funkcí $\sin$ a $\cos$]\label{T:vlastnosti-sin}
Funkce sinus a kosinus maj\'i n\'asleduj\'ic\'i vlastnosti:
\begin{itemize}
\item $\sin$ je lichá funkce a $\cos$ je sudá funkce,
\item Platí $\sin x = 0$, právě když $x = k\pi$ pro $k \in \zet$ a $\cos x = 0$, právě když $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ pro $k \in \zet$.
\item Pro každé $x \in \R$ platí $\sin(x + \frac{\pi}2) = \cos x$ a $\cos(x + \frac{\pi}2) = -\sin x$. Funkce $\sin$ a $\cos$ jsou $\pi$-antiperiodické (tedy $\sin(x + \pi) = -\sin x$ a $\cos(x+\pi) = -\cos x$ pro každé $x\in\R$), a tedy $2\pi$-periodické.
\item $\forall x,y\in\er:\;\sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\quad \& \quad\cos(x+y) = \cos x\cos y - \sin x \sin y$,
\item $\forall x\in\er:\;\sin^2x + \cos^2 x = 1\quad \& \quad \sin(2x) = 2\sin x\cos x\quad \& \quad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$,
\item $\cos (0) = \sin(\pi/2) = 1,\;\cos(\pi/6) = \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2},\;\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$,\;$\cos(\pi/3) = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$
%\item Pro každé $x \in \R$ platí $\sin'(x) = \cos x$ a $\cos'(x) = -\sin x$.
%\item Funkce $\sin$ a $\cos$ jsou spojité na $\R$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{defin}\label{D:elf-tgcotg}
Funkce \emphdef{tangens} a \emphdef{kotangens} značíme $\tg$ a $\cotg$ a definujeme předpisy
\begin{align*}
\tg x    &= \frac{\sin x}{\cos x}, & x &\in \R \setminus \left\{\tfrac{\pi}2+k\pi \setsep k\in\zet\right\},\\
\cotg x  &= \frac{\cos x}{\sin x}, & x &\in \R \setminus \left\{k\pi \setsep k\in\zet\right\}.
\end{align*}
Funkce $\sin$, $\cos$, $\tg$ a $\cotg$ nazýváme \emphdef{goniometrickými funkcemi}.
\end{defin}

\begin{theorem}[vlastnosti funkce tangens]
Funkce $\tg$ je %spojitá v~každém bodě svého definičního oboru, je 
lichá, $\pi$-periodická a rostoucí na $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$.
%Pro každé $x \in \dom(\tg)$ platí $\tg'(x) = \frac{1}{\cos^2x}$. 
Platí $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}_-} \tg x = \infty$ a $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}_+} \tg x = -\infty$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[vlastnosti funkce kotangens]
Funkce $\cotg$ je %spojitá v~každém bodě svého definičního oboru, je 
lichá, $\pi$-periodická a klesající na $(0,\pi)$.
%Pro každé $x \in \dom(\cotg)$ platí $\cotg'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$. 
Platí $\lim_{x \to 0_+} \cotg x = \infty$  a $\lim_{x \to \pi_-} \cotg x = -\infty$.
\end{theorem}

\begin{defin}\label{D:cyklometricke}
\emphdef{Cyklometrické funkce} \emphdef{arkussinus}, \emphdef{arkuskosinus}, \emphdef{arkustangens} a \emphdef{arkuskotangens} značíme $\arcsin$, $\arccos$, $\arctg$ a $\arccotg$ a definujeme předpisy
\begin{align*}
&\arcsin  = \left(\sin|_{[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]}\right)\sp{-1};\\
&\arccos  = \left(\cos|_{[0,\pi]}\right)\sp{-1};\\
&\arctg  = \left(\tg|_{(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)}\right)\sp{-1};\\
&\arccotg  = \left(\cotg|_{(0,\pi)}\right)\sp{-1}.
\end{align*}
\end{defin}

\begin{theorem}[vlastnosti cyklometrických funkcí]\label{T:vlastnosti-cyklometrickych-funkci}\hfil

\textup{(a)} Funkce $\arcsin$ je %spojitá, 
lichá a rostoucí na $[-1,1]$. Platí $\rng(\arcsin)=[-\frac{\pi}2,\frac {\pi}2]$.
%$\arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x\sp2}}$, $x\in(-1,1)$, a $\arcsin_+'(-1)=\arcsin'_-(1)=\infty$.

\textup{(b)} Funkce $\arccos$ je %spojitá a 
klesající na $[-1,1]$. Platí $\rng(\arccos)=[0,\pi]$.
%$\arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x\sp2}}$, $x\in(-1,1)$, a $\arccos_+'(-1)=\arccos'_-(1)=-\infty$.

\textup{(c)} Funkce $\arctg$ je %spojitá, 
lichá a rostoucí na $\mathbb R$. Platí $\rng(\arctg)=(-\frac{\pi}2,\frac {\pi}2)$.% a $\arctg'(x)=\frac{1}{1+x\sp2}$, $x\in\mathbb R$.

\textup{(d)} Funkce $\arccotg$ je %spojitá a 
klesající na $\mathbb R$. Platí $\rng(\arccotg)=(0,\pi)$.% a $\arccotg'(x)=\frac{-1}{1+x\sp2}$, $x\in\mathbb R$.
\end{theorem}

\konecPrednasky{2.11.2017}


\section{Limita funkce}

\begin{defin}
Řekneme, že prvek $A \in \Rr$ je \emphdef{limitou funkce $f$ v~bodě} $c \in \Rr$, jestliže
\[
\forall \varepsilon \in \R, \varepsilon > 0 \ \exists \delta \in \R, \delta > 0 \ \forall x \in P(c,\delta):\ f(x) \in B(A,\varepsilon).
\]
\end{defin}

%\begin{remarks}\label{R:poznakmy-k-definici-limity-funkce}
%(a) Je-li $c\in\Rr$ a funkce $f$ má v $c\in\Rr$ limitu, potom musí být definovaná alespoň na nějakém prstencovém okolí $c$.
%
%(b) Má-li funkce $f$ limitu v bodě $c\in\R$ limitu, potom může a nemusí být definovaná v bodě $c$. Je-li například $f$ definovaná na množině $(0,1)\cup(1,2)$, pak má smysl studovat existenci její limity v bodě $1$, ale nikoli v bodě $5$. Je-li funkce $f$ definovaná v bodě $c$, pak funkční hodnota $f(c)$ nemá vliv na existenci ani na hodnotu limity $f$ v $c$.
%\end{remarks}

\begin{theorem}[jednoznačnost limity funkce]\label{T:jednoznačnost limity}
Nechť $c\in\Rr$ a nechť $f$ je funkce. Potom $f$ má v~$c$ nejvýše jednu limitu.
\end{theorem}

\begin{notation}
Má-li funkce $f$ v bodě $c \in \Rr$ limitu $A \in \Rr$, pak píšeme
$$
\lim_{x \to c}f(x) = A.
$$
\end{notation}

\begin{pozn}\label{R:limita-funkce} Nechť $c \in \Rr$, $A \in \Rr$ a $f$ je funkce.
%(a)
 Mohou nastat tyto případy:
\[
\lim_{x\to c}f(x)
\begin{cases}
\textup{existuje vlastní} &\textup{pokud}\ \lim_{x\to c}f(x)=A \in \R,\\
\textup{existuje nevlastní} &\textup{pokud} \ \lim_{x\to c}f(x)=A \in \{-\infty,\infty\},\\
\textup{neexistuje}.
\end{cases}
\]
%
%(b) Jestliže $c\in\R$ a $A\in \R$, pak $\lim_{x\to c}f(x)=A$ právě tehdy, když
%\[
%\forall \ve\in\R, \ \ve>0\ \exists\delta\in\R,\ \delta>0\ \forall x\in\R,\ |x-c|<\delta,\ x\neq c\colon |f(x)-A|<\ve.
%\]
%
%(c) Jestliže $c\in\R$, pak $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ právě tehdy, když
%\[
%\forall K\in\R\ \exists\delta\in\R,\ \delta>0\ \forall x\in\R,\ |x-c|<\delta,\ x\neq c\colon f(x)\geq K.
%\]
\end{pozn}

\begin{defin}
(a) Nechť $A \in \Rr$, $c \in \{-\infty\}\cup\R$. Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $c$ \emphdef{limitu zprava} rovnou $A$, jestliže
\[
\forall \ve \in \R, \ve > 0\,\exists \delta \in \R, \delta > 0 \,\forall x \in P_{+}(c,\delta)\colon f(x) \in B(A,\ve).
\]

