Def. ODR 1. řádu; pojem řešení.
Def. rce se separovanými proměnnými
Věta* [O řešení rce se separovanými proměnnými.]
Příklady:
x'=√x/√t
x'=3x²t²
x'=exp(-x-t)
x'=...
Def. lineární ODR 1. řádu
Věta* [O řešení lin. ODR 1. řádu]
Příklad: t³x'-tx=1
Opak. 1VoS, per-partes
======================================================== C1 - 19.2.2018
Kvalitativní analýza I -- rovnice x'=f(x,t)
demo: x'=r(1-x/K)x ... logistický problém
x'=√(t-x^2)
sami: ú19) x'=x/t+t^2 ... později demo
ú22) x'=t+x-tx
d.cv. ú18) x'=t(x+1)
ú20) x'=2tx-2
======================================================== C2 - 9.3.2018
... limity a blow-up
... sudost; symetrie obecně
Kvalitativní analýza II -- autonomní systémy 2x2
1. integrál: výpočet podělením
spec. x'' + f(x) = 0
demo: x'' + 2x^3 = 0
paradox vztahu periody vs. rychlost
======================================================== C3 - 26.3.2018
2.4. -- velikonoční pondělí -- výuka odpadá
========================================================
téma: stručný úvod do základní teorie ODR
Lemma (o integrální formulaci)
Věta (Peano + Picard) ... bez důkazu
Opakování: normovaný prostor, úplný prostor, cauchyovská posloupnost
Příklady: R^n, L^p(Omega), C(I;R)
Věta (Banachova o kontrakci) ... náznak důkazu
Důkaz Picardovy věty převedením na Banachovu větu
---------------------
Ad d.ú.2 model SLIAR
... důkaz kladnosti složek
======================================================== C5 - 9.4.2018
Gronwallovo lemma (s důkazem).
Aplikace: spojitá závislost na počáteční podmínce (s důkazem)
Poznámky: maximální řešení, existence, charakterizace (b.d.)
lokální lipschitzovskost: plyne z C^1
Různé typy ODR: 1 rovnice, systém, rovnice n-tého řádu
d'Alembertova transformace
-- příslušné počáteční podmínky
Téma: lineární rovnice s konstantními koeficienty
a) systémy
b) rovnice n-tého řádu
Ad a) exponenciála matice: definice, vlastnosti - vztah k ODR
Příklad 4: řešení pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů
======================================================== C6 - 16.4.2018
Pozn.: komplexní vlastní čísla: rozklad na reálnou a imaginární část
Ad b) charakteristický polynom, fundamentální systém, obecné řešení
Pozn.: vylučovací metoda: převod systému n rovnic na rovnici n-tého řádu
Nehomogenní úloha -- metoda variace konstant (abstraktně pro exp. matice)
======================================================== C7 - 23.4.2018
Téma: stabilita stacionárních bodů
Definice: stabilita, nestabilita, asymptotická stabilita
Věta (o linearizované stabilitě a nestabilitě)
Příklad
Definice: Ljapunovská funkce, striktní ljapunovská funkce
Věta (Ljapunovova 2. věta) -- bez důkazu
Aplikace: oscilátor s tlumením
======================================================== C8 - 7.5.2018
Dokončení příklady na oscilátor
Příklady na jednoduché ljapunovské funkce
Příklad, kde linearizace destabilizuje úlohu
======================================================== C9 - 14.5.2018
======================================================== C10 - 21.5.2018
|
Základní růstový (exponenciální) model / model hynutí.
Lemma 1. Výpočet střední doby života
Logistický (Verhulstův) model.
-- náčrt řešení, konvexita, stabilita K
Lotka-Volterrův model typu dravec-kořist.
-- náčrt řešení, 1. integrál, ex.per. řešení
Pojem (heuristický): strukturální stabilita (robustnost)
Holling-Tannerův model:
-- vysvětlení významu členů
-- stacionární bod, lokální dynamika
Věta 1: globální existence kladných, omezených řešení
==================================================== P1 - 18.2.2020
Opakování: prezentace ,,Elementární modely``
Volterrův princip: formulace, ověření pro L.V a H.T.
Pozn.: Holling-Tanner: ekvilibrium ne-sedlo, Poincaré-Bendixson
(d.ú. a ODR3)
Gauseho-model dravec-kořist se skrýší -> ODR s nespojitou P.S.
