Podmínky zápočtu: Zápočet je za průběžnou aktivitu na cvičeních, s tím že nejsou striktně časově rozlišována cvičení a přednášky - máme je podle potřeby. Aktivita na cvičeních může být jak "z voleje", tak s domácí přípravou. Při nedostatečné aktivitě nebo větším počtu absencí budou zadány domácí úkoly jako kompenzace.
Literatura: V. Hlavatý, Projektivní geometrie I.
Archiv:
PG 1, ZS 2020/21,
PG 2, LS 2020/21,
PG 1, ZS 2021/22
Příklady k procvičení v letním semestru: 1. série
Přehled výuky -- zimní semestr:
| Datum | Téma |
|---|---|
| 5.10. | I. Úvod -- projektivní přímka a rovina. Úvod a motivace ke studiu projektivní geometrie. Základní pojmy a axiomy, princip duality. Vztahy mezi různými rovinnými geometriemi (euklidovská, afinní, projektivní). Afinní prostor -- definice, definice středu úsečky; afinní zobrazení, afinita; dělící poměr tří bodů na afinní přímce. Konstrukce zadaného dělícího poměru (na afinní přímce). Afinní zobrazení zachovává dělící poměr. Hodnoty dělícího poměru při permutacích tří bodů. Případy trojic, kdy některé hodnoty dvojpoměrů splývají: se dvěma splývajícími body, harmonická, ekvianharmonická. Definice: projektivní přímka RP^1, geometrický bod a jeho aritmetický zástupce, homogenní souřadnice, kanonické vnoření afinní přímky do projektivní přímky, vlastní body a nevlastní bod. |
| 12.10. | Odpadá - přednášející v zahraničí |
| 19.10. | Definice: projektivní rovina RP2, kanonické vnoření afinní roviny do projektivní roviny, vlastní a nevlastní body, nevlastní přímka. Duální syntetické pojetí projektivní přímky: body na přímce vs. přímky ve svazku. Dvojpoměr (čtyř vektorů v rovině, čtyř bodů na proj. přímce). Věta o 4 determinantech. Vztah dvojpoměru čtyř vlastních bodů k dělícímu poměru: (ABCD)=(ABC)/(ABD). Je-li čtvrtý bod nevlastní, je dvojpoměr roven dělícímu poměru tří vlastních bodů: (ABCD)=(ABC). Důkaz věty o 4 determinantech. Hodnoty dvojpoměru při permutacích čtyř bodů. Harmonická čtveřice. Konstrukce čtvrtého harmonického bodu. DÚ: vyzkoušet si tuto konstrukci v GeoGebře a ručně při různých konfiguracích bodů. Konstrukce čtvrtého harmonického bodu + 2 důkazy ((1) výpočtem dvojpoměrů z projekcí, (2) projektivním trikem přes afinní konstrukci). Duální konstrukce čtvrté harmonické přímky. |
| 26.10. | Projektivní škála na přímce - (pro celočíselné body). Duální konstrukce projektivní škály na svazku přímek. II. Projektivita a perspektivita lineárních soustav. Soustavy bodové, přímkové, sourodé, nesourodé, soumístné, nesoumístné. Definice (syntetická): perspektivita = projekce + duální verze, projektivita = složení perspektivit. (Složení perspektivit (sourodých soustav) není obecně perspektivita, nýbrž projektivita.) Projektivity zachovávají dvojpoměr. Jsou zadané třemi body a jejich obrazy. Perspektivita soustav sourodých nesoumístných je projektivita se samodružným elementem. Projektivita soustav nesourodých; ilustrace na obrázku konstrukce projektivní škály. Věta: sourodé nesoumístné soustavy jsou perspektivní právě když jsou perspektivní s nějakou nesourodou soustavou. Střed perspektivity, přímka perspektivity. Doplňování perspektivit. Věta o direkční přímce. Důsledky: Direkční přímka prochází vzorem/obrazem průsečíku daných přímek. U perspektivních bodových soustav prochází direkční přímka průsečíkem daných přímek. Konstrukce: doplňování bodových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Konstrukce: spojení bodu s nepřístupným průsečíkem přímek. Pappova věta o šestiúhelníku. |
