Matematická analýza II
(LS 2011/12)
9. Určitý integrál -- dokončení.
Newtonův určitý integrál: základní vlastnosti
(linearita, intervalová aditivita, monotonie).
p1 (20.února) ↵
Per-partes a věta o substituci pro určitý integrál.
10. Řady.
Řada, posloupnost částečných součtů, součet řady. Geometrická řada, harmonická řada. Terminologie: řada konverguje/diverguje/osciluje. Nutná podmínka konvergence řady. Aritmetika řad. Změna konečně členů nemění konvergenci. Řada s nezápornými členy konverguje, právě když posloupnost částečných součtů je omezená. Srovnávací kritérium (1.verze).
p2 (21.února) ↵
Podílové kritérium. Odmocninové kritérium.
Integrální kritérium. Srovnávací kritérium (2. verze).
p3 (27.února) ↵
Raabeho kritérium. Leibnizovo kritérium.
Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence pro řady s komplexními členy.
Abelova parciální sumace.
p4 (28.února) ↵
Dirichletovo a Abelovo kritérium.
Omezenost částečných součtů ∑sin(kx), ∑cos(kx).
Absolutně/neabsolutně konvergentní řada.
p5 (5.března) ↵
Přerovnání absolutně konvergentní řady nemění součet. Neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat k libovolnému součtu. Cauchyův součin řad.
p6 (6.března) ↵
11. Mocninné řady.
Mocninná řada - koeficienty, střed. Poloměr konvergence.
Kruh konvergence, kružnice konvergence.
Věty o výpočtu poloměru konvergence.
Formální derivování/integrování řady člen po členu nemění poloměr konvergence.
Věta o derivování mocninné řady člen po členu.
Důsledky: součet mocninné řady je funkce v kruhu konvergence
nekonečně diferencovatelná (dokonce podle komplexní proměnné),
a má zde primitivní funkci.
p7 (12.března) ↵
Vztah mezi koeficienty mocninné řady a derivací jejího součtu.
Taylorův polynom celého součtu je částečný součet.
Analytické funkce.
Dvě mocninné řady se stejným součtem mají stejné koeficienty.
Vyjádření funkcí exp, sin a cos mocninnou řadou; vztahy mezi nimi.
12. Diferenciální rovnice.
Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu.
Pojem řešení.
p8 (13.března) ↵
Prodloužení a restrikce řešení.
ODR 1. řádu, speciálně rovnice vyřešená vzhledem k derivaci.
Lineární ODR 1. řádu a jak se řeší.
Rovnice se separovanými proměnnými.
Lemma o napojování řešení.
p9 (19.března) ↵
Bod větvení. Věty o lokální existenci a jednoznačnosti řešení
(bez důkazu.) Maximální řešení a jak je najít.
Homogenní rovnice. Bernoulliho rovnice.
Systém n rovnic 1. řádu vs. jedna rovnice řádu n,
jejich vzájemné převedení a počáteční podmínky.
Lineární rovnice řádu n.
Věta o existenci a jednoznačnosti řešení
(bez důkazu.)
p10 (20.března) ↵
Homogenní úloha.
Řešení homogenní úlohy tvoří lineární prostor dimenze n.
Fundamentální systém (F.S.)
Obecný tvar řešení nehomogenní rovnice.
Partikulární řešení a jeho nalezení metodou variace konstant.
p11 (26.března) ↵
Lineární rovnice s konstantními koeficienty.
Charakteristický polynom.
Nalezení F.S. pro rovnici s konstantními koeficienty.
p12 (27.března) ↵
Poznámka o komplexních kořenech.
Partikulární řešení pro speciální pravou stranu.
Řešení soustavy lineárních rovnic
s konstantními koeficienty převedením na jednu
rovnici vyššího řádu.
Eulerova rovnice, převedení na rovnici s konstantními
koeficienty.
p13 (2.dubna) ↵
13. Metrické prostory.
Metrický prostor. Normovaný lineární prostor.
Příklady.
Okolí bodu. Otevřená a uzavřená množina.
Zachování otevřenosti a uzavřenosti při průniku a sjednocení.
