Derivace funkce v intervalu a jednostranná derivace
Definice
Funkce \(f\) má v otevřeném intervalu \((a,b)\) derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě \(x \in (a,b)\).
Zavedení derivace na uzavřeném intervalu \( \langle a,b \rangle \) je podobné jako na otevřeném intervalu s tím rozdílem, že budeme vyžadovat, aby funkce měla v krajních bodech příslušné jednostranné derivace zleva nebo zprava.
Definice
Mějme funkci \(f\) definovanou v jistém levém, resp. pravém okolí bodu \(x_0\). Existuje-li
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\) ,
nazýváme ji derivací funkce \(f\) v bodě \(x_0\) zleva a označujeme ji \(f_{-}^{\prime}(x_0)\).
Existuje-li
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\) ,
nazýváme ji derivací funkce \(f\) v bodě \(x_0\) zprava a označujeme ji \(f_{+}^{\prime}(x_0)\).
Poznámka
- Pokud existuje \(f^{\prime}(x_0)\), pak \(f_{-}^{\prime}(x_0) \; = \; f_{+}^{\prime}(x_0) \; = \; f^{\prime}(x_0)\).
- Pokud existují \(f_{-}^{\prime}(x_0)\) a \(f_{+}^{\prime}(x_0)\) a rovnají se, pak \(f^{\prime}(x_0) \; = \; f_{-}^{\prime}(x_0)\).
Důkaz plyne z vlastností limit.
Definice jednostranných derivací funkce v bodě nám umožňuje zavést derivaci v intervalech \( \langle a,b \rangle \), \((a,b \rangle \), \( \langle a,b)\).
Definice
Funkce \(f\) má v uzavřeném intervalu \( \langle a,b \rangle \) derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě \(x \in (a,b)\) a v bodě \(a\) má derivaci zprava a v bodě \(b\) má derivaci zleva.
Úloha 1: Zdánlivý paradox
Nechť \(f(x) = |x|\). Vysvětlete, jak je možné, že funkce \(f\) má derivaci v intervalech \(( -1,0 \rangle \) a \( \langle 0,1)\), ale nemá derivaci v intervalu \((-1,1)\), a to i přesto, že každá hodnota z otvřeného intervalu \((-1,1)\) je obsažena alespoň v jednom z uvedených polouzavřených intervalů, kde pro ní derivace existuje.