\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\newcommand\lne[1]{\mathcal L(#1)}
\newcommand\sg{\sigma}
\newcommand\spp[1]{\sigma_{\mathrm p}(#1)}
\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\teleso{\mathbb K}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\newcommand\Z{{\mathbb Z}}
\newcommand\Q{{\mathbb Q}}
%\newcommand\C{{\mathbb C}}
\newcommand\K{{\mathbb K}}
\newcommand\M{{\mathcal M}}
\def\setsep{:\;}
\def\C{\mathcal C}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \d {\, \mathrm{d}}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\def\vysledky{\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}}

\newtheorem{theorem*}{Věta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Vybrané partie z funkcionální analýzy, MFF}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
%\textbf{Podmínky k získání zápočtu:}\\
%Během zimního semestru budou uspořádány celkem dvě zápočtové písemky. Čas k vypracování každé zápočtové písemky je 45 minut, student za každou zápočtovou písemku může získat maximálně 20 bodů. Povoleny jsou pouze psací potřeby. Písemka je hodnocena jako \textit{splněná}, pokud student získá alespoň 7 bodů. V případě nesplnění zápočtové písemky je možné si písemku opravit dodatečným vypracováním tolika příkladů, kolik bodů studentovi chybí do sedmi. V těchto případech je nutná individuální domluva s cvičícím.

%Datum zápočtových písemek bude uvedeno minimálně 14 dní předem na webu, předběžný plán je psát první písemku na pátém cvičení (stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí), druhou na cvičení třináctém (mocinné řady, Fourierovy řady).\\[50pt]

\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 1}}\ \\
\textbf{1. Vyšetřete bodovou a stejnoměrnou konvergenci následujících posloupností funkcí}\\ \resetpr
\pr $f_n(x) = \tfrac{2nx}{1+n^2x^2}$ na $\mathbb R$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{2nx}{1+n^2x^2}$ na $[1,\infty)$;
\pr $f_n(x) = n\cdot\big(\sqrt{x+1/n} - \sqrt{x}\big)$ na $(0,\infty)$;\\
\pr $f_n(x) = \sqrt[n]{x^n + 3^n}$ na $[0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{(nx+2)^2}{n^2x^2 + 4}$ na $[0,2]$ a na $[2,\infty)$;
\pr $f_n(x) = nx(1-x)^n$ na $[0,1]$;\\
\pr $f_n(x) = \exp\big(n(|x-1|-2)\big)$ na $(0,1]$ a na $[1,3)$;
\pr $f_n(x) = \sin(\tfrac{x}{n})$ na $[-100,100]$ a na $\mathbb R$;\\[5pt]

\noindent\textbf{2. Nechť $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ a $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ jsou spojité funkce. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení (tj. podejte důkaz že tvrzení ne/platí).}\resetpr \\
(Připomeňme, že funkce $g:[0,1]\to \mathbb{R}$ je $1$-Lipschitzovská, pokud pro každé $x,y\in [0,1]$ platí $|g(x)-g(y)|\leq |x-y|$.)\\
\pr Pokud funkce $f_n$ jsou $1$-Lipschitzovské a $f_n(x)\to f(x)$ pro $x\in [0,1]$, pak funkce $f$ je $1$-Lipschitzovská.\\
\pr Pokud funkce $f_n$ jsou $1$-Lipschitzovské a $f_n(x)\to f(x)$ pro $x\in [0,1]$, pak $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$.\\
\pr Platí, že $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, právě když $f_n\rightrightarrows f$ na $(a,b)$ pro každé $0<a<b<1$.\\[20pt]
 Další užitečné zdroje příkladů:\\
- Ilja Černý: Inteligentní kalkulus. Online zde:\\ \url{http://matematika.cuni.cz/ikalkulus.html}\\
- Řešené příklady od Ondřeje Bouchaly. Online zde: (viz. cvičení k Matematické analýze 3):\\ \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~bouchala/Vyuka/}\\
- Příklady od Kristýny Kuncové z minulého semestru. Online zde:\\
\url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kuncova/historie20.php}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 2}}\ \\
\textbf{1. Vyšetřete bodovou, stejnoměrnou a lokálně stejnoměrnou konvergenci následujících posloupností funkcí}\\ \resetpr
\pr $f_n(x) = e^{n(x-1)}$ na $(0,1)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{nx}{1+n+x}$ na $(0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{\log nx}{n}$ na $(0,\infty)$;\\
\pr $f_n(x) = (1+\tfrac{x}{n})^n$ na $[0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{n^2 - x^2}{n^2 + x^2}$ na $\mathbb{R}$;
\pr $f_n(x) = x^ne^{-x^2/n}$ na $(-1,1)$;\\
\pr $f_n(x) = nx\log(1+\tfrac{1}{nx})$ na $(0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = n\sin \tfrac{x}{n}$ na $\mathbb{R}$;
\\[5pt]

