Nejprve mus�me ov��it, zda {$ V  $}     je podprostorem {$ W $}.
Obecn� by to znamenalo �e�it dva syst�my rovnic (resp. jeden syst�m se
dv�ma r�zn�mi prav�mi stranami); zde ihned vid�me, �e
{$(0,1,0)=(1,2,1)-(1,1,1), $}
{$(1,2,3)=(0,1,2)+(1,1,1). $}
\par
K nalezen� ortogon�ln�ho dopl�ku bychom mohli pou��t ortogonalizaci
b�ze {$ W $}, kter� obsahuje b�zi {$ V. $} S v�hodou v�ak m��eme pracovat
takto: hledan� dopln�k bude m�t  generuj�c� vektory
 tvaru {$ \vec u=\alpha (1,2,1) + \beta (0,1,2) + \gamma (1,1,1) $}
a bude kolm� na b�zi {$ V. $} Odsud dostaneme dv� rovnice pro
3 koeficienty {$ \alpha ,\beta ,\gamma  $}, jejich� �e�en� bude v na�em
p��pad� tvo�eno jednodimenzion�ln�m prostorem.
\par
\newpage
Podrobn�:
hled�me vektory {$ \vec u=\alpha (1,2,1) + \beta (0,1,2) + \gamma (1,1,1) $};
podm�nka kolmosti d�v�    {$ (\vec u,(0,1,0))=(\vec u,(1,2,3))=0. $}
Spo�teme pot�ebn� vektorov� sou�iny:
je
$$
\alignat3
((1,2,1),(0,1,0))&=2,\quad &((0,1,2),(0,1,0))&=1,\quad &((1,1,1),(0,1,0))&=1;\\
((1,2,1),(1,2,3))&=8,\quad &((0,1,2),(1,2,3))&=8,\quad &((1,1,1),(1,2,3))&=6.\\
\endalignat
$$
Dosazen�m do podm�nky kolmosti dost�v�me syst�m rovnic:
$$
  \align
  0&=2\alpha +\beta +\gamma, \\
  0&=8\alpha +8\beta +6\gamma. \\
  \endalign
$$
Ode�ten�m �ty�n�sobku prvn� rovnice od druh� dostaneme
 {$ 4\beta +2\gamma=0 $}  a volbou {$ \beta =2 $} dostaneme {$
(\alpha_{0} ,\beta_{0} ,\gamma_{0} )=(1,2,-4) $}; obecn� �e�en� je
tvaru {$ c\cdot (1,2,-4), c\in \er $}. V�echny vektory kolm� k {$ V $}
jsou tedy tvaru
\par
{$ c\cdot \left( (1,2,1)+2(0,1,2)-4(1,1,1)\right)=c\cdot(-3,0,1) $}
\par
 a ortonorm�ln� b�ze dopl�ku {$ V  $} je tedy ur�ena jednozna�n� a� na
 orientaci a tvo�� ji jeden z vektor�
 {$\pm \frac{1}{\sqrt{ 10}}
 (3,0,1)$} .
 \par
 Kontrola: zn�soben�m se p�esv�d��me, �e tento vektor je vskutku kolm�
 k vektor�m
{$ (0,1,0),(1,2,3) $}.

