Diferenciální rovnice v Banachových prostorech
Tomáš Bárta, Dalibor Pražák, LS 2011/12)
1. Semigrupa, generátor a jejich vlastnosti.
c_0 semigrupa. Generátor semigrupy. Slabá, silná a stejnoměrná
spojitost. Příklady: multiplikativní operátory; translační semigrupa
(shift). Exponenciální odhad normy pro c_0 semigrupu. Vlastnosti D(A):
invariance vůči S(t), záměnnost A a S(t), A od integrálních průměrů S(t)x.
Uzavřenost A, hustota D(A), jednoznačný vztah generátoru a semigrupy.
p1 (22.února) ↵
Rezolventní množina, spektrum, rezolventa. Vyjádření rezolventy generátoru
Laplaceovou transformací semigrupy. Odhad normy rezolventy.
2. Semigrupa a diferenciální rovnice.
Abstraktní Cauchyova úloha (ACP). Klasické řešení, mild řešení.
Well-posed (ACP). Věta: uzavřený, hustě definovaný A generuje c_0
semigrupu, právě když příslušná (ACP) je well-posed. Klasické/mild
řešení coby výsledek působení semigrupy. Poznámky k úlohám s pravou
stranou, rovnicím druhého stupně a neautonomním úlohám.
p2 (28.února) ↵
3. Hille-Yosidova a Lumer-Phillipsova věta.
Hille-Yosidova věta, Yosidova aproximace. Obecná generační věta (bez
důkazu). Disipativní operátor; vlastnosti jeho rezolventy.
Lumer-Phillipsova věta. Postačující podmínky disipativnosti operátorů.
p3 (6.března) ↵
4. Samoadjungované operátory na H-prostorech.
Symetrické a samoadjungované operátory. Věta o spektrálním rozkladu
(bez důkazu). Operátory s kompaktní rezolventou, vlastnosti, druhá
verze věty o spektrálním rozkladu (též bez důkazu). Semigrupa generovaná
samoadjungovaným operátorem s kompaktní rezolventou. Příklady: laplacián
Dirichletův; laplacián na R^n.
p4 (13.března) ↵
Mimořádně: předběžné poznámky k druhé části přednášky:
Gray-Scottův systém autokatalýzy. Odvození, abstraktní formulace.
Cíl: převedený G-S systému (či obecně rovnic typu reakce-difuze)
na konečný systém ODR. Pojmy: dynamický systém, globální atraktor,
fraktální dimenze. Holder-Maného věta (bez důkazu) o existenci
projekce s Holderovskou inverzí. Problém s nejednoznačností --
konstrukce inerciální variety.
p5 (20.března) ↵
Forma: seskvilineární, symetrická, pozitivní, H-eliptická. Uzavřená forma
a k ní příslušející samoadjungovaný, disipativní operátor. Příklad:
eliptický operátor druhého řádu na omezené Lipschitzovské oblasti.
Funkční kalkulus: zlomkové mocniny operátoru (pomocí spektrální věty).
p6 (27.března) ↵
5. Analytické semigrupy.
Diferencovatelná semigrupa -- nekonečná hladkost řešení.
Analytická semigrupa. Sektoriální operátory; jejich vztah
k analytickým semigrupám. Výpočet semigrupy a zlomkových
mocnin operátoru integrací v komplexní rovině.
p7 (3.dubna) ↵
6. Regularita nehomogenní (ACP).
Nehomogenní abstraktní Cauchyova úloha (NACP). Klasické, silné
a mild řešení; vztahy mezi nimi. Konstrukce silného řešení
metodou ,,variace konstant``. Regularita semigrupy a mild řešení
v prostorech V^{2r}; lipschitzovská a holderovská regularita v čase.
p8 (10.dubna) ↵
---=== D. Pražák střídá T. Bártu ===---
7. Úloha (GS) a (A). Základní teorie.
Grey-Scottův systém (GS) reakce-difuze. Dirichletův
laplacián v omezené oblasti R^d. Charakterizace
definičního oboru v termínech Sobolevových prostorů.
Jiná charakterizace pomocí rozkladu do vlastních funkcí.
Prostory V^{2a}. Analytičnost příslušné semigrupy.
Abstraktní evoluční úloha (A); předpoklady. (GS) jako
speciální případ úlohy (A). Pojem mírného řešení (mild
solution). Věta 7.1: lokální existence.
p9 (17.dubna) ↵
Poznámky o bootstrappingu regularity mírného řešení
-- m.ř. je (lokálně) klasické. Jednoznačnost a spojitá
závislost na počáteční podmínce (Věta 7.4). Maximální řešení (Věta 7.5).
Zpětná jednoznačnost (Věta 7.7).
p10 (24.dubna) ↵
Věta 7.8: disipativní odhady pro (GS) systém.
Globální existence řešení. Řešicí d.s. a jeho
disipativita.
8. Konstrukce inerciální variety.
Modifikovaný systém (A), předpoklady (AP1), (AP2).
Definice inerciální variety.
Projekce P, Q. Kuželová vlastnost (AP3).
Věta 8.1: existence konečně-dimenzionální variety, která
je (zatím jen) pozitivně invariantní.
p11 (2.května) ↵
Dokončení důkazu existence invariantní lipschitzovské variety.
Vlastnost exponenciálního přitahování.
p12 (15.května) ↵
Asymptotická úplnost variety. Podmínka ,,díry ve spektru``
(``spectral gap condition'')
implikuje invarianci (dokonce vnitřku) kuželu.
Poznámky ke ``spectral gap condition''.
p13 (22.května) ↵