| 2.11. | Odpadá - děkanský den |
| 9.11. | Věta o direkčním bodu. Důsledky: direkčním bodem prochází obraz/vzor spojnice středů daných svazků. U perspektivních přímkových soustav leží direkční bod na spojnici daných bodů. Konstrukce: doplňování přímkových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Konstrukce: průsečík přímky s nenarýsovanou spojnicí bodů. Duální Pappova věta. Samodružné elementy S,T projektivity soumístných soustav. Věta o počtu samodružných elementů. Věta + Definice: Charakteristika projektivity w, w nezávísí na volbě bodu X. Souhlasné a nesouhlasné soustavy. Věta: pro S, T reálné je w>0 resp. <0 pro souhlasné resp. nesouhlasné soustavy. Konstrukce: doplňování projektivity dané dvěma samodr. body a jedním párem. Konstrukce: sestrojení druhého samodr. bodu projektivity dané jedním samodr. bodem a dvěma páry. Případ S=T. Konstrukce*: doplňování projektivity dané dvěma samodr. přímkami a jedním párem - samostudium. Konstrukce*: sestrojení druhé samodr. přímky projektivity dané jednou samodr. přímkou a dvěma páry - samostudium. Definice involuce a věta o jejím ekvivalentním vyjádření. Involuce hyperbolická/eliptická, též degenerovaná parabolická. Hyperb. involuce = reálné samodr. body, nesouhlasné soustavy, eliptická involuce = imaginární samodr. body, souhlasné soustavy. |
| 16.11. | Involuce je určena dvěma páry involuce. Tři různá párování čtyř bodů na přímce - 2x hyp. a 1x elipt. involuce. Konstrukce: sestrojit druhý samodružný bod involuce určené jedním samodr. bodem a jedním párem (je totožná s nalezením 4. harm. bodu). Konstrukce*: sestrojit druhou samodružnou přímku involuce určené jednou samodr. přímkou a jedním párem (je totožná s nalezením 4. harm. přímky) - samostudium. Věta (o bodu na direkční přímce): přímky z lib. bodu na direkční přímce projektivity nesoumístných soustav tvoří vždy páry involuce. Věta* (o přímce procházející direkčním bodem). Konstrukce: doplňování involuce dané dvěma páry involuce třemi způsoby (v bodové verzi, samostudium: v přímkové verzi). Úplný čtyřroh a čtyřstran, vrcholy, strany, diagonální vrcholy a strany. Věta: každá strana čtyřrohu je proťata ostatními stranami ve 4 bodech, které tvoří harm. čtveřici. Věta*: každý vrchol čtyřstranu je spojen s ostatními vrcholy 4 přímkami, které tvoří harm. čtveřici. Věta: na ostatních přímkách vytínají strany čtyřrohu tři páry téže involuce. Věta*: spojnice lib. bodu roviny s protějšími vrcholy čtyřstranu tvoří tři páry téže involuce. Konfigurace čtyřrohu je totožná s konstrukcí 4. harm. bodu; konfigurace čtyřstranu je totožná s konstrukcí 4. harm. přímky. III. Kuželosečky. Bodová kčka B, singulární a regulární. Sečna, tečna, vnější přímka. Pozorování: Bodem H resp. H' prochází jediná tečna, jejich průsečík je direkčním bodem dané projektivity. Věta: libovolné dva různé body mohou hrát roli středů svazků H, H'. Důsledek: (1) body H, H' nejsou nijak význačné, (2) každým bodem kčky prochází jediná tečna, (3) kčka je určena pěti body, (4) kčka je singulární právě když některé tři z těchto pěti bodů jsou kolineární. |