\noindent\textbf{2. Nechť jsou dány funkce $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ a $f:[0,1]\to \mathbb{R}$. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení (tj. podejte důkaz že tvrzení ne/platí).}\resetpr \\
\pr $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, právě když existuje množina $E\subset [0,1]$ míry nula splňující že $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]\setminus E$;\\
\pr Pokud jsou funkce $f_n$ a $f$ spojité, pak $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, právě když $\int_0^1 |f_n(t)-f(t)| \d t \to 0$;\\[10pt]
\pr Pokud jsou funkce $f_n$ a $f$ spojité, pak $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, právě když existuje množina $E\subset [0,1]$ míry nula splňující že $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]\setminus E$;\\[10pt]
\noindent\textbf{3. Nechť jsou dány $1$-Lipschitzovské funkce $f_n:[0,1]\to [0,1]$. Dokažte, že existuje podposloupnost $f_{n_k}$ a spojitá funkce $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ splňující, že $f_{n_k}\rightrightarrows f$ na $[0,1]$.}\\
(Hint: pomocí diagonálního argumentu nejprve nalezněte podposloupnost $f_{n_k}$ splňující, že pro každé racionální číslo $q\in [0,1]$ existuje limita $\lim_k f_{n_k}(q)$)
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 3}}\ \\
\textbf{1. Odpovězte na otázky: Pro jaké $x$ řada konverguje? Na jakém intervale konverguje řada stejnoměrně nebo lokálně stejnoměrně? Na jakém intervale je součet řady spojitá funkce?}\\ \resetpr
\pr $\sum_{n=1}^\infty x^n$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{nx}{1+n^5x^2}$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \log(1+\tfrac{x^2}{n^2})$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \exp(-(n+x^2))$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty (-x^2 + 6x - 8)^n$;\\
\pr $\sum_{n=1}^\infty x^2e^{-n^2x^2}$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \log(1+\tfrac{x^2\sin^2x}{n^2})$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{1+n^2x^2}$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{x}{1+n^2x^2}$;\\[5pt]

