Součiny vektorů

Základní idea předmětu
Znáte definice a základní vlastnosti skalárního součinu, vektorového součinu, vnějšího součinu, smíšeného součinu? Pokud ano, možná si kladete některé z následujících otázek.

• Nešlo by všechny tyto součiny sjednotit do jediné přehledné teorie?
• ... a tato teorie by navíc byla jednoduchá, zavedení instruktivní, vše by šlo jednoduše odvodit pomocí prostých výpočtů?
• Nešlo by z této jednotné teorie získat dobrou motivaci pro zavedení jednotlivých běžně používaných součinů?
• Nešlo by determinant definovat na základě jednoduché motivace, z níž by definice přirozeně vyplynula? (Tj. jednodušeji než pomocí znamének permutací a součtu přes všechny permutace.)
• Nešlo by na jediném řádku dokázat Cramerovo pravidlo?
• Nešlo by do toho všeho snadno a přirozeně zahrnout komplexní čísla a jejich geometrii?
• Nešlo by do toho všeho snadno a přirozeně zahrnout hyperkomplexní čísla (zejména kvaterniony) a jejich geometrii?
• Nešlo by snadno popsat souměrnosti v prostorech libovolné dimenze?
• Nešlo by snadno popsat otočení kolem libovolné osy v prostorech libovolné dimenze?
• Nešlo by snadno popsat projekce v prostorech libovolné dimenze?
• Nešlo by dobře motivovat a snadno formalizovat orientaci vektorových prostorů?
• Pokud fandíte fyzice, co takhle snadno a rychle odvodit Keplerovy zákony či vztahy ze speciální teorie relativity, mít místo 4 Maxwellových rovnic jednu jedinou, ...

Nikoho asi nepřekvapí, že na všechny otázky začínající „Nešlo by...“ je jednoduchá odpověď: šlo.
Na základě prací Hamiltona a Grassmanna vytvořil roku 1878 britský matematik William Kingdon Clifford (1845-1879) základy této teorie. Bohužel, v březnu 1879 zemřel, nestihl tak své myšlenky dostatečně rozpracovat a rozšířit. Vzniklé algebry se po něm nazývají Cliffordovy algebry, případně se hovoří o geometrické algebře a geometrickém součinu.
V posledních desetiletích došlo k rozvoji tohoto aparátu, který zastřešuje hned několik oblastí matematiky. Ukázalo se, že se jedná o velmi mocný nástroj. Formulace mnohých výsledků z lineární algebry, geometrie, vektorové analýzy, komplexních čísel, (i z fyziky) ... lze zjednodušit a ujednotit. Tento jednotící pohled pak umožňuje nový pohled na mnohé části matematiky včetně té školské (skalární součin, vektorový součin, komplexní čísla, geometrická zobrazení).

Literatura

• Macdonald, Alan: A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus. Adv. Appl. Clifford Algebras 27 (2017), 853-891.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony: Geometric algebra for Physicists. CUP, Cambridge, 2003.
• Hildenbrand, Dietmar: Foundations of Geometric Algebra Computing. Geometry and Computing 8. Springer, 2013.
• Josipović, Miroslav: Geometric Multiplication of Vectors. An Introduction to Geometric Algebra in Physics. Birkhäuser, 2020.
• Goldman, Ron: Rethinking Quaternions. Theory and Computation. Synthesis lectures on computer graphics and animation #13. Morgan & Claypool, Berkeley, 2010.


• Perwass, Christian: Geometric algebra with Applications in Engineering. Springer, 2009.
• Bayro-Corrochano, Eduardo; Scheuermann, Gerik (eds.): Geometric Algebra Computing in Engineering and Computer Science. Springer, 2010.
• Kaufmann, Morgan: Geometric Algebra for Computer Science. An Object-Oriented Approach to Geometry. Elsevier, 2007.
• Snygg, John: A New Approach to Differential Geometry Using Clifford's Geometric Algebra. Birkhäuser, 2012.
• Klawitter, Daniel: Clifford Algebras. Geometric Modelling and Chain Geometries with Application in Kinematics. Springer Spektrum, 2015.