NDIR069
Dalibor Pražák, LS 2010/11
I. Mechanické oscilátory s implicitními konstitutivními vztahy
Matematický popis jednoduchého oscilátoru (závaží -- pružina -- tlumič).
Newtonův zákon; příklady konstitutivních vztahů (Hookeův zákon, lineární
tlumení). Implicitní konstitutivní vztahy. Coulombovo tření a jeho
varianty. Maximálně monotonní graf (mmg). Problém (C) -- pojem řešení.
Věta I.1 o dopředné jednoznačnosti problému (C).
Pojem slabé konvergence v L^2(0,T).
p1 (23.února) ↵
Lemma I.2 o geometrické charakterizaci mmg.
Lemma I.3 o slabé uzavřenosti mmg.
Věta I.4: za předpokladů (P) má problém (C) alespoň jedno globální řešení.
(Důkaz: aproximativní úloha (C_n); řešení s odhady nezávislými na _n_;
volba konvergentní podposloupnosti.)
p2 (1.března) ↵
Dokončení důkazu Věty I.4: výběry stejnoměrně konvergentních
posloupností pro x_n a x'_n; limitní přechod v rovnici.
II. Replikátorová rovnice
Hra: čisté a smíšení strategie; výplatní funkce.
Simplex v R^n. Nosič vektoru.
Speciální případ: maticová hra. Příklady: RSP (kámen-nůžky-papír),
HD (hrdličky-jestřábi). Nashovo ekvilibrium (NE).
Věta II.1 o existence NE. Evolučně stabilní strategie (ESS).
Lemma II.2 ekvivalentní podmínky ESS pro maticové hry.
p3 (8.března) ↵
Populační interpretace hry. Příklad: synové vs. dcery neboli
maximalizace počtu vnoučat. Lemma II.3 o existenci uniformní
invazní bariéry. Odvození replikátorové rovnice (RD).
p4 (22.března) ↵
Oprava odvození RD. Základní analýza RD: globální existence
řešení; invariance simplexu. Zachování znaménka složek.
RD pro maticové hry. Příklad: RD pro hrdličky vs. jestřábi.
Věta II.4 o vztahu NE a stacionárních bodů RD.
Podmínka lokální dominance (LSC). Věta II.5: LSC implikuje
asymptoticky stabilní stacionární bod.
Lemma II.6: orbitální derivace W(p,p) pro symetrické maticové hry.
p5 (29.března) ↵
Model šíření genu v populaci -- alternativní odvození RD.
Věta II.7: Fisherova fundamentální věta přírodního výběru.
Příklad RD pro hru ,,hrdličky-křiklouni-jestřábi``.
Poznámka: nutná a postačující podmínka, kdy je čistá strategie
NE maticové hry.
p6 (5.dubna) ↵
Vězňovo dilema (PD); varianta s opakováním.
Strategie ,,půjčka za oplátku``.
Kvalitativní analýza příslušné replikátorové rovnice.
Rozšíření RD o mutace. Analýza PD s mutacemi: stabilita
a umístění stacionárních bodů.
p7 (12.dubna) ↵
III. Epidemiologické modely
Model SIR. Význam konstant a jejich empirické určení.
Střední délka nemoci. Základní reprodukční číslo.
Vztahy k celkové velikosti epidemie.
Model SLIAR. Nezápornost řešení; asymptotické
chování, základní reprodukční číslo -- vztah k
celkové velikosti populace. (Lemmata III.1--3).
Srovnání reálných dat a numerických výsledků.
p8 (19.dubna) ↵
Započtení demografických efektů: model (SIRd).
Kapacita prostředí, základní reprodukční číslo.
Stacionární body: ,,beznákazové`` a ,,endemické``
(Lemma III.4) ekvilibrium. Stabilita stacionárních
bodů (Lemma III.5). Poznámka ke globální stabilitě
stacionárních bodů. Zajímavá transientní dynamika
a ,,pseudo-periodické`` chování (numerická simulace).
Očkování. Hodnoty empirické hodnoty reprodukčního čísla
pro různé dětské nemoci.
p9 (26.dubna) ↵
Vztah reprodukčního čísla a průměrného věku v době nákazy.
Rovnice se zpožděním. Model (SIRS). Zobecnění (SIRS-del)
s obecnou dobou imunity. Poznámky o existenci, jednoznačnosti
a nezápornosti řešení. Stacionární body (Lemma III.6).
Stabilita beznákazového ekvilibria (Věta III.7).
Varianta: model (SIRS-del-2) s omezených zpožděním.
p10 (3.května) ↵
Náznak analýzy chování blízko endemického ekvilibria:
linearizace, charakteristická rovnice, vyšetření spektra:
stabilita, Hopfova bifurkace. Model (SIRnS) s _n_ třídami
imunity. Věta III.8: ekvivalentní zápis jako zpožděná rovnice
pro infekční třídu. Poznámky o stabilitě a bifurkaci
endemického ekvilibria.
p11 (10.května) ↵