\noindent\textbf{2. Uvažujte funkci $f(x):=\sum_{n=0}^\infty (3/4)^n g(4^nx)$, kde $g(x)$ je $2$-periodické rozšíření funkce $|x|$ (tj. $g(x+2)=g(x)$). Dokažte, že $f$ je spojitá funkce, která nemá v žádném bodě vlastní derivaci.}\\[3pt]
Hint: Důkaz spojitosti je standardní. Pro důkaz neexistence derivace v bodě $x$ ukažte, že pro každé $k\in\mathbb{N}$ existuje $\delta_k \in\{\pm \tfrac{1}{2\cdot 4^k}\}$ takové, že
\begin{equation}\label{eq:gcka}
|g(4^nx + 4^n\delta_k) - g(4^nx)| \begin{cases} = 0 & n>k\\ = \tfrac{1}{2} & k=n\\ \leq 4^n\delta_k & n<k.\end{cases}
\end{equation}
Použijte pak pro každé $k\in\mathbb{N}$ odhad
\[
\Big|\frac{f(x+\delta_k)-f(x)}{\delta_k}\Big| \geq \Big|\sum_{n=k}^\infty \Big(\frac{3}{4}\Big)^n \frac{g(4^nx + 4^n\delta_k) - g(4^nx)}{\delta_k}\Big| - \sum_{n=1}^{k-1}\Big(\frac{3}{4}\Big)^n\frac{|g(4^nx + 4^n\delta_k) - g(4^nx)|}{\delta_k}
\]
a s pomocí \eqref{eq:gcka} odvoďte, že $\Big|\frac{f(x+\delta_k)-f(x)}{\delta_k}\Big|\to \infty$ a tedy $f$ nemá derivaci v bodě $x$.
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 4}}\ \\
\textbf{1.} Dokažte, že funkce $f$ daná předpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(1+\frac{x}{n})}{\sqrt{n}}, \quad x\in\er\]
je spojitá na $\mathbb{R}$ a vyjádřete $f'(0)$ jako součet řady.\\[5pt]
\textbf{2.} Dokažte, že pro funkci $f$ danou předpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x|}{n^2+x^2}, \quad x\in[-1,1]\]
platí $f\in \C([-1,1])$. Spočtěte $f'(\tfrac{1}{2})$ a $f'(0)$.\\[5pt]
\textbf{3.} Dokažte, že pro funkci $f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$, $x\in(1,\infty)$ platí $f\in \C^\infty((1,\infty))$.\\[5pt]
\textbf{4.} Dokažte, že pro funkci $f$ danou předpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\cdot \log(\tfrac{2x-2}{n^{3}} + 3), \quad x\in(0,\infty)\]
platí $f\in \C((0,\infty))$. Ukažte, že tato funkce má vlastní derivaci na intervalu $[1,\infty)$ a že $\sup_{x\geq 1} |f'(x)|<\infty$.\\[5pt]
\textbf{5.} Nechť funkce $f$ je dána předpisem
\[
f(x):=\sum_{n=1}^\infty \Big(\cos\big(\tfrac{2x-1}{3}\pi\big)\Big)^n.
\]
Nalezněte definiční obor $f$ (tj. ta $x$ pro která je řada konvergentní). Dále dokažte, že funkce $f$ je na intervalu $(\tfrac{1}{2},2)$ spojitá, má na tomto intervalu vlastní derivaci a najděte maximum funkce $f$ na intervalu $[1,\tfrac{5}{4}]$.\\[5pt]
\textbf{6.} Ať $g:[0,1]\to\mathbb{R}$. Rozhodněte, jaké implikace platí mezi následujícími tvrzeními.
\begin{itemize}
    \item Funkce $g$ je spojitá skoro všude a $|g(x)|<1$ pro každé $x\in [0,1]$.
    \item Řada $\sum_{n=1}^\infty (g(x))^n$ je stejnoměrně konvergentní na $[0,1]$.
    \item Funkce $g$ je spojitá a $|g(x)|<1$ pro každé $x\in [0,1]$.
\end{itemize}
\textbf{7.} Nech\v{t} je d\'ana posloupnost funkc\'i $(f_n)_{n=1}^\infty$ p\v{r}edpisem
	\[f_n(x) = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{|x+\tfrac{1}{n^2}| - |x-\tfrac{1}{n^2}|}{|x+\tfrac{1}{n^2}| + |x-\tfrac{1}{n^2}|},\quad x\in\er,n\in\en.\]	
Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ je spojit\'a v bod\v{e} $3$ a že je klesaj\'ic\'i na intervalu $(2,\infty)$.\\[5pt]
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 5}}\ \\
\textbf{1.} Ukažte, že funkce $f$ daná předpisem
\[
f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x}
\]
je spojitá na $(-1,\infty)$.\\[5pt]
\textbf{2.} Vyšetřete, zda je řada
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n}\arctan(nx)
\]
stejnoměrně a lokálně stejnoměrně konvergentní na $(0,2\pi)$.\\[5pt]
\textbf{3.} Vyšetřete, zda je řada
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\arcsin(x^n)\frac{x}{1+n^2x^2}
\]
stejnoměrně a lokálně stejnoměrně konvergentní na $(0,1)$.\\[20pt]
\textbf{Zadání zápočtové písemky, varianta A:}\\[5pt]
\textbf{1.} Pro $n\in\mathbb{N}$ uvažujme funkce 
\[
f_n(x) = \tfrac{(-1)^n}{n}\arctg\big(\tfrac{3x-2}{n+1}+2\big),\quad x\in\er.
\]
\begin{itemize}
    \item Platí, že posloupnost funkcí $f_n$ je stejnoměrně konvergentní na $\mathbb{R}$?
    \item Dokažte, že funkce $f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ je spojitá na $\mathbb{R}$.
\end{itemize}

\noindent\textbf{2.} Pro $n\in\mathbb{N}$ uvažujme funkce
\[
    f_n(x) = n\log\Big(\frac{|\sin x|}{n} + 1\Big),\quad x\in \mathbb{R}
\]
\begin{itemize}
    \item Nalezněte funkci $f$ splňující $f_n\to f$.
    \item Platí, že posloupnost funkcí $f_n$ je stejnoměrně konvergentní na $\mathbb{R}$?\\
    (Hint: můžete bez důkazu použít nerovnost $|\log(1+y) - y|\leq \tfrac{y^2}{2}$, $y\geq 0$)
\end{itemize}

