Matematická analýza II
(LS 2022/23)
9. Určitý integrál -- dokončení.
Newtonův určitý integrál: základní vlastnosti
(linearita, intervalová aditivita, monotonie).
Per-partes a věta o substituci pro určitý integrál.
p1 (15. února) ↵
10. Řady.
Řada, posloupnost částečných součtů, součet řady. Geometrická řada, harmonická řada. Terminologie: řada konverguje/diverguje/osciluje. Nutná podmínka konvergence řady. Změna konečně členů nemění konvergenci.
p2 (16. února) ↵
Aritmetika řad.
Řada s nezápornými členy konverguje, právě když posloupnost částečných součtů je omezená. Srovnávací kritérium (nelimitní verze).
Podílové kritérium. Odmocninové kritérium (b.d.).
Integrální kritérium. Příklady.
p3 (22. února) ↵
Srovnávací kritérium (limitní verze).
Raabeho kritérium. Řady s komplexními členy.
Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence řady.
Absolutní konvergence implikuje konvergenci.
Leibnizovo kritérium (prozatím b.d.)
p4 (23. února) ↵
Absolutně/neabsolutně konvergentní řada.
Abelova parciální sumace.
Dirichletovo a Abelovo kritérium.
Omezenost částečných součtů ∑sin(kx), ∑cos(kx).
p5 (1. března) ↵
Přerovnání absolutně konvergentní řady nemění součet. Neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat k libovolnému součtu. Cauchyův součin řad.
p6 (2. března) ↵
11. Mocninné řady.
Mocninná řada - koeficienty, střed. Poloměr konvergence.
Kruh konvergence, kružnice konvergence.
Věty o výpočtu poloměru konvergence.
Formální derivování/integrování řady člen po členu nemění poloměr konvergence.
Věta o derivování mocninné řady člen po členu.
Příklad: zavedení funkce exp.
p7 (8. března) ↵
Důsledky: součet mocninné řady je funkce v kruhu konvergence
nekonečně diferencovatelná (dokonce podle komplexní proměnné),
a má zde primitivní funkci.
Vztah mezi koeficienty mocninné řady a derivací jejího součtu.
Taylorův polynom celého součtu je částečný součet.
Analytické funkce.
Dvě mocninné řady se stejným součtem mají stejné koeficienty.
Zavedení funkcí exp, sin a cos mocninnou řadou; vztahy mezi nimi.
p8 (9. března) ↵
12. Diferenciální rovnice.
ODR 1. řádu, speciálně rovnice vyřešená vzhledem k derivaci.
Lineární ODR 1. řádu.
Rovnice se separovanými proměnnými.
Homogenní rovnice. Bernoulliho rovnice.
Věty o lokální existenci a jednoznačnosti řešení (bez důkazu).
p9 (15. března) ↵
Geometrický význam řešení. Bod větvení.
Lemma o napojování řešení.
Prodloužení řešení. Maximální řešení.
Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu. Pojem řešení.
Systém n rovnic 1. řádu vs. jedna rovnice řádu n,
jejich vzájemné převedení (d'Alembertova transformace).
Lineární rovnice řádu n.
Věta o (globální) existenci a jednoznačnosti řešení (bez důkazu.)
p10 (16. března) ↵
Operátorový zápis. Homogenní úloha.
Struktura řešení lineární rovnice.
Fundamentální systém (F.S.) Regularita Wronského matice.
Partikulární řešení a jeho nalezení metodou variace konstant.
Lineární rovnice s konstantními koeficienty.
Charakteristický polynom.
p11 (22. března) ↵
Polynom, kořen, násobnost - opakování.
Nalezení F.S. pro rovnici s konstantními koeficienty.
Příklady.
p12 (23. března) ↵
Partikulární řešení pro speciální pravou stranu.
Příklad. Poznámka o komplexních kořenech.
Řešení soustavy lineárních rovnic
s konstantními koeficienty převedením na jednu
rovnici vyššího řádu.
Eulerova rovnice, převedení na rovnici s konstantními koeficienty.
13. Metrické prostory.
Metrický prostor. Normovaný lineární prostor. Příklady.
Okolí bodu. Otevřená a uzavřená množina.
Zachování otevřenosti a uzavřenosti při průniku a sjednocení.
p13 (29. března) ↵
Limita posloupnosti. Ekvivalentní vyjádření uzavřenosti
pomocí limit posloupnosti.
Uzávěr množiny a jeho vlastnosti.
p14 (30. března) ↵
Hranice množiny a její vlastnosti. Příklady.
