\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou�it� n�kter�ch �esk�ch typografick�ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate,mathabx}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven� dan� velikosti okraj�
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{remarks}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{Úmluva}
\newtheorem*{example}{Příklad}
\newtheorem*{examples}{Příklady}
\newtheorem*{exercise}{Cvičení}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\M{\mathfrak{M}}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\ov{\overline}
\def\period{\mathcal{P}([0,2\pi])}
\newcommand\nint{(N)\int}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arg {\operatorname{arg}}
\def \Arg {\operatorname{Arg}}
\def \Log {\operatorname{Log}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\def\ind{\operatorname{ind}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dt {\, \mathrm{d} t}
\def \dz {\, \mathrm{d} z}
\def \dw {\, \mathrm{d} w}
\def \dmu {\, \mathrm{d} \mu}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\Int{\operatorname{Int}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\res{\operatorname{res}}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\emphdef[1]{\emph{#1}}
%minus s teckou
\makeatletter
\newcommand{\dotminus}{\mathbin{\text{\@dotminus}}}

\newcommand{\@dotminus}{%
  \ooalign{\hidewidth\raise1ex\hbox{.}\hidewidth\cr$\m@th-$\cr}%
}
\makeatother
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~přednášky (#1)}
	\bigskip}

\title{Přednáška - Kalkulus 4, MFF}  % tyto dv� polo�ky jsou zde v podstat� form�ln�, ve skute�nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
%\konecPrednasky{0.0.2017}
\chapter{Komplexní funkce}

\section{Komplexní čísla, elementární funkce}

\begin{defin}
 \emph{Množinou komplexních čísel} rozumíme množinu $\er^2$ s následujícími operacemi:
 \begin{itemize}
  \item sčítání a násobení reálným číslem (definovanými stejně jako v $\er^2$)
  \item násobení definované vzorcem \[(x,y)\cdot(a,b) := (xa-by,ab+ya),\quad (x,y), (a,b)\in\er^2.\]
 \end{itemize}
Množinu komplexních čísel značíme $\ce$, prvek $(x,y)\in\ce$ zapisujeme také jako $x + iy$, pokud $x=0$ (resp. $y=0$) pak používáme značení $(0,y)=iy$ (resp. $(x,0)=x$). Máme tedy $i^2=-1$ a číslo $i$ nazýváme \emph{imaginární jednotkou}.
\end{defin}

\begin{pozn}
 Množinu $\er$ přirozeně ztotožnujeme s podmnožinou $\ce$ pomocí zobrazení $\er\ni x\mapsto (x,0)\in\ce$.
\end{pozn}


\begin{defin}
  \nec $z = (x,y) = x+iy \in\ce$. Pak definujeme
  \begin{itemize}
   \item $\Re z = x$ (\emph{reálná část čísla $z$}),
   \item $\Im z = y$ (\emph{komplexní část čísla $z$}),
   \item $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (\emph{absolutní hodnota čísla $z$}),
   \item $\ov{z} = x - iy$ (\emph{komplexně sdružené číslo k číslu $z$}).
  \end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}[Základní vlastnosti komplexních čísel]
 Pro každé $z,w\in\ce$ platí:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\overline{z+w} = \ov{z} + \ov{w}$, $\overline{z\cdot w} = \ov{z} \cdot \ov{w}$,
  \item $|z|^2 = z\cdot \ov{z}$, $|z\cdot w| = |z|\cdot |w|$, $|z| = |\ov{z}|$,
  \item $|\Re z|\leq |z|$, $|\Im z|\leq |z|$, $\tfrac{1}{z} = \tfrac{\ov{z}}{|z|^2}$ (pokud $z\neq 0$)
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defin}
 Funkci $\exp:\ce\to\ce$ definujeme předpisem
 \[\exp(x+iy) := \begin{cases}\exp(x)(\cos(y) + i\sin(y)) & (x,y)\neq (0,0),\\
                 1 & (x,y)=(0,0).
                \end{cases}
 \]
 Funkci $\sin:\ce\to\ce$ definujeme předpisem $\sin(z) := \tfrac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i}$, $z\in\ce$.\\
 Funkci $\cos:\ce\to\ce$ definujeme předpisem $\cos(z) := \tfrac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2}$, $z\in\ce$.
\end{defin}

\begin{pozn}
 Pokud ztotožnujeme $\er$ s podmnožinou $\ce$, pak $\exp|_\er$, $\sin|_\er$ a $\cos|_\er$ jsou shodné s reálnými funkcemi $\exp$, $\sin$ a $\cos$, které jsme definovali v rámci předmětu Kalkulus 1.
\end{pozn}


\begin{prop}[Základní vlastnosti elementárních funkcí]
Ať $z,w\in\ce$. Platí:
 \begin{enumerate}[(i)]
	\item $\exp(z+w) = \exp(z)\exp(w)$;
  \item $\ov{\exp(z)} = \exp(\ov{z})$, $|\exp(z)| = \exp(\Re z)$, $\exp(-z) = \tfrac{1}{e^z}$;
  \item $\exp(z)=\exp(w)$ právě když $z-w$ je celočíselný násobek $2\pi i$;
  \item $\exp(\ce) = \ce\setminus\{0\}$;
  \item $\sin(z+w) = \sin(z)\cos(w) + \cos(z)\sin(w)$, $\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w) - \sin(z)\sin(w)$;
  \item $\cos(z+\pi) = -\cos(z)$, $\sin(z+\pi) = -\sin(z)$;
  \item $\sin^2 z + \cos^2 z = 1$, $\ov{\sin(z)} = \sin(\ov{z})$, $\ov{\cos(z)} = \cos(\ov{z})$;  
  \item Funkce $\sin$ je lichá, funkce $\cos$ je sudá, funkce $\sin$ a $\cos$ jsou $2\pi$-periodické; 
  \item $\sin(z)=0$ právě když $z$ je celočíselný násobek $\pi$, $\cos(z)=0$ právě když $z \in \{\pi/2 + k\pi:\; k\in\zet\}$;
	\item $\sin(\ce) = \ce = \cos(\ce)$. 
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defin}
 Pro $z\in\ce\setminus\{0\}$ definujeme \emphdef{argument čísla $z$} jako
 \[
    \Arg(z):= \{t\in\er\setsep z = |z|(\cos t + i\sin t)\}.
 \]
  a \emphdef{logaritmus čísla $z$} jako
  \[
    \Log(z):=\{w\in\ce\setsep \exp(w)=z\}.
  \]
  \emphdef{Hlavní hodnotou argumentu čísla $z$} je jediné reálné číslo $t\in\Arg(z)$, pro které platí $t \in (-\pi,\pi]$. Hlavní hodnotu argumentu čísla $z$ značíme $\arg(z)$.
  \emphdef{Hlavní hodnotou logaritmu čísla $z$} je jediné číslo $w\in\Log(z)$, pro které platí $\Im w \in (-\pi,\pi]$. Hlavní hodnotu logaritmu čísla $z$ značíme $\log(z)$.
\end{defin}

\begin{pozn}Pokud ztotožnujeme $\er$ s podmnožinou $\ce$, pak $\log|_{(0,\infty)}$ je shodná s reálnou funkcí $\log$, kterou jsme definovali v rámci předmětu Kalkulus 1.
\end{pozn}

\begin{prop}[Základní vlastnosti argumentu a logaritmu]
Ať $z,w\in\ce\setminus\{0\}$. Platí:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Arg(z) = \{\arg(z) + 2k\pi\setsep k\in\zet\} = \{\Im y\setsep y\in \Log(z)\};$
  \item $\Log(z) = \{\log(z) + 2k\pi i\setsep k\in\zet\} = \{\log(|z|) + it\setsep t\in\Arg(z)\};$
  \item $\log(z) = \log(|z|) + i\arg(z);$
  \item $\arg(z) = \begin{cases}
                    \arcsin\left(\tfrac{\Im z}{|z|}\right),& \text{ pokud }\Re z > 0,\\
                    \arccos\left(\tfrac{\Re z}{|z|}\right),& \text{ pokud }\Im z > 0,\\
                    - \arccos\left(\tfrac{\Re z}{|z|}\right),& \text{ pokud }\Im z < 0;\\
                   \end{cases}$  
	\item pokud $z\in\ce\setminus (-\infty,0]$, pak $\arg(\ov{z}) = -\arg(z)$ a $\log(\ov{z}) = \ov{\log(z)}$;
	\item $\log(zw) = \log(z) + \log(w) \pmod{2\pi i},\quad \log(z/w) = \log(z) - \log(w) \pmod{2\pi i};$
	\item $\exp(\log z) = z,\quad \log(\exp(z)) = z \pmod{2\pi i}$.
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defin}Pro $z\in\ce\setminus\{0\}$ a $a\in\ce$ definujeme \emphdef{$a$-tou mocninu čísla $z$} jako $M_a(z):=\{\exp(aw)\setsep w\in\Log(z)\}$. \emphdef{Hlavní hodnotou $a$-té mocniny čísla $z$} rozumíme $z^a:=\exp(a\log(z))$.
\end{defin}

\begin{prop}[Základní vlastnosti obecné mocniny]
Ať $z\in\ce\setminus\{0\}$. Pak:
 \begin{enumerate}[(i)]
		\item Je--li $n\in\zet$, pak obsahuje množina $M_n(z)$ právě jeden prvek, a to prvek $z^n$, kde
		\[z^0 = 1;\quad z^n = \underbrace{z\cdots z}_{n- \text{krát}}\text{ pro $n>0$};\quad z^n = \tfrac{1}{z^{-n}}\text{ pro $n<0$};\]
		\item Pro $n\in\zet\setminus\{0\}$ je $w\in M_{1/n}(z)$ právě tehdy, když $w^n=z$. Pokud je $n>1$, pak \[M_{1/n}(z) = \Big\{\sqrt[n]{|z|}\big(\cos(\tfrac{\arg(z) + 2k\pi}{n}) + i \sin(\tfrac{\arg(z) + 2k\pi}{n})\big)\setsep k=0,\ldots,n-1\Big\}.\]
 \end{enumerate}
\end{prop}

\section{Derivace komplexních funkcí}

\begin{defin}
 Nechť $n,m\in\en$, $A\subset\er^n$, $a\in A$ a $f:A\to\er^m$ je funkce.
\begin{enumerate}[(i)]	
	\item Řekneme, že \emphdef{$f$ má v bodě $a$ limitu $b$ vzhledem k množině $A$}, jestliže
\[
\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall x\in A\setminus\{a\}\colon \rho(x,a)<\delta\Rightarrow\rho(f(x),b)<\ve.
\]
Limitu $f$  v $a$ vzhledem k $A$ značíme $\lim_{x\to a,\,x\in A} f(x)$, případně $\lim_{x\to a} f(x)$ (je-li $A=\er^n$).
	\item Řekneme, že \emphdef{$f$ je spojitá v bodě $a$}, pokud $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{pozn}
 Pro $z_1, z_2\in\ce$ máme $\rho(z_1,z_2) = |z_1-z_2|$ (tj. Euklidovská vzdálenost zděděná z $\er^2$ odpovídá absolutní hodnotě v $\ce$).
 
