Kvantové opravné kódy

Kvantové opravné kódy do jisté míry kopírují klasické opravné kódy. Snaží se jeden logický qubit nahradit kódovým slovem, které je navrženo tak, aby přes náhodné prohození některé jeho části bylo stále možné odhalit, že došlo k chybě, případně tuto chybu odstranit. To je možné tehdy pokud v sobě kódová slova obsahují mezi jednotlivými qubity vzájemné závislosti. První kvantový kód navrhl v roce 1995 Peter Shor. Ten zakódoval jeden logický qubit pomocí 9 fyzických propletených qubitů. Stavy $\vert\rangle$ a $\vert 1\rangle$ kóduje pomocí stavů $\vert_E\rangle$ a $\vert 1_E\rangle$, jejichž definice jsou shrnuty v tabulce.

qubit	Shorův kód - 9-qubitový
$\vert_E\rangle$	$\frac{1}{2\sqrt{2}}(\vert00\rangle + \vert 111\rangle)(\vert00\rangle + \vert 111\rangle)(\vert00\rangle + \vert 111\rangle)$
$\vert 1_E\rangle$	$\frac{1}{2\sqrt{2}}(\vert00\rangle - \vert 111\rangle)(\vert00\rangle - \vert 111\rangle)(\vert00\rangle - \vert 111\rangle)$

Novější metoda, kterou vymysleli vědci ze skupiny Raymonda Laflammeho proti tomu používá jen 5 qubitů.

qubit	Laflammeho kód - 5-qubitový
$\vert_E\rangle$	$\frac{1}{2\sqrt{2}}(\vert0000\rangle + \vert0110\rangle + \vert1001\rangle - \vert1111\rangle +$
	$\vert 10011\rangle + \vert 10101\rangle + \vert 11010\rangle - \vert 11100\rangle)$
$\vert 1_E\rangle$	$\frac{1}{2\sqrt{2}}(\vert 11111\rangle + \vert 11001\rangle + \vert 10110\rangle - \vert 10000\rangle +$
	$\vert1100\rangle - \vert1010\rangle - \vert0101\rangle - \vert0011\rangle)$

Kvantová oprava chyb se skládá z několika kroků:
- procesu kódování stavů $\vert\rangle \rightarrow \vert_E\rangle, \vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_E\rangle$,
- vzniku chyby ve stavu zakódovaných qubitů,
- dekódování chybového stavu,
- určení chybového syndromu (tj. chyby, která nastala),
- aplikace unitární transformace k opravě stavu.

Pro kódování a dekódování existují příslušné kvantové obvody. V případě Laflammeho kódu je obvod složen z bran CNOT, Hadamardovy transformace H a podmíněné rotace o úhel $\pi$. Jeden qubit je v tomto obvodu informační, ostatní čtyři opravné. Laflammeho schéma přitom dokáže opravit jednu ze tří typů chyb. Jsou to chyby prohození bitu, znaménka nebo bitu i znaménka pro všechny bity kódového slova. Konkrétní chyba je detekována výpočtem chybového syndromu a odstraněna aplikací příslušné opravné transformace. V případě 5-qubitového kódu se výpočet syndromu provádí aplikací kódovacího obvodu v opačném směru. Například pokud pro syndrom $\vert000\rangle$ (což odpovídá čtyřem opravným qubitům po opačné aplikaci kódovacího obvodu) nedošlo ve stavu $\omega_0 \vert\rangle + \omega_1 \vert 1\rangle$ k chybě, pak pro syndrom $\vert 1000\rangle$ došlo k prohození druhého bitu kódového slova.

Kvantová oprava chyb je velmi důležitá oblast kvantové informatiky, protože podmiňuje samotnou realizaci kvantového počítače. O univerzálních kvantových počítačích odolných chybám a běžících nepřetržitě se však dá nyní pouze spekulovat. Není totiž jasné, zda lze dekoherenci zabránit na stálo, případně zda se během výpočtu nebudou muset předávat částečné výsledky vzniklé v čase koherence mezi více uzly kvantového počítače. Navíc je zřejmé, že u opravných kódů je problémem samotný proces de/kódování, o kterém nemůžeme přímo tvrdit, že je bezchybný. Také množina popsaných chyb, ke kterým v kvantových systémech dochází nemusí být nutně úplná.