Geometrická algebra
NMTM264, 0/2 letní semestr, 2 kr., zápočet
Anotace
Volitelný seminář věnovaný geometrickému součinu, který poskytuje motivaci, propojení a nadhled různým součinům vektorů (vektorový, skalární, smíšený, vnější), determinantům, komplexním číslům a kvaternionům, pojmům dobře známým z lineární algebry (lineární formy, duální báze, ortogonální doplněk, ...), Cramerovu pravidlu (odvození na jediný řádek); geometrický součin navíc umožňuje elegantní popisy různých geometrických objektů a operací s nimi (přímky, roviny, nadroviny, souměrnosti, rotace, ...).
Základní idea předmětu
Znáte definice a základní vlastnosti skalárního součinu, vektorového součinu, vnějšího součinu, smíšeného součinu? Pokud ano, možná si kladete některé z následujících otázek.
- Nešlo by všechny tyto součiny sjednotit do jediné přehledné teorie?
- ... a tato teorie by navíc byla jednoduchá, zavedení instruktivní, vše by šlo jednoduše odvodit pomocí prostých výpočtů?
- Nešlo by z této jednotné teorie získat dobrou motivaci pro zavedení jednotlivých běžně používaných součinů?
- Nešlo by determinant definovat na základě jednoduché motivace, z níž by definice přirozeně vyplynula? (Tj. jednodušeji než pomocí znamének permutací a součtu přes všechny permutace.)
- Nešlo by na jediném řádku dokázat Cramerovo pravidlo?
- Nešlo by do toho všeho snadno a přirozeně zahrnout komplexní čísla a jejich geometrii?
- Nešlo by do toho všeho snadno a přirozeně zahrnout hyperkomplexní čísla (zejména kvaterniony) a jejich geometrii?
- Nešlo by snadno popsat souměrnosti v prostorech libovolné dimenze?
- Nešlo by snadno popsat otočení kolem libovolné osy v prostorech libovolné dimenze?
- Nešlo by snadno popsat projekce v prostorech libovolné dimenze?
- Nešlo by dobře motivovat a snadno formalizovat orientaci vektorových prostorů?
- Pokud fandíte fyzice, co takhle snadno a rychle odvodit Keplerovy zákony či vztahy ze speciální teorie relativity, mít místo 4 Maxwellových rovnic jednu jedinou, ...
Nikoho asi nepřekvapí, že na všechny otázky začínající „Nešlo by...“ je jednoduchá odpověď: šlo.
Na základě prací Hamiltona a Grassmanna vytvořil roku 1878 britský matematik William Kingdon Clifford (1845-1879) základy této teorie. Bohužel, v březnu 1879 zemřel, nestihl tak své myšlenky dostatečně rozpracovat a rozšířit. Vzniklé algebry se po něm nazývají Cliffordovy algebry, případně se hovoří o geometrické algebře a geometrickém součinu.
V posledních desetiletích došlo k rozvoji tohoto aparátu, který zastřešuje hned několik oblastí matematiky. Ukázalo se, že se jedná o velmi mocný nástroj. Formulace mnohých výsledků z lineární algebry, geometrie, vektorové analýzy, komplexních čísel, (i z fyziky) ... lze zjednodušit a ujednotit. Tento jednotící pohled pak umožňuje nový pohled na mnohé části matematiky včetně té školské (skalární součin, vektorový součin, komplexní čísla, geometrická zobrazení).
Sylabus
- vektorový a smíšený součin - opakování, motivace
- vnější součin a determinant - opakování, motivace
- komplexní čísla a kvaterniony - opakování, motivace
- geometrická algebra (GA) - zavedení
- geometrický součin vektorů, dělení vektorem
- souvislost se skalárním, vektorovým a vnějším součinem
- Cramerovo pravidlo - odvození na jediném řádku
- vyjádření některých geometrických vztahů pomocí geometrického součinu
- pseudoskalár - základní vlastnosti
- dualita, ortogonální doplněk, reprezentace přímky, roviny
- projekce a ejekce, souměrnosti
- rotace kolem dané osy
- další modely:
- projektivní geometrická algebra (PGA)
- konformní model (CGA)
Literatura
- Macdonald, Alan: A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus. Adv. Appl. Clifford Algebras 27 (2017), 853-891.
- Doran, Chris; Lasenby, Anthony: Geometric algebra for Physicists. CUP, Cambridge, 2003.
- Hildenbrand, Dietmar: Foundations of Geometric Algebra Computing. Geometry and Computing 8. Springer, 2013.
- Vince, John: Geometric Algebra. An Algebraic System for Computer Games and Animation. Springer, 2009.
- Kanatani, Kenichi: Understanding Geometric Algebra. Hamilton, Grassmann, and Clifford for Computer Vision and Graphics. CRC Press, Taylor & Francis Group, 2015.
- Perwass, Christian: Geometric algebra with Applications in Engineering. Springer, 2009.
- Dorst, Leo, Fontijne, Daniel, Mann, Stephen: Geometric Algebra for Computer Science. Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007.
- Dorst, Leo: A Guided Tour to the Plane-Based Geometric Algebra PGA. 2020. zde v pdf
- Josipović, Miroslav: Geometric Multiplication of Vectors. An Introduction to Geometric Algebra in Physics. Birkhäuser, 2020.
- Goldman, Ron: Rethinking Quaternions. Theory and Computation. Synthesis lectures on computer graphics and animation #13. Morgan & Claypool, Berkeley, 2010.
- Bayro-Corrochano, Eduardo; Scheuermann, Gerik (eds.): Geometric Algebra Computing in Engineering and Computer Science. Springer, 2010.
- Kaufmann, Morgan: Geometric Algebra for Computer Science. An Object-Oriented Approach to Geometry. Elsevier, 2007.
- Snygg, John: A New Approach to Differential Geometry Using Clifford's Geometric Algebra. Birkhäuser, 2012.
- Klawitter, Daniel: Clifford Algebras. Geometric Modelling and Chain Geometries with Application in Kinematics. Springer Spektrum, 2015.