Longitudinální a panelová data – NMST422

Letný semester 2025 | Cvičenie 4 | 17.03.2025



Prihlásenie k SAS OnDemand: https://www.sas.com/en_us/software/on-demand-for-academics.html
Nutná je registrácia s vytvorením vlastného účtu s jedinečným identifikačným číslom a potvrdenie registrácie prostredníctvom emailu. Identifikačné číslo užívateľa (vo forme uXXX, kde XXX je samotné číslo uživateľa) sa objavuje v niektorých následujúcich SAS skriptoch. Symbol XXX v zdrojových kódoch je potrebné vždy nahradiť príslušným identifikačným číslom užívateľa.

Doporučená literatúra a ďalšie užitočné materiály




IV. Inferencia o longitudinálných profiloch v dvoch skupínách

Nad rámec jednoduchého \(t\)-testu, ktorý je možné efektívne využiť pre analýzu longitudinálných (resp. korelovaných/závislých) dat (viď napr. predchádzajúce cvičenie), je možné využiť niektoré štatistické testy – napr. testy založené na (asymptoticky) mnohorozmernom normálnom rozdelení (presné, prípadne asymptotické).

Na rozdiel od párového \(t\)-testu, ktorý umožňoval analyzovať a testovať pouze dvojicu meraní v rámci jedného subjektu (napr. test rozdielu závislej premennej pred liečbou a po konkrétnej liečbe – t.j. zmena závislej premennej v rámci konkrétneho subjektu za určitú časovú jednotku), je možné testy založené na mnohorozmernom normálnom rozdelení aplikovať aj na longitudinálne profily, ktoré sú obsahujú väčší počet opakovaných (t.j., vájomne korelovaných/závislých) pozorovaní.

V následujúcej časti sa zameriame na porovnanie dvoch stredných (očakávaných) longitudinálných profilov u dvoch rôznych (nezávislých) skupin. Podkladové data predstavujú súbor pacientov s sklerózou multiplex (datový súbor sm_data2.csv). Jedná z možných otázok v súvislosti s týmto datovým súborom je napr. časový priebeh nemoci (napr. v zmysle Expanded Disability Status Scale, teda veličiny EDSS). Je očakávaný (stredný) pribeh rovnaký u mužských a ženských pacientov?

libname sm '/home/uXXX/sasuser.v94';
filename reffile '/home/uXXX/sasuser.v94/data/sm_data2.csv';

proc import datafile=reffile
    dbms=csv
    out=sm.data
    replace;
    getnames=yes;
run;
    
proc print datafile = sm.data; 
run;

Jednotlivé longitudinálne (tzv. subject-specific) profily získame napr. pomocou následujúceho SAS kódu:

title "Response Profiles by Gender";
proc sgplot data=sm.data;
   series x=time y=EDSS / group=id groupLC=gender break lineattrs=(pattern=solid)
                       attrid=Treat;

   legenditem type=line name="P" / label="Male" lineattrs=GraphData1; 
   legenditem type=line name="A" / label="Female" lineattrs=GraphData2; 
   keylegend "A" "P";
   xaxis values=(0 1 4 6) grid;
run;

A príslušné priemerné profily pre dve vzájomne nezávislé skupiny – mužov a ženy – získame (napríklad) následujúcim spôsobom:

proc sgplot data=sm.data;
   vline time / response=EDSS group=gender stat=mean limitstat=stderr;
run;

Porovnajte predchádzajúci výstup aj s následujúcim grafom a vysvetlite rozdielnosť záverov:

proc sgplot data=sm.data;
   vline time / response=EDSS group=gender;
run;



S použitim grafou vytvorených vyššie, sa pokúste analyzovať rozdiely medzí odhadnutým (resp. neznámym stredným) 0mužským a ženským longitudinálnym profilom. Ak existuje nejaký časový okamžík v rámci uvažovaného follow-up obdobia, ktorý by mohol mať za následok zamietnutie nulovej hypotézy o rovnosti očakávaných hodnot EDSS u mužského a ženského pacienta v niektorom konkrétnom čase, ktorý moment vrámci follow-up obdobia by to bol?

