\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou�it� n�kter�ch �esk�ch typografick�ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven� dan� velikosti okraj�
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{remarks}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{Úmluva}
\newtheorem*{example}{Příklad}
\newtheorem*{examples}{Příklady}
\newtheorem*{exercise}{Cvičení}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\M{\mathfrak{M}}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\period{\mathcal{P}([0,2\pi])}
\newcommand\nint{(N)\int}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dt {\, \mathrm{d} t}
\def \dmu {\, \mathrm{d} \mu}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\Int{\operatorname{Int}}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\emphdef[1]{\emph{#1}}
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~přednášky (#1)}
	\bigskip}

\title{Přednáška - Kalkulus 3, MFF}  % tyto dv� polo�ky jsou zde v podstat� form�ln�, ve skute�nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
%\konecPrednasky{0.0.2017}
\chapter{Posloupnosti a řady funkcí}

\section{Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí}

\begin{defin}
 Nechť $E$ je množina, $f:E\to\er$ je funkce a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\er$ funkce. Řekneme, že posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ \emphdef{konverguje bodově na $E$} k funkci $f$, pokud pro každé $x\in E$ platí $f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)$. Značíme $f_n\to f$.
 
 Řekneme, že posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ \emphdef{konverguje stejnoměrně na $E$} k funkci $f$, pokud
 \[\forall\varepsilon > 0\;\exists k\in\en\;\forall x\in E\; \forall n\geq k:\quad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.\]
 Značíme $f_n\rightrightarrows f$.
\end{defin}

\begin{defin}
  Nechť $E$ je množina, $f:E\to\er$ je funkce a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\er$ funkce. Řekneme, že \emphdef{$\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje bodově na $E$} k funkci $f$, pokud posloupnost částečných součtů $\{\sum_{j=1}^N f_j\}_{N=1}^\infty$ konverguje bodově na $E$ k funkci $f$.
  
  Řekneme, že \emphdef{řada $\sum_{n=1}^\infty f_n$ konverguje stejnoměrně na $E$} k funkci $f$, pokud posloupnost částečných součtů $\{\sum_{n=1}^N f_n\}_{N=1}^\infty$ konverguje stejnoměrně k $f$. Značíme $\sum_{n=1}^\infty f_n\rightrightarrows f$.
\end{defin}

\begin{fact}
 Stejnoměrně konvergentní posloupnost (resp. řada) funkcí je bodově konvergentní.
\end{fact}

\begin{prop}[Kritérium stejnoměrné konvergence]
 Nechť $E$ je množina, $f:E\to\er$ funkce a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\er$ funkce. Pro každé $x\in E$ označme $\sigma_n:=\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|$. Pak $f_n\rightrightarrows f$ právě když $\lim_{n\to\infty} \sigma_n = 0$.
\end{prop}

\begin{lemma}[BC podmnínka pro stejnoměrnou konvergenci]
 Nechť $E$ je množina a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\er$ funkce. Pak $f_n\rightrightarrows$ právě když platí
 \[\forall\varepsilon > 0\; \exists n_0\; \forall n\geq n_0\; \forall x\in E:\quad |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\]
\end{lemma}


\begin{prop}[Weierstrassovo kritérium, M-test]
  Nechť $\sum_{n=1}^\infty f_n$ je řada reálných funkcí definovaných na neprázdné množině $E$. Označme $\sigma_n:=\sup_{x\in E} |f_n(x)|$. Jestliže $\sum_{n=1}^\infty \sigma_n < \infty$, pak $\sum_{n=1}^\infty f_n\rightrightarrows $ na $E$. 
\end{prop}

\begin{prop}[Zachování spojitosti]
 Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdné podmnožině $E\subset \er$ a $f:E\to\er$ je funkce.
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pokud $f_n\rightrightarrows f$ na $E$, pak $f$ je spojitá.
  \item Pokud $\sum_{n=1}^\infty f_n \rightrightarrows f$ na $E$, pak $f$ je spojitá.
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}[Prohození limit]
 Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost reálných funkcí definovaných na omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$, která stejnoměrně konverguje na $(a,b)$. Nechť pro každé $n\in\en$ existuje  vlastní $\lim_{x\to a^+} f_n(x)$ (resp. $\lim_{x\to b^-} f_n(x)$). Pak
 \[\lim_{n\to\infty} \lim_{x\to a^+} f_n(x) = \lim_{x\to a^+}\lim_{n\to\infty} f_n(x)\qquad \text{(resp. $\lim_{n\to\infty} \lim_{x\to b^-} f_n(x) = \lim_{x\to b^-}\lim_{n\to\infty} f_n(x))$}.\]
 
 Speciálně, je--li $\sum_{n=1}^\infty f_n$ je řada spojitých reálných funkcí definovaných na omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$, která stejnoměrně konverguje na $(a,b)$ a pro každé $n\in\en$ existuje  vlastní $\lim_{x\to a^+} f_n(x)$, pak
 \[\sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to a^+} f_n(x) = \lim_{x\to a^+} \sum_{n=1}^\infty f_n(x).\]
\end{prop}

\begin{prop}[Záměna sumy a derivace]
 Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$ splňující
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_n$ má vlastní derivaci na $(a,b)$, $n\in\en$,
  \item existuje $x_0\in (a,b)$ takové, že číselná řada $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)$ je konvergentní,
  \item $\sum_{n=1}^\infty f_n'\rightrightarrows $ na $(a,b)$.
 \end{enumerate}
  Pak $\sum_{n=1}^\infty f_n \rightrightarrows$ na $(a,b)$ a pro každé $x\in (a,b)$ platí
  \[\left(\sum_{n=1}^\infty f_n\right)'(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n'(x).\]
\end{prop}

\begin{prop}[Záměna sumy a integrálu]
 Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$ splňující
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_n$ má na $(a,b)$ konvergentní Newtonův integrál, $n\in\en$;
  \item řada $\sum_{n=1}^\infty f_n$ konverguje stejnoměrně k funkci $f$ na $(a,b)$.
 \end{enumerate}
  Pak $f$ má na $(a,b)$ konvergentní Newtonův integrál a platí
  \[\sum_{n=1}^\infty \nint_a^b f_n = \nint_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n.\]
\end{prop}

