Matematická analýza II
10. Řady.
Řada, posloupnost částečných součtů, součet řady.
Geometrická řada, harmonická řada.
Terminologie: řada konverguje/diverguje/osciluje.
Nutná podmínka konvergence řady.
Aritmetika řad. Změna konečně členů nemění konvergenci.
Řada s nezápornými členy konverguje, právě když posloupnost
částečných součtů je omezená. Podílové kritérium.
Odmocninové kritérium. Integrální kritérium.
Srovnávací kritérium (2. verze).
Raabeho kritérium. Leibnizovo kritérium.
Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence
pro řady s komplexními členy.
Abelova parciální sumace.
Dirichletovo a Abelovo kritérium.
Omezenost částečných součtů sin(kx), cos(kx).
Absolutně/neabsolutně konvergentní řada.
Přerovnání absolutně konvergentní řady nemění součet.
Neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat k libovolnému součtu.
Cauchyův součin řad.
11. Mocninné řady.
Mocninná řada - koeficienty, střed.
Poloměr konvergence. Kruh konvergence, kružnice konvergence.
Věty o výpočtu poloměru konvergence.
Formální derivování/integrování řady člen po členu
nemění poloměr konvergence.
Věta o derivování mocninné řady člen po členu.
Důsledky: součet mocninné řady je funkce v kruhu
konvergence nekonečně diferencovatelná (dokonce
podle komplexní proměnné), a má zde primitivní funkci.
Vztah mezi koeficienty mocninné řady a derivací jejího součtu.
Taylorův polynom celého součtu je částečný součet.
Dvě mocninné řady se stejným součtem mají stejné koeficienty.
Vyjádření funkcí exp, sin a cos mocinnou řadou.
Analytické funkce.
12. Diferenciální rovnice.
Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu.
Pojem řešení. Prodloužení a restrikce řešení.
ODR 1. řádu, speciálně rovnice vyřešená vzhledem k derivaci.
Lineární ODR 1. řádu a jak se řeší.
Rovnice se separovanými proměnnými.
Lemma o napojování řešení.
Bod větvení. Věty o lokální existenci a jednoznačnosti řešení
(bez důkazu.) Maximální řešení a jak je najít.
Homogenní rovnice.
Bernoulliho rovnice.
Systém n rovnic 1. řádu vs. jedna rovnice řádu n,
jejich vzájemné převedení a počáteční podmínky.
Lineární rovnice řádu n.
Věta o existenci a jednoznačnosti řešení
(bez důkazu.) Homogenní úloha.
Řešení homogenní úlohy tvoří lineární prostor dimenze n.
Fundamentální systém (F.S.)
Obecný tvar řešení nehomogenní rovnice.
Partikulární řešení a jeho nalezení metodou variace konstant.
Lineární rovnice s konstantními koeficienty.
Charakteristický polynom.
Nalezení F.S. pro rovnici s konstantními koeficienty.
Poznámka o komplexních kořenech.
Partikulární řešení pro speciální pravou stranu.
Řešení soustavy lineárních rovnic
s konstantními koeficienty převedením na jednu
rovnici vyššího řádu.
Eulerova rovnice, nalezení fundamentálního systému.
13. Stejnoměrná konvergence.
Bodová konvergence funkcí.
Příklady: bodová konvergence nezachová spojitost,
neumožní záměnu limity a integrálu.
Stejnoměrná konvergence funkcí.
Stejnoměrná konvergence zachová spojitost,
na omezeném intervalu umožní záměnu limity a integrálu.
Lemma o "sigma en". Jak najít supremum funkce na intervalu.
Lokálně stejnoměrná konvergence.
Zachování spojitosti při lokálně stejnoměrné konvergenci.
Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence.
Úplnost prostoru spojitých funkcí.
Moore-Osgoodova věta o záměně limit.
Věta o záměně limity a derivace.
Věta o integrování člen po členu.
Stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence řady funkcí.
Nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady.
Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence pro řady.
Absolutně stejnoměrná konvergence.
Weierstrassova věta.
Stejnoměrná verze Leibnizova kritéria.
Stejnoměrná omezenost posloupnosti, stejnoměrná omezenost
částečných součtů řady.
Stejnoměrná verze Dirichletova kritéria.
Stejnoměrná omezenost částečných součtů sin(kx), cos(kx).
Stejnoměrná verze Abelova kritéria.
Zachování spojitosti, záměna sumy a integrálu
při stejnoměrné konvergenci řady.
Derivování řady člen po členu.
14. Míra a integrál.
Spočetné sjednocení, průnik. Míra. Aditivita, sigma-aditivita
míry. Počítací míra, Diracova míra. Míra jako zobecněný
n-dimenzionální objem. Banach-Tarského paradox.
Interval v R^n, n-dimenzionální objem intervalu.
Lebesgueova míra, Lebesgueovsky měřitelné množiny v R^n.
Množina míry nula. Pojem "skoro všude".
Charakteristická funkce množiny. Jednoduchá funkce.
Měřitelná funkce: definice a ekvivalentní podmínky.
Lebesgueův integrál nezáporné funkce.
Leviho věta o záměně limity a integrálu.
Linearita integrálu pro nezáporné funkce.
Kladná, záporná část funkce.
Lebesgueův integrál obecné měřitelné funkce.
Terminologie: integrál existuje/konverguje.
Důležité pozorování: funkce rovné skoro všude mají stejný integrál.
Zobecnění definice integrálu pro funkce definované skoro všude.
Vlastnosti integrovatelných funkcí.
Lebesgueova věta o záměně limity a integrálu.
Opakování: Newtonův integrál, založený na (zobecněném) přírustku
primitivní funkce. Vztah Newtonova a Lebesgueova integrálu.
Leviho věta pro řady.
Lebesgueova věta pro řady.
Fubiniho věta (bez důkazu).
Difeomorfismus. Jakobián. Věta o substituci (bez důkazu).
Polární a sférické souřadnice.
Aktualizováno: 28. 05.