\noindent\textbf{3.} Nechť $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$ a $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ jsou spojité funkce a $f_n\to f$ na $[0,1]$. Rozhodněte, jaké implikace platí mezi následujícími tvrzeními a své tvrzení dokažte.
\begin{itemize}
    \item $f_n\rightrightarrows f$.
    \item $\tfrac{f_{2n-1}+f_{2n}}{2}\rightrightarrows f$.
\end{itemize}
\textbf{Zadání zápočtové písemky, varianta B:}\\[5pt]
\textbf{1.} stejné jako ve variantě A, jen s funkcemi $f_n(x) = \tfrac{(-1)^n}{n+1}\arctg\big(\tfrac{2x-5}{n}+3\big)$.\\[5pt]
\textbf{2.} stejné jako ve variantě A, jen s funkcemi $f_n(x) = n\log\Big(\frac{|\cos x|}{n} + 1\Big)$.\\[5pt]
\textbf{3.} Nechť $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$ a $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ jsou spojité funkce a $f_n\to f$ na $[0,1]$. Rozhodněte, jaké implikace platí mezi následujícími tvrzeními a své tvrzení dokažte.
\begin{itemize}
    \item $f_n\rightrightarrows f$.
    \item Existuje podposloupnost $(f_{n_k})$ splňující $f_{n_k}\rightrightarrows f$.
\end{itemize}\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 6}}\ \\
\textbf{1. Nalezn\v{e}te polom\v{e}r konvergence n\'asleduj\'ic\'ich mocninn\'ych \v{r}ad. Ur\v{c}ete oblasti absolutn\'i
konvergence, neabsolutn\'i konvergence a divergence.}\\[5pt]\resetpr
\pr $\suma \frac{n^7}{n+20}x^n$
\pr $\suma \frac{n!}{a^{n^2}}x^n\;(a>1)$
\pr $\suma \frac{3^n+(-2)^n}{n} (x+1)^n$
\pr $\suma \frac{(3+(-1)^n)^n}{n}x^n$\\[5pt]
%sami
\pr $\suma \frac{6^n+(-2)^n}{n^2}(x-1)^n$
\pr $\suma \frac{\big(1 + 2\cos \tfrac{\pi n}{4}\big)^n}{n}x^n$
\pr $\suma \frac{x^n}{a^n + b^n}\;(a,b>0)$
\pr $\suma \frac{1}{a^{\sqrt{n}}} x^n\;(a>0)$\\[5pt]
\pr $\suma \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$ (Hint: na kruhu konvergence použijte Stirlingův vzorec: $\lim_{n\to\infty} \tfrac{1}{\sqrt{n}}\Big(\tfrac{e}{n}\Big)^n n! = \sqrt{2\pi}$)\\[5pt]
\\[5pt]
\noindent\textbf{2. Najděte mocninnou řadu, která}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item Diverguje pro $x=0$.
    \item Konverguje pro $x=5$, ale nikde jinde.
    \item Má střed konvergence v $0$, poloměr konvergence roven $2$ a konverguje pro $2$, ale diverguje pro $-2$.