\section{Mocninné řady}

\begin{defin}\label{7:D:moc1}
\emphdef{Mocninnou řadou o středu $a\in\er$} rozumíme řadu
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n,
\]
kde $a_n\in\er$ pro každé $n\in \N\cup\{0\}$ a $x\in\R$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o poloměru konvergence mocninné řady]\label{7:T:polomer}
Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ je mocninná řada. Pak existuje právě jeden nezáporný prvek $\varrho\in\R\cup\{\infty\}$ takový, že
\begin{itemize}
\item pro každé $x\in \er$, $|x-a|<\varrho$, je uvedená řada absolutně konvergentní,
\item pro každé $x\in \er$, $|x-a|>\varrho$, je uvedená řada divergentní.
\end{itemize}
Prvek $\varrho$ splňuje
\[
\varrho=
\frac1{\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
\]
kde výrazem $\frac10$ rozumíme $\infty$ a výrazem $\frac 1{\infty}$ rozumíme $0$. Prvek $\varrho$ nazýváme \emphdef{poloměrem konvergence} uvedené řady.

Nav\'ic, uveden\'a \v{r}ada je stejnom\v{e}rn\v{e} konvergentn\'i na $[a-c,a+c]$ pro ka\v{z}d\'e $c<R$.
\end{theorem}

\begin{theorem}Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je posloupnost nezáporných čísel a nechť existuje $\lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Potom existuje také $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$ a limity se rovnají. 
\end{theorem}


\begin{theorem}[derivace a integrace mocninné řady]\label{7:T:derivace-mocninne-rady}
Nechť $\varrho$ je poloměr konvergence mocninné řady $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$. Potom poloměr konvergence řad $\sum_{n=1}^\infty na_n (x-a)^{n-1}$ a $\sum_{n=0}^\infty \tfrac{a_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$ je také roven $\varrho$. Pro $x\in\er$ splňující $|x-a|<\varrho$ označme $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
 \item funkce $f$ má v každém takovém bodě vlastní derivaci a platí $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n (x-a)^{n-1}$;
 \item $\sum_{n=0}^\infty \tfrac{a_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$ je primitivní funkce k $f$ na $(a-\varrho,a+\varrho)$.
 \end{enumerate} 
 Speciálně, dostáváme následující vzorec pro výpočet $n$-té derivace funkce $f$: $f^{(n)}(a) = n!a_n$, $n\geq 0$.
\end{theorem}


\begin{theorem}[Abelova]\label{7:T:abel-konvergence}
Nechť $\varrho$ je poloměr konvergence mocninné řady $\sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(x-a)^n$ a $\varrho\in (0,\infty)$.

\textup{(a)} Jestliže je řada $\sum_{n=0}\sp{\infty} a_n\varrho^n$ konvergentní, potom
\[
\lim_{x\to(a+\varrho)_{-}} \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(x-a)^n = \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n\varrho^n.
\]

\textup{(b)} Jestliže je řada $\sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(-\varrho)^n$ konvergentní, potom
\[
\lim_{x\to(a-\varrho)_{+}} \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(x-a)^n = \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(-\varrho)^n.
\]
\end{theorem}


\chapter{Teorie m\'iry a integr\'alu}
\section{Pojem m\'iry, abstraktn\'i Lebesgue\r{u}v integr\'al}

\subsection{Základní pojmy}

\begin{defin}Nech\v{t} $I\subset\er$ je interval s krajn\'imi body $a, b\in\R$. Pak \emphdef{d\'elkou} intervalu $I$ rozum\'ime \v{c}\'islo $|b-a|$. Zna\v{c}\'ime $\ell(I) := |b-a|$. D\'ale definujeme $\ell(J) := \infty$, pokud $J$ je neomezen\'y interval.

Nech\v{t} $I_1,\ldots,I_n\subset\er$ jsou intervaly a $Q = I_1\times\ldots\times I_n\subset\er^n$. Pak \emphdef{objemem} $n$-rozměrného intervalu $Q$ rozum\'ime \v{c}\'islo $\ell(I_1)\cdots\ell(I_n)$. Zna\v{c}\'ime $\ell^n(Q):=\ell(I_1)\cdots\ell(I_n)$.

Konečné disjunktní sjednocení omezených $n$-rozměrných intervalů nazveme \emphdef{figurou}. Objem figury definujeme jako součet objemů intervalů, z nichž se skládá. \emphdef{Horní Jordan-Peanův objem} množiny je infimum objemů figur, které ji obsahují. \emphdef{Dolní Jordan-Peanův objem} množiny je supremum objemů figur, které jsou v ní obsaženy. Pokud horní a dolní Jordan-Peanův objem
množiny se rovnají a jsou konečné, řekneme, že množina je Jordan-Peanovovsky měřitelná a
společnou hodnotu nazveme jejím \emphdef{Jordan-Peanovým (J.P.) objemem}.
\end{defin}
\begin{defin}Nech\v{t} $X$ je mno\v{z}ina. Systém $\A$ podmno\v{z}in $X$ se naz\'yv\'a \emph{algebra}, pokud
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\emptyset\in \A$, $X\in \A$;
		\item $E\in\A\implies X\setminus E\in\A$;
		\item $E_1, E_2\in\A\implies E_1\cup E_2\in\A$.		
	\end{enumerate}
	Pokud nav\'ic $\A$ spl\v{n}uje
	\begin{enumerate}[(iv)]
		\item $E_n\in A$, $n=1,2,\ldots\implies \bigcup_{n=1}^\infty E_n\in \A$,
	\end{enumerate}
	pak \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e $\A$ je \emph{$\sigma$-algebra}. Je--li $\A$ $\sigma$-algebra, dvojice $(X,\A)$ se naz\'yv\'a \emph{měřitelný prostor} a prvky $\A$ se nazývají \emph{měřitelné množiny}.
\end{defin}
\begin{fact}Každá algebra (resp. $\sigma$-algebra) je uzavřená i na konečné (resp. spočetné) průniky.
\end{fact}
\begin{pozn}Množina všech J.P.-měřitelných množin není $\sigma$-algebra.
\end{pozn}
\begin{defin}Definujeme $\B(\er^n)$ jako nejmen\v{s}\'i $\sigma$-algebru obsahuj\'ic\'i otev\v{r}en\'e mno\v{z}iny v $\er^n$. $\B(\er^n)$ se nazývá \emph{borelovská $\sigma$-albebra} a jejím prvk\r{u}m se \v{r}\'ik\'a \emph{borelovsk\'e mno\v{z}iny}.
\end{defin}
\begin{defin}Nechť $(X,\A)$ je měřitelný prostor. Funkce $\mu:\A\to [0,\infty]$ se nazývá \emph{míra}, pokud splňuje
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mu(\emptyset) = 0$,
		\item jestliže $E_n\in A$, $n=1,2,\ldots$ jsou po dvou disjunktní, pak
			\[\mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n).\]
			Trojice $(X,\A,\mu)$ se nazývá \emph{prostor s mírou}.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{pozn}J.P.-objem není podle naší definice míra, neboť není definována na $\sigma$-algebře. Příkladem míry je například tzv. \emph{počítací míra}, která každé množině $A\subset X$ přiřadí počet jejích prvků.
\end{pozn}