Formálny štatistický test (pomocou Hotellingovej \(T^2\) testovej štatistiky) získame z tzv. wide-data formátu pomocou procedúry PROC GLM.

proc sort data=sm.data; by id; run;

proc transpose data=sm.data out=sm.dataWide prefix=Time_;
   by id gender;         /* Unique subject identifier and variables*/
   id time;             /* Variable that differentiates repeated measures */
   var EDSS;           /* The measurement variable */
run;
 

proc glm data=sm.dataWide;
   class gender; 
   model Time_0 Time_1 Time_2 Time_3 Time_4 = gender;
   manova h=gender / printh printe; /* Performs Hotellings test */
run;



Samostatne

Pomocou vhodného štatistického testu otestujte následujúce nulové hypotézy (v programe R, alebo v programe SAS):
    ´
  • Je štatisticky významný rozdiel medzi očakávanou hodnotou EDSS u mužského a ženského pacienta v čase podania prvej liečby (t.j. v čase \(t = 0\))?
  • Akým spôsobom by ste otestovali, že celkové očakávané longitudinálne profily medzi mužmi a ženami sa vzájomne líšia o konštantu (resp. sú rovnobežné)?



V následujúcej časti sa zameriame na tri konkrétne štatistické testy, ktoré sa v súvislosti s analýzou longitudinálnych dat často vyuívajú.

  • štatistický test rovnobežnosti longitudinálnych profilov
    (t.j. nie je vzájomná interakcia medzi časom a skupinami)
  • štatistický test rovnosti profilov
    (má zmyslel pouze za predpokladu, že profily sú rovnobežné)
  • štatistický test nulovosti efektu (napr. liečby)
    (ak sú profily rovnobežné, lze najít alespoň nejaký efekt?)



1. Test rovnobežnosti longitudinálnych profilov

Z matematického hľadiska je možné štatistický test rovnobežnosti longitudinálnych profilov formulovať aj ako štatistický test rovnosti jednotlivých inkrementov (v ľubovolných časových okamžikoch) medzi dvoma skupinami.

Uvažujme náhodný výber (mužský pacienti) \(\boldsymbol{X}_1, \dots, \boldsymbol{X}_{N_1}\) z mnohorozmerného normálneho rozdelnia \(N_{n}(\boldsymbol{\mu}_1, \Sigma)\) a na ňom nezávislý druhý náhodný výber (ženský pacienti) \(\boldsymbol{Y_1}, \dots, \boldsymbol{Y}_{N_2}\) z mnohorozmerného normálneho rozdelenia \(N_{n}(\boldsymbol{\mu}_2, \Sigma)\).

Všimnite si, že predpokladané rozdelenia jednotlivých náhodných výberov sú stejné až na vektor stredných hodnôt (rovnaká dimenzia, rovnaká variančná-kovariančná matica). Každé jednotlivé pozorovanie – napr. \(\boldsymbol{X}_i\) (resp. \(\boldsymbol{Y}_j\)) predstavuje jeden individuálny longitudinálny profil o celkovej dĺžke \(n \in \mathbb{N}\) opakovaných (korelovaných, resp. závislých) pozorovaní vrámci daného subjektu. Uvažovaný model – t.j. variančna kovariančena matica \(\Sigma\) je pozitívne definitná, ale inak bližšie nešpecifikovaná. Umožňuje preto modelovať koreláciu medzi jednotlivými opakovanými pozorovaniami.

Je nutné sí uvedomiť, že vhľadom k predpokladu rovnakej variančnej-kovariančnej matice je nutné, aby boli pozorovania balancované v rámci oboch skupín dohromady.

