Neeuklidovská geometrie - přednáška a cvičení (nejen) pro 4.+5. ročník U, 2017/18.

Literatura:

Václav Hlavatý: Úvod do neeuklidovské geometrie (JČMF 1949)
Jan B. Pavlíček: Základy neeuklidovské geometrie Lobačevského (Přírodovědecké vydav. 1953), Digitálně zde.
Ján Gatial, Milan Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie (ŠMM, Mladá Fronta 1969)

Zajímavé odkazy:

Začněte třeba na Wikipedii. Stránky D.W.Hendersona s háčkovanými modely hyp. roviny, mírně odlišná verze téhož, a rozhovor s ním a jeho ženou D. Taiminou. Nezapomeňte na M.C.Eschera, kde v galerii najdete klasické obrazy, např. Circle Limit IV.

Podmínky zápočtu a požadavky ke zkoušce:

K zápočtu je třeba připravit si a přednést referát(y) v množství a rozsahu domluveném na místě.
Požadavky ke zkoušce.

Archiv minulých let:

2015/16.

Referáty ZS:

1. Ekvivalentní formulace 5. postulátu I (Pavlíček (87-)95-100): Jakub Řada 15.11.
2. Ekvivalentní formulace 5. postulátu II (Pavlíček 100-105): Kateřina Hajmová 22.11.
3. Prehistorie neeuklidovské geometrie I (Pavlíček 147-161): Babeta Melčová 6.12.
4. Prehistorie neeuklidovské geometrie II (Pavlíček 161-176): Vendula Píšová 13.12.
5. Objevitelé neeuklidovské geometrie (Pavlíček 177-204(-212)): K.A.Veselá 20.12.(?)
Texty k referátům.

Referáty LS:

(Poincarého polorovinný model, z knížky Gatial, Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie)
1. Zákl. definice a vlastnosti, konvexita (str.32-35, 50-55): Babeta Melčová 29.3.
2. Míra úhlu I. (55-61): K.A.Veselá 5.4.
3. Míra úhlu II. (62-66): Jakub Řada 12.4.
4. Míra úsečky (66-71): Kateřina Hajmová 19.4.
5. Kružnice v polorovinném modelu. Úhel rovnoběžnosti (72-77): Vendula Píšová 26.4.
6. Sférická trigonometrie (samostatný text): Martina Magová, Jaka Gubanc 3.5.

Zimní semestr:

4.10., 11.10., 18.10., 25.10. Nekoná se -- výukové praxe.

1.11. Úvod - motivace do studia neeukl. geom. Euklidovy axiomy, jiné možné typy geometrií, zejména sférická na sféře. Ekvivalentní vyjádření 5. axiomu. Možné přístupy k neeukl. geometrii: axiomatický / modely / Kleinův jako studium invariantů. Kleinův přístup ke geometrii jako studium invariantů Euklidovská rovina, její pohybová grupa E_2 a skalární součin jako invariant. Afinní rovina, dělící poměr bodů na afinní přímce. Střed úsečky. Dělící poměr. Grupa Af_2 afinních zobrazení a dělící poměr jako její invariant.

8.11. Nekoná se -- děkanský den.

15.11. Referát 1 - Ekvivalentní formulace 5. postulátu I.

22.11. Referát 2 - Ekvivalentní formulace 5. postulátu II.

29.11. Pohybové grupy. euklidovské (E_2), afinní (Af_2) a projektivní (PGL_3) geometrie, jejich dimenze, číselné invarianty (skalární součin / dělící poměr / dvojpoměr). Grupa Af_2 je podgrupou PGL_3. Množinové invarianty, izotropické body, výpočet izotropických bodů jako vlastních vektorů rotačních matic. Komplexní funkce exp a Log. Laguerrův vzorec pro výpočet úhlu přímek ve svazku pomocí dvojpoměru. Klasifikace kvadrik v RP^1. Kleinova idea zadání geometrie volbou invariantní kvadriky.

