Početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru
Číselné operace s komplexními čísly ve tvaru uspořádaných dvojic zavedené v předchozí kapitole nyní vyjádříme pro komplexní čísla v algebraickém tvaru.
Sčítání, odčítání a násobení komplexních čísel v algebraickém tvaru
Mějme komplexní čísla \(x=[x_1;x_2]=x_1+x_2i\) a \(y=[y_1;y_2]=y_1+y_2i\). Na základě operací s komplexními čísly ve tvaru uspořádaných dvojic lze zavést následující vztahy:
\(x+y=[x_1+y_1;x_2+y_2]=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)i\)
\(x-y=[x_1-y_1;x_2-y_2]=(x_1-y_1)+(x_2-y_2)i\)
\(x\cdot y=[x_1y_1-x_2y_2;x_1y_2+x_2y_1]=(x_1y_1-x_2y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i\)
Pro komplexní čísla \(x=x_1+x_2i\) a \(y=y_1+y_2i\) platí:
\(x+y=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)i\)
\(x-y=(x_1-y_1)+(x_2-y_2)i\)
\(x\cdot y=(x_1y_1-x_2y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i\)
Poznámka
Zkusme komplexní čísla \(x\) a \(y\) v algebraickém tvaru roznásobit jako dvojčleny.
\(x\cdot y=(\color{green}{x_1}+\color{red}{x_2}i)\cdot(\color{blue}{y_1}+\color{darkmagenta}{y_2}i)=\color{green}{x_1}\color{blue}{y_1}+\color{green}{x_1}\color{darkmagenta}{y_2}i+\color{red}{x_2}\color{blue}{y_1}i+\color{red}{x_2}\color{darkmagenta}{y_2}i^2=\)
\(=(\color{green}{x_1}\color{blue}{y_1}-\color{red}{x_2}\color{darkmagenta}{y_2})+(\color{green}{x_1}\color{darkmagenta}{y_2}+\color{red}{x_2}\color{blue}{y_1})i\)
Násobení komplexních čísel v algebraickém tvaru tedy odpovídá násobení dvojčlenů.
Příklad
Vypočítejte součin komplexních čísel \(a=1+i\) a \(b=2-i\).
Řešení
\(a\cdot b=(1+i)\cdot(2-i)=1 \cdot 2 + i \cdot 2 - 1 \cdot i - i^2=2+1+2i-i=3+i\)
Součin komplexně sdružených čísel
Podívejme se nyní na součin čísel komplexně sdružených:
\(z\cdot\bar{z}=(a+bi)\cdot(a-bi)=a^2+abi-abi-b^2i^2=a^2+b^2\)
Všimněme si, že součin komplexně sdružených čísel \(z\) a \(\bar{z}\) je nezáporné reálné číslo a navíc jeho odmocněním získáme absolutní hodnotu těchto čísel.
\(\forall z\in\mathbb{C}: \, |z|=\sqrt{z\cdot\bar{z}}\)
Nulový součin dvou komplexních čísel
Nyní si ukážeme, že součin dvou komplexních čísel je roven nule právě tehdy, když je alespoň jeden z činitelů roven nule.
Mějme dvě komplexní čísla \(x\) a \(y\). Nechť platí, že jejich součin je roven nule. To platí právě tehdy, když je absolutní hodnota jejich součinu rovna nule (neboť komplexní číslo je rovno nule právě tehdy, když je jeho absolutní hodnota rovna nule).
\(x\cdot y=0 \iff |x\cdot y|=0\)
Z předchozího vztahu o odmocnině součinu komplexně sdružených čísel víme, že platí:
\(|x\cdot y|=\sqrt{(x\cdot y)\cdot\overline{(x\cdot y)}}\)
Dále platí:
\(\sqrt{(x\cdot y)\cdot\overline{(x\cdot y)}}=\sqrt{x\cdot y\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}\)
Víme, že \(x\cdot \bar{x}\) a \(y\cdot \bar{y}\) jsou reálná čísla, proto můžeme provést následující úpravu:
\(\sqrt{x\cdot y\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}=\sqrt{x\cdot \bar{x}}\cdot\sqrt{y\cdot\bar{y}}\)
Opět využijeme vztah o odmocnině součinu komplexně sdružených čísel:
\(\sqrt{x\cdot \bar{x}}\cdot\sqrt{y\cdot\bar{y}}=|x|\cdot|y|\)
Součin dvou reálných čísel je roven nule právě tehdy, když je rovno nule alespoň jedno z čísel.
