Faculty of Mathematics and Physics

Odpovědi na některé připomínky studentů IES ke kurzům matematiky

Kurzy matematiky pro IES FSV UK bývají většinou studenty dobře hodnoceny (viz hodnocení kurzů na FSV UK). Mezi připomínkami se však pravidelně objevují i kritické hlasy. I když jsou v menšině, na některé z nich bych rád reagoval.
Některé se týkají technicko-organizačních věcí (čitelnost písma, kapacita poslucháren atp.). Pokud závisejí na nás, snažíme se je zohlednit. Některé však na nás nezávisejí (jako třeba počet studentů a kapacita poslucháren), a tak s nimi nemůžeme nic udělat.
Objevují se i hlasy kritizující a zpochybňují samu podstatu kurzů matematiky. Tyto hlasy jsou v menšině a vyskytují se zejména u Matematiky I, o něco méně u Matematiky II a v dalších semestrech jsou již ojedinělé. To vede k domněnce, že patří zejména těm, kteří mají s matematikou závažné problémy a z velké části u zkoušek neuspějí. Rád bych však i na tyto hlasy reagoval.

Níže uvádím výběr z připomínek v hodnocení studentů. Šlo o odpověď na otázku, co navrhujete na kurzu vylepšit. Po citacích z připomínek vždy uvádím svou reakci.

  • Bohužel, zatím asi nevidím přínos matematizace ekonomie a s ní spojenou výuku MAT.
  • Snížit obtížnost či zpomalit tempo … nejsme na MatFyzu... Ačkoli bych chtěl studovat ekonomii, tento přematematizovaný přístup mě dokonale odradil.
  • Myslím si, že na této škole je matematika zbytečně velice těžká! Probraná látka se víc hodí pro výuku na MFF. Myslím si, že by měl být dán větší důraz na ekonomii a obtížnost matematiky by mohla být snížená.


Odpověď: Názor, že matematizovaná ekonomie je nesmysl, zpopularizoval Tomáš Sedláček. Je to názor legitimní a myslím, že na něm i něco je. Ale není to tak snadné. Je třeba si uvědomit několik věcí:
  • Na IES se přednáší matematizovaná ekonomie. Je tomu tak již dlouho a je to dobře známo. Proto bych očekával, že lidé, kteří považují matematizovanou ekonomii za nesmysl, půjdou studovat jinam. Že půjdou studovat něco, co podle nich smysl má. (Stejně tak si někdo může myslet, že nesmyslem je muzikologie, filosofie, sociologie či cokoli jiného. Ať si to klidně myslí, ale pak ať ten příslušný obor nechodí studovat.)
  • Na tvrzeních Tomáše Sedláčka o tom, jak se používá matematika v ekonomii, něco je. Myslím si však, že problémem není primárně to, že ekonomové matematiku používají příliš, ale to, že ji používají špatně. Že ji používají, aniž jí rozumí. Na podrobnější analýzu zde není místo. (Pár poznámek k tomuto tématu najdete zde.)
  • Je velký rozdíl mezi tím, když někdo po dlouhém studiu a pečlivých úvahách dojde k závěru, že použití matematiky v ekonomii má své meze, a vyjádří to v nadsázce bonmotem, že matematizovaná ekonomie je nesmysl; a tím, když někdo tímto bonmotem omlouvá svou nechuť studovat.

  • Snížit obtížnost, důkazy jsou ekonomům na nic.
  • Navrhuji, aby se zrušily důkazy - nepomůžou nám v ničem, jen to zatěžuje studenty, kteří by se rádi věnovali i něčemu jinému - znění vět více než postačuje.
  • !zrušit důkazy! , věty omezit jen na nutné k počítání příkladů, zrušit ústní část zkoušky, více praktického zaměření
  • menej důkazů, vět a poznámek, menej teórie

Odpověď: Pokud někdo chce vysoce praktické zaměření, měl jít studovat jinam (viz odpověď na první sadu připomínek). Zadání, které nám dalo vedení IES, je vyučovat matematiku. Takže vyučujeme matematiku. A do matematiky důkazy patří. Podrobněji:
  • Od studentů na univerzitě očekávám, že se chtějí toho co nejvíc naučit a opravdu pochopit. Chtít se naučit jen nezbytné minimum, jen to, co v životě opravdu budu potřebovat, je špatný cíl. Jednak předem nevím, co budu potřebovat, a navíc k tomu, abych opravdu uměl to nezbytné, se potřebuji učit mnohem víc.
  • Pokud ekonomové chtějí používat matematiku, musí jí poměrně dobře rozumět. Nejvíce škody napáchají ti, co používají věci, kterým nerozumí.
  • Důkazy na přednášce slouží k tomu, aby studenti pochopili, proč příslušné věty platí a proč mají právě takové předpoklady a ne jiné. Memorování znění vět bez jejich pochopení je k ničemu. Neznalost důvodů, proč věta platí, vede k zapomínání předpokladů, a tedy ke špatnému používání.
  • Samozřejmě bereme ohled na to, že studenti nejsou budoucími matematiky, a tak žádné opravdu těžké důkazy neděláme ani nezkoušíme.


