Co jsme probrali:
4.10. Opakování syntetické projektivní geometrie z 1. ročníku.
11.10. Pól a polára. Definice pomocí involuce na kčce.
Věta: "(AA'RP)=(aa'rp)=-1". Věta: polára je spojnicí bodů dotyku tečen z pólu ke kčce; pól je průsečík tečen v průsečících poláry s kčkou.
Konstrukce: kčka dána pěti body, dán bod P, sestrojit jeho poláru vzhledem ke kčce; duálně.
Věta: kčce je vepsán čtyřroh, pak každý jeho diag. vrchol je pólem protější diag. strany; duálně pro opsaný čtyřstran.
Věta: P pól p, Q pól q, pak P leží na q právě když Q leží na p. Def: takovéto póly resp. poláry se nazývají (polárně) sdružené.
Důsledek: polára r průsečíku R přímek p,q je spojnicí pólů P,Q a naopak pól R spojnice r pólů P,Q je průsečíkem polár p,q.
Definice: takovéto P,Q,R resp. p,q,r tvoří polární trojúhelník. Navíc: q(RST):::Q(rst).
Věta: Pól a polára jsou dvě podmínky pro kčku.
Konstrukce: sestrojit kčku z pólu P, poláry p a tří bodů A,B,C; duálně: sestrojit kčku z P,p,a,b,c.
Věta: harmonické póly P,R na téže přímce q tvoří páry involuce, jejíž samodružné body jsou průsečíky q a kčky.
Věta*: Harmonické poláry p,r týmž bodem Q tvoří páry involuce, jejíž samodružné přímky jsou tečny kčky z bodu Q.
Def: toto se jmenuje involuce indukovaná kčkou na přímce resp. v bodě.
Věta: Přímka q protíná dvě strany trojúhelníka vepsaného kčce v harm. pólech právě když q a třetí strana trojúhelníka jsou harm. poláry.
Věta*: Dva vrcholy trojúhelníka opsaného kčce se promítají z vrcholu Q harm. polárami právě když Q a třetí vrchol trojúhelníka jsou harm. póly.
Věta: dva sdružené póly (resp. dvě sdružené poláry) tvoří jednu podmínku pro kčku.
Věta: V polárním trojúhelníku je vždy jeden vrchol vnitřní a dva vnější; jedna strana je vnější a dvě jsou sečny.
18.10. Polární trojúhelník.
Věta: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem vepsaného čtyřrohu. Věta*: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem opsaného čtyřstranu.
Důsledek: Tečny ve vrcholech vepsaného čtyřrohu jsou body dotyku opsaného čtyřstranu.
Věta: Polární trojúhelník tvoří tři podmínky pro kčku.
Konstrukce: sestrojit kčku z pol. trojúhelníka a dvou bodů, duálně: z pol. trojúhelníka a dvou tečen.
Pozn.: polára středu kčky je nevlastní přímka. Def.: sdružené průměry středové kčky jsou harmonické poláry středem kčky.
Věta: tečny v koncových bodech průměru A,B jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým k AB.
Pozn.: pól průměru je nevlastní bod, který je tudíž směrem sdruženého průměru.
Pozn.: dva páry sdruž. průměrů tvoří involuci, její samodr. přímky jsou asymptoty kčky, u elipsy je eliptická, u hyperboly hyperbolická, asymptoty hyperboly oddělují sdružené průměry harmonicky.
Pozn.: u elipsy je každý průměr sečna, u hyperboly je vždy jeden sdružený průměr sečna a druhý vnější přímka (pomyslný průměr).
Def: afinní vzdálenost. Centrální bod (úběžník) projektivity afinních přímek. Involuce afinních přímek.
Věta: Je-li U centrální bod, pak (XU).(X'U)=konst., záporná pro eliptickou a kladná pro hyperbolickou involuci.
Konstrukce sdruženého pólu pomocí konstrukce geometrického průměru.
25.10. Věta: nechť r je sdružená polára k AB, P bod na r, promítneme-li body A,B z bodu P na kčku jako body A',B', pak průsečík Q přímek A'B, AB' je sdružený pól k P.
Věta: Spojnice libovolného bodu A' s koncovými body A,B průměru jsou rovnoběžné s nějakou dvojicí sdružených průměrů. Speciálně pro kružnici: Thaletova věta.
Věta: Nechť a,b jsou rovnoběžné tečny, a' třetí tečna. Pak spojnice libovolného bodu P s průsečíky aa', bb' jsou harmonické poláry.
Důsledek: úhlopříčky rovnoběžníka kčce opsaného jsou sdružené průměry.
Důsledek: střední příčky rovnoběžníka kčce opsaného jsou sdružené průměry.
