Komplexní čísla

Goniometrický tvar komplexního čísla

Obraz Z nenulového komplexního čísla \(z=[a;b]\) v komplexní rovině můžeme určit pomocí jeho vzdálenosti \(|z|\) od počátku O a velikosti orientovaného úhlu \(\alpha\) mezi kladnou poloosou x a polopřímkou OZ, kde kladná poloosa x je počátečním ramenem.

Nejdříve se podíváme na komplexní čísla, jejichž obrazy leží na jednotkové kružnici se středem v počátku \(O\). Tyto body jsou obrazy komplexních jednotek. Jejich x-ové souřadnice jsou rovny \(\cos{\alpha}\) a y-ové souřadnice rovny \(\sin{\alpha}\). Komplexní jednotku \(j=j_1+j_2i\) tedy můžeme vyjádřit takto:

\(j=\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}\)

Goniometrický tvar nenulového komplexního čísla \(z\) můžeme odvodit pomocí podobnosti dvou trojúhelníků s přeponami \(OJ\) a \(OZ\):

Z appletu můžeme vypozorovat následující vztah pro nenulové komplexní číslo \(z\):

\(z=\color{green}{a}+\color{blue}{b}i=|z|\color{green}{\cos\alpha}+|z|i \color{blue}{\sin\alpha}=|z|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})\)

Definice

Goniometrický tvar nenulového komplexního čísla \(z\) je výraz \(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})\). Reálné číslo \(\alpha\) se nazývá argument komplexního čísla \(z\).

Poznámka

Goniometrické funkce jsou periodické, proto není argument komplexního čísla určen jednoznačně. Má-li komplexní číslo argument \(\alpha\), má také argument \(\alpha+2k\pi\), kde \(k\in\mathbb{Z}\).

Obvykle používáme základní argument \(\alpha\in\langle0;2\pi)\).

Poznámka

Velikost orientovaného úhlu \(\alpha\) uvádíme v radiánech nebo ve stupních.

Rovnost komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Z kapitoly o komplexní rovině víme, že dvě komplexní čísla jsou si rovna právě tehdy, když jejich obrazy v komplexní rovině splývají. Z toho plyne vztah pro rovnost komplexních čísel v goniometrickým tvaru.

Dvě nenulová komplexní čísla \(x=|x|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})\) a \(y=|y|(\color{green}{\cos\beta}+i \color{blue}{\sin\beta})\) jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich absolutní hodnoty a jejich argumenty se liší o \(k\cdot 2\pi, \, k\in\mathbb{Z}\).

\(|x|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})=|y|(\color{green}{\cos\beta}+i \color{blue}{\sin\beta}) \iff |x|=|y| \land \alpha=\beta+k\cdot 2\pi\)

Převod algebraického tvaru na goniometrický tvar

Pro převod nenulového komplexního čísla \(z=a+bi\) v algebraickém tvaru na tvar goniometrický potřebujeme vypočítat jeho absolutní hodnotu (již umíme) a najít jeho argument \(\alpha\). Argument komplexního čísla nalezneme pomocí vztahů odvozených v předchozím appletu:

\(\color{green}{a}=|z|\color{green}{\cos\alpha} \; \Rightarrow\; \color{green}{\cos\alpha}=\dfrac{\color{green}{a}}{|z|}\)

\(\color{blue}{b}=|z|\color{blue}{\sin\alpha} \; \Rightarrow\; \color{blue}{\sin\alpha}=\dfrac{\color{blue}{b}}{|z|}\)

Základní argument \(\alpha\in\langle0;2\pi)\) je vztahy \(\cos\alpha=\dfrac{a}{|z|}\) a \(\sin\alpha=\dfrac{b}{|z|}\) jednoznačně určen.

Příklad

Vyjádřete v goniometrickém tvaru se základním argumentem číslo \(z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\).

Řešení

Víme, že pro argument \(\alpha\) komplexního čísla \(z=a+bi\) platí tyto vztahy:

\(\color{green}{\cos\alpha}=\dfrac{\color{green}{a}}{|z|} \land \color{blue}{\sin\alpha}=\dfrac{\color{blue}{b}}{|z|}\)

Čísla \(a\) a \(b\) známe, dále potřebujeme vypočítat absolutní hodnotu komplexního čísla \(z\):

\(|z|=\sqrt{{\bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)}^2+{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)}^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1\)

Nyní vypočítáme hodnoty kosinu a sinu pro úhel \(\alpha\) a podle nich určíme základní argument komplexního čísla \(z\).

