Rovnice matematické fyziky (NOFY163)
(ZS 2024/25)
I. Laplaceova rovnice
Laplacián. Harmonické funkce. Slabý princip maxima.
Důsledek: jednoznačnosti řešení Poissonovy úlohy.
Průměrové integrály. Lemma o sférických průměrech.
Vlastnost průměru harmonické funkce (začátek důkazu).
p01 (30. září) ↵
Vlastnost průměru - dokončení. Obrácená implikace.
Poznámky k průměrovým integrálům; co-area formula.
Silný princip maxima. Harnackova nerovnost.
Liouvilleova věta.
Poznámky k hledání integrovatelné majoranty
(typicky konstanta na kompaktu).
p02 (7. října) ↵
Greenovy vztahy. Nezápornost vlastních čísel laplaciánu.
Konformní zobrazení a jeho souvislost s Laplaceovou rovnicí.
Odvození Poissonova jádra pro poloprostor.
p03 (14. října) ↵
Fundamentální řešení Poissonovy rovnice.
Věta o třech potenciálech a její důsledky.
Greenova funkce. Příklady nalezení korektoru
(poloprostor, koule).
p04 (21. října) ↵
Kelvinova transformace. Závěrečné poznámky
k jednoznačnosti.
II. Rovnice vedení tepla
Počáteční a okrajová (Dirichletova nebo Neumannova) podmínka.
Parabolický válec, parabolická hranice. Klasické řešení.
Princip maxima pro omezenou oblast a pro Cauchyho úlohu.
p05 (4. listopadu) ↵
Ekvivalentní formulace principu maxima.
Důsledek: jednoznačnost řešení pro RVT (Cauchy / Dirichlet).
Energetická rovnost pro RVT. Log-konvexita energie.
Důsledky: dopředná a zpětná jednoznačnost.
Fundamentální řešení aneb tepelné jádro.
Tichonovovův příklad nejednoznačnosti.
p06 (11. listopadu) ↵
Příklad „blow-upu” řešení pro neomezenou počáteční podmínku.
Fundamentální řešení pro lineární ODR s konst. koef. Příklady.
Vlastnosti (+odvození) tepelného jádra. Řešení Cauchyho úlohy pro RVT
pomocí konvoluce s tepelným jádrem (zatím b.d.)
p07 (18. listopadu) ↵
Důkaz výše uvedené věty.
p08 (25. listopadu) ↵
III. Vlnová rovnice
Formulace (VR) včetně počátečních a okrajových dat.
Uhodnutí řešení pro Cauchyho úlohu (d'Alembertův vzorec pro d=1).
Energetická rovnost. Princip šíření vlny.
p09 (2. prosince) ↵
Důsledek: dopředná i zpětná jednoznačnost klasického řešení.
Poznámka k řešení VR separací proměnných (tj. rozvojem do
vlastních funkcí laplaciánu pro omezené oblasti.)
Cauchyho úloha. Fundamentální řešení v dimenzi 1.
Vyjádření klasického řešení pomocí konvoluce k f.ř. (b.d.)
p10 (9. prosince) ↵
Fourierova transformace sférické míry.
Fundamentální řešení vlnové rovnice v dimenzi 2 a 3.
Příklady.
p11 (16. prosince) ↵
IV. Rovnice prvního řádu.
Definice: lineární, kvazilineární, homogenní úloha.
Charakteristické křivky a jejich vztah k řešení.
Necharakteristická nadplocha s počáteční podmínkou.
Lokální existence řešení (b.d.) Příklady.
p12 (6. ledna) ↵