 Pokud budeme hovořit o otevřené kouli, otevřené/uzavřené množině, vnitřku množiny či o konvergenci v $\ce$, máme na mysli odpovídající pojmy z $\er^2$. Analogicky také rozumíme limitě a spojitosti zobrazení z $\er$ do $\ce$, z $\ce$ do $\er$, a z $\ce$ do $\ce$.
\end{pozn}

\begin{prop}[Spojitost elementárních funkcí]
 Funkce $z\mapsto |z|$, $z\mapsto \Re z$, $z\mapsto \Im z$, $z\mapsto \ov{z}$, $\exp$, $\sin$ a $\cos$ jsou spojité. Funkce $\arg$ a $\log$ jsou spojité na $\ce\setminus (-\infty,0]$.
\end{prop}

\begin{defin}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \emphdef{Komplexní funkcí reálné proměnné} rozumíme zobrazení $f:M\to \ce$, kde $M\subset \er$.
		\item Pokud $f$ je komplexní funkce reálné proměnné a $x\in\er$, pak \emphdef{derivací funkce $f$ v bodě $x$} rozumíme číslo
\[f'(x):=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x},\]
pokud tato limita existuje (v $\ce$).	
		\item Funkce $F:(a,b)\to \ce$ je \emphdef{primitivní funkce k $f$ na $(a,b)$}, pokud $F'(x)=f(x)$ pro všechna $x\in(a,b)$.
		\item Pokud $f$ je komplexní funkce reálné proměnné, pak \emphdef{integrál (Riemannův, Newtonův, Lebesgueův) z funkce $f$ od $a$ do $b$} definujeme jako číslo
		\[\int_a^b f(x) \dx := \int_a^b \Re f + i\int_a^b \Im f,\]
		pokud oba integrály na pravé straně konvergují.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{fact}
Je--li $(a,b)\subset \er$ a $f:(a,b)\to\ce$ funkce takov\'a, \v{z}e $\int_a^b |\Re f(x)| \dx < \infty$ a $\int_a^b |\Im f(x)| \dx < \infty$, pak
\[\left|\int_a^b f(x) \dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| \dx .\]
\end{fact}

\begin{prop}[Základní vlastnosti komplexních funkcí reálné proměnné]
	Ať $f$ je komplexní funkce reálné proměnné, $a\in\er$ a $z\in\ce$. Pak platí
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\lim_{x\to a^+} f(x) = z$, právě když
		\[\lim_{x\to a^+} \Re f(x) = \Re z\;\text{a}\; \lim_{x\to a^+} \Im f(x) = \Im z.\]
		Podobně pro limity zleva a oboustranné.
		\item $f$ je spojitá (zleva, zprava) v bodě $a$, právě když obě funkce $\Re f$ a $\Im f$ jsou spojité (zleva, zprava) v bodě $a$.
		\item $f'(x)$ existuje, právě když existují vlastní derivace $(\Re f)'(x)$ a $(\Im f)'(x)$. Pak $f'(x) = (\Re f)'(x) + i (\Im f)'(x)$.
		\item Funkce $F:(a,b)\to \ce$ je primitivní funkce k $f$ na $(a,b)$, právě když $\Re F$ je  primitivní funkce k $\Re f$ na $(a,b)$ a $\Im F$ je  primitivní funkce k $\Im f$ na $(a,b)$
	\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defin}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \emphdef{Komplexní funkcí komplexní proměnné} rozumíme zobrazení $f:M\to \ce$, kde $M\subset \ce$.
		\item Pokud $f$ je komplexní funkce komplexní proměnné a $a\in\ce$, pak \emphdef{derivací funkce $f$ v bodě $a$} rozumíme komplexní číslo
\[f'(a):=\lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a},\]
pokud tato limita existuje (v $\ce$).	
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{pozn}Pro derivaci podle komplexní proměnné platí věty o derivaci součtu, součinu, podílu a složené funkce ve stejné podobě jako pro
derivaci v $\er$. Má-li $f$ v bodě $a\in\ce$ derivaci podle komplexní proměnné, je v bodě $a$ spojitá. Je-li $f$ komplexní funkcí komplexní proměnné, g komplexní funkce reálné proměnné a $x\in\er$, pak
\[(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x),\]
pokud obě derivace na pravé straně existují.
\end{pozn}

\begin{theorem}[Cauchy-Riemannovy podmínky]
Ať $f$ je komplexní funkcí komplexní proměnné. Označme $\tilde f = (\tilde f_1,\tilde f_2)$ funkci dvou reálných proměnných s hodnotami v $\er^2$ odpovídající ztotožnění $\ce$ a $\er^2$, tj. takovou že
\[f(a+ib) = \tilde f_1(a,b) + i\tilde f_2(a,b),\quad (a,b)\in\dom(f).\]
Nechť $z=a+ib$, kde $a,b\in\er$.
\begin{enumerate}[(i)]
 \item Pokud $f'(z)$ existuje, pak existují obě parciální derivace funkcí $\tilde f_1$, $\tilde f_2$ v bodě $(a,b)$ a platí \emphdef{Cauchy-Riemannovy podmínky}
 \begin{equation}\label{eq:CRpodm}
    \frac{\partial \tilde f_1}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial \tilde f_2}{\partial y}(a,b)\quad\text{a}\quad \frac{\partial \tilde f_1}{\partial y}(a,b) = - \frac{\partial \tilde f_2}{\partial x}(a,b).
 \end{equation}
 Navíc, $f'(z) = \frac{\partial \tilde f_1}{\partial x}(a,b) + i\frac{\partial \tilde f_2}{\partial x}(a,b)$.
 \item Pokud mají obě funkce $\tilde f_1$, $\tilde f_2$ v bodě $(a,b)$ spojité parciální derivace a platí Cauchy-Riemannovy podmínky \eqref{eq:CRpodm}, pak $f'(z)$ existuje.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}Ať $M\subset \ce$. Řekneme, že funkce $f$ je \emphdef{holomorfní na množině $M$}, pokud existuje otevřená množina $G\supset M$ taková, že $f$ má derivaci
(podle komplexní proměnné) v každém bodě množiny $G$. Funkce holomorfní na $\ce$ se nazývá \emphdef{celá funkce}.
\end{defin}

\begin{prop}[Derivace elementárních funkcí]
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pokud $f(z)=1$, $z\in\ce$ pak $f'(z)=0$, $z\in\ce$.
  \item Pokud $n\in\en$ a $f(z) = z^n$, $z\in\ce$, pak $f'(z) = nz^{n-1}$, $z\in\ce$.
  \item Pro $z\in\ce$ platí $\exp'(z)=\exp(z)$, $\sin'(z) = \cos(z)$, $\cos'(z)=-\sin(z)$.
  \item Pro $z\in\ce\setminus (-\infty,0]$ platí $\log'(z)=\tfrac{1}{z}$.
	\item Pokud $a\in\ce$ a $f(z)=z^a$, $z\in\ce\setminus\{0\}$, pak $f'(z)=az^{a-1}$, $z\in\ce\setminus (-\infty,0]$.
 \end{enumerate}
\end{prop}

\section{Primitivní funkce a křivkový integrál komplexní funkce}

\begin{defin}
 \emphdef{K\v{r}ivkou v $\ce$} rozumíme spojitou funkci $\varphi:[a,b]\to \ce$, kde $a<b$ jsou reálná čísla. Je--li $\varphi:[a,b]\to \ce$ křivka, pak
 \begin{itemize}
  \item $\varphi(a)$ je \emph{počáteční bod křivky $\varphi$}, $\varphi(a)$ je \emph{koncový bod křivky $\varphi$};
  \item $[\varphi]:=\{\varphi(t)\setsep t\in [a,b]\}$ je \emph{obraz křivky $\varphi$};
  \item pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$, říkáme že křivka $\varphi$ je \emphdef{uzavřená};
	%\item řekneme, že křivka $\varphi$ je \emphdef{jednoduchá}, pokud $\varphi(t)\neq\varphi(t')$ pro každé $t,t'\in [a,b]$ s možnou výjimkou případu kdy $t,t'$ jsou koncové body (tj. $t=a$, $t'=b$ nebo $t=b$, $t'=a$);
	\item Pokud $A\subset \ce$ je množina splňující $[\varphi]\subset A$, řekneme že $\varphi$ je křivka v $A$.
  \item opačnou křivkou k $\varphi$ rozumíme křivku $\dotminus\varphi:[-b,-a]\to \ce$ definovanou vzorcem $\dotminus\varphi(t):=\varphi(-t)$, $t\in[-b,-a]$.
  \item je--li navíc $\psi:[c,d]\to \ce$ křivka, pro kterou $\psi(c)=\varphi(b)$, pak \emphdef{spojením} $\varphi$ a $\psi$ rozumíme křivku $\varphi\dotplus\psi:[a,b+d-c]\to\ce$ definovanou vzorcem
    \[
      (\varphi\dotplus\psi)(t):=\begin{cases}
                                 \varphi(t), & t\in[a,b]\\
                                 \psi(t-b+c), & t\in [b,b+d-c];
                                \end{cases}
    \]
    \item \emphdef{Délkou křivky $\varphi$} rozumíme hodnotu
\[
L(\varphi) = \sup\{\sum_{j=1}^k |\varphi(x_{j-1}) - \varphi(x_j)|;\ n\in\en, a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b\}.
\]	
 \end{itemize}
 Křivku $\varphi_{a,r,\circlearrowleft}(t):=a + re^{it}$, $t\in[0,2\pi]$, kde $a\in\ce$ a $r>0$, nazýváme \emphdef{kladně orientovaná kružnice o středu $a$ a poloměru $r$}. Opačnou křivku nazýváme \emphdef{záporně orientovaná kružnice}.\\
 Křivku $\varphi(t)=a + t(b-a)$, $t\in[0,1]$, kde $a,b\in\ce$, nazýváme \emphdef{orientovaná úsečka $[a,b]$}.\\
 \emphdef{Cestou} v $\ce$ rozumíme křivku $\varphi:[a,b]\to \ce$, pro kterou existují body $a=p_0<p_1<...<p_n=b$ takové, že $\varphi\in\C^1([p_{i-1},p_i])$ (tj. pro každé $i=1,\ldots,n$ derivace funkce $\varphi$ je spojitá funkce na $(p_{i-1},p_i)$ a má v krajních bodech vlastní jednostranné limity).
\end{defin}