  • Snížit obtížnost.
  • Znížit náročnost.
  • Zmenšit množstvo učiva.
  • zníženie požadavok na ústnu skúšku (alebo jej úplné zrušenie)

Odpověď: Matematika je těžká. Tak to je a změnit to nelze. Má-li se tedy učit matematika, nemůže to být lehké. Proto také náročnost patří k základním vlastnostem a pozitivům kurzů matematiky. Podrobněji:
  • Připadá mi divné, když studenti na univerzitě požadují, aby se toho naučili méně. Tedy aby studium bylo méně přínosné.
  • Kurzy matematiky jsou sice náročné, ale nikoli nezvládnutelné. Výsledky studentů u zkoušek nejsou nijak katastrofální, ale naopak, vcelku uspokojivé. Stačí se podívat na statistiky úspěšnosti.
  • A co by se stalo, kdybychom snížili náročnost? Zkušenost říká, že pokud bychom nastavili nižší laťku a tu konsistentně udržovali, studenti se přizpůsobí. Tedy - s výjimkou prvního roku platnosti - úspěšnost u zkoušek bude stejná, ale studenti toho budou umět méně. Přesně to se stalo, když se před lety zvýšil počet opravných termínů z jednoho na dva. V prvním roce po změně byla úspěšnost vyšší, v následujícím roce se vrátila na původní úroveň.
  • A pokud jde o ústní zkoušky: V posledních letech je módou tvrdit, že ústní zkoušení je přežitek, že stačí písemné zkoušky. Že ústní zkoušení je subjektivní, zatímco písemné je objektivní. Já se nicméně domnívám, že ústní zkoušení je v matematice jen velmi obtížně nahraditelné:
      • Umět matematiku neznamená jen umět něco spočítat (tedy dojít správným algoritmem ke správnému výsledku), ale hlavně rozumět tomu, co při tom počítání dělám a proč. Umění počítat limity, derivace nebo integrály má smysl jen, pokud vím, co to je limita, derivace a integrál.
      • To, zda pojmům a větám rozumíte, pozná jen někdo, kdo jim sám rozumí a ví, co to znamená rozumět. A to jsou přednášející a zkoušející. Nepoznají to pouze z písemky (i když v extrémních případech ano), ale jen z reakcí na položené otázky.
      • Při hodnocení ústních zkoušek je vždy přítomen subjektivní prvek. Je zmírněn losováním sad otázek a bodovacím systémem. Ale úplně vyloučit jej nelze. Bylo by jistě možné vymyslet čistě objektivní systém písemného zkoušení. Ten by sice testoval objektivně, ale zato by testoval něco, na čem až tak moc nezáleží, a ne to podstatné (totiž porozumění).


    • Trochu zmírnit požadavky pro udělení zápočtu.
    • Systém zápočtových testů, zavedl bych vyšší toleranci vzhledem k postupům, nejen k výsledkům.

    Odpověď: Podmínky na zápočet jsou tak mírné, že mírnější si již nedokážu představit. Myslím si, že lidé, kteří neumějí upravovat výrazy, řešit kvadratické rovnice a jednoduché nerovnice s absolutní hodnotou, by neměli studovat ekonomii. Rozhodně bych nechtěl, aby takoví lidé rozhodovali v bance, ve které mám účet, nebo se podíleli na propočítávání dopadů ekonomických reforem.
    Vyšší tolerance vzhledem k postupům - to je eufemismus pro rezignaci na matematiku. V matematice jde o to dobrat se ke správným výsledkům správným postupem. Jedině správný postup, tj. použití platných vět v situacích, kdy jsou použitelné (neboli když jsou splněny jejich předpoklady), totiž zaručí správnost výsledku. Jinak bych mohl rovnou věštit z křišťálové koule. A občas bych se určitě trefil do správného výsledku, nicméně bych nevěděl, že je správný.

    • Počítat více příkladů, nelíbí se mi, že je kurz založen na matematické teorii.

    Odpověď: No, a na čem jiném by měl být kurz matematiky založen? I kdyby šlo jen o počítání, pak nemohu správně počítat bez znalostí matematické teorie. Musím vědět, které kroky při výpočtu jsou přípustné a které ne. A to už je matematická teorie. A úplně nejlepší je nejen vědět, které kroky jsou přípustné, ale také vědět proč.

    • nevim, ve výsledku je stejně třeba se učit na vše sám, i po účasti na všech přednáškách

    Odpověď: Zde pisatel dobře vystihl podstatu vysokoškolského studia. Ano, na přednáškách něco vysvětluji a snažím se to vysvětlit co nejlépe. Ale naučit se to musíte sami. To za vás neudělám ani já ani sebelepší přednášející. Bez vlastního úsilí se člověk nic nenaučí.