Matematika pro fyziky II

(LS 2023/24)

21. Fourierovy řady.

Trigonometrická řada. Ortogonalita trigonometrického systému. Prostory L^p_{per}. Fourierovy koeficienty a Fourierova řada funkce. Komplexní tvar Fourierovy řady. Parsevalova rovnost (formální důkaz). p(-02) (8. ledna) ↵ Funkce po částech spojité a po částech C^N. Věta o konvergenci Fourierovy řady (zatím b.d.). Příklad. Dirichletovo jádro; integrální tvar Fourierovy řady. Riemann-Lebesgueovo lemma. Aproximace L^1 funkcí hladkou funkcí (b.d.) p(-01) (9. ledna) ↵ Opakování dosavadní látky. Po částech spojité funkce jsou L^1. Důkaz věty o konvergenci Fourierovy řady. Rimannův princip lokalizace. Příklad: suma sin(kx)/k. Fourierovy řady pro obecně l-periodické funkce. p01 (19. února) ↵ Poznámky o rovnosti funkce a její Fourierovy řady. Vztahy mezi hladkostí funkce a rychlostí poklesu Fourierových koeficientů. Integrování Fourierovy řady. p02 (21. února) ↵ Důsledky: jednoznačný vztah mezi funkcí a Fourierovými koeficienty.

22. Abstraktní Fourierovy řady.

Definice prostorů L^p. Youngova, Holderova a Minkowského nerovnost. Důsledek: trojúhelníková nerovnost v prostorech L^p. p03 (26. února) ↵ Tvrzení o úplnnosti prostorů L^p - náčrt důkazu. Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Absolutní konvergence v Banachově prostoru implikuje konvergenci (bez důkazu). Lemma o spojitosti normy a skalárního součinu. Tvrzení o hustotě hladkých funkcí v L^p prostorech (bez důkazu). p04 (28. února) ↵ Ortogonální a ortonormální systémy. Příklady. Abstraktní Fourierova řada; tvar Fourierových koeficientů. Věta o konvergenci. Besselova (ne)rovnost. Úplný OG systém. Ekvivalentní vyjádření úplnosti. Věta o nejlepší aproximaci. p05 (4. března) ↵

23. Komplexní analýza.

Komplexní číslo. Reálná a imaginární část, číslo komplexně sdružené, absolutní hodnota. Ztotožnění Gaussovy roviny a R^2. Komplexní nekonečno: početní vlastnosti. Příklady komplexních funkcí: polynomy, racionální funkce, exponenciála, goniometrické funkce. Komplexní logaritmus, argument. Hlavní hodnota logaritmu a argumentu. Obecná mocnina. Derivace komplexní funkce - definice a základní vlastnosti. Holomorfní funkce. Cauchy-Riemannovy podmínky. Opakování: mocninná řada, poloměr konvergence. Součet mocninné řady lze v kruhu konvergence derivovat člen po členu, spec. její součet je zde holomorfní. Laurentova řada jako zobecnění mocninné řady. Hlavní a regulární část Laurentovy řady. Věta o konvergenci a holomorfnosti Laurentovy řady v tzv. mezikruží konvergence. p06 (6. března) ↵ Důsledky C.-R. podmínek: vrstevnice reálné a imaginární části holomorfní funkce jsou vzájemně kolmé. Definice křivky v C. Křivka jednoduchá, uzavřená, jednoduchá uzavřená (= Jordanova křivka.) Vnitřek a vnějšek Jordanovy křivky. Počáteční a koncový bod křivky. Integrál funkce podél křivky v C. Délka křivky. Poznámky o vlastnostech a výpočtu integrálu komplexní funkce. Cauchyho věta - důkaz verze 1 (pomocí Greena/Gausse). p07 (11. března) ↵ Jordanova věta. Souvislá a jednoduše souvislá množina v C. Součet křivek a křivka opačná. Vlastnosti křivkového integrálu v C. Cauchyho věta - důkaz verze 2 (pro trojúhelník). p08 (13. března) ↵ Příklad: výpočet Fresnelových integrálů. Definice: izolovaná singularita, reziduum funkce v bodě. Reziduová věta, pravidla pro výpočet rezidua (zatím b.d.) Další příklady výpočtu (typových) integrálů. p09 (18. března) ↵ Lemma o velké půlkružnici. Lemma o malé (půl)kružnici. Cauchyho vzorec. p10 (20. března) ↵ Důsledky: holomorfní funkce je nutně nekonečně diferencovatelná a je jednoznačně určena hodnotami na hranici. Liouvilleova věta. Základní věta algebry. Věta o existenci a jednoznačnosti Laurentova rozvoje. p11 (25. března) ↵ Taylorův rozvoj holomorfní funkce. Izolovaná singularita, reziduum funkce. Reziduová věta. Pravidla pro výpočet rezidua. Typy izolovaných singularit: odstranitelná singularita, pól, podstatná singularita. Charakterizace těchto singularit (b.d.) p12 (27. března) ↵ Hustá množina. Hromadný bod množiny. Věta o jednoznačnosti (b.d.)