Věta: tečny, vedoucí z průsečíků sdružených průměrů s libovolnou tečnou, jsou rovnoběžné.
Věta: kčka je jednoznačně určena párem sdružených omezených průměrů.
Konstrukce: sestrojit kčku z páru sdružených omezených průměrů.
Konstrukce: sestrojit kčku z omezeného průměru AB, ze sdruženého průměru a bodu A'.
Věta: p,q sdružené průměry, X leží na q, pak polára x bodu X je rovnoběžná s p.
Konstrukce: Elipsa (hyperbola) je dána omezenými sdruženými průměry. Sestrojit k danému pólu poláru a naopak.
1.11. Věta: Doplníme-li u hyperboly sdružené průměry na čtyřúhelník, pak jeho úhlopříčky jsou asymptoty hyperboly. Záměnou rolí reálného a pomyslného průměru dostaneme tzv. sdruženou hyperbolu.
Věta + Definice (pro středové kčky): existuje pár kolmých sdružených průměrů - osy kčky; vrcholy; vrcholové tečny. Dva kolmé páry - kružnice.
Konstrukce: sestrojit osy kčky, jsou-li dány dva páry neomezených sdružených průměrů.
Délky poloos, kružnice, rovnoosá hyperbola.
Konstrukce: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři body a střed.
Konstrukce*: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři tečny a střed.
Konstrukce: nalezení koncových bodů os (vrcholů) středových kček, známe-li omezené sdružené průměry (a tedy i osy), Rytzova konstrukce.
Def (pro parabolu): sdružený průměr s tečnou v koncovém bodě, resp. s jejím směrem.
Pozn.: každá tětiva je půlena průměrem sdruženým k jejímu směru.
Věta: U,V = body dotyku tečen k parabole z bodu P, N = střed UV, M = koncový bod průměru PN, pak M je střed PN.
Konstrukce: sestrojit směr průměrů paraboly dané čtyřmi tečnami.
8.11. Děkanský den.
15.11. Konstrukce: je-li dána parabola 4 tečnami, sestrojit k pólu poláru a naopak.
Konstrukce: sestrojit parabolu ze dvou tečen, pólu a poláry.
Konstrukce: sestrojit parabolu z tečny a polárního trojúhelníka.
Věta + Definice (pro parabolu): existuje jediná tečna, jejíž směr je kolmý k průměrům paraboly - vrcholová tečna; vrchol; osa paraboly.
Konstrukce: určit osu paraboly dané čtyřmi tečnami.
Pozn.: Projektivita soumístných soustav zadává jednoznačně samodružné body, zpětně však nikoli. Naproti tomu involuce je jednoznačně určena svými samodružnými body.
Konstrukce: najít involuci, která má stejné samodružné body jako zadaná projektivita soumístných soustav (zejména v případě imaginárních samodružných bodů).
Věta + Definice: existují právě dva body, z nichž se eliptická involuce na přímce promítá absolutní involucí přímek ve svazku - tzv. pomocné body eliptické involuce.
Definice: ohnisko středové kčky je reálný průsečík jejích izotropických tečen, řídící přímka = jeho polára.
22.11. Ekvivalentně: bod je ohniskem právě když involuce sdružených polár, indukovaná v tomto bodě kčkou, je involuce absolutní.
Pozn.: Ohniska splývají právě když jde o kružnici.
Pozn.: Tečna a normála v bodě dotyku jsou speciálním případem sdružených kolmých polár.
Věta: 1. Kčka má dvě ohniska (evtl. splývající), jsou umístěna symtericky podle středu na jedné z os, tzv. hlavní ose. Ohniska jsou sam. body involuce na hlavní ose, jejímž úběžníkem je střed kčky a páry jsou vyťaty sdruženými
kolmými polárami.
2. Každé z ohnisek je pomocným bodem eliptické involuce na vedlejší ose, jejíž páry jsou vyťaty sdruženými kolmými polárami.
3. Každá kružnice, opsaná trojúhelníku danému vedlejší osou a dvěma libovolnými sdruženými kolmými polárami, protíná hlavní osu v ohniscích.
Konstrukce: Dány osy elipsy s vrcholy, určit ohniska.
Konstrukce: Dány osy hyperboly s vrcholy (a pomyslnými vrcholy), určit ohniska.
Průvodiče bodu, excentricita e, číselná excentricita e/a (<1 pro elipsu, >1 pro hyperbolu). Tečna a normála půlí úhly průvodičů. Úhly mezi tečnami z vnějšího bodu a jeho spojnicemi s ohnisky jsou stejné. Pro elipsu/hyperbolu je součet/rozdíl délek
průvodičů konstatní a roven 2a.
