Matematická analýza II

(LS 2022/23)

9. Určitý integrál -- dokončení.

Newtonův určitý integrál: základní vlastnosti (linearita, intervalová aditivita, monotonie). Per-partes a věta o substituci pro určitý integrál. p1 (15. února) ↵

10. Řady.

Řada, posloupnost částečných součtů, součet řady. Geometrická řada, harmonická řada. Terminologie: řada konverguje/diverguje/osciluje. Nutná podmínka konvergence řady. Změna konečně členů nemění konvergenci. p2 (16. února) ↵ Aritmetika řad. Řada s nezápornými členy konverguje, právě když posloupnost částečných součtů je omezená. Srovnávací kritérium (nelimitní verze). Podílové kritérium. Odmocninové kritérium (b.d.). Integrální kritérium. Příklady. p3 (22. února) ↵ Srovnávací kritérium (limitní verze). Raabeho kritérium. Řady s komplexními členy. Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence řady. Absolutní konvergence implikuje konvergenci. Leibnizovo kritérium (prozatím b.d.) p4 (23. února) ↵ Absolutně/neabsolutně konvergentní řada. Abelova parciální sumace. Dirichletovo a Abelovo kritérium. Omezenost částečných součtů ∑sin(kx), ∑cos(kx). p5 (1. března) ↵ Přerovnání absolutně konvergentní řady nemění součet. Neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat k libovolnému součtu. Cauchyův součin řad. p6 (2. března) ↵

11. Mocninné řady.

Mocninná řada - koeficienty, střed. Poloměr konvergence. Kruh konvergence, kružnice konvergence. Věty o výpočtu poloměru konvergence. Formální derivování/integrování řady člen po členu nemění poloměr konvergence. Věta o derivování mocninné řady člen po členu. Příklad: zavedení funkce exp. p7 (8. března) ↵ Důsledky: součet mocninné řady je funkce v kruhu konvergence nekonečně diferencovatelná (dokonce podle komplexní proměnné), a má zde primitivní funkci. Vztah mezi koeficienty mocninné řady a derivací jejího součtu. Taylorův polynom celého součtu je částečný součet. Analytické funkce. Dvě mocninné řady se stejným součtem mají stejné koeficienty. Zavedení funkcí exp, sin a cos mocninnou řadou; vztahy mezi nimi. p8 (9. března) ↵

12. Diferenciální rovnice.

ODR 1. řádu, speciálně rovnice vyřešená vzhledem k derivaci. Lineární ODR 1. řádu. Rovnice se separovanými proměnnými. Homogenní rovnice. Bernoulliho rovnice. Věty o lokální existenci a jednoznačnosti řešení (bez důkazu). p9 (15. března) ↵ Geometrický význam řešení. Bod větvení. Lemma o napojování řešení. Prodloužení řešení. Maximální řešení. Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu. Pojem řešení. Systém n rovnic 1. řádu vs. jedna rovnice řádu n, jejich vzájemné převedení (d'Alembertova transformace). Lineární rovnice řádu n. Věta o (globální) existenci a jednoznačnosti řešení (bez důkazu.) p10 (16. března) ↵ Operátorový zápis. Homogenní úloha. Struktura řešení lineární rovnice. Fundamentální systém (F.S.) Regularita Wronského matice. Partikulární řešení a jeho nalezení metodou variace konstant. Lineární rovnice s konstantními koeficienty. Charakteristický polynom. p11 (22. března) ↵ Polynom, kořen, násobnost - opakování. Nalezení F.S. pro rovnici s konstantními koeficienty. Příklady. p12 (23. března) ↵ Partikulární řešení pro speciální pravou stranu. Příklad. Poznámka o komplexních kořenech. Řešení soustavy lineárních rovnic s konstantními koeficienty převedením na jednu rovnici vyššího řádu. Eulerova rovnice, převedení na rovnici s konstantními koeficienty.