\begin{pozn}
 Pozorný student si může vzpomenout na pojem křivky a její délky probíraný v rámci předmětu Kalkulus 2. Je--li $\varphi:[a,b]\to \ce$ cesta, pak $L(\varphi) = \int_a^b |\varphi'(t)| \dt$.
\end{pozn}

\begin{defin}
 Je--li $\varphi:[a,b]\to \ce$ cesta a $f:[\varphi]\to \ce$ spojitá funkce, pak definujeme \emphdef{integrál funkce $f$ podél cesty $\varphi$} jako
 \[\int_\varphi f = \int_\varphi f(z) \dz := \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t) \dt,\]
 kde integrál na pravé straně je Lebesgueův.
\end{defin}

\begin{prop}[Základní vlastnosti křivkového integrálu]
  Ať $\varphi:[a,b]\to \ce$ je cesta a $f:[\varphi]\to \ce$ je spojitá funkce. Pak
  \begin{enumerate}[(i)]
   \item $\int_{\dotminus\varphi} f = - \int_{\varphi} f$;
   \item pokud je $\psi:[c,d]\to \ce$ cesta splňující $\psi(c)=\varphi(b)$ a $f:[\varphi]\cup[\psi]\to \ce$ spojitá funkce, pak $\int_{\varphi\dotplus\psi} f = \int_{\varphi} f + \int_{\psi} f$;
   \item $\left|\int_{\varphi} f\right| \leq L(\varphi)\cdot  \max\{|f(z)|\setsep z\in [\varphi]\}$.
  \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defin}Nechť $G\subset \ce$ je otevřená a $f:G\to\ce$ je funkce.
 Funkce $F$ se nazývá \emphdef{primitivní k funkci $f$ na $G$}, jestliže pro každé $z\in G$ platí $F'(z)=f(z)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[První základní věta kalkulu v komplexním případě]
 Nechť $G\subset \ce$ je otevřená, $f:G\to\ce$ je funkce a $F$ je primitivní k funkci $f$ na $G$. Pak pro každou cestu $\varphi:[a,b]\to G$ platí
 \[\int_{\varphi} f = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)).\]
 Speciálně, je--li $\varphi$ uzavřená cesta, pak $\int_{\varphi} f = 0$.
\end{theorem}

\begin{defin}
 Řekneme, že neprázdná množina $\emptyset\neq A\subset\er^n$ je \emph{souvislá}, pokud není sjednocením dvou disjunktních neprázdných otevřených množin. Řekneme, že $A$ je \emphdef{oblast}, pokud $A$ je otevřená a souvislá. Analogicky definujeme souvislé podmnožiny a oblasti v $\ce$.
\end{defin}

\begin{prop}[Charakterizace oblastí v $\ce$]
 Ať $G\subset \ce$ je otevřená množina. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $G$ je souvislá;
  \item pro každé dva body $z,w\in G$ existuje spojité zobrazení $\varphi:[0,1]\to G$, že $\varphi(0)=z$ a $\varphi(1)=w$;
  \item každé dva body v $G$ lze spojit lomenou čárou (tj. pro každé dva body $z,w\in G$ existuje taková konečná posloupnost bodů $z=x_0,x_1,\ldots,x_n=w$, že pro každé $i=1,\ldots,n$ leží úsečka spojující body $x_{i-1}$ a $x_i$ celá v $G$).
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{corollary}Nechť $G\subset\ce$ je oblast a $f:G\to\ce$ funkce. Je--li $F$ primitivní k funkci $f$ na $G$, je každá jiná primitivní funkce k $f$ na $G$ tvaru $F + k$, kde $k$ je konstanta. Má--li $f$ na $G$ nulovou derivaci, pak je na této množině konstantní.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Druhá základní věta kalkulu v komplexním případě]
 Nechť $G\subset \ce$ je oblast a $f:G\to\ce$ je spojitá funkce. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ má v $G$ primitivní funkci;
  \item křivkový integrál funkce $f$ nezávisí na cestě v $G$ (tj. kdykoliv $\varphi$ a $\psi$ jsou cesty s hodnotami v $G$ se stejným počátečním a koncovým bodem, pak $\int_\varphi f = \int_\psi f$);
  \item pro každou uzavřenou cestu $\varphi$ v $G$ je $\int_\varphi f = 0$.;
  \item pro každou uzavřenou lomenou čáru $\varphi$ v $G$ je $\int_\varphi f = 0$.
	%\item pro každou jednoduchou uzavřenou lomenou čáru $\varphi$ je $\int_\varphi f = 0$.
 \end{enumerate}
Navíc, pokud $f$ má v $G$ primitivní funkci, pak primitivní funkci lze popsat následujícím způsobem:
zvolme libovolný bod $z_0\in G$, pro $z\in G$ položme $F(z):=\int_{\varphi_z} f$, kde $\varphi_z$ je libovolná křivka v $G$ s počátečním bodem $z_0$ a koncovým bodem $z$. Takto definovaná funkce $F$ je primitivní funkcí k funkci $f$ na $G$.
\end{theorem}

\section{Cauchyova věta a její první důsledky}

\begin{defin}Nechť $G\subset \ce$ je otevřená množina a $\varphi_0:[a,b]\to G$, $\varphi_1:[a,b]\to G$ jsou dvě uzavřené křivky v $G$. Řekneme, že $\varphi_0$ a $\varphi_1$ jsou \emphdef{homotopické jakožto uzavřené křivky v  $G$}, pokud existuje spojité zobrazení $\gamma:[0,1]\times [a,b]\to G$ splňující náseldující dvě podmínky
\begin{itemize}
	\item $\gamma(0,t) = \varphi_0(t)$ a $\gamma(1,t)=\varphi_1(t)$ pro $t\in [a,b]$;
	\item $\gamma(s,a)=\gamma(s,b)$ pro $s\in [0,1]$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{theorem}[Cauchyova věta]
Nechť $G\subset \ce$ je otevřená množina a $f:G\to\ce$ je holomorfní funkce. Pokud $\varphi_0$ a $\varphi_1$ jsou dvě uzavřené cesty v $G$, které jsou homotopické jakožto uzavřené křivky v $G$, pak
\[
	\int_{\varphi_0} f(z) \dz = \int_{\varphi_1} f(z) \dz.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[Cauchyův vzorec pro kruh]
Nechť $f$ je holomorfní na uzavřeném kruhu o středu $a\in\ce$ a poloměru $r>0$ (tj. na množině $\ov{B(a,r)}:=\{z\in\ce\setsep |z-a|\leq r\}$). Pak pro každé $z\in B(a,r)$ platí
\[
	f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\varphi_{a,r,\circlearrowleft}}  \frac{f(w)}{w-z} \dw.
\]
\end{theorem}

\begin{corollary}[Vlastnost průměru pro holomorfní funkce]
Nechť $f$ je holomorfní na $\ov{B(a,r)}$ (kde $a\in\ce$ a $r>0$). Pak platí
\[f(a) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a+re^{it}) \dt.\]
\end{corollary}

\begin{defin}Nechť $G\subset \ce$ je otevřená množina. Řekneme, že uzavřená křivka $\varphi:[a,b]\to G$ v $G$ je \emphdef{stažitelná v $G$ do bodu}, pokud existuje takový bod $z_0\in G$, že $\varphi$ a $z_0$ jsou homotopické jakožto uzavřené křivky v $G$ (kde bod $z_0$ chápeme jako uzavřenou křivku definovanou předpisem $[a,b]\ni t\mapsto z_0$). Pokud je $G$ souvislá a každá uzavřená křivka v $G$ je stažitelná v $G$ do bodu, pak říkáme, že $G$ je \emphdef{jednoduše souvislá}.
\end{defin}

\begin{defin}Množina $M\subset \ce$ se nazývá \emph{hvězdovitá}, pokud existuje takové $a\in M$, že pro každé $b\in M$ je úsečka spojující body $a,b$ celá obsažena v $M$.
\end{defin}

\begin{prop}Otevřená hvězdovitá množina je jednoduše souvislá.
\end{prop}

\begin{theorem}[Cauchyova věta v jednoduše souvislé oblasti]
Nechť $f$ je holomorfní na jednoduše souvislé oblasti $G\subset\ce$. Pak pro každou uzavřenou cestu $\varphi$ v $G$ je $\int_\varphi f = 0$.
\end{theorem}

\section{Vyjádření holomorfní funkce mocninnou řadou a další důsledky Cauchyovy věty}