V takto formulovanom pravdepodobnostnom modeli je štatistický test rovnobežnosti longitudinálnych profilov pre \(\boldsymbol{X} \sim N_n(\boldsymbol{\mu}_1, \Sigma)\) a \(\boldsymbol{Y} \sim N_n(\boldsymbol{\mu}_2, \Sigma)\) ekvivalentný s nulovou hypotézou \[ H_0: \mathbb{C}(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2) = \boldsymbol{0}, \] oproti obecnej alternatíve, že nulové hypotéza \(H_0\) neplatí. Rovnosť v \(H_0\) je myslená po zložkách a matica \(\mathbb{C}\) predstavuje maticu kontrastov v tvare \[ \mathbb{C} = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & -1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{(n - 1) \times n}. \] Pre výberový priemer \(\overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} \sim N_{n}(\boldsymbol{\mu}_1. \frac{1}{N_1}\Sigma)\) a výberový priemer \(\overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2} \sim N_n(\boldsymbol{\mu}_2, \frac{1}{N_2} \Sigma)\) a tzv. pooled variance estimate \(\mathcal{S} = \frac{1}{N_1 + N_2}\Big[N_1 \widehat{\Sigma}_{X} + N_2 \widehat{\Sigma}_Y\Big] \sim W_{n}(\Sigma, N_1 + N_2 - 2)\), kde \(\widehat{\Sigma}_X\) a \(\widehat{\Sigma}_Y\) sú výberové variančné-kovariančné matice založené na náhodných výberoch \(\boldsymbol{X}_1, \dots, \boldsymbol{X}_{N_1}\) a \(\boldsymbol{Y}_1, \dots, \boldsymbol{Y}_{N_2}\), platí, že za platnosti nulovej hypotézy má testová štatistika definovaná predpisom \[ T = \frac{N_1 N_2}{(N_1 + N_2)^2} (N_1 + N_2 - 2)\Big[\mathbb{C}(\overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} - \overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2}) \Big]^\top \Big( \mathbb{C}\mathcal{S}\mathbb{C} \Big)^{-1} \Big[\mathbb{C}(\overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} - \overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2}) \Big] \] má Hotellingovo \(T^2\) rozdelenie s \(n - 1\) a \(N_1 + N_2 - 2\) stupňami voľnosti. Matica \(\mathcal{S} \in \mathbb{R}^{(n - 1) \times n }\) predstavuje výberovú variančnú-kovariančnú maticu spočítanu z celkového náhodného výberu \(\boldsymbol{X}_1, \dots, \boldsymbol{X}_{N_1}, \boldsymbol{Y}_1, \dots, \boldsymbol{Y}_{N_2}\) (tzv. ``pooled covariance matrix’’).

V programe SAS uskutočníme test napr. pomocou následujúcej implmenentácie procedúry PROC GLM:

proc glm data=sm.dataWide;
   class gender;  
   model Time_0 Time_1 Time_2 Time_3 Time_4 = gender;
   manova h=gender / printh printe; /* Performs Hotellings test */

   /* Specify the contrast matrix C */
   manova h=gender   m=(1 -1  0  0  0,
                        0  1 -1  0  0,
                        0  0  1 -1  0,
                        0  0  0  1 -1) prefix=diff;
run;



Užitočné

  • Pripomeňte si obecný vzťah medzi Hotellingovým \(T^2\) rozdelenim a Fisherovým \(F\) rozdelením. Obecne platí, že ak náhodná veličina \(T\) má Hotellingovo \(T^2\) rozdelenie s \(p\) a \(n\) stupňami voľnosti, tak potom platí, že \[ \frac{n - p + 1}{np} T \sim F_{p, n - p + 1}, \] teda príslušná transformovaná náhodná veličina ma Fisherovo \(F\) rozdelenie s \(p\) a \(n - p + 1\) stupňami voľnosti.
  • Pripomeňte si, ako je definované Hotellingovo \(T^2\) rozdelenie a aké náhodné veličiny maju takéto rozdelenie. Pre zopakovanie lze použíť napr. túto web stránku z predmetu NMST539.



Samostatne

  • Pomocou programu SAS navrhnite test nulovej hypotézy, že longitudinálne profily mužov a žien sú rovnaké.
  • Aplikujte test (buď s využitím Hotellingovho rozdelenia, alebo Fisherovho rozdelenia) a interpretujte výsledok testu.



