Matematická analýza I
(ZS 2022/23)
1. Úvod. Reálná čísla.
Reálná čísla: algebraické vlastnosti, uspořádání. Přirozená, celá,
racionální čísla. Intervaly. Absolutní hodnota. Trojúhelníková
nerovnost. Odmocnina.
p1 (29. září) ↵
Existence iracionálních čísel.
Vlastnosti přirozených čísel. Archimédova vlastnost, princip indukce.
Každý interval obsahuje nekonečně racionálních i iracionálních čísel.
Maximum, minimum, horní odhad, dolní odhad. Omezená množina. Supremum,
infimum. Věty o existenci suprema/infima.
p2 (5. října) ↵
Komplexní čísla. Rozšířená
reálná čísla, početní operace s nekonečnem. Funkce, obraz a vzor množiny.
Funkce prostá, na, inverzní. Složené zobrazení, definiční obor, obor hodnot.
2. Reálné funkce. Limita a spojitost.
Okolí (kruhové, prstencové, levé, pravé) bodu.
Limita funkce v bodě. Vlastnosti, příklady.
Hausdorffův princip oddělení.
p3 (6. října) ↵
Reálná funkce: (ne)rostoucí, (neklesající), (ryze) monotónní. Funkce
sudá, lichá a periodická. Funkce omezená (shora, zdola).
Jednoznačnost limity. Dirichletova funkce nemá limitu.
Limita zleva a zprava. Funkce signum.
Vztah limity a jednostranných limit.
Funkce s vlastní limitou je omezená, funkce
s nenulovou limitou je odražená od nuly na jistém okolí.
Aritmetika limit - vlastní verze.
p4 (12. října) ↵
Funkce omezená krát funkce jdoucí do nuly jde do nuly.
Spojitost funkce v bodě. Vztah limity a spojitosti.
Spojitost polynomu, racionální funkce, odmocniny.
Věta o limitě složené funkce (zatím jen znění).
p5 (13. října) ↵
Příklady: funkce spojitá všude kromě jednoho bodu, funkce
spojitá jen v jednom bodě. Příklady na VoLSF.
Aritmetika limit - obecná verze. Příklady.
p6 (19. října) ↵
Limita typu jedna děleno nula zprava, zleva.
Zachování nerovností v limitě.
Věta o dvou policajtech.
Existence limity pro monotonní funkci.
p7 (20. října) ↵
Spojitost zleva a zprava. Souvislost s limitou a oboustrannou spojitostí.
Spojitost funkce na intervalu (obecně na množině).
Vnitřní a krajní bod intervalu.
Vztah mezi spojitostí funkce na intervalu a spojitostí v bodě.
Darbouxova věta.
Věta o spojitosti inverzní funkce.
p8 (26. října) ↵
Spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu funkcí.
Spojitost složené funkce.
Spojitost restrikce.
Poznámka o existenci suprema/infima v R^*.
Lemma o charakterizaci intervalu.
Spojitý obraz intervalu je interval.
Důkaz věty o existenci odmocniny.
Převedení limity v nekonečnu na jednostrannou limitu v nule.
3. Elementární funkce.
Funkce sin, cos, ln, exp a jejich základní vlastnosti.
Obecná mocnina. Funkce arcsin, arccos, tg, arctg.
Definice elementární funkce. Příklady.
(Nepřednášeno - samostudium, viz prezentace na úložišti.)
4. Derivace.
Definice derivace.
Příklady: derivace elementárních funkcí.
Derivace zleva, zprava, vztah k oboustranné derivaci.
Existence vlastní derivace implikuje spojitost.
Derivace součtu, rozdílu, součinu, podílu. Příklady.
p9 (2. listopadu) ↵
Derivace složené funkce.
Derivace inverzní funkce.
Příklady: arcsin, arctg, odmocnina.
p10 (3. listopadu) ↵
5. Primitivní funkce.
Definice primitivní funkce.
Linearita integrálu. Integrování per-partes.
První věta o substituci.
Druhá věta o substituci.
Příklady. Lepení primitivních funkcí.
p11 (10. listopadu) ↵
Poznámka o funkcích z R do C: limita, spojitost, derivace.
Poznámky o derivaci/integrálu funkce s komplexními hodnotami.
Rozklad polynomů.
Rozklad racionální funkce na parciální zlomky a jejich integrace.
Typové substituce.
(Nepřednášeno - samostudium, viz prezentace na úložišti.)
