\begin{align} \end{align}

Komplexní rovina

Povšimněme si, že zápis komplexního čísla \(x=[x_1;x_2]\) připomíná zápis souřadnic bodu v rovině.

Komplexní čísla můžeme zobrazit jako body roviny se zvolenou kartézskou soustavou souřadnic. Tato rovina se nazývá komplexní či Gaussova. Osa x se nazývá reálná osa a osa y imaginární osa. Reálná část komplexního čísla odpovídá x-ové a imaginární část y-ové souřadnici daného bodu.

V následujícím appletu můžeme pohybovat bodem v komplexní rovině a sledovat, jak se mění jeho souřadnice, a tedy i reálná a imaginární část příslušného komplexního čísla.

Každý bod komplexní roviny je obrazem komplexního čísla.

V kapitole zavedení komplexních čísel jsme si uvedli, že jsou si dvě komplexní čísla \(x\) a \(y\) rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné a imaginární části. Z toho vyplývá, že v komplexní rovině obrazy komplexních čísel \(x\) a \(y\) splývají.

Dvě komplexní čísla \(x=[x_1;x_2]\) a \(y=[y_1;y_2]\) jsou si rovna právě tehdy, když jejich obrazy v komplexní rovině splývají.

Využijte applet k řešení následujících úloh.

Úlohy

  1. Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají imaginární část nulovou?

    Zobrazit řešení

  2. Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají reálnou část nulovou?

    Zobrazit řešení

  3. Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají reálnou část rovnu číslu \(3\)?

    Zobrazit řešení

  4. Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají reálnou část rovnu imaginární části?

    Zobrazit řešení

  5. Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají reálnou část větší nebo rovnu nule?

    Zobrazit řešení

Poznámka

Z řešení úlohy 1 vyplývá, že obraz komplexního čísla \([a;0]\) je totožný s obrazem reálného čísla \(a\) na reálné ose.

Poznámka

Množina všech reálných čísel, nahlížíme-li na každé reálné číslo \(a\) jako na uspořádanou dvojici \([a;0]\), je tedy podmnožinou množiny všech čísel komplexních, tj. \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\).