Podmínky zápočtu: Zápočet je za průběžnou aktivitu na cvičeních, s tím že nejsou striktně časově rozlišována cvičení a přednášky - máme je podle potřeby. Aktivita na cvičeních může být jak "z voleje", tak s domácí přípravou. Při nedostatečné aktivitě nebo větším počtu absencí budou zadány domácí úkoly jako kompenzace.
Archiv:
PG 1, ZS 2020/21,
PG 2, LS 2020/21,
PG 1, ZS 2021/22,
PG 2, LS 2023/24
Příklady k procvičení v letním semestru:
1. série
Přehled výuky -- letní semestr:
| Datum | Téma |
|---|---|
| 20.2. | Analytická projektivní geometrie. Úvod a motivace ke studiu projektivní geometrie. Základní pojmy a axiomy, princip duality. Vztahy mezi různými rovinnými geometriemi (euklidovská, afinní, projektivní). Afinní prostor -- definice, definice středu úsečky; afinní zobrazení, afinita; dělící poměr tří bodů na afinní přímce. Konstrukce zadaného dělícího poměru (na afinní přímce). Hodnoty dělícího poměru při permutacích tří bodů. Případy trojic, kdy některé hodnoty dvojpoměrů splývají: se dvěma splývajícími body, harmonická, ekvianharmonická. |
| 27.2. | Typická obrazení v různých geometriích a jejich invarianty: shodnosti v euklidovské rovině zachovávají skalární součin, afinity v afinní rovině zachovávají dělící poměr. Projektivní prostor RP^n, geometrický bod a jeho aritmetický zástupce, homogenní souřadnice bodu. Rozšíření afinního prostoru na projektivní, vlastní a nevlastní body, nevlastní nadrovina (nevlastní přímka v RP^2), převod mezi kartézskými a homogenními souřadnicemi. Projektivní podprostor a jeho vyjádření. V RP^2: homogenní souřadnice přímky, nevlastní přímka, analytické vyjádření incidence, hledání průsečíku dvou přímek, spojnice dvou bodů, dualita. |
| 6.3. | Konečné proj. geometrie, dobble. -- Parametrické vyjádření projektivního podprostoru, projektivní souřadný systém na přímce - body lze vůči němu vyjádřit pomocí homogenních dvojic. Dvojpoměr (čtyř vektorů v rovině, čtyř bodů na proj. přímce). Věta o 4 determinantech. Vztah dvojpoměru čtyř vlastních bodů k dělícímu poměru: (ABCD)=(ABC)/(ABD). Je-li čtvrtý bod nevlastní, je dvojpoměr roven dělícímu poměru tří vlastních bodů: (ABCD)=(ABC). Hodnoty dvojpoměru při permutacích čtyř bodů. Harmonická čtveřice. |
| 13.3. | Projektivita. Definice projektivity na RP^n, její zadání regulární maticí (n+1)x(n+1) určenou až na nenulový násobek. Několik příkladů projektivit na RP^1. Zadání projektivity na RP^n pomocí (n+2) bodů a jejich obrazů. Úloha: nalezení matice projektivity při takovémto zadání. Věta: projektivita zachovává dvojpoměr čtyř bodů na přímce, důkaz, příklad s fotografií. Samodružné body projektivit. Opakování lineární algebry: vlastní čísla a vlastní vektory matic, Jordanův kanonický tvar matice. Klasifikace projektivit na RP^1 podle Jordanova kanonického tvaru a tedy i podle samodružných bodů. |
| 20.3. | Případ komplexního JKT. Věta: charakteristika projektivity w=[XX'ST] nezávisí na volbě bodů X,X', důkaz. Definice involuce na RP^n, věta o vlastnostech involuce na RP^1. Parabolická involuce. Klasifikace involucí na RP^1. |
| 27.3. | Projektivity na RP^2. Akce matice projektivity na bodech (maticí A) a na přímkách (maticí A^T^{-1}). Slabě a silně samodružné přímky a body. Klasifikace jednotlivých případů a jejich geometrická interpretace. Kvadriky. Opakování lineární algebry: bilineární a kvadratické formy, matice formy vůči bázi, polární báze, signatura, symetrické úpravy matice, Sylvesterovo kritérium pro signaturu, vrchol kvadratické formy. |