NMSA405 - Teorie pravděpodobnosti 2

Čtvrtek   14.00 - 15.30   K5

SIS


Videozáznamy loňských přednášek a některé další materiály jsou k dispozici v platformě Moodle po přihlášení.

Zápisky k přednášce - verze 5. 10. 2021


Podmínky na zápočet:

Informace ke zkoušce:

Zkouška je ústní. Zkoušena může být libovolná látka, která byla probrána během přednášky.
Losuje se jedna z 20 otázek a poté je čas na přípravu. Součástí otázky je vždy formulace věty a předvení důkazu (část a) a související definice a základní vlastnosti (část b). Odpovídat lze v angličtině nebo češtině nebo kombinaci obou jazyků.
Poté mohou být položeny dodatečné otázky z libovolného tématu probraného během semestru. Může být vyžadováno provedení samostatného drobnějšího odvození nebo výpočtu, jehož cílem je prozkoumat porozumění látce. Nemusí nutně jít o odvození, které bylo součástí přednášky, mohlo se objevit na cvičení nebo se dá dostat jednoduchou samostatnou úvahou.

Otázky

1a. The probability distribution of a random sequence is uniquely determined by finite dimensional distributions.
1b. Random sequence, product σ-algebra, random element with values in the space of real sequences, finite dimensional set.

2a. Daniell's extension theorem.
2b. Random sequence, projective family of probability distributions, product σ-algebra, product measure.

3a. Strong Markov property of a random walk. Stationarity with respect to a stopping time.
3b. Random walk, stopping time and its properties, filtration, stopping time σ-algebra.

4a. Stability of the martingale property with respect to filtration. Convex transformation of a (sub)martingale.
4b. Martingale, submartingale, filtration, example of a martingale.

5a. Doob decomposition theorem.
5b. Martingale, submartingale, predictable sequence, compensator, example of a submartingale.

6a. Optional stopping theorem.
6b. Stopping time and its properties, stopping time σ-algebra, martingale, submartingale.

7a. Optional sampling theorem for two bounded stopping times.
7b. Stopping time and its properties, stopping time σ-algebra, martingale, submartingale.

8a. Optional sampling theorem.
8b. Stopping time and its properties, stopping time σ-algebra, martingale, submartingale.

9a. Wald's equations - general and basic version.
9b. Random walk, stopping time and its properties, first exit time.

10a. Supermartingale goes bankrupt forever.
10b. Martingale, supermartingale, stopping time σ-algebra, first exit time, example of a supermartingale.

11a. Doob's maximal inequalities. Kolmogorov's inequality.
11b. Martingale, submartingale, examples of martingales and submartingales.

12a. Doob's upcrossing inequality.
12b. Martingale, submartingale, stopping time and its properties, example of a submartingale.

13a. Doob's submartingale convergence theorem.
13b. Martingale, submartingale, examples of martingales and submartingales.

14a. Doob's backwards submartingale convergence theorem.
14b. Backwards martingale, backwards submartingale, example of a backwards martingale.

15a. Convergence of uniformly integrable (sub)martingale.
15b. Martingale, submartingale, uniform integrability, example of a uniformly integrable martingale.

16a. Optional sampling theorem for uniformly integrable martingale.
16b. Martingale, stopping time and its properties, stopping time σ-algebra, example of a uniformly integrable martingale.

17a. Continuity of the conditional expectation with respect to the condition.
17b. Conditional expectation, filtration, martingale, backwards martingale, uniform integrability.

18a. Submartingale converges or explodes.
18b. Martingale, submartingale, first exit time, example of a submartingale.

19a. Summability of martingale differences. Strong law of large numbers for martingale differences.
19b. Martingale, martingale difference sequence, example of a martingale difference sequence.

20a. Central limit theorem for martingale differences.
20b. Martingale, martingale difference sequence, example of a martingale difference sequence.

Známkování

1 (výborně): student/ka zná důkazy, je jasné, že látce rozumí a je schopen/na ji použít

2 (velmi dobře): mírné nedostatky

3 (dobře): student/ka zná pouze jednoduché důkazy nebo má problémy s vysvětlením teoretických výsledků a jejich aplikací

4 (neprospěl/a): student/ka není schopen/na správně zformulovat nějakou definici nebo větu (i kdyby ostatní otázky uměl/a bezchybně) nebo látce zjevně nerozumí

Termíny

7.1., 11.1., 19.1., 26.1., 27.1., 1.2., 3.2., případně po vzájemně domluvě