| 23.11. | Konstrukce: nalezení dalšího bodu kčky při zadání pěti body. Věta: Bodová kčka je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 body nebo 4 body + tečnou v 1 bodě nebo 3 body + tečnami ve 2 bodech. Příslušné konstrukce + konstrukce tečny v 1 bodě při zadání kčky 5 body. DÚ: Vykreslit kčku z 5 bodů (10-15 dalších bodů). Bodové soustavy na bodové kčce, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Věta o direkční přímce projektivity na kčce. Konstrukce: doplňování projektivity na bodové kčce. Involuce na kčce. Věta o involuci na kčce (tj. o středu involuce, ose involuce, samodružných bodech a tečnách). Pozorování: involuce je hyp/elipt právě když její osa je sečna/vnější přímka, definice vnějšího a vnitřního bodu kčky. Parabolická involuce = střed leží na kčce, osa je tečna. Důsledek (AA'RP)=-1. Věty A,B,C,D o involucích a harmonických čtveřicích. Konstrukce tečny v bodě kčky (jsou-li zadány další dva body a tečny v nich) jakožto čtvrté harmonické přímky. |
| 30.11. | Tečnová kuželosečka T, singulární a regulární. Body vně, body dotyku, body uvnitř T. Věta: na každé tečně leží jediný bod dotyku. Věta: T je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 tečnami nebo 4 tečnami s 1 bodem dotyku nebo 3 tečnami s 2 body dotyku. Příslušné konstrukce kčky T + konstrukce bodu dotyku, je-li zadáno 5 tečen. Kvadratické tečnové soustavy na T, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Duální věta o projektivitě tečnových soustav (direkční bod). Involuce tečnových soustav: duální zavedení k involuci bodových soustav na B, duální věty, osa a střed involuce. Věta: množina dotykových bodů T je B, množina tečen B je T, tj. pojem bodové a tečnové kčky splývá do jednoho. Věta D*: "(MNAC)=-1". Konstrukce* bodu dotyku na zadané tečně (jsou-li zadány další dvě tečny a jejich dotykové body) jakožto čtvrtého harmonického bodu. Afinní rovina, rovnoběžnost a střed úsečky. Konstrukce: nalezení středu úsečky v afinní rovině (tj. pomocí rovnoběžnosti). Rozdělení regulárních kček v afinní rovině: elipsa E, parabola P, hyperbola H. Asymptoty, střed, průměr kčky; středové a osové kčky. Střed je pól nevlastní přímky. Věta: střed E/H půlí každý její průměr. Věta: spojnice středů rovnoběžných spojnic bodů prochází středem kčky. Konstrukce: sestrojení středu kčky dané 5 body. |
| 7.12. | Věta: spojnice bodů dotyku rovnoběžných tečen E/H je průměrem. Věta: P nemá dvě rovnoběžné tečny. Věta: vnější bod, střed úsečky dané body dotyku tečen a střed kčky jsou kolineární. Konstrukce: sestrojení středu středové kčky dané 5 tečnami. Hyperbola - speciální vlastnosti a konstrukce (vždy včetně asymptot a středu). Konstrukce: sestrojení H, jsou-li dány 3 body a oba směry asymptot; sestrojení H, jsou-li dány obě asymptoty a 1 bod. Věta: 1) H a její asymptoty vytínají na libovolné sečně stejně dlouhé úsečky; 2) bod dotyku tečny je středem úsečky vyťaté na této tečně asymptotami. Konstrukce za použití předchozích vět: sestrojení H včetně asymptot a středu, je-li dáno: a) 4 body a 1 směr asymptoty, b) 3 body + 1 asymptota, c) 1 asymptota + 3 tečny. Parabola - speciální vlastnosti a konstrukce. Věta: P je určena 4 tečnami, všechny průměry P jsou rovnoběžné, nemá rovnoběžné tečny. Konstrukce: sestrojit P ze 4 tečen a přitom sestrojit směr jejích průměrů. |