\(|x|\cdot|y|=0 \iff |x|=0 \lor |y|=0\)
Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna nule právě tehdy, když je komplexní číslo rovno nule.
\(|x|=0 \iff x=0\)
\(|y|=0 \iff y=0\)
Z předchozích ekvivalencí a rovností plyne, že součin dvou komplexních čísel je roven nule právě tehdy, když je roven nule alespoň jeden z činitelů.
\(\forall x,y\in\mathbb{C}: \, x\cdot y=0 \iff x=0 \lor y=0\)
Obdobný poznatek platí pro součin libovolného počtu komplexních čísel, např. pro součin \(x,y,z\in\mathbb{C}\):
\(x\cdot y\cdot z=x\cdot (y\cdot z)\)
\(x\cdot (y\cdot z)=0 \iff x=0 \lor y\cdot z=0\)
\(y\cdot z=0 \iff y=0 \lor z=0\)
Z předchozích ekvivalencí plyne:
\(x\cdot y\cdot z=0 \iff x=0 \lor y=0 \lor z=0\)
Dělení komplexních čísel
Odvodíme si vztah pro výpočet podílu komplexních čísel v algebraickém tvaru a následně ověříme, že odpovídá definici podílu komplexních čísel ve tvaru uspořádaných dvojic. Podíl komplexních čísel \(x=x_1+x_2i\) a \(y=y_1+y_2i \ne 0\) je opět komplexní číslo, tedy podíl \(\dfrac{x_1+x_2i}{y_1+y_2i}\) vyjádříme ve tvaru \(a+bi\).
Nejdříve potřebujeme zařídit, aby se ve jmenovateli zlomku nacházelo číslo reálné. To už ale umíme, bude nám stačit rozšířit zlomek číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli. Následně už jen provedeme úpravu výrazu do požadovaného tvaru.
\(\dfrac{\color{green}{x_1}+\color{red}{x_2}i}{\color{blue}{y_1}+\color{darkmagenta}{y_2}i}=\dfrac{\color{green}{x_1}+\color{red}{x_2}i}{\color{blue}{y_1}+\color{darkmagenta}{y_2}i}\cdot\dfrac{\color{blue}{y_1}-\color{darkmagenta}{y_2}i}{\color{blue}{y_1}-\color{darkmagenta}{y_2}i}=\dfrac{(\color{green}{x_1}+\color{red}{x_2}i)\cdot(\color{blue}{y_1}-\color{darkmagenta}{y_2}i)}{\color{blue}{y_1}^2+\color{darkmagenta}{y_2}^2}=\dfrac{(\color{green}{x_1}\color{blue}{y_1}+\color{red}{x_2}\color{darkmagenta}{y_2})+(\color{red}{x_2}\color{blue}{y_1}-\color{green}{x_1}\color{darkmagenta}{y_2})i}{\color{blue}{y_1}^2+\color{darkmagenta}{y_2}^2}=\)
\(=\dfrac{\color{green}{x_1}\color{blue}{y_1}+\color{red}{x_2}\color{darkmagenta}{y_2}}{\color{blue}{y_1}^2+\color{darkmagenta}{y_2}^2}+\dfrac{\color{red}{x_2}\color{blue}{y_1}-\color{green}{x_1}\color{darkmagenta}{y_2}}{\color{blue}{y_1}^2+\color{darkmagenta}{y_2}^2}i\)
Tento vztah pro podíl komplexních čísel v algebraickém tvaru zjevně odpovídá definici podílu komplexních čísel ve tvaru uspořádaných dvojic.
