NMMA431 -- Seminář z diferenciálních rovnic, ZS 2021/22
Lineární homogenní úloha s periodickou maticí.
Logaritmus matice; reálný případ.
Floquetova normální forma.
Operátor monodromie, charakteristické multiplikátory,
Floquetovy exponenty. Vztah ke stabilitě řešení.
s1 (5. října) ↵
Doplňující poznámky k Floqetově teorii, cvičení.
Motivační příklad: kyvadlo s oscilujícím závěsem,
Mathieuova rovnice. Varianta se singulární oscilací:
explicitní výpočet operátoru monodromie, diskuse stability/resonance,
Ince-Struttův diagram.
s2 (12. října) ↵
Další vlastnosti Floquetovy normální formy; příklady.
Marcus-Yamabeho protipříklad. Ljapunovské exponenty,
souvislost s Floquetovými exponenty.
s3 (19. října) ↵
Hillova rovnice. Vztah stopy operátoru monodromie
a (ne)stability řešení. Postačující podmínka stability.
s4 (26. října) ↵
s5 (2. listopadu) ↵
Hillův nekonečný determinant - vlastnosti, rekurentní vyjádření.
Perturbační metoda -- úvod.
s6 (9. listopadu) ↵
Konstrukce tranzitivní křivek perturbační metodou -- dokončení.
Mathieuova rovnice s tlumením: motivace, diskuse stability.
s7 (16. listopadu) ↵
Vyjádření 2pí resp. 4pí-periodických řešení Four. řadou,
determinanty, perturbační analýza.
s8 (23. listopadu) ↵
Postačující podmínky existence periodických orbitů.
Nelineární úloha - periodický orbit, transverzální nadplocha,
Poincarého zobrazení a jeho derivace.
s9 (30. listopadu) ↵
Poincarého zobrazení -- dokončení. Pomocná tvrzení z LA.
s10 (7. prosince) ↵
Pomocná tvrzení z ODR. Hlavní věta: stabilita
Poincarého zobrazení implikuje (orbitální) stabilitu.
s11 (14. prosince) ↵
Závěrečné poznámky: stabilita vs. orbitální stabilita.
Asymptotická fáze.
s12 (21. prosince) ↵
Nekonečné matice a determinanty. Nutná a postačující podmínka
řešitelnosti homogenní úlohy (v tzv. normálním tvaru).
Adjugovaná matice, minory vyšších řádů. Limita aproximativních řešení.
s13 (4. ledna) ↵