\item{a)
}Matice {$ n\times n $} jsou ur�eny {$ n^{2} $} prvky a takov� bude i
dimenze {$ V: $} ozna��me-li {$ A_{i,j} $} matici, v n� {$ a_{i,j}=1,
a_{k,l}=0 \text{ pro }(k.l)\neq (i,j) $}, lze obecnou matici {$ B
=(b_{r,s})_{r,s=1}^{n} $} zapsat jednozna�n� jako sou�et
$$
  B=\sum_{r,s=1}^{n} b_{r,s}A_{r,s} ,
$$
tak�e jsme nalezli b�zi.
\item{b)}
Je samoz�ejm� {$ W\subset V. $}

Matice {$ A $} je antisymetrick�, pr�v� kdy� {$ A=-A^{T} $} ({$ A^{T}$} je
transponovan� matice ).

Speci�ln�, nulov� matice je antisymetrick� (a z�rove� symetrick�).

Je-li {$ A=-A^{T}, B=-B^{T},\alpha \in \er $},
pak {$ (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=-(A+B), (\alpha A)^{T}=\alpha A^{T}=-\alpha A, $}
tak�e {$ W \text{ je line�rn� podprostor } V .$}

\item{c)}
Za b�zi {$ W  $} lze vz�t matice {$ U_{i,j}
=\frac{1}{2}(A_{i,j}-A_{j,i}), j>i.$}
\item{d)}
Po�et t�chto matic je {$ s=(n-1)+(n-2)+\cdots 1=\frac{1}{2}n(n-1). $}
%\comment
\pr8
Najd�te v�echny inverze permutace {$ P $}, ur�ete znam�nko {$ P, $}
rozlo�te {$ P $} na cykly a ur�ete {$ P^{-2}, P^{72}, $} kde
$$
  P=\pmatrix
  1&2&3&4&5&6&7\cr
  2&5&7&3&1&4&6\cr
  \endpmatrix
$$
\vskip-20pt
\re
  Inverze, neboli dvojice prvk� s p�ehozen�m po�ad�m, jsou n�sleduj�c�:

{$ (2,1),(5,3),(5,1),(5,4),(7,3),(7,1),(7,4),(7,6),(3,1); $}

celkem 9 inverz�; znam�nko {$ \operatorname{sgn}P=(-1)^{9}=-1. $}

Cykl dostaneme tak, �e permutaci opakovan� aplikujeme na  jeden prvek,
dokud se nevr�t�me. Permutace {$ P $} se skl�d� ze dvou cykl�:
{$ P= P_{1}\circ P_2, $}
$$
  \align
  P_{1}&:\quad   1@>>> 2@>>> 5@>>> 1,\quad P_{1}=\pmatrix
  1&2&3&4&5&6&7\cr
  2&5&3&4&1&6&7\cr
  \endpmatrix
\cr
  P_{2}&: \quad 3@>>> 7@>>> 6@>>> 4@>>> 3,\quad  P_{2}=
  \pmatrix
  1&2&3&4&5&6&7\cr
  1&2&7&3&5&4&6\cr
  \endpmatrix\cr
    \endalign
$$
%\vskip-20pt
    (symbol {$ \circ $} zde znamen� slo�en� zobrazen�).

Permutace {$ P_{1} $} pracuje pouze na 3 prvc�ch a plat� pro ni {$
P_1^{3}:=P_1\circ P_1\circ P_1\circ P_{1}=I $} --- identick�
transformace, podobn� {$ P_{2}^{4}=I, P^{12}=(P_{1}^{3})^{4}\circ
(P_{2}^{4})^{3}=I, P^{72}=P^{6\cdot12}=I. $}
Podobn� spo�teme {$ P^{-2}=P^{10}= P_{1}^{9}\circ P_{1}\circ
P_{2}^{8}\circ P_{2}^{2} $} (symbol $P^{-1}$ znamen� inverzn� permutaci
a {$ P^{-2}=( P_{1})^{2}$}). Odsud snadno spo�teme
\par
 \centerline{$ P^{-2}=\pmatrix
  1&2&3&4&5&6&7\cr
  2&5&6&7&1&3&4\cr
 \endpmatrix
  $}