V $\ce$ máme analogické definice a výsledky o řadách, posloupnostech a řadách funkcí a o mocninných řadách jako v $\er$. V následujícím budeme potřebovat zejména tyto.

\begin{defin}
 Nechť $E$ je množina, $f:E\to\ce$ je funkce a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\ce$ funkce. Řekneme, že posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ \emphdef{konverguje stejnoměrně na $E$} k funkci $f$, pokud
 \[\forall\varepsilon > 0\;\exists k\in\en\;\forall x\in E\; \forall n\geq k:\quad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.\]
 Značíme $f_n\rightrightarrows f$.
\end{defin}

\begin{prop}
  Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost komplexních spojitých integrovatelných funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$, která stejnoměrně konverguje k funkci $f$ na $(a,b)$. Pak $\lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x) \dx = \int_a^b f(x) \dx$.
\end{prop}

\begin{defin}\label{3:D:nekonecna-rada}
Nechť $\{a_n\}$ je posloupnost komplexních čísel. Pro $m \in \N$ položme
\[
s_m = a_1 + a_2 + \dotsb + a_m.
\]
Číslo $s_m$ nazýváme \emphdef{$m$-tým částečným součtem} řady $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, přičemž číslo $a_n$ je \emphdef{$n$-tým členem} řady $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. \emphdef{Součet} nekonečné řady $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je limita posloupnosti $\{s_m\}$, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. Řekneme, že řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je \emphdef{konvergentní}, existuje-li její součet. Řekneme, že řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ je \emphdef{absolutně konvergentní}, jestliže je řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ konvergentní.
\end{defin}

\begin{prop}Je-li řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolutně konvergentní, pak je i konvergentní.
\end{prop}

\begin{fact}Pokud je $|q|<1$, pak $\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}$.
\end{fact}

\begin{defin}\label{7:D:moc1}
\emphdef{Mocninnou řadou o středu $a\in\ce$} rozumíme řadu
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n,
\]
kde $a_n\in\ce$ pro každé $n\in \N\cup\{0\}$ a $z\in\ce$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o poloměru konvergence mocninné řady]\label{7:T:polomer}
Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$ je mocninná řada. Pak existuje právě jeden nezáporný prvek $\varrho\in\R\cup\{\infty\}$ takový, že
\begin{itemize}
\item pro každé $z\in \ce$, $|z-a|<\varrho$, je uvedená řada absolutně konvergentní,
\item pro každé $z\in \ce$, $|z-a|>\varrho$, je uvedená řada divergentní.
\end{itemize}
Prvek $\varrho$ splňuje
\[
\varrho=
\frac1{\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
\]
kde výrazem $\frac10$ rozumíme $\infty$ a výrazem $\frac 1{\infty}$ rozumíme $0$. Prvek $\varrho$ nazýváme \emphdef{poloměrem konvergence} uvedené řady.
\end{theorem}

\begin{theorem}[derivace a integrace mocninné řady]\label{7:T:derivace-mocninne-rady}
Nechť $\varrho$ je poloměr konvergence mocninné řady $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$. Potom poloměr konvergence řad $\sum_{n=1}^\infty na_n (z-a)^{n-1}$ a $\sum_{n=0}^\infty \tfrac{a_n}{n+1} (z-a)^{n+1}$ je také roven $\varrho$. Pro $z\in\ce$ splňující $|z-a|<\varrho$ označme $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
 \item funkce $f$ má v každém takovém bodě derivaci a platí $f'(z)=\sum_{n=1}^\infty na_n (z-a)^{n-1}$;
 \item $\sum_{n=0}^\infty \tfrac{a_n}{n+1} (z-a)^{n+1}$ je primitivní funkce k $f$ na $B(a,\varrho)$.
 \end{enumerate} 
 Speciálně, $f$ má derivace všech řádů na $B(a,\rho)$ a dostáváme následující vzorec pro výpočet $n$-té derivace funkce $f$ v bodě $a$: $f^{(n)}(a) = n!a_n$, $n\geq 0$.
\end{theorem}

Dále již následují výsledky, které jsou specifické pro $\ce$ a nemají svou analogii v $\er$.

\begin{theorem}[Holomorfní funkce je součtem mocninné řady]
Nechť $f$ je holomorfní funkce na $B(a,r)$, kde $a\in\ce$ a $r>0$. Pak existují jednoznačně určená čísla $a_n$, $n\in\en\cup\{0\}$ taková, že
\[f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n,\quad z\in B(a,r).\]
Pokud je funkce $f$ holomorfní dokonce na $\ov{B(a,r)}$, pak pro koeficienty této řady platí
\[
a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\varphi_{a,r,\circlearrowleft}} \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \dw,\quad n\in\en\cup\{0\}.\]
\end{theorem}

\begin{corollary}Je--li $f$ holomorfní na množině $M\subset\ce$, je i $f'$ holomorfní na $M$.
\end{corollary}

\begin{corollary}
Je--li $G$ jednoduše souvislá oblast, pak funkce $f:G\to\ce$ má v $G$ primitivní funkci, právě když je holomorfní na $G$.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Cauchyovy odhady]
Nechť $f$ je holomorfní na $\ov{B(a,r)}$ (kde $a\in\ce$ a $r>0$). Pak pro $n\in\en$ máme
\[|f^{(n)}(a)| \leq \frac{n!}{r^n}\max\{|f(z)|\setsep |z-a|=r\}.\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[Liouvilleova věta]
Omezená celá funkce je konstantní.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Základní věta algebry]
Každý polynom stupně alespoň $1$ s komplexními koeficienty má alespoň jeden kořen v $\ce$.

\end{theorem}

\begin{theorem}[Rozklad na kořenové činitele]%mozna vynechat
Nechť $P(z) = a_nz^n + \ldots +a_0$ je polynom s komplexními koeficienty, pričemž $n\geq 1$ a $a_n\neq 0$. Pak existují komplexní čísla $z_1,\ldots,z_n$ taková, že
\[P(z) = a_n(z-z_n)\ldots(z-z_2)(z-z_1),\quad z\in\ce.\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[o kořenech holomorfní funkce]\label{t:koreny}
 Nechť $f$ je holomorfní funkce na $B(a,r)$, kde $a\in\ce$ a $r>0$. Předpokládejme, že $f(a) = 0$ a není konstantní nulová funkce na $B(a,r)$. Pak existuje právě jedno $p\in\en$ a funkce $g$ holomorfní na $B(a,r)$ splňující $g(a)\neq 0$ a
 \[f(z) = (z-a)^pg(z),\quad z\in B(a,r).\]
\end{theorem}

\begin{defin}
 Je--li $f$, $a$ a $p$ jako ve Větě~\ref{t:koreny}, pak řekneme že bod $a$ je \emphdef{$p$-násobný kořen funkce $f$}.
\end{defin}

\begin{prop}
 Nechť $f$ je holomorfní funkce na $B(a,r)$, kde $a\in\ce$ a $r>0$. Pak $a$ je $p$-násobný kořen funkce $f$, právě když pro každé $n\in\{0,\ldots,p-1\}$ máme $f^{(n)}(a)=0$, ale $f^{(p)}(a)\neq 0$.
\end{prop}

\begin{defin}
 Nechť $\varphi$ je uzavřená cesta a $a\in\ce\setminus[\varphi]$. Pak \emphdef{index bodu $a$ vzhledem ke křivce $\varphi$} je definován vzorcem
 \[\ind_\varphi a:=\frac{1}{2\pi i}\int_\varphi \frac{1}{z-a} \dz.\]
\end{defin}

\begin{defin}Nech\v{t} $M\subset\ce$. Mno\v{z}inu $A\subset M$ nazveme komponentou mno\v{z}iny $M$, je-li
maxim\'aln\'i souvislou podmno\v{z}inou $M$.
\end{defin}

\begin{lemma}Nech\v{t} $\varphi$ uzavřená cesta. Polo\v{z}me $\iota(a):=\ind_\varphi a$, $a\in \ce\setminus [\varphi]$.
	\begin{itemize}
		\item Funkce $\iota$ nab\'yv\'a jen celo\v{c}\'iseln\'ych hodnot
		\item Funkce $\iota$ je konstantn\'i na ka\v{z}d\'e komponent\v{e} $\ce\setminus [\varphi]$.
		\item Funkce $\iota$ je rovna nule na neomezen\'e komponent\v{e} $\ce\setminus [\varphi]$.
	\end{itemize}
\end{lemma}

\begin{pozn}
\begin{itemize}
	 \item Platí \textbf{Jordanova věta}: Je--li $\varphi:[a,b]\to \ce$ uzavřená křivka taková, že $\varphi$ je prostá na $[a,b)$,
pak existuje $\sigma\in\{-1,1\}$ takové, že komplexní rovina $\ce$ je rozdělena na obraz křivky $[\varphi]$, \emphdef{vnitřní oblast} $\{z\in\ce\setsep \ind_\varphi z = \sigma\}$ a \emphdef{vnější oblast} $\{z\in\ce\setsep \ind_\varphi z = 0\}$. Navíc, vnitřní oblast je omezená oblast, vnější oblast je neomezená oblast. Konečně, pokud otevřená množina $U$ obsahuje $[\varphi]$ a její vnitřní oblast, pak $\varphi$ je stažitelná v $U$ do bodu.
	\item Plat\'i \textbf{propichovac\'i v\v{e}ta}:  Nech\v{t} $\varphi$ je uzav\v{r}en\'a cesta, $a,b\in\ce$ takov\'a,	\v{z}e $b-a>0$,	\'use\v{c}ka spojuj\'ic\'i body $a,b$ prot\'in\'a $[\varphi]$ v jedin\'em bod\v{e} $z_0$, ten je r\r{u}uzn\'y od $a, b$, existuje jedin\'e $t_0$, pro kter\'e $\varphi(t_0) = z_0$, a $\Im \varphi'(t_0)\neq 0$. Pak

	\[\ind_\varphi a - \ind_\varphi b = \sgn \Im \varphi'(t_0).\]
\end{itemize}
\end{pozn}

