Matematická analýza I - cvičení

  • Kdy a kde: Út, 10:40 - 12:55, T10
  • Kdy a kde: Út, 13:10 - 15:25, N9
  • Kdy a kde: Čt, 12:20 - 14:35, M3
  • Během cvičení můžete získat až 25 bodů, přičemž až 18 za písemky (budeme psát tři) a 7 za aktivitu na cvičení.
  • Tyto body budou zohledněny při zkoušce
  • Pro zápočet, který je nutný ke zkoušce, je nutné získat alespoň 13 bodů.
  • Body za aktivitu můžete získat třemi způsoby:
    1. Dobrým vyřešením předem připraveného příkladu během cvičení
    2. Vyřešením zapsaného příkladu a jeho pěkným sepsáním a zasláním mně (bude zpřístupněno jako extra studijním materiály ostatním)
    3. Vyřešením zapsaného dobrovolného domácího úkolu (budou 3). Každý domácí úkol přidá 1 bod za aktivitu navíc k tomu, co byste dostali bez nich. Kdo byste měli více bodů za aktivitu než 7, dostane jenom 7, ale doplním pak přednášejícímu poznámku o Vaší vysoké aktivitě během cvičení.
  • Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 1. semestr.
  • Další studijní materiály a diskuse budou přístupné v rámci MS Teams.
  • Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace
  • Náhradní zápočtová písemka pro ty, kdo nezískali zatím zápočet, se bude konat v úterý 11.1. v T8 od 9:15.

Příklady na cvičení

  1. Ct 30.9., Ut 5.10.: Opakování ze střední školy
  2. 7.10., 12.10.: Opakování II
  3. 14.10., 19.10.: Limity funkcí I
  4. 21.10., 2.11.: Limity funkcí II
  5. 4.11., 9.11.: Spojitost a derivace funkcí
  6. 11.11., 16.11.: 1. písemka (limity funkcí). Primitivní funkce I
  7. 18.11., 23.11.: Primitivní funkce II
  8. 25.11., 3.11.: Limity funkcí II
  9. 2.11., 7.12.: Limita posloupnosti
  10. 9.12., 14.12.: 2. písemka (primitivní funkce). Hlubší vlastnosti funkcí
    9.12. 20:00, 2. písemka (primitivní funkce), online přes Zoom pro ty, kdo mají závažný důvod, proč se nemohou zúčastnit standardní písemky (např. vízum, covid, ...)
  11. 13.12. 20:00 přes Zoom: Průběh funkcí
  12. 16.12., 21.12.: Taylorův polynom
  13. 6.1., 4.1.: 3. písemka (Průběh funkce). Newtonův a Riemannův integrál

Dobrovolné domácí úkoly

  1. Jak souvisí nekonečný elektrický obvod a USS Enterprise? (2 čárky): Spočtěte odpor nekonečného elektrického obvodu na obrázku a postup zapište matematicky korektně.

    Speciálně vyčíslete odpor, pokud \(R_1=R_2=1\).
  2. Frekvence spicyonu (5 čárek): Bylo zjištěno, že koření na planatě Arrakis obsahuje zvláštní jednodimenzionální částice zvané spicyony. Spicyon se pohybuje v potenciálovém poli \(U(x) = -U_0\cosh^{-2}(x/l_P)\), kde \(U_0\) je klidová energie elektronu a \(l_P\) je Planckova délka. Hmotnost spicyonu je stejná jako hmotnost elektronu. K průmyslovému využití spicionů je však třeba zjistit, jak závisí perioda jejich kmitů v daném potenciálovém poli na jejich celkové energii \(E=\frac{1}{2}m (\dot{x})^2 +U(x)\). Z nalezené harkonenské dokumentace se zdá, že čas lze vyjádřit jako \(t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}+\mathrm{konst}\), ale je třeba nejprve tento vztah zkontrolovat. Celková perioda pak bude čtyřnásobkem času uplynulého od momentu, kdy je částice na pozici \(x=0\), k okamžiku, kdy je v bodě zvratu, kdy platí \(E=U(x)\). Prosím pomožte nám zjistit, jak závisí perioda kmitů spicyonů na jejich energii, je to důležité pro další vývoj planety.
  3. Kinetická energie spicyonů v rovnováze (5 čárek): Pro úspěšné využití spicyonů v energetickém průmyslu je třeba znát jejich průměrnou kinetickou energii. Známe-li celkovou energii $N$ spicyionů \(E=T+U\), jaká je jejich kinetická energie po ustavení termodynamické rovnováhy, \(\bar{T} = \lim_{t\rightarrow \infty} T(t)\)? Tuto otázku lze zodpovědět například díky tomu, že \(2T= \sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i\cdot\mathbf{r}_i\right)-\sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\cdot\dot{\mathbf{p}}_i\), kde \(\mathbf{r}_i\) a \(\mathbf{p}_i\) jsou poloha a hybnost částice \(i\) a \(\dot{\mathbf{p}}_i=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_i}\). Podle nalezené harkonenské dokumentace to vypadá, že bude výhodné spočítat integrál \(\frac{1}{\tau} \int_0^\tau T(t)dt\). Předpokládáme, že systém těchto částic má omezenou energii, takže je i omezený v prostoru. Dá se očekávat, že částice budou blízko minim své potenciální energie, kde tuto energii můžeme aproximovat do druhého řádu přesnosti.