\(\cos\alpha=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; \ldots\; \alpha \in \left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\right\}\)

\(\sin\alpha=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2} \; \ldots\; \alpha \in \left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right\}\)

Oba vztahy musí platit současně, tedy základní argument \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\) a goniometrický tvar komplexního čísla \(z\) tedy vypadá následovně:

\(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=1\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\)

Převod goniometrického tvaru na algebraický tvar

Převod komplexního čísla v goniometrickém tvaru na tvar algebraický je snazší, budeme jen potřebovat vyjádřit hodnoty sinu a kosinu pro daný úhel \(\alpha\).

\(z=|z|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})=|z|\color{green}{\cos\alpha}+|z|\color{blue}{\sin\alpha}\cdot i\)

Příklad

Vyjádřete v algebraickém tvaru komplexní číslo \(z=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\).

Řešení

Nejdříve vypočítáme hodnoty sinu a kosinu úhlu \(\alpha=\dfrac{4\pi}{3}\).

\(\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\sin\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Vypočítané hodnoty dosadíme do goniometrického tvaru a zjednodušíme výraz:

\(z=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=-1-\sqrt{3}i\)

Úlohy

Nalezněte mezi následujícími komplexními čísly dvojice čísel, která jsou si rovna:
- \(z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
- \(z_2=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
- \(z_3=3\left(\cos\dfrac{7\pi}{3}+i\sin\dfrac{7\pi}{3}\right)\)
- \(z_4=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\)
- \(z_5=2\left(\cos\dfrac{-10\pi}{6}+i\sin\dfrac{-10\pi}{6}\right)\)
- \(z_6=2\left(\cos\dfrac{10\pi}{3}+i\sin\dfrac{10\pi}{3}\right)\)
\(z_3=3\left(\cos\dfrac{7\pi}{3}+i\sin\dfrac{7\pi}{3}\right)=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=z_2\)

\(z_5=2\left(\cos\dfrac{-10\pi}{6}+i\sin\dfrac{-10\pi}{6}\right)=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{6}+i\sin\dfrac{2\pi}{6}\right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=z_1\)

\(z_6=2\left(\cos\dfrac{10\pi}{3}+i\sin\dfrac{10\pi}{3}\right)=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)=z_4\)
Vyjádřete v goniometrickém tvaru následující komplexní čísla, použijte základní argument \(\alpha\):
- \(z=2\)
  
  Obraz komplexního čísla \(z\) v komplexní rovině se nachází na kladné poloose x, proto základní argument \(\alpha=0\). Jeho vzdálenost od počátku je rovna \(2\).
  
  \(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=2(\cos0+i\sin0)\)
- \(z=-3i\)
  
  Obraz komplexního čísla \(z\) v komplexní rovině se nachází na záporné poloose y, proto základní argument \(\alpha=\dfrac{3\pi}{2}\). Jeho vzdálenost od počátku je rovna \(3\).
  
  \(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=3\left(\cos\dfrac{3\pi}{2}+i\sin\dfrac{3\pi}{2}\right)\)
- \(z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\)
  
  \(|z|=1\)
  
  \(\cos\alpha=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \land \sin\alpha=\dfrac{\frac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}\)
  
  \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\)
  
  \(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
- \(z=-3\sqrt{3}+3i\)
  
  \(|z|=\sqrt{(-3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{9\cdot3+9}=6\)
  
  \(\cos\alpha=\dfrac{-3\sqrt{3}}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \land \sin\alpha=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)
  
  \(\alpha=\dfrac{5\pi}{6}\)
  
  \(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=6\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
- \(z=(4-2i)+(1+7i)\)
  
  \(z=(4-2i)+(1+7i)=5+5i\)
  
  \(|z|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\)
  
  \(\cos\alpha=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \land \sin\alpha=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  
  \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\)
  
  \(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=5\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
- \(z=(3-i)(-1+3i)\)
  
  \(z=(3-i)(-1+3i)=10i\)
  
  Obraz komplexního čísla \(z\) v komplexní rovině se nachází na kladné poloose y, proto základní argument \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\). Jeho vzdálenost od počátku je rovna \(10\).
  
  \(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=10\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\)
Vyjádřete v algebraickém tvaru následující komplexní čísla:
- \(z=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\)
  
  \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  
  \(\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  
  \(z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)
- \(z=3\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
  
  \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\)
  
  \(\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  
  \(z=3\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i\)

Komplexní čísla

Goniometrický tvar komplexního čísla

Rovnost komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Převod algebraického tvaru na goniometrický tvar

Příklad

Řešení

Převod goniometrického tvaru na algebraický tvar

Příklad

Řešení

Úlohy

Titulní strana

Úvod

Zavedení komplexních čísel

Algebraický tvar

Množiny bodů v komplexní rovině

Goniometrický tvar

Exponenciální tvar

Rovnice

Souhrnný test (základy)

Souhrnný test (rovnice)

Literatura

Rejstřík