Matematická analýza I

(ZS 2011/12)

1. Úvod. Reálná čísla.

Reálná čísla: algebraické vlastnosti, uspořádání. Přirozená, celá, racionální čísla. Intervaly. Absolutní hodnota. Trojúhelníková nerovnost. p1 (3.října) ↵ Odmocnina. Vlastnosti přirozených čísel. Archimédova vlastnost, princip indukce. Každý interval obsahuje nekonečně racionálních i iracionálních čísel. Maximum, minimum, horní odhad, dolní odhad. Omezená množina. Supremum, infimum. Věty o existence suprema/infima. Komplexní čísla. Rozšířená reálná čísla, početní operace s nekonečnem. p2 (5.října) ↵

2. Reálné funkce. Limita a spojitost.

Funkce, obraz a vzor množiny. Funkce prostá, na, inverzní. Restrikce zobrazení, složené zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Reálná funkce: (ne)rostoucí, (neklesající), (ryze) monotónní. Funkce sudá, lichá a periodická. Okolí (kruhové, prstencové, levé, pravé) bodu. Hausdorffův princip oddělení. Limita funkce v bodě. Vlastnosti, příklady. p3 (10.října) ↵ Limita zleva a zprava. Dirichletova funkce, signum. Vztah limity a jednostranných limit. Funkce s vlastní limitou je omezená, funkce s nenulovou limitou je odražená od nuly na jistém okolí. Aritmetika limit - vlastní verze. Funkce omezená krát funkce jdoucí do nuly jde do nuly. p4 (12.října) ↵ Spojitost funkce v bodě. Vztah limity a spojitosti. Spojitost polynomu, racionální funkce, odmocniny. Funkce spojitá všude kromě jednoho bodu, funkce spojitá jen v jednom bodě. Limita složené funkce. Aritmetika limit - obecná verze. p5 (17.října) ↵ Limita typu jedna děleno nula zprava, zleva. Zachování nerovností v limitě. Věta o dvou policajtech. p6 (19.října) ↵ Existence limity pro monotonní funkci. Spojitost zleva a zprava. Souvislost s limitou a oboustrannou spojitostí. Spojitost na intervalu (obecně na množině). Vnitřní a krajní bod intervalu. Vztah mezi spojitostí funkce na intervalu a spojitostí v bodě. Spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu funkcí. p7 (24.října) ↵ Spojitost složené funkce. Spojitost restrikce. Darbouxova věta. Poznámka o existenci suprema/infima v R^*. Lemma o charakterizaci intervalu. Spojitý obraz intervalu je interval. Věta o inverzní funkci. Poznámka o funkcích z R do C: limita, spojitost. p8 (31.října) ↵ Důkaz věty o existenci odmocniny. Převedení limity v nekonečnu na jednostrannou limitu v nule.

3. Elementární funkce.

Funkce sin, cos, ln, exp a jejich základní vlastnosti. Obecná mocnina. p9 (2.listopadu) ↵ Funkce arcsin, arccos, tg, arctg. Definice elementární funkce. Příklady.

4. Derivace.

Definice derivace. Příklady: derivace elementárních funkcí. p10 (7.listopadu) ↵ Derivace zleva, zprava, vztah k oboustranné derivaci. Existence vlastní derivace implikuje spojitost. Derivace součtu, rozdílu, součinu, podílu. Derivace složené funkce. p11 (9.listopadu) ↵ Derivace inverzní funkce. Příklady: arcsin, arctg, odmocnina.

