Matematická analýza 1 (nmma101) cvičení 2015, zimní semestr
Přednáška
Přednášku vede prof. L. Pick. Zde je jeho webová stránka.
Cvičení
Podmínky pro získání zápočtu:
Postačující podmínkou pro udělení zápočtu je 50% účast na cvičeních a dvě splněné zápočtové písemky. Během zimního semestru budou uspořádány celkem tři zápočtové písemky, z toho dvě v průběhu cvičení a jedna opravná. Každá zápočtová písemka bude obsahovat tři příklady z oblastí matematické analýzy odpovídající náplni prvního semestru. Čas k vypracování každé zápočtové písemky je 30 minut. Povoleny jsou pouze psací potřeby. Písemka je hodnocena jako napsaná pokud student správně vyřeší alespoň dva ze tří příkladů. V případě nesplnění zápočtových písemek je možné získat zápočet za domácí vypracování sedmi nebo patnácti příkladů (podle toho, zda studentovi chybí jedna nebo dvě splněné písemky). V těchto případech je nutná individuální domluva s cvičícím.
Doporučená literatura:
[P] L. Pick: Příklady ke cvičením, soubor .pdf,
L. Pick, S. Hencl, J. Spurný, M. Zelený: Matematická analýza 1, soubor .pdf,
[Z] L. Zajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník, Matfyzpress, 2005,
[K] J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky II, 1996.
Skutečný průběh cvičení:
13.1. --- průběhy funkcí: [P, 8.1 c, 8.3 c], průběh ze vzorové zkouškové písemky, naznačení problémů s derivací \(arcsin ({2x \over x^2+1})\)
11.1. --- aplikace derivací: l'Hospitalovo pravidlo, odhady rychlosti konvergence, monotonie posloupností pro konvergenci řad --- [P, 7.4 c, 7.2 c, falešný opravný zápočtový test, \(\sum arccotg(n^2)\), \(\sum \sin(\pi \sqrt{n^2+1})\), \(\lim {2\sqrt{1+x}-3\sqrt[3]{1+x}+1\over x^2}\), \(\sum (-1)^n{(\log n)^{58} \over \sqrt n}\)
6.1. --- 2. zápočtový test---zde je jeho řešení, derivace [P, 7.6 e] zbytek, [P, 7.6 f], [P, 7.10 d] náznak
4.1. --- limity [P, 6.3c, 7.1], falešný 2. zápočtový test, derivece: součtu, součinu, složené funkce, [P, 7.6 e] pouze v \(x\) různé od \(0\)
21.12. --- limity s exp a lg, [Z, 79, 84], chovani exp, lg a mocnin \(x\) u \(+\infty\) a u \(0\). Učte se!!!
16.12. --- [Z, 70,71,73,79], základní limity pro funkce sin,tg,cos,cotg,arcsin,arccos,arctg,arccotg
14.12. --- řada \(\sum (-1)^{[\sqrt n]}/n^\alpha\), limity funkcí: \(\lim x, \lim P(x), \lim P(x)/Q(x)\), [Z, 69]
9.12. --- druhý způsob důkazu divergence řady \(\sum |\sin(n)|/n^\alpha\), konvergence řady \(\sum \cos(n\pi/4)\log^{58}(n)/n^\alpha\), první zápočtová písemka, vzor je na webu prof. Picka. Zadání a řešení je naskenováno zde.
7.12. --- neabsolutně konvergentní řady: použití Abelova a Dirichletova kriteria, \(\{\sin(nx)\}\) má omezené částečné součty, vyšetření konvergence \(\sum \sin(n)/n^\alpha\)
2.12. --- neabsolutně konvergentní řady: \(\sum (-1)^n/n^\alpha \), \(\sum (-1)^n/(n+(-1)^n) \), \(\sum (-1)^n/(\sqrt n+(-1)^n)\), \(\sum (-1)^n/(\sqrt n+\sin(n))\)
30.11. --- pomocí kondenzačního kriteria \(\sum 1/n^\alpha\) konverguje právě, když \(\alpha>1\), podobně \(\sum 1/(n(\log n^\alpha))\) a \(\sum 1/(n\log n(\log\log n)^\alpha)\) , [K, Sekce 5.2, 76, 92, varianta 97, varianta 99], Bonus: Dokažte, že pro všechna \(q\in\mathbb Q\) existuje \(C>0\) takové, že pro všechna \(x\in(0,1)\) platí \(|(1+x)^q-(1+qx)|\leq Cx^2\). Pokud příklad vypracujete písemně, rád ho zkontroluji.
