Qualitative Properties of Weak Solutions to Partial Differential Equations
Petr Kaplický
Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta
Rozvržení přednášky
Přednáška je rozvržena na pondělí 17:20 do ZOOM https://cesnet.zoom.us/j/9924525902.
Průběh přednášky
5.10.: Úvod. Poznámky jsou zde. Další čtení: [1, Kapitoly 1 a 2].
12.10.: Zavedení Morreyových a Campanatových prostorů a jejich některé vlastnosti. Poznámky jsou zde. Další čtení: [1, Sekce III.1].
19.10.: Campanatův versus Holderův prostor, Morreyova věta o vnoření, Gardingova nerovnost. Poznámky jsou zde. Další čtení: [2, Sekce 5.1.1 a 3.4.3].
26.10.: Caccioppoliho nerovnost, základní odhad, Liouvilleova věta pro systém s konstatními koeficienty, Schauderova teorie pro systém s konstantními koeficienty. Poznámky jsou zde. Další čtení: [2, Sekce 5.2 a 5.4.1].
2.11.: Morreyovy odhady pro systém se spojitými koeficienty, Schauderova teorie pro systém s holderovskými koeficienty. Poznámky. Další čtení: [2, Sekce 5.4.2 a 5.4.3].
9.11.: Protipříklady - De Giorgi. Poznámky, záznam. Kus, ve kterém jsem se na konci přednášky popletl, jsem vystříhl. Nebylo tam nic zajímavého. Vše je v poznámkách. Další čtení: [3, Sekce 4.1].
16.11.: Partial regularity, důkaz pomocí úbytkového lemmatu a odhady Hausdorffovy dimenze singulární množiny. Poznámky Další čtení: [3, Sekce 4.3.1].
30.11.: Důkaz úbytkového lemmatu pomocí nafukování (blow up). Poznámky Další čtení: [3, Sekce 4.3.1].
7.12.: Metoda A-harmonické aproximace - lemma o A-harmonické aproximaci a důkaz skoro A-harmonicity slabého řešení kvazilineárního systému. Poznámky Další čtení: [3, Sekce 4.3.2].
14.12.: Metoda A-harmonické aproximace - dokončení důkazu úbytkového lemmatu. Přímá metoda. Poznámky Další čtení: [3, Sekce 4.3.3].
21.12.: První krok důkazu Gehringovy věty na celém prostoru. Poznámky. Záznam. Další čtení: [4, Lemma 3.1].
5.1.: Globální Gehringovo lemma - dokončení, lokální Gehringovo lemma, aplikace na kvazilineární elliptický systém PDR. Poznámky Další čtení: [4, Sekce 6].
Budeme vycházet z následujících textů.
[1] Mariano Giaquinta: Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems, Princeton University Press, 1983.
[2] Mariano Giaquinta, Luca Martinazzi: An Introduction to the Regularity Theory for Elliptic Systems, Harmonic Maps and Minimal Graphs, Scuola Normale Superiore Pisa, 2012.
[3] Lisa Beck: Elliptic Regularity Theory, Springer, 2016.
[4] Tadeusz Iwaniec: The Gehring Lemma, In Quasiconformal mappings and analysis (Ann Arbor, MI, 1995),
pages 181–204. Springer, New York.