Normovaný prostor jako speciální případ metrického prostoru.
Různé normy v R^k.
Vnitřek a vnějšek množiny; doplňující poznámky bez důkazů.
Spojitost funkce. Definice, vyjádření pomocí otevřenosti/uzavřenosti vzorů.
p15 (5. dubna) ↵
Heineho charakterizace spojitosti.
(Bez důkazu: složení spojitých funkcí je spojitá funkce.
Součet, rozdíl, součin a podíl reálných spojitých funkcí
je spojitá funkce.
Limita funkce v bodě; izolovaný bod, hromadný bod.
Heineho charakterizace limity funkce v bodě.
Spojitost funkce v bodě, její vztah k limitě.)
Omezená množina. Kompaktní množina a její vlastnosti.
p16 (6. dubna) ↵
Posloupnost, podposloupnost, hromadný bod.
Spojitý obraz kompaktu je kompakt.
Spojitá reálná funkce na kompaktu je zde omezená
a nabývá maxima a minima.
Cauchyovská posloupnost.
Konvergentní posloupnost je Cauchyovská.
Pojem: úplný metrický prostor.
Lipschitzovské zobrazení, kontrakce.
Banachova věta o pevném bodě.
p17 (12. dubna) ↵
--- Fakta, týkající se speciálně R^n:
Opakování: skalární součin, pomocí něj vytvořená norma.
Cauchy-Schwartzova nerovnost.
Posloupnost bodů v R^N konverguje v normě, právě když
konvergují jednotlivé složky.
Množina v R^N je kompaktní, právě když je omezená a uzavřená.
Prostor R^N je úplný. Banachův a Hilbertův prostor.
14. Funkce více proměnných.
Skalární součin, norma a metrika v R^N.
Spojitost funkcí funkcí z R^N do R^M.
Příklady: lineární funkce, polynomy jsou spojité.
Parciální derivace, derivace ve směru.
Nespojitá funkce, mající parciální derivace.
p18 (13. dubna) ↵
Existence t.d. implikuje spojitost a existence derivací ve směru.
Reprezentace t.d. gradientem.
Omezenost parc. derivací implikuje spojitost funkce,
spojitost parc. derivací implikuje existenci t.d.
Řetízkové pravidlo.
p19 (19. dubna) ↵
Totální diferenciál součtu a složeného zobrazení.
Záměna proměnných. Příklad:
gradient v kartézských a polárních souřadnicích.
Uzavřená o otevřená úsečku v R^N. Konvexní množina.
Věta o střední hodnotě ve více proměnných.
Derivace vyšších řádů. Funkce třídy C^k.
p20 (20. dubna) ↵
Záměnnost pořadí parciálních derivací.
Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.
Exaktní rovnice. Integrační faktor.
Převedení na obyčejnou rovnici.
Taylorův rozvoj funkce více proměnných 2. řádu včetně tvaru zbytku.
Multiindex a rozvoje obecně n-tého řádu.
Multinomická věta (bez důkazu).
Lokální a globální extrém funkce vzhledem k množině.
Nutná podmínka extrému vůči kruhovému okolí.
p21 (26. dubna) ↵
Kvadratická forma, definitnost formy, Sylvestrovo pravidlo.
Hessova matice. Postačující podmínka na lokální extrém.
Geometrická interpretace gradientu: vrstevnice, spádnice.
Vázané extrémy, věta o Lagrangeových multiplikátorech (jedna vazba).
p22 (27. dubna) ↵
Existence globálních extrémů.
Věta o Lagrangeových multiplikátorech -- více vazeb (bez důkazu).
Věta o implicitní funkci -- 1. verze.
Věta o implicitní funkci -- obecná verze (bez důkazu).
p23 (3. května) ↵
Důkaz věty o implicitní funkce (s jednou rovnicí).
Důkaz věty o multiplikátorech (s jednou vazbou).
p24 (4. května) ↵
VoIF - příklady, náčrt důkazu.
Věta o inverzní funkci (bez důkazu).
p25 (11. května) ↵
15. Variační počet.
Variační počet: motivační úlohy. Základní úloha
variačního počtu. Prostory funkcí C, C^1 a C^1_0.
Gateauxův a Fréchetův diferenciál.
Diracova funkce a její aproximace.
p26 (17. května) ↵
Konstrukce seřezávací funkce.
Euler-Lagrangeova rovnice úlohy (U).
Extremála. Příklady. Tvrzení o minimu
konvexního funkcionálu.
p27 (18. května) ↵