25.11. --- BC podmínka konv. řad - \(\sum_{k=1}^{+\infty} k^{-1}=+\infty\), \(\sum_{k=1}^{+\infty} k^{-\alpha}\in\mathbb R\) pro \(\alpha>1\) (náznak), konvergence řad pomocí srovnávacího kriteria - [P, 4.1], [P, 4.2 a,b], bonus - vyřešte [Z, 54] pomocí BC podmínky, bez dělení posloupnosti
23.11. --- Bolzano Cauchyova podmínka - divergence posloupnosti \( a_n=(-1)^n\), \(a_n=\cos(n)\), [Z, 54], konvergence řad - \(\sum_{k=1}^{+\infty} k^{-\alpha}=+\infty\) pro \(\alpha<1\), součet \(\sum_{n=1}^{+\infty}{1\over n(n+1)}=1\), \(\sum_{n=1}^{+\infty}{1\over(2n-1)(2n+3)}={1\over 3}\)
18.11. --- [Z, 66 a,b,c], [Z, 67 a]
16.11. --- \(\lim_{n->+\infty}n((1+{1\over n})^n-e)=-{e\over2}\) vypočítat to budeme umět až se znalostí l'Hospitalova pravidla, \(\limsup, \liminf\), [Z, 65, 66]
11.11. --- limity monotonnich/rekurentních posloupnosti: \(\lim_{n->+\infty}(1+2/n)^n=e^2\), [P,3.9], [Z,50], [Z,52].
9.11. --- [P, 3.6, 3.8], Bernoulliho nerovnost, \(e=\lim_{n->+\infty}(1+1/n)^n\), [Z, 43, 44, 45], doma: [Z, 46], důkaz věty o limitě monotonní posloupnosti.
4.11. --- limity s odmocninami, [P, 3.5], [Z, 29], bonus: [Z, 59].
2.11. --- [P, 3.1], [P, 3.2 c] + idea sečtení \(\sum_{k=1}^n k^5\), hrátky s \(\sqrt[n]{\cdot}\), [P, 3.3], \(\lim_{n->+\infty}\sqrt{n!}\) pomocí AG nerovnosti. Dodělejte to doma!.
26.10. --- limita posloupnosti: \(\lim a_n=+\infty\), věta o aritmetice limit, věta o strážnících, limity posloupností: \(P(n)/Q(n)\), \(P,Q\) polynomy, \(n/a^n\), \(n!/a^n\), \(n^k/a^n\), \(n!/(n/a)^n\)
bonus: existuje \(\lim \sin(n)\)? Jak vypadá množina \(M\) všech hromadných bodů? Tj. \(M=\{x\in \mathbb R;\) existuje vybraná posloupnost \(\{\sin(n_k)\}_{k=1}^{+\infty}\) s limitou \(x\}\).
21.10. --- mohutnosti: Podmnožina konečné množiny je konečná. Podmnožina spočetné množiny je spočetná. \(\mathbb N x\mathbb N\) je stejně mohutná jako \(\mathbb N\). \(\mathbb Q\) je stejně mohutná jako \(\mathbb N\). Obraz spočetné množiny je spočetná množina.
19.10. --- infimum, supremum: [P, 2.3b, 2.5a], [Z, 21, 23, 24], extra: Spočtěte \(\sup M, M=\{\sin(n), n\in \mathbb N\}\)
14.10. --- infimum, supremum: [P, 2.3, 2.5]
12.10. --- důkazová technika, výroky: [P, 1.13, 1.5 (iii), (iv), 1.8, 2.1, 1.6 b],
7.10. --- [P, Sekce 1 - indukce: 1.4 a AG nerovnost, funkce: 1.2, 1.3, 2.4 , Sekce 2 - výroky: 2.2]
5.10. --- [P, 1.1, 1.10]