 \begin{prop}[Vlastnosti míry]Nechť $(X,\A,\mu)$ je prostor s mírou.
  \begin{enumerate}[(i)]
   \item Je-li $A,B\in\A$ a $A\subset B$, je $\mu(A)\le \mu(B)$. Navíc, pokud $\mu(B\setminus A)<\infty$, pak $\mu(A)=\mu(B)-\mu(B\setminus A)$.
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ posloupnost z $\A$, je
   $\mu\big( \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\big)\le\sum\limits_{n=1}^\infty
   \mu(A_n)$
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ rostoucí posloupnost z $\A$, je
   $\mu\big( \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\big)=\lim\limits_{n}\mu(A_n)$.
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ klesající posloupnost z $\A$ a $\mu(A_1)<\infty$, je
   $\mu\big( \bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n\big)=\lim\limits_{n}\mu(A_n)$.
   \end{enumerate}
 \end{prop}

\begin{defin}Nechť $(X,\A,\mu)$ je prostor s mírou. Řekneme, že míra $\mu$ je \emphdef{úplná}, pokud každá podmnožina množiny míry nula je měřitelná.
\end{defin}

\subsection{Konstrukce úplných měr, Lebesgueova míra}

  \begin{defin}
 \emphdef{Vnější míra} na množině $X$ je zobrazení $\nu:\P(X)\to [0,\infty]$ splňující
 \begin{enumerate}
   \item $\nu(\emptyset)=0$;
   \item $A\subset B\implies \nu(A)\le \nu(B)$;
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ posloupnost podmnožin  $X$, pak $\nu\Big( \bigcup\limits_{n=1}^\infty
A_n\Big)\le\sum\limits_{n=1}^\infty
   \nu(A_n)$.
 \end{enumerate}
 \end{defin}

\begin{example}Definujme funkci $\lambda^*:\P(\er^n)\to [0,\infty]$ předpisem
\[
	\lambda^*(A):=\inf \{\sum_{j=1}^\infty \ell^n(Q_j)\setsep Q_j\text{ jsou $n$-rozměrné intervaly }, \bigcup_{j=1}^\infty Q_j\supset A\}.
\]
Pak $\lambda^*$ je vnější míra na $\er^n$, které říkáme \emph{Lebesgueova vnější míra na $\er^n$}.
\end{example}

\begin{defin}Nechť $\nu$ je vnější míra na množině $X$. Množinu $M \subset X$ nazveme
\emphdef{$\nu$-měřitelnou (podle Carathéodoryho)}, jestliže pro každou ``testovací'' množinu $T\subset X$ platí
\[\nu(T) = \nu(T\cap M) + \nu(T\setminus M).\]
Systém všech (carathéodoryovsky) měřitelných množin značíme $\M(\nu)$.
\end{defin}

\begin{theorem}Nechť $\nu$ je vnější míra na množině $X$. Pak $\M(\nu)$ je $\sigma$-algebra a funkce $\M(\nu)\ni A\mapsto \nu(A)$ je \'upln\'a m\'ira.
\end{theorem}

\begin{defin}Nechť $\lambda^*$ je Lebesgueova vnější míra na $\er^n$. Funkci $\M(\lambda^*)\ni A\mapsto \lambda^*(A)$ říkáme \emphdef{Lebesgueova míra na $\er^n$} a značíme ji $\lambda^n$. Množiny z $\M(\lambda^*)$ se nazývají \emphdef{Lebesgueovsky měřitelné}.
\end{defin}

\begin{prop}Každá borelovská množina je Lebesgueovsky měřitelná, Lebesgueova míra je úplná a pro každý $n$-rozměrný interval $Q\subset \er^n$ platí $\ell^n(Q) = \lambda^n(Q)$. Navíc, Lebesgueova míra je translačně invariantní, tj. pro každou měřitelnou množinu $A$ a každý vektor $c\in\er^n$ máme $\lambda^n(A + c) = \lambda^n(A)$, kde $A+c = \{a+c:\; a\in A\}$.
\end{prop}

\subsection{Měřitelná zobrazení}

\begin{notation}Je--li $X$ množina a $A\subset X$, pak \emph{charakteristická funkce množiny $A$} je funkce $\chi_A:X\to \er$ definovaná předpisem
\[\chi_A(x):=\begin{cases}1,\quad&  x\in A\\ 0,& x\notin A\end{cases}\]

Je--li $f:D\to\er\cup\{\pm\infty\}$ funkce a $M\subset \er$, značíme 
\[\{f\in M\}:=\{x\in D\setsep f(x)\in M\},\]
podobně zavádíme značení jako $\{f>a\}$, $\{f=a\}$.
\end{notation}

V celé této subsekci je $(X,\A)$ měřitelný prostor.