(b) Nechť $A \in \Rr$, $c \in \R \cup \{\infty\}$. Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $c$ \emphdef{limitu zleva} rovnou $A$, jestliže
\[
\forall \ve \in \R, \ve > 0\,\exists \delta \in \R, \delta > 0 \,\forall x \in P_{-}(c,\delta)\colon f(x) \in B(A,\ve).
\]
\end{defin}

\begin{pozn}
Je-li $c\in\Rr$ a $f$ je funkce, potom $f$ má v~$c$ nejvýše jednu limitu zprava a nejvýše jednu limitu zleva.
\end{pozn}

\begin{notation}
Má-li funkce $f$ v bodě $c \in \Rr$ limitu zprava nebo zleva rovnou $A \in \Rr$, pak píšeme po řadě
\[
\lim_{x \to c_+}f(x) = A\quad \textup{nebo}\quad \lim_{x \to c_-}f(x) = A.
\]
\end{notation}

\begin{theorem}[vztah limity funkce a jednostranných limit]\label{T:jednostranna limita}
Funkce $f$ má v~bodě $c \in \R$ limitu $A\in\Rr$ právě tehdy,
když má v~bodě $c$ limitu zprava i~zleva a~hodnoty těchto jednostranných limit se rovnají~$A$.
\end{theorem}

\begin{defin}\label{D:spojitost-funkce-v-bode}
Nechť $c \in \R$. Řekneme, že funkce $f$ je \emphdef{spojitá} v bodě $c$, jestliže $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
Řekneme, že funkce $f$ je v bodě $c$ \emphdef{spojitá zprava} (\emphdef{zleva}), jestliže $\lim_{x \to c_+} f(x) = f(c)$ ($\lim_{x \to c_-} f(x) = f(c)$).
\end{defin}

\begin{pozn}
Nechť $c\in\R$ a nechť $f$ je funkce. Pak $f$ je spojitá v bodě $c$ právě tehdy, když
\[
\forall \varepsilon \in \R, \varepsilon > 0 \
\exists \delta \in \R, \delta > 0 \
\forall x \in \R:\ |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(c)| < \varepsilon.
\]
\end{pozn}

\begin{examples}\label{E:sign_a_afinni_funkce}
(a) Nechť $a\in\R$ a nechť pro každé $x\in \R$ platí $f(x)=a$. Funkci $f$ nazýváme \emphdef{konstantní} funkcí. Potom pro každé $c\in \Rr$ platí
\[
\lim_{x\to c} f(x)=a.
\]

(b) Definujme funkci
\[
\sgn(x) = \begin{cases}
 1 &\text{ pro $x > 0$,} \\
 0 &\text{ pro $x = 0$,} \\
 -1 &\text{ pro $x < 0$.}
\end{cases}
\]
Potom
\[
\lim_{x \to 0_+}\sgn x = 1 \quad\text{a}\quad \lim_{x \to 0_-} \sgn x = -1,
\]
a tedy $\lim_{x \to 0}\sgn x$ neexistuje. Funkce $\sgn$ je spojitá v každém bodě $x\in\R$, $x\neq0$, a v~bodě 0 je nespojitá.
\end{examples}

\section{Věty o limitách}

\begin{theorem}[Heineova věta]\label{T:Heine}
Nechť $c \in \Rr$, $A \in \Rr$ a funkce $f$ je definována na nějakém prstencovém okolí bodu $c$. Pak jsou následující dva výroky ekvivalentní.
\begin{itemize}
\item[(i)] Platí $\lim_{x \to c} f(x) = A$.

\item[(ii)] Pro každou posloupnost $\{x_n\}$ splňující $x_n \in D(f)$, $x_n \neq c$ pro všechna $n \in \N$ a $\lim_{n \to \infty}x_n = c$,
platí $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = A$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[Heineova věta pro spojitost]\label{T:Heineova-veta-pro-spojitost}
Nechť $c \in \R$ a funkce $f$ je definována na nějakém okolí bodu $c$. Pak jsou následující dva výroky ekvivalentní.
\begin{itemize}
\item[(i)] Funkce $f$ je spojitá v bodě $c$.

\item[(ii)] Pro každou posloupnost $\{x_n\}$ splňující $x_n \in D(f)$ pro všechna $n \in \N$ a $\lim_{n \to \infty}x_n = c$,
platí $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = f(c)$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\konecPrednasky{7.11.2017}

\begin{pozn}\label{R:heineova-veta-jednostranna-verze}
Věty~\ref{T:Heine} i~\ref{T:Heineova-veta-pro-spojitost} platí po odpovídající úpravě i pro jednostranné limity.
\end{pozn}

\begin{theorem}[aritmetika limit funkcí]\label{T:aritmetika limit funkcí}
Nechť $c \in \Rr$, $A \in \Rr$ a $B\in\Rr$. Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a platí $\lim_{x \to c}f(x) = A$ a $\lim_{x \to c} g(x) = B$. Potom
\begin{itemize}
\item[(a)] $\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = A + B$, je-li výraz na pravé straně definován,
\item[(b)] $\lim_{x \to c} (f(x)g(x)) = AB$, je-li výraz na pravé straně definován,
\item[(c)] $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB$, je-li výraz na pravé straně definován.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[spojitost a aritmetické operace]\label{T:aritmetika-limit-funkci-pro-spojitost}
Nechť $c \in \R$ a nechť jsou funkce $f$ a $g$ spojité v bodě $c$. Potom jsou funkce $f+g$ a $fg$ spojité v bodě $c$. Je-li navíc $g(c)\neq0$, pak také funkce $\frac fg$ je spojitá v bodě $c$.
\end{theorem}

\begin{defin}
Nechť $J \subset \R$ je nedegenerovaný interval (neboli obsahuje nekonečně mnoho bodů\index{interval!nedegenerovaný}).
Řekneme, že funkce $f\colon J \to \R$ je \emphdef{spojitá na intervalu $J$\index{funkce!spojitá!na intervalu}}, jestliže platí:
\begin{itemize}
\item $f$ je spojitá v každém vnitřním bodě $J$,

\item $f$ je spojitá zprava v levém krajním bodě intervalu $J$, pokud tento bod patří do~$J$,

\item $f$ je spojitá zleva v pravém krajním bodě intervalu $J$, pokud tento bod patří do~$J$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{theorem}[Spojitost element\'arn\'ich funkc\'i]Funkce $|\cdot|$, $\exp$, $\log$, $\sin$, $\cos$, $\tg$, $\cotg$, $\arcsin$, $\arccos$, $\arctg$ a $\arccotg$ jsou spojité na
sv\'ych defini\v{c}n\'ich oborech.
\end{theorem}

\begin{theorem}[limita složené funkce]\label{T:limita složené funkce}
Nechť $c,D,A \in \Rr$. Nechť funkce $f$ a $g$ splňují $\lim_{x\to c}g(x) = D$ a $\lim_{y \to D}f(y) = A$.
Předpokládejme, že je splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek:
\begin{enumerate}
\item[(P)] existuje $\eta > 0$ takové, že pro každé $x \in P(c,\eta)$ platí $g(x) \neq D$,

\item[(S)] funkce $f$ je spojitá v~bodě $D$.
\end{enumerate}
Potom platí
\[
\lim_{x \to c} (f \circ g)(x) = A.
\]
\end{theorem}

\begin{remarks}
(a) Je-li $D\in\{-\infty, \infty\}$, pak je podmínka (P) automaticky splněna. Naopak podmínka~(S) nemůže být splněna.

