Projektivní geometrie - přednáška a cvičení pro 1. ročník U, LS 2017 |
Literatura:V. Hlavatý, Projektivní geometrie I. |
Podmínky zápočtu:Zápočet je za průběžnou aktivitu na cvičeních, s tím že nejsou striktně časově rozlišována cvičení a přednášky - máme je podle potřeby. Aktivita na cvičeních může být jak "z voleje", tak s domácí přípravou. Při nedostatečné aktivitě nebo větším počtu absencí budou zadány domácí úkoly jako kompenzace. |
Požadavky ke zkoušce: |
Archiv minulých let: |
Co jsme probrali:23.2. Úvod a motivace ke studiu projektivní geometrie, vztahy mezi různými rovinnými geometriemi (euklidovská, afinní, projektivní). Základní pojmy a axiomy, princip duality. I. Projektivní přímka a rovina. Afinní prostor -- definice, definice středu úsečky; afinní zobrazení, afinita; dělící poměr tří bodů na afinní přímce; Konstrukce zadaného dělícího poměru (na afinní přímce). Afinní zobrazení zachovává dělící poměr. Hodnoty dělícího poměru při permutacích tří bodů. Případy trojic, kdy některé hodnoty dvojpoměrů splývají: se dvěma splývajícími body, harmonická, ekvianharmonická. Definice: projektivní přímka RP1, geometrický bod a jeho aritmetický zástupce, homogenní souřadnice, kanonické vnoření afinní přímky do projektivní přímky, vlastní body a nevlastní bod. 2.3. Definice: projektivní rovina RP2, geometrický a aritmetický bod, homogenní souřadnice, kanonické vnoření afinní roviny do projektivní roviny, vlastní a nevlastní body. Dvojpoměr (čtyř vektorů v rovině, čtyř bodů na proj. přímce), harmonická čtveřice. Lemma - výpočet dvojpoměru pomocí 4 determinantů. Vztah dvojpoměru čtyř vlastních bodů k dělícímu poměru: (ABCD)=(ABC)/(ABD). Je-li čtvrtý bod nevlastní, je dvojpoměr roven dělícímu poměru tří vlastních bodů: (ABCD)=(ABC). Čtveřice různých vektorů u,v,u+v,u-v je harmonická. 9.3. Konstrukce čtvrtého harmonického bodu - důkaz ve třech krocích. Hodnoty dvojpoměru při permutacích čtyř bodů. Projektivní škála na přímce - (pro celočíselné body). Věta: vztah mezi homogenními souřadnicemi bodu X a hodnotou dvojpoměru (X 1 0 nek.). Zavedení projektivního souřadného systému na přímce (PSS) a projektivních souřadnic vůči PSS. Definice: projektivita na proj. přímce je zobrazení zachovávající dvojpoměr. Důsledek: projektivita je zadána třemi body a jejich obrazy. Pojem grupy, grupa projektivit (na RP1, RP2). Dvojpoměr je invariantní při akci libovolné matice X z PGL_2R. II. Projektivita a perspektivita lineárních soustav. Soustavy bodové, přímkové, sourodé, nesourodé, soumístné, nesoumístné. 16.3. V harmonické čtveřici ABCD (a vůbec, je-li (ABCD)<0), se AB a CD oddělují. Svazek přímek v rovině a duální konstrukce projektivní škály a čtvrté harmonické přímky na svazku přímek. Projektivita soustav (sourodých i nesourodých, soumístných i nesoumístných) = zobrazení zadané třemi elementy a jejich obrazy. Perspektivita soustav sourodých nesoumístných resp. nesourodých - definice, ilustrace na obrázku konstrukce projektivní škály. Věta: sourodé nesoumístné soustavy jsou perspektivní právě když jsou perspektivní s nějakou nesourodou soustavou. Střed perspektivity, přímka perspektivity. Složení perspektivit (sourodých soustav) není obecně perspektivita, nýbrž projektivita. Doplňování perspektivit. Věta o direkční přímce. Konstrukce: doplňování bodových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Důsledky: Direkční přímka prochází obrazy průsečíku daných přímek. U perspektivních bodových soustav prochází direkční přímka průsečíkem daných přímek. Konstrukce: spojení bodu s nepřístupným průsečíkem přímek. Pappova věta o šestiúhelníku. Duální věty a konstrukce ke všem uvedeným: Věta o direkčním bodu. Konstrukce: doplňování přímkových projektivních soustav nesoumístných a soumístných (DÚ). Konstrukce: průsečík přímky s nenarýsovanou spojnicí bodů (DÚ). Důsledky: direkčním bodem procházejí obrazy spojnice středů daných svazků. U perspektivních přímkových soustav leží direkční