NDIR021 -- průběžná verze sylabu
13. Dynamické systémy.
Dynamický systém. Řešící funkce autonomní rovnice jako kanonický příklad.
Dopředný, zpětný a úplný orbit. Úplně, pozitivně a negativně invariantní
množina. Omega-limitní, alfa-limitní množina bodu.
Charakterizace omega-limitní množiny pomocí uzávěru orbitů.
Věta: omega-limitní množina je uzavřená a úplně invariantní;
za předpokladu kompaktnosti je neprázdná, kompaktní a souvislá.
Tvrzení: omega-limitní množina je jednobodová, právě když
orbit konverguje k tomuto bodu.
Ekvilibrium (singulární bod, stacionární bod) a regulární bod.
Topologicky konjugované dynamické systémy.
Věta o rektifikaci v okolí regulárních bodů.
Hartman-Grobmanova věta (zatím stále bez důkazu).
14. La Salleho princip invariance.
Opakování: stabilita, asymptotická stabilita.
Princip linearizované (ne)stability.
Ljapunovská funkce, orbitální derivace.
Věta: La Salleho princip invariance.
15. Poincaré-Bendixsonova teorie.
Motivace: Hilbertův 16. problém.
Jordanova věta. Transverzála, flow box.
Poincaré-Bendixsonova věta.
Bendixson-Dulacova věta o neexistenci per. řešení.
Yorkeho dolní odhad periody pro Lipschizovskou pravou stranu.
16. Carathéodoryho teorie.
Opakování: vlastnosti absolutně spojitých funkcí.
Carathéodoryho podmínky, řešení ve smyslu Carathéodoryho.
Integrální tvar. Zobecněná Lipschitzovskost vůči 'x'.
Věty o lokální existenci a jednoznačnosti (bez důkazu).
Zobecněná Banachova věta o kontrakci. Globální existence
a jednoznačnost řešení.
17. Sturm-Liouvilleova teorie.
Okrajová úloha na vlastní čísla.
Lemma o globální existenci polárních souřadnic.
Prüferova transformace.
Chování fáze řešení v závislosti na λ.
Existence zdola omezené posloupnosti vlastních čísel.
Operátorový pohled. Resolventa je kompaktní, symetrický
operátor. Řešení nehomogenní úlohy. Dokončení důkazu
úplnosti. Poznámka o kontrukci Greenovy funkce.
18. Optimální regulace.
Základní typy úloh, příklady.
I. Lineární úloha (bez omezení).
Kalmanova matice regulovatelnosti.
Nutná a postačující podmínka globální regulovatelnosti.
Pozorovatelnost. Dualita mezi pozorovatelností a regulovatelností.
Lokální regulovatelnost pro nelineární úlohu.
II. Stabilizovatelnost zpětnou vazbou.
Globální stabilizovatelnost pro lineární problém.
Lokální stabilizovatelnost pro nelineární problém.
III. Časově optimální lineární regulace s omezením.
Konvexita a uzavřenost oblasti regulovatelnosti.
Lokální a globální podmínky regulovatelnosti.
Regulace typu ``bang-bang''.
Nástroje z FA:
Alaogluova věta o (sekvenciální) kompaktnosti v *-slabé topologii.
Extremální body, Krejn-Milmanova věta.
Existence časově optimální regulace.
Pontrjaginův princip maxima.
IV. Pontrjaginův princip maxima -- obecná verze.
Úloha se pevným časem resp. pevným koncovým bodem.
19. Bifurkace.
Nutná podmínka bifurkace: nehyperbolický stacionární bod.
Základní typy 1D bifurkací: sedlo-uzel, transkritická,
vidličková. Postačující podmínky. Hopfova bifurkace ve 2D.
1. verze: existence periodických řešení. 2. verze:
vyšetření stability pomocí členů druhého a třetího řádu.
(bez důkazu).
20. Stabilní, nestabilní a centrální variety.
Princip invariance a jeho ekvivalentní vyjádření:
princip redukce a princip pevného bodu.
Další plány
- stabilní, nestabilní a centrální variety
Aktualizováno: 30. 09.