Matematická analýza 2: dálkově

Výuka na dálku

Plno výsledků lze zkontrolovat i online:
https://www.wolframalpha.com/
https://www.symbolab.com/


Seznam témat:

1. týden (středa 3.3.) - Řady - Srovnávací a limitní srovnávací kritérium
4. týden (středa 24.3.) - Úvod do primitivní funkce, per partes, substituce
5. týden (středa 31.3.) - 1. Téma: Substituce 2. druhu

1. týden (středa 3.3.) - Řady - Srovnávací a limitní srovnávací kritérium

5. týden (středa 31.3.) - 1. Téma: Substituce 2. druhu

Věty o substituci existují dvě. Ta první byla minulý týden a v zásadě se týká případu, kdy v integrálu vidíme funkci a zároveň její derivaci. Za tu funkci pak substituujeme, abychom získali něco jednoduššího, co už umíme zintegrovat.
2. věta o substituci funguje opačně. Z výrazů, které jsou často (až příliš) jednoduché, substitucí vyrobí funkce složitější, které je ale snazší zintegrovat.
Většinou se používá na typické případy, které probereme postupně v jednotlivých krocích. Substituci jako takovou je někdy těžké uhodnout, takže je potřeba znát nějaké triky.

Souhrn případů obsahuje text doc. Kremla, začátek na str. 6:
Substituce doc. Kremla

Krok 1


Začneme goniometrickými substitucemi.

(V dalším nám můžou být užitečné trigonometrické vzorce, vzorce na wiki
a cyklometrické funkce a jejich vzorce na wiki.
Ve videích se též objevují funkce sekans a kosekans, trochu víc se o nich můžete dozvědět na anglické wiki.)

Jdeme na to. Goniometrických substitucí se týká příklad 1.4.7. doc. Kremlíka, ve skriptech analýzy je vzorový příklad na str. 427:
Analýza - skripta
a máme Khanova videa (bohužel došly české titulky):
Khan: Úvod do trigonometrických substitucí
Khan: Další (podobný) příklad
Pointa těchto příkladů je: chtěli bychom se zbavit výrazu typu 1-x2, použijeme substituce x=sin x a vzorec sin2x+cos2x=1.

Aby to bylo zábavnější, různé substituce se dají samozřejmě kombinovat, dvoudílné video:
Khan: dvě substituce
Khan: dvě substituce, 2. část

Substituovat se samozřejmě nemusí jen pomocí sinus a kosinus, máme třeba i tangens, který umí řešit zase jiné výrazy jinými vzorci:
Khan: Substituce s tangens
A na závěr ukázka víceroúprav a testík:
Khan: Dlouhý bezva příklad
Khan: Testík na trigonometrické substituce

Nyní jsme vybaveni na 1. příklad v zadání. V boxu dole na stránce jsou nápovědy na substituce.
11. Substituce 2. druhu
11. řešení

Novinka:
Na první stránce následujícího textu je tabulka s návodem na výběr vhodné substituce: Trigonometric Substitution

Poznámky
  1. Dají se samozřejmě použít různé substituce. Např. sinus jde často zaměnit za kosinus, tangens za kotangens, někdy sinus za tangens...
  2. Intervaly pro 2. větu o substituci vybíráme mimo jiné tak, aby funkce φ měla invers.
  3. 2. věta o substituci má víc podmínek než první a všechny je třeba naplnit.
  4. Přestože primitivní funkce musí být až na konstantu jednoznačná, můžete dostat velmi rozdílné výsledky. Je to dáno tím, že funkce lze prostě zapsat rozdílně (jednoduchý příklad je sin (2x) a 2sin x cos x nebo arccos x a π/2-arcsin x). U těchto příkladů se nám bude objevovat logaritmus a i to může být v pořádku. Lze to zkontrolovat v nějakém programu nebo tak, že se funkce zderivují.

Krok 2

Aneb hyperbolické substituce. Ve druhém cvičení budeme potřebovat hyperbolické funkce.
Základní informace
V pdf se zadáním
11. Substituce 2. druhu
je na první stránce zadefinován hyperbolický sinus a kosinus. Jsou definovány pomocí exponenciální funkce, definiční obor je celé R a z tabulky derivací zjistíme, že sinh x'=cosh x a cosh x'=sinh x. Pozor, není tam mínus. Analogicky primitivní funkcí k sinh je cosh a naopak. Navíc platí, že
cosh2x-sinh2x=1.
Pár odkazů:
Stejně jako se goniometrické funkce dají zadefinovat pomocí jednotkové kružnice, dají se sestrojit funkce pomocí hyperboly. A k nim pak funkce inverzní. Základní obrázky, předpisy a vzorce nabízí Wiki:
Hyperbolické funkce česky
Hyperbolometrické funkce česky
Hyperbolické funkce anglicky
Hyperbolometrické funke anglicky

Máme i video (s anglickými titulky) Khan: Úvod do hyperbolických funkcí

Vezmete-li na milost pár překlepů, můžete se s hyperbolickými funkcemi blíže seznámit v jednom ze cvičení z Archivu
Hyperbolické funkce, řešení

Krok 3

Tak a můžeme jít integrovat. Týká se nás cvičení 2 ze zadání. Nápověda je zase dole v boxu. Budeme potřebovat zejména zmíněný vzorec
cosh2x-sinh2x=1.
Ve skriptech analýzy je kdyžtak vzorový příklad 9.7.17. na str. 497 na hyperbolický sinus: Analýza - skripta
11. Substituce 2. druhu
11. řešení

Krok 4

Kromě goniometrických a cyklometrických funkcí se 2. věta o substituce dá dobře použít ještě na odmocniny nebo třeba ex. (Další příklady budou, až probereme parciální zlomky.) V podstatě tam, kde vyjadřujete x pomocí y a to pak teprve derivujete a substituujete. Cvičení 3: 11. Substituce 2. druhu
11. řešení
Ve skriptech analýzy je příklad 9.7.15. na str. 496 - na odmocninu: Analýza - skripta

Závěr

Srovnání obou vět o substituci poskytují první dvě strany: Inteligentní kalkulus - Černý
Máte-li na výběr, berte 1. větu o substituci, má méně podmínek.

