Odmocnina z komplexního čísla
Před zavedením odmocniny z komplexního čísla si připomeneme definici odmocniny z nezáporného reálného čísla.
Odmocnina z nezáporného reálného čísla
Definice
Pro \(n \in \mathbb{N}\) je \(n\)-tá odmocnina z nezáporného reálného čísla \(a\) takové nezáporné reálné číslo \(b\), pro něž platí \(a=b^n\). Značíme \(\sqrt[n]{a}=b\).
Poznámka
V oboru reálných čísel je \(n\)-tá odmocnina definována pouze pro čísla nezáporná a je také nezáporná a navíc jednoznačná.
Odmocnina z komplexního čísla
V oboru komplexních čísel nemáme kladná a záporná čísla. Za \(n\)-tou odmocninu z komplexního čísla označíme každé komplexní číslo, které vyhovuje dané rovnici \(a=b^n\).
Definice
Pro \(n \in \mathbb{N}\) je \(n\)-tá odmocnina z komplexního čísla \(a\) každé takové komplexní číslo \(b\), pro něž platí \(a=b^n\).
Příklad
Najděte všechny druhé odmocniny čísla \(a=3+4i\).
Řešení
Označme \(b=b_x+b_y i\) druhou odmocninu čísla \(a\). Z definice \(n\)-té odmocniny víme, že \(a=b^2\).
\(a=b^2=(b_x+b_yi)^2={b_x}^2-{b_y}^2+2 b_x b_y i\)
Tedy:
\(\color{green}{3}+\color{blue}{4}i=\color{green}{{b_x}^2-{b_y}^2}+\color{blue}{2 b_x b_y} i\)
Z definice rovnosti komplexních čísel víme, že dvě komplexní čísla jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné i imaginární části. Z předchozího vztahu nám vzniká soustava dvou rovnic (jedna rovnice pro reálnou a jedna pro imaginární část) o dvou neznámých:
\(\color{green}{3}=\color{green}{{b_x}^2-{b_y}^2}\)
\(\color{blue}{4}=\color{blue}{2 b_x b_y}\)
Soustavu vyřešíme.
\(b_y=\dfrac{2}{b_x}\)
\(3={b_x}^2-\dfrac{4}{{b_x}^2}\)
\(3 {b_x}^2={b_x}^4-4\)
Použijeme substituci \(t={b_x}^2\) a rovnici vyřešíme.
\(3 t=t^2-4\)
\(t^2 - 3 t - 4 = 0\)
\(t_{1,2}=\dfrac{3 \pm \sqrt{9-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\dfrac{3 \pm 5}{2}\)
Protože \(t\) je druhou mocninou reálného čísla, smysl má pouze kořen \(t=4\). Tedy:
\({b_x}^2=4\)
\({b_x}^2-4=0\)
\((b_x-2)(b_x+2)=0\)
\(b_{x_{1,2}}=\pm 2\)
Dopočítáme \(b_y=\dfrac{2}{b_x}\):
\(b_{y_1}=\dfrac{2}{2}=1\)
\(b_{y_2}=\dfrac{2}{-2}=-1\)
Druhými odmocninami komplexního čísla \(3+4i\) jsou tedy komplexní čísla \(2+i\) a \(-2-i\).
Poznámka
Pokud budeme chtít určit \(n\)-tou odmocninu z komplexního čísla v algebraickém tvaru, dojdeme k rovnici \(n\)-tého stupně. Pro vyšší \(n\) je vyřešení rovnice (a tím i nalezení \(n\)-tých odmocnin) velmi obtížné či dokonce nemožné.
Počítání s odmocninami je výhodnější v goniometrickém a exponenciálním tvaru.
S využitím řešení vzorového příkladu řešte následující úlohy.
Úlohy
Ve čtvrtém příkladu si můžeme všimnout, že absolutní hodnoty obou druhých odmocnin čísla \(a\in\mathbb{C}\) jsou stejné a jsou rovny \(\sqrt{|a|}\).