6. Hlubší vlastnosti derivace a spojitosti.
Funkce spojitá v bodě je omezená na nějakém okolí.
Funkce spojitá na omezeném a uzavřeném intervalu je na něm omezená.
Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném intervalu má zde maximum a minimum.
p12 (16. listopadu) ↵
Lokální a globální maximum a minimum.
Vztah derivace k extrému.
Věty o střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova.
Výpočet derivace limitou. Příklady.
p13 (23. listopadu) ↵
Lemma o lepení primitivní funkce.
Derivace spojité funkce má Darbouxovu vlastnost (bez důkazu).
Cauchyho věta o střední hodnotě.
l'Hospitalovo pravidlo. Příklady.
p14 (24. listopadu) ↵
l'Hospitalovo pravidlo - dokončení.
Znaménko derivace a monotonie.
Funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní.
Ekvivalentní vyjádření konvexity.
Monotonie derivace a konvexita.
Znaménko druhé derivace a konvexita.
Inflexní bod.
7. Posloupnosti.
Posloupnost. Limita posloupnosti.
Konvergentní posloupnost.
Ekvivalentní vyjádření limity.
p15 (30. listopadu) ↵
Bez důkazu: aritmetika limit, zachování nerovnosti,
věta o dvou policajtech pro posloupnosti.
Omezená a monotonní posloupnost.
Konvergentní posloupnost je omezená.
Monotonní posloupnost má vždy limitu; je-li navíc omezená, pak konverguje.
Hromadný bod posloupnosti. Posloupnost vybraná.
Ekvivalentní vyjádření hromadného bodu.
p16 (1. prosince) ↵
Bolzano-Weierstrassova věta:
každá omezená posloupnost má v R hromadný bod.
Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence.
p17 (7. prosince) ↵
Heineho věty: charakterizace limity v bodě, spojitosti v bodě,
charakterizace spojitosti v intervalu pomocí posloupností.
8. Taylorův polynom.
Derivace vyšších řádů. Funkce třídy C^n.
Malé ó, velké ó, řádová rovnost. Taylorův polynom funkce v bodě.
p18 (8. prosince) ↵
Aproximační vlastnost Taylorova polynomu.
Derivování a integrování Taylorova polynomu.
Příklady Taylorových rozvojů. Zobecněné kombinační číslo.
Operace s malým ó u nuly.
p19 (14. prosince) ↵
Výpočty limit pomocí Taylorova polynomu.
Odhad zbytku po Taylorově polynomu.
9. Riemannův integrál.
Určitý integrál: geometrický význam, očekávané vlastnosti.
p20 (15. prosince) ↵
Zobecněný přírustek funkce. Newtonův integrál.
Vlastnosti Newtonova integrálu (bez důkazu):
linearita, intervalová aditivita, vztah k nerovnosti.
Dělení intervalu. Horní a dolní součet,
horní a dolní Riemannův integrál.
Zjemnění dělení. Vlastnosti těchto pojmů.
Definice Riemannova integrálu.
Nutná a postačující podmínka existence R.i.
Monotonní, omezená funkce má R.i.
p21 (21. prosince) ↵
Názorný význam Riemannova integrálu.
Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném
intervalu je na něm stejnoměrně spojitá.
Spojitá funkce má Riemannův integrál.
Aproximace R.i. při rovnoměrném dělení intervalu.
Příklady: signum, Dirichletova funkce.
Linearita a intervalová aditivita R.i.
p22 (22. prosince) ↵
Monotonie R.i., odhad absolutní hodnoty.
Riemannův integrál s proměnnou horní mezí.
Důsledky: existence primitivní funkce pro spojitou funkci;
rovnost Newtonova a Riemannova integrálu pro spojitou funkci
na omezeném, uzavřeném intervalu; základní věta analýzy.
p23 (4. ledna) ↵
X. Úvod do teorie množin.
Definice: spočetná a nespočetná množina.
Kartézský součin, potenční množina.
Příklady spočetných množin.
Spočetné sjednocení spočetných množin je spočetná množina.
Množina reálných čísel je nespočetná;
množina všech podmnožin přirozených čísel je nespočetná.
Reprezentace přirozených čísel množinami.
Číslo: algebraické, konstruovatelné, transcendentní,
vyčíslitelné; vztahy mezi nimi. Existence nevyčíslitelných čísel.
p24 (5. ledna) ↵