4. týden (středa 24.3.) - Úvod do primitivní funkce, per partes, substituce

2. Téma: Substituce a Per partes

Je tu Substituce a Per partes. Začneme substitucí - to je zpětný chod k derivaci složené funkce.

Krok 1

Substitucí se zabývá následující text:
Substituce doc. Kremla

A pak se tím zabývají videa.
Úvodní video na Khanově škole:
Khan: Substituce - úvod
Další příklady:
Khan: Substituce podruhé
Khan: Substituce potřetí
I lineární substituce z 1. tématu se dá řešit substitucí:
Khan: Lineární substituce
Někdy je vhodné substituovat víckrát za sebou:
Khan: Dvě substituce za sebou

Nejtěžší na substituci je zvolit, za co budeme substituovat. Procvičit můžete na:
Khan: procvičování volby substituce
Procvičování substituce jako takové:
Khan: Procvičování na substituci
Khan: Procvičování substituce podruhé

Můžeme se vrhnout na příklady z desáté sady. Až si zkusíte pár příkladů, koukněte na poznámky.
10. Poznámky k substituci a per partes
10S. Substituce
10S. řešení

Krok 2

Další na řadě je Per partes, které je zpětným chodem k derivaci součinu.
I pro něj máme text:
Per partes doc Kremla
A i pro něj máme Khanova videa:
Khan: Hrubé odvození vzorečku
Khan: Příklad na Per partes
Khan: Více per partes za sebou

Kapitola Per partes obsahuje pár triků. Jmenovitě
Khan: Trik s jedničkou
Khan: Trik s převodem na 2. stranu
Tyto triky najdete i příkladech v Tutoriálu na stránce přednášejícího, od strany 6 dále:
Tutoriál

Pokračujeme na procvičování anglicky:
Khan: Procvičování Per partes
Khan: Procvičování podruhé

A závěrem... Druhá sada má dvě části;) Hurá na Per partes, zase koukněte na poznámky:
10. Poznámky k substituci a per partes
10P. Per partes
10P. řešení

1. Téma: Základní integrály a lineární substituce

Vítejte u Neurčitého integrálu (neboli Primitivní funkce). Hledání primitivní funkce je zpětný proces k derivaci. Klademe si tedy otázku „jaká funkce tam byla, než ji někdo zderivoval“. U jednoduchých integrálů vycházíme ze znalosti derivací, případně se to snažíme na nějaký jednoduchý případ napasovat.

Krok 1

Úvodní informaci poskytuje
text doc. Kremla
a videa na Khanově škole (u všech se dají zapnout české titulky):
Khan: Úvod do neurčitého integrálu.
Seznam základních integrálů pak obsahuje tabulka. Je podobná té s derivacemi, ale je tam navíc poslední oddíl (doporučujeme vytisknout, budeme ji hodně potřebovat):
Primitivní funkce se sinh
Základní integrály rozepisuje i Khanova škola:
Khan: xn
Khan: 1/x
Khan: sin x, cos x, ex

Krok 2

Protože derivace součtu je součet derivací a protože můžeme při derivování dobře násobit konstantou, integrál těmito vlastnostmi disponuje také. Vizte video:
Khan: Součet a násobení konstantou
V tuto chvíli můžeme propočítat příklad 1 v aktuální sadě. Než začneme, ještě pár poznámek.
  1. Výsledkem integrace je funkce, kterou když zderivujeme, tak dostaneme zadání, a navíc otevřený interval, na kterém ta derivace existuje. Někdy tak těch intervalů může být i víc, např. (-1/x)'= 1/x2 na (-∞;0) a (0;∞).
  2. Výsledná funkce je jednoznačná až na konstantu. Zapisujeme jako „ +c “ nebo jako céčko nad rovnítkem. Zatímco +c se píše pořád dál, céčko nad rovnítkem napíšeme jen jednou, v místě, kde zmizí integřítko, pak už jsou normální rovnítka.
  3. Všimněme si, že primitivní funkcek 1/x není jen ln x, ale ln |x|.
  4. Někdy je třeba funkci nejprve upravit, než ji zintegrujeme:
    Khan: úpravy před integrací
  5. Výsledek se dá zkontrolovat tím, že ho zderivujeme. Musí vyjít původní funkce.
Vzhůru na 1. úlohu v 9. cvičení:
9. Primitivní funkce - úvod
9. řešení

Rychlé procvičení lze najít i na Khanově škole, anglicky: Khan: klikací testík na integrály
Khan: procvičování xn
Khan: procvičování xn podruhé
Khan: procvičování xn potřetí
Khan: procvičování ex, 1/x
Khan: procvičování sin x, cos x

Krok 3

K základním integrálům lze přidat i jejich drobné úpravy - konkrétně lineární substituci. Vizte rychlý návod:
9. Lineární substituce - návod
S lineární substitucí je čas na zbylé příklady z devátého cvičení:
9. Primitivní funkce - úvod
9. řešení

1. týden (středa 3.3.) - Řady - Srovnávací a limitní srovnávací kritérium

Kratší verze

Delší verze

Krok 1 - Bodová konvergence

Poznámky