\begin{align} \end{align}

Násobení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru

Již víme, jak vypadá součin a podíl nenulových komplexních čísel v goniometrickém tvaru. Tyto operace můžeme snadno vyjádřit ve tvaru exponenciálním.

Mějme dvě nenulová komplexní čísla

\(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)=|a|e^{\textstyle i\alpha}\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)=|b|e^{\textstyle i\beta}\).

Jejich součin a podíl můžeme spočítat takto:

\(a\cdot b=|a||b|(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))=|a||b|e^{\textstyle i(\alpha + \beta)}\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{|a|}{|b|}(\cos(\alpha-\beta)+i \sin(\alpha-\beta))=\dfrac{|a|}{|b|}e^{\textstyle i(\alpha - \beta)}\).

Součin nenulových komplexních čísel \(a=|a|e^{\textstyle i\alpha}\) a \(b=|b|e^{\textstyle i\beta}\) je komplexní číslo

\(|a||b|e^{\textstyle i(\alpha + \beta)}\).

Podíl nenulových komplexních čísel \(a=|a|e^{\textstyle i\alpha}\) a \(b=|b|e^{\textstyle i\beta}\) je komplexní číslo

\(\dfrac{|a|}{|b|}e^{\textstyle i(\alpha - \beta)}\).

Příklad

Vypočítejte součin komplexních čísel \(a=\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{3\pi}{4}}\) a \(b=3e^{\textstyle i\frac{\pi}{6}}\).

Řešení

\(a\cdot b=\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{3\pi}{4}}\cdot3e^{\textstyle i\frac{\pi}{6}}=\sqrt{2}\cdot3\cdot e^{\textstyle i\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)}=\)

\(=3\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{9\pi+2\pi}{12}}=3\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{11\pi}{12}}\)

Příklad

Vypočítejte podíl \(\dfrac{a}{b}\) komplexních čísel \(a=3e^{\textstyle i\frac{5\pi}{6}}\) a \(b=6e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}}\).

Řešení

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ 3e^{\textstyle i\frac{5\pi}{6}} }{ 6e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}} }=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\left(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\frac{5\pi-2\pi}{6}}=\)

\(=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\frac{3\pi}{6}}=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\frac{\pi}{2}}\)

Poznámka

Exponenciální tvar komplexních čísel je stejně jako goniometrický tvar výhodný pro operace násobení a dělení.

Násobení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru odpovídají násobení a dělení mocnin o stejném základu.

Úlohy

  1. Vypočítejte v exponenciálním tvaru součin komplexních čísel \(x\) a \(y\):

    • \(x=5,\; y=2e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}}\)

    • \(x=4e^{\textstyle i\frac{4\pi}{3}},\; y=\sqrt{3}e^{\textstyle i\frac{5\pi}{6}}\)

    • \(x=-2\sqrt{3}-2i,\; y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i\)

  2. Vypočítejte v exponenciálním tvaru podíl komplexních čísel \(x\) a \(y\):

    • \(x=8,\; y=2e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}}\)

    • \(x=5e^{\textstyle i\frac{2\pi}{3}},\; y=\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{-\pi}{6}}\)

    • \(x=-4-4\sqrt{3}i,\; y=-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i\)