2. Test rovnosti úrovní medzi dvoma skupinami

Druhým zaujímavým testom v súvislosti s analýzou longitudinálnych profilov medzi dvoma nezávislými skupinami je porovnanie jednotlivých profilov v zmysle vzájomnej rovnosti. Je dôležité si ale uvedomiť, že tento test nemá dobrý zmysel v prípade, že predchádzajúci test o rovnobežnosti profilov zamietol nulovú hypotézu. V takom prípade totíž dve skupiny reaguju v priebehu času rozdielne (napr. skupina reagujúca na liečbu a kontrolná skupina reagujúca na placebo, alebo v súvislosti s pacientami na sklerózu jedna skupina predstavuje mužských pacientov, tá druhá ženských pacientov).

Nulová hypotéza može byť formálne zapísana ako \[ H_0: \boldsymbol{1}^\top (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu_2}) = 0, \] oproti obecnej alternatíve \[ H_1: \boldsymbol{1}^\top (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu_2}) \neq 0. \] V prípade alternatívy teda existuje aspoň jeden časový okamžík z uvažovaného follow-up obdobia (o celkovej dĺžke \(p in \mathbb{N}\)), pre ktorý platí, že stredná hodnota \(\boldsymbol{X}\) je v danej dimenzii odlišná od strednej hodnoty \(\boldsymbol{Y}\) (v tej istej dimenzii).

Štatistický test nulovej hypotézy \(H_0\) je opäť založený na testovej štatistike, ktorá ma zaplatnosti nulovej hypotézy Hotellingovo \(T^2\) rozdelenie. V privom rade platí, že skupinové vyberové priemerý majú postupne mnohorozmerné normálne rozdelenie \[ \overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} \sim N_{n}(\boldsymbol{\mu}_1, \frac{1}{N_1} \Sigma) \] a tiež \[ \overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2} \sim N_{n}(\boldsymbol{\mu}_2, \frac{1}{N_2}\Sigma). \] Z obecných vlastností mnohorozmerného normálneho rozdelenia (a tiež vzájomnej nezávislosti medzi \(\boldsymbol{X}_i\) a \(\boldsymbol{Y}_j\)) zároven platí \[ \big(\overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} - \overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2}\big) \sim N_{n}(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2, \frac{N_1 + N_{2}}{N_1 N_2}\Sigma), \] a taktiež \[ \boldsymbol{1}^\top \big(\overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} - \overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2}\big) \sim N_{n}(\boldsymbol{1}^\top (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2), \frac{N_1 + N_2}{N_1 N_2} \cdot \boldsymbol{1}^\top \Sigma \boldsymbol{1}). \]

Variančná-kovariančná matica \(\Sigma\) je ale obecne neznáma a preto je potrebné ju pomocou dat odhadnúť. Nech \(\mathcal{S}_1\) je výberová variančná-kovariančná matica spočítaná z náhodného výberu \(\boldsymbol{X}_1, \dots, \boldsymbol{X}_{N_1}\) a analogicky \(\mathcal{S}_2\) je výberová variančná-kovariančná matica spočítaná z náhodného výberu \(\boldsymbol{Y}_1, \dots, \boldsymbol{Y}_{N_2}\). Pripomeňme, že platí následujúce: \[ N_1 \mathcal{S}_1 = \mathbb{X}^\top \mathcal{H}_{N_1} \mathbb{X} \sim W_{n}(\Sigma, N_1 - 1) \] a \[ N_2 \mathcal{S}_2 = \mathbb{Y}^\top \mathcal{H}_{N_2} \mathbb{Y} \sim W_{n}(\Sigma, N_2 - 1), \] kde \(\mathbb{X}= (\boldsymbol{X}_1, \dots, \boldsymbol{X}_{N_1})^\top\) a \(\mathbb{Y} = (\boldsymbol{Y}_1, \dots, \boldsymbol{Y}_{N_2})^\top\) a \(\mathcal{H}_{N_1} = \mathbb{I}_{N_1} - \frac{1}{N_1}\boldsymbol{1}_{N_1}\boldsymbol{1}_{N_1}^\top\) a \(\mathcal{H}_m{N_2}= \mathbb{I}_{N_2} - \frac{1}{N_2}\boldsymbol{1}_{N_2}\boldsymbol{1}_{N_2}^\top\) sú tzv. centrovacie štvorcové matice typu \(N_1 \times N_1\) a \(N_2 \times N_2\) respective.