6.12. Referát 3 - Prehistorie neeuklidovské geometrie I.

13.12. Referát 4 - Prehistorie neeuklidovské geometrie II.
Komplexní funkce exp, Log, Arg. Kleinova základní idea: geometrie na prostoru P může být dána třemi způsoby: 1. měření délek a úhlů, 2. zadání grupy pohybových transformací, 3. zadání grupy tak, že zachovává danou kvadriku. Zavedení neeukl. geometrie v dimenzi 1 - klasifikace pomocí zadané kvadriky, absolutní elementy. Požadavky kladené na míru dvou elementů: invaiance vůči pohybové grupě a početní vlastnosti. Zavedení míry pomocí logaritmu z dvojpoměru. Hyperbolická přímka. Volba konstanty c a z ní plynoucí vlastnosti hyperbolické přímky: rozdělení na dva díly.

20.12. Výpočtové vzorce pro hyperbolickou míru. Odvození, že abs. body jsou body v nekonečnu. Geometrický význam konstanty k, analytický výpočet hyperbolické vzdálenosti, průběh funkce "hyperbolická vzdálenost od nuly".

3.1. Referát 5 - Objevitelé neeuklidovské geometrie.
Konstrukce na hyp. přímce: přenesení délky, rozpůlení úsečky. Eliptická přímka. Volba konstanty c=l (el, ne jedna) a z ní plynoucí vlastnosti: omezenost, celková míra l\pi.

10.1. Eliptická přímka: vzorce pro výpočet míry; lokální interpretace eliptické geometrie s konstantou l jako euklidovské geometrie na kružnici o poloměru l. Parabolická přímka. Úprava základního vzorce, definice míry, volba jednotky délky. Úvod do hyperbolické geometrie v rovině (Beltramiho-Kleinův model): absolutní kružnice, hyperbolické měření délek, vzájemné polohy přímek: různoběžky, rovnoběžky, mimoběžky; existence dvou rovnoběžek daným bodem.

Letní semestr:

22.2. Neeuklid. geometrie v dimenzi 2. Přímkové souřadnice. Hyperbolická rovina -- Beltramiho-Kleinův model. Odvození měření vzdáleností a úhlů. Dvě přímky - klasifikace vzájemných poloh. Kolmost, vyjádření kolmosti v BK modelu, existence společných kolmic. Úhel rovnoběžnosti, vzorec pro závislost velikosti úhlu rovnoběžnosti na délce ramene.

1.3., 8.3., 15.3., 22.3. Nekoná se -- výukové praxe.

29.3. Referát 1 - Zákl. definice a vlastnosti Poincarého polorovinného modelu, konvexita.
Kružnice v hyp. rovině - 1. definice, rovnice kružnice v BK modelu. Obrazem kružnice je elipsa. Lemma: Společné dotykové body kružnic ve svazku jsou dotykovými body k absolutní kuželosečce a příslušná přímka je spojující je polárou středu.

5.4. Referát 2 - Míra úhlu I.
Věta o kolmosti tečen na poloměry. Kružnice - obecná definice jako ortogonální trajektorie svazku přímek. Svazky kružnic, tři druhy kružnic: cykly, horocykly, hypercykly.

12.4. Referát 3 - Míra úhlu II.
Délky poloměrů vyťaté kružnicemi svazku jsou konstantní (pro cykly, horocykly i hypercykly), zavedení pojmu ekvidistanty.

19.4. Referát 4 -Míra úsečky.
Explicitní popis pohybové grupy Lobačevského roviny: tři druhy pohybů, podmínky na příslušné transformace, výpočet matice cyklického pohybu.

26.4. Referát 5 - Kružnice v polorovinném modelu. Úhel rovnoběžnosti.

3.5. Referát 6. Sférická trigonometrie.

10.5. Výpočet zbylých dvou druhů pohybu v Lob. rovině: po ekvidistantě (posunutí), horocyklický pohyb. Přehled modelů hyperbolické roviny a promítání mezi nimi.

17.5. Weierstrassovy souřadnice, některé další vzorce v hyp. rovině: analogie Pyth. věty. úhel různoběžek, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost mimoběžek. Izometrická reprezentace hyperbolické roviny jako sféry o imaginárním poloměru. Trigonometrie, nový důkaz vzorce pro úhel rovnoběžnosti. Vzorec pro obsah trojúhelníka a jeho důsledky že součet úhlů je menší než 2R a že neexistují podobné trojúhelníky.

24.5.

Zpět na hlavní stránku Lukáše Krumpa