(b) Funkce $g$, která je na nějakém prstencovém okolí bodu $c$ ryze monotónní, splňuje podmínku~(P).
\end{remarks}

%\begin{example}
%Předpoklady ve Větě~\ref{T:limita složené funkce} jsou podstatné. Položme například
%\[
%f(x):=
%\begin{cases}
%1&\textup{pokud}\ x=4,\\
%0&\textup{pokud}\ x\in\R\setminus\{4\},
%\end{cases}
%\]
%a $g(x)=4$ pro všechna $x\in\R$. Potom platí $\lim_{x\to 0}g(x)=4$, $\lim_{y\to 4}f(y)=0$, ale $\lim_{x\to0}f(g(x))=1$. Příklad odpovídá hodnotám $c=0$, $D=4$ a $A=1$ ve Větě~\ref{T:limita složené funkce}. Funkce $g$ nesplňuje podmínku (P), protože pro každé $\eta \in \R$, $\eta > 0$, a každé $x \in P(c,\eta)$ platí $g(x)=D$. Funkce $f$ navíc není v bodě $D=4$ spojitá, takže není splněna ani podmínka (S).
%\end{example}

\konecPrednasky{9.11.2017}

\begin{theorem}[vlastní limita funkce a omezenost]\label{T:vlastní limita a omezenost}\index{limita!funkce!vztah k omezenosti}
Nechť funkce $f$ m\'a vlastn\'i limitu v bod\v{e} $c\in\Rr$. Pak existuje $\delta>0$, takové, že $f$ je na $P(c,\de)$ omezená.
\end{theorem}


\begin{theorem}[limita funkce a uspořádání]\label{T:limita-funkce-a-usporadani}
Nechť $c \in \Rr$ a nechť $f,g,h$ jsou funkce.
\begin{itemize}
\item[(a)] Nechť
\[
\lim_{x \to c} f(x) > \lim_{x \to c} g(x).
\]
Pak existuje $\de > 0$ takové, že platí
\[
\forall x \in P(c, \de)\colon f(x) > g(x).
\]

\item[(b)] Nechť existuje $\de > 0$ takové, že platí
\[
\forall x \in P(c, \de)\colon f(x) \le g(x).
\]
Nechť existuje $\lim_{x \to c} f(x)$ a~$\lim_{x \to c} g(x)$.
Potom platí
\[
\lim_{x \to c} f(x) \le \lim_{x \to c} g(x).
\]

\item[(c)] Nechť existuje $\delta > 0$ takové, že platí
\[
\forall x \in P(c,\delta)\colon f(x) \le h(x) \le g(x).
\]
Nech\v{t} $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x)$. Potom existuje rovněž $\lim_{x \to c} h(x)$ a v\v{s}echny t\v{r}i limity jsou si rovny.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{corollary}[limita \uv{omezen\'e kr\'at nulov\'e} funkce]Nechť $c \in \Rr$ a nechť $f,g$ jsou funkce. Pokud $\lim_{x \to c} f(x) = 0$ a $g$ je omezen\'a v okol\'i bodu $c$, pak $\lim_{x \to c} f(x)g(x) = 0$.
\end{corollary}

\begin{pozn}\label{R:usporadani-jednostranna-verze}
Uvedené věty platí po odpovídajících úpravách i pro jednostranné limity.
\end{pozn}

\begin{theorem}[limita monotónní funkce]\label{4:T:limita monotónní funkce}\index{limita!funkce!monotónní}
Nechť $a,b \in \Rr$, $a < b$.
Nechť funkce $f$ je monotónní na intervalu $(a,b)$.
Potom existují $\lim_{x\to a_+} f(x)$ a~$\lim_{x \to b_-} f(x)$, přičemž platí:
\begin{itemize}
\item Je-li $f$ na $(a,b)$ neklesající, pak
\[
\lim_{x\to a_+} f(x)=\inf f((a,b)) \quad \text{ a } \quad \lim_{x\to b_-} f(x)=\sup f((a,b)).
\]
\item Je-li $f$ na $(a,b)$ nerostoucí, pak
\[
\lim_{x\to a_+} f(x)=\sup f((a,b)) \quad \text{ a }  \quad \lim_{x\to b_-} f(x)=\inf f((a,b)).
\]
\end{itemize}
\end{theorem}

\section{Funkce spojité na intervalu}\label{4:S:Funkce spojité na intervalu}

\begin{theorem}[Bolzanova věta o~nabývání mezihodnot]\label{4:T:Bolzano} \index{věta!Bolzanova}
Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$ a $f(a) < f(b)$.
Pak pro každé $y \in (f(a), f(b))$ existuje $\xi \in (a,b)$ takové, že platí $f(\xi) = y$.
\end{theorem}

\begin{pozn}
Věta~\ref{4:T:Bolzano} platí obdobně v případě, kdy $f(a)>f(b)$.
\end{pozn}

\begin{theorem}[spojitý obraz intervalu]\label{4:T:zobrazení-intervalu-spojitou-funkcí}\index{obraz!intervalu}
Nechť $J$ je interval. Nechť funkce $f\colon J \to \R$ je spojitá na $J$. Potom je množina $f(J)$ interval.
\end{theorem}

\konecPrednasky{14.11.2017}

\begin{defin}
Nechť $M \subset \R$, $x \in M$ a funkce $f$ je definována alespoň na $M$.

\begin{list}{\labelitemi}{\leftmargin=0pt \itemindent=\parindent}
\item
Řekneme, že $f$ nabývá v~bodě $x$
\emphdef{maxima\index{maximum}} (respektive \emphdef{minima\index{minimum}}) \emphdef{na $M$}, jestliže platí
\[
\forall y \in M\colon f(y) \le f(x) \qquad(\text{respektive } \forall y \in M\colon f(y) \ge f(x)).
\]
Bod $x$ pak nazýváme \emphdef{bodem maxima\index{bod!maxima}} (respektive \emphdef{bodem minima\index{bod!minima}}) funkce $f$ na množině $M$.

\item
Řekneme, že $f$ nabývá v~bodě $x$ \emphdef{lokálního maxima\index{maximum!lokální}}
(respektive \emphdef{lokálního minima\index{minimum!lokální}}) \emphdef{vzhledem k~$M$}, jestliže existuje $\de > 0$ takové, že
\[
\forall y \in B(x,\de) \cap M\colon f(y) \le f(x) \qquad(\text{respektive } \forall y \in B(x,\de) \cap M\colon f(y) \ge f(x)).
\]
Bod $x$ pak nazýváme \emphdef{bodem lokálního maxima\index{bod!lokálního maxima}}
(respektive \emphdef{bodem lokálního minima\index{bod!lokálního minima}}) funkce $f$ na množině $M$.

\item
Řekneme, že $f$ nabývá v~bodě $x$ \emphdef{ostrého lokálního maxima\index{maximum!ostré lokální}}
(respektive \emphdef{ostrého lokálního minima\index{minimum!ostré lokální}}) \emphdef{vzhledem k~$M$}, jestliže existuje $\de > 0$ takové, že
\[
\forall y \in P(x,\de) \cap M\colon f(y) < f(x) \qquad (\text{respektive } \forall y \in P(x,\de) \cap M\colon f(y) > f(x)).
\]
Bod $x$ pak nazýváme \emphdef{bodem ostrého lokálního maxima\index{bod!ostrého lokálního maxima}}
(respektive \emphdef{ostrého lokálního minima}\index{bod!ostrého lokálního minima}) funkce $f$ na množině $M$.