\begin{defin}Nech\v{t} $(Y,\A_2)$ je měřitelný prostor. Zobrazení $f:X\to Y$ je \emphdef{$(\A,\A_2)$-měřitelné}, pokud pro každou $E\in\A_2$ je $\{f\in E\}\in\A$.
\end{defin}

\begin{convention}Pokud je z kontextu jasn\'e co je $\A$ a $\A_2$, pak \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e funkce je ``m\v{e}\v{r}itelná'' m\'isto ``$(\A,\A_2)$-měřitelná''
\end{convention}


%\begin{fact}Zobrazení $f:X\to \er\cup\{\pm\infty\}$ je \emphdef{měřitelné}, pokud pro každý otev\v{r}en\'y interval $I\subset \er\cup\{\pm\infty\}$ máme $f^{-1}(I)\in\A$.
%\end{fact}

\begin{prop}Nechť $f:X\to\er\cup\{\pm\infty\}$ je funkce spl\v{n}uj\'ic\'i, \v{z}e pro každý otev\v{r}en\'y interval $I\subset \er\cup\{\pm\infty\}$ máme $f^{-1}(I)\in\A$. Pak $f$ je m\v{e}\v{r}iteln\'a funkce.
\end{prop}

\begin{prop}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Kdykoliv $G\subset \er^n$ a $f:G\to\er$ je spojit\'a funkce, pak $f$ je měřitelná.
		\item Funkce $\chi_A:X\to\er$ je měřitelná pro každou $A\in\A$.
		\item Slo\v{z}en\'i m\v{e}\v{r}iteln\'ych funkc\'i je m\v{e}\v{r}iteln\'a funkce.
		\item Součet, součin, podíl, maximum a minimum konečně mnoha reálných měřitelných funkcí jsou op\v{e}t měřitelné funkce.
		\item Je-li $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ posloupnost měřitelných funkcí, jsou i $\sup f_n,\inf f_n, \limsup
 f_n, \liminf f_n$ (a tedy i $\lim f_n$, existuje-li) měřitelné funkce.
\end{enumerate}
\end{prop}

\subsection{Lebesgueův integrál}
V celé této subsekci je $(X,\A,\mu)$ prostor s mírou.

\begin{notation}Je--li $f:E\to\er\cup\{\pm\infty\}$ funkce, definujeme $f^+:=\max\{f,0\}$ a $f^-:=\max\{-f,0\}$. (Maximum/minimum funkcí definujeme bodově.) Tedy $f = f^+ - f^-$ a $|f| = f^+ + f^-$.
\end{notation}

\begin{defin}Konečný soubor množin $\{A_1,\ldots,A_m\}\subset\A$ nazveme \emphdef{rozkladem} množiny $E\in\A$, jestliže množiny $A_j$ jsou po dvou disjunktní a $\bigcup_{j=1}^m A_j = E$.
\end{defin}

Fráze \emph{skoro všude} nebo \emph{$\mu$-skoro v\v{s}ude} se používá ve spojení s vlastností bodů množiny X. Řekneme-li, že taková vlastnost platí skoro všude (nebo ve skoro všech bodech), znamená to, že je splněna až na množinu míry nula, neboli, že existuje množina $N\in\A$ míry nula tak, že vlastnost je splněna ve všech bodech množiny $X\setminus N$.

\begin{defin}
	Nechť $f$ je měřitelná funkce (s hodnotami v $\er\cup\{\pm\infty\}$).
	\begin{enumerate}[1.]
		\item Je--li $f\geq 0$, definujeme
			\[\int_X f \dmu:=\sup\left\{\sum_{j=1}^m a_j\mu(A_j)\setsep \{A_j\}_{j=1}^m \text{ je rozklad }X, 0\leq a_j\leq f \text{ na }A_j,\, j=1,\ldots,m\right\},\]
			kde pou\v{z}\'iv\'ame konvenci \v{z}e $0\cdot \infty = 0$.
		\item V obecn\'em p\v{r}\'ipad\v{e} definujeme
		\[\int_X f \dmu:= \int_X f^+ \dmu - \int_X f^- \dmu,\]
		pokud má tento rozdíl smysl.
		\item Je--li $E\subset X$, $E\in\A$ a funkce $f$ je definovaná skoro všude na $E$, pak definujeme
		\[\int_E f \dmu:= \int_X f \cdot \chi_{E\cap \dom(f)} \dmu.\]
	\end{enumerate}
	
	Je-li integrál $\int_E f \dmu$ defiován, říkáme též, že \emph{má smysl}, nebo že funkce $f$ \emph{má integrál}. Je-li navíc tento integrál konečné číslo, říkáme, že $\int_E f \dmu$ \emph{konverguje}, nebo že $f$ je \emph{integrovatelná} a tento fakt zna\v{c}\'ime symbolem $f\in L^1(E,\A,\mu)$, nebo zkráceně $f\in L^1(E)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu]Nechť $f$ a $g$ jsou měřitelné funkce, $\alpha\in\er$ a $E\in \A$. Pak
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\int_X \chi_E \dmu = \mu(E)$;
		\item $\int_E f \dmu = 0$, pokud $\mu(E)=0$ nebo pokud $f=0$ skoro všude na $E$;
		\item Pokud $\int_E |f| \dmu$ konverguje, pak $|f|<\infty$ skoro všude na $E$;		
		\item Pokud je $\mu(E) < \infty$ a $f$ je omezen\'a, pak $\int_E f \dmu$ konverguje a $\int_E |f| \dmu\leq \sup_{x\in E}|f(x)|\cdot\mu(E)$;
		\item Je--li $\{D_1,D_2\}\subset \A$ rozklad množiny $E$, pak
		\[\int_E f \dmu = \int_{D_1} f \dmu + \int_{D_2} f \dmu;\]	
		\item \[\int_E \alpha f + g\dmu = \alpha \int_E f \dmu + \int_E g \dmu,\]má--li pravá strana smysl;
		\item $\int_E f \dmu$ konverguje právě tehdy, když $\int_E |f| \dmu$ konverguje;
		\item Jestliže $f, g$ mají integrál a $f\leq g$ skoro všude na $E$, pak 
		\[\int_E f \dmu \leq \int_E g \dmu;\]			
		\item \[\left|\int_E f \dmu\right|\leq \int_E |f| \dmu.\]				
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{Vztah Lebesgueova integrálu k Newtonovu integrálu a Riemannovu integrálu}