Podíl komplexních čísel \(x=x_1+x_2i\) a \(y=y_1+y_2i\neq0\) je komplexní číslo
\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{x_1y_1+x_2y_2}{{y_1}^2+{y_2}^2}+\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{{y_1}^2+{y_2}^2}i\).
Vzorec pro dělení komplexních čísel je poměrně rozsáhlý, osvojit si předchozí postup je výhodnější než si vzorec pamatovat.
Příklad
Vypočítejte podíl \(\dfrac{a}{b}\), kde \(a=1+2i\) a \(b=1-i\).
Řešení
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1+2i}{1-i}=\dfrac{1+2i}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{(1+2i)\cdot(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\)
\(=\dfrac{1+2i+i+2i^2}{1-i^2}=\dfrac{-1+3i}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i\)
Mocnina komplexního čísla
V množině komplexních čísel podobně jako v množině čísel reálných zavádíme přirozenou mocninu.
Definice
Mějme komplexní číslo \(z=a+bi\) a přirozené číslo \(n\in\mathbb{N}\), pak n-tá mocnina komplexního čísla \(z\) je komplexní číslo
\(z^{\textstyle n}=(a+bi)^{\textstyle n}=\underbrace{(a+bi)\cdot(a+bi)\cdots(a+bi)}_{\text{$n$}}\).
Mocniny \(i\)
Již víme, že druhá mocnina imaginární jednotky \(i\) je rovna \(-1\). Můžeme vypočítat její další mocniny:
\(i^3=i^2 \cdot i=(-1)\cdot i=-i\)
\(i^4=i^2 \cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1\)
\(i^5=i^4 \cdot i=1\cdot i=i\)
\(i^6=i^4 \cdot i^2=1\cdot i^2=-1\)
\(i^7=i^4 \cdot i^3=1\cdot i^3=-i\)
\(i^8=i^4 \cdot i^4=1\)
\(...\)
Povšimněme si, že se hodnoty příslušných mocnin imaginární jednotky opakují cyklicky s krokem 4. Posouváním posuvníku v následujícím appletu lze měnit mocninu \(i\).
Řešení motivační úlohy
V kapitole Motivace jsme se setkali s kvadratickou rovnicí \(x^2+x+\dfrac{1}{2}=0\), u níž jsme došli k zápornému diskriminantu. Tato rovnice tedy nemá reálné řešení. Nyní si ukážeme řešení této rovnice v množině \(\mathbb{C}\).
Nejdříve kvadratický trojčlen v rovnici doplníme na čtverec.
\(x^2+x+\dfrac{1}{2}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}=0\)
Zlomek \(\dfrac{1}{4}\) převedeme na druhou stranu rovnice a upravíme.
\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=-\dfrac{1}{4}\)
\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=(-1)\cdot\dfrac{1}{4}\)
\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=(-1)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)
Již víme, že \(-1=i^2\) a \(-1=(-i)^2\), dosadíme tedy \(i^2\) a \((-i)^2\) za \(-1\) do předchozí rovnice. Vzniknou dvě rovnice, z každé z nich získáme jedno řešení původní rovnice.
\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=i^2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)
\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=(-i)^2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)
Hledáme číslo \(x\in\mathbb{C}\), pro které platí uvedené vztahy. Z rovnic lze odhadnout:
\(x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\)
\(x=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\)
Provedeme zkoušku, která nám potvrdí, že tato dvě čísla jsou skutečně kořeny rovnice.
Nejprve dosadíme první číslo:
\(x^2+x+\dfrac{1}{2}={\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)}^2+\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)+\dfrac{1}{2}=\)
\(=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}i+\dfrac{1}{4}i^2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i+\dfrac{1}{2}=0\)
Tedy \(x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\) je kořenem rovnice. Analogicky můžeme ověřit, že i druhé číslo je kořenem.
Úlohy
-
Vypočítejte:
-
\(a=(2+2i)+(1-6i)\)
-
\(b=(-1+i)-(7-2i)\)
-
\(c=(3-2i)-(-3i)\)
-
\(d=(-5-4i)+7\)
-