Limita posloupnosti. Ekvivalentní vyjádření uzavřenosti
pomocí limit posloupnosti.
p14 (3.dubna) ↵
Uzávěr množiny a jeho vlastnosti.
Hranice množiny.
Vlastnosti hranice množiny. Vnitřek a vnějšek množiny.
Spojitost funkce a její ekvivalentní vyjádření.
Heineho charakterizace spojitosti.
p15 (10.dubna) ↵
Složení spojitých funkcí je spojitá funkce.
Součet, rozdíl, součin a podíl reálných spojitých funkcí
je spojitý funkce.
Limita funkce v bodě; izolovaný bod, hromadný bod.
Heineho charakterizace limity funkce v bodě.
Spojitost funkce v bodě, její vztah k limitě.
Posloupnost, podposloupnost, hromadný bod.
Omezená množina. Kompaktní množiny a jejich vlastnosti.
Jiné vyjádření kompaktnosti množiny.
p16 (16.dubna) ↵
Spojitý obraz kompaktu je kompakt.
Spojitá reálná funkce na kompaktu je zde omezená
a nabývá maxima a minima.
Cauchyovská posloupnost.
Konvergentní posloupnost je Cauchyovská.
Pojem: úplný metrický prostor.
Lipschitzovské zobrazení, kontrakce.
Banachova věta o pevném bodě.
--- Fakta, týkající se speciálně R^n:
Opakování: skalární součin, pomocí něj vytvořená norma.
Cauchy-Schwartzova nerovnost.
Posloupnost bodů v R^n konverguje v normě, právě když
konvergují jednotlivé složky.
p17 (17.dubna) ↵
Množina v R^n je kompaktní, právě když je omezená a uzavřená.
Prostor R^n je úplný. Banachův a Hilbertův prostor.
14. Funkce více proměnných.
Skalární součin, norma a metrika v R^N.
Spojitost funkcí funkcí z R^N do R^M.
Příklady: lineární funkce, polynomy jsou spojité.
Parciální derivace, derivace ve směru. Gradient.
Nespojitá funkce, mající parciální derivace.
Totální diferenciál funkce.
Existence t.d. implikuje spojitost a existence derivací ve směru.
Reprezentace t.d. gradientem.
p18 (23.dubna) ↵
Omezenost parc. derivací implikuje spojitost funkce,
spojitost parc. derivací implikuje existenci t.d.
Totální diferenciál součtu a složeného zobrazení.
Řetízkové pravidlo. Záměna proměnných. Příklad:
gradient v kartézských a polárních souřadnicích.
Uzavřená o otevřená úsečku v R^N. Konvexní množina.
Věta o střední hodnotě ve více proměnných.
Derivace vyšších řádů.
p19 (24.dubna) ↵
Funkce třídy C^k.
Záměnnost pořadí parciálních derivací: věta a protipříklad.
Geometrická interpretace gradientu: vrstevnice, spádnice.
Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.
Exaktní rovnice. Integrační faktor.
Převedení na obyčejnou rovnici.
Taylorův rozvoj funkce více proměnných 2. řádu včetně tvaru zbytku.
Hessova matice. Multiindex a rozvoje obecně n-tého řádu.
p20 (30.dubna) ↵
Multinomická věta (bez důkazu).
Lokální a globální extrém funkce vzhledem k množině.
Nutná podmínka extrému vůči kruhovému okolí.
p21 (7.května) ↵
Kvadratická forma, definitnost formy, Silvestrovo pravidlo.
Postačující podmínka na lokální extrém.
Vázané extrémy, věta o Lagrangeových multiplikátorech (1 vazba).
Věta o Lagrangeových multiplikátorech -- více vazeb (bez důkazu).
Existence globálních extrémů.
p22 (14.května) ↵
Věta o implicitní funkci -- 1. verze.
Věta o implicitní funkci -- obecná verze (bez důkazu).
Důkaz věty o multiplikátorech (s jednou vazbou).
p23 (15.května) ↵
Věta o inverzní funkci (bez důkazu).
Příklady -- sférické souřadnice. Závislost kořene
polynomu na koeficientech a jiné příklady na VIF.
p24 (21.května) ↵
Příklady na extrémy a vázané extrémy.
p25 (22.května) ↵