\item
Bodem \emphdef{extrému} budeme rozumět bod maxima či minima. Bodem \emphdef{lokálního extrému} budeme rozumět bod lokálního maxima či lokálního minima.
\end{list}
\end{defin}

\begin{theorem}[existence extrémů]\label{4:T:spojitá funkce a extrémy}
Nechť $a,b \in \R, a < b$, a $f$ je spojitá funkce na intervalu $[a, b]$.
Potom $f$ nabývá na $[a, b]$ svého maxima i minima.
\end{theorem}

\begin{corollary}[omezenost spojité funkce na uzavřeném intervalu]\label{4:T:omezenost spojité funkce na uzavřeném intervalu}\index{funkce!omezená}
Nechť $a,b \in \R, a < b$, a $f$ je spojitá funkce na intervalu $[a, b]$. Potom je $f$ na $[a, b]$ omezená.
\end{corollary}

\begin{theorem}[spojitost inverzní funkce]\label{4:T:o inverzní funkci}\index{funkce!inverzní}
Nechť $f$ je spojitá a~rostoucí (klesající) funkce na intervalu $J$. Potom funkce $f^{-1}$ je spojitá a~rostoucí (klesající) na intervalu $f(J)$.
\end{theorem}

\chapter{Derivace}\label{CH:derivace-a-elementarni-funkce}

\section{Základní vlastnosti derivace}\label{S:der-zakl}

\begin{defin}\label{D:derivace}\index{derivace}
Nechť $a \in \R$ a $f$ je funkce. Jestliže existuje limita
\[
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h,
\]
pak tuto limitu nazýváme \emphdef{derivací funkce $f$ v bodě $a$} a značíme ji $f'(a)$. Obdobně definujeme \emphdef{derivaci zprava}\index{derivace!zprava} a \emphdef{derivaci zleva funkce $f$ v bodě $a$}\index{derivace!zleva} předpisy
\[
f'_+(a)=\lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}h \quad\text{a}\quad
f'_-(a)=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}h.
\]
\end{defin}

\begin{remarks}\label{R:derivace-uvodni-poznamky}
(a) Mohou nastat tyto případy:
\[
\text{derivace funkce $f$ v bodě $a$ }
\begin{cases}
 \text{ neexistuje, } \\
 \text{ existuje a je }
 {\begin{cases}
 \text{\emphdef{vlastní\index{derivace!vlastní}}, tj. je rovna reálnému číslu,} \\
 \text{\emphdef{nevlastní\index{derivace!nevlastní}}, tj. je rovna $\infty$ nebo $-\infty$.}
 \end{cases}}
\end{cases}
\]

(b) Platí
\[
f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a},
\]
má-li alespoň jedna ze stran rovnosti smysl. Obdobné rovnosti platí pro jednostranné derivace. Tvrzení plyne z věty o limitě složené funkce.

%(c) Z~existence $f'(a)$ (vlastní nebo nevlastní) plyne, že existuje okolí bodu~$a$, na němž je funkce~$f$ definovaná.
%Obdobné tvrzení platí pro jednostranné derivace.

(c) Derivace funkce~$f$ v~bodě $a \in \R$ existuje právě tehdy, když v~$a$ existuje derivace zprava i~zleva a~rovnají se.

%(e) Derivace reálné funkce v bodě je \uv{lokální pojem}. To znamená, že  jestliže se funkce $f$ a $g$ shodují na nějakém okolí bodu $a \in \R$ a existuje $f'(a)$, pak existuje i $g'(a)$ a platí $f'(a) = g'(a)$. Obdobné tvrzení platí pro jednostranné derivace.
\end{remarks}

\begin{pozn}
Má-li funkce $f\colon M \to \R$ na množině $M \subset \R$ vlastní derivaci v každém bodě $x \in M$,
pak zobrazení $f'\colon M \to \R$, které přiřadí bodu $x \in M$ derivaci $f'(x)$, je reálnou funkcí na $M$.
\end{pozn}

%\begin{examples}\label{EX:derivace-konstatni-funkce}
%
%(c) Nechť $f(x) = \abs{x}$, $x \in \R$. Pak $f_+'(0) = 1$, $f_-'(0) = -1$, a tedy $f'(0)$ neexistuje.
%
%(d) Nechť $f(x) = \sgn{x}$, $x\in\R$. Pak $f'(0) = \infty$.
%
%(e) Nechť
%\[
%f(x)=
%\begin{cases}
%0, &\textup{jestliže}\ x\in\R\setminus\{0\},\\
%1, &\textup{jestliže}\ x=0.
%\end{cases}
%\]
%Potom $f'_+(0)=-\infty$, $f'_-(0)=\infty$, a tedy $f'(0)$ neexistuje.
%\end{examples}

\begin{theorem}[vztah derivace a spojitosti]\label{T:derivace-spojitost}\index{věta!derivace a spojitost}
Nechť funkce $f$ má v bodě $a \in \R$ vlastní derivaci. Potom je $f$ v bodě $a$ spojitá.
\end{theorem}

\begin{pozn}\label{R:derivace-spojitost-jednostranne}
Tvrzení Věty~\ref{T:derivace-spojitost} platí po odpovídající úpravě i pro jednostranné derivace, tedy má-li funkce $f$ v bodě $a \in \R$ vlastní derivaci zprava (zleva), potom je $f$ v bodě $a$ zprava (zleva) spojitá.
\end{pozn}

\begin{theorem}[aritmetika derivací]\label{T:derivace-aritmetika}\index{věta!aritmetika!derivací}
Nechť $a\in\R$ a funkce $f$ a $g$ maj\'i v bod\v{e} $a$ vlastn\'i derivace. Potom plat\'i
\begin{itemize}
\item [(i)] $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$,

\item [(ii)] $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$,

\item [(iii)] je-li $g(a)\neq0$, pak
\[
\left(\frac fg\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)\sp2}.
\]
\end{itemize}
\end{theorem}

\konecPrednasky{16.11.2017}

\begin{theorem}[derivace složené funkce]\index{věta!derivace složené funkce} \label{T:derivace-slozene-funkce}
Nechť funkce $g$ m\'a vlastn\'i derivaci v bodě $a\in\R$, funkce $f$ má vlastn\'i derivaci v bodě $g(a)$. Pak
\[
(f\circ g)'(a) = f'(g(a))\cdot g'(a).
\]
\end{theorem}

%\begin{pozn}\label{R:der-slozproti}
%Předpoklad spojitosti vnitřní funkce ve Větě~\ref{T:derivace-slozene-funkce} nelze vynechat. Nechť
%\[
%f(y) = \abs{y},\quad y\in\R,\quad
%g(x) =
%\begin{cases}
%\sgn x,    & x \neq 0,\\
%-\frac12,  & x = 0,
%\end{cases}
%\]
%a body $a = 0$, $b = -\frac12$.
%Pak $(f\circ g)'(0)$ neexistuje, ačkoli je výraz $f'\left(g(0)\right)\cdot g'(0)$ definován.
%\end{pozn}

\begin{theorem}[derivace inverzní funkce]\label{T:der-inver}\index{věta!derivace inverzní funkce}
Nechť $f$ je  na intervalu $(a,b)$ spojitá a rostouc\'i (resp. klesaj\'ic\'i). Nech\v{t} funkce $f$ m\'a v bod\v{e} $x_0\in(a,b)$ derivaci $f'(x_0)$ vlastn\'i a r\r{u}znou od nuly. Pak m\'a funkce $f^{-1}$ derivaci v bod\v{e} $y_0 = f(x_0)$ a plat\'i rovnost
\[(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[nutná podmínka existence extrému]\label{T:sh-fermat}
Nechť $f$ je funkce. Je-li $a$ bodem lokálního extrému $f$, pak buď $f'(a)$ neexistuje nebo $f'(a)=0$.
\end{theorem}

\begin{prop}[Derivace element\'arn\'ich funkc\'i]
	\begin{itemize}
		\item[(a)] Nechť $c \in \R$ a $f(x) = c$, $x \in \R$. Pak pro každé $a \in \R$ platí $f'(a) = 0$.
		\item[(b)] Nechť $n \in \N$ a $f(x) = x^n, x \in \R$. Pak pro každé $a \in \R$ platí $f'(a) = na^{n-1}$.
		\item[(c)] Pro ka\v{z}d\'e $x\in\er$ plat\'i $\exp'(x) = \exp(x)$.
		\item[(d)] Pro ka\v{z}d\'e $x\in(0,\infty)$ plat\'i $\log'(x) = \frac{1}{x}$.
		\item[(e)] Pro ka\v{z}d\'e $x\in\er$ plat\'i $\sin'(x) = \cos(x)$ a $\cos'(x) = -\sin(x)$.
		\item[(f)] Pro ka\v{z}d\'e $x\in\dom(\tg)$ plat\'i $\tg'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ a pro ka\v{z}d\'e $x\in\dom(\cotg)$ plat\'i $\cotg'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)}$.
		\item[(g)] Pro ka\v{z}d\'e $x\in(-1,1)$ plat\'i $\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ a $\arccos'(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. D\'ale plat\'i $\arcsin'_+(-1) = \arcsin'_-(1)=\infty$ a $\arccos'_+(-1) = \arccos'_-(1)=- \infty$
		\item[(h)] Pro ka\v{z}d\'e $x\in\er$ plat\'i $\arctg'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ a $\arccotg'(x) = - \frac{1}{1+x^2}$.
	\end{itemize}
\end{prop}