13. Metrické prostory.

Metrický prostor. Normovaný lineární prostor. Příklady. Okolí bodu. Otevřená a uzavřená množina. Zachování otevřenosti a uzavřenosti při průniku a sjednocení. p13 (29. března) ↵ Limita posloupnosti. Ekvivalentní vyjádření uzavřenosti pomocí limit posloupnosti. Uzávěr množiny a jeho vlastnosti. p14 (30. března) ↵ Hranice množiny a její vlastnosti. Příklady. Normovaný prostor jako speciální případ metrického prostoru. Různé normy v R^k. Vnitřek a vnějšek množiny; doplňující poznámky bez důkazů. Spojitost funkce. Definice, vyjádření pomocí otevřenosti/uzavřenosti vzorů. p15 (5. dubna) ↵ Heineho charakterizace spojitosti. (Bez důkazu: složení spojitých funkcí je spojitá funkce. Součet, rozdíl, součin a podíl reálných spojitých funkcí je spojitá funkce. Limita funkce v bodě; izolovaný bod, hromadný bod. Heineho charakterizace limity funkce v bodě. Spojitost funkce v bodě, její vztah k limitě.) Omezená množina. Kompaktní množina a její vlastnosti. p16 (6. dubna) ↵ Posloupnost, podposloupnost, hromadný bod. Spojitý obraz kompaktu je kompakt. Spojitá reálná funkce na kompaktu je zde omezená a nabývá maxima a minima. Cauchyovská posloupnost. Konvergentní posloupnost je Cauchyovská. Pojem: úplný metrický prostor. Lipschitzovské zobrazení, kontrakce. Banachova věta o pevném bodě. p17 (12. dubna) ↵ --- Fakta, týkající se speciálně R^n: Opakování: skalární součin, pomocí něj vytvořená norma. Cauchy-Schwartzova nerovnost. Posloupnost bodů v R^N konverguje v normě, právě když konvergují jednotlivé složky. Množina v R^N je kompaktní, právě když je omezená a uzavřená. Prostor R^N je úplný. Banachův a Hilbertův prostor.

14. Funkce více proměnných.

Skalární součin, norma a metrika v R^N. Spojitost funkcí funkcí z R^N do R^M. Příklady: lineární funkce, polynomy jsou spojité. Parciální derivace, derivace ve směru. Nespojitá funkce, mající parciální derivace. p18 (13. dubna) ↵ Existence t.d. implikuje spojitost a existence derivací ve směru. Reprezentace t.d. gradientem. Omezenost parc. derivací implikuje spojitost funkce, spojitost parc. derivací implikuje existenci t.d. Řetízkové pravidlo. p19 (19. dubna) ↵ Totální diferenciál součtu a složeného zobrazení. Záměna proměnných. Příklad: gradient v kartézských a polárních souřadnicích. Uzavřená o otevřená úsečku v R^N. Konvexní množina. Věta o střední hodnotě ve více proměnných. Derivace vyšších řádů. Funkce třídy C^k. p20 (20. dubna) ↵ Záměnnost pořadí parciálních derivací. Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu. Exaktní rovnice. Integrační faktor. Převedení na obyčejnou rovnici. Taylorův rozvoj funkce více proměnných 2. řádu včetně tvaru zbytku. Multiindex a rozvoje obecně n-tého řádu. Multinomická věta (bez důkazu). Lokální a globální extrém funkce vzhledem k množině. Nutná podmínka extrému vůči kruhovému okolí. p21 (26. dubna) ↵ Kvadratická forma, definitnost formy, Sylvestrovo pravidlo. Hessova matice. Postačující podmínka na lokální extrém. Geometrická interpretace gradientu: vrstevnice, spádnice. Vázané extrémy, věta o Lagrangeových multiplikátorech (jedna vazba). p22 (27. dubna) ↵ Existence globálních extrémů. Věta o Lagrangeových multiplikátorech -- více vazeb (bez důkazu). Věta o implicitní funkci -- 1. verze. Věta o implicitní funkci -- obecná verze (bez důkazu). p23 (3. května) ↵ Důkaz věty o implicitní funkce (s jednou rovnicí). Důkaz věty o multiplikátorech (s jednou vazbou). p24 (4. května) ↵ VoIF - příklady, náčrt důkazu. Věta o inverzní funkci (bez důkazu). p25 (11. května) ↵

15. Variační počet.

Variační počet: motivační úlohy. Základní úloha variačního počtu. Prostory funkcí C, C^1 a C^1_0. Gateauxův a Fréchetův diferenciál. Diracova funkce a její aproximace. p26 (17. května) ↵ Konstrukce seřezávací funkce. Euler-Lagrangeova rovnice úlohy (U). Extremála. Příklady. Tvrzení o minimu konvexního funkcionálu. p27 (18. května) ↵