Z vlastnosti Wishartovho rozdelenia a tiež z nezávislosti \(N_1\mathcal{S}_1\) a \(N_2\mathcal{S}_m\) plynie tiež \[ N_1 \mathcal{S}_1 + N_2 \mathcal{S}_2 \sim W_{n}(\Sigma, N_! + N_2 - 2), \] pričom tzv. ``pooled’’ odhad variačnej-kovariačnej matice \(\Sigma\) získame ako \(\mathcal{S} = (N_{1} + N_{2})^{-1} \cdot (N_1\mathcal{S}_1 + N_2\mathcal{S}_2)\). Preto tiež platí, že \[ (N_1 + N_2) \boldsymbol{1}_n^\top \mathcal{S} \boldsymbol{1}_n \sim W_{1}(\boldsymbol{1}_n^\top \Sigma \boldsymbol{1}_n, N_1 + N_2 - 2), \] čo je vlastne \(\chi^2\) rozdelenie s \(N_1 + N_2 - 2\) stupňami voľnosti (i.e., degrees of freedom).


Test nulovej hypotézy \(H_0\) lze uskutočniť pomocou testovej štatistiky (analogicky, ako v jednorozmernom prípade u klasického \(t\)-testu) \[ T = \frac{N_1 N_2}{N_1 + N_2} (N_1 + N_2 - 2) \cdot \frac{\Big[ \boldsymbol{1}_n^\top (\overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} - \overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2}) \Big]^2}{\boldsymbol{1}_n^\top \mathcal{S} \boldsymbol{1}_n}, \] ktorá ma za platnosti nulovej hypotézy Hotellingovo \(T^2\) rozdelenie s \(1\) a \(N_1 + N_2 - 2\) stupňami voľnosti (čo je vlastne taktiež Fisherovo \(F\) rozdelenie s \(1\) a \(N_1 + N_2 - 2\) stupňami voľnosti).



Samostatne

  • Pomocou programu SAS implementujte daný test.
  • Pre vhodne zvolenú dĺžku follow-up obdobia (napr. na základne exploratívnej analýzy a vhodných popisných charakteristík) otestujte nulovú hypotézu, že priebeh nemoci (skleróza multiplex) je v prvých rokoch po podaní liečby (t.j. v čase \(t = 0\)) rovnaký u mužov aj u žien.



3. Test nulovosti tzv. ``treatment’’ efektu

V prípade, že štatisticky test rovnobežnosti profilov zamietne nulovú hypotézu, tak následný štatistický model by buď mal zahrnúť interakčný člen medzi časom (jednotlivými meraniami vrámci uvažovaného follow-up obdobia) a príslušnými skupinami, prípadne (ako alternatívu) uvažovať dva samostatné štatistické modely – jeden pre každú z dvoch skupín.

V opačnom prípade, ak nulová hypotéza rovnobežnosti profilov zamietnutá nie je, tak je následne možne pokúsiť sa zo spoločných dat (obe uvažovane skupiny súčastne) urobiť inferenciu ohľadom celkového effektu (napr. nejakej konkrétnej liečby) v rámci uvažovaného času (a to aj v prípade, že jednotlivé úrovne profilov sú vzájomne odlišné, podstatné je, že sú, zo štatistického hľadiska rovnobežné).

Takáto nulová hypotéza nulovosti príslušného efektu môže byť matematicky vyjadrená ako \[ H_0: \mathcal{C}(\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_2) = \boldsymbol{0}, \] kde matica \(\mathcal{C} \in \mathbb{R}^{(n - 1) \times n}\) je matica vájomných kontrastov definovaná predpisom \[ \mathbb{C} = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & -1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \end{array} \right). \]