bod na spojnici daných bodů. 23.3. Duální Pappova věta. Samodružné elementy S,T projektivity soumístných soustav. Věta o počtu samodružných elementů. Charakteristika projektivity w. Věta: w nezávísí na volbě bodu X + vzorec pro w. Souhlasné a nesouhlasné soustavy. Věta: pro S, T reálné je w>0 resp. <0 pro souhlasné resp. nesouhlasné soustavy. Konstrukce: doplňování projektivity dané dvěma samodr. body a jedním párem. Konstrukce: sestrojení druhého samodr. bodu projektivity dané jedním samodr. bodem a dvěma páry. 30.3. Případ S=T. Konstrukce*: doplňování projektivity dané dvěma samodr. přímkami a jedním párem. Konstrukce: sestrojení druhé samodr. přímky projektivity dané jednou samodr. přímkou a dvěma páry. Případ s=t. Definice involuce a věta o jejím ekvivalentním vyjádření. Involuce hyperbolická/eliptická, též degenerovaná parabolická. Hyperb. involuce = nesouhlasné soustavy, eliptická involuce = souhlasné soustavy. Páry involuce. Involuce je určena dvěma páry involuce. Tři různá párování čtyř bodů na přímce - 2x hyp. a 1x elipt. involuce. Skládání involucí. Konstrukce "domeček": sestrojit druhý samodružný bod involuce určené jedním samodr. bodem a jedním párem. Konstrukce "domeček"*: sestrojit druhou samodružnou přímku involuce určené jednou samodr. přímkou a jedním párem. 6.4.Věta (o bodu na direkční přímce): přímky z lib. bodu na direkční přímce projektivity nesoumístných soustav tvoří vždy páry involuce. Věta* (o přímce procházející direkčním bodem). Konstrukce: doplňování involuce dané dvěma páry involuce dvěma způsoby (v bodové verzi, za DÚ "klasický způsob" + oba způsoby v přímkové verzi). Úplný čtyřroh a čtyřstran, vrcholy, strany, diagonální vrcholy a strany. Věta: každá strana čtyřrohu je proťata ostatními stranami ve 4 bodech, které tvoří harm. čtveřici. Věta*: každý vrchol čtyřstranu je spojen s ostatními vrcholy 4 přímkami, které tvoří harm. čtveřici. Věta: na ostatních přímkách vytínají strany čtyřrohu tři páry téže involuce. Věta*: spojnice lib. bodu roviny s protějšími vrcholy čtyřstranu tvoří tři páry téže involuce - DÚ. Konstrukce domeček je totožná s konstrukcí 4. harm. bodu přes projektivní škálu. III. Kuželosečky. Bodová kčka B, složená (singulární) a jednoduchá (regulární). Sečna, tečna, vnější přímka. Tvrzení: Bodem H resp. H' prochází jediná tečna, jejich průsečík je direkčním bodem dané projektivity. Věta: a) Každým bodem kčky prochází jediná tečna; b) libovolné dva různé body mohu hrát roli středů svazků H, H'. Věta: Bodová kčka je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 body nebo 4 body + tečnou v 1 bodě nebo 3 body + tečnami ve 2 bodech. Příslušné konstrukce + konstrukce tečny v 1 bodě při zadání kčky 5 body. DÚ: Vykreslit kčku z 5 bodů (5+15 bodů). 13.4. Nekoná se. 20.4. Bodové soustavy na bodové kčce, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Věta o direkční přímce projektivity na kčce. Konstrukce: doplňování projektivity na (nakreslené) bodové kčce. Involuce na kčce. Věta o involuci na kčce (tj. o středu involuce, ose involuce, samodružných bodech a tečnách). Věta: involuce je hyp/elipt právě když její osa je sečna/vnější přímka. Parabolická involuce = střed leží na kčce, osa je tečna. Vnější/vnitřní body bodové kčky, pól a polára vzhledem k bodové kčce. Věty A,B,C,D o involucích a harmonických čtveřicích. Konstrukce tečny v bodě kčky (jsou-li zadány další dva body a tečny v nich) jakožto čtvrté harmonické přímky. 