\begin{theorem}[Cauchyův vzorec]
 Nechť $G\subset\ce$ je otevřená množina, $f:G\to \ce$ holomorfní funkce a $\varphi$ uzavřená cesta v $G$ stažitelná v $G$ do bodu. Pak
 \[f(z)\ind_\varphi z = \frac{1}{2\pi i}\int_\varphi \frac{f(w)}{w-z} \dw,\quad z\in G\setminus[\varphi].\]
\end{theorem}

\begin{defin}
 Nechť $M\subset\ce$ je množina a $z_0\in\ce$. Říkáme, že bod $z_0$ je \emphdef{hromadným bodem množiny} $M$, pokud pro každé $r>0$ obsahuje otevřená koule $B(z_0,r)$ nějaký bod množiny $M$ různý od $z_0$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o jednoznačnosti]
 Nechť $G\subset\ce$ je oblast a funkce $f, g$ jsou holomorfní na $G$. Pokud množina $\{z\in G\setsep f(z)=g(z)\}$ má hromadný bod v $G$, pak $f=g$ na $G$
\end{theorem}

\begin{corollary}
 Jsou--li dvě celé funkce $f$, $g$ shodné na $\er$, pak $f=g$ na $\ce$.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Princip maxima pro holomorfní funkce]
 Nechť $G\subset \ce$ je omezená oblast a $f:\ov{G}\to\ce$ je spojitá na $\ov{G}$ a holomorfní na $G$. Pak $|f|$ nabývá svého maxima na množině $\ov{G}\setminus G$. Navíc, pokud je $f$ nekonstantní, pak pro $w\in G$ je $|f(w)| < \max\{|f(z)|\setsep z\in\ov{G}\}$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Morerova věta]
 Nechť $G\subset \ce$ je otevřená a $f:G\to\ce$ je spojitá funkce. Pokud pro každou uzavřenou lomenou čáru $\varphi$ v $G$ je $\int_\varphi f = 0$, pak $f$ je holomorfní na $G$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Weierstrassova věta]
 Nechť $G\subset\ce$ je otevřená, funkce $f_n$ jsou holomorfní v $G$ konvergují stejnoměrně na $G$ k funkci $f$. Pak $f$ je holomorfní v $G$ a $f'(z)=\lim_{n\to\infty} f_n'(z)$.
\end{theorem}

\section{Laurentovy řady a izolované singularity}

\begin{defin}
 \emphdef{Laurentovou řadou o středu $a\in\ce$} rozumíme symbol
  \begin{equation}\tag{*}\label{eq:laur}
    \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-a)^n,
  \end{equation}
  kde $a_n\in\ce$ pro každé $n\in\zet$. \emphdef{Regulární částí} řady \eqref{eq:laur} rozumíme mocninnou řadu $\sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n$. \emphdef{Hlavní částí} řady \eqref{eq:laur} rozumíme symbol
  \begin{equation}\tag{**}\label{eq:laur_hlavni}
    \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-a)^n.
  \end{equation}
  Říkáme, že \emphdef{hlavní část konverguje (v  bodě $z$, absolutně, stejnoměrně  na  množině $M$)}, pokud příslušnou vlastnost má řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_{-n} (z-a)^{-n}$. Součet této řady nazveme \emphdef{součtem hlavní části řady \eqref{eq:laur}} a značíme jej rovněž \eqref{eq:laur_hlavni}.\\
  Říkáme, že \emphdef{řada \eqref{eq:laur} konverguje (v  bodě $z$, absolutně, stejnoměrně  na  množině $M$)}, pokud příslušnou vlastnost má hlavní i regulární část. \emphdef{Součtem řady \eqref{eq:laur}} rozumíme součet součtu regulární části a součtu hlavní části, tj.
  \[\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-a)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-a)^n.\]  
\end{defin}

\begin{defin}
 Nechť $0\leq r<R\leq\infty$ a $a\in\ce$. Pak \emphdef{mezikruží o středu $a$, vnitřním poloměru $r$ a vnějším poloměru $R$} je množina
  \[P(a,r,R):=\{z\in\ce\setsep r<|z-a|<R\}.\]
\end{defin}

\begin{prop}
 Mějme Laurantovu řadu \eqref{eq:laur}. Pak existují $r,R\in [0,\infty]$, pro která platí
 \begin{itemize}
  \item Regulární část řady \eqref{eq:laur} absolutně konverguje pro $z\in\ce$ splňující $|z-a|<R$ a diverguje pro $z\in\ce$ splňující $|z-a|>R$;
  \item Hlavní část řady \eqref{eq:laur} absolutně konverguje pro $z\in\ce$ splňující $|z-a|>r$ a diverguje pro $z\in\ce$ splňující $|z-a|<r$.
 \end{itemize}
  Je--li $r<R$, pak řada \eqref{eq:laur} absolutně konverguje na mezikruží $P(a,r,R)$. Navíc, součet řady je na tomto mezikruží holomorfní a derivace součtu Laurentovy řady se získá derivací řady člen po členu. Toto mezikruží nazýváme \emphdef{mezikruží konvergence řady \eqref{eq:laur}}.
\end{prop}

\begin{theorem}
 Nechť $f$ je holomorfní funkce v mezikruží $P(a,r,R)$, kde $a\in\ce$ a $r<R$. Pak $f$ je v $P(a,r,R)$ součtem Laurentovy řady $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$, která na $P(a,r,R)$ konverguje. Její koeficienty jsou určeny jednoznačně a pro každé $\rho\in(r,R)$ platí
 \[a_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{\varphi_{a,\rho,\circlearrowleft}} \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \dw,\quad n\in\zet.\]
\end{theorem}

\begin{defin}
 Nechť $f$ je holomorfní funkce v mezikruží $P(a,0,R)$, kde $a\in\ce$ a $0<R$. Nechť $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$ je Laurentova řada funkce $f$ v $P(a,0,R)$. Pak řekneme, že 
 \begin{itemize}
  \item \emphdef{$f$ má v bodě $a$ odstranitelnou singularitu}, pokud $a_n = 0$ pro každé $n<0$;
  \item \emphdef{$f$ má v bodě $a$ pól násobnosti $p$}, pokud $a_{-p}\neq 0$ a $a_n=0$ pro každé $n<-p$;
  \item \emphdef{$f$ má v bodě $a$ podstatnou singularitu}, pokud $a_n\neq 0$ pro nekonečně mnoho $n<0$.
 \end{itemize}
\end{defin}

\begin{defin}
 Označme $\ov{\ce} = \ce \cup\{\infty\}$. Pro $\varepsilon > 0$ položme
 \[
    B(\infty,\varepsilon):=\{\infty\}\cup \{z\in\ce\setsep |z|>\tfrac{1}{\varepsilon}\}.
 \]
 Nechť $f$ je funkce definovaná na podmnožině $\ov{\ce}$ s hodnotami v $\ov{\ce}$. Řekneme, že \emphdef{funkce $f$ má v bodě $a\in\ov{\ce}$ limitu $A\in\ov{\ce}$}, pokud pro každé $\varepsilon > 0$ existuje takové $\delta > 0$, že pro každé $z\in B(a,\delta)\setminus\{a\}$ platí $f(z)\in B(A,\varepsilon)$. Na $\ov{\ce}$ rozšíříme operace následovně:
 \[\begin{split}
  \forall z\in\ce:\qquad & z + \infty = \infty + z = z - \infty = \infty - z = \infty,\\
  \forall z\in\ov{\ce}\setminus\{0\}:\qquad & z\cdot \infty = \infty\cdot z = \frac{z}{0} = \infty,\\
  \forall z\in\ce:\qquad & \frac{\infty}{z} = \infty\quad \text{ a }\quad \frac{z}{\infty} = 0.
 \end{split}\]
 Nedefinované jsou výrazy $\infty+\infty$, $\infty - \infty$, $0\cdot\infty$, $\infty\cdot 0$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.
\end{defin}

\begin{pozn}
 Operace jsou rozšířeny tak, aby platila věta o aritmetice limit s dodatkem ,,má--li pravá strana smysl''.
\end{pozn}

\begin{defin}
 Nechť $f$ je funkce definovan\'a na $B(\infty,R)$ pro n\v{e}jak\'e $R>0$. \v{R}ekneme, \v{z}e $f$ je \emphdef{holomorfn\'i v bod\v{e} $\infty$} (resp. \emphdef{$f$ m\'a v bod\v{e} $\infty$ ko\v{r}en n\'asobnosti $p$}), pokud m\'a tuto vlastnost funkce $g(z) = f(\tfrac{1}{z})$ v bod\v{e} $0$. Je--li $f$ holomorfn\'i na $B(\infty,R)$ pro n\v{e}jak\'e $R>0$, pak \v{r}\'ik\'ame \v{z}e \emphdef{$f$ má v bodě $\infty$ odstranitelnou singularitu (pól násobnosti $p$, podstatnou singularitu)}, pokud m\'a tuto vlastnost funkce $g(z) = f(\tfrac{1}{z})$ v bod\v{e} $0$.
\end{defin}


\begin{theorem}[Charakterizace singularit]
 Nechť $f$ je holomorfní funkce v $P(a,0,R)$, kde $a\in\ce$ a $0<R$. Pak platí:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ má v bodě $a$ odstranitelnou singularitu, právě když $\lim_{z\to a} f(z)\in\ce$. Dodefinujeme--li funkci $f$ v bodě $a$ hodnotou této limity, dostaneme funkci holomorfní v $B(a,R)$.
  \item $f$ má v bodě $a$ pól násobnosti $p$, právě když $\lim_{z\to a} (z-a)^pf(z)\in\ce\setminus\{0\}$. Je--li $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$ Laurentova řada funkce $f$ v $P(a,0,R)$ a $f$ má v bodě $a$ pól násobnosti $p$, pak funkce 
  \[
      B(a,R)\ni z\mapsto f(z) - \sum_{n=1}^{p} \frac{a_{-n}}{(z-a)^n}
  \]
  má v bodě $a$ odstranitelnou singularitu. Navíc, $\lim_{z\to a} f(z) = \infty$, právě když existuje $p$ takové, že $f$ má v bodě $a$ pól násobnosti $p$.
  \item $f$ má v bodě $a$ podstatnou singularitu, právě když $\lim_{z\to a} f(z)$ neexistuje.
 \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[Velká Pickardova věta]
 Nechť $f$ je holomorfní funkce v $P(a,0,R)$, kde $a\in\ce$ a $0<R$. Má--li $f$ v bodě $a$ podstatnou singularitu, pak pro každé $r<R$ nabývá $f$ v $P(a,0,r)$ všech hodnot z $\ce$ s výjimkou nejvýše jedné.
\end{theorem}

\begin{theorem}[L'Hospitalovo pravidlo]
Nechť funkce $f,g$ jsou holomorfní a nenulové v $B(a,R)$, kde $a\in\ce$ a $R>0$. Pokud $f(a)=g(a)=0$, pak existují obě následující limity a platí rovnost
\[
	\lim_{z\to a} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z\to a} \frac{f'(z)}{g'(z)}.
\]
\end{theorem}