\end{enumerate}
\noindent\textbf{3. Nalezn\v{e}te polom\v{e}r konvergence n\'asleduj\'ic\'ich mocninn\'ych \v{r}ad. Ur\v{c}ete oblasti absolutn\'i
konvergence, neabsolutn\'i konvergence a divergence.}\\[5pt]\resetpr
\pr $\suma (1+\tfrac{1}{n})^{n^2}x^n$ \pr $\suma \left(\frac{a^n}{n}+\frac{b^n}{n^2}\right)x^n\;(a,b>0)$ 
\pr $\suma \frac{1}{2^n}x^{n^2}$\\[5pt] \pr $\suma \frac{n^n}{n!}x^n$ (Hint: na kruhu konvergence použijte Stirlingův vzorec)\\[20pt]
 Další užitečné zdroje příkladů:\\
- Příklady připravoené k Matematické analýze 2 z let 2012/13 a 2016/2017. Online zde:\\ \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}\\
- Příklady od Kristýny Kuncové z minulého semestru. Online zde:\\
\url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kuncova/historie20.php}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 7}}\ \\
\textbf{1. Vyjádřete následující funkce jako mocninnou řadu o středu 0:}\resetpr \\
\pr $e^{-x^2}$ \pr $(1+x)\log(1+x)$ \pr $\frac{1}{(1-x)^2}$ \pr $\arctg x$ \pr $\arctg\left(\frac{2 - 2x}{1 + 4x}\right)$\\[5pt]
\textbf{2. Sečtěte řady všude na intervalu konvergence:}\resetpr \\
\pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+5}}{n!}$
\pr $\suma nx^n$
\pr $\suma n^2 x^n$
\pr $\suma (-1)^{n+1} n^2 x^n$
\pr $\suma (n-1)(n+3)x^{2n}$\\[5pt]
%\pr $\sumaO \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
%\pr $\sumaO \frac{x^{4n}}{(4n)!}$
%\pr $\suma (n-1)(n+3)x^{2n}$
%\pr $\suma \frac{n^2 - 1}{3^n\;n!}\;x^n$
\textbf{3. Řekneme, že reálná funkce $f$ je \emph{vyjádřitelná na okolí nuly jako mocninná řada} (zkráceně ``je (MR)''), pokud existuje $\delta>0$ a posloupnost $(a_n)\in \R^\N$ splňující, že $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, $x\in (-\delta,\delta)$. Určete, jaké implikace platí mezi následujícími tvrzeními o reálné funkci $f$ definované na okolí nuly a své tvrzení dokažte.}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item  $f$ je (MR).
    \item $f$ je (MR) a existuje $k\in\N\cup\{0\}$ splňující $f^{(k)}(0)\neq 0$.
    \item Existuje $k\in\N\cup\{0\}$ a $g$ která je (MR) a $g(0)\neq 0$ tak, že na nějakém otevřeném okolí nuly platí $f(x) = x^kg(x)$.
    \item $f$ má na okolí nuly spojité derivace všech řádů (tj. $f\in C^\infty((-\delta,\delta))$ pro nějaké $\delta>0$).
\end{enumerate}
\textbf{4. Sečtěte řady všude na intervalu konvergence:}\resetpr \qquad
\pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
\pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n}}{(4n)!}$\\[5pt]
\textbf{5. Vyjádřete následující funkci jako mocninnou řadu o středu 0:}\resetpr 
\pr $\frac{4}{(x-3)(x+1)}$\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 8}}\ \\
\textbf{1. Rozvi\v{n}te funkce $f(x) = \frac{1}{1-x}$, $g(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$ v mocninn\'e \v{r}ady se st\v{r}edem v bod\v{e} $x_0=-1$ a stanovte polom\v{e}r konvergence t\v{e}chto \v{r}ad.}\\[5pt]
\textbf{2. Rozvi\v{n}te funkci $\exp(x)$ v mocninnou \v{r}adu se st\v{r}edem v bod\v{e} $x_0=1$ a stanovte polom\v{e}r konvergence této \v{r}ady.}\\[5pt]
\textbf{3. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady v\v{s}ude na intervalu konvergence:}\\ \resetpr
\pr $\suma \frac{x^n}{n(n+1)}$
\pr $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \tfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$
\pr $\suma (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n(2n-1)}$\\[5pt]
\textbf{4. Rozvi\v{n}te funkce $f(x) = \frac{1}{x-3}$, $g(x) = \frac{x}{x-3}$ v mocninn\'e \v{r}ady se st\v{r}edem v bodech $x_0 = 0$ a $x_0 = 1$ a stanovte polom\v{e}r konvergence t\v{e}chto \v{r}ad.}\\[5pt]
\textbf{5. Rozvi\v{n}te funkce $f(x) = \exp(x)$, $g(x) = x\exp(x)$ v mocninn\'e \v{r}ady se st\v{r}edem v bodě $x_0 = -17$ a stanovte polom\v{e}r konvergence t\v{e}chto \v{r}ad.}\\[5pt]
\textbf{6. Určete, zda mají následující funkce $f$ konečnou variaci na $[0,1]$}\\ \resetpr
\pr $f(x)=\sqrt{x}$ \pr $f(x) = \begin{cases} 1 & x\in [0,1]\cap \qe\\ 0 & x\in [0,1]\setminus \qe\end{cases}$ \pr $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\tfrac{1}{x} & x\in (0,1]\\ 0 & x=0\end{cases}$
\pr $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\tfrac{1}{x^2} & x\in (0,1]\\ 0 & x=0\end{cases}$\\
\pr $f(x) = \begin{cases}\tfrac{1}{1-x} & x\in [0,1)\\ 0 & x=1\end{cases}$\\[5pt]
\textbf{7. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}adu $\suma \frac{n^2 - 1}{3^n\;n!}\;x^n$ v\v{s}ude na intervalu konvergence} \newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 9}}\ \\
\textbf{1. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady:}\\ \resetpr
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{n}$
\pr $\suma \frac{n}{2^n}$
%% zacinaji priklady k procviceni
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{2n+1}$
\pr $\suma \frac{n(n+1)}{2^n}$
\pr $\suma \frac{(-1)^nn^3}{3^n}$
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{4^n(2n+1)}$\\
\pr $\suma \frac{(-1)^{n-1}}{4n^2 - 1}$
\pr $\suma (-1)^n\frac{2n+3}{(n+1)2^n}$
\pr $\suma \frac{(-1)^nn^2}{2^n\;n!}$\\[5pt]
\textbf{2. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady v\v{s}ude na intervalu konvergence:}\\ \resetpr
\pr $\suma \tfrac{n^2}{n!}x^{n+2}$
\pr $\suma (-1)^n \tfrac{3n+1}{2n^2+n}x^{2n+1}$
\pr $\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n+1} \tfrac{n-1}{n!}x^n$\\[5pt]

