NMMA333 -- Dalibor Pražák, ZS 2019/20
Pojem (klasického) řešení ODR. Lemma o integrální formulaci. Peanova věta o
lokální existenci pro spojitou pravou stranu.
(Řešení existuje globálně, je-li
p.s. omezená; obecně pouze lokálně.)
p01(2.10.2019)↵
Lokální a globální jednoznačnost řešení.
Ekvivalence těchto pojmů. Lokální jednoznačnost pro lokálně lipschitzovskou
p.s. Funkce C^1 je lokálně lipschitzovská. Příklad nejednoznačnosti.
Prodloužení řešení. Maximální řešení.
Existence maximálního řešení.
p02(7.10.2019)↵
Lemma o charakterizaci prodloužitelných řešení.
Věta o opuštění kompaktní množiny.
Gronwallovo lemma.
Důsledek: spojitá závislost řešení na počáteční podmínce.
p03(14.10.2019)↵
Definice řešicí funkce. Věta 4.2 o otevřenosti definičního
oboru a spojitosti řešicí funkce.
Poznámka o převedení závislosti na parametru na
závislost na počáteční podmínce.
Příklad x'=2tx-2: topologický argument existence
omezeného řešení.
Diferencovatelnost řešicí funkce vůči počáteční podmínce:
formální odvození rovnice ve variacích.
p04(23.10.2019)↵
Věta 4.3 o diferencovatelnosti vůči počáteční podmínce.
Lineární ODR: globální existence a jednoznačnost řešení.
p05(30.10.2019)↵
Řešení homogenní úlohy tvoří lineární prostor dimenze "n".
Fundamentální systém, fundamentální matice. Variace konstant.
Liouvilleova formule. Poznámka o zobecněních klasické teorie.
p06(4.11.2019)↵
Aplikace: přenesení objemu řešicí funkcí -- (ne)stlačitelnost tekutiny.
Lineární systémy s konstantní maticí.
Norma matice. Exponenciála matice. Fundamentální matice
pro lineární systémy s konstantní maticí.
Vlastnosti exponenciály matice.
p07(13.11.2019)↵
Poznámka: výpočet e^{tA} pomocí Jordanova rozkladu.
Odhady normy exponenciály Jordanovy buňky.
Variace konstant pro rovnici s konstantními koeficienty.
Rozklad na stabilní, nestabilní a centrální podprostor.
Charakterizace chování řešení na těchto podprostorech.
Stručná poznámka: logaritmus matice; exponenciála a reziduová věta.
p08(18.11.2019)↵
Stabilita (asymptotická, uniformní) nulového řešení.
Vztah stability lineární rovnice a fundamentální matice.
Stabilita obecného řešení.
p09(20.11.2019)↵
Definice: algebraická a geometrická násobnost,
polojednoduché vlastní číslo.
Stabilita lineární úlohy s konstantními koeficienty.
Věta o linearizované stabilitě.
Věta o linearizované nestabilitě (zatím bez důkazu).
p10(2.12.2019)↵
Věta o linearizované nestabilitě - důkaz.
První integrál: definice, příklady.
p11(9.12.2019)↵
Orbitální derivace. Existence (nezávislých) prvních integrálů.
p12(11.12.2019)↵
Metoda charakteristik - lokální existence PDR prvního řádu
v okolí necharakteristické (nad)plochy.
Snížení řádu rovnice pomocí prvních integrálů.
Rovnice n-tého řádu.
Ljapunovský funkcionál. Pozitivně definitní funkce.
Ljapunovova věta o stabilitě.
p13(16.12.2019)↵
Ljapunovova věta o asymptotické stabilitě.
Příklady konstrukce Ljapunovských funkcí.
p14(18.12.2019)↵
Ljapunovova rovnice. Alternativní důkaz věty o linearizované stabilitě.
Lineární homogenní rovnice 2. řádu: globální
existence a jednoznačnost C^2 řešení.
Lemma: vlastnosti množiny nulových bodů.
Lemma: různé tvary lineární rovnice 2. řádu.
p15(6.1.2020)↵
Příklad: Besselova rovnice.
Šturmova srovnávací věta. Příklady.
p16(8.1.2020)↵
Šturmova oddělovací věta.
Periodické lineární úlohy. Poznámky o existenci (T-periodických) řešení.
Existence logaritmu regulární matice (bez důkazu).
Floquetova věta. Floquetova transformace; matice monodromie.
Nutné a postačující podmínky existence T-periodických řešení.
Vztah matice monodromie a stability homogenní rovnice.