V moderní matematické literatuře se integrálem bez přívlastku rozumí vždy integrál Lebesgueův. Význam Newtonova a Riemannova integrálu zůstává ve sféře didaktiky.

\begin{theorem}[Vztah mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem]Nechť $f$ je nezáporná spojitá funkce na intervalu $(a,b)$. Potom $(N)-\int_a^b f(x) \dx$ konverguje, právě když konverguje Lebesgueův integrál funkce
$f$. V tom případě mají oba integrály společnou hodnotu.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem]Nechť $f$ je Riemannovsky integrovatelná funkce na $[a,b]$. Potom Lebesgueův integrál funkce $f$ od $a$ do $b$ konverguje a je roven integrálu
Riemannovu.
\end{theorem}

\section{Fubiniova věta}

\begin{lemma}Nechť $n,m\in\en$ a $E\subset \er^n$, $F\subset \er^m$ jsou Lebesgueovsky měřitelné množiny. Pak $E\times F$ je Lebesgueovsky měřitelná množina a $\lambda^{n+m}(E\times F) = \lambda^n(E)\cdot \lambda^m(F)$, kde definujeme $0\cdot\infty = 0$.
\end{lemma}

\begin{defin}Nechť $E\subset X\times Y$. Značíme
	\[\begin{split}
		E^{x,*} & := \{y\in Y\setsep (x,y)\in E\},\qquad  x\in X,\\
		E^{*,y} & := \{x\in X\setsep (x,y)\in E\},\qquad  y\in Y.
	\end{split}\]
Tyto množiny se nazývají \emph{řezy}.
\end{defin}

\begin{theorem}[Fubiniova věta]Nechť $n,m\in\en$, $E\subset \er^{n+m}$ je Lebesgueovsky měřitelná množina a $f:E\to\er$ je Lebesgueovsky měřitelná funkce. Předpokládejme, že integrál 
\[\int_M f(x,y) \dl{n+m}\]
má smysl. Potom všechny integrály níže mají smysl a platí
\begin{equation}\label{eq:fubini}
\int_E f \dl{n+m} = \int_{\er^n}\left(\int_{E^{x,*}} f(x,y) \dl{m}(y)\right)\dl{n}(x) = \int_{\er^m}\left(\int_{E^{*,y}} f(x,y) \dl{n}(x)\right)\dl{m}(y).
\end{equation}
Speciálně, je--li $f\geq 0$ nebo je jeden z integrálů 
\[
\int_E |f| \dl{n+m},\quad \int_{\er^n}\left(\int_{E^{x,*}} |f(x,y)| \dl{m}(y)\right)\dl{n}(x),\quad \int_{\er^m}\left(\int_{E^{*,y}} |f(x,y)| \dl{n}(x)\right)\dl{m}(y)
\]
konečný, pak platí \eqref{eq:fubini}.
\end{theorem}

\section{V\v{e}ta o substituci}

\begin{defin}Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina a $\varphi_i\in\C^1(G)$, $i = 1,\ldots,n$. Uvažujme funkci $\varphi = (\varphi_1,\ldots,\varphi_n):G\to\er^n$. Pak \emphdef{Jacobiho matice zobrazení $\varphi$ v bodě $t$} je matice
\[\left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}(t)\right)_{i,j=1}^n.\]
Pokud má Jacobiho matice zobrazení $\varphi$ v každém bodě $t\in G$ hodnost $n$, pak řekneme, že $\varphi$ je \emph{regulární} a determinant Jacobiho matice nazýváme \emph{jakobiánem} zobrazení $\varphi$ v bodě $t$ a značíme jej $J_\varphi(t)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[O substituci]Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina a $\varphi:G\to\er^n$ je prosté regulární zobrazení. Nechť $f$ je funkce na $E\subset \varphi(G)$. Potom
	\[\int_E f(x) \dl{n}(x) = \int_{\varphi^{-1}(E)} f(\varphi(t)) |J_\varphi(t)| \dl{n}(t),\]
pokud alespoň jedna strana má smysl.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o polárních souřadnicích]Nechť $G = \{(r,\alpha)\in\er^2\setsep r>0, \alpha\in(-\pi,\pi)\}$ a zobrazení $\varphi:G\to\er^2$ je dáno předpisem $\varphi(r,\alpha):=(r\cos \alpha, r\sin\alpha)$, $(r,\alpha)\in G$. Pak $\varphi$ je prosté regulární zobrazení a $|J_\varphi(r,\alpha)| = r$ pro $(r,\alpha)\in G$. Je--li $E\subset\er^2$ a $f$ funkce na $E$, pak
\[\int_E f(x,y) \dl{2}(x,y) = \int_{G\cap \varphi^{-1}(E)} r\cdot f(r\cos \alpha, r\sin\alpha) \dl{2}(r,\alpha),\]
má--li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o válcových souřadnicích]Nechť $G = \{(r,\alpha,z)\in\er^3\setsep r>0, \alpha\in(-\pi,\pi)\}$ a zobrazení $\varphi:G\to\er^3$ je dáno předpisem $\varphi(r,\alpha,z):=(r\cos \alpha, r\sin\alpha, z)$, $(r,\alpha,z)\in G$. Pak $\varphi$ je prosté regulární zobrazení a $|J_\varphi(r,\alpha)| = r$ pro $(r,\alpha,z)\in G$. Je--li $E\subset\er^3$ a $f$ funkce na $E$, pak
\[\int_E f(x,y,z) \dl{3}(x,y,z) = \int_{G\cap \varphi^{-1}(E)} r\cdot f(r\cos \alpha, r\sin\alpha, z) \dl{3}(r,\alpha,z),\]
má--li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o sférických souřadnicích]Nechť $G = \{(r,\alpha,\beta)\in\er^3\setsep r>0, \alpha\in(-\pi,\pi), \beta\in(-\pi/2,\pi/2)\}$ a zobrazení $\varphi:G\to\er^3$ je dáno předpisem $\varphi(r,\alpha,\beta):=(r\cos \alpha\cos\beta, r\sin\alpha\cos\beta, r\sin\beta)$, $(r,\alpha,\beta)\in G$. Pak $\varphi$ je prosté regulární zobrazení a $|J_\varphi(r,\alpha,\beta)| = r^2\cos\beta$ pro $(r,\alpha,\beta)\in G$. Je--li $E\subset\er^3$ a $f$ funkce na $E$, pak
\[\int_E f(x,y,z) \dl{3}(x,y,z) = \int_{G\cap \varphi^{-1}(E)} r^2\cos\beta\cdot (r\cos \alpha\cos\beta, r\sin\alpha\cos\beta, r\sin\beta) \dl{3}(r,\alpha,\beta),\]
má--li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{theorem}