27.4.Tečnová kuželosečka T, složená a jednoduchá. Body vně, body dotyku, body uvnitř T. Věta: na každé tečně leží jediný bod dotyku. Věta: T je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 tečnami nebo 4 tečnami s 1 bodem dotyku nebo 3 tečnami s 2 body dotyku. Příslušné konstrukce kčky T + konstrukce bodu dotyku, je-li zadáno 5 tečen. Kvadratické tečnové soustavy na T, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Duální věty o projektivitě tečnových soustav (direkční bod). Konstrukce: doplňování projektivity tečnových soustav na T. Involuce tečnových soustav: duální zavedení k involuci bodových soustav na B, duální věty, osa a střed involuce. Věta: množina dotykových bodů T je B, množina tečen B je T. Věta D*: "(MNAC)=-1". Konstrukce* bodu dotyku na zadané tečně (jsou-li zadány další dvě tečny body a jejich dotykové body) jakožto čtvrtého harmonického bodu. Věta: o úplném čtyřrohu vepsaném kčce, duálně o úplném čtyřstranu opsaném kčce. Věta "(aarp)=(AARP)=-1". Afinní rovina, rovnoběžnost a střed úsečky. Konstrukce: nalezení středu úsečky v afinní rovině (tj. pomocí rovnoběžnosti). 4.5. Rozdělení regulárních kček v afinní rovině: elipsa E, parabola P, hyperbola H. Asymptoty, střed (směr osy), průměr kčky; středové a osové kčky. Věta: střed E/H půlí každý její průměr. Věta: spojnice středů rovnoběžných spojnic bodů prochází středem kčky. Konstrukce: sestrojení středu středové kčky dané 5 body. Konstrukce: sestrojení středu středové kčky dané 5 tečnami. Věta: spojnice bodů dotyku rovnoběžných tečen E/H je průměrem. Věta: P nemá dvě rovnoběžné tečny. Věta: vnější bod, střed úsečky dané body dotyku tečen a střed kčky jsou kolineární. Hyperbola - speciální vlastnosti a konstrukce (vždy včetně asymptot a středu). Konstrukce: sestrojení H, jsou-li dány 3 body a oba směry asymptot; sestrojení H, jsou-li dány obě asymptoty a 1 bod. Věta: 1) H a její asymptoty vytínají na libovolné sečně stejně dlouhé úsečky; 2) "tečna c je rovnoběžná s C1C2 a C je střed U1U2". 11.5. Konstrukce za použití předchozí věty: sestrojení H, je-li dáno: a) 4 body a 1 směr asymptoty, b) 3 body + 1 asymptota, c) 1 asymptota + 3 tečny. Parabola - speciální vlasnosti a konstrukce. Věta: P je určena 4 tečnami, všechny průměry P jsou rovnoběžné, bodové soustavy vyťaté tečnami na dvou pevných tečnách jsou si podobné (tj. jsou projektivní a zachovávají nevlastní bod). Konstrukce: sestrojit P ze 4 tečen a přitom sestrojit směr průměrů (=směr osy) P. Konstrukce: k parabole, dané 4 tečnami, sestrojit tečnu s předem daným směrem; sestrojit parabolu ze 3 tečen s 1 bodem dotyku; sestrojit P ze 3 bodů a směru osy. Zavedení kružnice, známe-li pojem kolmosti: absolutní involuce, izotropické přímky a body, výpočet izotrop. bodů jako vlastních vektorů rotace o pravý úhel, kružnice (kce) = elipsa, jejíž asymptoty jsou izotr. přímky, kce je určena 3 body (podmínkami). Kolmost = kružnice = půlení úhlu = přenos vzdáleností. Konstrukce: kružnice ze 3 bodů (tj. bez kružítka); kce z tečny s bodem dotyku a jednoho dalšího bodu; kce ze dvou tečen a 1 bodu dotyku; kce ze tří tečen -- pomocí půlení úhlu. Použití kružítka. Konstrukce: vedení tečen ke kružnici z vnějšího bodu pomocí Thaletovy kružnice. 18.5. Konstrukce: sestrojení samodružných bodů soumístných bodových soustav na přímce (s použitím pomocné kružnice). Duální konstrukce: sestrojení samodružných přímek soumístných přímkových soustav. Konstrukce: určit průsečíky přímky s kčkou danou 5 body. Duální konstrukce: Určit tečny z bodu R ke kčce dané 5 tečnami. Konstrukce: sestrojit asymptoty hyperboly, dané 5 body. Pascalova věta, Pascalova přímka. Konstrukce: kčka dána 5 body, přímka x prochází jedním z nich, najít (pomocí Pascalovy věty) druhý průsečík kčky a x. Konstrukce: kčka dána 5 body, sestrojit v jednom z nich tečnu (pomocí Pascalovy věty). Konstrukce: sestrojit (pomocí Pascalovy věty) tečnu v bodě kčky, dané tímto bodem a dvěma dalšími body a tečnami v nich. 25.5. Duálně - Brianchonova věta, Brianchonův bod. Konstrukce: kčka dána 5 tečnami, bod X leží na jedné z nich, najít (pomocí Brianchonovy věty) druhou tečnu kčky z bodu X. Konstrukce: kčka dána 5 tečnami,
sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) bod dotyku na jedné z nich. Konstrukce: sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) body dotyku na tečně kčky, dané touto tečnou a dvěma dalšími tečnami s body dotyku.
Pól a polára. Definice pomocí involuce na kčce. |