NDIR021 -- průběžná verze sylabu

13. Dynamické systémy.

Dynamický systém. Řešící funkce autonomní rovnice jako kanonický příklad. Dopředný, zpětný a úplný orbit. Úplně, pozitivně a negativně invariantní množina. Omega-limitní, alfa-limitní množina bodu. Charakterizace omega-limitní množiny pomocí uzávěru orbitů. Věta: omega-limitní množina je uzavřená a úplně invariantní; za předpokladu kompaktnosti je neprázdná, kompaktní a souvislá.
Tvrzení: omega-limitní množina je jednobodová, právě když orbit konverguje k tomuto bodu.

Ekvilibrium (singulární bod, stacionární bod) a regulární bod. Topologicky konjugované dynamické systémy. Věta o rektifikaci v okolí regulárních bodů. Hartman-Grobmanova věta (zatím stále bez důkazu).

14. La Salleho princip invariance.

Opakování: stabilita, asymptotická stabilita. Princip linearizované (ne)stability. Ljapunovská funkce, orbitální derivace. Věta: La Salleho princip invariance.

15. Poincaré-Bendixsonova teorie.

Motivace: Hilbertův 16. problém. Jordanova věta. Transverzála, flow box. Poincaré-Bendixsonova věta. Bendixson-Dulacova věta o neexistenci per. řešení. Yorkeho dolní odhad periody pro Lipschizovskou pravou stranu.

16. Carathéodoryho teorie.

Opakování: vlastnosti absolutně spojitých funkcí. Carathéodoryho podmínky, řešení ve smyslu Carathéodoryho. Integrální tvar. Zobecněná Lipschitzovskost vůči 'x'. Věty o lokální existenci a jednoznačnosti (bez důkazu). Zobecněná Banachova věta o kontrakci. Globální existence a jednoznačnost řešení.

17. Sturm-Liouvilleova teorie.

Okrajová úloha na vlastní čísla. Lemma o globální existenci polárních souřadnic. Prüferova transformace. Chování fáze řešení v závislosti na λ. Existence zdola omezené posloupnosti vlastních čísel. Operátorový pohled. Resolventa je kompaktní, symetrický operátor. Řešení nehomogenní úlohy. Dokončení důkazu úplnosti. Poznámka o kontrukci Greenovy funkce.

18. Optimální regulace.

Základní typy úloh, příklady. I. Lineární úloha (bez omezení). Kalmanova matice regulovatelnosti. Nutná a postačující podmínka globální regulovatelnosti. Pozorovatelnost. Dualita mezi pozorovatelností a regulovatelností. Lokální regulovatelnost pro nelineární úlohu. II. Stabilizovatelnost zpětnou vazbou. Globální stabilizovatelnost pro lineární problém. Lokální stabilizovatelnost pro nelineární problém. III. Časově optimální lineární regulace s omezením. Konvexita a uzavřenost oblasti regulovatelnosti. Lokální a globální podmínky regulovatelnosti. Regulace typu ``bang-bang''. Nástroje z FA: Alaogluova věta o (sekvenciální) kompaktnosti v *-slabé topologii. Extremální body, Krejn-Milmanova věta. Existence časově optimální regulace. Pontrjaginův princip maxima. IV. Pontrjaginův princip maxima -- obecná verze. Úloha se pevným časem resp. pevným koncovým bodem.

19. Bifurkace.

Nutná podmínka bifurkace: nehyperbolický stacionární bod. Základní typy 1D bifurkací: sedlo-uzel, transkritická, vidličková. Postačující podmínky. Hopfova bifurkace ve 2D. 1. verze: existence periodických řešení. 2. verze: vyšetření stability pomocí členů druhého a třetího řádu. (bez důkazu).

20. Stabilní, nestabilní a centrální variety.

Princip invariance a jeho ekvivalentní vyjádření: princip redukce a princip pevného bodu.
Další plány
Aktualizováno: 30. 09.