Tato učebnice základů matematické analýzy je určena především posluchačům studia učitelství matematiky, může však být užitečnou pomůckou i při studiu matematiky na jiném zaměření. Před několika lety jsem přednášel na semináři v Ústí n/L. o výuce pro učitelské studium; vzhledem k zájmu, který přednáška vzbudila, jsem se rozhodl napsat tento učební text. Název má naznačit, že text může být též užitečnou pomůckou i pro přednášející, kteří rádi obohacují výklad historickými poznámkami, nebo pro středoškolské učitele, hledající určitý nadhled nad látkou, kterou učí, nebo zajímavé příklady.
Text obsahuje značný počet historických poznámek i ukázek ze starších českých učebnic analýzy. Materiál v textu obsažený přesahuje rozsahem možnosti standardního kurzu, neuchyluje se však tématicky od jeho náplně. Neuzavírá žádnou možnost přístupu k látce, takže by měl být snadno použitelný i při jiném uspořádání látky apod. Historické poznámky jsou psány v každé kapitole nezávisle na předchozím textu.
Podstatnou část textu bez rozšiřujících doplňků tvoří látka, probíraná na MFF v prvních třech semestrech (rozsah 4/2, 4/2, 2/2); důkazy některých hlubších tvrzení bylo nutno odložit a vést výklad tak, aby bylo probráno řešení jednoduchých diferenciálních rovnic na konci prvního semestru. Toto uspořádání bylo vyvoláno potřebami fyziků; není z hlediska matematiky přirozené. V textu nejsou zařazeny partie o funkcích více proměnných, kterým bezprostředně předcházel výklad o metrických prostorech (na konci druhého semestru) zhruba v tom rozsahu, který popisuje text. Partie o stejnoměrné konvergenci jsem se snažil zařadit do přednášky co nejpozději, neboť je považuji za velmi náročné. Při užití textu je však již věcí přednášejícího, např. kterou sčítací metodou se bude zabývat podrobněji a která z uvedených tvrzení sdělí jen informativně, případně přenechá studentům k úvaze, zda se o nich budou chtít samostatně dozvědět něco nad rámec přednášky. Oba extrémní případy (nezařadit do přednášky nic či naopak vše) by byly škodlivé.
U všech důležitých vět jsem se snažil určit autora i dobu, z níž věta pochází. Hvězdička u údaje, např. Bolzano 1817 * varuje čtenáře před ukvapenými závěry: je nutno si přečíst na jiném místě textu další komentář; vodítkem je jmenný rejstřík. Zejména u starších výsledků jsem nezkoumal originální prameny, neboť v cizojazyčné literatuře jsou knihy s historickými komentáři velmi oblíbené a měl jsem tedy nejen odkud čerpat, ale nechyběla i možnost srovnání. Pouze u několika dat uváděných rozdílně jsem se pokusil přiklonit se k tomu správnému. U novějších výsledků však bylo často nutné sáhnout k originálním pramenům.
Za každou kapitolou je uvedena relevantní literatura, obecné prameny k historii jsou shromážděny za závěrečnou kapitolou. Věřím, že tyto údaje budou užitečné při vysokoškolské výuce analýzy i pro vyučující neučitelských specializací.
Text psaný kurzívou v běžném textu (nebo antikvou v kurzívním textu ) je záměrně zvýrazněn: tam by měl čtenář zbystřit pozornost, eventuálně zapojit i paměť. Zvýrazněny jsou zejména všechny zaváděné pojmy. Jména matematiků jsou při prvním výskytu v kapitole tištěna kapitálkami ; takový údaj obsahuje životopisná data a plné jméno (pokud nejde jen o označení věty). Věcný i jmenný rejstřík k oběma dílům jsou uvedeny na konci druhého dílu.
V textu je řada poměrně elementárních příkladů, často s vazbou na středoškolskou látku, text však prakticky neobsahuje cvičení; jsem přesvědčen, že počet příkladů, které je třeba samostatně vyřešit, je silně individuální, a že dobrou sbírku příkladů má mít student stále k dispozici. V budoucnu by měla být k dispozici sbírka řešených příkladů, kterou připravuje RNDr. Jiří Kottas, CSc.; ta bude pomůckou pro nácvik početní techniky.
Text vznikl z přednášek, které jsem konal v letech 1995/6 a 1996/7. Za řadu podnětů a připomínek vděčím studentům a Mgr. Evě Fašangové, která první část textu četla. Podněty přispěli též recenzenti doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc. z MU Brno a RNDr. Jiří Kottas, CSc. z MFF UK Praha. Děkuji všem, kteří mi pomohli při zpracování textu s obrázky i s jazykovými úpravami. Pomocníků nebylo málo, dvěma bych však rád poděkoval jmenovitě: prof. RNDr. Ivan Netuka, DrSc. přispěl mnoha podnětnými připomínkami, které výrazně ovlivnily závěrečné zpracování textu; velmi cennými připomínkami a opravami přispěl též student MFF UK Petr Jiříček, který také přepsal podstatnou část textu do elektronické podoby. Text je psán v LaTeXu 2e a je mým prvním dobrodružstvím s tímto populárním makrem; rád sděluji, že jsem ocenil jeho "user-ready" nabídnuté možnosti i jeho stabilitu. Dlužno říci, že za chyby, které v textu zůstaly, jsem odpovědný výhradně já; uvítám komentář, upozornění na chybějící partie i chyby včetně přepisů, na e-mailové adrese jvesely@karlin.mff.cuni.cz. Na www-stránce na adrese
uveřejňuji přehled oprav včetně jmen těch, kteří mě na chyby upozornili. Pokud se čtenářům zalíbí text takto prokládaný historickými komentáři a ukázkami, pokusím se analogicky zpracovat i další partie základního kurzu.
Praha, duben 1997
Jiří Veselý