24. Fourierova transformace.

Definice F.t., definice inverzní F.t. Základní vlastnosti F.t. (škálování a posunutí argumentu.) p13 (3. dubna) ↵ Příklad: čtvercová funkce, Dirac. Zachování symetrie při F.t. Přehled prostorů funkcí: L^1, C, C_b, C_o, C_c. F.t. jako zobrazení z L^1 do C_b. Vztah F.t. a derivace. p14 (8. dubna) ↵ Příklad: F.t. laplaciánu. Hustota nekonečně hladkých funkcí v L^1 (bez důkazu.) Limita F.t. v nekonečnu. Nosič funkce. Mají-li f i její F.t. omezený nosič, je nutně f=0. Vyjádření derivací, polynomů pomocí multiindexu. Zobecnění věty o vztahu derivace a F.t. p15 (10. dubna) ↵ Schwartzův prostor rychle klesajících funkcí a jeho základní vlastnosti. Lemma o integraci radiálních funkcí (b.d.). Gausián a jeho F.t. F.t. zobrazuje Schwartzův prostor do sebe. p16 (15. dubna) ↵ Konvoluce. Základní odhady konvoluce. F.t. konvoluce. Aplikace konvoluce - Dirac coby jednotkový prvek. Lemma o aproximaci Diracovy funkce. Formulace věty o inverzi Fourierovy transformace. p17 (17. dubna) ↵ Důkaz předchozí věty. Důsledky: F.t. zobrazuje S na sebe vzájemně jednoznačně. Lemma o přehození F.t. Placherelova rovnost. Zavedení F.t. v L^2 a jeho vlastnosti (b.d.) p18 (22. dubna) ↵ Poznámky o výpočtu. Poznámky k náhodným veličinám a jejich vztahu k F.t. Princip neurčitosti pro F.t. Heisenbergova věta. p19 (24. dubna) ↵

25. Teorie distribucí.

Úvodní poznámky o nevýhodách ,,bodového`` chápání funkcí. Motivace: dualita, funkcionál. Opakování: nosič funkce, multiindex. Prostor testovacích funkcí; konvergence. Definice distribuce. Příklady: regulární distribuce, Diracova distribuce. Vnoření lokálně integrovatelných funkcí do prostoru distribucí. Gaussova formule a integrace per-partes v R^n. Lemma o přehození derivace. Derivace distribucí. p20 (29. dubna) ↵ Lineární vlastnosti prostoru distribucí. Konvergence v prostoru distribucí. L^p funkce a míry jako distribuce. Lemma o spojitosti duálního zobrazení. Lineární záměna proměnné u distribucí. Spojitost distributivní derivace. p21 (6. května) ↵ Příklady záměny proměnné v distribuci. Hlavní hodnota (v.p.) integrálu. Distributivní derivace po částech C^1 funkce. Distribuce v.p.(1/x). Fundamentální řešení. Příklad: Poissonova rovnice. p22 (13. května) ↵ Příklady konvergence ve smyslu distribucí. Vnoření prostorů. Opakování: Schwartzův prostor ,,rychle klesajících funkcí``, konvergence. Spojitost ve Schwartzově prostoru. Temperované distribuce v R^n. Fourierova transformace temperovaných distribucí. p23 (15. května) ↵ Vztah „obyčejných” a temperovaných distribucí. Příklady: F.t. Diraca, v.p.1/x. F.t. je spojité, vzájemně jednoznačné zobrazení temperovaných distribucí na sebe. Inverzní F.t. distribucí. Součin hladké funkce a distribuce. Poznámky k Schwartzovu výsledku o nemožnosti. p24 (20. května) ↵ Distribuce s nulovou derivací. Nulová množina distribuce; nosič distribuce. Komplexně sdružená distribuce; sudá, lichá a radiální distribuce. Vlastnosti F.t. (posun argumentu, derivace, zachování symetrie) pro temperované distribuce. Příklady: F.t. Heavisideovy funkce; Sochockého formule. p25 (22. května) ↵