Věta+Definice: Paty kolmic z ohniska spuštěných na tečny tvoří vrcholovou kružnici.
Věta: ohnisko tvoří dvě podmínky pro kčku.
Věta+Konstrukce: jsou-li dána dvě ohniska a jeden s nimi nekolineární bod, pak tímto bodem prochází jediná elipsa a jediná hyperbola s těmito ohnisky; tyto dvě kčky se v daném bodě protínají kolmo.
Konstrukce: kčka z ohniska, řídící přímky a dalšího bodu (při nahrazení bodu tečnou to neumíme bez použití konstrukcí s imaginárními elementy).
Definice+Věta: ohnisko paraboly vlastní a nevlastní, řídící přímka. Ekvivalentně: bod je ohniskem právě když involuce sdružených polár, indukovaná v tomto bodě kčkou, je involuce absolutní.
Spojnice ohnisek je osa paraboly. Vlastní ohnisko půlí každou úsečku vyťatou na ose sdruženými kolmými polárami (a tedy i každou tečnu a normálu).
Vrchol P půlí vzdálenost ohniska od řídící přímky.
Def: průvodiče bodu = spojnice bodu s (vlastním i nevlastním) ohniskem.
1) Tečna a normála půlí úhly průvodičů.
2) Úhly mezi tečnami z vnějšího bodu a jeho spojnicemi s ohnisky jsou stejné.
3) e/a=1
4) Paty kolmic, spuštěných z ohniska na tečny P, jsou na vrcholové tečně.
5) Množina bodů, symetrických k ohnisku podle tečen, je řídící prímka.
6) Středy kružnic, procházejícíh ohniskem a dotýkajícíh se řídící přímky, leží na parabole.
7) Tečny z bodu X jsou kolmé právě když X leží na řídící přímce.
8) Délka subnormály bodu je konstatní a rovna parametru paraboly (=vzdálenosti ohniska od ŘP).
9) Ohnisko půlí subnormálu+subtangentu, vrchol půlí subtangentu.
Konstrukce: P z ohnisek a bodu. Existují dvě řešení - paraboly na sebe kolmé v daném bodě.
Konstrukce: P z ohniska a dvou tečen.
29.11. Analytická projektivní geometrie.
Def.: projektivní prostor RP^n, projektivní rozšíření afinní roviny, homogenní souřadnice, vyjádření vlastních a nevlastních bodů.
Převod mezi homogenními a kartézskými souřadnicemi.
Def: projektivita je projektivizace vektorového izomorfismu, její matice je určena až na násobek. Příklady.
Samodružné body projektivity odpovídají vlastním vektorům matice projektivity.
Vlastní čísla, vlastní vektory, Jordanův kanonický tvar (JKT) matice, podobnost matic, reálný tvar JKT v případě komplexně sdružených vl. čísel.
Klasifikace projektivit v RP1.
6.12. Klasifikace involucí v RP1.
Přímkové souřadnice v RP2.
Klasifikace projektivit v RP2. Silně a slabě samodružné body a přímky.
Rozbor jednotlivých případů (dopodrobna je podán v textu od A. Kargera.)
13.12. Kvadriky: opakování pojmů symetrické bilineární, resp. kvadratické formy, polární báze, diagonální tvar, signatura formy.
Definice kvadriky pomocí kv. formy F, rozdělení na reg./sing. kvadriky.
Polárně sdružené body. Singulární a regulární body kvadriky, vrchol kvadriky, příklady.
Vrchol kvadriky je opět kvadrika a zároveň je to podprostor.
Podstava kvadriky - je to regulární kvadrika ve svém podprostoru.
Strukturální věta pro kvadriky: každá Q sestává z podprostorů, které spojují bod podstavy s vrcholem.
20.12.
Polární nadrovina, pól, tečna, bod dotyku - výpočet.
Maximální podprostory na kvadrice (v RPn): dimenze max. podprostoru na Q je n-p (p je počet + v signatuře, který je větší než počet -).
Projektivní klasifikace kvadrik: regulární x singulární. Regulární jsou formálně reálná (neobsahuje body), oválná (obsahuje jen body), typ jednodílný hyperboloid (obsahuje přímky) atd.
Matice B (=A bez prvního řádku a sloupce) je maticí průniku kvadriky s nevlastní nadrovinou.
Afinní klasifikace kvadrik: středová / nestředová = pól nevlastní nadroviny je vlastní (=střed) / nevlastní (=směr osy) = podmatice B je reg. / sing.; výpočet středu / směru osy.
Příklady na klasifikaci kček a na výpočet tečen.
3.1.
Početní příklady na projektivní a afinní klasifikaci kuželoseček a na tečny.
10.1.
|