\konecPrednasky{21.11.2017}

\section{Věty o střední hodnotě}\label{S:der-shodn}

\begin{theorem}[Rolleova věta]\label{T:Rolleova-veta-o-stredni-hodnote}\index{věta!Rolleova}
Nechť $a,b\in\R$, $a<b$, a $f\colon [a,b]\to \R$ je spojitá funkce. Je-li $f(a)=f(b)$ a $f$ má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$,
pak existuje $\xi\in (a,b)$ takové, že $f'(\xi)=0$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Lagrangeova věta]\label{T:Lagrangeova-veta-o-stredni-hodnote}\index{věta!Lagrangeova}
Nechť $a,b\in\R$, $a<b$, a $f\colon [a,b]\to \R$ je spojitá funkce, která má v každém bodě intervalu $(a,b)$ derivaci. Pak existuje $\xi\in (a,b)$ takové, že
\[
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah derivace a monotonie]\label{T:dusledek-Lagrangeovy-vety}
Nechť $I$ je interval a $f $ je spojitá funkce na $I$. Nechť $\Int I$ označuje množinu všech vnitřních bodů intervalu $I$. Nechť existuje $f'(x)$ pro každé $x\in\Int I$. Potom
\begin{itemize}
\item[\textup{(a)}] je-li $f'(x)>0$ pro každé $x\in\Int I$, pak je $f$ rostoucí na $I$;
\item[\textup{(b)}] je-li $f'(x)\geq 0$ pro každé $x\in\Int I$, pak je $f$ neklesající na $I$;
\item[\textup{(c)}] je-li $f'(x)<0$ pro každé $x\in\Int I$, pak je $f$ klesající na $I$;
\item[\textup{(d)}] je-li $f'(x)\leq0$ pro každé $x\in\Int I$, pak je $f$ nerostoucí na $I$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[o limitě derivací]\label{T:derivace-limita}
Nechť reálná funkce $f$ je spojitá zprava v bodě $a\in \R$ a existuje $\lim_{x\to a_+} f'(x)$.
Pak existuje $f_+'(a)$ a platí
\[
f_+'(a)=\lim_{x\to a_+} f'(x).
\]
\end{theorem}

\begin{pozn}
Tvrzení Věty~\ref{T:derivace-limita} platí i pro derivaci zleva (a tedy i pro oboustrannou derivaci).
\end{pozn}

%\begin{pozn}\label{R:limita-derivaci}
%Předpoklad spojitosti zprava ve Větě~\ref{T:derivace-limita} nelze vynechat. Například pro funkci $f(x)=\sgn x$, $x\in\R$, platí
%$\lim_{x\to 0_+} f'(x)=\lim_{x\to 0_+} 0 = 0$, ale $f_+'(0)=\infty$.
%\end{pozn}

\begin{theorem}[Cauchyova věta]\label{T:Cauchyova-veta-o-stredni-hodnote}\index{věta!Cauchyova}
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce spojité na intervalu $[a,b]\subset\R$, nechť $f$ má v každém bodě $x\in(a,b)$ derivaci
a nechť $g$ má v každém bodě $x\in(a,b)$ vlastní nenulovou derivaci. Potom $g(a)\neq g(b)$ a existuje $\xi\in(a,b)$ takové, že
\[
\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.
\]
\end{theorem}

\konecPrednasky{23.11.2017}
\konecPrednasky{28.11.2017}

\begin{theorem}[l'Hospitalova pravidla]\label{T:lh-lh}
Nechť $a \in \R \cup \{-\infty\}$, $f,g$ jsou reálné funkce a existuje
$\lim_{x\to a+}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
Jestliže navíc platí
\begin{itemize}
\item [(a)] $\lim_{x\to a+}f(x) = \lim_{x\to a+}g(x)=0$, nebo

\item [(b)] $\lim_{x\to a+}|g(x)| = \infty$,
\end{itemize}
potom
\[
\lim_{x\to a+}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a+}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
\]
\end{theorem}

\begin{pozn}\label{R:lhop}
%\item[(a)]
Tvrzení Věty~\ref{T:lh-lh} platí i pro limitu zleva i pro oboustranné limity.
%\item[(b)] Předpoklady Věty~\ref{T:lh-lh} nelze vynechat, například
%\[
%\lim_{x\to0} \frac{2x+1}{3x+1}\neq \frac23.
%\]
%\item[(c)] Obecně není pravda, že z existence $\lim_{x\to a_+}\frac{f(x)}{g(x)}$ můžeme něco usoudit o $\lim_{x\to a_+}\frac{f'(x)}{g'(x)}$. Například
%\[
%\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2}{x+\sin x}=-\infty,
%\]
%ale
%\[
%\lim_{x\to -\infty }\frac{2x}{1+\cos x}
%\]
%neexistuje, neboť funkce $\frac{2x}{1+\cos x}$ není definována na žádném okolí $-\infty$.
%\item[(d)] L'Hospitalovo pravidlo nemusí být vždy nejvhodnější technikou k výpočtu limity. Například pro limitu
%\[
%\lim_{x\to 0}\frac{e\sp{-\frac 1x}}{x}
%\]
%se nehodí, neboť derivováním vznikne složitější výraz.
\end{pozn}

\section{Konvexní a konkávní funkce, inflexní body}

\begin{defin} Nechť $I$ je interval a nechť $f$ je reálná funkce definovaná alespoň na $I$. Řekneme, že
$f$ je
\begin{itemize}
\item \emphdef{konvexní} na $I$, jestliže
\[
\forall x,y \in I\  \forall \lambda \in [0,1]:\ f(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y),
\]

\item \emphdef{konkávní} na $I$, jestliže
\[
\forall x,y \in I\ \forall \lambda \in [0,1]:\ f(\lambda x + (1-\lambda) y) \geq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y),
\]

\item \emphdef{ryze konvexní} na $I$, jestliže
\[
\forall x,y \in I, x \neq y\ \forall \lambda \in (0,1):\ f(\lambda x+(1-\lambda) y)< \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y),
\]

\item \emphdef{ryze konkávní} na $I$, jestliže
\[
\forall x,y \in I, x \neq y \ \forall \lambda \in (0,1):\ f(\lambda x+(1-\lambda) y)> \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y).
\]
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{lemma}[ekvivalentní podmínka pro konvexitu]\label{L:kon-ekvi}
Nechť $I$ je interval a nechť $f\colon I\to \R$. Pak funkce $f$ je konvexn\'i, pr\'av\v{e} kdy\v{z}
\[ \forall x_1,x_2,x_3 \in I,\ x_1<x_2<x_3: \ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.
\]
Analogick\'a charakterizace platí pro konkávní, ryze konvexní a ryze konkávní funkce.
\end{lemma}

