Matematika pro fyziky II
(LS 2023/24)
21. Fourierovy řady.
Trigonometrická řada. Ortogonalita trigonometrického systému.
Prostory L^p_{per}. Fourierovy koeficienty a Fourierova řada funkce.
Komplexní tvar Fourierovy řady. Parsevalova rovnost (formální důkaz).
p(-02) (8. ledna) ↵
Funkce po částech spojité a po částech C^N.
Věta o konvergenci Fourierovy řady (zatím b.d.).
Příklad. Dirichletovo jádro; integrální tvar Fourierovy řady.
Riemann-Lebesgueovo lemma. Aproximace L^1 funkcí hladkou funkcí (b.d.)
p(-01) (9. ledna) ↵
Opakování dosavadní látky. Po částech spojité funkce jsou L^1.
Důkaz věty o konvergenci Fourierovy řady.
Rimannův princip lokalizace.
Příklad: suma sin(kx)/k. Fourierovy řady pro obecně l-periodické funkce.
p01 (19. února) ↵
Poznámky o rovnosti funkce a její Fourierovy řady.
Vztahy mezi hladkostí funkce a rychlostí poklesu
Fourierových koeficientů. Integrování Fourierovy řady.
p02 (21. února) ↵
Důsledky: jednoznačný vztah mezi funkcí a Fourierovými koeficienty.
22. Abstraktní Fourierovy řady.
Definice prostorů L^p. Youngova, Holderova a Minkowského nerovnost.
Důsledek: trojúhelníková nerovnost v prostorech L^p.
p03 (26. února) ↵
Tvrzení o úplnnosti prostorů L^p - náčrt důkazu.
Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor.
Absolutní konvergence v Banachově prostoru implikuje konvergenci (bez důkazu).
Lemma o spojitosti normy a skalárního součinu.
Tvrzení o hustotě hladkých funkcí v L^p prostorech (bez důkazu).
p04 (28. února) ↵
Ortogonální a ortonormální systémy. Příklady.
Abstraktní Fourierova řada; tvar Fourierových koeficientů.
Věta o konvergenci. Besselova (ne)rovnost.
Úplný OG systém. Ekvivalentní vyjádření úplnosti.
Věta o nejlepší aproximaci.
p05 (4. března) ↵
23. Komplexní analýza.
Komplexní číslo. Reálná a imaginární část, číslo komplexně sdružené,
absolutní hodnota. Ztotožnění Gaussovy roviny a R^2. Komplexní
nekonečno: početní vlastnosti. Příklady komplexních funkcí: polynomy,
racionální funkce, exponenciála, goniometrické funkce. Komplexní
logaritmus, argument. Hlavní hodnota logaritmu a argumentu. Obecná mocnina.
Derivace komplexní funkce - definice a základní vlastnosti.
Holomorfní funkce. Cauchy-Riemannovy podmínky.
Opakování: mocninná řada, poloměr konvergence. Součet
mocninné řady lze v kruhu konvergence derivovat člen po členu, spec.
její součet je zde holomorfní. Laurentova řada jako zobecnění
mocninné řady. Hlavní a regulární část Laurentovy řady. Věta o
konvergenci a holomorfnosti Laurentovy řady v tzv. mezikruží
konvergence.
p06 (6. března) ↵
Důsledky C.-R. podmínek: vrstevnice reálné a imaginární části
holomorfní funkce jsou vzájemně kolmé.
Definice křivky v C. Křivka jednoduchá, uzavřená,
jednoduchá uzavřená (= Jordanova křivka.) Vnitřek a vnějšek Jordanovy křivky.
Počáteční a koncový bod křivky. Integrál funkce podél křivky v C.
Délka křivky.
Poznámky o vlastnostech a výpočtu integrálu komplexní funkce.
Cauchyho věta - důkaz verze 1 (pomocí Greena/Gausse).
p07 (11. března) ↵
Jordanova věta. Souvislá a jednoduše souvislá množina v C.
Součet křivek a křivka opačná. Vlastnosti křivkového integrálu v C.
Cauchyho věta - důkaz verze 2 (pro trojúhelník).
p08 (13. března) ↵
Příklad: výpočet Fresnelových integrálů.
Definice: izolovaná singularita, reziduum funkce v bodě.
Reziduová věta, pravidla pro výpočet rezidua (zatím b.d.)
Další příklady výpočtu (typových) integrálů.
p09 (18. března) ↵
Lemma o velké půlkružnici. Lemma o malé (půl)kružnici.
Cauchyho vzorec.
p10 (20. března) ↵
Důsledky: holomorfní funkce je nutně nekonečně diferencovatelná
a je jednoznačně určena hodnotami na hranici.