| 14.12. | Konstrukce: parabola ze 3 bodů + 1 tečny; parabola ze 3 bodů a směru osy. Konstrukce: k parabole, dané 4 tečnami, sestrojit tečnu s daným směrem. Zavedení kružnice, známe-li pojem kolmosti. Kolmost = kružnice = přenos vzdáleností (na nerovnoběžky) = půlení úhlu. Absolutní involuce, izotropické přímky a body, kružnice = elipsa, jejíž asymptoty jsou izotr. přímky. Kružnice je určena 3 body (podmínkami). Konstrukce: kružnice ze 3 bodů (tj. bez kružítka); kružnice z tečny s bodem dotyku a jednoho dalšího bodu; kružnice ze dvou tečen a 1 bodu dotyku; kružnice ze tří tečen -- pomocí půlení úhlu. Použití kružítka. Konstrukce: vedení tečen ke kružnici z vnějšího bodu pomocí Thaletovy kružnice resp. kolmosti k průměru, jde-li o nevlastní bod. Konstrukce: sestrojení samodružných bodů soumístných bodových soustav na přímce (s použitím pomocné kružnice). Duální konstrukce: sestrojení samodružných přímek soumístných přímkových soustav. Konstrukce: určit průsečíky přímky s kčkou danou 5 body. Duální konstrukce: Určit tečny z bodu R ke kčce dané 5 tečnami. Konstrukce: sestrojit asymptoty kčky (hyperboly), dané 5 body. |
| 21.12. | Pascalova věta, Pascalova přímka. Konstrukce: kčka dána 5 body, přímka x prochází jedním z nich, najít (pomocí Pascalovy věty) druhý průsečík kčky a x. Konstrukce: kčka dána 5 body, sestrojit v jednom z nich tečnu (pomocí Pascalovy věty). Konstrukce: sestrojit (pomocí Pascalovy věty) tečnu v bodě kčky, dané tímto bodem a dvěma dalšími body a tečnami v nich. Duálně - Brianchonova věta, Brianchonův bod. Konstrukce: kčka dána 5 tečnami, bod X leží na jedné z nich, najít (pomocí Brianchonovy věty) druhou tečnu kčky z bodu X. Konstrukce: kčka dána 5 tečnami, sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) bod dotyku na jedné z nich. Konstrukce: sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) body dotyku na tečně kčky, dané touto tečnou a dvěma dalšími tečnami s body dotyku. Pól a polára. Definice pomocí involuce na kčce. Věta: "(AA'RP)=(aa'rp)=-1". Polára je spojnicí bodů dotyku tečen z pólu ke kčce; pól je průsečík tečen v průsečících poláry s kčkou. Konstrukce: kčka dána pěti body, dán bod P, sestrojit jeho poláru vzhledem ke kčce; duálně. Věta: Pól a polára jsou dvě podmínky pro kčku. Konstrukce: sestrojit kčku z pólu P, poláry p a tří bodů A,B,C; duálně: sestrojit kčku z P,p,a,b,c. Věta: kčce je vepsán čtyřroh, pak každý jeho diag. vrchol je pólem protější diag. strany; duálně pro opsaný čtyřstran. Věta: P pól p, Q pól q, pak P leží na q právě když Q leží na p. Definice: takovéto póly resp. poláry se nazývají (polárně) sdružené. P,Q,R resp. p,q,r, které jsou všechny navzájem sdružené, tvoří polární trojúhelník. Důsledek: polára r průsečíku R přímek p,q je spojnicí pólů P,Q a naopak pól R spojnice r pólů P,Q je průsečíkem polár p,q. Věta: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem vepsaného čtyřrohu. Věta*: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem opsaného čtyřstranu. Věta: dva sdružené póly (resp. dvě sdružené poláry) tvoří jednu podmínku pro kčku. Věta: Polární trojúhelník tvoří tři podmínky pro kčku. Konstrukce: sestrojit kčku z pol. trojúhelníka a dvou bodů, duálně: z pol. trojúhelníka a dvou tečen. |
| 4.1. | Věta: V polárním trojúhelníku je vždy jeden vrchol vnitřní a dva vnější; jedna strana je vnější a dvě jsou sečny.