\section{Rezidua}

\begin{defin}
 Nechť $f$ je holomorfní funkce v $P(a,0,R)$, kde $a\in\ce$ a $0<R$. Nechť $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$ je Laurentova řada funkce $f$ v $P(a,0,R)$. Pak \emphdef{reziduem funkce $f$ v bodě $a$} rozumíme číslo $\res_a f:= a_{-1}$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Reziduová věta]
 Nechť $G\subset\ce$ je jednoduše souvislá oblast a $f$ je komplexní funkce holomorfní na $G\setminus M$, kde $M$ je konečná množina. Pak pro každou uzavřenou cestu $\varphi:[a,b]\to G\setminus M$ platí
 \[\int_\varphi f = 2\pi i\sum_{a\in M}\res_a f\cdot \ind_\varphi a.\]
\end{theorem}

\begin{prop}[Některé metody výpočtu reziduí]
 Nechť $f,g$ jsou funkce holomorfní v $P(a,0,R)$, kde $a\in\ce$ a $R>0$.
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pro každé $\rho<R$ platí \[\res_a f = \frac{1}{2\pi i}\int_{\varphi_{a,\rho,\circlearrowleft}} f(z) \dz.\]
  \item Má--li funkce $f$ v bodě $a$ pól násobnosti $p$, pak
    \[\res_a f = \frac{1}{(p-1)!}\lim_{z\to a}(f(z)(z-a)^p)^{(p-1)}.\]
  \item Jsou--li $f,g$ holomorfní v bodě $a$ a $g$ má v bodě $a$ kořen násobnosti $1$ (tj. $g(a)=0$ a $g'(a)\neq 0$), pak
    \[\res_a \frac{f}{g} = \frac{f(a)}{g'(a)}.\]
  \item Je--li $f$ holomorfní v bodě $a$ a $g$ má v bodě $a$ pól násobnosti $1$, pak $\res_a fg = f(a)\cdot\res_a g$.
  \item Je--li $f$ holomorfní v bodě $a$ a $g$ má v bodě $a$ pól násobnosti $p$, pak 
    \[\res_a fg = \sum_{k=1}^p \frac{f^{(k-1)}(a)}{(k-1)!}b_{-k},\]
    kde $b_{-1},\ldots,b_{-p}$ jsou koeficienty Laurentovy řady funkce $g$ v $P(a,0,R)$.
 \end{enumerate} 
\end{prop}

\begin{lemma}[Jordanovo Lemma]
Nechť $0\leq\alpha<\beta\leq\pi$ a $f$ je funkce spojitá na $\{z\in\ce\setsep \arg z\in[\alpha,\beta], |z|>R\}$ pro nějaké $R>0$, pro kterou plat\'i
 \[
	\lim_{z\to\infty, \arg z\in[\alpha,\beta]} f(z) = 0.
\]
Pro $r>R$ nech\v{t} $\varphi_r$ je k\v{r}ivka definovan\'a vztahem $\varphi_r(t) = re^{it}$, $t\in [\alpha,\beta]$. Pak pro každé $x>0$
\[
	\lim_{r\to\infty} \int_{\varphi_r} f(z)e^{ixz} \dz = 0.
\]
\end{lemma}

\begin{lemma}Nech\v{t} $a\in\ce$ a $f$ je holomorfn\'i v n\v{e}jak\'em prstencov\'em okol\'i bodu $a$. D\'ale nech\v{t} $\alpha<\beta$ a $\varphi_r(t) = a + re^{it}$, $t\in [\alpha,\beta]$. Pak plat\'i:
	 \begin{enumerate}[(i)]
		\item Pokud $f$ je holomorfn\'i v bod\v{e} $a$, pak $\lim_{r\to 0^+} \int_{\varphi_r} f = 0$.
		\item Pokud $f$ m\'a v bod\v{e} $a$ p\'ol n\'asobnosti $1$, pak
			\[\lim_{r\to 0^+} \int_{\varphi_r} f = i(\beta-\alpha) \res_a f.\]
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\section{Funkce zadané pomocí komplexních integrálů}

\begin{theorem}[o derivaci integrálu podle komplexní proměnné]
 Nechť $I\subset\er$ je interval a $G\subset\ce$ je oblast. Nechť funkce $F:I\times G\to\ce$ splňuje následující podmínky:
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Pro skoro všechna $t\in I$ má funkce $G\ni z\mapsto F(t,z)$ spojitou derivaci podle komplexní proměnné na $G$.
  \item Pro všechna $z\in G$ je funkce $I\ni t\mapsto F(t,z)$ měřitelná.
  \item Existuje $z_0\in G$, pro které je funkce $t\mapsto F(t,z_0)$ integrovatelná na $I$.
  \item Pro každé $z\in G$ existuje $r>0$ a integrovatelná funkce $h$ na $I$, pro kterou platí $\left|\tfrac{\partial F}{\partial z}(t,w)\right|\leq h(t)$ pro všechna $w\in B(z,r)$ pro skoro všechna $t\in I$.
 \end{enumerate}
 Potom funkce
 \[g(z) = \int_I F(t,z) \dt,\quad z\in G\]
 je holomorfní na $G$ a pro $z\in G$ platí
 \[g'(z) = \int_I \frac{\partial F}{\partial z}(t,z) \dt.\]
\end{theorem}

\begin{defin}
 Funkci \emph{Gamma} definujeme na množině $D(\Gamma):=\{z\in \ce\setsep \Re z > 0\}$ předpisem
 \[\Gamma(z):=\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1} \dt,\quad z\in D(\Gamma).\]
\end{defin}

\begin{prop}[Vlastnosti funkce Gamma]
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $\Gamma(z)\in\ce$, $z\in D(\Gamma)$.
 \item Funkce $\Gamma$ je holomorfní na $D(\Gamma)$ a pro každé $z\in D(\Gamma)$ platí $\Gamma'(z) = \int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\log t \dt$.
 \item $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$, $z\in D(\Gamma)$. 
 \item Funkci $\Gamma$ je možné jednoznačně rozšířit na funkci definovanou na $\ce$, která pro každé $z\in\ce$ splňuje rovnici $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ a která je holomorfní na množině $\ce\setminus\{0,-1,-2,-3,\ldots\}$. (Toto rozšíření se také značí $\Gamma$.)
 \item Funkce $\Gamma$ má v každém z bodů $0,-1,-2,-3,\ldots$ pól násobnosti $1$. Navíc, $\res_0 \Gamma = 1$ a $\res_{-n} \Gamma = \frac{(-1)^n}{n!}$ pro $n=-1,-2,\ldots$.
 \item $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$, $z\in\ce\setminus\zet$.
\item Pro v\v{s}echna $z\in\ce$ m\'ame $\Gamma(z)\neq 0$ .
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defin}
\emph{Eulerovu zeta funkci} definujeme na mno\v{z}in\v{e} $D(\zeta_e) = \{z\in\ce\setsep \Re z > 1\}$ p\v{r}edpisem
\[\zeta_e(z):=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z}.\]
\end{defin}

\begin{prop}[Vlastnosti funkce $\zeta$]
\begin{enumerate}[(i)]
	\item $\zeta_e(z)\in\ce$, $z\in D(\zeta_e)$.
 \item Funkce $\zeta_e$ je holomorfní na $D(\zeta_e)$ a pro každé $z\in D(\zeta_e)$ platí $\zeta_e'(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{-\log n}{n^z}$.
\item Funkci $\zeta$ je možné jednoznačně rozšířit na funkci $\zeta$ definovanou na $\ce$, která pro každé $z\in\ce\setminus\{1,2,3,\ldots\}$ splňuje rovnici 
\[\zeta(z) = 2^z\pi^{z-1}\sin\tfrac{z\pi}{2}\Gamma(1-z)\zeta(1-z)\]
a která je holomorfní na množině $\ce\setminus\{1\}$, v bod\v{e} $1$ m\'a p\'ol n\'asobnosti $1$ a $\res_1\zeta = 1$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defin}Funkci $\zeta$ z p\v{r}edchoz\'iho tvrzen\'i nazýváme \emph{Riemannova zeta funkce}.
\end{defin}

\noindent\textbf{RIEMANNOVA HYPOT\'EZA: }Pro ka\v{z}d\'e $z\in \ce$, $\Re z \in (0,1)$ plat\'i, \v{z}e pokud $\zeta(z)=0$ pak $\Re z = 1/2$.