\textbf{Výsledky:}\\
\textbf{1.}\resetpr \pr $-\log 2$ \pr $2$ \pr $\frac \pi4 - 1$ \pr $8$ \pr $\frac{3}{128}$ \pr $2\arctg(1/2) - 1$ \pr $\frac \pi4 - \frac 12$ \pr $-2\log(\frac 23) - \frac 53$ \pr $-\frac{1}{4\sqrt{e}}$\\[5pt]
\textbf{2.}\resetpr \pr $e^x(x^4 + x^3)$, $x\in\mathbb{R}$ \pr $-x + \arctan x - x \log(1 + x^2)$, $x\in [-1,1]$ \pr $(1-x)e^{-x} - 1 + 2x$, $x\in\mathbb{R}$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 10}}\ \\
\textbf{1. Určete, jaké implikace platí mezi následujícími tvrzeními o funkci $f:[0,1]\to\mathbb{R}$.}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $f$ má konečnou variaci na $[0,1]$,
    \item $|f|$ má konečnou variaci na $[0,1]$,
    \item $f$ je omezená.
\end{enumerate}
\textbf{2. Určete, které z následujících funkcí $f:[0,1]\to \R$ mají konečnou variaci, které jsou absolutně spojité a které jsou Lipchitzovké.}\\ \resetpr
\pr $f(x) = x$ \pr $f(x) = x^2$ \pr $f(x) = \sqrt{x}$ \pr $f(x) = \begin{cases}1 & x \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ 0 & x\in (\tfrac{1}{2},1]\end{cases}$ \pr $f(x) = \begin{cases} x\sin\tfrac{1}{x} & x\in (0,1]\\ 0 & x=0\end{cases}$\\[5pt]
\textbf{3. Určete, jaké implikace platí mezi následujícími tvrzeními o funkci $f:[0,1]\to\mathbb{R}$.}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $f$ je absolutně spojitá na $[0,1]$,
    \item $|f|$ je absolutně spojitá na $[0,1]$,
    \item $f$ má omezenou derivaci na $[0,1]$.
\end{enumerate}
\textbf{4. Rozložte ve Fourierovy řady periodické prodloužení následujících funkcí}\\
\resetpr \pr $f(x)=x,\quad x\in[-\pi,\pi)$
\pr $f(x)=x^2,\quad x\in[0,2\pi)$
\pr $f(x) = \begin{cases}0& x\in [-5,0]\\ 3& x\in (0,5)\end{cases}$
\pr $f(x) = |x|,\quad x\in[-2,2]$\\[5pt]
\textbf{5.} Ukažte, že
\begin{enumerate}
    \item $BV([0,1])$ je vektorový podprostor prostoru $\ell_\infty([0,1]) = \{f:[0,1]\to \R\colon f \text{ je omezená}\}$,
    \item předpis $\|f\|_{BV}:=\|f\|_\infty + V(f)$ definuje normu na $BV([0,1])$,
    \item Je--li $\rho$ metrika na $BV([0,1])$ generovaná normou $\|\cdot\|_{BV}$, pak $(BV([0,1]),\rho)$ je úplný metrický prostor.\\
    \emph{Hint: můžete použít, že $(\ell_\infty([0,1]),\|\cdot\|_\infty)$ je úplný}
\end{enumerate}
\textbf{6.} Ukažte, že
\begin{enumerate}
    \item $AC([0,1])$ je vektorový podprostor prostoru $BV([0,1])$,
    \item předpis $\|f\|_{AC}:=\|f\|_\infty + \|f'\|_{L_1}$ definuje normu na $AC([0,1])$,
    \item je--li $\rho$ metrika na $AC([0,1])$ generovaná normou $\|\cdot\|_{AC}$, pak $(AC([0,1]),\rho)$ je úplný metrický prostor,\\
        \emph{Hint: použijte úplnost prostoru $L_1$, Newton-Leibnitzovu formuli pro absolutně spojité funkce a záměnu limity a integrálu}
    \item pro $f\in AC([0,1])$ platí $\|f\|_{AC} = \|f\|_{BV}$.\\
