Výběrové přednášky z matematiky pro magisterské studium fyziky

KMA a MÚUK ve spolupráci s KTF MFF UK připravili počínaje školním rokem 2008/09 tyto nové matematické výběrové přednášky pro studenty navazujícího magisterského studia fyziky. Zájemci o dané přednášky kontaktujte prosím uvedené garanty.


Název Pokročilé partie z teorie grup pro fyziky - NMAF038 Pokročilá lineární algebra pro fyziky - NMAF037 Vybrané partie z matematiky pro fyziky - NMAF006
Dotace LS, 2/0 Zk, kredity: 3 ZS, 2/0 Zk, kredity: 3 LS, 2/0 Zk, kredity: 3
Garant Prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (MÚUK),
Mgr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (MÚUK)
Doc. RNDr. M. Zahradník, CSc. (KMA) Doc. RNDr. M. Rokyta, CSc. (KMA)
Sylabus

Harmonická analýza na homogenních prostorech. Transitivní grupy transformací. Invariantní míry. Homogenní prostory. Indukované reprezentace. Sférické funkce, zonální a asociované sférické funkce. Větvicí pravidla, Gelfand-Zetlinovy base.

Reprezentace grup a speciální funkce. Representace grupy SO(3) (resp. SU(2)), quasi-regulární reprezentace, zonální sférické funkce a polynomy Gegenbauera (Legenedera, Jacobiho). Rozklad funkcí na sféře, sférické funkce a Laplaceův operátor. Grupa Eukleidovských transformací v rovinně, cylindrické funkce (generující funkce, rekurentní relace).Grupa unimodulárních matic SL(2,R) a hypergeometrické funkce. Hermitovské polynomy. Fyzikální aplikace.

Lieovy super-algebry, supersymetrie. Super-vektorové prostory. Super-algebry. Lieovy super-algebry.Základní typy jednoduchých Lieových super-algeber. Super-Poincarého algebra. Reprezentace Lieových super-algeber. Fyzikální aplikace.

Teorie determinantů a kombinatorika, stromy, Kirchhoffova věta.

Pravděpodobnost a teorie stochastických matic, elementy teorie Markovských řetězců z hlediska lineární algebry, pozitivní matice, jejich spektrální vlastnosti, modely růstu (Frobeniova věta, spektrální "mezera")

Laplacián a teorie potenciálu na grafech (Dirichletovy formy, Coulombův potenciál, náhodné procházky na mrizi). Gaussovské míry kvadratických forem mnoha proměnných (Wickovy formule)

Rovnice vedení tepla na mříži, dráhové "integrály" (Feynman Kacovy formule).

Diskrétní Fourierova transformace. Úvod do vlnek (waveletts).

Lineární operátory na konečněrozměrném prostoru (resolventa matice, funkce matic, Laurentovy rozvoje a Jordanův tvar, spektrální rozklad). Teorie neomezených operátorů na Hilbertově prostoru.

Náhodné matice a jejich spektra.

Pfaffián a antikomutující proměnné.

Lineární algebra a statistická fyzika (clusterové/Mayerovy rozvoje determinantů), Onsagerovo řešení Isingova modelu (netriviální ukázka kombinace LA, kombinatoriky a analýzy)

Operátorová trivia Banachův a Hilbertův prostor. Operátory a funkcionály, operátorová norma. Převedení ODR na operátorovou rovnici a její řešení. Von Neumannova řada operátoru.

Základy spektrální analýzy Vlastní čísla operátoru, spektrum, resolventní množina, bodové, spojité a reziduální spektrum. Vlastnosti spektra, spektrální poloměr. Různé možnosti stavů operátoru.

Kompaktní operátory Kompaktní operátory a jejich spektrum. Stavy kompaktního operátoru.

Duálnost a adjungovanost Duální operátory, duální prostory, dualita, reprezentace spojitých lineárních funkcionálů. Rieszova věta. Adjungovaný operátor, samoadjungovaný operátor, jejich spektrum. Báze složená z vlastních vektorů. Funkční kalkulus.

Neomezené operátory Neomezené operátory. Uzavřený operátor, prostota, spektrum. Definiční obor neomezeného operátoru. Diferenciální operátory.

Speciální polynomy a funkce ON báze složené z polynomů. Rovnice: ultrasférická, Čebyševova, Hermitova, Besselova, speciální funkce: polynomy Legendreovy, Laguerrovy (atom vodíku), Hermitovy, kulové funkce, hypergeometrické řady, eliptické funkce.

Greenovy funkce pro ODR Greenovy funkce pro ODR a jejich sestavení. Řešení okrajových úloh na omezeném intervalu pro různé pravé strany.

Literatura
  • A.U. Klimyk, N.Ya.Vilenkin: Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991
  • W. Fulton, J. Harris: Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991
  • D.P. Želobenko: Compact Lie groups and thein representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973
  • V.S. Varadarajan: Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004
  • L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba: A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000
  • L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru, skriptum MFF UK, Matfyzpress, 1995
  • K. Výborný, M. Zahradník: Používáme lineární algebru, skriptum MFF UK, Karolinum Praha, 2002
  • J. Matoušek, J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Praha 2007
  • R.P. Feynman: Statistical Mechanics, A Set of Lectures., Addison-Wesley Publishing Company, 1972.
  • F.R. Gantmacher: The theory of matrices, 1999.
  • I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.
  • M.L. Mehta: Random matrices, 2004.
  • J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skriptum MFF UK, Karolinum, 1998
  • P. Čihák, M.Rokyta a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), skriptum MFF UK, Matfyzpress, 2003
  • K. Najzar: Funkcionální analýza, skriptum MFF UK, SPN, 1981

Studenti magisterského studia fyziky mohou samozřejmě využít i další doporučené matematické ředměty jako jsou

ZS 2/2 Z+Zk, 6 kreditů
Teorie grup a její aplikace ve fyzice - NTMF061
RNDr. Karel Houfek, Ph.D.

LS 2/0 Zk, 3 kredity
Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování - NTMF064
RNDr. Houfek Karel, Ph.D.

případně i odborné matematické přednášky

ZS 2/2 Z+Zk, 6 kreditů
Reprezentace Lieových grup 1 - NGEM003
RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.

LS 2/2 Z+Zk, 6 kreditů
Reprezentace Lieových grup 2 - NGEM035
RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.