\section{Prohození integrálu a limity, integrálu a řady}\label{section:limitaAIntegral}

V celé této sekci je $(X,\A,\mu)$ prostor s mírou.

\begin{defin}
 Nechť $E$ je množina a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ funkce. Řekneme, že posloupnost $\{f_j\}_{j=1}^\infty$ \emphdef{konverguje skoro všude na $E$} k funkci $f:E\to\er$, pokud $E\in \A$ a existuje $F\subset E$ taková, že $f_j|_F\to f|_F$ a $\lambda^n(E\setminus F) = 0$.
 
 Řekneme, že \emphdef{$\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje skoro všude na $E$}, pokud posloupnost částečných součtů $\{\sum_{j=1}^N f_j\}_{N=1}^\infty$ konverguje skoro všude na $E$.
\end{defin}


\begin{theorem}[Leviho věta]
  Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť posloupnost funkcí $\{f_j\}_{j=1}^\infty$ bodově konverguje na $E$ a splňuje $\int_E f_1 \dmu > -\infty$ a $f_1\leq f_2\leq\ldots$. Pak \[\int_E \lim_{j\to\infty} f_j \dmu = \lim_{j\to\infty} \int_E f_j \dmu.\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[Lebesgueova věta]Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť posloupnost funkcí $\{f_j\}_{j=1}^\infty$ konverguje bodově skoro všude na $E$. Nechť existuje integrovatelná funkce $g:E\to\er$ (takzvaná \emph{majoranta}) taková, že
\[|f_j(x)|\leq g(x),\quad j\in\en,\; x\in E.\]
Pak \[\int_E \lim_{j\to\infty} f_j \dmu = \lim_{j\to\infty} \int_E f_j \dmu.\]
\end{theorem}

\begin{corollary}[Lebesgueova věta pro řady]Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť $\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje skoro všude na $E$. Nechť existuje integrovatelná funkce $g:E\to\er$ (takzvaná \emph{majoranta}) taková, že
 \[\left|\sum_{j=1}^Nf_j(x)\right|\leq g(x),\quad N\in\en,\; x\in E.\]
Pak
 \[\int_E \sum_{j=1}^\infty f_j \dmu = \sum_{j=1}^\infty \int_E f_j \dmu.\]
\end{corollary}

\begin{corollary}
 Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť je splněna jedna z následujících podmínek
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_j = aq^j$, kde $a$, $q$ jsou měřitelné funkce, $|q| < 1$ a $\int_E \frac{a}{1-q} \dmu$ konverguje
  \item $\sum_j \int_E |f_j| \dmu < \infty$ nebo $\int_E \sum_j |f_j| \dmu <\infty$,
  \item $f_j = (-1)^jh_j$, $h_j\to 0$, $h_1\geq h_2\geq h_3\geq \ldots \geq 0$ a $\int_E h_1 \dmu <\infty$
 \end{enumerate}
Pak řada $\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje skoro všude a platí
\[\int_E \sum_{j=1}^\infty f_j \dmu = \sum_{j=1}^\infty \int_E f_j \dmu.\]
\end{corollary}


\section{Integrály závislé na parametru}

V celé této sekci je $(X,\A,\mu)$ prostor s mírou.


\begin{theorem}[Spojitost integrálu závislého na parametru]
 Nechť $E\in \A$, $a\in \er^n$ a nechť $U$ je otevřená množina obsahující bod $a$. Nechť funkce $f : U\times E\to \er$ má následující vlastnosti:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pro skoro všechna $x\in E$ je funkce $U\ni t\mapsto f(t,x)$ spojitá v $a$, 
  \item pro všechna $t\in U$ je funkce $E\ni x\mapsto f(t,x)$ měřitelná,
  \item existuje integrovatelná funkce $g$ na $E$ tak, že pro všechna $t\in U$ a $x\in E$ je $|f(t, x)|\leq g(x)$. 
 \end{enumerate}
Potom pro všechna $t\in U$ je $E\ni x\mapsto f(t,x)$ integrovatelná a funkce
\[F(t):=\int_E f(t,x) \dmu(x),\quad t\in U\]
je spojitá v bodě $a$.
\end{theorem}


\begin{theorem}[Derivace integrálu závislého na parametru]Nechť $E\in \A$ a $I\subset\er$ je otevřený interval. Nechť funkce $f : I\times E\to \er$ má následující vlastnosti:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pro skoro všechna $x\in E$ má funkce $I\ni t\mapsto f(t,x)$ vlastní derivaci na celém intervalu $I$, 
  \item pro všechna $t\in I$ je funkce $E\ni x\mapsto f(t,x)$ měřitelná,
  \item existuje integrovatelná funkce $g$ na $E$ tak, že pro všechna $t\in I$ a $x\in E$ je $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\right|\leq g(x)$,
  \item existuje $t_0\in I$ tak, že funkce $E\ni x\mapsto f(t_0,x)$ je integrovatelná.
 \end{enumerate}
 Pak pro všechna $t\in I$ je funkce $E\ni x\mapsto f(t,x)$ integrovatelná, funkce
 \[F(t):=\int_E f(t,x) \dmu(x),\quad t\in I\]
 má vlastní derivaci na celém intervalu $I$ a platí
 \[F'(t) = \int_E \frac{\partial f}{\partial t}(t, x) \dmu(x),\quad t\in I.\]
\end{theorem}