\chapter{Laplaceova a Fourierova transformace}

\section{Laplaceova transformace}

\begin{defin}
 Nechť $f$ je reálná (nebo komplexní) funkce definovaná na intervalu $(0,\infty)$. \emphdef{Laplaceova transformace funkce $f$} je funkce $\mathcal{L}(f)$ definovaná předpisem
 \[\mathcal{L}(f)(s):=\int_0^\infty f(t)e^{-st} \dt,\]
 kde $s\in\ce$ jsou čísla, pro která je integrál výše konvergentní.
\end{defin}

\begin{pozn}
 Laplaceovu transformaci jsme definovali i pro komplexní funkce $f$ a komplexní hodnoty $s$, pro naše účely ale budeme spíše uvažovat reálné funkce a reálné hodnoty $s$.
\end{pozn}

\begin{defin}
 Řekneme, že funkce $f:(0,\infty)\to \er$ je
 \begin{itemize}
   \item \emphdef{po částech spojitá na intervalu $[0,\infty)$}, pokud existuje vlastní $f(0^+):=\lim_{t\to 0^+} f(t)$ a pro každé $n\in\en$ existuje konečně mnoho bodů $b_1,\ldots,b_k$ takových, že funkce $f$ je spojitá v $(0,n)\setminus\{b_1,\ldots,b_k\}$ a v bodech $b_1,\ldots,b_k$ má funkce $f$ vlastní jednostranné limity.
   \item \emphdef{exponenciálního řádu $c\in\er$}, pokud existují konstanty $K,t_0 > 0$ takové, že $|f(t)|\leq Ke^{ct}$ pro každé $t\geq t_0$.
 \end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}
 Nechť funkce $f:(0,\infty)\to \er$ je po částech spojitá na $[0,\infty)$ a exponenciálního řádu $c\in\er$. Pak $\mathcal{L}(f)(s)$ existuje pro $s>c$ a $\lim_{s\to\infty}\mathcal{L}(f)(s) = 0$.
\end{prop}

\begin{prop}
 Nechť $s>0$, $f$ je reálná (nebo komplexní) funkce a nechť existuje $\mathcal{L}(f)(s)$. Pak
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item pro každé $a\in\ce$ máme $\mathcal{L}(af)(s) = a\mathcal{L}(f)(s)$,
  \item kdykoliv $g$ je reálná (nebo komplexní) funkce, pro kterou existuje $\mathcal{L}(g)(s)$, pak $\mathcal{L}(f+g)(s) = \mathcal{L}(f)(s) + \mathcal{L}(g)(s)$.
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{theorem}[Lerchova věta]
 Nechť $f,g:[0,\infty)\to \er$ jsou spojité funkce, pro které existuje $s_0\in\er$, že $\mathcal{L}(f)(s) = \mathcal{L}(g)(s)$ pro $s > s_0$. Pak $f = g$.
\end{theorem}

\begin{prop}[Laplaceova transformace a posunutí]
	Nechť $f:(0,\infty)\to \er$ je funkce. Označme $F:= \mathcal{L}(f)$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Pokud $F(s)$ existuje pro každé $s>0$, pak $F(s-a) = \mathcal{L}(e^{at}f(t))(s)$ pro $a<s$.
		\item $\mathcal{L}(\chi_{[a,\infty)}(t)\cdot f(t-a))(s) = e^{-as}F(s)$ kdykoliv je $s>0$ takové, že $F(s)$ je definováno a $a>0$.
	\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}[Derivace Laplaceovy transformace]Nechť funkce $f:(0,\infty)\to \er$ je po částech spojitá na intervalu $[0,\infty)$ a exponenciálního řádu $c\in\er$. Označme $F = \mathcal{L}(f)$. Pak
\[F^{(n)}(s) = \mathcal{L}((-1)^nt^nf(t))(s),\quad n\in\en,\; s> c.\]
\end{prop}

\begin{prop}[Laplaceova transformace derivace]
Nechť funkce $f:(0,\infty)\to \er$ je po spojitá na $(0,\infty)$ a exponenciálního řádu $c\in\er$ a nechť její derivace je po částech spojitá na intervalu $[0,\infty)$. Pak
\[
	\mathcal{L}(f')(s) = s\mathcal{L}(f)(s) - \lim_{t\to 0^+}f(t),\quad s>c.
\]
\end{prop}

\begin{corollary}
Nechť je dána funkce $f:(0,\infty)\to \er$ taková, že $f(t),\ldots,f^{(n-1)}(t)$ jsou spojité funkce na $(0,\infty)$ a exponenciálního řádu $c\in\er$ a nechť $f^{(n)}(t)$ je po částech spojitá na intervalu $[0,\infty)$. Pak
\[
	\mathcal{L}(f^{(n)})(s) = s^n\mathcal{L}(f)(s) - s^{n-1}f(0^+) - s^{n-2}f'(0^+) - \ldots - f^{(n-1)}(0^+),\quad s>c.
\]
\end{corollary}

\begin{pozn}Pokud derivace funkce $f:[0,\infty)\to \er$ splňuje, že je spojitá na $[0,\infty)$ a exponenciálního řádu $c\in\er$, pak to samé platí i pro funkci $f$.
\end{pozn}

\begin{prop}[Integrace Laplaceovy transformace]
	Nechť funkce $f:(0,\infty)\to \er$ je po částech spojitá na intervalu $[0,\infty)$, exponenciálního řádu $c\in\er$ a nechť existuje vlastní $\lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)}{t}$. Označme $F = \mathcal{L}(f)$. Pak
	\[
		\int_s^\infty F(x) \dx = \mathcal{L}\left(\frac{f(t)}{t}\right)(s),\quad s>c.
	\]
\end{prop}

\begin{prop}[Laplaceova transformace integrálu]
	Nechť funkce $f:(0,\infty)\to \er$ je po částech spojitá na intervalu $[0,\infty)$ a exponenciálního řádu $c\geq 0$. Pak
	\[
		\mathcal{L}(\int_0^t f(x) \dx)(s) = \frac{1}{s}\mathcal{L}(f)(s),\quad s>c.
	\]
\end{prop}

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Laplaceova transformace - tabulka}} \\
 \hline
$f(t)$ & $\mathcal{L}(f)(s)$\\
\hline\hline
\\[-1em]
1 & $\frac{1}{s}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$t^n$ & $\frac{n!}{s^{n+1}}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$\sqrt{t}$ & $\frac{\sqrt{\pi}}{2s\sqrt{s}}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$\frac{1}{\sqrt{t}}$ & $\sqrt{\frac{\pi}{s}}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$e^{at}\quad (a\in\er)$ & $\frac{1}{s-a}$, $s>a$\\
\hline
\\[-1em]
$t^ne^{at}\quad (a\in\er)$ & $\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$, $s>a$\\
\hline
\\[-1em]
$\cos(at)\quad (a\in\er)$ & $\frac{s}{s^2+a^2}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$\sin(at)\quad (a\in\er)$ & $\frac{a}{s^2+a^2}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$t\cos(at)\quad (a\in\er)$ & $\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$t\sin(at)\quad (a\in\er)$ & $\frac{2sa}{(s^2+a^2)^2}$, $s>0$\\
\hline
\\[-1em]
$e^{at}\sin(bt)\quad (a,b\in\er)$ & $\frac{b}{(s-a)^2+b^2}$, $s>a$\\
\hline
\\[-1em]
$e^{at}\cos(bt)\quad (a,b\in\er)$ & $\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}$, $s>a$\\
\hline
\\[-1em]
$\chi_{[a,\infty)}(t)\quad (a > 0)$ & $\frac{e^{-as}}{s}$, $s>0$\\
\hline
\end{tabular}

\section{Řešení diferenciálních rovnic pomocí Laplaceovy transformace}

Bylo ukázáno na konkrétních příkladech.
%viz. pdf kniha, Sekce 2.4
\newpage
\section{Fourierova transformace}

\begin{defin}
 Nechť $f\in L^1(\er)$ (tj. $f:\er\to\ce$ je funkce splňujcí $\int_\er |f(x)| \dx < \infty$). \emphdef{Fourierova transformace funkce $f$} je funkce $\widehat f$ definovaná předpisem
 \[\widehat f(t):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\er} f(x)e^{-itx} \dx,\quad t\in\er.\]
\emphdef{Inverzní Fourierova transformace funkce $f$} je funkce $\widecheck f$ definovaná předpisem
 \[\widecheck f(t):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\er} f(x)e^{itx} \dx,\quad t\in\er.\]
\end{defin}

\begin{pozn}Někdy také místo $\hat f$ používáme značení $\mathcal{F}(f)$ a místo $\widecheck{f}$ používáme někdy $\overline{\mathcal{F}}(f)$.
\end{pozn}

\begin{prop}Nechť $f\in L^1(\er)$. Pak $\hat f$ je omezen\'a spojit\'a funkce a
\[
\lim_{x\to\pm\infty} \widehat{f}(x) = \lim_{x\to\pm\infty} \widecheck{f}(x) = 0.
\]
\end{prop}

\begin{prop}[základn\'i vlastnosti Fourierovy transformace]
Nechť $f,g\in L^1(\er)$, $y\in\er$ a $\lambda > 0$. Pak plat\'i:
\begin{enumerate}[(i)]
	\item $\int_\er f(x)\cdot \widehat{g}(x) \dx = \int_\er \widehat{f}(x)\cdot g(x) \dx$.
	\item $\mathcal{F}(x\mapsto f(x-y))(t) = e^{-iyt}\cdot \widehat{f}(t)$ pro $t\in\er$.
	\item $\widehat{f}(t-y) = \mathcal{F}(x\mapsto f(x)\cdot e^{iyx})(t)$ pro $t\in\er$.
	\item $\mathcal{F}(x\mapsto f(\tfrac{x}{\lambda}))(t) = \lambda\widehat{f}(\lambda t)$ pro $t\in\er$.
	\item $\widecheck{f}(t) = \widehat{f}(-t)$ pro $t\in\er$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{theorem}[Fourierova transformace a derivace]
Nechť $f\in L^1(\er)$.
\begin{enumerate}[(i)]
	\item Pokud má funkce $f$ spojitou derivaci $f'\in L^1(\er)$, pak
	 \[\widehat{(f')}(t) = it\widehat{f}(t),\quad t\in\er.\]
	\item Pokud funkce $g(x):=xf(x)$ splňuje $g\in L^1(\er)$, pak $\widehat{f}$ má spojitou první derivaci a platí
	\[(\widehat{f}\;)'(t) = -i\widehat{g}(t),\quad t\in\er.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{prop}
	Nechť $\Phi(x) = e^{-x^2/2}$, $x\in\er$. Pak $\widehat{\Phi} = \Phi$.
\end{prop}