     \emph{Hint: je třeba ukázat, že $V(f) = \|f'\|_{L_1}$. Pro důkaz nerovnosti $\leq$ použijte definici variace a Newton-Leibnitzovu formuli pro absolutně spojité funkce. Pro důkaz nerovnosti $\geq$ postupujte takto: Nechť $F(t) = V(f; 0,t)$ je variace $f$ na $[0,t]$. Pak $F$ je neklesající, $|f(s)-f(t)|\leq F(s)-F(t)$ pro $0\leq t\leq s\leq 1$. Tedy $|f'|\leq  F'$ skoro všude na $[0,1]$. Odtud odvoďte, že $\|f'\|_{L_1}\leq F(1)-F(0) = V(f)$.}
\end{enumerate}\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 11}}\ \\
\textbf{1. Rozložte ve Fourierovy řady $2\pi$-periodické prodloužení následujících funkcí, rozhodněte zda příslušná řada konverguje bodově/lokálně stejnoměrně/stejnoměrně na $\R$ a určete její součet. Nakonec pak určete součet zadané číselné řady.}\\ \resetpr 
\pr $f(x) = \pi^2 - x^2$, $x\in(-\pi,\pi]$; $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$%kuncova
\pr $f(x) = e^x$, $x\in(-\pi,\pi]$; $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n}}{n^2+1}$\\%kuncova
\pr $f(x) = \sin(3x) + 4x$, $x\in(-\pi,\pi]$; $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1}\sin n}{n}$%kuncova
\pr $f(x) = \begin{cases}1 & x\in (0,\pi)\\ 0 & x\in (\pi,2\pi)\\ \tfrac{1}{2} & x\in\{0,\pi,2\pi\}.\end{cases}$; $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{\sin(2n-1)}{2n-1}$\\%kuncova
\pr $f(x) = \begin{cases} 0& x\in [-\pi,-\tfrac{\pi}{6}]\cup[\tfrac{\pi}{6},\pi]\\ \cos(3x)& x\in(-\tfrac{\pi}{6},-\tfrac{\pi}{6})\end{cases}$; $\sum_{n=1,n\neq 3}^\infty \frac{\cos^2 \tfrac{n\pi}{6}}{(9-n^2)^2}$%kalkulus 3
\pr $f(x) = \tfrac{1}{4}\pi\sgn x$, $x\in (-\pi,\pi]$; $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$%ilja cerny
\\[5pt]
\textbf{2. Které koeficienty Fourierovy řady funkce $f\in \mathcal{P}_{2\pi}$ jsou nulové, jestliže platí}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $f(x+\pi) = -f(x)$
    \item $f(x+\pi) = f(x)$
    \item $f(-x) = f(x)$ a $f(x + \pi) = - f(x)$
\end{enumerate}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 12}}\ \\
\textbf{1. Rozviňte následující funkce do sinové/kosinové Fourierovy řady. Nalezněte intervaly, kde řada konverguje (bodově/stejnoměrně/lokálně stejnoměrně) a určete její součet. Určete pak součet číselných řad, pokud je v zadání číselná řada uvedena.}\\ \resetpr
%\pr $x^2$ na $(0,\pi)$ do sinové řady
\pr $\sgn(\sin(3x))$ na $[0,\pi)$ do cosinové řady. Určete součet $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(3k+1)(3k+2)}$\\
\pr $\cos(ax)$ pro $a>0$ na $[0,\pi)$ do sinové řady\\
\pr $\chi_{[-a,a]}$ pro $a\in (0,\pi)$ na $[0,\pi)$ do cosinové řady. Určete součty $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{\sin^2(na)}{n^2}$ a $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{\cos^2(na)}{n^2}$.\\
(můžete bez důkazu použít, že $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$)\\[5pt]