Sdružené póly na průměru kčky. Nalezení sdruženého pólu 1) jako 4. harmonický bod k S,T,P; 2) pomocí pojmu afinní vzdálenost a konstrukce geometrického průměru. Sdružené průměry kčky. Pozn.: tečny v koncových bodech průměru A,B jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým k AB. Pozn.: pól průměru je nevlastní bod, který je tudíž směrem sdruženého průměru. Pozn.: dva páry sdruž. průměrů tvoří involuci, její samodr. přímky jsou asymptoty kčky, u elipsy je eliptická, u hyperboly hyperbolická, asymptoty hyperboly oddělují sdružené průměry harmonicky. Pozn.: u elipsy je každý průměr sečna, u hyperboly je vždy jeden sdružený průměr sečna a druhý vnější přímka (pomyslný průměr). Pozn.: Spojnice libovolného bodu A' s koncovými body A,B průměru jsou rovnoběžné s nějakou dvojicí sdružených průměrů. Speciálně pro kružnici: Thaletova věta. Pozn.: úhlopříčky rovnoběžníka kčce opsaného jsou sdružené průměry. Pozn.: střední příčky rovnoběžníka kčce vepsaného jsou sdružené průměry. Věta: kčka je jednoznačně určena párem sdružených omezených průměrů. Konstrukce: sestrojit kčku z páru sdružených omezených průměrů. Konstrukce: sestrojit kčku z omezeného průměru AB, ze sdruženého průměru a bodu A'. Konstrukce: Elipsa (hyperbola) je dána omezenými sdruženými průměry. Sestrojit k dané poláře pól a naopak. Pozn.: p,q sdružené průměry, X leží na q, pak polára x bodu X je rovnoběžná s p. Pozn.: Doplníme-li u hyperboly sdružené průměry na čtyřúhelník, pak jeho úhlopříčky jsou asymptoty hyperboly. Záměnou rolí reálného a pomyslného průměru dostaneme tzv. sdruženou hyperbolu. |
| 11.1. |
Věta + Definice (pro středové kčky): existuje pár kolmých sdružených průměrů - osy kčky; vrcholy; vrcholové tečny. Dva (nekonečno) kolmé páry - kružnice. Konstrukce: sestrojit osy kčky, jsou-li dány dva páry neomezených sdružených průměrů. Konstrukce: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři body a střed. Konstrukce*: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři tečny a střed. Konstrukce: nalezení koncových bodů os (vrcholů) středových kček, známe-li omezené sdružené průměry (a tedy i osy), Rytzova konstrukce. Def (pro parabolu): sdružený průměr s tečnou v koncovém bodě, resp. s jejím směrem. Pozn.: každá tětiva je půlena průměrem sdruženým k jejímu směru. Tvrzení: U,V = body dotyku tečen k parabole z bodu P, N = střed UV, M = koncový bod průměru PN, pak M je střed PN. Konstrukce: sestrojit směr průměrů paraboly dané čtyřmi tečnami (2 způsoby - dle PG1 a dle předchozí věty). Konstrukce: sestrojit parabolu ze dvou tečen, pólu a poláry. Věta + Definice (pro parabolu): existuje jediná tečna, jejíž směr je kolmý k průměrům paraboly - vrcholová tečna; vrchol; osa paraboly. Konstrukce: určit osu paraboly dané čtyřmi tečnami. |
Přehled výuky -- letní semestr:
| Datum | Téma |
|---|---|
| 21.2. |
Pozn.: Projektivita soumístných soustav zadává jednoznačně samodružné body, zpětně však nikoli. Naproti tomu involuce je jednoznačně určena svými samodružnými body. Konstrukce involuce se stejnými samodružnými elementy, jako má daná projektivita. Věta + Definice: existují právě dva body, z nichž se eliptická involuce na přímce promítá absolutní involucí přímek ve svazku - tzv. pomocné body eliptické involuce. Definice: ohnisko středové kčky je reálný průsečík jejích izotropických tečen, řídící přímka = jeho polára. Věta: bod je ohniskem právě když involuce sdružených polár, indukovaná v tomto bodě kčkou, je involuce absolutní. Pozn.: Ohniska splývají právě když jde o kružnici. Pozn.: Tečna a normála v bodě dotyku jsou speciálním případem sdružených kolmých polár. Věta: 1. Kčka má dvě ohniska (evtl. splývající - pro kružnici), jsou umístěna symtericky podle středu na jedné z os, tzv. hlavní ose. Ohniska jsou sam. body involuce na hlavní ose, jejímž úběžníkem je střed kčky a páry jsou vyťaty sdruženými kolmými polárami. 