Rovnice matematické fyziky (NOFY163)

(ZS 2024/25)

I. Laplaceova rovnice

Laplacián. Harmonické funkce. Slabý princip maxima. Důsledek: jednoznačnosti řešení Poissonovy úlohy. Průměrové integrály. Lemma o sférických průměrech. Vlastnost průměru harmonické funkce (začátek důkazu). p01 (30. září) ↵ Vlastnost průměru - dokončení. Obrácená implikace. Poznámky k průměrovým integrálům; co-area formula. Silný princip maxima. Harnackova nerovnost. Liouvilleova věta. Poznámky k hledání integrovatelné majoranty (typicky konstanta na kompaktu). p02 (7. října) ↵ Greenovy vztahy. Nezápornost vlastních čísel laplaciánu. Konformní zobrazení a jeho souvislost s Laplaceovou rovnicí. Odvození Poissonova jádra pro poloprostor. p03 (14. října) ↵ Fundamentální řešení Poissonovy rovnice. Věta o třech potenciálech a její důsledky. Greenova funkce. Příklady nalezení korektoru (poloprostor, koule). p04 (21. října) ↵ Kelvinova transformace. Závěrečné poznámky k jednoznačnosti.

II. Rovnice vedení tepla

Počáteční a okrajová (Dirichletova nebo Neumannova) podmínka. Parabolický válec, parabolická hranice. Klasické řešení. Princip maxima pro omezenou oblast a pro Cauchyho úlohu. p05 (4. listopadu) ↵ Ekvivalentní formulace principu maxima. Důsledek: jednoznačnost řešení pro RVT (Cauchy / Dirichlet). Energetická rovnost pro RVT. Log-konvexita energie. Důsledky: dopředná a zpětná jednoznačnost. Fundamentální řešení aneb tepelné jádro. Tichonovovův příklad nejednoznačnosti. p06 (11. listopadu) ↵ Příklad „blow-upu” řešení pro neomezenou počáteční podmínku. Fundamentální řešení pro lineární ODR s konst. koef. Příklady. Vlastnosti (+odvození) tepelného jádra. Řešení Cauchyho úlohy pro RVT pomocí konvoluce s tepelným jádrem (zatím b.d.) p07 (18. listopadu) ↵ Důkaz výše uvedené věty. p08 (25. listopadu) ↵

III. Vlnová rovnice

Formulace (VR) včetně počátečních a okrajových dat. Uhodnutí řešení pro Cauchyho úlohu (d'Alembertův vzorec pro d=1). Energetická rovnost. Princip šíření vlny. p09 (2. prosince) ↵ Důsledek: dopředná i zpětná jednoznačnost klasického řešení. Poznámka k řešení VR separací proměnných (tj. rozvojem do vlastních funkcí laplaciánu pro omezené oblasti.) Cauchyho úloha. Fundamentální řešení v dimenzi 1. Vyjádření klasického řešení pomocí konvoluce k f.ř. (b.d.) p10 (9. prosince) ↵ Fourierova transformace sférické míry. Fundamentální řešení vlnové rovnice v dimenzi 2 a 3. Příklady. p11 (16. prosince) ↵

IV. Rovnice prvního řádu.

Definice: lineární, kvazilineární, homogenní úloha. Charakteristické křivky a jejich vztah k řešení. Necharakteristická nadplocha s počáteční podmínkou. Lokální existence řešení (b.d.) Příklady. p12 (6. ledna) ↵