%\begin{theorem}[vztah konvexity a existence jednostranných derivací]
%\label{T:konv-der}
%Nechť $I$ je nedegenerovaný interval, $f$ je konvexní funkce na $I$ a $a\in\Int I$. Potom existují vlastní jednostranné derivace $f'_+(a)$ a $f'_-(a)$. Navíc platí $f'_-(a)\leq f'_+(a)$.
%\end{theorem}
%
%\begin{theorem}[vztah konvexity a spojitosti]\label{T:kon-spoj}
%Nechť $I$ je interval, $f\colon I\to\R$, $a\in\Int I$ a nechť $f$ je konvexní na $I$. Potom je $f$ spojitá v $a$.
%\end{theorem}

\begin{defin} Nechť $n\in\N$ a $a\in\R$ a nechť funkce $f$ má vlastní $n$-tou derivaci na okolí bodu $a$. Pak \emphdef{$(n+1)$-ní derivací} funkce $f$ v bodě $a$ budeme rozumět
$$
f\sp{(n+1)}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f\sp{(n)}(a+h)-f\sp{(n)}(a)}{h}.
$$
Druhou derivaci funkce $f$ značíme symbolem $f''$.
\end{defin}


\begin{theorem}[vztah druhé derivace a konvexity] \label{T:kon-konder}
Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$, a $f\colon (a,b)\to\R$. Nechť $f$ má vlastní druhou derivaci v každém bodě $x\in(a,b)$.
\begin{itemize}
\item[\textup{(a)}] Je-li $f''(x)>0$ pro každé $x\in(a,b)$, pak je $f$ ryze konvexní na $(a,b)$;
\item[\textup{(b)}] je-li $f''(x)\geq0$ pro každé $x\in(a,b)$, pak je $f$ konvexní na $(a,b)$;
\item[\textup{(c)}] je-li $f''(x)<0$ pro každé $x\in(a,b)$, pak je $f$ ryze konkávní na $(a,b)$;
\item[\textup{(d)}] je-li $f''(x)\leq0$ pro každé $x\in(a,b)$, pak je $f$ konkávní na $(a,b)$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{defin}\label{D:tecna}
Nechť $f$ je reálná funkce a $a\in\R$. Jestliže existuje vlastní $f'(a)$, pak \emphdef{tečnou ke grafu funkce $f$ v bodě $a$} nazýváme afinní funkci
\[
x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a),\quad x\in\R.
\]
\end{defin}

\begin{defin}\label{D:kon-inflexe}
Nechť $f$ je reálná funkce a $a\in\R$.
Řekneme, že $f$ má v bodě $a$ \emphdef{inflexi} (neboli že $a$ je \emphdef{inflexním bodem} funkce $f$), jestliže existuje vlastní $f'(a)$ a existuje $\de \in \R, \de > 0$, takové, že buď
\begin{align*}
\forall x \in P_-(a,\de)&:\ f(x) > f(a)+f'(a)(x-a) \qquad \textup{a}\\
\forall x \in P_+(a,\de)&:\ f(x) < f(a)+f'(a)(x-a),
\end{align*}
nebo
\begin{align*}
\forall x \in P_-(a,\de)&:\ f(x) < f(a) + f'(a)(x-a) \qquad\textup{a}\\
\forall x \in P_+(a,\de)&:\ f(x) > f(a) + f'(a)(x-a).
\end{align*}
\end{defin}

\begin{theorem}[nutná podmínka pro inflexi]\label{T:kon-ninfl}
Nechť $a$ je inflexním bodem funkce $f$. Potom $f''(a)$ neexistuje, nebo $f''(a)=0$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[postačující podmínka pro inflexi] \label{T:kon-pinfl}
Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$, $f\colon(a,b)\to\R$, $f$ má spojitou první derivaci na $(a,b)$ a $z\in(a,b)$. Nechť platí
\[
\forall x \in (a,z):\ f''(x) > 0 \quad \textup{a} \quad \forall x \in (z,b):\ f''(x) < 0.
\]
Pak $f$ má inflexi v bodě $z$.
\end{theorem}

\begin{pozn}
Obdobné tvrzení jako ve Větě~\ref{T:kon-pinfl} platí i v případě, kdy platí
\[
\forall x \in (a,z):\ f''(x) < 0, \quad \textup{a} \quad \forall x \in (z,b):\ f''(x) > 0.
\]
\end{pozn}

\begin{defin}\label{D:kon-asumpt}\index{asymptota}
Nechť $f$ je reálná funkce definovaná na nějakém okolí bodu $\infty$. Nechť $a,b\in\R$. Řekneme, že $f$ má v bodě $\infty$ \emphdef{asymptotu} $ax+b$, jestliže
\[
\lim_{x\to\infty} \bigl(f(x)-ax-b\bigr) = 0.
\]
Obdobně definujeme asymptotu v bodě $-\infty$.
\end{defin}

\begin{theorem}[tvar asymptoty]\label{T:kon-asympt}
Nechť $a,b\in\R$. Pak má funkce $f$ v bodě $\infty$ asymptotu $ax+b$ právě tehdy, když
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a\quad\text{a}\quad \lim_{x\to\infty}\left(f(x)-ax\right)=b.
\]
Obdobné tvrzení platí pro asymptotu v bodě $-\infty$.
\end{theorem}

%\begin{examples}
%(a) Funkce $e\sp x+1$ má v $-\infty$ asymptotu $x \mapsto 1$ (konstantní) a v bodě $\infty$ asymptotu nemá, neboť $\lim_{x\to\infty}\frac{e\sp x+1}x$ je nevlastní.
%
%(b) Funkce $f(x)=\sqrt{2x\sp 2+x+1}$ má v bodě $\infty$ asymptotu $x\mapsto \sqrt 2x+\frac1{2\sqrt 2}$.
%
%(c) Funkce tangens nemá v bodě $\infty$ asymptotu, protože není definovaná na žádném jeho okolí.
%
%(d) Funkce sinus nemá v bodě $\infty$ asymptotu. Platí $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$, avšak $\lim_{x\to\infty} (f(x)-0\cdot x)$ neexistuje.
%\end{examples}
\konecPrednasky{1.12.2017}

\begin{pozn}
Při \textit{vyšetřování průběhu funkce} získáváme zejména následující informace:
\begin{itemize}
\item definiční obor, spojitost, limity v krajních bodech a limity v bodech nespojitosti,
\item eventuální speciální vlastnosti, např. sudost, lichost nebo periodicita,
\item definiční obor derivace, derivace a eventuální jednostranné derivace,
\item intervaly monotonie a extrémy (lokální i globální),
\item obor hodnot,
\item definiční obor druhé derivace, druhá derivace, konvexita a konkávnost, inflexní body,
\item asymptoty,
\item náčrt grafu funkce.
\end{itemize}
\end{pozn}

\konecPrednasky{5.12.2017}
\konecPrednasky{7.12.2017}

\chapter{Číselné řady}

\section{Základní pojmy}

\begin{defin}\label{3:D:nekonecna-rada}
Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost reálných čísel. Pro $m \in \N$ položme
\[
s_m = a_1 + a_2 + \dotsb + a_m.
\]
Číslo $s_m$ nazýváme \emphdef{$m$-tým částečným součtem} řady $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$, přičemž číslo $a_n$ je \emphdef{$n$-tým členem} řady $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$. \emphdef{Součet} nekonečné řady $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$ je limita posloupnosti $\{s_m\}$, pokud tato limita existuje.
Součet řady budeme značit symbolem $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$. Řekneme, že řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$ je \emphdef{konvergentní}, je-li jejím součtem reálné číslo. Řekneme, že řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$ je \emphdef{divergentní}, jestliže $\lim_{m\to\infty}s_m$ neexistuje nebo je nevlastní. Pro jemnější rozlišení mezi dvěma různými typy divergentních řad budeme někdy říkat, že řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$ \emphdef{diverguje k $\infty$}, respektive \emphdef{diverguje k $-\infty$}, jestliže $\lim_{m\to\infty}s_m=\infty$, respektive $\lim_{m\to\infty}s_m=-\infty$, a že že řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$ \emphdef{diverguje (osciluje)}, jestliže $\lim_{m\to\infty}s_m$ neexistuje.
\end{defin}

