NMMA574 -- Dalibor Pražák, LS 2014/15
1. Dimenze
Definice topologické dimenze. Roztínání a oddělování.
Věta o sumě a o rozkladu.
p1 (18.2.) ↵
Dokončení důkazu věty o sumě. Pokrytí, zjemnění, řád pokrytí.
Pokrývací dimenze; vztah k topologické dimenzi. Věta o vnoření: schéma
důkazu.
p2 (25.2.) ↵
Dokončení důkazu věty o vnoření. Hausdorffova vnější míra, vlastnosti, vztah
k Lebesgueově míře. Hausdorffova dimenze. Vztah k topologické dimenzi.
Fraktál. H.d. sjednocení a hölderovského obrazu. Pokrývací číslo, počítací
("box-counting") dimenze. Vztah počítací a H.d.
p3 (4.3.) ↵
Vlastnosti počítačí dimenze: uzávěr, konečné sjednocení, hölderovský obraz.
Poznámka: dimenze kartézského součinu:
Odhad počítací dimenze na geometrické posloupnosti (Heineho věta).
Lemma: pokrývací číslo v R^n. Důsledek: počítací dimenze množin v R^n.
Cíl: vylepšená vnořovací věta: regularita vnoření a jeho inverze.
Příklad: inverze je obecně nejlépe hölderovská. Přípravné práce
k Hölder-Mañého větě: míra na podmnožině E lineárních zobrazení.
Odhad míry zobrazení, jež jsou malá v určeném bodě.
p4 (11.3.) ↵
Borel-Cantelliho lemma.
Důkaz Hölder-Mañého věty v R^N. Příprava k Hölder-Mañého
větě v obecném H-prostoru: zavedení pravděpodobnostní míry
na podmnožině E duálu. Odhad pravděpodobnosti, že zobrazení
L z E je malé v určeném bodě.
p5 (18.3.) ↵
Dokončení důkazu obecné H-M věty.
2. Konečně-dimenzionální atraktor
Formulace modelového problému (RD). Pomocné prostory funkcí:
Lebesgue, Sobolev, Bochner. Pojem slabého řešení a jeho vlastnosti
(bez důkazu).
p6 (25.3.) ↵
Existence (bez důkazu) a jednoznačnost slabého řešení.
Regularita slabého řešení. --- Pojmy z abstraktní teorie d.s.:
disipativita, asymptotická kompaktnost, globální atraktor.
Souvislost těchto pojmů.
p7 (1.4.) ↵
Disipativita d.s. pro (RD). Existence atraktoru.
Metoda trajektorií. Klíčové lemma: ,,shlazovací vlastnost``
operátorů L(l). Odhad počítací dimenze pomocí shlazovací vlastnosti.
p8 (8.4.) ↵
Dokončení důkazu: konečná počítací dimenze globálního atraktoru
pro (RD).
3. Konečně-dimenzionální limitní dynamika
Formulace problému (ARD).
Prostory H^alfa, mocniny operátoru A^beta.
Předpoklady na spektrum operátoru A a nelinearitu F(u).
Klíčový pojem: konečně-dimenzionální (limitní) dynamika.
p9 (15.4.) ↵
Hlavní věta: ekvivalentní podmínky pro konečně-dimenzionální
dynamiku na invariantním kompaktu v H^alfa.
p10 (22.4.) ↵
Dokončení důkazu věty.
4. Inerciální varieta
Připomenutí problému (ARD) -- mírně zjednodušená verze.
Definice inerciální variety. Klíčová podmínka (SGC) ,,o mezeře ve spektru``.
Formulace hlavní věty o existenci i.v.
Kladný a záporný kužel. Kuželová vlastnost.
p11 (29.4.) ↵
Lemma 4.1: (SGC) implikuje kuželovou vlastnost.
Pomocné kuželové odhady: Lemmata 4.2 a 4.3.
Redukce a prostota dynamiky v PH^0: Lemma 4.4.
Definice zpětné dynamiky: Lemma 4.5.
p12 (20.5.) ↵
Dokončení důkazu Lemmatu 4.5.
Definice inerciální variety. Lemma 4.6 o úplné invarianci.
Lemma 4.7 o stopovací vlastnosti.
p13 (21.5.) ↵