Podmínky zápočtu: Zápočet je za průběžnou aktivitu na cvičeních, s tím že nejsou striktně časově rozlišována cvičení a přednášky - máme je podle potřeby. Aktivita na cvičeních může být jak "z voleje", tak s domácí přípravou. Při nedostatečné aktivitě nebo větším počtu absencí budou zadány domácí úkoly jako kompenzace.
Literatura: V. Hlavatý, Projektivní geometrie I.
Přehled výuky -- zimní semestr:
| Datum | Téma |
|---|---|
| 29.9. | I. Úvod -- projektivní přímka a rovina. Úvod a motivace ke studiu projektivní geometrie. Základní pojmy a axiomy, princip duality. Vztahy mezi různými rovinnými geometriemi (euklidovská, afinní, projektivní). Afinní prostor -- definice, definice středu úsečky; afinní zobrazení, afinita; dělící poměr tří bodů na afinní přímce. Konstrukce zadaného dělícího poměru (na afinní přímce). Afinní zobrazení zachovává dělící poměr. Hodnoty dělícího poměru při permutacích tří bodů. |
| 6.10. | Případy trojic, kdy některé hodnoty dvojpoměrů splývají: se dvěma splývajícími body, harmonická, ekvianharmonická. Definice: projektivní přímka RP^1, geometrický bod a jeho aritmetický zástupce, homogenní souřadnice, kanonické vnoření afinní přímky do projektivní přímky, vlastní body a nevlastní bod. Definice: projektivní rovina RP2, kanonické vnoření afinní roviny do projektivní roviny, vlastní a nevlastní body, nevlastní přímka. Duální syntetické pojetí projektivní přímky: body na přímce vs. přímky ve svazku. Dvojpoměr (čtyř vektorů v rovině, čtyř bodů na proj. přímce). Věta o 4 determinantech. Vztah dvojpoměru čtyř vlastních bodů k dělícímu poměru: (ABCD)=(ABC)/(ABD). Je-li čtvrtý bod nevlastní, je dvojpoměr roven dělícímu poměru tří vlastních bodů: (ABCD)=(ABC). Důkaz věty o 4 determinantech. Hodnoty dvojpoměru při permutacích čtyř bodů. Harmonická čtveřice. Konstrukce čtvrtého harmonického bodu. DÚ: vyzkoušet si tuto konstrukci v GeoGebře a ručně při různých konfiguracích bodů. |
| 13.10. | Konstrukce čtvrtého harmonického bodu + 2 důkazy ((1) výpočtem dvojpoměrů z projekcí, (2) projektivním trikem přes afinní konstrukci). Duální konstrukce čtvrté harmonické přímky. Projektivní škála na přímce - (pro celočíselné body). Duální konstrukce projektivní škály na svazku přímek. II. Projektivita a perspektivita lineárních soustav. Soustavy bodové, přímkové, sourodé, nesourodé, soumístné, nesoumístné. Definice (syntetická): perspektivita = projekce + duální verze, projektivita = složení perspektivit. (Složení perspektivit (sourodých soustav) není obecně perspektivita, nýbrž projektivita.) Projektivity zachovávají dvojpoměr. Jsou zadané třemi body a jejich obrazy. Perspektivita soustav sourodých nesoumístných je projektivita se samodružným elementem. Projektivita soustav nesourodých; ilustrace na obrázku konstrukce projektivní škály. Věta: sourodé nesoumístné soustavy jsou perspektivní právě když jsou perspektivní s nějakou nesourodou soustavou. Střed perspektivity, přímka perspektivity. Doplňování perspektivit. Věta o direkční přímce. |
| 20.10. | Direkční přímka prochází vzorem/obrazem průsečíku daných přímek. U perspektivních bodových soustav prochází direkční přímka průsečíkem daných přímek. Konstrukce: doplňování bodových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Konstrukce: spojení bodu s nepřístupným průsečíkem přímek. Pappova věta o šestiúhelníku. Věta o direkčním bodu. Důsledky: direkčním bodem prochází obraz/vzor spojnice středů daných svazků. U perspektivních přímkových soustav leží direkční bod na spojnici daných bodů. Konstrukce: doplňování přímkových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Konstrukce: průsečík přímky s nenarýsovanou spojnicí bodů. Duální Pappova věta. Samodružné elementy S,T projektivity soumístných soustav. Věta o počtu samodružných elementů. Věta + Definice: Charakteristika projektivity w, w nezávísí na volbě bodu X. Souhlasné a nesouhlasné soustavy. Věta: pro S, T reálné je w>0 resp. <0 pro souhlasné resp. nesouhlasné soustavy. Konstrukce: doplňování projektivity dané dvěma samodr. body a jedním párem. |
| 27.10. | Přednáška se nekoná. |
| 3.11. | Konstrukce: sestrojení druhého samodr. bodu projektivity dané jedním samodr. bodem a dvěma páry. Případ S=T. Konstrukce*: doplňování projektivity dané dvěma samodr. přímkami a jedním párem - samostudium. Konstrukce*: sestrojení druhé samodr. přímky projektivity dané jednou samodr. přímkou a dvěma páry - samostudium. Definice involuce a věta o jejím ekvivalentním vyjádření. Involuce hyperbolická/eliptická, též degenerovaná parabolická. Hyperb. involuce = reálné samodr. body, nesouhlasné soustavy, eliptická involuce = imaginární samodr. body, souhlasné soustavy. Involuce je určena dvěma páry involuce. Tři různá párování čtyř bodů na přímce - 2x hyp. a 1x elipt. involuce. Konstrukce: sestrojit druhý samodružný bod involuce určené jedním samodr. bodem a jedním párem (je totožná s nalezením 4. harm. bodu). Konstrukce*: sestrojit druhou samodružnou přímku involuce určené jednou samodr. přímkou a jedním párem (je totožná s nalezením 4. harm. přímky) - samostudium. Věta (o bodu na direkční přímce): přímky z lib. bodu na direkční přímce projektivity nesoumístných soustav tvoří vždy páry involuce. Věta* (o přímce procházející direkčním bodem). Konstrukce: doplňování involuce dané dvěma páry involuce třemi způsoby (v bodové verzi, samostudium: v přímkové verzi). Úplný čtyřroh a čtyřstran, vrcholy, strany, diagonální vrcholy a strany. Věta: každá strana čtyřrohu je proťata ostatními stranami ve 4 bodech, které tvoří harm. čtveřici. Věta*: každý vrchol čtyřstranu je spojen s ostatními vrcholy 4 přímkami, které tvoří harm. čtveřici. Věta: na ostatních přímkách vytínají strany čtyřrohu tři páry téže involuce. Věta*: spojnice lib. bodu roviny s protějšími vrcholy čtyřstranu tvoří tři páry téže involuce. Konfigurace čtyřrohu je totožná s konstrukcí 4. harm. bodu; konfigurace čtyřstranu je totožná s konstrukcí 4. harm. přímky. |
| 10.11. | |
| 17.11. | Státní svátek |
| 24.11. | |
| 1.12. | |
| 8.12. | |
| 15.12. | |
| 5.1. |