%\begin{example}\label{3:EX:rada-oscilujici}
%Řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}(-1)^n$ diverguje (osciluje).
%\end{example}
%
%\begin{example}\label{3:EX:rada-oscilujici}
%Řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}\frac1n$ diverguje.
%\end{example}
%
%\begin{example}\label{3:EX:rada-oscilujici}
%Řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}\frac{1}{n\sp2}$ konverguje.
%\end{example}
%
%\begin{example}\label{3:EX:rada-oscilujici}
%Pro $q\in\R$ řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}q^n$ konverguje právě tehdy, když $|q|<1$.
%\end{example}

\begin{pozn}\label{3:R:rady-zmena-konecne-mnoha-clenu}
Změna konečně mnoha členů nekonečné řady nemá vliv na její konvergenci či divergenci.
\end{pozn}

\begin{theorem}[nutná podmínka konvergence řady]\label{3:T:nutná podmínka konvergence řady}
Nechť řada $\sum_{n=1}\sp{\infty}a_n$ konverguje. Potom $\lim a_n = 0$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Bolzanova--Cauchyova podmínka konvergence řady]\label{3:T:rady BC}
Nechť $\sum_{n=1}\sp{\infty} a_n$ je řada. Pak je řada $\sum_{n=1}\sp{\infty} a_n$ konvergentní právě tehdy, když platí výrok
\[
\forall \ve>0\ \exists n_0\in \N\ \forall m,n\in\N, m > n\geq n_0\colon  \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\ve.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[řady a aritmetické operace]\label{2:T:rady-a-aritmeticke-operace}
Nechť $\{a_n\}$ a $\{b_n\}$ jsou posloupnosti re\'aln\'ych \v{c}\'isel a $\alpha\in\er$. Potom n\'asleduj\'ic\'i rovnosti plat\'i, pokud maj\'i smysl prav\'e strany:
\[
\sum_{n=1}\sp{\infty} (\alpha a_n)=\alpha  \sum_{n=1}\sp{\infty} a_n,\quad
\sum_{n=1}\sp{\infty} (a_n+b_n)=\sum_{n=1}\sp{\infty} a_n+\sum_{n=1}\sp{\infty} b_n.
\]
\end{theorem}

\section{Řady s nezápornými členy}

\begin{pozn}\label{3:R:nezaporna_rada}
Nechť $\ser n1 a_n$ je řada s nezápornými členy. Potom je buď $\ser n1 a_n$ konvergentní nebo diverguje k $\infty$. Jinými slovy, řada s nezápornými členy má vždy součet, který může být konečný nebo nekonečný. To plyne z věty o limitě monotónní posloupnosti a pozorování, že posloupnost částečných součtů řady $\ser n1 a_n$ je neklesající.
\end{pozn}

\konecPrednasky{12.12.2017}

\begin{theorem}[srovnávací kritérium]\label{3:T:rady srovnani}
Nechť $\ser n1 a_n$ a $\ser n1 b_n$ jsou řady s nezápornými členy a nechť pro skoro v\v{s}echna $n \in \en$ platí $a_n\le b_n$.
\begin{itemize}
\item [(a)] Jestliže řada $\ser n1 b_n$ konverguje, pak konverguje i řada  $\ser n1 a_n$.
\item [(b)] Jestliže řada $\ser n1 a_n$ diverguje, pak diverguje i řada $\ser n1 b_n$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[limitní srovnávací kritérium]\label{3:T:rady limitni srovnani}
Nechť $\ser n1 a_n$ a $\ser n1 b_n$ jsou řady s nezápornými členy a nechť existuje $\lim \frac{a_n}{b_n}$. Označme $A = \lim \frac{a_n}{b_n}$.
\begin{itemize}
\item [(a)] Jestliže je $A\in (0,\infty)$, pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje právě tehdy, když konverguje řada $\ser n1 b_n$.
\item [(b)] Jestliže je $A=0$ a řada $\ser n1 b_n$ konverguje, pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje.
\item [(c)] Jestliže je $A=\infty$ a řada $\ser n1 a_n$ konverguje, pak řada $\ser n1 b_n$ konverguje.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[Cauchyovo odmocninové kritérium]\label{3:T:Cauchyovo odmocninové kritérium}\index{kritérium!Cauchyovo odmocninové}
Nechť $\ser n1 a_n$ je řada s nezápornými členy.
\begin{itemize}
%\item [(a)] Jestliže platí
%\[
%\exists q\in (0,1)\ \exists n_0\in\N\ \forall n\in\N,\ n\ge n_0\colon  \sqrt[n]{a_n}\le q,
%\]
%pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje.
%\item [(b)] Jestliže $\limsup \sqrt[n]{a_n} < 1$, pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje.
\item [(a)] Jestliže $\lim \sqrt[n]{a_n} < 1$, pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje.
%\item [(d)] Jestliže $\limsup \sqrt[n]{a_n} > 1$, pak řada $\ser n1 a_n$ diverguje.
\item [(b)] Jestliže $\lim \sqrt[n]{a_n} > 1$, pak řada $\ser n1 a_n$ diverguje.
\end{itemize}
\end{theorem}

%\begin{pozn}
%Jestliže $\lim \sqrt[n]{a_n} = 1$, pak nelze na základě Cauchyova kritéria o konvergenci či divergenci řady rozhodnout.
%Například řada $\ser n1 \frac{1}{n^2}$ konverguje a řada $\ser n1 \frac 1n$ diverguje, ale $\lim \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \lim \sqrt[n]{\frac{1}{n^2}} = 1$.
%\end{pozn}

\begin{theorem}[d'Alembertovo podílové kritérium]\label{3:T:dalembert}\index{kritérium!d'Alembertovo podílové}
Nechť $\ser n1 a_n$ je řada s~kladnými členy.
\begin{itemize}
%\item [(a)] Jestliže platí
%\[
%\exists q\in(0,1)\ \exists n_0\in\N\ \forall n\in\N,\ n\ge n_0\colon  \frac{a_{n+1}}{a_n}\le q,
%\]
%pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje.
%\item [(b)] Jestliže  $\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje.
\item [(a)] Jestliže  $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, pak řada $\ser n1 a_n$ konverguje.
\item [(b)] Jestliže  $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$, pak řada $\ser n1 a_n$ diverguje.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[kondenzační kritérium]
\label{3:T:kondenzacni kriterium}
Nechť $\{a_n\}$ je nerostoucí posloupnost nezáporných reálných čísel.  Pak řada  $\ser n1 a_n$ konverguje právě tehdy,
když konverguje řada  $\ser n0 2^n a_{2\sp n}$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o konvergenci řady $\ser n1 \frac{1}{n^\alpha}$]
\label{3:T:nalpha}
Řada $\ser n1 \frac{1}{n^\alpha}$, kde $\alpha\in\R$, konverguje právě tehdy, když $\alpha>1$.
\end{theorem}

\konecPrednasky{14.12.2017}

\section{Řady s obecnými členy}

\begin{theorem}[Leibniz]
\label{3:T:Leibniz}
Nechť $\{b_n\}$ je monotónní posloupnost reálných čísel splňující $\lim b_n=0$. Pak řada $\ser n1 (-1)^n b_n$ konverguje.
\end{theorem}

