Literatura k prednasce:
Hlavni text:
Vedlejsi texty:
Doplnujici literatura o zakladnich pojmech teorie modelu:
1. prednaska:
Historie: spektrum teorie I(kappa, T),
Morleyho veta, Shelahova teorie stability a teorie
klasifikace, Zilberuv geometricky pristup, Hrushovskeho
aplikace v diofanticke geometrii.
Otevreny problem: Vaughtova hypoteza.
Zakladni konvence: jazyk 1. radu s rovnosti, vetsinou
spocetny.
Teorie: bezesporne, vetsinou spocetne.
Pojmy z klasicke teorie modelu: homomorfismus, automorfismus,
isomorfismus,
vnoreni a elementarni vnoreni struktur.
Definovatelnost s parametry a bez parametru. Definovatelnost
a automorfismy. Elementarni ekvivalence.
Priklady struktur kategorickych v nespocetne mohutnosti:
vektorovy prostor nad spocetnym telesem, algebraicky uzavrena
telesa pevne charakteristiky.
Pregeometrie (matroid) a geometrie. Priklady:
afini a projektivni geometrie. Konstrukce geometrie z pregeometrie.
Algebraicky uzaver mnoziny v obecne strukture.
DU:
(1) Nasobeni neni definovatelne v realnych cislech se scitanim.
(2) Indukovane struktury na obecne podmnozine M (ne nutne podstrukture)
kartezskeho soucinu
nejake struktury N.
(3) Vztah mezi algebraickym uzaverem ve smyslu t. modelu
a mezi linearnim/afinim obalem ve vektorovych prostorech.
2. prednaska
Algebraicky uzaver v prazdne strukture a ve
strukturach elementarne ekvivalentnich (Z,suc).
Eliminace kvantifikatoru pro vektorove prostory.
Dusledek: algebraicky uzaver mnoziny A je nejmensi linearni
podprostor obsahujici A.
Priklad: afinni geometrie na vektorovem prostoru.
Obecna konstrukce geometrie z pregeometrie (jako
konstrukce projektivni geometrie).
Lokalizace pregeometrie.
DU:
(1) Lokalizace afinni geometrie je pregeometrie dana
alg. uzaverem.
(2)
Dukaz s pouzitim automorfismu, ze alg.uzaver = Span
na vektorovych prostorech (E.Jerabek).
3. prednaska
Definice minimalni struktury. Priklady: modely
Th(Z,suc), vektorove prostory, algebraicky
uzavrena
telesa.
Veta: algebraicky uzaver v minimalni strukture tvori
pregeometrii.
Nezavisle mnoziny, baze a dimenze v pregeometrii.
Zakladni fakta o dimenzi. Definice modularni a lokalne
modularni pregeometrie.
Pr.: algebraicky uzavrena telesa nejsou lokalne modularni
pregeometrie (jediny znamy priklad takovych struktur
"ze zivota").
DU:
(1) Pro jake struktury M plati: Je-li relace R fixovana
vsemi automorfismy M ktere fixuji prvky a_1, ..., a_k,
pak R je definovatelna z parametru a_1, ..., a_k?
(2) Dimenze a (lokalni) modularita ve vektorovych
prostorech (afini i linearni uzaver).
4. prednaska
Charakterizace modularnich pregeometrii.
Typ n-tice a obecny typ. Saturovane struktury.
Nerozlisitelne mnoziny ve strukturach. Homogenni
struktury.
Nezavisle mnoziny v minimalnich strukturach jsou
nerozlisitelne.
Minimalni struktury nekonecne dimenze jsou saturovane.
DU
(1) Dukaz charakterizace modularity.
5. prednaska
Vlastnost f.c.p. (finite cover property).
Definice silne minimalnich struktur. Priklad:
teleso komplexnich cisel.
Homogeni struktury.
Minimalni struktury jsou homogeni.
Lema: Kazdou bijekci mezi bazemi pregeometrie minimalni
struktury lze rozsirit na automorfismus cele struktury.
6. prednaska
Pro A, B podmnoziny minimalni struktury: elem. isomorfismus
mezi A a B lze rozsirit na elem. isomorfismus mezi
cl(A) a cl(B).
Prvo-modely (prime models) a atomicke modely.
Pr.: Q neni prvomodel ale algebraicky uzaver Q ano.
Veta: prvomodel je atomicky.
Pro spocetny M: M je prvomodel prave kdyz je atomicky.
Dva spocetne, atomicke, elem. ekvivalentni modely jsou
isomorfni.
Stoneuv prostor S_n(A) n-typu nad mnozinou A
a topologie na nem. Izolovane typy.
Spocetne kategoricke struktury: veta
Ryll-Nardzewski, Engeler a Svenonius.
Silne minimalni teorie (s nekonecnymi modely)
je kategoricka v kazde nespocetne mohutnosti.
DU:
(Z,+) neni prvomodel ale (Z,+,1) ano.
7. prednaska
Morleyho rank RM definovatelnych mnozin v silne minimalni
strukture nekonecne dimenze. Nezavislost
na konkretnim saturovanem modelu ci na konkretnich parametrech
definice.
Monster model (= universalni model).
Zakladni vlastnosti RM, Morleyho stupen (= nasobnost) definovatelnych
mnozin.
Ekvivalentni induktivni definice RM.
8. prednaska
Interpretovatelnost, struktura M^{eq} (M s imaginarnimi prvky)
a jeji zakladni vlastnosti.
Kanonicka baze, eliminace imaginarnich prvku.
Zilberova hypoteza a Hrushovskeho protipriklad, Zariskeho struktury.
Pseudo-roviny,
Zilberova veta o slabe trichotomii.
Parametricke tridy rovinnych krivek v silne minimalnich strukturach,
dimenze mnoziny parametru v lokalne modularnich strukturach.
9. prednaska
Interpretace pseudo-roviny v silne minimalni strukture, ktera neni
lokalne modularni.
Grupova konfigurace, interpretace nekonecne grupy
v silne minimalni, netrivialni, lokalne modularni strukture.