2. Každé z ohnisek je pomocným bodem eliptické involuce na vedlejší ose, jejíž páry jsou vyťaty sdruženými kolmými polárami. 3. Každá kružnice, opsaná trojúhelníku danému vedlejší osou a dvěma libovolnými sdruženými kolmými polárami, protíná hlavní osu v ohniscích. Konstrukce: Dány osy elipsy s vrcholy, určit ohniska. Konstrukce: Dány osy hyperboly s vrcholy (a pomyslnými vrcholy), určit ohniska. Definice+Věta: ohnisko paraboly vlastní a nevlastní, řídící přímka. 1) Bod je ohniskem právě když involuce sdružených polár, indukovaná v tomto bodě kčkou, je involuce absolutní. 2) Spojnice ohnisek je osa paraboly. Vlastní ohnisko půlí každou úsečku vyťatou na ose sdruženými kolmými polárami (a tedy i každou tečnu a normálu). Konstrukce: ohnisko paraboly zadané čtyřmi tečnami. Věta: ohnisko tvoří dvě podmínky pro kčku. Věta+Konstrukce: jsou-li dána dvě ohniska a jeden s nimi nekolineární bod, pak tímto bodem prochází jediná elipsa a jediná hyperbola s těmito ohnisky; tyto dvě kčky se v daném bodě protínají kolmo. |
| 28.2. | Odpadlo |
| 6.3. | IV. Analytická projektivní geometrie Definice projektivního prostoru RP^n, geometrický bod a jeho aritmetický zástupce, homogenní souřadnice bodu, homogenní souřadnice přímky (v RP^2). Projektivní rozšíření afinního prostoru na projektivní, vlastní a nevlastní body, nevlastní nadrovina (nevlastní přímka v RP^2), převod mezi kartézskými a homogenními souřadnicemi. Analytické vyjádření incidence, hledání průsečíku dvou přímek, spojnice dvou bodů, dualita. |
| 13.3. | Projektivita. Definice projektivity na RP^n, její zadání regulární maticí (n+1)x(n+1) určenou až na nenulový násobek. Několik příkladů projektivit na RP^1. Věta: projektivita zachovává dvojpoměr čtyř bodů na přímce, důkaz. Zadání projektivity na RP^n pomocí (n+2) Bodů a jejich obrazů. Úloha: nalezení matice projektivity při takovémto zadání. |
| 20.3. | Samodružné body projektivit. Opakování lineární algebry: vlastní čísla a vlastní vektory matic, Jordanův kanonický tvar matice. Klasifikace projektivit na RP^1 podle Jordanova kanonického tvaru a tedy i podle samodružných bodů. Věta: charakteristika projektivity w=[XX'ST] nazávisí na volbě bodů X,X', důkaz. Definice involuce na RP^n, věta o vlastnostech involuce na RP^1. Parabolická involuce. Klasifikace involucí na RP^1. |
| 27.3. | Projektivity na RP^2. Akce matice projektivity na bodech (maticí A) a na přímkách (maticí A^T^{-1}). Slabě a silně samodružné přímky a body. Klasifikace jednotlivých případů a jejich geometrická interpretace. |
| 3.4. | Kvadriky. Opakování lineární algebry: bilineární a kvdratické formy, matice formy vůči bázi, polární báze, signatura, symetrické úpravy matice, Sylvesterovo kritérium pro signaturu, vrchol kvadratické formy. Definice kvadriky v RP^n, některé známé příklady kvadrik v RP^1, RP^2, RP^3. Počet čísel / bodů potřebných k určení kvadriky. Kvadrika regulární/singulární. |
| 10.4. | Polární vlastnosti kvadrik. Polárně sdružené body, singulární a regulární body kvadrik, vrchol kvadriky. Doplněk podprostoru, podstava, strukturální věta pro kvadriky. Polární a tečná nadrovina, pól, polára, tečna. Výpočet poláry k nadému bodu a tečen z daného bodu. |
| 17.4. | |
| 24.4. | |
| 1.5. | Státní svátek |
| 8.5. | Státní svátek |
| 15.5. | |
| 22.5. |