Pro funkci
   $f(x)=\left|x^3-3x-2\right|$ urèete definièní obor
   $D_f$ a~derivaci $f'(x)$, pøípadnì jednostranné derivace, ve
   všech bodech $x\in D_f$, kde existují.

   \reseni Definièní obor této funkce jsou všechna reálná èísla,
   tedy $D_f=\R$. Pro urèení jednostranných derivací potøebujeme
   vìdet znaménka funkèních hodnot na $\R$. Funkce
   $g(x)=x^3-3x-2=(x-2){(x+1)}^2$ je spojitá a proto se její
   znaménko mùže mìnit jen v bodech, kde má hodnotu 0. Tyto body
   jsou $x=2$ a $x=-1$. Otestujeme znaménko funkce v tìchto
   bodech:
   \begin{align*}
      g(-2)&=-4<0,\\
      g(0)&=-2<0, &\text{tedy }g(x)<0 \text{ pro }x\in(-\infty, 2)\\
      g(3)&=16>0, &g(x) > 0 \text{ pro }x\in(2, +\infty)
   \end{align*}
   Funkce nemìní znaménko v bodì $x=-1$, ale pouze se osy X
   v tomto bodì dotýká. Na druhou stránu, v bodì $x=2$ se funkce
   ``pøeklopí'' nahoru \emph{se zlomem}, proto v bodì $x=2$ funkce $f$
   derivaci nemá.

   Výsledek:
   $$
      f'(x)=\begin{cases}
         -g'(x)=-3x^2 + 3, &\text{pro }x\in(-\infty,2),\\
         g'(x)=  3x^2 - 3, &\text{pro }x\in(2,+\infty)
      \end{cases}
   $$
   Jednostranné derivace (poèítáme je z výrazù pro obostranné derivace):
   \begin{align*}
      f'_-(2)&=-3 \cdot 2^2 + 3=-9,\\
      f'_+(2)&=3 \cdot 2^2 - 3 = 9.
   \end{align*}
   Vidíme, že funkce skuteènì nemá v bodì $x=2$ derivaci,
   ponìvadž jednostranné derivace jsou rùzné.
