Vybrané partie z matematiky pro fyziky - NMAF006
LS 2019/20

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/

Místo a čas konání: úterý 9.00, T7 nebo online

Název Vybrané partie z matematiky pro fyziky - NMAF006
Dotace LS, 2/0 Zk, kredity: 3
Přednášející Doc. RNDr. M. Rokyta, CSc. (KMA)
Distanční přednášení přes zoom

Níže je seznam všech online provedených přednášek. Pod "Kompletním rukopisem" myslím text, který je vystaven na této stránce v sekce "Učební text" už od samého začátku semestru.

  • 5. přednáška, 21.04.2020, 9:00 (Délka záznamu 1:15 hod.; obsah: opakování o abstraktních Fourierových řadách v separabilním Hilbertové prostoru, Hilbert-Schmidtova věta s kompletním důkazem, důsledky pro zobecněnou F.ř. prvků v bázi, složené z vlastních vektorů operátoru + prvku z jádra, F.ř. pro prvky zobrazené operátorem; vše až po stranu 51 kompletního rukopisu.)

  • 10. (a poslední) přednáška, 26.05.2020, 9:00 (Délka záznamu 1:43 hod.; obsah: Laguerrovy polynomy jako řešení Gaussovy redukované rovnice; jejich vlastnosti - explicitní tvar, rekurentní vzorec, velikost norem, generující funkce; rozvíjení funkce do systému OG polynomů; stručný přehled o dalších systémech polynomů; vše až do konce rukopisu (str. 81).)

Učební text Kompletní (rukou psané!) poznámky přednášejícího:
Sylabus

  1. Operátorová trivia.
    Banachův a Hilbertův prostor. Operátory a funkcionály, operátorová norma. Převedení ODR na operátorovou rovnici a její řešení. Von Neumannova řada operátoru.
  2. Základy spektrální analýzy
    Vlastní čísla operátoru, spektrum, bodové, spojité a reziduální spektrum. Vlastnosti spektra, spektrální poloměr. Různé možnosti stavů obecného lineárního a spojitého operátoru.
  3. Kompaktní operátory
    Kompaktní operátory a jejich spektrum. Stavy kompaktního operátoru.
  4. Duálnost a adjungovanost
    Duální operátory, duální prostory, dualita, reprezentace spojitých lineárních funkcionálů. Rieszova-Frechetova věta. Adjungovaný operátor, samoadjungovaný operátor, jejich spektrum. Hilbert-Schmidtova věta. Báze složená z vlastních vektorů.
  5. Neomezené operátory
    Neomezené operátory. Adjungovaný operátor. Definiční obor neomezeného operátoru a adjungovaného operátoru. Symetrický a samoadjungovaný operátor. Uzavřený operátor, prostota, spektrum.
  6. Diferenciální operátory, speciální polynomy a funkce
    Diferenciální operátory, samoadjungovaný tvar. OG báze složené z polynomů. Rovnice: Gaussova redukovaná, Čebyševova, Hermitova, ... speciální funkce: polynomy Legendreovy, Laguerrovy, Hermitovy, ... Hypergeometrické řady.
Literatura
  • P. Čihák a kol. (including M. Rokyta): Matematická analýza pro fyziky (V), skriptum MFF UK, Matfyzpress, 2003. Revidované vydání Matematická analýza nejen pro fyziky (V), Matfyzpress, 2016.
  • E. Kreyszig: Introductory functional analysis with applications, John Willey & Sons, 1978.
  • J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skriptum MFF UK, Karolinum, 1998.
  • K. Najzar: Funkcionální analýza, skriptum MFF UK, SPN, 1981.
  • W. Rudin: Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.
  • A. E. Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha, 1973.
Zkoušková témata Zkouška je pouze ústní. U zkoušky vám budou položeny dvě otázky z témat, jejichž seznam je zde. Budete mít čas na přípravu a poté se krátce pobavíme.
Zkouškové termíny Zakladní termíny viz SIS. Případné další termíny po dohodě.