-- mechanický model: Coulombovo tření
-- geometrické řešení: tečná dynamika dle Filippova
-- elementární kval. analýza v 1. kvadrantu,
vč. určení tečné dynamiky
==================================================== P2 - 25.2.2020
Dynamika Gauseho modelu: možné globální scénáře
(existence lokálně asymptoticky stabilního
periodického řešení resp. stac. bodu)
Gauseho model: reformulace jako diferenciální inkluze,
pojem: monotónní graf
Věta 3: existence a jednoznačnost řešení Gauseho modelu
KAPITOLA 2: Epidemiologické modely
Základní SIR model: význam konstant
1. integrály
náčrt dynamiky
==================================================== P3 - 3.3.2020
SIR model: význam konstanty \beta
-- final size relation
-- základní reprodukční číslo
Model SLIAR: formulace, nastavení konstant
-- reálná data vs. model (P. Bešcec)
Model SIRd -- zahrnutí (jednoduchých) demografických efektů
-- základní analytické vlastnosti
-- dichotomie dle R₀ > 1 resp. < 1
-- numerický experiment odhaluje tři různé fáze:
1. počáteční epidemie
2. pozvolný opětovný nárůst S při malém I
3. pomalé oscilace kolem endemického ekvilibria
==================================================== P4 - 9.3.2020
Pozn.: od 10.3. uzavření škol -- COVID-19
Poznámka: nepřeberné možnosti dalších zobecnění modelu SIR
-- přidání dalších tříd: SLIAR, SEIR, ...
-- přidání efektů zpoždění: dif. rovnice se zpožděním
-- vliv náhody: stochastické rovnice
-- jemnější popis populace:
rozložení v prostoru, věková struktura, ...
Téma: cestující vlny v rovnicích reakce-difuze
-- idea: hledáme řešení ve tvaru n(t,x) = U(x-ct)
kde c=rychlost vlny je parametrem modelu
---------------------------------------------------- P5 - 21.3.2018
dne 29.3. přednáška zrušena
----------------------------------------------------
Jednoduché příklady: vedení tepla a vlnová rovnice
teoretická odbočka: Věta 4 (o stabilní/nestabilní varietě)
důkaz ve speciálním případě: sedlový bod v R^2
Aplikace: Fisherova rovnice -- cestující vlna jako
heteroklinický orbit z (1,0) do (0,0)
---------------------------------------------------- P6 - 4.4.2018
Poznámka: kde se bere člen "n_xx" ... ?
1) lineární difuze: Fickův zákon
2) nelokální působení: konvoluce + rozumná aproximace
Model SIRx -- SIR s prostorovou proměnnou a přenosem infekce na dálku
... opět existuje právě jedna ,,epidemie ve tvaru cestující vlny``,
za určitých rozumných předpokladů na konstanty & data
Téma: teorie her a replikátorová rovnice
Definice: hra (dvou hráčů), strategie a výplatní funkce
smíšené strategie, zobecněná výplatní funkce
Terminologie: (dvou)maticová hra, symetrická hra,
dvojitě symetrická hra, hra s nulových součtem
Definice: nejlepší odpověď; Nashovo ekvilibrium
---------------------------------------------------- P7 - 11.4.2018
Lemma 3: nejlepší odpověď jako kombinace čistých nejlepších
Věta 5: existence Nashova ekvilibria
Hry s nulovým součtem: hodnota strategie, hodnota hry, optimální strategie
Věta 6 (minimaxová věta)
Přechod k populačně-dynamickým otázkám: nadále jen symetrické hry,
smíšená strategie coby populace; nejlepší odpověď a Nashovo ekvilibrium
-- speciální (symetrický) případ těchto pojmů/výsledků
Populační dynamika: rozumné předpoklady a replikátorová rovnice
coby jejich nejjednodušší speciální případ
Definice: evolučně stabilní strategie
---------------------------------------------------- P7 - 18.4.2018
Věta 7: existence a jednoznačnost pro RD; invariance nosiče
Věta 8: vztah NE a stacionárních bodů RD
Příklady: 1) jestřábi a hrdličky (HD-hra)
2) kámen-nůžky-papír (RSP-hra)
Připomenutí: ESS
Lemma 4: vztah ESS a NE
Věta 9: ESS je asymptoticky stabilní stac. bod pro RD
Věta 10: základní věta přírodního výběru
Pozn.: předpoklad symetrie v předchozí větě nelze vynechat (viz HD)
---------------------------------------------------- P8 - 25.4.2018
Dluh z minula: důkaz Věty 9
Příklad: asymptoticky stabilní NE, které není ESS
Poznámka: normalizace hry
Odvození RD z elementárního růstového modelu, varianta s mutacemi
---------------------------------------------------- P9 - 2.5.2018
dne 9.5. přednáška zrušena pro malou návštěvu
dne 16.5. odpadá kvůli rektorskému dni
---------------------------------------------------- P10 - 23.5.2018
Příklad: PD (vězňovo dilema, opakování, mutace)
-- regulární vs. singulární perturbace
teoretické intermezzo: Lemma 5 a Věta 11 (bez důkazu)
(adj matice a neexistence per. orbitů)
Příklad: HDBR (jestřábi-hrdličky-křikloun-odvetník)
---------------------------------------------------- P9 - 2.5.2018
|