Liouvilleova věta. Základní věta algebry.
Věta o existenci a jednoznačnosti Laurentova rozvoje.
p11 (25. března) ↵
Taylorův rozvoj holomorfní funkce.
Izolovaná singularita, reziduum funkce. Reziduová věta.
Pravidla pro výpočet rezidua.
Typy izolovaných singularit:
odstranitelná singularita, pól, podstatná
singularita. Charakterizace těchto singularit (b.d.)
p12 (27. března) ↵
Hustá množina. Hromadný bod množiny. Věta o jednoznačnosti (b.d.)
24. Fourierova transformace.
Definice F.t., definice inverzní F.t.
Základní vlastnosti F.t. (škálování a posunutí argumentu.)
p13 (3. dubna) ↵
Příklad: čtvercová funkce, Dirac.
Zachování symetrie při F.t.
Přehled prostorů funkcí: L^1, C, C_b, C_o, C_c.
F.t. jako zobrazení z L^1 do C_b.
Vztah F.t. a derivace.
p14 (8. dubna) ↵
Příklad: F.t. laplaciánu. Hustota nekonečně hladkých
funkcí v L^1 (bez důkazu.) Limita F.t. v nekonečnu. Nosič funkce.
Mají-li f i její F.t. omezený nosič, je nutně f=0. Vyjádření
derivací, polynomů pomocí multiindexu. Zobecnění věty o vztahu
derivace a F.t.
p15 (10. dubna) ↵
Schwartzův prostor rychle klesajících funkcí a jeho
základní vlastnosti. Lemma o integraci radiálních funkcí (b.d.).
Gausián a jeho F.t.
F.t. zobrazuje Schwartzův prostor do sebe.
p16 (15. dubna) ↵
Konvoluce. Základní odhady konvoluce. F.t. konvoluce.
Aplikace konvoluce - Dirac coby jednotkový prvek.
Lemma o aproximaci Diracovy funkce.
Formulace věty o inverzi Fourierovy transformace.
p17 (17. dubna) ↵
Důkaz předchozí věty.
Důsledky: F.t. zobrazuje S na sebe vzájemně jednoznačně.
Lemma o přehození F.t. Placherelova rovnost.
Zavedení F.t. v L^2 a jeho vlastnosti (b.d.)
p18 (22. dubna) ↵
Poznámky o výpočtu. Poznámky k náhodným veličinám
a jejich vztahu k F.t. Princip neurčitosti pro F.t.
Heisenbergova věta.
p19 (24. dubna) ↵
25. Teorie distribucí.
Úvodní poznámky o nevýhodách ,,bodového`` chápání funkcí.
Motivace: dualita, funkcionál.
Opakování: nosič funkce, multiindex.
Prostor testovacích funkcí; konvergence.
Definice distribuce.
Příklady: regulární distribuce, Diracova distribuce.
Vnoření lokálně integrovatelných funkcí
do prostoru distribucí.
Gaussova formule a integrace per-partes v R^n.
Lemma o přehození derivace. Derivace distribucí.
p20 (29. dubna) ↵
Lineární vlastnosti prostoru distribucí.
Konvergence v prostoru distribucí.
L^p funkce a míry jako distribuce.
Lemma o spojitosti duálního zobrazení.
Lineární záměna proměnné u distribucí.
Spojitost distributivní derivace.
p21 (6. května) ↵
Příklady záměny proměnné v distribuci.
Hlavní hodnota (v.p.) integrálu.
Distributivní derivace po částech C^1 funkce.
Distribuce v.p.(1/x). Fundamentální řešení.
Příklad: Poissonova rovnice.
p22 (13. května) ↵
Příklady konvergence ve smyslu distribucí.
Vnoření prostorů. Opakování: Schwartzův prostor
,,rychle klesajících funkcí``, konvergence.
Spojitost ve Schwartzově prostoru.
Temperované distribuce v R^n.
Fourierova transformace temperovaných distribucí.
p23 (15. května) ↵
Vztah „obyčejných” a temperovaných distribucí.
Příklady: F.t. Diraca, v.p.1/x.
F.t. je spojité, vzájemně jednoznačné zobrazení
temperovaných distribucí na sebe. Inverzní F.t. distribucí.
Součin hladké funkce a distribuce.
Poznámky k Schwartzovu výsledku o nemožnosti.
p24 (20. května) ↵
Distribuce s nulovou derivací.
Nulová množina distribuce; nosič distribuce.
Komplexně sdružená distribuce; sudá, lichá a radiální distribuce.
Vlastnosti F.t. (posun argumentu, derivace, zachování
symetrie) pro temperované distribuce.
Příklady: F.t. Heavisideovy funkce; Sochockého formule.
p25 (22. května) ↵