\begin{theorem}[o inverzn\'im vzorci]Nechť $f\in L^1(\er)$ a $\widehat{f}\in L^1(\er)$. Pak pro skoro všechna $x\in\er$ plat\'i
\[
	\widehat{\widecheck{f}}(x) = \widecheck{\widehat{f}}(x) = f(x)\quad \text{a}\quad f(x) = \widehat{\widehat{f}}(-x).
\]
\end{theorem}

\begin{defin}
	Nechť $f,g:\er\to\ce$ jsou měřitelné funkce. Jejich \emphdef{konvoluc\'i} $f * g$ rozumíme funkci definovanou předpisem
	\[
		f * g(x):= \int_\er f(x-t)g(t) \dt
	\]
pro ta $x\in\er$, pro kter\'a integr\'al konverguje.
\end{defin}

\begin{prop}[základní vlastnosti konvoluce]
	Nechť $f,g\in L^1(\er)$. Pak $f * g$ je skoro všude definovaná a skoro všude konečná. Navíc $f * g\in L^1(\er)$ a $(f * g)(x) = (g * f)(x)$ pro skoro všechna $x\in\er$.
\end{prop}

\begin{prop}[konvoluce a Fourierova transformace]
Nechť $f,g\in L^1(\er)$. Pak $\widehat{f * g} = \sqrt{2\pi}\;\;\widehat{f}\cdot\widehat{g}$.
\end{prop}

Řešení diferenciálních rovnic pomocí Fourierovy transformace bylo ukázáno na konkrétních příkladech.

\chapter{Variační počet}

V celé této kapitole budeme uvažovat následující předpoklady.

\medskip
\noindent\textbf{Předpoklady:} Nechť $a,b,A,B\in\er$, $a<b$ a $f\in\C^2([a,b]\times \er^2)$. Označme
\[
	M:=\{y\in\C^1([a,b])\setsep y(a)=A, y(b)=B\}
\]
a uva\v{z}ujme zobrazen\'i $F:M\to \er$ definovan\'e předpisem
\[
	F(y):=\int_a^b f(x,y(x),y'(x)) \dx,\quad y\in M.
\]
Argument funkce f značíme $(x, y, z)$. V
zájmu přehlednosti zápisu budeme dále používat značení $f_z = \frac{\partial f}{\partial z}$, atd.
\smallskip \\
Domluvme se ještě, že z důvodu zjednodušení budou v dalším výrazy $y'(a)$ a $y'(b)$ znamenat jednostranné derivace v těchto krajních bodech z vnitřní strany intervalu $(a, b)$. Podobně, budeme-li hovořit o splnění nějaké diferenciální rovnice na $[a, b]$, myslíme tím, že v krajních bodech tuto rovnici splňují odpovídající jednostranné derivace.

\begin{defin}Řekneme, že $y_0\in M$ je \emphdef{bodem lokálního minima zobrazení $F$}, pokud existuje $\varepsilon > 0$ takové, že $F(y_0)\leq F(y)$ kdykoliv $y\in M$ splňuje
\[\forall x\in[a,b]:\quad |y(x)-y_0(x)|<\varepsilon\; \&\;|y'(x)-y_0'(x)|<\varepsilon.\]
Analogicky definujeme \emphdef{bod lokálního maxima zobrazení $F$}.
\end{defin}

\begin{lemma}[DuBois-Reymondovo lemma]
Nechť $g\in\C([a,b])$ je funkce, pro kterou platí 
\[
	\int_a^b g(x)h'(x) \dx = 0, \;\text{pro každou funkci }h\in \C^1([a,b])\text{ splňující }h(a)=h(b)=0.
\]
Pak $g$ je konstantní na $[a,b]$.
\end{lemma}
%je tu kvuli prikladu princezny Dido .. v poznamkach Cerneho je jeste jedna verze, ktera se pry muze nekdy hodit (Lemma 1.26), tak uvidime jestli na to narazim

\begin{theorem}[Euler-Lagrangeova rovnice]
	Nechť $y_0\in M$ je bodem lokálního extrému zobrazení $F$. Pak funkce
	\[
		[a,b]\ni x\mapsto f_z(x,y_0(x),y_0'(x))
	\]
je spojitě diferencovatelná na $[a,b]$ a splňuje \emphdef{Euler-Langrangeovu rovnici}
	\begin{equation}\label{eq:ELpodminky}
		f_y(x,y_0(x),y_0'(x)) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}f_z(x,y_0(x),y_0'(x)) = 0,\quad x\in[a,b].
	\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[o regularitě minimizéru]
	Nechť $y_0\in M$ je bodem lokálního extrému zobrazení $F$ a $x_0\in(a,b)$ je bod splňující
	\[
		f_{zz}(x_0,y_0(x_0),y_0'(x_0)) \neq 0.
	\]
	Pak existuje $\delta > 0$ takové, že $y_0\in\C^2((x_0-\delta,x_0+\delta))$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o postačující podmínce globálního minima]
	Nechť navíc pro každé $(x,y,z)\in [a,b]\times \er^2$ platí
\[
f_{yy}(x,y,z)\geq 0,\quad f_{zz}(x,y,z)\geq 0,\quad f_{yy}(x,y,z)f_{zz}(x,y,z) - (f_{yz}(x,y,z))^2\geq 0.
\]%funkce $f$ splňuje, že pro každé $(x,y,z), (x,\tilde y, \tilde z)\in [a,b]\times \er^2$ platí
	%\begin{equation}\label{eq:postacujiciPodm}
		%f(x,\tilde y, \tilde z) - f(x,y,z)\geq (\tilde y - y)\cdot f_y(x,y,z) + (\tilde z - z)\cdot f_z(x,y,z).
	%\end{equation}
	Pak $y_0\in M$ je bodem globálního minima právě tehdy, když platí Euler-Langrangeova rovnice \eqref{eq:ELpodminky} a funkce $x\mapsto f_z(x,y_0(x),y_0'(x))$ je spojitě diferencovatelná na $[a,b]$.
\end{theorem}
%\begin{lemma}Pokud je pro každé $x\in[a,b]$ funkce $(y,z)\mapsto f(x,y,z)$ prvkem $\C^2(\er^2)$ a pokud pro každé $(x,y,z)\in [a,b]\times \er^2$ platí
%\[
%f_{yy}(x,y,z)\geq 0,\quad f_{zz}(x,y,z)\geq 0,\quad f_{yy}(x,y,z)f_{zz}(x,y,z) - (f_{yz}(x,y,z))^2\geq 0,
%\]
%pak pro každé $(x,y,z), (x,\tilde y, \tilde z)\in [a,b]\times \er^2$ platí \eqref{eq:postacujiciPodm}.
%\end{lemma}
\newpage
\begin{theorem}Jestli\v{z}e $f = f(y,z)$ nez\'avis\'i na prom\v{e}nn\'e ``$x$'' a $y_0\in M\cap \C^2([a,b])$ \v{r}e\v{s}\'i Euler-Lagrangeovu rovnici, pak
\[f(y_0,y_0') - y_0'f_z(y_0,y_0')\equiv C.\]
\end{theorem}
\begin{defin}Ať $N\subset M$. Řekneme, že $y_0\in M$ je \emphdef{bodem lokálního minima zobrazení $F$ vzhledem k množině $N$}, pokud existuje $\varepsilon > 0$ takové, že $F(y_0)\leq F(y)$ kdykoliv $y\in N$ splňuje
\[\forall x\in[a,b]:\quad |y(x)-y_0(x)|<\varepsilon\; \&\;|y'(x)-y_0'(x)|<\varepsilon.\]
Analogicky definujeme \emphdef{bod lokálního maxima zobrazení $F$ vzhledem k množině $N$}.
\end{defin}

\begin{theorem}[o Langrangeových multiplikátorech]
	Nechť $g\in \C^2([a,b]\times \er^2)$, $K\in\er$ a $y_0\in M$ je bodem lokálního extrému funkce $F$ vzhledem k množině $\{y\in M\setsep G(y)=K\}$, kde
	\[
		G(y):=\int_a^b g(x,y(x),y'(x)) \dx,\quad y\in M.
	\]
	Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Pro každou funkci $h\in \C^1([a,b])$ splňující $h(a)=h(b)=0$ platí
			\[
			\int_a^b g_y(x,y,y') h + g_z(x,y,y')h' \dx = 0. 
			\]
		\item Existuje číslo $\lambda\in\er$ takové, že $y_0$ je ``kritick\'ym bodem'' zobrazení $F - \lambda G$, tj.
		\begin{itemize}
			\item funkce $x\mapsto f_z(x,y_0(x),y_0'(x))$, $x\in [a,b]$ je spojitě diferencovatelná
			\item pro každé $x\in [a,b]$ platí
			\[
				f_y(x,y_0(x),y_0'(x)) - \lambda g_y(x,y_0(x),y_0'(x)) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(f_z(x,y_0(x),y_0'(x)) - \lambda g_z(x,y_0(x),y_0'(x))\right) = 0.
			\]
			\item pokud $x_0\in(a,b)$ je bod splňující
	\[
		f_{zz}(x_0,y_0(x_0),y_0'(x_0)) - \lambda g_{zz}(x_0,y_0(x_0),y_0'(x_0)) \neq 0,
	\]
	pak existuje $\delta > 0$ takové, že $y_0\in\C^2((x_0-\delta,x_0+\delta))$.
		\end{itemize}		
	\end{enumerate}
\end{theorem}

Na p\v{r}edn\'a\v{s}ce byly detailn\v{e} p\v{r}edvedeny klasick\'e \'ulohy varia\v{c}n\'iho po\v{c}tu: Nejkrat\v{s}\'i spojnice v rovin\v{e} a Probl\'em princezny Dido. D\'ale byla ve stru\v{c}nosti zm\'in\v{e}na \'uloha o zav\v{e}\v{s}en\'em \v{r}et\v{e}zu.
\end{document}