5. Primitivní funkce.

Definice primitivní funkce. Linearita integrálu. Integrování per-partes. p12 (14.listopadu) ↵ První věta o substituci. Rozklad polynomů. Rozklad racionální funkce na parciální zlomky a jejich integrace. Poznámky o derivaci/integrálu funkce s komplexními hodnotami. p13 (16.listopadu) ↵ Druhá věta o substituci. Typové substituce. Napojování primitivních funkcí. Příklady. p14 (21.listopadu) ↵

6. Hlubší vlastnosti derivace a spojitosti.

Plíživé lemma. Funkce spojitá v bodě je omezená na nějakém okolí. Funkce spojitá na omezeném a uzavřeném intervalu je na něm omezená. Lokální a globální maximum a minimum. Vztah derivace k extrému. Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném intervalu má bod maxima a minima. p15 (23.listopadu) ↵ Věty o střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova. Výpočet derivace limitou. Darbouxova vlastnost. Derivace spojité funkce má Darbouxovu vlastnost. p16 (28.listopadu) ↵ Cauchyho věta o střední hodnotě. l'Hospitalovo pravidlo. Znaménko derivace a monotonie. p17 (30.listopadu) ↵ Spojitá funkce s nenulovou derivací je ryze monotonní. Funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní. Ekvivalentní vyjádření konvexity. Monotonie derivace a konvexita. Znaménko druhé derivace a konvexita. Inflexní bod.

7. Posloupnosti.

Posloupnost. Limita posloupnosti. Konvergentní posloupnost. p18 (5.prosince) ↵ Ekvivalentní vyjádření limity. Bez důkazu: aritmetika limit, zachování nerovnosti, věta o dvou policajtech pro posloupnosti. Omezená a monotonní posloupnost. Konvergentní posloupnost je omezená. Monotonní posloupnost má vždy limitu; je-li navíc omezená, pak konverguje. Hromadný bod posloupnosti. Posloupnost vybraná. Ekvivalentní vyjádření hromadného bodu. Bolzano-Weierstrassova věta: každá omezená posloupnost má v R hromadný bod. p19 (7.prosince) ↵ Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence. Heineho věta: charakterizace limity v bodě, charakterizace spojitosti v intervalu pomocí posloupností. p20 (12.prosince) ↵

8. Aproximace funkcí polynomy.

Derivace vyšších řádů. Funkce třídy C^n. Taylorův polynom. Příklady Taylorových rozvojů. Derivování a integrování Taylorova polynomu. p21 (14.prosince) ↵ Zobecněné kombinační číslo. Malé "ó", řádová rovnost. Algebraické vlastnosti o(x^n). Výpočty limit pomocí Taylorova polynomu. p22 (19.prosince) ↵ Odhad zbytku po Taylorově polynomu. Příklady: exp(x), sin(x), cos(x). Iracionalita čísla e.

9. Určitý integrál.

Zobecněný přírustek funkce. Newtonův integrál. Funkce se stejnou derivací se liší o konstantu. Korektnost definice Newtonova integrálu. Bez důkazu: vlastnosti Newtonova integrálu: linearita, intervalová aditivita, vztah k nerovnosti, p23 (21.prosince) ↵ per-partes, substituce. Dělení intervalu. Horní a dolní součet, horní a dolní Riemannův integrál. Zjemnění dělení. Vlastnosti těchto pojmů. Definice Riemannova integrálu. Příklady: Riemannův integrál f(x)=x a Dirichletovy funkce na [0,1]. Nutná a postačující podmínka existence R.i. Monotonní, omezená funkce má R.i. p24 (4.ledna) ↵ Názorný význam Riemannova integrálu. Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá. Spojitá funkce má Riemannův integrál. Aproximace R.i. při rovnoměrném dělení intervalu. Linearita R.i. (s důkazem pro spojité funkce.) Intervalová aditivita pro R.i. p25 (9.ledna) ↵ R.i. a zachování nerovnosti. Riemannův integrál s proměnnou horní mezí. Důsledek: existence primitivní funkce pro spojitou funkci. Rovnost Newtonova a Riemannova integrálu pro spojitou funkci na omezeném, uzavřeném intervalu. p26 (11.ledna) ↵

X. Spočetnost a mohutnost. (NEPOVINNÉ)

Spočetná množina. Příklady a vlastnosti spočetných množin. Nespočetnost reálných čísel. Hypotéza kontinua. Algebraická, transcendentní a vyčíslitelná čísla. Poznámky k axiomům teorie množin. Russellův paradox. Axiom výběru a jeho některé důsledky.