Z formálneho hľadiska sa vpodstate jedná o testovanie nulovosti jednotlivých priemerných inkrementov (t.j., priemerné inkrementy vrámci združeného – priemerného profilu). Pre priemerný profil (v prípade datového súboru pacientov so sklerózou sa vlastne jedná o model, ktorý neberie do úvahy informáciu o pohlaví pacienta) platí, že \[ \overline{\boldsymbol{X}}_{N_1 + N_2} = \frac{N_1 \overline{\boldsymbol{X}}_{N_1} + N_2 \overline{\boldsymbol{Y}}_{N_2}}{N_1 + N_2} \sim N_n \Big( \frac{N_1 \boldsymbol{\mu}_1 + N_2 \boldsymbol{\mu}_2}{N_1 + N_2}, \frac{1}{N_1 + N_2} \Sigma \Big). \]

Ak sú longitudinálne profily v rámci oboch skupín vzájomne paralelné (nulová hypotéza o rovnobežnosti profilov nebola zamietnutá), tak za platnosti nulovej hypotézy \(H_0\) (t.j. oba profily sú navyše aj horizontálne) jednoducho platí, že \[ \mathcal{C} \Big( \frac{N_1 \boldsymbol{\mu}_1 + N_2 \boldsymbol{\mu}_2}{N_1 + N_2}\Big) = 0 \] a z vlastnosti normálneho rozdelenia aj \[ \sqrt{N_1 + N_2} \mathcal{C} \overline{\boldsymbol{X}}_{N_1 + N_2} \sim N_{n}(\boldsymbol{0}, \mathcal{C}^\top \Sigma \mathcal{C}) \] a s využitím príslušnej výberovej matice \(\mathcal{S}\) (odhad variančnej-kovariačnej matice \(\Sigma\)) môžeme definovať testovú štatistiku \[ T = (N_1 + N_2 -2) \big( \mathcal{C} \overline{\boldsymbol{X}}_{N_1 + N_2} \big)^\top \Big(\mathcal{C}^\top \mathcal{S}\mathcal{C} \Big)^{-1} \mathcal{C}\overline{\boldsymbol{X}}_{N_1 + N_2}, \] ktorá má za platnosti nulovej hypotézy \(H_0\) opäť Hotellingovo \(T^2\) rozdelenie s \(n - 1\) a \(N_1 + N_2 - 2\) stupňami voľnosti (resp. Fisherovo \(F\) rozdelenie s \(n - 1\) a \(N_1 + N_2 - n\) stupňami voľnosti).

Užitočné

  • Analogické štatistické testy (t.j. test rovnobežnosti longitudinálnych profilov, test rovnosti jednotlivých úrovni a test nulovosti celkového efektu) je možné implementovať aj prostredníctvom vhodne formulovaného lineárneho regresného modelu (s príslušnými interakčnými členmi) a následným \(F\) testom na podmodel (resp. \(t\) testom v niektorých prípadoch).
  • Analogické vysledky lze napr. získať aj opakovanou analyzou nezávislych pozorovaní v jednom konkrétnom časovom bode vrámci uvažovaného follow-up obdobia a danu analýzu opakovať pre jednotlivé uvažované okamžiky. Vrámci dodržania celkovej hladiny testu je ale vhodné upraviť príslušnú hladinu testovania – napr. jednoduchovu Bonferroniho korekciou (ktorá ale býva často hodne konzervatívna).





Samostatná domáca úloha \(|\) (deadline: 07.04.2025)

Použijte vhodný datový súbor (napr. datový súbor pacientov so sklerózou multiplex) a pomocou Vami zvoleného programu (napr. SAS, R, alebo Python) explicitne otestujte (t.j. implementujte) štatistický test:

  • či sú jednotlivé profily pre dve explicitne definované nezávislé skupiny vzájomne rovnobežné;
  • V prípade, že štatistický test nulovú hypotézu rovnobežnosti profilov nezamieta, rozhodnite, či lze považovať profily za totožné, resp. či lze preukázať nejaký štatistický rozdiel (t.j. test celkového efektu).

  • Vhodnými štatistickými nástrojmi analyzujte (t.j. exploratívna analýza) kovariančnú štruktúru longitudinálnych profilov.
    Použijte vhodné popisné charakteristiky a vhodné ilustračné/vizualizačné metódy. Zamerajte sa na závislosť a korelovanosť opakovaných merení.