\begin{defin}
 Funkci \emph{Gamma} definujeme na intervalu $(0,\infty)$ předpisem
 \[\Gamma(s):=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1} \dx,\quad s\in (0,\infty).\]
 Funkci \emph{Beta} definujeme na $(0,\infty)\times(0,\infty)$ předpisem
 \[B(p,q):=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\dx,\quad (p,q)\in (0,\infty).\]
\end{defin}

\begin{prop}[Vlastnosti funkce Gamma]
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $\Gamma(s)\in (0,\infty)$, $s\in (0,\infty)$;
 \item $\Gamma(1)=1$ a pro každé $s\in(0,\infty)$ platí $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$. Speciálně, $\Gamma(n+1) = n!$ pro každé $n\in\en$;
 \item $\Gamma\in\C^k(0,\infty)$, $k\in\en$;
 \item $\Gamma$ je ryze konvexní na $(0,\infty)$;
 \item $\lim_{s\to 0^+} \Gamma(s) = \lim_{s\to\infty}\Gamma(s) = + \infty$;
 \item $\Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$.
\end{enumerate}
%Jako zdroj alternativnich zajimavych dukazu se da pouzit take nasledujici odkaz a reference v nem: https://web.archive.org/web/20140514090620/http://warwickmaths.org/files/gamma.pdf

\end{prop}

\begin{prop}[Vlastnosti funkce Beta]
\begin{enumerate}[(i)]
 \item Pro každé $p,q\in (0,\infty)$ máme $B(p,q)\in (0,\infty)$;
 \item pro každé $p,q\in (0,\infty)$ máme $pB(p,q+1) = qB(p+1,q)$;
 \item pro každé $p,q\in (0,\infty)$ máme $B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ (speciálně $B(p,q)=B(q,p)$);
 \item $B\in \C^k((0,\infty)\times (0,\infty))$, $k\in\en$; 
 \item $B(1-s,s) = \Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}$, $s\in(0,1)$. 
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}[objem $n$-rozmerne koule]
  Nechť je dána $n$-rozměrná koule $B(0,R)\subset \er^n$. Pak $\lambda^n(B(0,R)) = \tfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}R^n$.
\end{prop}


\begin{prop}[Stirlingův vzorec]
 \[\lim_{s\to\infty} \frac{1}{\sqrt{s}}\left(\frac{e}{s}\right)^s\Gamma(s+1) = \sqrt{2\pi}.\]
\end{prop}

\chapter{Fourierovy řady}

\begin{defin}
 Funkce $\sum_{n=0}^k (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$ se nazývá \emphdef{trigonometrický polynom}.

 Řada $\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$ se nazývá \cbl{trigonometrická řada}.
\end{defin}

\begin{prop}
  \begin{enumerate}[(i)]
   \item Jsou--li $f,g\in\{1,\cos x,\sin x, \cos 2x,\sin 2x\ldots\}$ a $f\neq g$, pak $\int_{-\pi}^{\pi} fg = 0$.
   \item $\int_{-\pi}^{\pi} 1\cdot 1 \dx = 2\pi,\quad \int_{-\pi}^{\pi}  \cos(nx)\cos(nx)\dx = \int_{-\pi}^{\pi}  \sin(nx)\sin(nx)\dx = \pi$, $n\in\en$.
  \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{notation}
 Množinu všech $2\pi$-periodických reálných funkcí, které jsou integrovatelné na intervalu $[0,2\pi]$ budeme značit $\period$.
\end{notation}

\begin{defin}
 Nechť $f$ je reálná funkce definovaná na $({-\pi},{\pi})$. Čísla
  $$
  a_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}  f(x)\cos(nx)\dx \text{ pro }n=0,1,2,...\
  $$

  $$
   b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}  f(x)\sin(nx)\dx \text{ pro }n=1,2,...\,
  $$
  se nazývají \emphdef{Fourierovy koeficienty} funkce $f$.

  Řada
  $$
  Sf(x):=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)),\quad x\in\er
  $$
  se nazývá \emphdef{Fourierova řada} funkce $f$. Budeme tuto skutečnost značit
  $$
   f(x)\approx\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\,.
   $$
  
   Pro $N\in\en\cup\{0\}$ dále definujeme \emphdef{částečný součet Fourierovy řady funkce $f$} předpisem
   $$
  S_Nf(x):=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^N (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)),\quad x\in\er.
  $$
\end{defin}

\begin{prop}
 \nec $f\in\period$ a máme posloupnosti $(a_n)_{n=0}^\infty$, $(b_n)_{n=1}^\infty$ splňující, že
 \[\tfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) = f(x), \; x\in \er,\]
 přičemž řada nalevo je stejnoměrně konvergentní. Pak $a_0$, $a_n$, $b_n$ ($n\in\en$) jsou Fourierovy koeficienty funkce $f$.
\end{prop}

\begin{pozn}
 Je-li funkce $f\in\period$ lichá (resp. sudá), platí totéž o každé z funkcí $f(x)\cos(nx)$, zatímco všechny funkce $f(x)\sin(nx)$ jsou sudé (resp. liché). Vidíme tedy, že pokud je funkce $f$ lichá, pak $a_n=0$, $n\geq 0$ a $b_n = \tfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx)$. Pokud je funkce $f$ sudá, pak $b_n=0$, $n\geq 1$ a $a_n=\tfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)$, $n\geq 0$.
 
 Pokud je $a_n=0$, $n\geq 0$ (resp. $b_n=0$, $n\geq 1$), hovoříme někdy o \emphdef{liché} nebo \emphdef{sinové} (resp. \emphdef{sudé} nebo \emphdef{cosinové}) Fourierově řadě funkce $f$.
\end{pozn}

\begin{pozn}
 Každou funkci $f$ definovanou na intervalu $I$ délky $2\pi$ splňující $\int_I f < \infty$ lze periodicky rozšířit na $f\in\period$; Fourierovu řadu takto rozšířené funkce někdy nazýváme \emphdef{Fourierovou řadou funkce $f$ v intervalu $I$}.
 
