
    \textbf{9.} Nalezn�te v�echna maxim�ln� �e�en� rovnice
    $$
        y'' + y = \tg x.
    $$

    \textbf{�e�en�} \begin{enumerate}
    \item Spo�teme �e�en� homogenn� rovnice (fundament�ln� syst�m)
    $$
        y'' + y = 0.
    $$ Charakteristick� polynom t�to rovnice a jeho ko�eny jsou
    \begin{align*}
        M(\lambda) &= \lambda^2 + 1\\
        M(\lambda) &= 0 \quad \text{pro }\lambda = \pm i,
    \end{align*}
    tedy fundament�ln� syst�m je $\lbrace \sin x, \cos x \rbrace$.
    \item Spo�teme partikul�rn� �e�en� pomoc� variace konstant:
    \begin{align*}
        y_0 &= C_1(x)\sin x + C_2(x)\cos x\\
        y'_0    &= C_1(x)\cos x - C_2(x)\sin x + \bigl(C'_1(x)\sin x + C'_2(x)\cos x = 0\bigr)\\
        y''_0   &= -C_1(x)\sin x - C_2(x)\cos x + \bigl(C'_1(x)\cos x - C'_2(x)\sin x = \tg x\bigr).
    \end{align*}
    Dost�v�me soustavu dvou rovnic o dvou nezn�m�ch
    \begin{align*}
        C'_1(x)\sin x + C'_2(x)\cos x &= 0\\
        C'_1(x)\cos x - C'_2(x)\sin x &= \tg x,
    \end{align*}
    jej�mi� �e�en�mi jsou funkce $C'_1(x) = \sin x$ a $C'_2(x) = -\frac{\sin^2 x}{\cos x}$.
    Funkce $C_1(x)$ a $C_2(x)$ jsou tedy
    \begin{align*}
        C_1(x) &= -\cos x\\
        C_2(x) &= \sin x + \frac12 \log\lvert\sin x + 1\rvert - \frac12 \log\lvert \sin x - 1 \rvert.
    \end{align*} a v�echna �e�en� rovnice jsou ve tvaru
    $$
        y = \bigl( C_1(x) + D_1 )\sin x + \bigl( C_2(x) + D_2 )\cos x,\quad D_1, D_2 \in \mathbb R.
    $$
    \end{enumerate}