\noindent\textbf{2. S pomocí Parsevalovy rovnosti odvoďte z rozvoje $x^2$ do Fourierovy řady na $[-\pi,\pi]$, čemu je roven součet řady $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n^4}$.}\\

\noindent\textbf{3. Sečtěte $\sum_{n=1}^\infty q^n\sin(nx)$ pro $q\in (-1,1)$.  Je tato řada Fourierovou řadou svého součtu?}\\
(\emph{Hint:} použijte komplexní čísla, tj. $\sin(nx) = \operatorname{Im}(e^{inx})$)\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 13}}\ \\
\textbf{Zadání zápočtové písemky, varianta A:}\\[5pt]
\textbf{1.} Sečtěte řadu
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2}{(3n+6)3^n}\]

\noindent\textbf{2.} Uvažujme funkci \[f(x) = \begin{cases}3x & x\in [0,\tfrac{1}{4}]\\ 0 & x\in (\tfrac{1}{4},\pi]\end{cases}\]
Rozviňte ji v sinovou Fourierovu řadu, tj.nalezněte koeficienty $b_k$, $k\in \N$ takové, že platí
    \[
    f(x) = \sum_{k=1}^\infty b_k \sin(kx), \quad x\in (0,\pi)\setminus\{\tfrac{1}{4}\}.
    \]
    (nejprve nalezněte příslušné koeficienty a pak s pomocí vět z přednášky dokažte, že splňují žádanou rovnost)\\[5pt]
\textbf{Zadání zápočtové písemky, varianta B:}\\[5pt]
\textbf{1.} Sečtěte řadu
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{3}{(2n+4)4^n}\]

\noindent\textbf{2.} Uvažujme funkci \[f(x) = \begin{cases}x & x\in [0,\tfrac{1}{3}]\\ 0 & x\in (\tfrac{1}{3},\pi]\end{cases}\]
Rozviňte ji v cosinovou Fourierovu řadu, tj. nalezněte koeficienty $a_k$, $k\in \N\cup\{0\}$ takové, že platí
    \[
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos(kx), \quad x\in (0,\pi)\setminus\{\tfrac{1}{3}\}.
    \]
    (nejprve nalezněte příslušné koeficienty a pak s pomocí vět z přednášky dokažte, že splňují žádanou rovnost)
    
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 14}}\ \\
\textbf{1. Je Cantorovo diskontiunuum souvislá množina?}\\[5pt]
\textbf{2. Nechť $A,B\subset \R^2$ jsou souvislé množiny. Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení.}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $A\cap B$ je souvislá množina.
    \item Pokud je $A\cap B\neq \emptyset$, pak $A\cup B$ je souvislá množina.
    \item $A\setminus B$ je souvislá množina.
    \item Pokud jsou $A$ a $B$ křivkově souvislé a $A\cap B\neq \emptyset$, pak $A\cup B$ je křivkově souvislá množina.
\end{enumerate}
\textbf{3. Dokažte, že každá konvexní množina v $\R^n$ je křivkově souvislá.}\\[5pt]
\textbf{4. Sestrojte dvě disjunktní souvislé množiny $A$ a $B$ v $[0,1]^2$ takové, že $\{(0,0),(1,1)\}\subset A$ a $\{(1,0),(0,1)\}\subset B$.} (stačí obrázek)\\[5pt]
\textbf{5. Existuje spočetný metrický prostor s alespoň dvěma body, který je souvislý?}\\[5pt]
\textbf{6. Je množina $\{(0,0)\} \cup \{(t\sin \tfrac{1}{t},t\cos \tfrac{1}{t})\colon t\in(0,1]\}\subset \R^2$ křivkově souvislá?}\\[5pt]
\textbf{7.} Nechť $(M,d)$ je metrický prostor. Uvažujme následující podmínku
\begin{equation}\label{eq:retez}
    \forall \varepsilon>0 \forall x,y\in M\; \exists x_0,\ldots,x_n: \quad x_0=x, \; x_n=y \text{ a } d(x_{i},x_{i+1})<\varepsilon \text{ pro } i=0,\ldots,n-1.
\end{equation}
Dokažte, že pokud je $M$ souvislý, pak splňuje \eqref{eq:retez} a že opačná implikace neplatí. Dále ukažte, že pokud je $M$ kompaktní, pak je souvislý, právě když platí \eqref{eq:retez}. Jaké implikace (mezi souvislostí a podmínkou \eqref{eq:retez}) platí, pokud je $M$ úplný metrický prostor?\\[5pt]
\textbf{8. Dokažte, že pokud $(M,d)$ je souvislý metrický prostor a $f:M\to \R$ lokálně konstantní (tj. pro každé $x\in M$ existuje $\varepsilon>0$ že $f$ je konstantní na $B(x,\varepsilon)$), pak $f$ je konstantní.}
\end{document}