Matematika pro fyziky III

(Dalibor Pražák, ZS 2013/14)

25. Laplaceova transformace.

Prostor L^1_+. Abscisa konvergence c_f. Laplaceova transformace funkce. Vztah k Fourierově transformaci. Holomorfnost, derivace dle _p_, nulovost v nekonečnu. Příklady. L.t. posunuté/škálované funkce. Vztah L.t. k derivaci. p01 (4.října) ↵ Vztah L.t. k derivaci -- dokončení důkazu. Příklad: řešení lineární ODR pomocí L.t. Konvoluce funkcí v L^1_+ a její vztah k L.t. Důsledek: L.t. primitivní funkce. Věta o prostotě L.t. (neboli Lerchova věta). p02 (7.října) ↵ Věta o inverzní L.t.

26. Speciální funkce.

Funkce Gamma (=Eulerův integrál 2. druhu). Definice, základní vlastnosti. Vztah k faktoriálu. p03 (11.října) ↵ Holomorfnost funkce gamma v pravé polorovině. Rozšíření funkce gamma mimo celá nekladná čísla. Stirlingova formule. Funkce Beta (=Eulerův integrál 1. druhu). Vztah k funkci Gamma a další základní vzorečky. p04 (14.října) ↵ Besselova rovnice. Besselova funkce prvního druhu; odvození a konvergence řady. Šturmova srovnávací věta. p05 (18.října) ↵ Důsledky pro rozložení nulových bodů Besselovy funkce. Besselova funkce 2. druhu. Poznámky k aplikacím B. fcí. Šturm-Liouvilleova věta o vlastních číslech jisté ODR 2. řádu.

27. Teorie distribucí.

Úvodní poznámky o nevýhodách ,,bodového`` chápání funkcí. Motivace: dualita, funkcionál. Opakování: nosič funkce, multiindex. Prostor testovacích funkcí; konvergence v prostoru testovacích funkcí. Definice distribuce. Příklady: regulární distribuce; p06 (21.října) ↵ Diracova distribuce. Prostota vnoření lokálně integrovatelných funkcí do prostoru distribucí. Míra jako distribuce. Věta o lokálně konečném řádu distribuce. Řád distribuce. Lineární vlastnosti prostoru distribucí. Konvergence v prostoru distribucí. Příklady. Úplnost prostoru distribucí (b.d.) p07 (25.října) ↵ Lineární záměna proměnné u distribucí. Lemma o spojitosti duálního zobrazení. Gaussova formule a integrace per-partes v R^n. Derivace distribucí. p08 (1.listopadu) ↵ Spojitost distributivní derivace. Příklady. Distribuce v.p.(1/x). Distributivní derivace po částech C^1 funkce. Derivace určuje distribuci až na konstantu. p09 (4.listopadu) ↵ Součin hladké funkce a distribuce. Parametrický soubor distribucí (p.s.d.): holomorfní závislost na parametru, izolovaná singularita, reziduum. Distribuce x-lambda. Rozšíření a singularity p.s.d. x-lambda. Distribuce chi-lambda a jejich holomorfní rozšíření do C. p10 (8.listopadu) ↵ Nulová množina distribuce; nosič distribuce. Poznámky k Schwartzovu výsledku o nemožnosti. Schwartzův prostor ,,rychle klesajících funkcí``. Temperované distribuce. Příklady temperovaných distribucí; vztah k ,,obyčejným`` distribucím. p11 (11.listopadu) ↵ Opakování: vlastnosti Schwartzova prostoru. Fourierova transformace temperovaných distribucí. Příklady: F.t. Diraca, konstanty. F.t. je spojité, vzájemně jednoznačné zobrazení temperovaných distribucí na sebe. Inverzní F.t. distribucí. p12 (15.listopadu) ↵ Vlastnosti F.t. (posun argumentu, derivace, zachování symetrie) pro temperované distribuce. Příklady: F.tr. distribuce v.p.(1/x), sin(ax), cos(bx), Heavisideovy funkce. Tenzorový součin distribucí a jeho vlastnosti (bez důkazu). p13 (18.listopadu) ↵ Opakování obecných vlastností konvoluce funkcí. Konvoluce distribuce a testovací funkce a její vlastnosti. Konvoluce dvou distribucí. Vlastnosti konvoluce distribucí. Fourierova transformace konvoluce (temperované) distribuce a (lokálně nesené) distribuce je součin Fourierových transformací těchto distribucí (vše bez důkazu). Příklady: konvoluce s Diracem, jeho derivací a posunutím. Aplikace: pojem ,,fundamentální řešení``. Zavedení necelých derivací konvolucemi s chi-lambda. p14 (22.listopadu) ↵

28. Aplikace teorie distribucí.

Fundamentální řešení ODR s konstantními koeficienty. p15 (25.listopadu) ↵ Fundamentální řešení rovnice vedení tepla (RVT). Existence řešení pro (RVT) s předepsanou počáteční podmínkou. p16 (29.listopadu) ↵ a pravou stranou pro Cauchyho úlohu. Tichonovovův příklad nejednoznačnosti. Poznámky o Fourierově metodě. Klasické řešení (RVT). p17 (2.prosince) ↵ Princip maxima pro (RVT). Energetická (ne)rovnost pro (RVT). Důsledky: jednoznačnost řešení (RVT). Vlnová rovnice (VR). Fundamentální řešení (bez důkazu). p18 (6.prosince) ↵ Existence řešení pro Cauchyho úlohu (bez důkazu). Klasické řešení. Energetická rovnost pro (VR). Princip šíření vlny a jeho důsledky pro jednoznačnost řešení. p19 (9.prosince) ↵ Poznámky o rozdílech chování (VR) a (RVT). Laplaceova a Poissonova rovnice. Fundamentální řešení Poissonovy rovnice a jeho vlastnosti. p20 (13.prosince) ↵ Řešení Poissonovy rovnice -- Cauchyho úloha. Harmonická funkce. Vlastnosti průměru. p21 (16.prosince) ↵ slabý a silný princip maxima. Dirichletova úloha. Konformní zobrazení a jeho skládání s rovinným laplaciánem. Příklady přenášení Poissonovy úlohy pomocí konformních zobrazení. p22 (20.prosince) ↵

29. Diferenciální formy.

Vnější součin vektorů a jeho vlastnosti, k-vektory. Grassmanova algebra. Diferenciální forma, řád formy. Vnější diferenciál formy a jeho vlastnosti. p23 (3.ledna) ↵ Gradované Leibnizovo pravidlo. Forma uzavřená a exaktní. Přenášení ("pullback") forem pomocí hladkých zobrazení. Vlastnosti přenášení - záměnnost vnějšího diferenciálu a přenesení, skládání přenášení. Obecná k-plocha v R^n. Parametrizace. Integrál 1. druhu. p24 (6.ledna) ↵ Orientace k-plochy. Lemma o výpočtu objemu rovnoběžnostěnu. přenášení a diferenciál. Integrál z k-formy na k-ploše. Řetězec neboli zobecněná k-plocha. Singulární k-dimenzionální krychle a její okraj. Sladěnost orientace okraje a singulární krychle. Obecná Stokesova věta (bez důkazu.)