\begin{align} \end{align}

Kubické rovnice s reálnými koeficienty

V této kapitole si přiblížíme postup řešení kubických rovnic (neboli algebraických rovnic třetího stupně) s reálnými koeficienty.

Poznámka

V této kapitole budeme dolními indexy číslovat kořeny rovnice a pomocné substituce (nikoliv reálnou a imaginární část komplexního čísla).

Nejdříve se podíváme na řešení kubické rovnice tvaru \(x^3+px+q=0, \; p,q\in\mathbb{R}\) s neznámou \(x\in\mathbb{C}\) a následně si ukážeme, jak k tomuto tvaru rovnice dojít z obecného tvaru \(ax^3+bx^2+cx+d=0, \; a,b,c,d\in\mathbb{R}, \; a\ne 0\).

Kubické rovnice bez kvadratického členu

Mějme kubickou rovnici \(x^3+px+q=0, \; p,q\in\mathbb{R}\) s neznámou \(x\in\mathbb{C}\). Pokud \(p=0\), jedná se o binomickou rovnici, kterou již umíme řešit. Předpokládejme, že \(p\ne0\).

Použijeme substituci \(x=u+v\), kde \(u,v\in\mathbb{C}\), a rovnici poté upravíme.

\(x^3+px+q=0\)

\((u+v)^3+p(u+v)+q=0\)

\(u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0\)

\(u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0\)

\(u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\)

Máme zde dvě komplexní čísla \(u\), \(v\) a pro ně jednu podmínku \(u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\). Této podmínce odpovídá nekonečně mnoho dvojic \(u\), \(v\). Můžeme tedy přidat druhou podmínku:

\(3uv=-p\)

Pak platí \(3uv+p=0\). První podmínku \(u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\) tedy zjednodušíme na tvar:

\(u^3+v^3+q=0\)

Druhou podmínku \(3uv=-p\) můžeme úpravou a umocněním na třetí převést na tvar:

\(u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}\)

\(v^3=-\dfrac{p^3}{27u^3}\)

Za komplexní číslo \(v^3\) dosadíme \(-\dfrac{p^3}{27u^3}\) do podmínky \(u^3+v^3+q=0\).

\(u^3-\dfrac{p^3}{27u^3}+q=0 \hspace{25pt} \Bigg|\cdot u^3\)

\(u^6+qu^3-\dfrac{p^3}{27}=0\)

Vznikla nám trinomická rovnice s neznámou \(u\in\mathbb{C}\). Použijeme substituci \(k=u^3\), a tím získáme kvadratickou rovnici s neznámou \(k\in\mathbb{C}\).

\(k^2+qk-\dfrac{p^3}{27}=0\)

Pokud bychom do podmínky \(u^3+v^3+q=0\) dosazovali \(-\dfrac{p^3}{27v^3}\) za \(u^3\), došli bychom po substituci k téže kvadratické rovnici.

Diskriminant této kvadratické rovnice je \(D=q^2+4\cdot \dfrac{p^3}{27}=\dfrac{27q^2+4p^3}{27}\).

Pokud platí \(D\ge0\), pak jsou kořeny kvadratické rovnice

\(k_{1,2}=\dfrac{-q\pm\sqrt{\dfrac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}=-\dfrac{q}{2}\pm\sqrt{\dfrac{27q^2+4p^3}{2^2\cdot 27}}=-\dfrac{q}{2}\pm\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}\).

Pokud platí \(D<0\), pak jsou kořeny kvadratické rovnice

\(k_{1,2}=-\dfrac{q}{2}\pm i \sqrt{-\dfrac{q^2}{4}-\dfrac{p^3}{27}}\).

Kořeny kvadratické rovnice \(k_1\) a \(k_2\) jsou hledané hodnoty \(u^3\) a \(v^3\).

Čísla \(u\) a \(v\) jsou třetími odmocninami těchto čísel. Kořeny původní kubické rovnice vypočítáme ze vztahu \(x=u+v\), přičemž musí platit \(3uv=-p\). Stačí nám tedy vypočítat třetí odmocniny z komplexního čísla \(u^3\) a pro každou z nich vypočítat \(v\) ze vztahu \(v=-\dfrac{p}{3u}\).

Příklad

Najděte řešení kubické rovnice \(x^3-6x+4=0\), kde \(x\in\mathbb{C}\).

Řešení

Použijeme substituci \(x=u+v\), kde \(u,v\in\mathbb{C}\).