\konecPrednasky{19.12.2017}

\begin{lemma}[Abelova parciální sumace]\label{3:L:Abel}
Nechť $m \in \N$ a $a_1,\dots,a_m$, $b_1,\dots,b_m$ jsou reálná čísla.
\begin{itemize}
\item [(a)] Nechť $n\in\N$, $n \le m$, a $\sigma_k=\sum_{j=n}^k a_j$, $k=n,\dots,m$. Pak platí
\begin{equation}
\label{3:E:abel0}
\sum_{j=n}^m a_j b_j=\sum_{j=n}^{m-1}\sigma_j(b_j-b_{j+1})+\sigma_mb_m.
\end{equation}
\item [(b)] Označme $s_k=\sum_{j=1}^k a_j$, $k=0,\dots,m$. Pak
pro každé $n\in\N$, $n \le m$, platí
\begin{equation}
\label{3:E:abel1}
\sum_{j=n}^m a_j b_j=-s_{n-1}b_n+\sum_{j=n}^{m-1} s_j(b_j-b_{j+1})+s_mb_m.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{lemma}

\begin{theorem}[Abelovo-Dirichletovo kritérium]
\label{3:T:Abel-Dirichlet}
Nechť $\{a_n\}$ a $\{b_n\}$ jsou posloupnosti reálných čísel, přičemž $\{b_n\}$ je monotónní.
Nechť je navíc splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek:
\begin{itemize}
\item [(A)] posloupnost $\{b_n\}$ je omezená a řada $\ser n1 a_n$ konverguje,
\item [(D)] $\lim b_n=0$ a posloupnost částečných součtů řady $\ser n1 a_n$ je omezená.
\end{itemize}
Pak řada $\ser n1 a_n b_n$ konverguje.
\end{theorem}

\section{Absolutní konvergence řad}

\begin{defin}
Řekneme, že řada $\ser n1 a_n$ je \emphdef{absolutně konvergentní}, jestliže je řada $\ser n1 \abs{a_n}$ konvergentní.
Je-li řada $\ser n1 a_n$ konvergentní, ale není absolutně konvergentní, říkáme, že je \emphdef{neabsolutně konvergentní}.
\end{defin}

\begin{theorem}[vztah absolutní konvergence řady a konvergence řady]\label{3:T:vztah-absolutni-a-neabsolutni-konvergence}
Je-li řada $\ser n1 a_n$ absolutně konvergentní, pak je i konvergentní.
\end{theorem}

\begin{pozn}Rozd\'il mezi absolutn\'i a neabsolutn\'i konvergenc\'i ilustruj\'i n\'asleduj\'ic\'i dva fakty:
\begin{itemize}
	\item Pokud je $\ser n1 a_n$ absolutn\v{e} konvergentn\'i a $\pi:\en\to\en$ je libovoln\'a bijekce, pak $\ser n1 a_{\pi(n)} = \ser n1 a_n$.\\ (Tj. nez\'avis\'i na tom, v jak\'em po\v{r}ad\'i jednotliv\'e \v{c}leny s\v{c}\'it\'ame.)
	\item Pokud $\ser n1 a_n$ nen\'i absolutn\v{e} konvergentn\'i, pak pro ka\v{z}d\'e $r\in\Rr$ najdeme bijekci $\pi:\en\to\en$ takovou, \v{z}e $\ser n1 a_{\pi(n)} = r$.\\ (Tj. velmi siln\v{e} z\'avis\'i na tom, v jak\'em po\v{r}ad\'i jednotliv\'e \v{c}leny s\v{c}\'it\'ame.)
\end{itemize}
\end{pozn}

\konecPrednasky{21.12.2017}

\chapter{Taylor\r{u}v polynom}

\begin{defin}
Nechť $f$ je funkce, $n\in\N$, $a \in \R$ a existuje vlastní $f\sp{(n)}(a)$. Pak polynom
$$
T_n^{f,a}(x)  = f(a) + f'(a)(x-a) + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n
$$
nazýváme \textbf{Taylorovým polynomem řádu $n$ funkce $f$ v bodě $a$}.
\end{defin}

\begin{convention}
V dalším textu budeme symbol tvaru $(x-a)^0$ chápat jako~$1$, a to i tehdy, jestliže $x=a$. Symbolem $f\sp{(0)}$ (tedy \uv{nultou derivací} funkce $f$) budeme rozumět samotnou funkci $f$.
\end{convention}

\begin{theorem}[Charakterizace Taylorova polynomu]\label{T:peanuv-tvar-zbytku}
Nechť $n \in \N$, $a \in \R$ a nechť má funkce~$f$ v~bodě~$a$ vlastní~$n$-tou derivaci. Potom
\begin{itemize}
	\item[(a)] Polynom $T^{f,a}_n(x)$ je jedin\'y polynom stupn\v{e} nejv\'y\v{s}e $n$ spl\v{n}uj\'ic\'i
		\[
		\lim_{x \to a}\frac{f(x) - T^{f,a}_n(x)}{(x-a)^n} = 0.
		\]
	\item[(b)] Polynom $P(x) = T^{f,a}_n(x)$ je jedin\'y polynom stupn\v{e} nejv\'y\v{s}e $n$ takov\'y, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $i\in\{0\ldots n\}$ plat\'i $f^{(i)}(a) = P^{(i)}(a)$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{corollary}Nechť $n \in \N$, $a \in \R$ a nechť má funkce~$f$ v~bodě~$a$ vlastní~$n$-tou derivaci. Potom
	\[f(x) = T^{f,a}_n(x) + \omega(x)(x-a)^n,\]
	kde $\lim_{x \to a}\omega(x) = 0$.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Lagrangeův tvar zbytku]\label{T:lagrangeuv-tvar-zbytku}
Nechť $n\in\N$ a nechť $a,x \in \R$, $a < x$. Předpokládejme, že funkce $f$ má v každém bodě intervalu $[a,x]$ vlastní derivaci řádu $(n+1)$. Pak existuje $\xi \in (a,x)$ takové, že
$$
f(x) - T_n^{f,a}(x)  = \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}.
$$
\end{theorem}

\begin{pozn}
Věta~\ref{T:lagrangeuv-tvar-zbytku} platí i v případě $x<a$.
\end{pozn}

\begin{corollary}Nechť $n \in \N$, $a \in \R$, $r > 0$ a nechť má funkce~$f$ v každém bodě intervalu $(a-r,a+r)$ vlastní derivaci řádu $(n+1)$. Pak
	\[
	\forall x\in (a-r,a+r)\colon\quad |f(x) - T^{f,a}_n(x)|\leq \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}\sup_{|y-a|<r}|f^{(n+1)}(y)|.
	\]	
\end{corollary}

\begin{corollary}Nechť $a \in \R$, $r > 0$ a nechť má funkce~$f$ v každém bodě intervalu $(a-r,a+r)$ vlastní derivaci řádu $n$ pro ka\v{z}d\'e $n\in\en$. \at existuje konstanta $K > 0$ takov\'a, \v{z}e $\sup_{|y-a|<r}|f^{(n+1)}(y)|\leq K^{n+1}$ pro $n\in\en$. Pak plat\'i:
	\begin{itemize}
		\item[(a)] Pro ka\v{z}d\'e $\varepsilon > 0$ existuje $n_0$ tak, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e p\v{r}irozen\'e \v{c}\'islo $n\geq n_0$ plat\'i
			\[
			\forall x\in (a-r,a+r)\colon \quad |f(x) - T^{f,a}_n(x)|\leq \varepsilon.
			\]
		\item[(b)] \[
						\forall x\in (a-r,a+r)\colon\quad f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.
					\]
	\end{itemize}
\end{corollary}

\begin{defin}
Nechť $f$ je funkce, $a \in \R$ a $f^{(n)}(a) \in \R$ pro každé $n \in \N$. Potom řadu
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
nazýváme \textbf{Taylorovou řadou funkce $f$ o středu $a$}. Ve speciálním případě $a = 0$ mluvíme o \textbf{Maclaurinově řadě}.
\end{defin}

\begin{theorem}[Taylorovy řady elementárních funkcí]
Platí (například) následující vztahy mezi elementárními funkcemi a jejich Taylorovými řadami (středem Taylorovy řady je ve všech případech bod $a=0$):
\begin{align*}
&\textup{(a)}\forall x\in\er\colon\quad \exp x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \\
&\textup{(b)}\forall x\in\er\colon\quad \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1},   \\
&\textup{(c)}\forall x\in\er\colon\quad \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},  \\
&\textup{(d)}\forall x\in (-1,1]\colon\quad \log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n,  \\
\end{align*}
\end{theorem}

\konecPrednasky{4.1.2018}
(na poslednich dvou prednaskach budeme pocitat priklady, nova latka se probirat jiz nebude)

\end{document}