 Podobně lze každou funkci $f$ definovanou v intervalu $(0, \pi)$ splňující $\int_0^\pi f < \infty$ rozšířit jak na lichou, tak i na sudou funkci z $\period$. Příslušnou Fourierovu řadu nazýváme \emphdef{lichou resp. sudou Fourierovou řadou funkce $f$}. Analogickou terminologii můžeme použít pro funkce definované na intervalu $(-\pi,0)$.
\end{pozn}


\begin{pozn}
 Z výsledků o $2\pi$-periodických funkcích dostáváme automaticky výsledky o $C$-periodických funkcích ($C>0$). Vskutku, máme--li $C$-periodickou funkci $f(x)$, pak předpis $g(x):=f(Cx/2\pi)$ definuje funkci $2\pi$-periodickou a teorii můžeme aplikovat na funkci $g$. Fourierovy koeficienty funkce $f$ jsou pak definovány jako 
  $$
  a_n=\frac{2}{C} \int_{-C/2}^{C/2} f(x)\cos(2\pi nx/C)\dx\,,\quad
  b_n=\frac{2}{C} \int_{-C/2}^{C/2} f(x)\sin(2\pi nx/C)\dx\,.
  $$

  Fourierova řada funkce $f$ je řada
  $$
  \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \big(a_n \cos(2\pi nx/C) + b_n \sin(2\pi nx/C)\big)\,.
  $$
\end{pozn}

\begin{defin}Ať $[a,b]\subset \er$ je interval.
 Funkce $f:[a,b]\to\er$ se nazývá \emphdef{po částech hladká}, jestliže existují body $a=p_0<p_1<...<p_n=b$ takové, že $f\in\C^1([p_{i-1},p_i])$ (tj. pro každé $i=1,\ldots,n$ je $f\in \C([p_{i-1},p_i])$, derivace funkce $f$ je spojitá funkce na $(p_{i-1},p_i)$ a má v krajních bodech vlastní jednostranné limity).
 
 Funkce $f:[a,b]\to\er$ se nazývá \emphdef{po částech monotónní}, jestliže existují body $a=p_0<p_1<...<p_n=b$ takové, že $f$ je na každém intervalu $[p_{i-1},p_i]$ monotonní.
\end{defin}

\begin{notation}Nechť $a\in\er$ a $f$ je reálná funkce definovaná na nějakém okolí bodu $a$. Značíme
  $$
  f(a+):=\lim_{x\to a^+} f(x)\,,\quad f(a-):=\lim_{x\to a^-} f(x),
  $$
  pokud tyto limity existují.
\end{notation}


\begin{theorem}[Konvergence Fourierovy řady]\nec $f\in\period$, $(a,b)\subset \er$ a $f|_{[a,b]}$ je po částech hladká nebo po částech monotonní. Pak pro každé $x\in (a,b)$ platí $Sf(x) = \frac{f(x+) + f(x-)}{2}$.

Navíc, pokud je tato funkce spojitá na $(a,b)$, pak Fourierova řada stejnoměrně konverguje na každém uzavřeném intervalu ležícím uvnitř $(a,b)$. Speciálně, je--li $b-a > 2\pi$, pak Fourierova řada funkce $f$ stejnoměrně konverguje v celém $\er$.
\end{theorem}

%jeste tvrzeni z Jarnika o rychlosti konvergence funkci ktere jsou dost hladke

\begin{theorem}[Parsevalova rovnost]
 Nechť $\int_{-\pi}^{\pi}  f^2(x)\dx$ konverguje. Pak 
  $$
   \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}  f^2(x)\dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty
   (a_n^2+b_n^2)\,,
  $$
  kde $a_0$, $a_n$, $b_n$ ($n\in\en$) jsou Fourierovy koeficienty funkce $f$.
\end{theorem}

%to nize mozna vynech ... 
\begin{theorem}[Primitivní funkce pomocí Fourierových koeficientů]
 Nechť  $f\in\period$ a nechť $f(x)\approx\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\,$.
 %$a_0$, $a_n$, $b_n$, $n\in\en$ jsou Fourierovy koeficienty funkce $f$. 
 Uvažume funkci $F(x) = \int_0^x f(t) \dt - \tfrac{1}{2}a_0x$, $x\in\er$. Pak $F\in\period$, Fourierova řada funkce $F$ je určena jako
 \[\begin{split}    
    F(x)\approx \sum_{n=1}^\infty \tfrac{b_n}{n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{-b_n\cos(nx)+a_n\sin(nx)}{n}.
   \end{split}
\]
a tato řada stejnoměrně konverguje k funkci $F$ na $(-\infty,\infty)$.

Speciálně,
\begin{enumerate}[(i)]
 \item 	pokud jsou všechny Fourierovy koeficienty funkce $f$ nulové, pak $f=0$ skoro všude;
 \item platí
    \begin{equation}\label{eq:primFceFourier}
    	\int_0^x f(t) \dt = \sum_{n=1}^\infty \tfrac{b_n}{n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{-b_n\cos(nx)+(a_n+(-1)^{n+1}a_0)\sin(nx)}{n},\quad x\in\er
    \end{equation}
    a Fourierova řada funkce $[-\pi,\pi]\ni x\mapsto \int_0^x f(t) \dt$ konverguje a je určena vzorcem \eqref{eq:primFceFourier}.
 \item pokud je funkce $f$ spojitá na intervalu $(a,b)\subset [-\pi,\pi]$, pak funkce $(a,b)\ni x\mapsto \int_0^x f(t) \dt$ (popsaná dvěma různými vzorci výše) je primitivní funkce k $f$ na $(a,b)$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[Derivace Fourierovy řady]Nechť  $f\in\period$ a $f\in\C^1(-\pi,\pi)$ a nechť $f(x)\approx\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\,$.
%$a_0$, $a_n$, $b_n$, $n\in\en$ jsou Fourierovy koeficienty funkce $f$. 
Nechť $\int_{-\pi}^\pi |f'(x)| \dx <\infty$. Pak Fourierova řada pro $f'$ se získá z Fourierovy řady pro $f$ derivací člen po členu, tj.
\[f'(x)\approx \sum_{n=1}^\infty (-na_n\sin(nx)+nb_n\cos(nx)).\]
\end{theorem}

\end{document}