\((u+v)^3-6(u+v)+4=0\)

\(u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-6(u+v)+4=0\)

\(u^3+v^3+3uv(u+v)-6(u+v)+4=0\)

\(u^3+v^3+(3uv-6)(u+v)+4=0\)

Pro dvojici \(u\), \(v\) přidáme druhou podmínku \(3uv=6\). Pak platí:

\(u^3+v^3+4=0\)

Z rovnosti \(3uv=6\) vyjádříme neznámou \(v\) a umocníme ji na třetí.

\(v=\dfrac{6}{3u}\)

\(v=\dfrac{2}{u}\)

\(v^3=\dfrac{8}{u^3}\)

Výraz na pravé straně rovnosti dosadíme do rovnice \(u^3+v^3+4=0\).

\(u^3+\dfrac{8}{u^3}+4=0 \hspace{25pt} \Bigg|\cdot u^3\)

\(u^6+4u^3+8=0\)

Vznikla nám trinomická rovnice s neznámou \(u\in\mathbb{C}\). Použijeme substituci \(k=u^3\), a tím získáme kvadratickou rovnici s neznámou \(k\in\mathbb{C}\).

\(k^2+4k+8=0\)

Diskriminant této kvadratické rovnice je \(D=4^2-4\cdot8=-16\).

Kořeny kvadratické rovnice jsou tedy:

\(k_{1,2}=\dfrac{-4\pm i\sqrt{16}}{2}=-2\pm2i\)

Zvolme \(u^3=-2+2i=2\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)\).

Pak \(u_1=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)=1+i\). Další hodnoty \(u\) získáme tak, že vynásobíme \(u_1\) třetí odmocninou z jedné.

\(u_2=(1+i)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}i\)

\(u_3=(1+i)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i\)

K jednotlivým hodnotám \(u\) vypočítáme příslušné hodnoty \(v=\dfrac{2}{u}\).

\(v_1=\dfrac{2}{u_1}=1-i\)

\(v_2=\dfrac{2}{u_2}=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}i\)

\(v_3=\dfrac{2}{u_3}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i\)

Nyní vypočítáme kořeny kubické rovnice ze vztahu \(x=u+v\).

\(x_1=u_1+v_1=1+i+1-i=2\)

\(x_2=u_2+v_2=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}i+\left(-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}i\right)=-2\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}=-\sqrt{3}-1\)

\(x_3=u_3+v_3=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i=2\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}=\sqrt{3}-1\)

Množina kořenů původní kubické rovnice je tedy

\(\boldsymbol{K=\left\{-\sqrt{3}-1;2;\sqrt{3}-1\right\}}\).

Obecné kubické rovnice

Rovnici tvaru \(\tilde{a}x^3+\tilde{b}x^2+\tilde{c}x+\tilde{d}=0, \; \tilde{a},\tilde{b},\tilde{c},\tilde{d}\in\mathbb{R}, \; \tilde{a}\ne 0\), převedeme snadno na normovaný tvar \(x^3+bx^2+cx+d=0, \; b,c,d\in\mathbb{R}\), vydělením koeficientem \(\tilde{a}\).

Nyní mějme normovanou kubickou rovnici tvaru

\(x^3+bx^2+cx+d=0, \; b,c,d\in\mathbb{R}\).

Použijeme substituci \(x=y-\dfrac{b}{3}\).

\(\color{green}{\left(y-\dfrac{b}{3}\right)^3} \color{red}{+b\left(y-\dfrac{b}{3}\right)^2} \color{blue}{+c\left(y-\dfrac{b}{3}\right)} +d=0\)

\(\color{green}{y^3-by^2+\dfrac{b^2}{3}y-\dfrac{b^3}{27}} \color{red}{+by^2-\dfrac{2b^2}{3}y+\dfrac{b^3}{9}} \color{blue}{+cy-\dfrac{bc}{3}} +d=0\)

\(y^3+\left(c-\dfrac{b^2}{3}\right)y+d-\dfrac{bc}{3}+\dfrac{b^3}{9}-\dfrac{b^3}{27}=0\)

\(y^3+\left(c-\dfrac{b^2}{3}\right)y+\dfrac{2b^3-9bc+27d}{27}=0\)

Došli jsme ke kubické rovnici tvaru \(y^3+py+q=0\), kde \(p=c-\dfrac{b^2}{3}\) a \(q=\dfrac{2b^3-9bc+27d}{27}\).

Příklad

Najděte řešení kubické rovnice \(3x^3+9x^2-9x-3=0\), kde \(x\in\mathbb{C}\).

Řešení

Rovnici vydělíme číslem \(a=3\).

