logo Klasická teorie PDR pro 3.ročník (DIR005)

Přednášející: M. Rokyta, KMA


Tato stránka obsahuje sylabus, zkouškové požadavky a termíny zkoušek k uvedené přednášce pro šk. r. 2000-2001. Přednáška se konala pouze v letním semestru, vždy ve středu v 9:00 v posluchárně K3.


Sylabus

1. Úvod

2. Věta Cauchyova-Kowalevské

3. Laplaceova a Poissonova rovnice

4. Evoluční rovnice


Termíny zkoušek

Zkouška je pouze ústní, připuštění k ní je však závislé na udělení zápočtu od doc. Staré (na který je potřeba napsat písemku). Vypisuji pouze dva centrální termíny ústní zkoušky, a sice: Další termíny případně možné individuálně, po dohodě se zkoušejícím (nejlépe e-mailem na adresu mirko.rokyta@mff.cuni.cz), nebo telefonicky na 2191 3269 (pracovna), eventuelně 0603 342735.


Zkouškové požadavky

Je-li někde použito obratu "eventuelně", znamená to, že příslušná neznalost nebude mít fatální důsledky na výslednou známku.

  1. Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu: def. klasického řešení Cauchyova problému, definice charakteristiky. Metoda charakteristik pro nulovou pravou stranu - formulujte příslušná lemmata, ukažte na jednoduchém příkladě. Eventuelně diskutujte nenulovou pravou stranu.
  2. Věta Cauchyova-Kowalevské: definice reálně analytické funkce, formulace věty C-K, důkaz metodou majorizace - ukažte hlavní kroky důkazu. Lewyho protipříklad. Diskutujte zobecnění C-K věty pro závislost koeficientů na čase, resp. pro nenulové poč. podmínky. Ilustrujte na příkladě možná zobecnění C-K věty pro rovnice vyššího řádu.
  3. Definujte charakteristický směr a plochu pro lineární rovnici k-tého řádu (naznačte, čím je tato definice motivovaná).
  4. Definujte eliptickou, hyperbolickou, parabolickou rovnici druhého řádu (v bodě), uveďte typické představitele (Poissonova, vlnová, vedení tepla - bez odvozování těchto rovnic).
  5. Definujte harmonickou funkci na omezené oblasti, na doplňku omezené oblasti.
  6. Odvoďte větu o třech potenciálech v dimenzi 3, ukažte, jak z ní plyne nekonečná diferencovatelnost harmonické funkce na omezené oblasti.
  7. Dokažte větu o Poissonově integrálu (řešení Dirichletovy úlohy na kouli) (eventuelně diskutujte myšlenku odvození přes kruhouvou inverzi).
  8. Dokažte větu o střední hodnotě a obrácenou větu o střední hodnotě pro harmonické funkce.
  9. Dokažte slabý a silný princip maxima pro harmonické funkce. Formulujte (eventuelně dokažte) jeho zobecnění na eliptické rovnice. Jednoznačnost řešení jako důsledek.
  10. Dokažte větu o odstranitelné singularitě.
  11. Dokažte větu Liouvilleovu, věty Harnackovy.
  12. Konstrukce řešení Dirichletovy úlohy na omezené oblasti Perronovou metodou: uveďte hlavní body konstrukce, definujte příslušné pojmy a bez důkazů jejich základní vlastnosti, vysvětlete úlohu bariéry při nabývání hraniční podmínky.
  13. Ukažte větu pro Poissonův integrál pro vnějšek koule.
  14. Dokažte větu o jednoznačnosti harmonických řešení Dirichlety úlohy pro Poissonovu rovnici na vnější oblasti.
  15. Dokažte větu o řešení Cauchovy úlohy pro rovnici vedení tepla. Dokažte slabý princip maxima pro rovnici vedení tepla - omezená a neomezená oblast.
  16. Dokažte větu o jednoznačnosti pro vlnovou rovnici, napište její řešení (bez důkazů) v prostorech různé dimenze.


back