\(x^3+3x^2-3x-1=0\)

Použijeme substituci \(x=y-\dfrac{b}{3}=y-1\).

\(\color{green}{\left(y-1\right)^3} \color{red}{+3\left(y-1\right)^2} \color{blue}{-3\left(y-1\right)} -1=0\)

\(\color{green}{y^3-3y^2+3y-1} \color{red}{+3y^2-6y+3} \color{blue}{-3y+3} -1=0\)

\(y^3-6y+4=0\)

Došli jsme ke kubické rovnici tvaru \(y^3+py+q=0\), kde \(p=-6\) a \(q=4\).

Tuto rovnici jsme již řešili v předchozím příkladu, její kořeny jsou:

\(y_1=2\)

\(y_2=-\sqrt{3}-1\)

\(y_3=\sqrt{3}-1\)

S využitím původní substituce \(x=y-1\) dojdeme ke kořenům původní kubické rovnice \(3x^3+9x^2-9x-3=0\).

\(x_1=y_1-1=2-1=1\)

\(x_2=y_2-1=-\sqrt{3}-1-1=-\sqrt{3}-2\)

\(x_3=y_3-1=\sqrt{3}-1-1=\sqrt{3}-2\)

Množina kořenů původní kubické rovnice je tedy

\(\boldsymbol{K=\left\{-\sqrt{3}-2;1;\sqrt{3}-2\right\}}\).

Na následujícím appletu můžeme upravovat reálné koeficienty kubické rovnice pomocí posuvníků a sledovat, jak ovlivňují reálné kořeny rovnice.

Příklad

Najděte řešení kubické rovnice \(x^3-9x+28=0\), kde \(x\in\mathbb{C}\).

Řešení

Použijeme substituci \(x=u+v\), kde \(u,v\in\mathbb{C}\).

\((u+v)^3-9(u+v)+28=0\)

\(u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-9(u+v)+28=0\)

\(u^3+v^3+3uv(u+v)-9(u+v)+28=0\)

\(u^3+v^3+(3uv-9)(u+v)+28=0\)

Pro dvojici \(u\), \(v\) přidáme druhou podmínku \(3uv=9\). Pak platí:

\(u^3+v^3+28=0\)

Z rovnosti \(3uv=9\) vyjádříme neznámou \(v\) a umocníme ji na třetí.

\(v=\dfrac{9}{3u}\)

\(v=\dfrac{3}{u}\)

\(v^3=\dfrac{27}{u^3}\)

Výraz na pravé straně rovnosti dosadíme do rovnice \(u^3+v^3+28=0\).

\(u^3+\dfrac{27}{u^3}+28=0 \hspace{25pt} \Bigg|\cdot u^3\)

\(u^6+28u^3+27=0\)

Vznikla nám trinomická rovnice s neznámou \(u\in\mathbb{C}\). Použijeme substituci \(k=u^3\), a tím získáme kvadratickou rovnici s neznámou \(k\in\mathbb{C}\).

\(k^2+28k+27=0\)

Diskriminant této kvadratické rovnice je \(D=28^2-4\cdot27=676\).

Kořeny kvadratické rovnice jsou tedy:

\(k_{1,2}=\dfrac{-28\pm\sqrt{676}}{2}=\dfrac{-28\pm26}{2}=-14\pm13\)

\(k_1=-1\)

\(k_2=-27\)

Zvolme \(u^3=-1\).

Pak \(u_1=-1\). Další hodnoty \(u\) získáme tak, že vynásobíme \(u_1\) třetí odmocninou z jedné.

\(u_2=(-1)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

\(u_3=(-1)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

K jednotlivým hodnotám \(u\) vypočítáme příslušné hodnoty \(v=\dfrac{3}{u}\).

\(v_1=\dfrac{3}{u_1}=-3\)

\(v_2=\dfrac{3}{u_2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i\)

\(v_3=\dfrac{3}{u_3}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i\)

Nyní vypočítáme kořeny kubické rovnice ze vztahu \(x=u+v\).

\(x_1=u_1+v_1=-1-3=-4\)

\(x_2=u_2+v_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i=2+\sqrt{3}i\)

\(x_3=u_3+v_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i=2-\sqrt{3}i\)

Množina kořenů původní kubické rovnice je tedy

\(\boldsymbol{K=\left\{-4;2+\sqrt{3}i;2-\sqrt{3}i\right\}}\).

Úlohy

  1. Najděte řešení kubické rovnice \(2x^3+6x^2+3x-2=0\) s neznámou \(x\in\mathbb{C}\).